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课题：双曲线及其标准方程课时：02课型：新授课教学目标：1， 知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求双曲线的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．2.过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力3.情感、态度与价值观目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线。
4.能力目标（1）.培养想象与归纳能力，培养学生的辩证思维能力，培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（2）.数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．（3）.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．新课讲授过程（1）双曲线的定义〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=． 强调：a 的条件是什么；如果去掉绝对值还是双曲线了吗？（2）双曲线标准方程的推导过程提问：已知双曲线的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求双曲线标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．类比双曲线：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()222210,0y x a b b a-=>>． （3）例题讲解、引申与补充例1 已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与⊙C ：()2222x y ++=内切，且过点()2,0A ；② 与⊙1C ：()2211x y +-=和⊙2C ：()2214x y +-=都外切；③ 与⊙1C ：()2239x y ++=外切，且与⊙2C ：()2231x y -+=内切． 解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M 的半径为．① ∵⊙C 与⊙M 内切，点在⊙C 外，∴MC r =-，MA r =，因此有MA MC -=，∴点M 的轨迹是以C 、为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是(222217y x x -=≤； ②∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 均外切，∴11MC r =+，22MC r =+，因此有211MC MC -=，∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程是22434134x y y ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭；③ ∵M 与1C 外切，且M 与2C 内切，∴13MC r =+，21MC r =-，因此124MC MC -=，∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹方程是()221245x y x -=≥． 例2 已知，两地相距800m ，在地听到炮弹爆炸声比在地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s ．已知各观察点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关点均在同一平面内）．解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为轴、轴方向，建立直角坐标系，设、、C 分别是西、东、北观察点，则()1020,0A -，()1020,0B ，()0,1020C ．设(),P x y 为巨响发生点，∵、C 同时听到巨响，∴OP 所在直线为y x =-……①，又因点比点晚4s 听到巨响声，∴()43401360PB PA m -=⨯=．由双曲线定义知，680a =，1020c =，∴b =，∴点在双曲线方程为222216805340x y -=⨯()680x ≤-……②．联立①、②求出点坐标为(P -．即巨响在正西北方向处．探究：如图，设，的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49，求点M 的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？ 探究方法：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是49，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．练习：第54页1、2、3 课堂小结：作业：第60页1、2补充作业：1.【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x yE-=的左、右焦点分别为12,F F，点在双曲线上，且13PF=，则2PF等于（B ）A．11 B．9 C．5 D．32.【2015高考四川，理5】过双曲线2213yx-=的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则AB=（ D ）（D）。
2．3.1 双曲线及其标准方程[提出问题]问题1：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之和为12，动点P 的轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P 的轨迹还是椭圆吗？是什么？提示：不是，是双曲线． [导入新知]双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．[化解疑难]平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ，关键词“平面内”．当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹不存在．[提出问题]问题1：“知识点一”的问题2中，动点P 的轨迹方程是什么？ 提示：x 29－y 216＝1.问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(0,5)，F 2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P 的轨迹方程是什么？提示：y 29－x 216＝1.[导入新知]双曲线的标准方程[化解疑难]1．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x ，y 的平方差，并且分母大小关系不确定．2．a ，b ，c 三个量的关系：标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a ＞b ＞0，而双曲线中，a ，b 大小不确定．[例1] 已知方程k －5－|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(－2,2)∪(5，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k －5)(|k |－2)＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧k －5＞0，|k |－2＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5＜0，|k |－2＜0.解得k ＞5或－2＜k ＜2. [答案] B [类题通法]将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．[活学活用]若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 解析：选C 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k ＞1，∴k 2－1＞0，k ＋1＞0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．[例2] (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求双曲线的标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.[类题通法]1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或x 2b 2－y 2a2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解． [活学活用]根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.[例3] 设P 为双曲线x 2－12＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[解] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2， 且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S V 12PF F ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B [类题通法]在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．[活学活用]若把本题中的“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，求△PF 1F 2的面积． 解：由题意PF 1―→·PF 2―→＝0， 得PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2. 又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， |F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2) ＝4(1＋12)＝52， ∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52， ∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.5.双曲线的定义理解中的误区[典例] 已知定点A (－3,0)和定圆C ：(x －3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过定点A ，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设M (x ，y )，设动圆与圆C 的切点为B ，|BC |＝4.则|MC |＝|MB |＋|BC |，|MA |＝|MB |，所以|MC |＝|MA |＋|BC |， 即|MC |－|MA |＝|BC |＝4＜|AC |.所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x <0)，且a ＝2，c ＝3，所以b 2＝5.所以所求圆心M 的轨迹方程是x 24－y 25＝1(x ≤－2)．[易错防范]1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|PF 1|－|PF 2|＝±2a (0＜2a ＜|F 1F 2|)时，P 点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．[成功破障]求与⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙C 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切的动圆圆心M 的轨迹方程． 解：∵⊙M 与⊙C 1，⊙C 2都外切， ∴|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋2. 从而可知|MC 2|－|MC 1|＝1＜|C 1C 2|.因此，点M 的轨迹是以C 2，C 1为焦点的双曲线的上支，且有a ＝12，c ＝1，b 2＝c 2－a 2＝34.故所求的双曲线的方程为4y 2－4x 23＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ≥12.[随堂即时演练]1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.3．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：由题意知，(1＋k )(1－k )＞0，即－1＜k ＜1. 答案：(－1,1)4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：45．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. 解：(1)由题设知，a ＝3，c ＝4， 由c 2＝a 2＋b 2得，b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.[课时达标检测]一、选择题1．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选 C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24.2．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72 D ．5解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当点P 在点M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.4．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D.5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又∵c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.二、填空题6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：167．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝18．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1， 所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝1三、解答题9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2， 得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2， 故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1. 化简，得4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C . (1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ， ∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为 x 2－y 23＝1(x ＞1)．。
5．目标
检测1、巡视学生
作答情况。
2、公布答案。
3、评价学生
作答结果。
1、小考本上作
答。
2、同桌互批。
3、独立订正答
案。
检查学生
对本课所
学知识的
掌握情
况。
5分
钟
6
布置下节课自主学习任务
7.
板书
8.课后反思1记住抛物线的焦点弦的结论，整理当堂检测
2、抛物线过定点问题
抛物线的焦点弦性质例1 例2
方法小结
学生分类归纳能力有了明显提高，但计算能力和知识的综合运用能力
还需提升。
常见规律让学生多背多写，下课就能记住
让学生明确下节
课所学，有的放
矢进行自主学
习。
2分钟。
2．3 双曲线一、学习内容、要求及建议1．预习目标(1)通过本节的学习，能熟练利用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程；(2)掌握双曲线的简单的几何性质，如：范围、对称性、顶点(实轴、虚轴)、渐进线和离心率等；(3)能根据双曲线的几何性质确定双曲线方程；(4)了解双曲线在实际问题中的初步应用；(5)体会数形结合、分类讨论等思想方法．2．预习提纲(1)回顾2．2节椭圆的相关知识，回答下列问题：①椭圆的标准方程是如何建立的?②椭圆有哪些几何性质?(2)阅读课本第36－43页，回答下列问题：①平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(大于0小于F1F2)的点的轨迹叫做________，此时两定点叫做________，两定点间距离叫做________．若常数等于F1F2，则点的轨迹是__________．②焦点在x轴上的双曲线的标准方程为_________________，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为____________________，其中a，b，c的关系为________________；③双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)上的点中，横坐标x的范围是，纵坐标y的范围是；④双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)关于_________对称．它的对称中心叫做双曲线的__________；⑤双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)中，点A 1(－a ，0)、A 2(a ，0)叫做________，线段A 1A 2叫做双曲线的________，线段B 1B 2(B 1(0，－b )、B 2(0，b ))叫做双曲线的__________．直线__________叫做双曲线的____________．其中实轴和虚轴等长的双曲线叫做____________；⑥双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为___________，双曲线的________________，叫做双曲线的离心率．(3)课本第37页例1、例2是双曲线及其标准方程的基本题型，采用的方法是__________，若将例1条件中的“绝对值”去掉，所求方程为__________________?第38页例3是应用问题，思考部分同学们可以借助电脑等技术手段进行研究；第42页例1介绍了求双曲线基本量的方法，若将方程改为22143y x -=呢? 第33页例2要注意求双曲线的标准方程前，先要确定实轴所在的坐标轴． 3．典型例题(1)双曲线的标准方程①待定系数法：双曲线的标准方程有两种形式，其主要是由于坐标系的建立方式不同而引起的．因此在根据题设条件求双曲线的标准方程时应注意先确定焦点的位置即方程的形式，然后用待定系数法，通过解方程或方程组得解．例1 求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值是24；(2)a =A (－5，2)，且焦点在x 轴上；(3)过两定点(3，415)，(316，5)． 分析： 求双曲线的标准方程需先由条件确定焦点位置(若不确定则要讨论)，然后解方程或方程组得a 、b ．解：(1)由题意设双曲线的标准方程为：22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)∵ 2a =24，∴ a =12∵ 一个焦点F 1(0，－13)，∴ c =13，∴ b 2=c 2－a 2=25．故所求双曲线的标准方程为：22114425y x -=； (2)由题意设双曲线的标准方程为：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)∵ 双曲线经过点(－5，2)，∴ 222541a b-=．又a =52，∴ a 2=20，b 2=16，故所求双曲线的标准方程为：2212016x y -=； (3)若焦点在x 轴上，则设方程为：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)∵ 双曲线过两定点)5,316(,)415,3(， ∴ 222292251,1625251,9a b b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得：2112167a =-=-(舍去)． 若焦点在y 轴上，则设方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，∵ 双曲线过两定点)5,316(,)415,3(，∴ 222222591,16252561,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得：22916a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．故所求双曲线方程为：221916y x -=． 点评：判断焦点在哪一条坐标轴上，不是比较x 2、y 2的系数的大小，而是看x 2、y 2系数的正负号，焦点在系数为正的那条坐标轴上．简记为“焦点在轴看符号”．第(3)问也可以将方程设成mx 2+ny 2=1(mn ＜0)的形式．②定义法：由双曲线定义知：平面内动点与两定点距离差的绝对值是常数，且常数大于0小于两定点间距离的轨迹才是双曲线．要特别注意绝对值以及常数的范围．例2 在△MNG 中，已知NG =4，当动点M 满足条件sin G －sin N =21sin M 时，求动点M 的轨迹方程．分析：求轨迹方程时，若没有直角坐标系，应先建立适当的坐标系，然后将条件坐标化． 解：以NG 所在直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．∵ sin G －sinN =21sin M ，∴ 由正弦定理得：MN －MG =2．∴ 点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)∵ 2a =2，2c =4，∴ a =1，c =2，∴ b 2=c 2－a 2=3．∴ 动点M 的轨迹方程是2213y x -=(x ＞0且y ≠0)． 点评：双曲线的定义中，|PF 1－PF 2|=2a (0＜2a ＜2c )．若2a =0，则P 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线；若2a =2c ，则P 的轨迹是直线F 1F 2去掉F 1与F 2之间的部分．PF 1=PF 2=2a (0＜2a ＜2c )表示双曲线以F 2为焦点的一支，PF 1－PF 2=－2a (0＜2a ＜2c )表示双曲线以F 1为焦点的一支．例3 某人在以AB 为直径的半圆形区域内，要到P 点去，他只能从半圆形区域内先到A 点，再沿AP 到达P 点，或先到B 点，再沿BP 到达P 点，其中AP =100m ，BP =150m ，∠APB =600，问怎样走最近? 分析：本题是一道关于几何建模的应用题，关键是在区域内确定是先往A 还是先往B 的分界线．“最近”的数学语言是；到P 点距离最近．半圆内的点有三类：①沿AP 到P 近；②沿BP 到P 近；③沿BP 、AP 到P 等距．其中③类点集是第①类与第②类点集(分界线)． 解：设M 是分界线上一点，则：MA +AP =MB +BP即MA －MB =BP －AP =50故M 点在以A 、B 为焦点的双曲线的左支上在△APB 中，AP =100，BP =1500，∠APB =60o故：AB 2=17500以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线弧：226253750x y -=1(x ≥25)． 故当某人在分界线右侧时，沿BP 走最近；当某人在分界线左侧时，沿AP 走最近；当某人在分界线上时，沿AP 、BP 一样近．点评：解决实际应用问题，关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，用数学的观点和方法来处理．③利用定义求焦半径的长、曲线上一点与两焦点构成的三角形的周长、面积、角度等例4 设F 1、F 2为双曲线22144x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=900，求：(1)△F 1PF 2的周长；(2)△F 1PF 2的面积．分析：曲线上的点与两焦点构成的三角形的边长、面积等问题常利用曲线的定义．解：∵ 点P 在双曲线22144x y -=上 ∴ |PF 1－PF 2|=4 在△F 1PF 2中，F 1F 22=PF 12+PF 22－2PF 1·PF 2·cos∠F 1PF 2 ∵ ∠F 1PF 2=900，且F 1F 2=24∴ PF 12+PF 22=32解方程组122212||4,32PF PF PF PF -=⎧⎨+=⎩得：122,2,PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩或122,2.PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩(1)12121222F PF C PF PF F F ∆=++=+++=+(2)12121112)84222F PF S PF PF ∆=⋅==⨯= 故△F 1PF 2的周长为2434+，面积为4．点评：双曲线上一点与两焦点构成的三角形的问题，常利用正弦定理、余弦定理结合双曲线的定义来处理． (2)双曲线的几何性质①已知双曲线方程得几何性质：化标准式 例5 分别求下列双曲线的离心率与渐近线方程：(1)16x 2－9y 2=144；(2)3x 2－y 2=－3．分析：由双曲线的标准方程求描述双曲线几何性质的量时，常先化方程为标准式，并写出基本量a 、b 、c ，然后求得所需．解：(1)原方程化为：221916x y -= 则a =3，b =4，c =5，∴ 53c e a ==渐近线方程为：43y x =±(2)原方程化为：2213y x -=则a =b =1，c =2，∴ c e a ==渐近线方程为：y =点评：双曲线的离心率跟a 、c 有关，故只需化方程为标准式到离心率定义即可．由双曲线方程求渐近线方程时可以不将方程化标准式，只需将方程中的常数项换成0即得，如双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)，将方程中常数项1换成0即得渐近线方程为：22220x y a b-=，即b y x a =±．本题中只需分别将144和－3均换成0即得渐近线方程：43y x =±和y =．②已知双曲线的几何性质求标准方程：定型，定a 、b 例6 分别求下列双曲线的标准方程：(1)一个顶点是A (5，0)，离心率为56；(2)过点M (－5，3)，离心率e =(3)一个焦点是F (6，0)，一条渐近线为y =； (4)焦距是10，虚轴长为8． 分析：由条件求双曲线的标准方程常用待定系数法，用待定系数法时首先需由条件判定焦点所在轴，即方程的形式，若不能判断，则需要讨论焦点位置，其次是求a 、b ，求a 、b 时注意利用恒等式：c 2=a 2+b 2．解：(1)由题意焦点在x 轴上，故可设双曲线的标准方程为：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)则∵ 一个顶点A (5，0)，∴ a =5 ∵ 65e =，∴ c =6 又b 2=c 2－a 2，∴ b 2=11故双曲线的标准方程为：2212511x y -= (2)若焦点在x 轴上，设方程为：2222x y a b-(a ＞0，b ＞0)则∵ e =c =又b 2=c 2－a ，∴ b =a∵ 双曲线过点M (－5，3)，∴222591a b -= 解方程组得：a 2=b 2=16故双曲线的标准方程为：x 2－y 2=16若焦点在y 轴上，设方程为：22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)则同理有：b =a ，229251a b-=∴ a 2=b 2=－16(舍去)，∴ 双曲线的标准方程为：x 2－y 2=16(3)法一：由题意焦点在x 轴上，故设方程为：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)则由题设2226,,,c b c a b =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得：2212,24.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故双曲的标准方程为：2211224x y -=法二：∵ y =是一条渐近线0y ±=，∴ 设双曲线方程为：2x 2－y 2=λ(λ＞0) 即2212x y λλ-=∵ (6，0)是它的一个焦点， ∴3362λ=，即λ=24 故双曲线的标准方程为：2211224x y -= (4)若焦点在x 轴上，设方程为：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)由题意：2c =10，2b =8，∴ b =4，c =5又a 2=c 2－b 2，∴ a 2=9，∴ 双曲线的标准方程为：221916x y -= 若焦点在y 轴上，则同理有：a 2=9，b 2=16，即方程为：221916y x -= 故双曲线的标准方程为：221916x y -=或221916y x -= 点评：由题设条件求双曲线的标准方程时，若条件与焦点、顶点等有关，则方程形式确定；若条件与实轴长、虚轴长、焦距、离心率等有关，则方程形式不定，需分类讨论，但不是简单的交换．在题设条件中，若出现渐近线方程，则经常采用题(3)法二的处理方法来进行．一般地，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)渐近线相同的双曲线方程为：2222x y a b -=λ(λ≠0)．若λ＞0，则与已知双曲线焦点所在轴相同；若λ＜0，则与已知双曲线焦点所在轴不同．特别地λ=0时，则为双曲线的渐近线． (3)直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系问题常联立两曲线方程，消元转化为关于x 或y 的方程，利用判别式、韦达定理、点差等方法来处理．已知直线和双曲线相交，求弦的中点、弦长、范围等问题：联立方程，利用韦达定理、弦长及式结合判别式解决，若直线过焦点，则可利用定义；由已知条件求直线方程或双曲线方程：将条件转化为字母的方程或方程组，解方程或方程组即可．例7 直线y =ax +1与双曲线3x 2－y 2=1相交于A 、B 两点．(1)当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上?当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上?(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点．分析：将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理处理．解：由221,31y ax x y =+⎧⎨-=⎩得：(3－a 2)x 2－2ax －2=0(*) ∵ 直线与双曲线交于A 、B 两点∴ 22230,48(3)0,a a a ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩即：a <<a ≠设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则12223a x x a +=-，12223x x a =- (1)若A 、B位于双曲线的两支上，则220,3a a a ⎧<<≠⎪⎨<⎪-⎩∴ a << 若A 、B位于双曲线的同一支上，则220,3a a a ⎧<<≠⎪⎨>⎪-⎩∴ a <<a <<(2)∵ 以AB 为直径的圆过原点，∴ x 1x 2+y 1y 2=0又y 1=ax 1+1，y 2=ax 2+1，∴ (a 2+1)x 1x 2+a (x 1+x 2)+1=0 ∴ 21212(1)()10a x x a x x ++++=， ∴ 22222(1)1033aa a a a +⋅+⋅+=-- ∴ a 2=1，即：a=±1，满足3a a <<≠±故当a =±1时，以AB 为直径的圆过原点． 点评：直线与双曲线的交点个数问题，常通过联立方程将问题转化为方程的根的个数问题．若直线与双曲线有一个交点，则有两种可能情形：一是直线和双曲线相切；二是平行于渐近线．若直线与双曲线有两个交点，两点可能位于双曲线的同一支上，也可能位于双曲线的两支上，此时可利用方程的根的符号来解决．但却必须注意方程的最高次项系数可能为0的情形．例8 已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，过双曲线的右焦点且斜率为515的直线交双曲线于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ 且PQ =4，求双曲线方程．分析：设双曲线方程，将OP ⊥OQ 和PQ =4转化为变量的方程组，解方程组即可．解：设双曲线方程为：22221x y a b -=(a ，b ＞0)右焦点F (c ，0)．P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)则PQ：()5y x c =-由222222,)b x a y a b y x c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩得：(5b 2－3a 2)x 2+6a 2cx －3a 2c 2－5a 2b 2=0(*) 则：22222121222226(35),5353a c a c a b x x x x b a b a --++==--∵ OP ⊥OQ ，∴ x 1x 2+y 1y 2=0 ∵ y 1y 2=53(x 1－c )(x 2－c )，∴ 8x 1x 2－3c (x 1+x 2)+3c 2=0，∴ 8a 2b 2=3b 2c 2－3a 2c 2即：3b 4－8a 2b 2－3a 4=0，∴ (b 2－3a 2)(3b 2+a 2)=0，∴ b 2=3a 2∵ c 2=a 2+b 2，∴ c =2a ，∴ 方程(*)化为：4x 2+4ax －9a 2=0，且x 1+x 2=－a ，x 1x 2=49a 2∵ PQ =44= 即a 2=1，b 2=3，检验知：△＞0，故双曲线方程为：2213y x -=． 点评：解析几何问题处理的基本方法是代数化，在代数化过程中应注意处理条件的灵活性，本题若直接将“PQ =4”代数化，则计算较烦且容易出错．因此在处理直线与曲线位置关系时，一是选择恰当的方程形式，如本题中双曲线方程可设为mx 2－ny 2=1(m ＞0，n ＞0)，以简化方程；二是注意条件的灵活处理，本题先由“OP ⊥OQ ”得出a 、b 间关系，然后再利用“PQ =4”求a 、b ，大大简化了计算过程和计算量． 4． 自我检测(1)若动点P 到点F 1(－3，0)、F 2(3，0)的距离的差的绝对值为4，则动点P 的轨迹方程是_______．(2) 若动点P 到点F 1(0，－2)、F 2(0，2)的距离之差为2，则动点P 的轨迹方程是________ ．(3)双曲线22142x y k k +=+-k 的值为___________．(4)_________． (5)实轴长为6，一条渐近线方程是3x +2y =0的双曲线的标准方程为____________．三、课后巩固练习A 组16=，化简结果是____________________．2．在双曲线的标准方程中，已知a =6，b =8，则其方程是____________________．3．焦点分别是(0，－2)、(0，2)，且经过点P (－3，2)的双曲线的标准方程是_________________．4．已知F 1(10-，0)、F 2(10，0)，若PF 1－PF 2=6，则P 点的轨迹方程是______________；若PF 1－PF 2=102，则P 点的轨迹方程是____________________．5．双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是____________________． 6．双曲线2214x y k +=的焦点坐标为____________________．7．过点(1，1)且ba=的双曲线的标准方程为______________________． 8．若P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线221259x y -=上的一点，且PF 1=12，则PF 2=__________． 9．设P 是双曲线22149x y -=上一点，12F F 、分别是双曲线的两个焦点．若13PF =，则2PF 等于_____________．10．双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，过焦点F 1的弦AB 长为m ，另一焦点为F 2，则△ABF 2的周长为____________________．11．已知动点P 满足PA －PB =8，A (0，－5)、B (0，5)，则P 的轨迹方程为___________________．12．双曲线22154x y -=的实轴长为________，虚轴长为________，渐近线方程为_____________，离心率为________．13．双曲线22194y x -=的渐近线方程是____________________．14______________．15．双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率为____________________．16．离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它渐近线方程是____________________．17．中心在原点，一个顶点为A (－3，0)，离心率为34的双曲线方程是____________________． 18．以椭圆221169x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是____________________． 19．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为____________________．20．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y +12=0上的等轴双曲线方程是 ____________________．21．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点为F 1(13-，0)、F 2(13，0)，a +b =5； (2)焦点在y 轴上，焦距为8，且经过点M (22，－6)． 22．求符合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =，经过点A (－2，5)； (2)经过点M (2-，3-)、N (315，2)．23．求与双曲线221164x y -=有相同的焦点，且经过点的双曲线的标准方程． 24．双曲线C 1与椭圆C 2：2214936x y +=有公共的焦点，且双曲线C 1经过M (－4，372)，试求双曲线C 1的方程．25．求以椭圆22158x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程． 26．求焦点在坐标轴上，过点M (3，4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线的标准方程．27．与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线方程为________________．28．焦点为(0，6)且与双曲线2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程为_________． 29．求与双曲线22154x y -=有共同渐近线且焦距为12的双曲线的标准方程．30．已知双曲线的离心率为2，且经过点M (－2，3)，求双曲线的标准方程．B 组31．已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是____________________． 32．双曲线2kx 2－ky 2=1的一个焦点是F (0，4)，则k 的值为__________．33．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为m 的值为 ____________．34．已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=___________________．35．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| =____________________．36．设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点分别是12F F 、，P 是两个曲线的一个交点，则12cos F PF ∠的值为____________________．37．设F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且F 1F 2=18，过F 1的直线交双曲线的同一支于M 、N 两点，若MN =10，△MF 2N 的周长为48，则满足条件的双曲线的标准方程是_______________．38．过双曲线22221x y a b-=的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是左焦点，若0160PFQ ∠=，则双曲线的离心率为 ．39．设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ．40．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率是__________．41．双曲线2219x y -=上有动点P ，F 1、F 2是曲线的两个焦点，求△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程．42．求过点E (5，0)且与圆F ：(x+5)2+y 2=36外切的圆的圆心轨迹．43．与两定圆(x +5)2+y 2=49，(x －5)2+y 2=1都外切的动圆圆心的轨迹方程是_________________．44．过双曲线x 2－y 2=a 2的中心作直线l 与双曲线交于两点，则直线l 的倾斜角的范围 为____________________．45．直线17()32y x =-与双曲线2219x y -=的交点个数是_________． 46．过点(0，3)作直线l ，若l 与双曲线22143x y -=只有一个公共点，这样的直线共l 有____条．47．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为_________________．48．直线y =kx +2与双曲线x 2－y 2=6的右支交于两个不同的点，则实数k 的取值范围是____________________．49．双曲线22221x y a b-=的焦点为12F F 、，弦AB 过1F 且两端点在双曲线的一支上，若222AF BF AB +=，则AB =__________．50．直线l 过双曲线22221x y a b-=的右焦点，斜率k =2，若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是______________． 51．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 是C 上的任意点． (1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3，0)，求|PA |的最小值．52．如图，)0,3(F 1 -，)0,3(F 2 是双曲线C 的两焦点，直线34x =是双曲线C 的右准线，A 1, A 2双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于A 2的一动点，直线A 1P 、A 2P 交双曲线C 的右准线分别于M, N 两点．(1) 求双曲线C 的方程；(2) 求证: N F M F 21⋅是定值． 53．过P (8，1)的直线与双曲线x 2－4y 2=1相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线的方程．54．已知点(A B 0），动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值是2，点C 的轨迹与直线y =x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长． 55．求两条渐进线为x +2y =0和x －2y =0且截直线x －y －3=0的双曲线的标准方程．C 组 56．设F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若PF 12 PF 2的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是 ．57．如图，双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A 、2A ，虚轴两端点为1B 、2B ，两焦点为1F 、2F ．若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D ．则 (1)双曲线的离心率e =________；(2)菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =________． 58．已知曲线C ：x 2－y 2=1及直线l ：y =kx －1．(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．59．已知双曲线221:14x C y -=．(1)求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；(2)直线:l y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A B 、两点．当3OA OB =时，求实数m 的值．60．已知F 1、F 2是双曲线2221()4x y b N b*-=∈的两个焦点，双曲线上一点P 满足PF 1·PF 2= F 1F 22，且PF 2＜4，求双曲线的方程．61．直线l 过点（0，2），交双曲线1222=-y x 于21,P P 两点，且213AP A P =，求直线l 的方程．62．直线：ax －y －1=0与曲线：2221x y -=相交于P 、Q 两点．(1)当实数a 为何值时，PQ =(2)是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点?若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．四、自学心得“情侣”曲线－－椭圆与双曲线细心研究，数学奥秘无穷；深入探索，数学联系密切；深入研究椭圆与双曲线，发现它们之间有一组有趣的性质．性质1：若双曲线1C 的弦PQ 和实轴'AA 所在直线垂直，则直线'A P 与直线AQ 的交点的轨迹是以已知双曲线1C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆2C ．证明：不妨设已知双曲线1C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>则它的两个顶点为'(,0),(,0)A a A a -，因为'PQ AA ⊥，因此设1111(,),(,)P x y Q x y -，则直线'A P 的方程为11()y y x a x a =++ ① 直线AQ 的方程为11()y y x a x a-=-- ②①×②，得22221221()y y x a x a-=-- ③ 又点P 在双曲线上，所以2211221x y a b-=即2222112()b y x a a=- ④将④代入③，消去11,x y ，整理得22221x y a b+=．即是所求椭圆2C 的方程，结论成立．性质2：若椭圆2C 的弦PQ 和长轴'AA 垂直，则直线'A P 与直线AQ 的交点的轨迹是以已知椭圆2C 的长轴为实轴，短轴为虚轴的双曲线1C ．证明与性质1类似，请同学们自己给出证明．由此可见，椭圆与双曲线相伴，双曲线与椭圆相随．2．3 双曲线自我检测(1)22145x y -= (2) 221(0)3x y y -=>(3)4或-6 (4)2(5) 2241981x y -=或22194y x -= 课后巩固练习A 组1．22197x y -=（x ≤-3） 2．2213664x y -=或2213664y x -=3．2213x y -= 4．221(3)9x y x -=≥；y =0(x ≥5．8 6．(0, 7．2221x y -=或2221y x -= 8．2或229．7 10．4a +2m11．221(0)169y x y -=≥ 12．4，5y x =±，5 13．32y x =± 14．3,44ππ15．5534或 16．34y x =±17．22197x y -= 18．22179x y -= 19．220x -25y =1 20．228x y -=21．（1）22194x y -=或22149x y -=； （2）221124y x -= 22．（1）2212016y x -=； （2）2213y x -= 23．221128x y -= 24．22194x y -= 25．22135y x -= 26．221520x y -=或22415555y x -= 27．22168x y -= 28．2211224y x -= 29．2212016x y -=或2211620y x -= 30．2213y x -=或22312323y x -= B 组31．-1<k <1 32．332- 33．2 34．34 35．6 36．1337．2214932x y -=或2214932y x -= 3839．； 40．241．2291(0)x y y -=≠42．以E 、F 为焦点，a =3的双曲线的右支43．221(3)916x y x -=≥44．3[0,)(,)44πππ 45．146．4 47．221 45xy-=48．(1)- 49．4a50．)+∞51．（1）常数45（2）|PA|的最小值为25552．（2）FF21⋅=－10 53．y=2x-1554．．2214xy-=C组56． (1，3]57．（1）;215+=e(2)设θ=∠22OBF,很显然知道θ=∠=∠222AOBOAF,因此)2sin(222θaS=．在22OBF∆中求得,cos,sin2222cbccbb+=+=θθ故222224cossin4cbbcaaS+==θθ;菱形1122F B F B的面积bcS21=,再根据第一问中求得的e值可以解出25221+=SS．58．（1）(1)(1,1)(1,2)--；（2）0或59．(1)2214xy-=．(2)双曲线1C的渐近线方程为2y x=±,设1122(,2),(,2)A x xB x x-由22224320yxx mx my x m⎧-=⎪⇒--=⎨⎪=+⎩,由21600m m∆=>⇒≠又因为2123mx x=-,而1212122(2)3OA OB x x x x x x⋅=+⨯-=-所以23m m=⇒=60．2214xy-=61．设直线方程为：2+=kxy，代入双曲线方程得：064)2(22=---kxxk因为直线与双曲线交于两个不同的点，因此有：260848)6)(2(4)4(02222222≠<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-=----=∆≠-k k k k k k 且 设),(),,(222111y x P y x P ，21213,3x x AP A P -=∴= ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-=-=+222212221326224x k x x x k k x x 则有，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=22222263242k x k k x －－即：，解得：322=k 236,236+-=+=∴x y x y 或所求直线方程为． 62．（1）1±； （2）不存在。
2．3．1 双曲线及其标准方程1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程．2．掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1、F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|．定义中的限制条件“小于|F1F2|”“绝对值”“常数不等于零”．(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．(3)若将“常数不等于零”改为“等于零”，则此时动点轨迹是线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程双曲线焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．( )(2)点A (1，0)，B (－1，0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线．( )(3)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a >0，b >0且a ≠b ．( )答案：(1)× (2)× (3)×已知双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5，0)，(5，0)C ．(0，－5)，(0，5)D ．(0，－7)，(0，7)答案：B双曲线的两焦点坐标是F1(3，0)，F 2(－3，0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( ) A ．x 25－y 24＝1 B ．y 25－x 24＝1C ．x 23－y 22＝1D ．x 29－y 216＝1答案：A设双曲线x 216－y 29＝1的右支上一点P 到左焦点F 1的距离是15，则P 到右焦点F 2的距离是________．答案：7探究点1 求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)半焦距为6，经过点(－5，2)，且焦点在x 轴上；(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5，且焦点在坐标轴上．【解】 (1)因为半焦距为6，且焦点在x 轴上，则可设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 26－a2＝1(a 2＜6)．因为双曲线经过点(－5，2)，所以25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)． 于是双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1．(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 因为P ，Q 两点在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.所以所求双曲线的方程为－116x 2＋y29＝1，即y 29－x 216＝1．求双曲线的标准方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解．(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论． (3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，可把双曲线方程设成mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)的形式求解．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上；(2)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4．解：(1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16．故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1．(2)椭圆x 227＋y 236＝1的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)或(－15，4)．设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－（15）2b 2＝1，a 2＋b 2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1．探究点2 双曲线定义的应用设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，求△PF 1F 2的面积．【解】 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2， 因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝4． 又|F 1F 2|＝2c ＝213，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0，所以△F 1PF 2为直角三角形．S △PF 1F 2＝12×6×4＝12．1．[变条件]若将“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“|PF 1|·|PF 2|＝24”，求△PF 1F 2的面积． 解：由双曲线方程为x 2－y 212＝1，可知a ＝1，b ＝23，c ＝1＋12＝13． 因为|PF 1|·|PF 2|＝24，则cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22×24＝4＋2×24－4×1348＝0，所以△PF 1F 2为直角三角形． 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12．2．[变条件]本例中将条件“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“∠F 1PF 2＝120°”，求△PF 1F 2的面积．解：由已知得2a ＝2，c ＝13， 又由双曲线定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝2，① 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝(213)2＝52，②由①②可得|PF 1||PF 2|＝16．所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×16×32＝43．求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．1．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为____________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2， 所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(22)2， 又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4， 可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝23． 答案：2 32．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________．解析：设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2．在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α， 所以cos α＝（r 1－r 2）2＋2r 1r 2－4c22r 1r 2＝36＋64－10064＝0．所以α＝90°． 答案：90°探究点3 与双曲线有关的轨迹问题如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．【解】 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ， 所以2|BC |＋|AB |＝2|AC |， 从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22＜|AB |．由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 因为a ＝2，c ＝22，所以b 2＝c 2－a 2＝6， 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x ＞2)．定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点是否都在所给的曲线上．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9，圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1．(1)若动圆M 与圆C 1外切，且与圆C 2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程； (2)若动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，求动圆圆心M 的轨迹方程． 解：(1)设动圆半径为R ，因为圆M 与圆C 1外切，且与圆C 2内切， 所以|MC 1|＝R ＋3，|MC 2|＝R －1， 所以|MC 1|－|MC 2|＝4．所以点M (x ，y )的轨迹是以C 1，C 2为焦点的双曲线的右支，且有a ＝2，c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝5，所以所求轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．(2)如图，设动圆半径为R ，根据两圆外切的条件，得|MC 2|＝R ＋1，|MC 1|＝R ＋3， 则|MC 1|－|MC 2|＝2．这表明动点M 与两定点C 1，C 2的距离的差是常数2．根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的右支(点M 与C 1的距离大，与C 2的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．1．已知双曲线的一个焦点F 1(0，5)，且过点(0，4)，则该双曲线的标准方程为( ) A ．x 29－y 216＝1B ．y 216－x 29＝1C ．x 29－y 225＝1D ．y 225－x 29＝1 解析：选B ．由已知得，c ＝5，a ＝4，所以b ＝3．所以双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1．2．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3＜k ＜－2B ．k ＜－3C ．k ＜－3或k ＞－2D ．k ＞－2解析：选A ．由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3＞0，k ＋2＜0，解得－3＜k ＜－2，选择A ．3．设m 是常数，若点F (0，5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________．解析：由点F (0，5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16． 答案：164．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0，6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离的差的绝对值等于8；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)．解：(1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为2a ＝8，2c ＝12， 所以a ＝4，c ＝6， 所以b 2＝62－42＝20．所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1．(2)因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以c 2＝16＋4＝20， 即a 2＋b 2＝20．①因为双曲线经过点(32，2)， 所以18a 2－4b2＝1．②由①②得a 2＝12，b 2＝8，所以双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1．[学生用书P113(单独成册)])[A 基础达标]1．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B ．⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C ．⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析：选C ．将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b2＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0． 2．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A ．x 23－y 2＝1B ．y 2－x 23＝1C ．x 23－y 24＝1D ．y 23－x 24＝1解析：选B ．由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1．3．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A ．12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1解析：选D ．依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1．4．已知点A (0，－4)，B (0，4)，|PA |－|PB |＝2a ，当a 分别为3，4时，点P 的轨迹为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和两条射线C ．双曲线一支和一条直线D ．双曲线一支和一条射线解析：选D ．当a ＝3时，2a ＝6＜8，又|PA |－|PB |＝2a ，故点P 的轨迹是双曲线的一支；当a ＝4时，2a ＝8，又|PA |－|PB |＝2a ，故点P 的轨迹是一条射线．5．已知平面内两定点A (－5，0)，B (5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 216－y 29＝1B ．x 216－y 29＝1(x ≥4) C ．x 29－y 216＝1D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)解析：选D ．由|MA |－|MB |＝6，且6＜|AB |＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16． 故其轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线的右支． 所以方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．6．若点P 到点(0，－3)与到点(0，3)的距离之差为2，则点P 的轨迹方程为________． 解析：由题意并结合双曲线的定义，可知点P 的轨迹方程为双曲线的上支，且c ＝3，2a ＝2，则a ＝1，b 2＝9－1＝8，所以点P 的轨迹方程为y 2－x 28＝1(y ≥1)．答案：y 2－x 28＝1(y ≥1)7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：双曲线右焦点为(4，0)， 将x ＝3代入x 24－y 212＝1，得y ＝±15．所以点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，所以点M 到双曲线右焦点的距离为（4－3）2＋（±15）2＝4． 答案：48．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，所以43|PF 2|－|PF 2|＝2， 所以|PF 2|＝6，|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，所以|PF 2|2＋|PF 1|2＝|F 1F 2|2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，所以S △PF 1F 2＝24．答案：249．已知x 21－k －y 2|k |－3＝－1，当k 为何值时： (1)方程表示双曲线；(2)方程表示焦点在x 轴上的双曲线．解：(1)原方程可变形为y 2|k |－3－x 21－k ＝1． 要使方程表示双曲线，必须满足(|k |－3)(1－k )＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＞0|k |－3＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＜0|k |－3＜0，解得k ＜－3或1＜k ＜3． (2)若方程表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＜0|k |－3＜0，解得1＜k ＜3． 10．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b 2＝1．① 又因为点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0．解得c 2＝25．②又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1． [B 能力提升]11．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：选B ．设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y 0|＝2|y 0|＝2，所以|y 0|＝1．又x 203－y 20＝1，所以x 20＝3(y 20＋1)＝6．所以PF 1→·PF 2→＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3．12．已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1 解析：选B ．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则c ＝5，即a 2＋b 2＝5 ①．设P (x ，y )，由线段PF 1的中点坐标为(0，2)，可知⎩⎪⎨⎪⎧－5＋x 2＝00＋y 2＝2，得⎩⎨⎧x ＝5y ＝4，即点P 的坐标为(5，4)，代入双曲线方程，得5a 2－16b2＝1 ②．联立①②，得a 2＝1，b 2＝4，即双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1．故选B ． 13．求与椭圆x 2＋4y 2＝8有公共焦点的双曲线的方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积最大．解：椭圆的方程可化为x 28＋y 22＝1，① 所以c 2＝8－2＝6．因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以在双曲线中，a 2＋b 2＝c 2＝6，即b 2＝6－a 2． 设双曲线的方程为x 2a 2－y 26－a 2＝1(0＜a 2＜6)．② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a 23，y 2＝6－a 23. 由椭圆与双曲线的对称性可知四个交点构成一个矩形，其面积S ＝4|xy |＝4·4a 23·6－a 23＝83 a 2（6－a 2）≤83·a 2＋（6－a 2）2＝8， 当且仅当a 2＝6－a 2，即a 2＝3，b 2＝6－3＝3时，取等号．所以双曲线的方程是x 23－y 23＝1． 14．(选做题)已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1． (2)不妨设点M 在双曲线的右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，因为|MF 1|＋|MF 2|＝63，所以|MF 1|＝43，|MF 2|＝23．又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，而cos∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
2.3 双曲线2.3.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养．1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2＋b21．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是() A．双曲线B．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线D [由已知|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹是一条以N 为端点的射线NP ．] 2．双曲线y 23－x 2＝1的焦点坐标是( )A ．(±2，0)B ．(0，±2)C ．(0，±2)D ．(±2,0)C [根据题意，双曲线的方程为y 23－x 2＝1，其焦点在y 轴上，且c ＝3＋1＝2；则其焦点坐标为(0，±2)．]3．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 应满足的条件是( )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <2C [双曲线x 2k －y 23＝1的焦点坐标为(±3＋k ，0)，椭圆的焦点坐标为(±9－k 2，0)，由椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，可得3＋k ＝9－k 2，因为k >0，所以解得k ＝2．]4．与双曲线x 28－y 210＝1具有相同焦点的双曲线方程是________(只写出一个即可)．x 26－y 212＝1 [与x 28－y 210＝1具有相同焦点的双曲线方程为x 28＋k －y 210－k＝1(－8＜k ＜10)．]双曲线的定义及应用【例1】 已知F 1，F 2是双曲线x 9－y 16＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若点P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． 思路探究：(1)直接利用定义求解． (2)在△F 1PF 2中利用余弦定理求|PF 1|·|PF 2|．[解] (1)设|MF 1|＝16，根据双曲线的定义知||MF 2|－16|＝6，即|MF 2|－16＝±6．解得|MF 2|＝10或|MF 2|＝22．(2)由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5．由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， ∴102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝163．PF 1F 2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值；④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2求得面积.(2)利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积.[跟进训练]1．(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4A [|F 1F 2|＝4，根据双曲线的定义知选A ．](2)已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．9 [由双曲线的方程可知a ＝2，设右焦点为F 1，则F 1(4,0)．|PF |－|PF 1|＝2a ＝4，即|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|P A |＝|PF 1|＋|P A |＋4≥|AF 1|＋4，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时取等号，此时|AF 1|＝(4－1)2＋42＝25＝5，所以|PF |＋|P A |≥|AF 1|＋4＝9，即|PF |＋|P A |的最小值为9．]求双曲线的标准方程【例(1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上． 思路探究：(1)结合a 的值设出标准方程的两种形式，将点A 的坐标代入求解． (2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．[解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b 2＝1(b >0)，把点A 的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9．故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1． (2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20．① ∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－4b 2＝1．②由①②得a 2＝12，b 2＝8，∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1． 法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1．(3)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB <0． ∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝1，2569A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－116，B ＝19.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1．1．求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a 2，b 2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)来求解．[跟进训练]2．求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程．[解] 由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)， F 2(0,3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程， 得25a 2－16b 2＝1． 又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1．与双曲线有关的轨迹问题[1．到两定点F 1，F 2的距离之差是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？ [提示] 一支．2．求以两定点F 1，F 2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？[提示] 以直线F 1F 2和线段F 1F 2的垂直平分线分别为x 轴和y 轴建系．【例3】 如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．思路探究：[解] 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |， 即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22<|AB |． 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >a )，∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6． 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程.(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程. 提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴. ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.[跟进训练]3．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1． 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4． 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|．∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914．∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a ＞b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)的形式求解．1．已知双曲线的一个焦点F 1(0,5)，且过点(0,4)，则该双曲线的标准方程为 ( )A ．x 29－y 216＝1B ．y 216－x 29＝1C ．x 29－y 225＝1D ．y 225－x 29＝1B [由已知得，c ＝5，a ＝4，所以b ＝3．所以双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1．]2．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－2A [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0，k ＋2<0，解得－3<k <－2，选择A ．]3．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________．16 [由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16．]4．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线方程．[解] 因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A 点的坐标为(15，4)或(－15，4)，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1．。
2．3.1 双曲线及其标准方程1．双曲线 (1)定义□01平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)双曲线的集合描述设点M 是双曲线上任意一点，点F 1，F 2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合□02P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a,0<2a <|F 1F 2|}． 2．双曲线的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax 2＋By 2＝1(其中AB <0)．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若双曲线x 24－y 216＝1上一点M 到左焦点的距离为8，则点M 到右焦点的距离为________．(2)双曲线x 2－4y 2＝1的焦距为________．(3)(教材改编P 55T 1)已知双曲线a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为________． (4)下列方程表示焦点在y 轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x 2－y 22＝1；②x 2a ＋y 22＝1(a <0)；③y 2－3x 2＝1；④x 2cos α＋y 2sin α＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.答案 (1)4或12 (2) 5 (3)x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1(4)②③④解析 (3)∵a ＝5，c ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝24＝2 6. 当焦点在x 轴上时，双曲线方程为x 225－y 224＝1； 当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 225－x 224＝1.探究1 双曲线标准方程的认识例1 若θ是第三象限角，则方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆[解析] 曲线方程可化为x 2cos θ＋y 2cos θsin θ＝1，θ是第三象限角，则cos θ<0，cos θsin θ>0，所以该曲线是焦点在y 轴上的双曲线．故选A.[答案] A 拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn <0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．【跟踪训练1】 若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 答案 C 解析 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．探究2 双曲线的标准方程例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，352，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点；(2)两焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，且过P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2. [解] (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3522b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4732a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19(不符合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． ∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3522a 2－4b 2＝1，42a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4732b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)由已知可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，代入点P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2可得454a 2－4b 2＝1，①又a 2＋b 2＝25，②由①②联立可得a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1. [解法探究] 例2(1)有没有其他解法呢？ 解 ∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵M ，N 在双曲线上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，∴所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.拓展提升利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c (m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b ，c (m ，n )代入所设方程即为所求．【跟踪训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． 解 (1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.探究3 双曲线定义的应用例3 如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.由于c －a ＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.拓展提升双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有①定义：|r 1－r 2|＝2a .②余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ. ③面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【跟踪训练3】 (1)已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，求|PF 2|的值．解 由双曲线方程x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图象可得点P 到右焦点F 2的距离d ≥c －a ＝2，因为||PF 1|－|PF 2||＝16，|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1(舍去)或|PF 2|＝33.(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，则S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.探究4 与双曲线有关的轨迹问题例4 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．并指出表示什么曲线．[解] 如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)． 由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<AB .∴由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支且不包括顶点． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6. ∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．故C 点的轨迹为双曲线右支且除去点(2，0)． 拓展提升用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)． (2)根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)． (3)写出标准方程并下结论(定论)．【跟踪训练4】 如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心为F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心为F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1， |MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3<|F 1F 2|＝10， ∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支， 且a ＝32，c ＝5，∴b ＝912，∴点M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32.1.双曲线的定义中，一定要注意的几点(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了；(2)不可漏掉定义中的常数小于|F 1F 2|，否则，当2a ＝|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 表示两条射线；当||PF 1|－|PF 2||>2a 时，不表示任何图形；(3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支. 2.求双曲线的标准方程时，应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置；(2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值.1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞) D．(－∞，－1) 答案 B解析 依题意，应有m ＋1>0，即m >－1.2．已知双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5,0)，(5,0)C ．(0，－5)，(0,5)D ．(0，－7)，(0，7) 答案 B解析 由双曲线的标准方程可知a 2＝16，b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，故c ＝5.又焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m 答案 B解析 ∵A ，B 在双曲线的右支上， ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a . ∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m .∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .4．焦点在y 轴上，a ＝3，c ＝5的双曲线方程为________． 答案y 29－x 216＝1 解析 ∵b 2＝c 2－a 2＝52－32＝16，又焦点在y 轴上， ∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.5．已知双曲线的两个焦点F 1，F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解 若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则word- 11 - / 11 双曲线的方程为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得2a ＝24，2c ＝26. ∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25. 双曲线的方程为x 2144－y 225＝1； 若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系． 则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.。
２．３双曲线２．３．１双曲线及其标准方程学习目标核心素养１．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．（重点）２．掌握双曲线的标准方程及其求法．（重点）３．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．（难点）１．通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．２．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养．１．双曲线的定义把平面内与两个定点F１，F２距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F１F２|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：（１）双曲线定义中，将“小于|F１F２|”改为“等于|F１F２|”或“大于|F１F２|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？（２）双曲线的定义中，F１、F２分别为双曲线的左、右焦点，若|MF１|—|MF２|＝２a（常数），且２a<|F１F２|，则点M的轨迹是什么？[提示] （１）当距离之差的绝对值等于|F１F２|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F１，F２，当距离之差的绝对值大于|F１F２|时，动点的轨迹不存在．（２）点M在双曲线的右支上．２．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）焦点F１（—c,0），F２（c,0）F１（0，—c），F２（0，c）a，b，c的关系c２＝a２＋b２１．动点P到点M（１,0）的距离与点N（３,0）的距离之差为２，则点P的轨迹是（）Ａ．双曲线Ｂ．双曲线的一支Ｃ．两条射线Ｄ．一条射线D[由已知|PM|—|PN|＝２＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP．]２．双曲线错误!—x２＝１的焦点坐标是（）Ａ．（±错误!，0）Ｂ．（0，±错误!）Ｃ．（0，±２）Ｄ．（±２,0）C[根据题意，双曲线的方程为错误!—x２＝１，其焦点在y轴上，且c＝错误!＝２；则其焦点坐标为（0，±２）．]３．椭圆错误!＋错误!＝１与双曲线错误!—错误!＝１有相同的焦点，则k应满足的条件是（）Ａ．k>３Ｂ．２<k<３Ｃ．k＝２Ｄ．0<k<２C[双曲线错误!—错误!＝１的焦点坐标为（±错误!，0），椭圆的焦点坐标为（±错误!，0），由椭圆错误!＋错误!＝１与双曲线错误!—错误!＝１有相同的焦点，可得３＋k＝9—k２，因为k>0，所以解得k＝２．]４．与双曲线错误!—错误!＝１具有相同焦点的双曲线方程是________（只写出一个即可）．错误!—错误!＝１[与错误!—错误!＝１具有相同焦点的双曲线方程为错误!—错误!＝１（—8＜k ＜１0）．]双曲线的定义及应用１２（１）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于１6，求点M到另一个焦点的距离；（２）若点P是双曲线上的一点，且∠F１PF２＝60°，求△F１PF２的面积．思路探究：（１）直接利用定义求解．（２）在△F１PF２中利用余弦定理求|PF１|·|PF２|．[解] （１）设|MF１|＝１6，根据双曲线的定义知||MF２|—１6|＝6，即|MF２|—１6＝±6．解得|MF|＝１0或|MF２|＝２２．２（２）由错误!—错误!＝１，得a＝３，b＝４，c＝５．由定义和余弦定理得|PF１|—|PF２|＝±6，|F１F２|２＝|PF１|２＋|PF２|２—２|PF１||PF２|cos 60°，∴１0２＝（|PF１|—|PF２|）２＋|PF１|·|PF２|，∴|PF１|·|PF２|＝6４，∴S错误!＝错误!|PF１|·|PF２|·sin ∠F１PF２＝错误!×6４×错误!＝１6错误!．PF１F２面积的方法１１根据双曲线的定义求出||PF１|—|PF２||＝２a；２利用余弦定理表示出|PF１|、|PF２|、|F１F２|之间满足的关系式；３通过配方，整体的思想求出|PF１|·|PF２|的值；４利用公式S错误!＝错误!×|PF１||PF|·sin∠F１PF２求得面积.２２利用公式S错误!＝错误!×|F１F２|×|y P|求得面积.错误!１．（１）已知定点F１（—２,0），F２（２,0），在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是（）Ａ．|PF１|—|PF２|＝±３Ｂ．|PF１|—|PF２|＝±４Ｃ．|PF１|—|PF２|＝±５Ｄ．|PF１|２—|PF２|２＝±４A[|F１F２|＝４，根据双曲线的定义知选Ａ．]（２）已知定点A的坐标为（１,４），点F是双曲线错误!—错误!＝１的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．9 [由双曲线的方程可知a＝２，设右焦点为F１，则F１（４,0）．|PF|—|PF１|＝２a＝４，即|PF|＝|PF|＋４，所以|PF|＋|PA|＝|PF１|＋|PA|＋４≥|AF１|＋４，当且仅当A，P，F１三点共线时取等号，此时|AF １|＝错误!＝错误!＝５，所以|PF|＋|PA|≥|AF１|＋４＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9．]１求双曲线的标准方程（１）a＝４，经过点A错误!；（２）与双曲线错误!—错误!＝１有相同的焦点，且经过点（３错误!，２）；（３）过点P错误!，Q错误!且焦点在坐标轴上．思路探究：（１）结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．（２）因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c２＝１6＋４＝２0，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．（３）双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．[解] （１）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为错误!—错误!＝１（b>0），把点A的坐标代入，得b２＝—错误!×错误!<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为错误!—错误!＝１（b>0），把A点的坐标代入，得b２＝9．故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（２）法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），∴c２＝１6＋４＝２0，即a２＋b２＝２0．１∵双曲线经过点（３错误!，２），∴错误!—错误!＝１．２由１２得a２＝１２，b２＝8，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．法二：设所求双曲线的方程为错误!—错误!＝１（—４<λ<１6）．∵双曲线过点（３错误!，２），∴错误!—错误!＝１，解得λ＝４或λ＝—１４（舍去）．∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（３）设双曲线的方程为Ax２＋By２＝１，AB<0．∵点P，Q在双曲线上，∴错误!解得错误!∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．１．求双曲线标准方程的步骤（１）确定双曲线的类型，并设出标准方程；（２）求出a２，b２的值．２．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax２＋By２＝１（AB<0）来求解．错误!２．求以椭圆错误!＋错误!＝１的短轴的两个端点为焦点，且过点A（４，—５）的双曲线的标准方程．[解] 由题意，知双曲线的两焦点为F１（0，—３），F２（0,３）．设双曲线方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），将点A（４，—５）代入双曲线方程，得错误!—错误!＝１．又a２＋b２＝9，解得a２＝５，b２＝４，所以双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．与双曲线有关的轨迹问题[１．到两定点F１，F２的距离之差是常数（小于|F１F２|）的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？[提示] 一支．２．求以两定点F１，F２为焦点的双曲线方程时，应如何建系？[提示] 以直线F１F２和线段F１F２的垂直平分线分别为x轴和y轴建系．【例３】如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝４错误!，且三个内角A，B，C满足２sin A＋sin C ＝２sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．思路探究：[解] 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A （—２错误!，0），B（２错误!，0）．由正弦定理，得sin A＝错误!，sin B＝错误!，sin C＝错误!（R 为△ABC的外接圆半径）．∵２sin A＋sin C＝２sin B，∴２|BC|＋|AB|＝２|AC|，即|AC|—|BC|＝错误!＝２错误!<|AB|．由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）．由题意，设所求轨迹方程为错误!—错误!＝１（x>a），∵a＝错误!，c＝２错误!，∴b２＝c２—a２＝6．即所求轨迹方程为错误!—错误!＝１（x>错误!）．求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法１列出等量关系，化简得到方程.２寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.提醒：１双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.２检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.错误!３．如图所示，已知定圆F１：x２＋y２＋１0x＋２４＝0，定圆F２：x２＋y２—１0x＋9＝0，动圆M 与定圆F１，F２都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解] 圆F１：（x＋５）２＋y２＝１，圆心F１（—５,0），半径r１＝１．圆F２：（x—５）２＋y２＝４２，圆心F２（５,0），半径r２＝４．设动圆M的半径为R，则有|MF１|＝R＋１，|MF２|＝R＋４，∴|MF２|—|MF１|＝３<１0＝|F１F２|．∴点M的轨迹是以F１，F２为焦点的双曲线的左支，且a＝错误!，c＝５，于是b２＝c２—a２＝错误!．∴动圆圆心M的轨迹方程为错误!—错误!＝１错误!．１．双曲线定义中||PF１|—|PF２||＝２a（２a＜|F１F２|）不要漏了绝对值符号，当２a＝|F１F２|时表示两条射线．２．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a２＝b ２＋c２，在双曲线中c２＝a２＋b２．３．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx２＋ny２＝１（mn ＜0）的形式求解．１．已知双曲线的一个焦点F１（0,５），且过点（0,４），则该双曲线的标准方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１B[由已知得，c＝５，a＝４，所以b＝３．所以双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．]２．若k∈R，方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是（）Ａ．—３<k<—２Ｂ．k<—３Ｃ．k<—３或k>—２Ｄ．k>—２A[由题意可知错误!解得—３<k<—２，选择Ａ．]３．设m是常数，若点F（0,５）是双曲线错误!—错误!＝１的一个焦点，则m＝________．１6 [由点F（0,５）可知该双曲线错误!—错误!＝１的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝５２，解得m＝１6．]４．已知双曲线与椭圆错误!＋错误!＝１有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为４，求双曲线方程．[解] 因为椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—３），（0,３），A点的坐标为（错误!，４）或（—错误!，４），设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），所以错误!解得错误!所以所求的双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．。
2.3.1 双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义及焦距的概念.2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(重点)3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程.(重点)[基础·初探]教材整理1 双曲线的定义阅读教材P 52～P 53“探究”以上部分，完成下列问题.把平面内与两个定点F 1，F 2距离的________等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这________叫做双曲线的焦点，________叫做双曲线的焦距.【答案】 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同.( ) (2)点A (1,0)，B (－1,0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线.( )(3)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0，且a ≠b .( )【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P 53～P 54“例1”以上部分，完成下列问题.【答案】 a 2－b 2＝1 a 2－b2＝1 (－c,0) (c,0) (0，－c ) (0，c ) a 2＋b 2若方程x 2m 2＋1－y 2m 2－3＝1表示双曲线，则实数m 满足( )A.m ≠1且m ≠－3B.m ＞1C.m ＜－3或m ＞ 3D.－3＜m ＜1【解析】 因为方程x 2m 2＋1－y 2m 2－3＝1表示双曲线，而m 2＋1＞0恒成立，所以m 2－3＞0，解得m ＜－3或m ＞3，故选C.【答案】 C[小组合作型]已知双曲线9－16＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积.【精彩点拨】 在△F 1PF 2中，分析三角形中已有的条件，结合定义和余弦定理可得|F 1F 2|、|PF 1|、|PF 2|三者的关系.【自主解答】 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.求双曲线中的焦点三角形△PF 1F 2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值；④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2求得面积.(2)利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积.[再练一题]1.已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________.【解析】 由双曲线的方程可知a ＝2，设右焦点为F 1，则F 1(4,0).|PF |－|PF 1|＝2a ＝4，即|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|PA |＝|PF 1|＋|PA |＋4≥|AF 1|＋4，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时取等号，此时|AF 1|＝－2＋42＝25＝5，所以|PF |＋|PA |≥|AF 1|＋4＝9，即|PF |＋|PA |的最小值为9.【答案】 9(1)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上.【精彩点拨】 (1)所求双曲线的焦点位置不确定，怎样求解？(2)已知半焦距时，如何设双曲线的标准方程？【自主解答】 (1)设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0).∵P ，Q 两点在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9，∴所求双曲线的方程为y 29－x 216＝1. (2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线的方程为x 2λ－y 26－λ＝1(0＜λ＜6).∵双曲线过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， 解得λ＝5或λ＝30(舍去)，∴所求双曲线的方程为x 25－y 2＝1.1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a 2，b 2的值.2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)来求解.[再练一题]2.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点是(0，－6)，经过点A (－5,6)； (2)a ＝5，c ＝7.【解】 (1)由已知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一焦点为(0,6). 由双曲线定义得：2a ＝|－5－2＋＋2－－5－2＋－2|＝8.∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝20. ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1. (2)由已知a ＝5，c ＝7， ∴b 2＝c 2－a 2＝24，焦点不确定， ∴所求双曲线的标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1.[探究共研型]探究1 【提示】 若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a ).探究2 如何解决双曲线中与焦点三角形有关的问题？【提示】 首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.某地发生地震，为了援救灾民，救援队在如图231所示的P 处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA ，PB 运送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程.【导学号：37792066】图231【精彩点拨】 审题可得界线是使沿道路PA 和PB 送药一样远近的曲线，设M 为界线上任一点，则根据已知条件，得|PA |＋|MA |＝|PB |＋|MB |，据此设出双曲线的标准方程，用待定系数法求解即可.【自主解答】 灾民区ABCD 中的点可分为三类，第一类沿道路PA 送药较近，第二类沿道路PB 送药较近，第三类沿道路PA 和PB 送药一样近.依题意，知界线是第三类点的轨迹.设M 为界线上的任一点， 则|PA |＋|MA |＝|PB |＋|MB |，即|MA |－|MB |＝|PB |－|PA |＝50(定值).因为|AB |＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507>50， 所以界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分.如图所示，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).因为a ＝25，c ＝257， 所以b 2＝c 2－a 2＝3 750.故双曲线的标准方程为x 2625－y 23 750＝1.注意到点C 的坐标为(257，60)， 故y 的最大值为60，此时x ＝35. 故界线的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35,0≤y ≤60).利用双曲线解决实际问题的基本步骤建立适当的坐标系. 求出双曲线的标准方程.根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用；②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.[再练一题]3.如图232，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 地的距离比到B 地的距离远2 km.现要在河岸PQ 上选一处M 建码头，向B ，C 两地转运货物.经测算，修建公路的费用是a 万元/km ，求修建这两条公路的总费用最低是多少.图232【解】 以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系(图略).根据题意，得C (3，3).因为|MA |－|MB |＝2<|AB |，所以点M 的轨迹是双曲线x 2－y 23＝1的右支.总费用为a |MB |＋a |MC |＝a (|MB |＋|MC |).因为|MB |＋|MC |＝|MA |－2＋|MC |≥|AC |－2＝27－2，当M ，A ，C 三点共线时，等号成立，所以总费用最低为(27－2)a 万元.1.已知m ，n ∈R ，则“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，必有mn ＜0；当mn ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，所以“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件.【答案】 C2.以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B.y 2－x 23＝1C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 【解析】 椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，长轴的端点A 1(0,2)，A 2(0，－2)，所以对于所求双曲线a ＝1，c ＝2，b 2＝3，焦点在y 轴上，双曲线的方程为y 2－x 23＝1.【答案】 B3.设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.【导学号：37792067】【解析】 由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.【答案】 164.求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2).【解】 (1)由已知，可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9，所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0).由题意知c ＝2 5.因为双曲线过点(32，2)，所以22a 2－4b2＝1.又因为a 2＋b 2＝(25)2， 所以a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.。
