七年级数学上册第四章一元一次方程4.3用一元一次方程解决问题盘点“设未知数”的方法素材苏科版教案

七年级数学上册第四章一元一次方程 4.3 用一元一次方程解决问题怎样灵活应用方程的解解题？素材（新版）苏科版
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怎样灵活应用方程的解解题?
难易度:★★★★
关键词：方程
答案:
方程的解是指能使方程两边相等的未知数的值。

【举一反三】
典例：下列方程中以x=5 为解的是（)
A.—2x=4
B.-2x-1=—3
C.— x-1=-3
D。

- x+1=—4
思路导引：一般来讲，解决本题要如果将四个选项中的方程一一求解，当然可以解决问题，但是这样做效率太低。

根据方程的解的意义，可将x=5代入四个选项中进行验证.只有D选项的方程左右两边的值是相等的.
标准答案：D。

列方程两大题型解密一、分段讨论型分段型一元一次方程的应用是指同一个未知量在不同的范围内的限制条件不同的一类应用题.所以在解决这类问题的时候，先要确定所给的数据所处的分段，然后要根据它的分段合理地解决.例1甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下:甲班分两次共购买苹果70千克（第二次多于第一次），共付出189元，乙班则一次购买苹果70千克.（1）乙班比甲班少付出多少元?（2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克?分析：（1）由于乙班一次购买苹果70千克，则价格一定是2元/千克，从而求得乙购买70千克苹果的金额，于是即可求得乙班比甲班少付出的金额.（2）要求甲班第一次、第二次分别购买苹果的千克数，由表中提供的信息，则需要分段讨论：两次都是30千克以上但不超过50千克；第一次不超过30千克，第二次30千克以上但不超过50千克；第一次不超过30千克，第二次50千克以上.解：（1）因为乙班一次购买苹果70千克，所以价格一定是2元/千克，即共付金额70×2＝140元，而189－140＝40（元），所以乙班比甲班少付出49元.（2）设第一次购买x千克.下面分三段讨论：若两次都是30千克以上但不超过50千克，则根据题意，得 2.5x+2.5（70－x）＝189，显然方程无解；第一次不超过30千克，第二次30千克以上但不超过50千克，则根据题意，得3x+2.5（70－x）＝189，解得x＝28，则70－x＝42.第一次不超过30千克，第二次50千克以上，则根据题意，得3x+2（70－x）＝189，解得x＝49＞30，不符实际.所以第一次28千克，第二次42千克.二、方案设计型方案型问题比较综合，要求思维能力强.这类问题一般给出几种可行方案，通过对比做出选择，或者通过分析给出可行方案.例2 某牛奶厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元.该工厂的生产能力是如果制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温限制，这批牛奶必须4天内全部销售或加工完毕.为此该厂设计了两种方案：方案一：尽可能地制成奶片，其余的直接销售鲜奶；方案二：将一部分制成奶片，其余的制成酸奶销售，并恰好4天完成，你认为选择哪种方案获利最多?分析：要确定哪种方案，若能计算出每一种方案的金额，再通过比较即可作出正确地选择.而事实上，方案一则很容易求出其金额的多少，对于方案二，可引进未知数，列出一元一次方程即可求解.解：方案一：4×2000+（9－4）×500＝10500元；方案二：设有x吨制成奶片，则根据题意，得x+93x＝4，解得x＝1.5.所以 1.5×2000+（9－1.5）×1200＝12000元.此时10500＜12000，所以应选择方案二.2。

用一元一次方程解决问题的例题解析一元一次方程是最简单、最基本的方程,不仅是学习其他方程的基础,同时也是中考命题的热点,更是解决日常生活中简单问题的简单方法.请看:一.居民用水多少立方米?例1、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．若某户居民1月份用水38m ，则应收水费：264(86)20⨯+⨯-=元．（1）若该户居民2月份用水312.5m ，则应收水费______元；（2）若该户居民3、4月份共用水315m （4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民3，4月份各用水多少立方米？分析：本题部分信息以图表信息给出，因此正确理解图表是解决问题的关键.由图表可知，随每月用水量的不同，水费的计费方式随之变化，需分段计算.(1)中，用水量312.5m ,应分三段分别计算再求和.(2)中,两个月共用水315m ,则需对三月份的用水量的多少分情况讨论.再结合4月份用水量超过3月份这一条件对结果作出合理判断.解:（1）应收水费()()48105.128610462=-⨯+-⨯+⨯元;（2）当三月份用水不超过36m时,设三月份用水.3xm 则2x+2×6+4×4+8(15-x-10)=44, 解之得x=4＜6,符合题意.当三月份用水量超过36m ,但不超过310m 时,设三月份用水.3xm则(),44101584462)6(462=--⨯+⨯+⨯+-+⨯x x 解之得x=3＜6(舍去).所以三月2 份用水34m ,四月份用水311m .二.在哪一家超市购买更省钱?例2、某同学在A 、B 两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元．（1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打7.5折销售；超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？ 分析：书包和学习机的价钱之和为列方程的等量关系，对于打折和返券可分别进行计算再进行计算.解：（1）设书包的单价为x 元，则英语学习机的单价为(4x-8)元.根据题意，得4x-8+x=452,解得x=92.4x-8=.3608924=-⨯答：该同学看中的英语学习机单价为360元，书包单价为92元.（2）在超市A 购买英语学习机与书包各一件,需花费现金:452×75%=339(元).因为339＜400,所以可以选择超市A 购买.在超市B 可先花费现金360元购买英语学习机,再利用得到的90元购物券,加上2元现金购买书包,总计共花费现金:360+2=362(元);因为362＜400,所以也可以选择在B 超市购买.但是,由于362＞339,所以在A 超市购买英语学习机与书包更省钱.小结:列方程解应用题,关键是寻找题中的等量关系.难点是将实际问题转化为单纯的数学问题,通过对数学问题的解决获得对实际问题的解决.。

盘点“设未知数”的方法设未知数是列方程解应用题的重要一环，根据实际应用题的特征，灵活设出未知数，可使解题过程简单快捷.就设未知数的几种方法总结如下.一、直接设未知数当题目中的关系能明显表示出所求的未知量时，可采用直接设法.即求什么设什么. 例1.一商店将每台彩电先按进价提高40%标出售价，然后在广告中宣传将以八折的优惠价出售，结果每台赚了300元，那么每台彩电的进价是多少元？【分析】：本题的等量关系明确，且各等量都与所求的量有直接的关系，可直接设所求的量为未知数求解.解：设每台彩电的进价为x 元.根据题意，得 300%80%)401(=-⨯+x x ,解得2500=x .所以每台彩电的进价为2500元.二、间接设未知数当直接设未知数列方程较困难时，可采用间接未知数的方法.即所设的不是所求的. 例2.据调查，某地服装经销商在经销服装时，只要高出进价的20%就能盈利. 但是，实际上，服装经销商对服装的标价，一般要高出进价的50%~100%． 若一件衣服标价210元，你要买这件衣服应该在什么范围内还价比较合理？【分析】初看此题觉得要用已学的知识来解决好象有点不可能，也不知如可下手，其实本题中涉及到数学问题仍是一元一次方程．在这个问题中，我们关键是要弄清楚这件服装的进价是多少，然后提高20%，就是买卖双方都能认可的价位了．而我们知道，在进价与标价之间存在着一个加价的环节，经销商就是在加价中获得利润． 它们之间存在如下关系式：进价 + 加价 = 标价.由于经销商盈利的标准（高出进价的20%）是固定的，所以问题的关键就在于进价是多少．解:设这件服装的进价为x 元．下面我们分两种情况来看：（1）由于这210元的标价最低高出进价的50%，此时的标价即为进价x 元加上它50%， 所以有：x + 50%x =210.解得: x = 140．这说明，这件服装的最高进价为140元 ．（2）由于这210元的标价最高高出进价的100%，此时的标价即为进价x 元加上它的100%，所以有：x + 100%x = 210.解得:105=x ．这说明，这件服装的最低进价为105元．可见，这件服装的进价为105元~140元．至此我们求到了衣服的进价范围，为此，我们将两个进价都提高20%，可得价位为105×（1+20%）~ 140×（1+20%），即126元~168元．因此，这件标价为210元的服装的还价范围应在126元~168元之间，比较合理．在解决以上问题的过程中，我们没有直接求还价的范围，而是把与之密切相关的进价设为未知数x ，采用了“间接设元”的方法，巧妙地解决了问题．三、设辅助未知数有些较复杂的应用题，初看起来好像缺少条件，这时不妨引入辅助未知数，在已知条件与所求答案之间架起一座“桥梁”，以便理顺各个量之间的关系，列出方程.例3.两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时.一天晚上停电，明明同时点燃了这两支蜡烛看书，若干分钟后来电了，明明将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？【分析】本题中的等量关系式是:同样长的两根蜡烛点燃了同样的时间后,所剩下的粗蜡烛的长是细蜡烛长的2倍.而两根同样长的蜡烛原长不知道, 为使问题易于列方程解决，可以设辅助未知数a 为蜡烛的原长.解:设蜡烛的原长为a ,停电的时间是x 小时.根据题意,得)(22ax a ax a -=-, 解得: 32=x . 32小时=40分钟. 答: 停电时间是40分钟.四、设整体为未知数所谓整体设元，就是将问题中的一部分看作一个整体，并设为未知数的一种易于解题的设未知数的方法.例4 一个六位数，后三位数是857，将这个六位数乘以6后，所得的数恰好是前三位数与后三位数互换位置.求原六位数.【分析】：本题不易直接设出这个六位数求解.为了解决问题的方便，可设六位数前三位数为x ，这样可以表示出整个六位数.解：设前三位数为x ，则原六位数可表示为1000x +857，根据题意，得6（1000x +857）=857×1000+x ,解得x =142.所以原六位数为1000×142+857=142857.练一练：1.一家商店将某种运动服按进价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件运动服仍可获利15元，这种运动服每件的进价是多少元？2.某音乐厅六月初决定在暑假期间举办“感动中国”学生专题音乐会，入场卷分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠.已知六月份内团体票每张20元，共售出团体票数的53，零售票每张24元，共售出零售票数的21;如果在七月份内，团体票按每张25元售出，并计划在七月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款总收入相等？3.甲、乙同学从400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以2米/秒、3米/秒的速度慢跑，6秒钟后，一只小狗从甲处出发以6米/秒的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以6米/秒的速度向甲跑，如此往返直到甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了多少米？4.有这样四个有理数，它们其中每三个数之和分别是22、27、24、20，你知道这四个有理数分别是什么吗？参考答案:1.解：设这种运动服每件的进价为x 元.根据题意，得(x+x·40%)·80%-x=15,解得x=125. 所以该运动服每件进价为125元.2.解：设总票数为a 张，七月份零售票按每张x 元定价. 则六月份：团体票售出a a 523253=⋅(张)，票款收入为20×a a 852=(元)。