2018高中数学人教a版选修1-2创新应用课下能力提升(四) 含解析

1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.教学过程：一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.二、讲授新课：1. 教学例题：体重.（分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程 第三步：代值计算 ② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右.③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑. 回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑. （2）学习要领：①注意i y 、 i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即 222111()()()n n ni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数 22121()1()n i i i ni i y y R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.2. 教学例题：为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.（答案： 52211521()155110.8451000()i i i ii y y R y y ==-=-=-=-∑∑，221R =- 521521()18010.821000()i i i i i y y y y ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.教学过程：一、复习准备：1. 给出例3：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的回归方程.2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，而z 与x 间的关系线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =- ，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为 0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行.其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤.三、巩固练习：（1（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为0.69 1.112ˆy=e x +.）1.1回归分析的基本思想及其初步应用（四）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.教学过程：一、复习准备：1. 提问：在例3中，观察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数y 和温度x 间的关系，还可用其它函数模型来拟合吗？2. 讨论：能用二次函数模型234y c x c =+来拟合上述两个变量间的关系吗？（令2t x =，则34y c t c =+，此时y 与t 间的关系如下：直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线234y c x c =+来拟合y 与x 之间的关系. ）小结：也就是说，我们可以通过观察变换后的散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上，除了观察散点图以外，我们也可先求出函数模型，然后利用残差分析的方法来比较模型的好坏.二、讲授新课：1. 教学残差分析：① 残差：样本值与回归值的差叫残差，即 i ii e y y=-. ② 残差分析：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析.③ 残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横坐标，作出的图形称为残差图. 观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.2. 例3中的残差分析：计算两种模型下的残差一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673和15448.432，故选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型. （当然，还可用相关指数刻画回归效果）3. 小结：残差分析的步骤、作用三、巩固练习：练习：教材P13第1题1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.K的含义.教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量2教学过程：一、复习准备：回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步骤.二、讲授新课：1. 教学与列联表相关的概念：①分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.②列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一般. 如吸烟与患肺癌的列联表：称为222. 教学三维柱形图和二维条形图的概念：由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.（教师在课堂上用EXCEL软件演示三维柱形图和二维条形图，引导学生观察这两类图形的特征，并分析由图形得出的结论）3. 独立性检验的基本思想：①独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？）：列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体.第一步：提出假设检验问题H0：吸烟与患肺癌没有关系↔H1：吸烟与患肺癌有关系第二步：选择检验的指标22()K()()()()n ad bca b c d a c b d-=++++（它越小，原假设“H：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大.1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量2K的含义.教学过程：教学过程：一、复习准备：独立性检验的基本步骤、思想二、讲授新课：1. 教学例1：例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？①第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论；第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果；第三步：由学生计算出2K的值；第四步：解释结果的含义.②通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广.2. 教学例2：例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：由表中数据计算得到的观察值. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？（学生自练，教师总结）强调：①使得2( 3.841)0.05P K ≥≈成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这个前提不成立，上面的概率估计式就不一定正确；②结论有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义；③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算2K 的值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视.3. 小结：独立性检验的方法、原理、步骤 三、巩固练习： 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？2.1.1 合情推理（一）教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.教学重点：能利用归纳进行简单的推理.教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.教学过程：一、新课引入：1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221n n F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.二、讲授新课：1. 教学概念：① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.② 归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？(ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？(iii )观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）(iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定）2. 教学例题：① 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n na a n a +==+ ，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）② 思考：证得某命题在n ＝n 0时成立；又假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系） ③ 练习：已知(1)0,()(1)1,f af n bf n ==-= 2,0,0n a b ≥>>，推测()f n 的表达式.3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳.三、巩固练习：1. 练习：教材P 38 1、2题.2. 作业：教材P 44 习题A 组 1、2、3题.2.1.1合情推理（二）教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.教学过程：一、复习准备：1. 练习：已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯ 的通项公式是 . 3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.二、讲授新课：1. 教学概念：① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.② 类比练习：(i )圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？ (ii )平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？(iii )由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材P81 探究 填表）小结：平面→空间，圆→球，线→面.③ 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.2. 教学例题：思维：直角三角形中，090C ∠=，3条边的长度,,a b c ，2条直角边,a b 和1条斜边c ； →3个面两两垂直的四面体中，090PDF PDE EDF ∠=∠=∠=，4个面的面积123,,S S S 和S 3个“直角面”123,,S S S 和1个“斜面”S . → 拓展：三角形到四面体的类比. 3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.三、巩固练习：1. 练习：教材P 38 3题. 2. 探究：教材P 35 例5 3.作业：P 44 5、6题.2.1.2 演绎推理教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。

课下能力提升(九)
[学业水平达标练]
题组求曲边梯形的面积
．在求直线＝，＝，＝与曲线＝所围成的曲边梯形的面积时，把区间[]等分成个小区间，则第个小区间是( )
．对于由直线＝，＝和曲线＝所围成的曲边梯形，把区间等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
．求由直线＝，＝，＝和曲线＝(－)围成的图形的面积．
题组求变速直线运动的路程
．一物体沿直线运动，其速度()＝，这个物体在＝到＝这段时间内所走的路程为( ) .
．若做变速直线运动的物体()＝在≤≤内经过的路程为，求的值．
题组定积分的计算及性质
．下列等式不成立的是( )
．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )
(－)
(＋)(－)
．＝与＝的大小关系是( )
．＝．＝
．>．<
．已知＝，＝，＝，则(＋)＝.
．用定积分的几何意义计算下列定积分：
[能力提升综合练] ．若()＝，()＝－，则[()＋()]＝( )
．．－．－．
．若()为偶函数，且()＝，则等于( ) ．．．．
．定积分(－)等于( )
．－．．－．。

人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。

它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。

回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。

其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。

独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。

第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。

演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。

两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。

2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。

间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。

第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。

复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。

复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。

3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。

复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。

第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。

它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。

流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。

4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。

它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。

（人教A版）高中数学选修1-2（全册）课时同步练习汇总[课时作业][A组基础巩固]1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72 015的末两位数字为()A．01B．43C．07 D．49解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 015＝4×503＋3，所以72 015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.答案：B2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．答案：C3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( ) A ．a 1a 2a 3…a 9＝29 B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29 C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：等比数列中积――→类比等差数列中的和 ∴a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 答案：D4．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应4个图形：那么4个图表中，可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2)B ．(1)，(3)C ．(2)，(4)D ．(1)，(4)解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A 代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C 代表横线，字母D 代表小矩形，∴A *D 是(2)，A *C 是(4)． 答案：C5．n 个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2 015到2 017箭头的方向依次为( ) A ．↓→ B ．→↑ C ．↑→D ．→↓解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2015到2 017为→↓，故应选D. 答案：D6．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．解析：观察知第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴第7个三角形数为7×(7＋1)2＝28.答案：287．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶88．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 解析：根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知f n (x )的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n .答案：x(2n －1)x ＋2n9．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系， 给出正确结论．解析：由平面直角三角形类比空间三棱锥由边垂直――→类比侧面垂直．直角三角形的“直角边长、斜边长”类比“三棱锥的侧面积、底面积”，因此类比的结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两相互垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD ”．10．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解析：当n ＝1时，a 1＝1 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：a n ＝1n(n ＝1,2，…)． [B 组 能力提升]1．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝a ，a 2＝b ，设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 100＝－a ，S 100＝2b －a B ．a 100＝－b ，S 100＝2b －a C ． a 100＝－b ，S 100＝b －a D ．a 100＝－a ，S 100＝b －a解析：∵a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b . 且a 7＝a 6－a 5＝a ，a 8＝b ，…，∴数列{a n }具有周期性，周期为6，且S 6＝0 则a 100＝a 4＝－a ，S 100＝S 4＝2b －a . 答案：A2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等； ②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等； ③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等； ④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等． A ．①④ B ．①② C ．①③D ．③④解析：类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合． 答案：B3．已知x >0，由不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…我们可以得出推广结论：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.解析：由观察可得：x ＋a x n ＝n x xx n n n ++个式子＋axn ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n ·…x n ·a x n ＝(n ＋1)·n ＋1a n n ＝n ＋1，则a ＝n n . 答案：n n4．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17<210，7.5＋12.5<210，8＋2＋12－2<210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ，n 都成立的条件不等式________．解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m ，n 都成立的条件不等式是：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210.答案：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210 5．观察下列等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？ 并证明你的猜想．解析：由①②知，两角相差30°，运算结果为34，猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos (2α＋60°)2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋sin α⎝⎛⎭⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.6．已知椭圆具有以下性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．解析：类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标为(m ，n )、(x ，y )，则 N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上， ∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2. 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值).[课时作业] [A 组 基础巩固]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：函数f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确． 答案：C2．已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B ，∴a <b ，画线部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．三段论解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提． 答案：B3．“因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 答案：B4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由三角形的性质，推测四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出a n 的通项公式 解析：B 、C 、D 是合情推理，A 为演绎推理． 答案：A5．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( ) A ．类比推理 B ．归纳推理 C ．演绎推理D ．一次三段论解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式． 答案：C6．下面几种推理：①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°；②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人； ③由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式其中是演绎推理的是________．解析：①是三段论，②④是归纳推理，③是类比推理． 答案：①7．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 解析：①a ＝0时，有2<0，显然此不等式解集为∅.②a ≠0时需有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a 2－8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0≤a ≤2，所以0<a ≤2.综上可知实数a 的取值范围是[0,2]． 答案：[0,2]8．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.答案：log2x－2≥09．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥F A，求证：ED ＝AF.证明：同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以DF∥EA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥F A，且DF∥EA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提所以ED＝AF.结论10．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)<0.对任意正数a，b，若a<b，求证：af(b)<bf(a)．证明：构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．由题设条件知F (x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．若0<a<b，则F(a)>F(b)，即af(a)>bf(b)．又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，∴af(a)<bf(a)，且bf(b)>af(b)．所以bf(a)>af(b)．[B组能力提升]1．设a >0，b >0，a ＋b ≥2ab ，大前提 x ＋1x≥2x ·1x，小前提 所以x ＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．无错误解析：小前提中“x >0”条件不一定成立，不满足利用基本不等式的条件． 答案：B2．已知函数f (x )＝|sin x |的图象与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A ＝12sin2α，B ＝1＋α24α，则( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．A 与B 的大小不确定解析：作y ＝kx 及f (x )＝|sin x |的图象依题意，设y ＝kx 与y ＝f (x )相切于点M 设M (α，|sin α|)，α∈(π，32π)．由导数的几何意义，f ′(α)＝|sin α|α，则－cos α＝－sin αα,∴α＝tan α. 由A ＝12sin 2α＝sin 2α＋cos 2α4sin αcos α＝tan 2α＋14tan α∴A ＝1＋α24α＝B .答案：C3．由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是________．解析：写成三段论的形式：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变大前提 (a 2＋a ＋1)x >3，a 2＋a ＋1>0小前提 x >3a 2＋a ＋1结论 答案：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．4．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 016)＝________.解析：令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)① 令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x )②由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，即f (x －1)＝－f (x ＋2) ∴f (x )＝－f (x ＋3)， ∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)，∴f (x )＝f (x ＋6)，即f (x )周期为6， ∴f (2 016)＝f (6×336＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12,即f (2 016)＝12.答案：125．已知y ＝f (x )在(0，＋∞)上有意义，单调递增，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )， (1)求证：f (x 2)＝2f (x )． (2)求f (1)的值．(3)若f (x )＋f (x ＋3)≤2，求x 的取值范围． 证明：(1)∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，x 、y ∈(0，＋∞)． ∴f (x 2)＝f (x ·x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )． (2)令x ＝1，则f (1)＝2f (1)∴f (1)＝0. (3)∵f (x )＋f (x ＋3)＝f [x (x ＋3)]，且f (4)＝2. 又f (x )在(0，＋∞)上单调递增．所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋3>0，x (x ＋3)≤4，解得0<x ≤1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列{a n －n }是等比数列．(2)求数列{a n }的前n 项和S n .(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立． 证明：(1)∵a n ＋1＝4a n －3n ＋1 ∴a n ＋1－(n ＋1)＝4a n －4n ，n ∈N *. 又a 1－1＝1所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)可知，a n －n ＝4n －1，于是a n ＝4n －1＋n 故S n ＝4n －13＋n (n ＋1)2.(3)S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋(n ＋1)(n ＋2)2－4⎣⎡⎦⎤4n －13＋n (n ＋1)2. ＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)≤0，故S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *恒成立.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”中应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法 答案：B2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1bD ．－1b解析：f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a ＝－f (a )＝－b .答案：B3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ，则证明的依据应是( ) A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔(a －c )·(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0. 答案：C4．在不等边△ABC 中，a 为最大边，要想得到 A 为钝角的结论，对三边a ，b ，c 应满足的条件，判断正确的是( ) A ．a 2<b 2＋c 2 B ．a 2＝b 2＋c 2 C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：要想得到A 为钝角，只需cos A <0，因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以只需b 2＋c 2－a 2<0，即b 2＋c 2<a 2. 答案：C5．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 大小关系为( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a ≤b解析：a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x ，当x <0时，0<b <1. ∴a >b . 答案：A 6．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝________. 解析：∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－ 45， ∴tan x ＝－12，∴tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝－3.答案：－37．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 解析：a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b8．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．解析：∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0，∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≤9．设a ，b 大于0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立， 即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 故原不等式a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f (x ＋12)为偶函数．证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称． ∴f (x ＋1)＝f (－x ) ，则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称，∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b .则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a (x －12)2＋c －a4，∴f (x ＋12)＝ax 2＋c －a4为偶函数．[B 组 能力提升]1．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.答案：B2．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 答案：B3．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD (侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 解析：要证明A 1C ⊥B 1D 1， 只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C ， 因为CC 1⊥B 1D 1，只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1CC 1， 从而得B 1D 1⊥A 1C 1.答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)4．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________．解析：|x －a |<1⇔a －1<x <a ＋1，由题意知(12，32)⊆(a －1，a ＋1)，则有⎩⎨⎧a －1≤12a ＋1≥32(且等号不同时成立)，解得12≤a ≤32.答案：12≤a ≤325．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ① 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3. ③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac . ④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C . ⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．6．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.解析：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.(3)证明：当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1(n －1)n ＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．用反证法证明：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．” 答案：D2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12解析：假设a ，b ，c 中都小于12，则a ＋2b ＋c <12＋2×12＋12＝2，与a ＋2b ＋c ＝2矛盾∴a ，b ，c 中至少有一个不小于12.答案：D3．(1)已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，(2)已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1，以下结论正确的是( ) A ．(1)与(2)的假设都错误 B ．(1)与(2)的假设都正确 C ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 D ．(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p ＋q >2；(2)的假设正确． 答案：D4．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( )A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a都小于2则a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，①又a ，b ，c 大于0所以a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c ≥2.∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 至少有一个不小于2.答案：D5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至少有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°. 答案：B6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”． 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：显然①、②不能推出，③中a ＋b >2能推出“a ，b 中至少有一个大于1”否则a ≤1，且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾．④中取a ＝－2，b ＝0，推不出． 答案：③8．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设________．设全体质数为p 1，p 2，…，p n ，令p ＝p 1p 2…p n ＋1.显然，p 不含因数p 1，p 2，…，p n .故p 要么是质数，要么含有________的质因数．这表明，除质数p 1，p 2，…，p n 之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个． 解析：由反证法的步骤可得．答案：质数只有有限多个 除p 1，p 2，…，p n 之外9．用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行． 证明：由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行． 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立． 10．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解之得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立．故方程f (x )＝0没有负实根．[B 组 能力提升]1．已知直线a ，b 为异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线． 答案：C2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 解析：“a 、b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”． 答案：a ，b 不全为03．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n . 答案：04．已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14，证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为0<a <1,0<b <1，所以1－a >0.由基本不等式(1－a )＋b 2≥(1－a )b >12同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12以上三个不等式相加(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32. 这是不可能的．故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.5．设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n .证明数列{c n }不是等比数列． 证明：假设数列{c n }是等比数列，则 (a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得 2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1 ＝a n b n ⎝⎛⎭⎫p q ＋q p ， 即2＝p q ＋q p.②当p ，q 异号时，p q ＋qp <0，与②相矛盾；当p ，q 同号时，由于p ≠q ， 所以p q ＋qp >2，与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R)是周期函数． A ．①②③B ．③②①C．②③①D．②①③解析：显然②是大前提，①是小前提，③是结论．答案：D2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．答案：D3．下列推理过程属于演绎推理的为()A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32……得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．答案：D4．求证：3＋7<2 5.证明：因为3＋7和25都是正数，所以为了证明3＋7<25，只需证明(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，即21<5，只需证明21<25.因为21<25成立，所以不等式3＋7<25成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．答案：B5.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的位置对应的是()开始第1次第2次第3次A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，所以第2 012次互换座位后的结果与最初的位置相同，故小兔坐在第3号座位上．答案：C6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面的方程为()A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0解析：所求的平面方程为－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化简得x＋2y－z－2＝0.答案：A7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”，其反设正确的是() A．a，b至少有一个不为0B ．a ，b 至少有一个为0C ．a ，b 全不为0D ．a ，b 中只有一个为0解析：“a ，b 全为0”的反设应为“a ，b 不全为0”，即“a ，b 至少有一个不为0”． 答案：A8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2. 答案：C9．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152D.172解析：在等比数列{a n }中，q ＝2≠1， 设首项为a 1≠0，则S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15a 1，又a 2＝a 1q ＝2a 1， 故S 4a 2＝15a 12a 1＝152. 答案：C10．下列不等式中一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； B 项中sin x ＋1sin x≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)11．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证：∠BAP <∠CAP ，用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP 12.2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415……若 6＋a b＝6 a b(a ，b 均为实数)，猜想，a ＝________，b ＝________.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35. 答案：6 35 13．观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为____________．解析：观察等号左边可知，左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数也增加1，依次为1,2,3，…，n ，指数都是2，符号正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示；等号的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n (n ＋1)2，所以第n 个式子可为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)214. 已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝115．若定义在区间D 上的函数f (x )对于 D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：332三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解：由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.17．(12分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式． 解析：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x(22－1)x ＋22，f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x (23－1)x ＋23，…，由此归纳可得f n(x )＝x(2n －1)x ＋2n(x ＞0)． 18．(12分)设函数f (x )＝lg |x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＞f (b )． 证明：0＜ab ＜1. 证明：f (x )＝lg |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，(x ≥1)，－lg x ，(0＜x ＜1). ∵0＜a ＜b ，f (a )＞f (b )．∴a 、b 不能同时在区间[1，＋∞)上， 又由于0＜a ＜b ，故必有a ∈(0,1)． 若b ∈(0,1)，显然有0＜ab ＜1； 若b ∈(1，＋∞)，由f (a )－f (b )＞0， 有－lg a －lg b ＞0， ∴lg(ab )＜0，∴0＜ab ＜1.19．(12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c 成等差数列． (1)比较b a与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角． 解析：(1) b a< cb.证明如下： 要证b a< c b ，只需证b a <c b. ∵a ，b ，c >0，∴只需证b 2<ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥2 1ac，∴b 2≤ac . 又a ，b ，c 均不相等，∴b 2<ac . 故所得大小关系正确．(2)证明：解法一：假设角B 是钝角，则cos B <0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0，这与cos B <0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．解法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b >a ，b >c ，所以1a >1b >0，1c >1b >0，则1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．20．(13分)(2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)·(cos x ＋1)，其中α>0，记|f (x )|的最大值为A . (1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明|f ′(x )|≤2A .解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)解：当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)．故A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1. 令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1， 则A 是|g (t )|在[－1,1]上的最大值， g (－1)＝α，g (1)＝3α－2， 且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g ⎝⎛⎭⎫1－α4a ＝－(α－1)28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α>15.①当0<α≤15时，g (t )在(－1,1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|， 所以A ＝2－3α.②当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)>g ⎝⎛⎭⎫1－α4α.又⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α－|g (－1)|＝(1－α)(1＋7α)8α>0.所以A ＝⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1， 所以|f ′(x )|≤1＋α<2A .当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A . 所以|f ′(x )|≤2A .21．(14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.解析：(1)证明：当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，a 22＝4a 1＋5，又a n >0，∴a 2＝4a 1＋5.(2)当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，又a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差为2的等差数列． 又a 2，a 5，a 14成等比数列．∴a 25＝a 2·a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)知a 1＝1.又a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴a n ＝2n －1.(3)证明：1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，∴b ＝2. 答案：D2．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：直接法．∵a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴必有a ＝0，b ≠0，而ab ＝0时有a ＝0或b ＝0，∴由a ＝0， b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B3．已知复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为( )A ．1或－1B ．1C ．－1D ．0或－1解析：因为复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1.答案：C4．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12.答案：A5．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的为( ) A ．4 B ．－1 C ．4或－1D ．1或6解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 答案：B6．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3) i(x ∈R)，则x ＝________.解析：∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，。

2．1.2演绎推理教学设计整体设计教材分析《演绎推理》是高中数学中的基本思维过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识，是高考热点．演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法．本节内容相对比较抽象，教学中应紧密结合已学过的生活实例和数学实例，让学生了解演绎推理的含义，并在上一节学习的基础上，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，同时纠正推理过程中可能犯的典型错误，增强学生的好奇心，激发出潜在的创造力，使学生能正确应用合情推理和演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论．课时划分1课时．教学目标1．知识与技能目标了解演绎推理的含义，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，能正确地运用演绎推理，进行简单的推理．2．过程与方法目标了解和体会演绎推理在日常生活和学习中的应用，培养学生的逻辑推理能力，使学生学会观察，大胆猜想，敢于归纳、挖掘其中所包含的推理思路和思想；明确演绎推理的基本过程，提高学生的创新能力．3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，体验推理源于实践，又应用于实践的思想，激发学生学习的兴趣，培养学生勇于探索、创新的个性品质．重点难点重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理证明．难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学过程引入新课观察与思考：新学期开始了，班里换了新的老师，他们是林老师、王老师和吴老师，三位老师分别教语文、数学、英语．已知：每个老师只教一门课；林老师上课全用汉语；英语老师是一个学生的哥哥；吴老师是一位女教师，她比数学老师活泼．问：三位老师各上什么课？活动设计：让学生带着浓厚的兴趣，先独立思考，然后小组交流．引导分析：启发学生把自己的思考过程借助于下列表格展示出来，从而解决问题．注意与学生交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在其他学生的不断补充、纠正下，会趋于准确．活动结果：林老师——数学，王老师——英语，吴老师——语文．设计意图本着“兴趣是最好的老师”的原则，结合生活中具体的实例，激发学生学习的兴趣，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，体会演绎推理的现实意义．探究新知判断下列推理是合情推理吗？分析推理过程，明确它们的推理形式．(1)所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以，(2100＋1)不能被2整除．(3)三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．活动设计：学生口答，教师板书．学情预测：学生积极思考片刻，有学生举手回答且回答准确．活动结果：以上推理不是合情推理，它们的推理形式如下：(1)所有的金属都能导电，第一段铜是金属，第二段所以，铜能够导电．第三段(2)一切奇数都不能被2整除，第一段(2100＋1)是奇数，第二段所以，(2100＋1)不能被2整除．第三段(3)三角函数都是周期函数，第一段tanα是三角函数，第二段所以，tanα是周期函数．第三段提出问题：对于上面的三个推理，它们的推理形式有什么特点？活动设计：学生独立思考，并自由发言．学情预测：通过观察和分析，学生有足够的能力来解决上面所提问题．活动结果：上面的例子都有三段，是以一般的判断为前提，得出一些个别的、具体的判断：(1)所有的金属都能导电，大前提铜是金属，小前提所以，铜能够导电．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提所以，(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提tanα是三角函数，小前提所以，tanα是周期函数．结论教师：演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．1．演绎推理是由一般到特殊的推理；2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．设计意图通过对演绎推理概念的学习，体会以“三段论”模式来说明演绎推理的特点，从中概括出演绎推理的推理过程，对演绎推理是一般到特殊的推理有一个直观的认识，训练和培养学生的演绎推理能力．理解新知提出问题：在应用“三段论”进行推理的过程中，得到的推理结论一定正确吗？为什么？例如：(1)所有阔叶植物都是落叶的，葡萄树是阔叶植物，所以，葡萄树都是落叶的．(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形．(3)英雄难过美人关，我难过美人关，所以，我是英雄．活动设计：学生独立思考，先有学生自由发言，然后教师小结并形成新知．学情预测：学生们在积极思考，对(2)(3)两个小题的结论产生分歧，意见不统一．活动结果：(1)推理形式正确，前提正确，结论正确．(2)推理形式正确，大前提错误，结论错误．(3)推理形式错误(大、小前提没有连接起来)，结论错误．教师：通过上面的学习，学生们对演绎推理和“三段论”模式都有了更深的了解，其中特别注意：(1)三段论的基本格式M—P(M是P)(大前提)S—M(S是M)(小前提)S—P(S是P)(结论)(2)三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S 是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.(3)在演绎推理中，只有前提和推理形式都正确，结论才是正确的．设计意图通过所举的例子，教师可以了解学生对演绎推理和三段论模式的理解程度，明确概念的内涵和外延，加深理解，及时更正学生在认识推理中产生的错误和偏差．提出问题：合情推理与演绎推理有什么区别与联系？活动设计：学生独立思考，先由学生自由发言，然后教师小结并形成新知．活动结果：设计意图通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，有助于学生更清晰地理解和掌握这两种推理方法，并能灵活应用．运用新知例1如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．思路分析：根据三段论的推理过程进行证明．证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABC 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提 所以△ABD 是直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提 因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线，——小前提 所以DM ＝12AB.——结论同理EM ＝12AB.所以DM ＝EM.点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”．巩固练习由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是( )A ．正方形的对角线相等B ．平行四边形的对角线相等C ．正方形是平行四边形D ．其他 答案：A例2证明函数f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．思路分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间(a ，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增．小前提是f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内有f ′(x)>0，这是证明本例的关键． 证明：f ′(x)＝－2x ＋2，因为当x ∈(－∞，1)时，有1－x>0， 所以f ′(x)＝－2x ＋2＝2(1－x)>0，于是，根据“三段论”，可知f(x)＝－x 2＋2x 在(－∞，1)内是增函数．点评：通过对上述问题的证明，挖掘其中包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，并加深对演绎推理的认识．教师：许多学生能写出证明过程，但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此在表述证明过程时往往显得杂乱无章，通过这两个例子的教学，应当使这种状况得到改善．变练演编(1)已知a ，b ，m 均为正实数，且b<a ，求证：b a <b ＋ma ＋m.(2)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，则1＋ <1＋.思路分析：(1)中根据演绎推理的证明过程进行证明；(2)中不必证明，答案不唯一． 证明：(1)不等式两边乘以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b<a ，m>0，——小前提 所以mb<ma.——结论不等式两边加上同一个数，不等式仍成立，——大前提 mb<ma ，ab ＝ab ，——小前提所以ab ＋mb<ab ＋ma ，即b(a ＋m)<a(b ＋m)．——结论 不等式两边除以同一个正数，不等式仍成立，——大前提 b(a ＋m)<a(b ＋m)，a(a ＋m)>0，——小前提所以，b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m .——结论(2)c 1＋c <a ＋b 1＋a ＋b (答案不唯一，例如a1＋a <c ＋b 1＋c ＋b)． 点评：通过证明(1)中不等式成立，感知条件与结论的不唯一性，例如：已知a ，b ，m 均为正实数，若a<b ，求证：a b <a ＋mb ＋m.(2)中加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性．活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结论一一列举，并由学生予以评价．设计意图通过变练演编，使学生对演绎推理的认识不断加深，同时培养学生逻辑思维的严谨性． 达标检测1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线平面α，直线平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 答案：1.D 2.C 3.A课堂小结1．知识收获：(1)演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．方法收获：利用演绎推理判断进行证明的方法与步骤：①找出大前提；②找出小前提；③根据“三段论”推出结论．3．思维收获：培养和训练学生严谨缜密的逻辑思维．布置作业课本本节练习1、2、3.补充练习基础练习1．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论．2．下面说法正确的有()(1)演绎推理是由一般到特殊的推理；(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；(3)演绎推理的一般模式是“三段论”形式；(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．5和22可以比较大小B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．预测股票走势图4．已知△ABC，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论5．用演绎推理法证明y＝x是增函数时的大前提是______．答案：1.解：二次函数的图象是一条抛物线(大前提)，函数y＝x2＋x＋1是二次函数(小前提)，所以，函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线(结论)．2．C 3.A 4.B 5.增函数的定义拓展练习6．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.证明：如图，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.∵AB⊂平面SAB，∴AB⊥BC.设计说明由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学方式会使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是上好本节课的关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去总结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．学生对于演绎推理和三段论的理解，需要经过一定时间的体会，先给出学生常见问题的解决步骤，结合以前所学的知识来解决问题，在教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析问题．引导学生从日常生活中的推理问题出发，激发学生的学习兴趣，结合学生熟知的旧知识归纳新知识，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使学生的认知结构更趋于合理．备课资料例1小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论．小王说：“我肯定考上重点大学．”小刘说：“重点大学我是考不上了．”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题．”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反．可见() A．小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学B．小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学C．小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学D．小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上解析：根据推理知识得出结论．答案：C例2已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m∥β，给出下列四个命题：(1)若α∥β，则l⊥m；(2)若l⊥m，则α∥β；(3)若α⊥β，则l∥m；(4)若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：根据演绎推理的定义，逐一判断结论的正误．由直线和平面、平面和平面平行和垂直的判定定理、性质定理，可知应选B.答案：B点评：以准确、完整地理解条件为基础，才能判断命题的正误．例3函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．解析：根据函数的性质进行判断．∵函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，∴0＜x＋2＜2，即－2＜x＜0.∴函数y＝f(x＋2)在(－2,0)上是增函数．又∵函数y＝f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x＋2)在(0,2)上是减函数．由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)．故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)．答案：f(2.5)>f(1)>f(3.5)点评：根据函数的基本性质，结合三段论的推理模式可得．例4已知lg2＝m，计算lg0.8.分析：利用所学的推理知识解决问题．解：lga n＝nlga(a>0)，——大前提lg8＝lg23，——小前提lg8＝3lg2.——结论lg ab＝lga－lgb(a>0，b>0)，——大前提lg0.8＝lg 810，——小前提所以lg0.8＝lg8－1＝3lg2－1＝3m－1.——结论点评：找出三段论的大前提与小前提即可得到答案．设计者：李效三2018年5月22日星期二。

课下能力提升(九)[学业水平达标练]题组1求曲边梯形的面积1．在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积时，把区间[0,2] 等分成n个小区间，则第i个小区间是()i－1 i i i＋1A.[ n]B.[，n]，n n2i－12i2i2i＋1C.[D.，n]n] [ ，n n2．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()1 1A. B.9 251 1C. D.27 303．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积．题组2求变速直线运动的路程4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为()1 1 3A. B. C. 1 D.3 2 25．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，求a的值．题组3定积分的计算及性质6．下列等式不成立的是()17．图中阴影部分的面积用定积分表示为()1 1A.∫02x d xB.∫(2x－1)d x1 1C.∫0(2x＋1)d xD.∫(1－2x)d x1 18．S1＝∫0x d x与S2＝∫x2d x的大小关系是()A．S1＝S2 B．S21＝S2C．S1>S2 D．S1<S21 21 72 29．已知∫x2d x＝3，∫x2d x＝3，∫01d x＝2，则∫(x2＋1)d x＝________.0 1 010．用定积分的几何意义计算下列定积分：[能力提升综合练]b b b1．若∫a f(x)d x＝1，∫a g(x)d x＝－3，则∫[2f(x)＋g(x)]d x＝()a2A．2 B．－3 C．－1 D．462．若f(x)为偶函数，且∫f(x)d x＝8，则等于()A．0 B．4 C．8 D．1633．定积分∫(－3)d x等于()1A．－6 B．6 C．－3 D．36．用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)y＝|sin x|，y＝0，x＝2，x＝5；答案题组1求曲边梯形的面积21．解析：选C将区间[0,2]等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区n2i－12i间为[ n ].，n1 12 22．解析：选A将区间[0,1]三等分为[0，3 ]，[ 3 ]，[，1 ]，各小矩形的面积和为，3 31 1 12 1 9 1S＝03·3＋( 3·3＋(3 )3·＝＝.3 )3 81 93．解：(1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0,1] 等分成n个小区间：1 12 n－1[0，n][n] [ ，1]，，，…，，n n3i －1 i记第 i 个区间为[n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为 ，ni i －1 1 Δx ＝ － ＝ . n n n把每个小曲边梯形的面积记为 ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替根据题意可得第 i 个小曲边梯形的面积i －1 ΔS i ＝|f ( n )·Δx|i －1 i －11＝|[－1)]·n |·( nni －1 i －1＝·(i ＝1,2，…，n )．n 2(1－ n )(3)求和把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这 n 个小矩形的面积的和ni －1∑i ＝1|f ( n )·Δx |S n ＝ni －1i －1∑＝·n 2(1－ n )i ＝111＝6·(1－n 2)，11 从而得到所求图形面积的近似值 S ≈ · . 6 (1－n 2)(4)取极限1即直线 x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线 y ＝x (x －1)围成的图形的面积为 .6题组 2 求变速直线运动的路程14．解析：选 B 曲线 v (t )＝t 与直线 t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积 S ＝ 即为这段2时间内物体所走的路程．a i－1ai5．解：将区间[0，a]n等分，记第i个区间为，(i＝1,2，…，n)，此区间n na长为，nnai a ai a a3∑用小矩形面积(n)2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则i＝1 (n)2·＝·(12n n n3 a3 1 1＋22＋…＋n2)＝3(1＋n)(1＋2n)近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成4的曲边梯形的面积．a 3∴ ＝9，解得 a ＝3. 3题组 3 定积分的计算及性质6．解析：选 C 利用定积分的性质可判断 A ，B ，D 成立，C 不成立．222222例如∫0x d x ＝2，∫02d x ＝4，∫02xd x ＝4，但 ∫02xd x ≠∫0xd x ·∫2d x .1117．解析：选 B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为∫2x d x －∫01d x ＝∫(2x－1)d x.1 18．解 析：选 C∫0x d x 表示由直线 x ＝0，x ＝1，y ＝x 及 x 轴所围成的图形的面积，而 ∫x 2d x表示的是由曲线 y ＝x 2与直线 x ＝0，x ＝1及 x 轴所围成的图形的面积，因为在 x∈[0,1]内直 线 y ＝x 在曲线 y ＝x 2的上方，所以 S 1>S 2.9．解析：由定积分的性质可知2∫(x 2＋1)d x22＝∫0x 2d x ＋∫1d x12＝∫0x 2d x ＋∫x 2d x ＋211 7 14 ＝ ＋ ＋2＝ . 3 3 314 答案： 3 10．5× 52 25而 S ＝ ＝ ， 24(2)令 y ＝ 4－x 2＋2，则 y ＝ 4－x 2＋2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆，5[能力提升综合练]b b b1．解析：选C∫a [2f(x)＋g(x)]d x＝2∫a f(x)d x＋∫g(x)d x＝2×1－3＝－1.a2．解析：选D∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．3．解析：选A3∵∫3d x表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，13 3∴∫1 (－3)d x＝－∫3d x＝－6.14.又y＝sin x与y＝2x都是奇函数，故所求定积分为0.答案：05.解析：由y＝4－x2可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．等于圆心角为60°的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和．1 π 1 π2πS弓形＝××22－×2×2sin＝－.32 3 2 3 3S矩形＝AB·BC＝2 3.2π3答案：＋36．解：(1)曲线所围成的平面区域如图所示．6设此面积为S，(2)曲线所围成的平面区域如图所示．7.解：如图，7。

课题：合情推理---类比推理（第一课时）教材：普通高中课程标准实验教科书人教社A版选修1-2【教学目标】：1.知识与能力：掌握类比推理的基本方法与步骤，会对一些简单问题进行类比，得出新的结论，并把它们用于对问题的发现与解决中去，培养类比推理能力。

2.过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3.情感态度与价值观：(1).正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

(2).认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

【教学重点、难点】：重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

难点：用类比进行推理，做出猜想。

【教学方法与手段】教学方法：启发探究式教学手段：多媒体课件【教学过程】B类事物具有性质：a’,b’,c’,(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）所以B类事物可能具有性质d’.理解定义。

应用举例例：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．∠C＝90°∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°三条边的长度a，b，c四个面的面积S1,,S2,S3和S两条直角边a，b和一条斜边c三个“直角面”S1,,S2,S3和一个“斜面”S,+C2=a2+b2S2= S12+S22+S32变式训练1. 若三角形内切圆半径为r，三边长为cba,,，则三角形的面积)(21cbarS++=，根据类比思想，若空间四面体内切球半径为R，四个面的面积为4321,,,SSSS，则四面体的体积V为讲例题前，先引导学生从构成几何体的元素数目来看，平面几何中的三角形可以类比立体几何中的四面体。

而直角三角形中的线线垂直应该类比四面体中的面面垂直；于是选择三个面面两两垂直的四面体进行类比。

[课时作业][A组基础巩固]1．如图是用函数拟合解决实际问题的流程图，则矩形框中应填入()A．整理数据、求函数表达式B．画散点图、进行模型修改C．画散点图、求函数表达式D．整理数据、进行模型修改解析：由函数实际应用，根据样本数据，画散点图，选择函数模型，求解函数解析式，检验．最终根据模型回答实际问题，C正确．答案：C2.(2016·高考全国Ⅲ卷)执行右面的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝()A．3B．4C．5 D．6解析：程序运行如下：开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.故选B.答案：B3．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为()A．0.2,0.2 B．0.2,0.8C．0.8,0.2 D．0.8,0.8解析：由程序框图可知：当a＝－1.2时，∵a<0，∴a＝－1.2＋1＝－0.2，a<0，a＝－0. 2＋1＝0.8，a>0.∵0.8<1，输出a＝0.8.当a＝1.2时，∵a≥1，∴a＝1.2－1＝0.2.∵0.2<1，输出a＝0.2.答案：C4．某工程的工序流程图如图所示，则该工程的总工时为()A．9天B．8天C．7天D．6天解析：因为各个不同工序中用时最多的是①→②→④→⑥→⑦即9天，故选A. 答案：A5．执行程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________.解析：输入n＝3，则i＝0≤3成立，故进入循环，此时i＝0＋1＝1，S＝0＋1＝1，T＝0＋1＝1.由于i＝1≤3成立，再次进入循环，此时i＝1＋1＝2，S＝1＋2＝3，T＝1＋3＝4.由于i＝2≤3成立，再次进入循环；此时i＝2＋1＝3，S＝3＋3＝6，T＝4＋6＝10.由于i＝3≤3成立，再次进入循环，此时i＝3＋1＝4，S＝6＋4＝10，T＝10＋10＝20.由于i＝4≤3不成立，从而退出循环，输出T＝20.答案：206．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为________．解析：当n＝1时，21>12；当n＝2时，22>22不成立，结束循环．因此输出n＝2.答案：27．某市质量技术监督局“质量认证审查流程图”如图所示，从图中可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有________处．解析：这是一个实际问题，观察流程图可知有3处判断框，即3处环节可能不被审查通过． 答案：38．某算法的程序框图如图所示，若输出12，则输入的实数x 的值为________．解析：由程序框图知：该算法是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤1，log 2x ，x >1的函数值，∴由y ＝12，得x ＝ 2.答案： 29．某高校大一新生入学注册，分为以下几步：①交录取通知书；②交费；③班级注册；④领书及宿舍钥匙；⑤办理伙食卡；⑥参加年级迎新大会．请用流程图表示新生入学注册的步骤． 解析：流程图如图所示：10．在华罗庚先生的《统筹方法平话》文中，有一个“喝茶问题”：假设洗水壶需要2 min，烧开水需要15 min，洗茶壶、杯需要3 min，取、放茶叶需要2 min，沏茶需要1 min，画出最快能喝到茶的流程图，并求出最快能喝到茶的时间．解析：这些工作，有些没有先后顺序，可以同时进行，有些有先后顺序，需要依次完成．最快能喝上茶的流程图如图所示：上述流程图需要时间18分钟．[B组能力提升]1．如图是求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的流程图，则空白处应填()A．x1＝x2?B．x1≠x2?C．y1＝y2?D．y1≠y2?解析：根据过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的定义知，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．答案：A2．当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．7 B．42C．210 D．840解析：程序框图的执行过程如下：当m＝7，n＝3时，k＝m＝7，S＝1.此时m－n＋1＝5<k，进入循环S＝7×1＝7，k＝6.当S＝7，k＝6时，5<6，进入循环，S＝6×7＝42，k＝5.当S＝42，k＝5时，5＝5，进入循环，S＝5×42＝210，k＝4.这时4<m－n＋1，退出循环，输出S＝210.答案：C3．(2016·高考全国Ⅱ卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝()A．7 B．12C．17 D．34解析：第一次运算：n ＝2，s ＝0×2＋2＝2，k ＝1； 第二次运算：n ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2； 第三次运算：n ＝2，s ＝6×2＋5＝17，k ＝3； 满足k >n ，输出s ＝17，故选C. 答案：C4．某环形道路上顺时针排列着4所中学：A 1，A 2，A 3，A 4，它们依次有彩电15台、8台、5台、12台，相邻中学间可借调彩电，为使各校的彩电数相同，调配出彩电的总台数最少为________．解析：调配后每所学校彩电台数为10台，最好的调配方案为： A 1――→5A 2――→3A 3――→2A 4 因此调配出彩电共3＋2＋5＝10台． 答案：10台5．在如图所示的程序框图中，当程序被执行后输出s 的结果是________．解析：依题意i 的取值构成等差数列，设为{a n }，a 1＝1，d ＝2， 则s ＝a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 21＝(a 2＋a 21)×202＝440.答案：4406．某市环境保护局信访工作流程如下：(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办．(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报． 据上画出该局信访工作流程图． 解析：流程图如图所示【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

第四章检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在下面的图示中,是结构图的是()A表示流程图;选项C表示频率分布直方图;选项D表示从F到E的路径图;选项B表示结构图.2.如图所示的知识结构图为()A.树形结构B.环形结构C.对称形结构D.左右形结构3.下列关于函数、函数的性质、函数的奇偶性、单调性、周期性的结构图正确的是()4.某自动化仪表公司的组织结构如图所示,其中采购部的直接领导是()A.副总经理(甲)B.副总经理(乙)C.总经理D.董事会,副总经理(乙)与采购部是直接从属关系.故选B.5.某人带着包裹进入超市购物的流程图如图所示,则在空白处应填()A.退换物品B.归还货车C.取回包裹D.参加抽奖,所以离开超市前需“取回包裹”.6.执行如图所示的程序框图.若输入的t∈[-2,2],则输出的S属于()A.[-6,-2]B.[-5,-1]C.[-4,5]D.[-3,6]t∈[-2,0)时,执行以下程序:t=2t2+1∈(1,9],S=t-3∈(-2,6];当t∈[0,2]时,执行S=t-3∈[-3,-1],因此S∈(-2,6]∪[-3,-1]=[-3,6].故选D.7.根据下面的程序框图可得结果为()A.19B.67C.51D.70s=1+4+7+10+…+19=70.故选D.8.阅读下边的程序框图,运行相应的程序.若输入x的值为1,则输出S的值为()A.64B.73C.512D.585,得x=1时,S=1;x=2时,S=9;x=4时,S=9+64=73,结束循环输出S的值为73,故选B.9.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s值等于()A.-3B.-10C.0D.-21,1<4,s=2×1-1=1;k=2,2<4,s=2×1-2=0;k=3,3<4,s=2×0-3=-3;k=4,直接输出s=-3.10.如图,小黑点表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量是()A.26B.24C.20D.19A→B有四条线路.单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.故选D.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.小明晚上放学回家要做如下事情:复习功课用30分钟,休息用30分钟,烧水用15分钟,做作业用25分钟,要完成这些事情,小明要花费的最少时间为分钟.,故最少时间为30+30+25=85分钟.12.如图为有关函数的结构图,由图我们可以知道基本初等函数包括.13.定义运算 ,s=a b的运算原理如图所示,则式子5 3+2 4=.5 3+2 4=5×(3-1)+4×(2-1)=10+4=14.14.执行如图所示的程序框图,若输入x=4,则输出y的值为.x=4时,y=1,此时|1-4|=3>1,所以x=1;当x=1时,y=−12,此时|-12-1|=32>1,所以x=−1 2 ;当x=−12时,y=−54,此时|-54+12|=34<1.故此时输出y=−54.5415.某工程由A,B,C,D四道工序组成,完成它们需用时间依次为2,5,x,4天,四道工序的先后顺序及相互关系是:A,B可以同时开工;A完成后,C可以开工;B,C完成后,D可以开工.若完成该工程共需9天,则完成工序C需要的时间最长为..∵总工期为9天,∴2+x≤5.∴x≤3.∴完成工序C的最长时间为3天.天三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)银行办理房屋抵押贷款手续如下:先按顺序进行房屋评估、银行审查、签订合同、办理保险产权过户,然后有三种选择:(1)若直接办理抵押贷款,则只进行抵押登记,然后发放贷款;(2)若采用全程担保方式,则直接发放贷款;(3)若采用阶段性担保方式,则先发放贷款,然后再办理抵押登记.试画出办理房屋抵押贷款手续的流程图.17.(8分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数),某班选举班长,具体方法是:筹备选举,由班主任提名候选人,同学投票(同意、不同意、弃权),验票统计.若有得票多者,则被选为班长;若票数相同,则由班主任决定谁当选.请用流程图表示该选举过程..解18.(9分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图.解19.(10分)A,B,C,D四位同学分别拿着5,3,4,2个暖瓶去打开水,热水龙头只有一个.怎么安排他们打水的顺序,才能使他们打完水所花的总时间(含排队、打水的时间)最少?假如打满一瓶水需1分钟,那么打水的总时间是多少分钟?A,B,C,D四人把自己手中的暖瓶打满水分别需要5分钟、3分钟、4分钟、2分钟.A 用时最长,D用时最短.对于A和D来说,如果先安排A打水用去5分钟,这样A用了5分钟,而D除了等A灌满水5分钟外再加上自己打水用2分钟,共需要7分钟,那么两个人总共用了5+5+2=12(分钟).反过来,如果将D安排在A前面,那么D打水用去2分钟,A等候2分钟,再加上自己打水用去5分钟,两人总共用了2+2+5=9(分钟).相比较,第二种方案用时少于第一种,由此可以得出这样的结论:把占用时间少的人安排在前面可以使等候的总时间最短.按占用时间由少到多的顺序安排四人为D,B,C,A.等候时间: 当D打水时,需耗用A,B,C,D四人时间,即2×4=8(分钟);当B打水时,需耗用A,B,C三人时间,即3×3=9(分钟);当C打水时,需耗用A,C两人时间,即4×2=8(分钟);当A打水时,需耗用5分钟.故总共用去8+9+8+5=30(分钟).综上,按D,B,C,A的顺序安排4人打水所花的总时间最少,最少为30分钟.20.(10分)对任意函数f(x),x∈D,可按如图所示,构造一个数列发生器,其工作原理如下:①输入数据x 0∈D ,经数列发生器输出x 1=f (x 0);②若x 1∉D ,则数列发生器结束工作;若x 1∈D ,将x 1反馈回输入端,再输出x 2=f (x 1),并依此规律进行下去.现定义f (x )=4x -2x+1. (1)若输入x 0=4965,则由数列发生器产生数列{xn},写出数列{xn}的所有项; (2)若要使数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据x 0的值.可按照f (x )的解析式先求出定义域D ,然后再代入x 0=4965,即可得数列{x n }的所有项;(2)中产生无穷常数列,则意味着x 0=f (x 0)成立.函数f (x )的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞),所以x 1=f (x 0)=f (4965)=4×4965-24965+1=1119,x 2=f (x 1)=f (1119)=4×1119-21119+1=15, x 3=f (x 2)=f (15)=4×15-215+1=−1,而x 3∉D ,所以数列{x n }只有3项x 1=1119,x2=15,x3=−1.(2)令f (x )=4x -2x+1=x,即x 2-3x+2=0,解得x=2或x=1. 故当x 0=2或x 0=1时,x n+1=4x n -2x n +1=xn,所以当输入的初始数据x 0=1时,得到常数列{x n }且x n =1; 当x 0=2时,得到常数列{x n },且x n =2.。