2014-2015年江苏省扬州市邗江中学高二上学期期中数学试卷及答案(新疆班)

江苏省邗江中学（集团）2012-2013学年度第一学期高二数学期终试卷新疆班第Ⅰ卷（填空题 共70分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、对于命题p :x R,∃∈使得210x x .++<则p ⌝为 。

2、已知全集{}123456U ,,,,,,=集合{}{}13512A ,,,B ,,==则U (C A)B ⋂= 。

3、函数1sin 22y x x =的最小正周期是 。

4、已知a =()log (1)a f x x =-，若正实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 。

5、已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b ==，则|2|a b -= 。

6、曲线C ：()sin e 2x f x x =++在0x =处的切线方程为 。

7、已知α是第二象限角，且35sin(),πα+=-则2tan α= 。

8、命题{}20p :a M x x x ;∈=-<命题{}2q :a N x x ,∈=<p 是q 的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）。

9、已知扇形的周长为cm 8，则该扇形面积的最大值为2cm 。

10、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若45,7,cos 5a b C ===，则角A 的大小为 。

11、若函数2143mx y mx mx -=++的定义域为R,则实数m 的取值范围是 。

[12、若函数()xf x a x a =--(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 。

13、若点O 是△ABC 所在平面内一点，满足30OA OB OC ++=，则ABOABCS S ∆∆的值是 。

14、若关于x 的方程2||1x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 。

第Ⅱ卷（解答题 共90分）二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、(本小题满分14分)已知函数)0(sin cos 3sin )(2>⋅+=ωωωωx x x x f 且函数f (x )的最小正周期为.π （1）求ω的值；（2）若将函数y f (x )=的图像向右平移12π个单位长度，再将所得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）,得到函数y g(x )=的图像，求函数y g(x )=的单调递减区间。

ADCB第（10）题2014-2015学年度第二学期邗江中学新疆班高二年级期中数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、计算：310cosπ= 。

2、若复数iim -+12,(R m ∈i 是虚数单位）为纯虚数，则m = 。

3、某人5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，9,11,10,8。

已知这组数据的平均数为10，则其方差为 。

4、已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若31=a ，前三项的和为21 ，则=++654a a a 。

5、设Q P 和是两个集合，定义集合}{Qx P x x Q P ∉∈=-且,|，若{}4,3,2,1=P ，}R x x x Q ∈<⎩⎨⎧+=,221|，则=-Q P 。

6、根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I 为 。

7、已知扇形的周长为cm 8，则该扇形面积的最大值为 2cm 。

8、过椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左顶点A 作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B 。

若MB AM =，则该椭圆的离心率为 。

9、若方程5||||lg +-=x x 在区间))(1,(z k k k ∈+上有解，则所有满足条件的k 的值的和为 。

10、如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A 、B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75方向，与A 相距23海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘船之间的距离为 海里。

A1C 1B1BC AD 第（11）题ADCBM N第（13）题第15题乒乓球4133羽毛球5蓝球2211、如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点，若截面D BC 1∆是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 。

12、设p ：函数||2)(a x x f -=在区间),4(+∞上单调递增；12log :<a q ，如果命题“┐p ”与q 都是真命题，那么实数a 的取值范围是 。

江苏省扬州中学2014—2015学年度上学期质量检测（12月）高二数学试题一、填空题（每小题5分，共70分）1.命题“若，则”的否命题．．．为 ． 2.“”是“”成立的 条件． （从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）3.在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ．4．曲线在处的切线方程为 ．5．已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积为 ．6．双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，一条渐近线方程为，则双曲线方程为 ．7．设是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：①若，则；②若，则；③若βαβα⊥⊥则,,//a a ；④若，则,其中正确的命题序号是 ．8．函数的单调递减区间为 ．9．在一个直径为16cm 的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高了4cm ，则球的半径是 cm ．10．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ．11.设命题关于的方程034232=+++m mx x 有两个不等实根，命题方程表示双曲线，若“或”为真命题，“且”为假命题，则实数的取值范围是 ．12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++-->的解集为 ．13. 已知曲线：，直线：，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点，是坐标原点.若的面积为，则的面积为 ．14．已知椭圆E ：，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 ．二、解答题(15、16每题14分，17、18每题15分，19、20每题16分，共90分)15.设命题实数满足，其中，命题实数满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x ． (1)若，且为真，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面是等边三角形，侧面是以为斜边的直角三角形，为的中点，为的中点．（1）求证： //平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．17. 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数的值．(参考数据：，18.已知函数x x m x f 9)3()(3+-=．（1）若函数在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求的取值范围；（2）若函数在区间上的最大值为4，求的值．19．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点．⑴求直线的方程；⑵求的值；⑶设为常数．过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，分别交圆于点，记和的面积分别为，，求的最大值．（第19题图）20.已知函数图像上一点处的切线方程为．(1)求的值；(2)若方程在区间内有两个不等实根，求的取值范围；(3)令)()()(R k kx x f x g ∈-=，如果的图像与轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <两点，的中点为，求证：.参考答案1.若，则2.必要不充分3.44.5.726. 7.③④ 8. 9. 10. 11.12. 13.4 14.415. (1)由得又，所以当时，，即为真时，实数的范围是，由⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x 得，即为真时，实数的范围是， 若为真，则真且真，所以实数的范围是（2）或，或，由是的充分不必要条件，有，得．16.(1)取SA 中点N 连MN ，易证四边形CENM 为平行四边形，，又面SAE,面SAE ，面SAE ．（2）侧面SCD 是直角三角形，为直角，E 为CD 中点，222,5,2AE SE SA AE AB SA =+∴=== ，，同理⊂=⋂SB SA S SB SA ,,面SAB ，面SAB ．（3）63144331212121=⋅⋅⋅⋅===---SAB E AEB S AED S V V V ． 17. (1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①，当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③.但当x =3时,y =2920<32,即y x 2不恒成立,不满足条件②, 故该函数模型不符合该单位报销方案(2)对于函数模型y =x x +a ，设f (x )= x x +a ，则f ´(x 2x =x －2x所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得xx +a x 2，即a x x 2在x ，10]上恒成立， 令g (x )=2ln x x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x 2x，由g ´(x )>0得x <4， g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数a g由条件③，得f (a ，解得a 另一方面，由x x +a x ，得a x 在x，10]上恒成立a综上所述，a 的取值范围为，2ln2]，所以满足条件的整数a 的值为1.18.（1）因为 (0)＝9 > 0，所以f (x)在区间上只能是单调增函数．由 (x)＝3(m －3)x 2 + 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m≥3．故m 的取值范围是［3，+∞) ．（2）当m≥3时，f (x)在［1，2］上是增函数，所以[f (x)] max ＝f (2)＝8(m －3)＋18＝4,解得m ＝54<3，不合题意，舍去． 当m ＜3时， (x)＝3(m －3) x 2 + 9=0，得．所以f (x)的单调区间为：单调减，单调增，单调减．①当，即时，([12]⊆，，所以f (x)在区间［1，2］上单调增，[f (x)] max ＝f(2)＝8(m －3)＋18＝4，m ＝54，不满足题设要求． ②当，即0＜m ＜时， [f (x)] max 32334336)33(=-⇒=-=-=m m m f 舍去． ③当，即m≤0时，则，所以f (x)在区间［1，2］上单调减，[f (x)] max ＝f (1)＝m + 6＝4，m ＝－2. 综上所述：m ＝－2．19.⑴连结，则，且，又，所以.所以，所以直线的方程为.⑵由⑴知，直线的方程为，的方程为，联立解得.因为，即，所以，，故椭圆的方程为.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得，所以1()3274()7a a PQ a QA a --==---． ⑶不妨设的方程为， 联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得， 所以；用代替上面的，得．同理可得，，．所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………15=， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为．20.解：(1), ,. ∴,且ln2462ln22a b -=-++.解得a ＝2,b ＝1. .(2),设()2()2ln h x f x m x x m =+=-+,则()222(1)2x h x x x x -'=-=,令,得x ＝1(x ＝－1舍去).当x ∈时, , h(x)是增函数；当x ∈时, , h(x)是减函数. 则方程在内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤解得.(3)()22ln g x x x kx =--,.假设结论成立, 则有21112222120002ln 0, 2ln 0, 2, 220. x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④,①－②,得221121222ln ()()0x x x k x x x ----=. ∴120122ln2x x k x x x =--.由④得,于是有12120ln 1x x x x x =-,∴121212ln 2x x x x x x =-+, 即11212222ln 1x x x x x x -=+.⑤ 令, (0＜t ＜1),则＞0.∴在0＜t ＜1上是增函数,有,∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴.。

2014-2015学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标是．2．（5分）经过点（﹣2，3）且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为．3．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为．4．（5分）已知无论k取任何实数，直线（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0必经过一定点，则该定点坐标为．5．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=．6．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．7．（5分）如果规定：“x=y，y=z，则x=z”叫做x，y，z关于等量关系具有传递性，那么空间三直线a，b，c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是．8．（5分）双曲线=1（m＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则m=．9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．（5分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）11．（5分）椭圆=1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的两个焦点且F1，F2到直线+=1的距离之和为b，则离心率e=．12．（5分）若点A，B在曲线x2﹣y2=2（x＞0）上，则•的最小值为．13．（5分）已知过点P（m，2）作直线l与圆O：x2+y2=1交于A，B两点，且A 为线段PB的中点，则m的取值范围为．14．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB倾斜角分别为α，β，则=．二、解答题：（本大题共6小题，计90分）15．（14分）已知直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0和l2：6x+2（2m﹣1）y=5．问m为何值时，有：（1）l1∥l2？（2）l1⊥l2？16．（14分）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面DCC1D1，求的值．18．（15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？19．（16分）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（﹣2，﹣）的椭圆的标准方程．（2）已知椭圆C的方程是+=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．20．（16分）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，﹣1），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：①G为△ABC的重心；②M到△ABC三点A，B，C的距离相等；③直线GM的倾斜角为．（1）求证：顶点C在定椭圆E上，并求椭圆E的方程；（2）设P，Q，R，N都在曲线E上，点，直线PQ与RN都过点F并且相互垂直，求四边形PRQN的面积S的最大值和最小值．2014-2015学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标是（2，0）．【解答】解：抛物线y2=8x，所以p=4，所以焦点（2，0），故答案为（2，0）．2．（5分）经过点（﹣2，3）且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为x﹣2y+8=0．【解答】解：设与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为x﹣2y+m=0，把点（﹣2，3）代入可得﹣2﹣6+m=0，∴m=8，故所求的直线的方程为x﹣2y+8=0，故答案为：x﹣2y+8=0．3．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为x2+y2﹣2x=0．【解答】解：∵抛物线y2=4x∴焦点（1，0）∴所求圆的圆心为（1，0）又∵所求圆过坐标原点∴所求圆的半径R=1∴所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1即x2﹣2x+y2=0…故答案为：x2﹣2x+y2=0．4．（5分）已知无论k取任何实数，直线（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0必经过一定点，则该定点坐标为（2，2）．【解答】解：直线（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0即x﹣2y+2+k（4x+3y ﹣14）=0，由解得，故直线（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0必经过一定点（2，2），故答案为（2，2）．5．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=0．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为=1，即=1，解得a=0，故答案为0．6．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：47．（5分）如果规定：“x=y，y=z，则x=z”叫做x，y，z关于等量关系具有传递性，那么空间三直线a，b，c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是平行．【解答】解：空间三直线a，b，c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是平行，即由平行公理知直线的平行具有传递性，故答案为：平行8．（5分）双曲线=1（m＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则m=．【解答】解：由双曲线=1（m＞0）可得渐近线方程为y=±x，∵双曲线=1（m＞0）的一条渐近线方程为y=2x，∴，∴m=．故答案为：；9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为3．【解答】解：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣=，离心率e=，再由椭圆的第二定义得=e=，∴点P到右准线的距离d=3，故答案为：3．10．（5分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（1）（2）（写出所有真命题的序号）【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．11．（5分）椭圆=1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的两个焦点且F1，F2到直线+=1的距离之和为b，则离心率e=．【解答】解：直线+=1可化为：bx+ay﹣ab=0，由椭圆=1（a＞b＞0）得，F1（﹣c，0），F2（c，0），∴F1，F2到直线+=1的距离之和为，化简得：a=b，∴e====．故答案为：．12．（5分）若点A，B在曲线x2﹣y2=2（x＞0）上，则•的最小值为2．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＞0，x2＞0，且x1x2≥2．•=x1x2+y1y2≥=≥==x1x2﹣|x1x2﹣2|=x1x2﹣（x1x2﹣2）=2．∴•的最小值为2．故答案为：2．13．（5分）已知过点P（m，2）作直线l与圆O：x2+y2=1交于A，B两点，且A 为线段PB的中点，则m的取值范围为．【解答】解：因为A是PB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴PA≤2，∴点P到原点距离小于等于3，∴m2+4≤9，∴﹣≤m≤，∴m的取值范围是[﹣，]．故答案为：．14．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB倾斜角分别为α，β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则tanα=，tan，∴tanαtanβ==∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，∴=∴a2=b2，∴，∴，=﹣，tanαtanβ=﹣，∴==．故答案为：二、解答题：（本大题共6小题，计90分）15．（14分）已知直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0和l2：6x+2（2m﹣1）y=5．问m为何值时，有：（1）l1∥l2？（2）l1⊥l2？【解答】解答：由（m+2）（2m﹣1）=6m+18得m=4或m=﹣；当m=4时，l1：6x+7y﹣5=0，l2：6x+7y=5，即l1与l2重合；当m=﹣；时，l1：﹣x+y﹣5=0，l2：6x﹣6y﹣5=0，即l1∥l2．∴当m=﹣时，l1∥l2．（2）由6（m+2）+（m+3）（2m﹣1）=0得m=﹣1或m=﹣；∴当m=﹣1或m=﹣时，l1⊥l2．16．（14分）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．【解答】解：（1）连结BD，AC交于O．∵ABCD是正方形，∴AO=OC，OC=AC连结EO，则EO是△PBD的中位线，可得EO∥PB∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA又∵ABCD是正方形，可得AD⊥CD，且PA∩AD=A∴CD⊥平面PAD∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面DCC1D1，求的值．【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，因为BA=BC，DA=DC，所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AA1；（2）解：点E为BC中点，即=1，下面给予证明：在三角形ABC中，因为AB=AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，又在四边形ABCD中，AB=BC=CA=，DA=DC=1，所以∠ACB=60°，∠ACD=30°，所以DC⊥BC，即平面ABCD中有，AE∥DC．因为DC⊂平面DCC1D1，AE⊄平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1．18．（15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解答】解：（1）设曲线方程为，由题意可知，．∴．∴曲线方程为．（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知得4y2﹣7y﹣36=0，y=4或（不合题意，舍去）．∴y=4．得x=6或x=﹣6（不合题意，舍去）．∴C点的坐标为（6，4），．答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为时，应向航天器发出变轨指令．19．（16分）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（﹣2，﹣）的椭圆的标准方程．（2）已知椭圆C的方程是+=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，∴a2=b2+4，即椭圆的方程为+=1．∵点（﹣2，﹣）在椭圆上，∴+=1．解得b2=4或b2=﹣2（舍）．由此得a2=8，即椭圆的标准方程为+=1．（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），y=kx+m，则有+=1．解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．∵△＞0，∴m2＜b2+a2k2，即﹣＜m＜．则x1+x2=﹣，y1+y2=kx1+m+kx2+m=，∴AB中点M的坐标为（﹣，）．∴线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上．（3）解：如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD 的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心．20．（16分）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，﹣1），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：①G为△ABC的重心；②M到△ABC三点A，B，C的距离相等；③直线GM的倾斜角为．（1）求证：顶点C在定椭圆E上，并求椭圆E的方程；（2）设P，Q，R，N都在曲线E上，点，直线PQ与RN都过点F并且相互垂直，求四边形PRQN的面积S的最大值和最小值．【解答】解：（1）设C（x，y），∵，∴G为△ABC的重心，∴，又∵M为△ABC的外心且M在x轴上，∴，由MA=MC得，整理得：．（2）恰为的右焦点，设PQ的斜率为k（k≠0），则PQ：，由，得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，∴=，∵RN⊥PQ，把k换成，得，∴==，∴，∴，当且仅当k=±1时，取等号，又当k不存在或者k=0时，S=2，综上：，∴．。

说明：全卷满分160分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案写到答题卷上）'()ln ,(1)_____.f x x x f ==1.若则(),()_____.x f x e x f x =-2.若则的单调递增区间是sin cos (,),3s t t s t t =+=3.质点的运动方程是分别表示位移、时间则时质点的速度是_____________.4.若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2, 则双曲线的离心率是 ．5．若关于y x ,的方程11122=-++ky k x 表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围为 ．6．若长、宽、高分别为3、4、5的长方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为 ．7.若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD 的距离为 ．8.设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 有公共的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，则21cos PF F ∠的值等于 ．9．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ，2=BC ，5=AC ，31=AA ，M 为线段1BB 上的一动点，则当1MC AM +最小时，△1AMC 的周长为 ．10．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个说法：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；11.设P 点是曲线31=y 曲线在P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ．12.若抛物线22x y =的顶点是抛物线上到点A(0，a)的距离最近的点，则a 的范围是．13.在棱长为4的正方体''''ABCD A B C D-中，E 、F 分别为棱'AA 、''D C 上的中点，点14.设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M ，0）的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于C ，若BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的面积之比BCFACFS S ∆∆= .江苏省邗江中学（集团）2013-2014学年度第一学期高二数学期中试卷答题卷一、填空题：（每小题5分，共70分）。

江苏省邗江中学高二数学上学期期中试题（新疆班，）新疆班高二数学期中试卷一．填空题：1. 集合 A {1，2，4 }， B{ 2，3，4，5 }，那么A ∩ B ． 2．〝1x >〞是 〝21x >〞的 条件。

〔填〝充沛不用要〞、〝必要不充沛〞、〝充要〞、〝既不充沛也不用要〞〕3.假定sin α＜0且tan α＞0，那么α是第 象限角。

4. 函数2()21x f x a =-+是奇函数()a R ∈．那么实数a 的值为 5.假定直线1y x b e=+ 是曲线y ln x 的一条切线，那么实数b 的值为 ．6.幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，那么1()4f 的值为 ．7. 函数)12(log )(21-=x x f 的定义域是 .8..假定函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，那么)(x f 的递减区间是9.函数[]2()42,1,4f x x x x =-+∈的值域为 . 10.命题p ：x 2－x ＜0，命题q ：2x 2－a x ＜0，假定p 是q 的充沛不用要条件，那么实数a 的取值范围 .11. 函数)(x f y =在其定义域R 上是增函数，且为奇函数，同时满足0)52()1(>-+-t f t f ，那么实数t 的取值范围为 . 12. ,24,81cos sin παπαα<<=那么sin α—cos α= 13. 函数220()10x x x f x x ⎧+<=⎨⎩，，，≥．假定函数y x m =+的图象与函数()y f x =的图象 有3个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是 ．14．事先210≤≤x ，21|2|3≤-x ax 恒成立，那么实数a 的取值范围是__________． 二．解答题：15．记函数2()lg(2)f x x x =--定义域为集合A ，()3||g x x =-的定义域为集合B .〔1〕求A B ；〔2〕假定{|40},C x x p C A =+<⊆，务实数p 的取值范围. 16. 设命题:p 实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0>a ，命题:q 实数x 满足2280x x +->(1)假定1=a ，且q p ∧为真，务实数x 的取值范围；(2)假定p 是q 的充沛不用要条件，务实数a 的取值范围．17. 设函数2()23(03)f x x x x =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ，当角α的终 边经过点(,1)P m n -时，求sin cos αα+的值。

2014-2015学年江苏省扬州市邗江区高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置1．（5分）已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝．2．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是．3．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是．4．（5分）已知复数z＝（2﹣i）2，则复数z的实部等于．5．（5分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的条件．6．（5分）将演绎推理：“y＝x在（0，+∞）上是减函数”恢复成完全的三段论，其中大前提是．7．（5分）设i为虚数单位，则1+i+i2+i3+…+i10＝．8．（5分）已知p：|x﹣4|≤6，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若q是p的充分而不必要条件，则m的最大值是．9．（5分）已知直线x﹣y+a＝0与圆x2+y2＝1交于A、B两点，且向量、满足，其中O为坐标原点，则实数a的值为10．（5分）复数z满足|z|＝|z+2+2i|，则|z﹣1+i|的最小值为．11．（5分）直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是．12．（5分）观察等式：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…由此归纳，可得到一般性的结论是．13．（5分）阅读程序框图设[x]表示取x的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为S，T，设z1＝S﹣Ti，z2＝1+i，z＝z1•z2，则|z|＝．14．（5分）对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f（x）＝x3﹣x2+3x﹣，根据这一发现，可求得f（）+f（）+…+f（）＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知命题p：方程x2+mx+1＝0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m ﹣2）x+1＝0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．16．（14分）已知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3＝0，x2+（a﹣1）x+a2＝0，x2+2ax ﹣2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．17．（15分）函数f（x）＝的定义域为A，B＝{x|（x﹣2a）（x﹣a﹣1）＜0}．（1）求集合A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．（15分）已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z，，z﹣z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；（3）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m﹣z|＝1求|m|的最值．19．（16分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：x+y﹣6＝0，A为直线l上一点．（1）若AM⊥l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠P AQ的大小；（2）若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），B（9，0），C，D 分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD．（1）若AC＝4，求直线CD的方程；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）．（3）当△OCD的外接圆面积为时，求△OCD的外接圆方程．2014-2015学年江苏省扬州市邗江区高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置1．（5分）已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝{1，2，4，6}．【解答】解：∵A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，∴A∪B＝{1，2，4，6}故答案为{1，2，4，6}2．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是∃x∈R，x2+1≤0．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故答案为：∃x∈R，x2+1≤0．3．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是三角形的内角中至少有两个钝角．【解答】解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故答案为：三角形的内角中至少有两个钝角．4．（5分）已知复数z＝（2﹣i）2，则复数z的实部等于3．【解答】解：∵z＝（2﹣i）2＝4﹣4i+（﹣1）＝3﹣4i，∴复数z的实部为3，故答案为：3．5．（5分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的充分性不必要条件．【解答】解：若a＝1，则两直线方程为x+2y﹣1＝0，和x+2y+4＝0，此时两直线平行，若两直线平行，则当a＝0时，两直线方程为2y﹣1＝0，和x+y+4＝0，此时两直线相交，不平行不满足条件．当a≠0时，若两直线方程平行，则满足，即a（a+1）＝2，即a2+a﹣2＝0，解得a＝1或a＝﹣2，此时满足条件，故“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．6．（5分）将演绎推理：“y＝x在（0，+∞）上是减函数”恢复成完全的三段论，其中大前提是若0＜a＜1，则y＝log a x在（0，+∞）上是减函数．【解答】解：“y＝log x在（0，+∞）上是增函数”写成三段论的形式，其中大前提是“若0＜a＜1，函数log a x在（0，+∞）是减函数”故答案为：若0＜a＜1，则y＝log a x在（0，+∞）上是减函数7．（5分）设i为虚数单位，则1+i+i2+i3+…+i10＝i．【解答】解：1+i+i2+i3+…+i10＝1+（i﹣1﹣i+1）+（i﹣1﹣i+1）+i﹣1＝1+i﹣1＝i，故答案为：i．8．（5分）已知p：|x﹣4|≤6，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若q是p的充分而不必要条件，则m的最大值是3．【解答】解：由p：|x﹣4|≤6，解得：﹣2≤x≤10，由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），解得：1﹣m≤x≤1+m，若q是p的充分而不必要条件，则，解得：m≤3，∴m的最大值是3，故答案为：3．9．（5分）已知直线x﹣y+a＝0与圆x2+y2＝1交于A、B两点，且向量、满足，其中O为坐标原点，则实数a的值为±1【解答】解：根据向量的平行四边形加法和减法法则可得平行四边形AOBC的对角线相等且邻边相等，即AOBC为正方形，则圆心（0，0）的直线x﹣y+a＝0的距离d＝＝cos45°＝，解得a＝±1故答案为：±110．（5分）复数z满足|z|＝|z+2+2i|，则|z﹣1+i|的最小值为．【解答】解：复数z满足|z|＝|z+2+2i|，∴复数z表示到原点O和A（﹣2，﹣2）距离相等的点，∴复数z表示的点在OA的垂直平分线x+y+2＝0上，|z﹣1+i|表示直线x+y+2＝0上的点到B（1，﹣1）的距离，故最小值为点B到直线x+y+2＝0的距离，由点到直线的距离公式可得最小值为d＝＝故答案为：11．（5分）直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是[﹣，0]．【解答】解：由圆的方程得：圆心（3，2），半径r＝2，∵圆心到直线y＝kx+3的距离d＝，|MN|≥2，∴2＝2≥2，变形得：4﹣≥3，即8k2+6k≤0，解得：﹣≤k≤0，则k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]12．（5分）观察等式：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…由此归纳，可得到一般性的结论是n+n+1+…+2n﹣1+…+3n﹣2＝（2n ﹣1）2（n∈N*）．【解答】解：由1＝12＝（2×1﹣1）2；2+3+4＝32＝（2×2﹣1）2；3+4+5+6+7＝52＝（2×3﹣1）2；4+5+6+7+8+9+10＝72＝（2×4﹣1）2；…由上边的式子，我们可以推断：n+n+1+…+2n﹣1+…+3n﹣2＝（2n﹣1）2（n∈N*）故答案为：n+n+1+…+2n﹣1+…+3n﹣2＝（2n﹣1）2（n∈N*）13．（5分）阅读程序框图设[x]表示取x的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为S，T，设z1＝S﹣Ti，z2＝1+i，z＝z1•z2，则|z|＝．【解答】解：当i＝1时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝3，b＝2，S＝3，T＝2，i＝2，当i＝2时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝5，b＝4，S＝8，T＝6，i＝3，当i＝3时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝7，b＝8，S＝15，T＝14，i＝4，当i＝4时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝9，b＝16，S＝24，T＝30，i＝5，当i＝5时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝11，b＝32，S＝35，T ＝62，i＝6，当i＝1时，不满足执行循环的条件，退出循环后S＝[]＝7，T＝[]＝12，故z1＝7﹣12i，z2＝1+i，∴z＝z1•z2＝19+5i，∴|z|＝＝，故答案为：14．（5分）对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f（x）＝x3﹣x2+3x﹣，根据这一发现，可求得f（）+f（）+…+f（）＝2015．【解答】解：依题意，得：f′（x）＝x2﹣x+3，∴f″（x）＝2x﹣1．由f″（x）＝0，即2x﹣1＝0．∴x＝，∴f（）＝1，∴f（x）＝x3﹣x2+3x﹣的对称中心为（，1）∴f（1﹣x）+f（x）＝2，∴f（）+f（）+…+f（）＝2015，故答案为：2015．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知命题p：方程x2+mx+1＝0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m ﹣2）x+1＝0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m＝﹣＝﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△＝16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．16．（14分）已知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3＝0，x2+（a﹣1）x+a2＝0，x2+2ax ﹣2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【解答】解：假设没有一个方程有实数根，则：16a2﹣4（3﹣4a）＜0（1）（a﹣1）2﹣4a2＜0（2）4a2+8a＜0（3）（5分）解之得：＜a＜﹣1（10分）故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥﹣1或a≤}．17．（15分）函数f（x）＝的定义域为A，B＝{x|（x﹣2a）（x﹣a﹣1）＜0}．（1）求集合A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）要使函数f（x）＝有意义，则，且x+1≠0，化为（x+1）（x﹣1）≥0，x≠﹣1，解得x＜﹣1或x≥1．∴函数f（x）的定义域为A＝[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）（2）当2a＝a+1，即a＝1时，B＝Φ，满足B⊆A；当2a＞a+1，即a＞1时，B＝（a+1，2a）．∵B⊆A，∴a+1≥1或2a≤﹣1，解得a＞1．当2a＜a+1，即a＜1时，B＝（2a，a+1）．∵B⊆A，∴2a≥1或a+1≤﹣1，解得或a≤﹣2．综上可得：满足条件的a的取值范围为或a≤﹣2．18．（15分）已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z，，z﹣z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；（3）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m﹣z|＝1求|m|的最值．【解答】解：（1）设Z＝x+yi（x，y∈R）由题意得Z2＝（x﹣y）2＝x2﹣y2+2xyi∴故（x﹣y）2＝0，∴x＝y将其代入（2）得2x2＝2，∴x＝±1故或故Z＝1+i或Z＝﹣1﹣i；（2）当Z＝1+i时，Z2＝2i，Z﹣Z2＝1﹣i所以A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1）∴当Z＝﹣1﹣i时，＝﹣2i，Z﹣Z2＝﹣1﹣3i，A（﹣1，﹣1），B（0，﹣2），C（﹣1，3）．（3）由题知，z＝1+i设m＝c+di，则m﹣z＝（c﹣1）+（d﹣1）i|m﹣z|＝1，∴（c﹣1）2+（d﹣1）2＝1则复数m在复平面内所对应的点为M的轨迹为（1，1）为圆心，1为半径的圆所以，19．（16分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：x+y﹣6＝0，A为直线l上一点．（1）若AM⊥l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠P AQ的大小；（2）若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题知AM⊥l，即AM为M点到直线l的距离，AM＝2，…2分在直角三角形APM中，AM＝2，PM＝2，∴AP＝2∴△APM是等腰直角三角形，…5分∴∠P AM＝45°，…6分同理得∠QAM＝45°∴∠P AQ＝90°…8分（2）由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠P AQ为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点M的距离为4．设A（x0，6﹣x0），则∵M（1，1），∴（x0﹣1）2+（5﹣x0）2＝16∴x0＝1或5∴点A的横坐标x0的取值范围是[1，5]…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），B（9，0），C，D 分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD．（1）若AC＝4，求直线CD的方程；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）．（3）当△OCD的外接圆面积为时，求△OCD的外接圆方程．【解答】解：（1）因为A（﹣3，4），所以OA＝5，又因为AC＝4，所以OC＝1，所以C（﹣，），…2分由BD＝4，得D（5，0），所以直线CD的斜率＝﹣，…4分所以直线CD的方程为y＝﹣（x﹣5），即x+7y﹣5＝0．…5分（2）设C（﹣3m，4m）（0＜m≤1），则OC＝5m．所以AC＝OA﹣OC＝5﹣5m，因为AC＝BD，所以OD＝OB﹣BD＝5m+4，所以D点的坐标为（5m+4，0）…6分又设△OCD的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则有…8分解之得D＝﹣（5m+4），F＝0，E＝﹣10m﹣3，所以△OCD的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣3y﹣5m（x+2y）＝0，令x2+y2﹣4x﹣3y＝0，则x+2y＝0，所以（舍）或所以△OCD的外接圆恒过定点为（2，﹣1）．…12分（3）由题知外接圆面积为时半径为…13分由（2）知圆心为（，），又过定点（2，﹣1），故圆的半径为r＝＝＝即5m2+4m﹣1＝0得m＝﹣1或m＝因为0＜m≤1所以m＝此时所求圆方程为x2+y2﹣5x﹣5y＝0…16分．。

2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）椭圆9x2+16y2=144的焦点坐标为．2．（5分）质点的运动方程为S=2t+1（位移单位：m，时间单位：s），则t=1时质点的速度为m/s．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为．4．（5分）如果函数y=f（x）的图象在点P（1，0）处的切线方程是y=﹣x+1，则f′（1）=．5．（5分）定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有个．6．（5分）方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是．7．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D 的体积为cm3．8．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同．则双曲线的方程为．9．（5分）用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：其中真命题的序号是．①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．10．（5分）若椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为．11．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为．12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．13．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=4PF2，则此双曲线离心率的最大值为．14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC 1|=2的点P的个数为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（15分）已知函数f（x）=x2+1，（1）求在区间[1，2]上f（x）的平均变化率；（2）求f（x）在x=1处的导数．16．（15分）如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M，N分别是AE，PA的中点．（1）求证：MN∥平面ABC；（2）求证：平面CMN⊥平面PAC．17．（15分）根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴，两准线间的距离为，焦距为2；（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为和，过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．18．（15分）如图，用一块长为2米，宽为1米的矩形木板，在教室的墙角处围出一个直三棱柱的储物角（使木板垂直于地面的两边与墙面贴紧），试问应怎样围才能使储物角的容积最大？并求出这个最大值．19．（15分）如图，圆O与离心率为的椭圆T：+=1（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．（1）求椭圆T与圆O的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求d12+d22的最大值；②若3•=4•，求l1与l2的方程．20．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，求直线l的方程；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1．若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）椭圆9x2+16y2=144的焦点坐标为（，0）．【解答】解：椭圆的方程9x2+16y2=144化为标准形式为：，∴a2=16，b2=9，∴c2=a2﹣b2=7，又该椭圆焦点在x轴，∴焦点坐标为：（，0）．故答案为：（，0）．2．（5分）质点的运动方程为S=2t+1（位移单位：m，时间单位：s），则t=1时质点的速度为2m/s．【解答】解：∵质点的运动方程为S=2t+1，∴s′=2，∴该质点在t=1秒的瞬时速度2；故答案为：2．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为45°．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠AD1AD=45°故答案为：45°4．（5分）如果函数y=f（x）的图象在点P（1，0）处的切线方程是y=﹣x+1，则f′（1）=﹣1．【解答】解：在点P处的斜率就是在该点处的导数，∴f′（1）=﹣1，故答案为：﹣1．5．（5分）定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有4个．【解答】解：如图所示：①过点P作平面α∥平面ABC．则△ABC的三个顶点到α的距离相等；②分别取线段AB、BC、CA的中点，则三个平面PFD、PDE、PEF皆满足题意．综上可知：满足题意的平面α共有4个．故答案为4．6．（5分）方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是k＞3．【解答】解：方程+=1表示椭圆，则，解可得k＞3，故答案]为k＞3．7．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D 的体积为6cm3．【解答】解：如图所示，连接AC，BD，相交于点O．∵AB=AD=3cm，∴矩形ABCD是正方形，AC=BD=3．∴AO⊥BD，又平面BB1D1D⊥平面ABCD，∴AO⊥平面BB1D1D．∴AO是四棱锥A﹣BB1D1D的高．∴四棱锥A﹣BB1D1D的体积V===6．故答案为：6．8．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同．则双曲线的方程为=1．【解答】解：由双曲线渐近线方程可知①因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②又c2=a2+b2③联立①②③，解得a2=4，b2=12，所以双曲线的方程为．故答案为．9．（5分）用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：其中真命题的序号是①④．①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．【解答】解：∵若a∥b，b∥c，∴由平行公理，知a∥c，故①正确；∵a⊥b，b⊥c，∴a与c平行、相交或异面，故②不正确；∵a∥γ，b∥γ，∴a与b平行、相交或异面，故③不正确；∵a⊥γ，b⊥γ，∴a∥b，故④正确．故答案为：①④．10．（5分）若椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为．【解答】解：∵，a2﹣b2=c2，=．故答案为：．11．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为．【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和．故答案为：．12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为9．【解答】解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，PD=a；OD=a；OP==．设棱长为a，则OD+PD=×a+a=a=2⇒a=3，V棱锥=×a2×a=9，故答案是913．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=4PF2，则此双曲线离心率的最大值为．【解答】解：∵点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，∴|PF2|=，．则，∴．故此双曲线离心率的最大值为．故答案为．14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为6．【解答】解：∵正方体的棱长为1∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD 上各有一点满足条件．故答案为：6．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（15分）已知函数f（x）=x2+1，（1）求在区间[1，2]上f（x）的平均变化率；（2）求f（x）在x=1处的导数．【解答】解：（1）∵f（x）=x2+1，∴f（1）=2，f（2）=5∴该函数在区间[1，2]上的平均变化率为=3，（2）∵f′（x）=2x，∴f′（1）=216．（15分）如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M，N分别是AE，PA的中点．（1）求证：MN∥平面ABC；（2）求证：平面CMN⊥平面PAC．【解答】证明：（1）∵M，N分别是AE、PA的中点，∴MN∥PE，∵PE∥CB，∴MN∥CB，∵MN不在平面ABC中，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC．（2）∵平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∵MN∥BC，∴MN⊥平面PAC∵MN⊂平面CMN，∴平面CMN⊥平面PAC．17．（15分）根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴，两准线间的距离为，焦距为2；（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为和，过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．【解答】解：（1）据题意解得a=3，c=，∴a2=9，b2=a2﹣c2=4∴椭圆的标准方程：（2）据题意得2a=+=，∴a=，又∵解得∴∴椭圆的标准方程：或18．（15分）如图，用一块长为2米，宽为1米的矩形木板，在教室的墙角处围出一个直三棱柱的储物角（使木板垂直于地面的两边与墙面贴紧），试问应怎样围才能使储物角的容积最大？并求出这个最大值．【解答】解：设木板与一面墙的夹角为θ，以木板宽1为三棱柱的高，则棱柱的底面积是：S=•2cosθ•2sinθ=sin2θ≤1，当θ=时等号成立；此时棱柱的体积V1=hS=1×1=1；若以木板的长2为三棱柱的高，则最大体积为V2=2×=，∴V1＞V2，∴应取底面为等腰三角形，且高为1时，围成的容积最大．19．（15分）如图，圆O与离心率为的椭圆T：+=1（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．（1）求椭圆T与圆O的方程；（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求d12+d22的最大值；②若3•=4•，求l1与l2的方程．【解答】解：（1）由题意知：，b=1．又a2=b2+c2，所以a2=c2+1，联立，解得a=2，c=所以椭圆C的方程为．圆O的方程x2+y2=1；（2）①设P（x0，y0）因为l1⊥l2，则，因为，所以=，因为﹣1≤y0≤1，所以当时，取得最大值为，此时点．②设l1的方程为y=kx+1，由，得：（k2+1）x2+2kx=0，由x A≠0，所以，代入y=kx+1得：．所以．由，得（4k2+1）x2+8kx=0，由x C≠0，所以，代入y=kx+1得：．所以．把A，C中的k置换成可得，所以，，由，得=，整理得：，即3k4﹣4k2﹣4=0，解得．所以l1的方程为，l2的方程为或l1的方程为，l2的方程为．20．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，求直线l的方程；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1．若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．【解答】解：（1）双曲线C1：2x2﹣y2=1左顶点A（﹣，0），渐近线方程为：y=±x．过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=x+1，所以，解得．所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=；（2）由题意，直线的斜率存在，∵过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，∴直线l与双曲线的渐近线平行，∵渐近线的斜率为±，∴直线l的方程为y﹣=（x+），即y=x+2+或y=﹣x﹣2+；（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），则直线OM的方程为y=x，由得，所以|ON|2=．同理|OM|2=，设O到直线MN的距离为d，因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以=+=3，即d=．综上，O到直线MN的距离是定值．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。