最新人教版高中数学必修2第三章《点到直线的距离》课后训练

3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离选题明细表基础巩固1.点P(1,-1)到直线l:3y=2的距离是( B )(A)3 (B)(C)1 (D)解析:点P(1,-1)到直线l的距离d==,选B.2.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m等于( D )(A)0 (B)(C)3 (D)0或解析:点M到直线l的距离d==,所以=3,解得m=0或m=,选D.3.若直线l1:x-2y+1=0与l2:2x+ay-2=0平行,则l1与l2的距离为( B )(A)(B) (C)(D)解析:若直线l1:x-2y+1=0与l2:2x+ay-2=0平行,则=≠,解得a=-4,故l1:x-2y+1=0与l2:x-2y-1=0的距离d==.故选B.4.直线l过点A(3,4)且与点B(-3,2)的距离最远,那么l的方程为( C )(A)3x-y-13=0 (B)3x-y+13=0(C)3x+y-13=0 (D)3x+y+13=0解析:由已知可知,l是过点A且与AB垂直的直线,因为k AB==,所以k l=-3,由点斜式得,y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0.5.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于( C )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:设AB边上的高为h,则S △ABC=|AB|·h.|AB|==2, AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为=,因此,S△ABC=×2×=5.6.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+12=0平行,则它们之间的距离是.解析:因为直线3x+4y-3=0与直线6x+my+12=0平行,直线6x+my+12=0即为3x+y+6=0.它们之间的距离为=.答案:7.已知直线l与直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0间的距离相等,则直线l的方程是.解析:由题意可设直线l的方程为2x-y+c=0,于是有=,即|c-3|=|c+1|.所以c=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.答案:2x-y+1=08.求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l的方程.解:直线l与已知直线平行,可设l的方程为3x-y+m=0,点P(2,-1)到直线3x-y-4=0的距离d=,由于点P(2,-1)到两直线距离相等,所以=,解得m=-10或m=-4(舍去),所以直线l的方程为3x-y-10=0.能力提升9.两平行线分别经过点A(5,0),B(0,12),它们之间的距离d满足的条件是( B )(A)0<d≤5 (B)0<d≤13(C)0<d<12 (D)5≤d≤12解析:当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大,为|AB|=13,所以0<d≤13.10.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值是( A )(A)3(B)2(C)3(D)4解析:由题意,结合图形可知点M必然在直线x+y-6=0上,故M到原点的最小距离为=3.11.直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为 .解析:显然l⊥x轴时符合要求,此时l的方程为x=1;设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.因为点A,B到l的距离相等,所以=.所以|1-3k|=|3k-5|,所以k=1,所以l的方程为x-y-1=0.综上,l的方程为x=1或x-y-1=0.答案:x=1或x-y-1=012.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为3,求直线l的方程.解:由题意知,若截距为0,可设直线l的方程为y=kx.由题意知=3,解得k=.若截距不为0,设所求直线l的方程为x+y-a=0.由题意知=3,解得a=1或a=13.故所求直线l的方程为y=x,y=x,x+y-1=0或x+y-13=0.探究创新13.已知点P(a,b)在线段AB上运动,其中A(1,0),B(0,1).试求(a+2)2+(b+2)2的取值范围.解:设Q(-2,-2),又P(a,b),则|PQ|=,如图所示,当P与A或B重合时,|PQ|取得最大值,即=.当PQ⊥AB时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|为Q点到直线AB的距离,由A,B两点坐标可得直线AB的方程为x+y-1=0.则Q点到直线AB的距离d===,所以≤(a+2)2+(b+2)2≤13.。

3．3．3 点到直线的距离 3．3．4 两条平行直线间的距离课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标| 1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3B.53 C ．1D.22解析：选B 点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×(－1)－2|02＋32＝53，故选B. 2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34解析：选D 点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，故选D.3．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.4．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2,4) C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)解析：选C 直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2(1＋t )－(1＋3t )－1|22＋(－1)2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离是( ) A.423B.823C ．4 2D ．2 2解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)－3＝0，2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2间的距离是d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823. 6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则实数k 的值是 ． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52， ∴k ＝－3或k ＝173.答案：－3或1737．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为 ．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：128．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0间的距离相等，则直线l 的方程是 ．解析：由题意可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c ＋1|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|.∴c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝09．求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．解：解法一：∵点A (1,1)与B (－3,1)到y 轴的距离不相等，∴直线l 的斜率存在，设为k .又直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0. 由点A (1,1)与B (－3,1)到直线l 的距离相等，得|k －1＋2|k 2＋1＝|－3k －1＋2|k 2＋1，解得k ＝0或k ＝1. ∴直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.解法二：当直线l 过线段AB 的中点时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)， ∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0；当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0，∴直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2. 10．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程．解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则A (1,0)，D (0,1)，B (b ，0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形的面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， ∴b 2＝9，b ＝±3.又b >1，∴b ＝3.从而得直线l 2的方程是x ＋y －3＝0. ‖层级二‖………………|应试能力达标|1．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( ) A ．4 B.1020 C.104D.71020解析：选D ∵3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020，故选D. 2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3B ．0＜d ≤5C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．如果点P 到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3及直线x ＝－12的距离都相等，那么满足条件的点P有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 因为点P 到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的距离相等，所以点P 在线段AB 的垂直平分线y ＝32上．直线AB 与直线x ＝－12平行，且两平行线间的距离为1.又1<|AB |2＝32，所以满足条件的点P 有1个．4．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R )，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：选 B 将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 是经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1,1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.5．已知5x ＋12y ＝60，则 x 2＋y 2的最小值是 ．解析： x 2＋y 2表示直线5x ＋12y ＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x ＋12y ＝60的垂线段的长最小，故最小值为d ＝6052＋122＝6013. 答案：60136．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有 条． 解析：由题可知所求直线显然不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立， 解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43.故所求直线共有两条．答案：27．若实数x ，y 满足关系式x ＋y ＋1＝0，则式子S ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋2的最小值为 ．解析：解法一：∵x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2， ∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到一个定点N (1,1)距离的平方． 即为点N 与直线l ：x ＋y ＋1＝0上任意一点M (x ，y )距离的平方． ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即 |MN |min ＝d ＝|1＋1＋1|2＝322.解法二：∵x ＋y ＋1＝0，∴y ＝－x －1， ∴S ＝x 2＋(－x －1)2－2x －2(－x －1)＋2 ＝2x 2＋2x ＋5＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋92， ∴当x ＝－12时，S min ＝92＝322. 答案：3228．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：由题意知，若截距为0， 可设直线l 的方程为y ＝kx .由题意知|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－12±3142.若截距不为0，设所求直线l 的方程为x ＋y －a ＝0. 由题意知|4＋3－a |2＝32，解得a ＝1或a ＝13.故所求直线l 的方程为y ＝－12＋3142x ，y ＝－12－3142x ，即x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.。

第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式第二课时 3.3.2-3.3.3 点到直线的距离和两条平行直线间的距离测试题知识点：点到直线的距离1、原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )A ．1 B. 3C ．2 D. 5解析：d ＝|－5|1＋22＝ 5.2、点（0，5）到直线y=2x 的距离是（ ）A 、52 B 、32 D3、p 点在直线3x+y-5=0上，且p 到直线x-y-1=0点p 坐标为（ ）A 、（1，2）B 、（2，1）C 、（1，2）或（2，-1）D 、（2，1）或（-1，2） 4、点p （m -n ，－m ）到直线1xym n +=的距离等于（ ）A B D5、过点P(1,2)引直线，使A(2,3),B(4,-5)两点到它的距离相等，则这条直线的方程是(）A 、4x+y-6=0B 、x+4y-6=0C 、2x+3y-7=0或x=4-6=0D 、3+2y-7=0或4x+y-6=06、若点(2，k)到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是()A ．1B ．－3C ．1或53D ．－3或1737、点P(－2，0)到直线y ＝3的距离为 ．8、点P(m －n ，－m)到直线x m ＋y n＝1的距离等于( ) A.m 2＋n 2 B.m 2－n 2 C.n 2－m 2 D.m 2±n 29、与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝010、垂直于直线x －3y ＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程是________．11、求点P （2，3）到直线0243=++y x 的距离。

12、求过点)0,1(-A ，且与原点的距离等于22的直线方程。

知识点：两条平行直线间的距离13、两条平行直线3x ＋4y －2＝0，3x ＋4y －12＝0之间的距离为 ．14、已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313 C.52613 D.72613 15、两平行线y ＝kx ＋b 1与y ＝kx ＋b 2之间的距离是( )A ．b 1－b 2 B.|b 1－b 2|1＋k 2 C ．|b 1－b 2| D ．b 2－b 116、直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4，5)到l 的距离相等，则l 的方程为________．17、求与直线2x－y－1＝0平行，且和2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．知识点：最值问题18、设点A(－3,5)和B(2,15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使PA＋PB为最小，则这个最小值为________．19、直线2x－y－4＝0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3,4)的距离之差的最大值．【参考答案】式得。

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2。

2.4 点到直线的距离课后训练1．已知点（a ，2）(a ＞0)到直线l :x －y ＋3＝0的距离为1,则ａ等于( ）．B.21 12.已知直线3ｘ+2y -3＝０和６x +my ＋1=0互相平行，那么它们之间的距离是（ )．A.4 3．已知点P （a ，b )是第二象限的点，那么它到直线x -y ＝0的距离是( ）.A )a b -B ．b －aC.()2b a - 4．已知x ,y 满足３x ＋4y -10=0,则x 2+y 2的最小值为( )．A ．2 Ｂ.4 C ．0 D.15．到两条直线3x －４ｙ＋5=0和5x -12ｙ＋13=0距离相等的点P （ｘ,y )的坐标必满足方程（ ）．Ａ.x －4y +4＝0B ．７x +4ｙ=0C ．x －４y ＋4＝0或4ｘ－8y +9＝0D.7x ＋４ｙ=0或３2x -56ｙ+65＝06．已知定点Ａ（０,１）,点Ｂ在直线x ＋ｙ=０上运动，当线段ＡB 最短时,点Ｂ的坐标是＿_＿＿______．7．两直线ｌ１:x +ｙ－2＝0与ｌ2:7x －ｙ＋４＝0相交成四个角，则这些角的平分线所在的直线的方程为___＿_＿＿___．8.两条平行线分别过点A (-２，－２)和B (1，３），它们之间的距离为ｄ，如果这两条直线各自绕着A ，B 旋转并且保持平行,则d 的取值范围是_________＿．9．已知直线l 过直线y ＝-ｘ+1和ｙ＝2ｘ+4的交点．（1)若直线l 与直线ｘ-3y +2＝0垂直,求直线ｌ的方程；（2)若原点O 到直线l 的距离为1,求直线ｌ的方程．10．两条互相平行的直线分别过A （6,2),B （－3,－１)两点,并且各自绕着A ,B 点旋转(但始终保持平行关系).如果两条平行线间的距离为d 。

2.2.4点到直线的距离【课时目标】1．会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离．2．掌握两条平行直线间的距离公式并会应用．3．能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题．点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝________一、选择题1．点(2,3)到直线y＝1的距离为()A．1 B．－1 C．0 D．22．原点到直线3x＋4y－26＝0的距离是()A．2677B．265C．245D．2753．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是()A．10 B．2 2 C． 6 D．24．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为() A．95B．185C．3 D．65．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是()A．y＝1B．2x＋y－1＝0C．y＝1或2x＋y－1＝0D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝06．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是()A．(0，＋∞) B．C．(0,50，17画图可得；也可用点到直线的距离公式．|OP|最小值即为O到直线x＋y －4＝0的距离，∴d＝|－4|2＝22．|PQ|的最小值即为两平行线间的距离，d＝|3＋12|5＝3．①所求直线平行于AB，∵k AB＝－2，∴其方程为y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0．②所求直线过线段AB 的中点M (4,1)， ∴所求直线方程为y ＝1．当这两条直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，d 达到最大值，此时d ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5．∴0<d ≤5．7．2x ＋y －5＝0解析如图所示，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，∴k l ＝－2， ∴方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0．8．4916π 9．71326解析 直线3x ＋2y －3＝0变为6x ＋4y －6＝0，∴m ＝4．由两条平行线间的距离公式得d ＝|－6－1|62＋42＝71326． 10．解 (1)由点斜式方程得，y －5＝－34(x ＋2)， ∴3x ＋4y －14＝0．(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则由平行线间的距离公式得，|c ＋14|5＝3，c ＝1或－29． ∴3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0．11．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1， 则k l ＝－1k BC＝－1， 又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0．(2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝4 2则S △ABC ＝12·|BC |·d ＝12×42×22＝8． 12．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b ．梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， ∴b 2＝9，b ＝±3．但b >1，∴b ＝3．从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0．13．解 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P (－1,0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等，则|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32， 得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0．又∵正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0．∵正方形中心到四条边的距离相等，∴|－3＋a |32＋12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0．综上，另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．。

点到直线的距离．两条平行直线间的距离一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．原点到直线＋－＝的距离为( )．．．两条平行线：－＋＝与：－－＝之间的距离是( )．．．经过直线＋－＝和－＝的交点，且与原点间的距离为的直线的条数为( )．．．．．已知直线，分别过点(－，)，(，－)，若它们分别绕点，旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围为( )．(，] ．(，)．(，＋∞) ．(，]．已知点(－，－)，(，)到直线：＋＋＝的距离相等，则实数的值为( )．－．－或－或．若点在直线＋－＝上，且点到直线－－＝的距离为，则点的坐标为( )．(，) ．(，)．(，)或(，－) ．(，)或(－，)．点(－，)到直线：＝(－)的距离的最大值为( )．．．．二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．在经过点(，)的所有直线中，距离原点最远的直线的方程是．．已知点是点(，)关于直线＝－的对称点，则过点且平行于直线＝－的直线的方程是．．若直线－(＋)＋＝与－－＝互相垂直，则点(，)到轴的距离为．．若点(，)在直线＋－＝上，则＋的最小值是．三、解答题(本大题共题，共分)．(分)已知三角形的三个顶点分别是(，)，(，)，(－，)，求角的平分线的方程．．(分)已知两直线：－＋＝，：(－)＋＋＝.求分别满足下列条件的，的值．()直线过点(－，－)，并且直线与垂直；()直线与直线平行，并且坐标原点到，的距离相等．．(分)已知入射光线在直线：－＝上，经过轴反射到直线上，再经过轴反射到直线上．若点是直线上某一点，则点到直线的距离为( ) ．．．(分)已知点(，－)．()求过点且与原点距离为的直线的方程．()求过点且与原点的距离最大的直线的方程和最大距离．()是否存在过点且与原点的距离为的直线？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．．点到直线的距离．两条平行直线间的距离．[解析] 由点到直线的距离公式得＝＝.．[解析] 由两平行线间的距离公式易知两条平行线：－＋＝与：－－＝之间的距离＝＝.．[解析] 由可解得故直线＋－＝和－＝的交点坐标为(，)，且过该点的直线与原点的距离为.分类讨论：若直线的斜率不存在，则直线的方程为＝，满足题意；若直线的斜率存在，则可设所求直线的方程为－＝(－)，整理得－＋－＝，若其到原点的距离为，则由点到直线的距离公式得＝，即－＝，解得＝，所以所求直线的方程为－＝(－)．综上所述，满足条件的直线有条．．[解析]借助两条直线的图形可得两直线之间的最大距离为，两点间的距离，由两点间的距离公式得＝＝.故，之间的距离的取值范围为(，]．．[解析] 由题意及点到直线的距离公式知＝，解得＝－或＝－.．[解析] 设点坐标为(，－)，则由点到直线的距离公式得＝＝，即－＝，∴－＝±，∴＝或＝，∴点坐标为(，)或(，－)．．[解析]把直线的方程化成一般式为－－＝，由点到直线的距离公式得到直线的距离＝，可化简为(－)－＋－＝(≥)，∵上式中有解，∴Δ＝－(－)。

3.3.3 点到直线的距离练习1．点P(m，n)到直线3x－4y＝5的距离d＝2，则实数m，n满足的条件是()A．|3m－4n－5|＝10 B．|3m－4n＋5|＝10 C．3m－4n－5＝10 D．3m－4n＋5＝102．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，则实数m等于()A．34B．－34C．－43D．433．已知点A(3,4)，B(6，m)到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m等于()A．74B．－294C．1 D．74或－2944．点P为x轴上一点，点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为() A．(8,0) B．(－12,0) C．(8,0)或(－12,0) D．(0,0)5．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0 6．点A(m，－5)到直线l：y＝－2的距离为__________．7．已知点A(0,4)，B(2,5)，C(－2,1)，则BC边上的高等于__________．8．已知点P是直线l：y＝2x＋3上任一点，M(4，－1)，则|PM|的最小值为__________．9．求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)3x－4y－1＝0；(2)y＝6；(3)y轴．10．在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．参考答案1.答案：A2.答案：C3.答案：D4.答案：C5.答案：A6.答案：37.答案：28.9.解：(1)由点到直线的距离公式可得d16 5 =.(2)解法一：由直线y＝6与x轴平行，得d＝|6－(－2)|＝8.解法二：将y＝6变形为0·x＋y－6＝0，则d＝8.(3)d＝|3|＝3.10. 解：由题知|AB|5，∵S△ABC＝12|AB|·h＝10，∴h＝4.设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y－2＝－34(x－3)，即3x＋4y－17＝0.∴0000330,34174,5x yx y-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得01, 0x y =-⎧⎨=⎩或05,38.xy⎧=⎪⎨⎪=⎩∴点C的坐标为(－1,0)或(53，8)．。

2.2.4 点到直线的距离一、选择题1．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是() A．(5，－3)B．(9,0)C．(－3,5) D．(－5,3)2．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝03．与直线2x＋y＋1＝0的距离为55的直线的方程是()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝04．过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()A．4x＋y－6＝0B．x＋4y－6＝0C．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0D．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝05．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1：x－2y＋1＝0和l2：3x－y－2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是()A．2x－y＋7＝0和x－3y－4＝0B．x－2y＋7＝0和3x－y－4＝0C．x－2y＋7＝0和x－3y－4＝0D．2x－y＋7＝0和3x－y－4＝06．到直线3x－4y－1＝0距离为2的点的轨迹方程是()A．3x－4y－11＝0B．3x－4y＋11＝0C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝07．顺次连结A(－4,3)、B(2,5)、C(6,3)、D(－3,0)所组成的图形是()A．平行四边形B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不对8．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于原点对称，则a、b的值分别为()A．1,9 B．－1，－9C．1，－9 D．－1,9二、填空题9．过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．10．与直线3x＋4y－3＝0平行，并且距离为3的直线方程为________________．11．已知a、b、c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为__________．12．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．三、解答题13．(2010·曲师大附中高一期末检测)已知正方形中心G(－1,0)，一边所在直线方程为x＋3y－5＝0，求其它三边所在直线方程．14．(2010·山东聊城高一期末检测)已知点A(2,4)，B(1，－2)，C(－2,3)，求△ABC 的面积．15．求经过点A(2，－1)且与点B(－1,1)的距离为3的直线方程．16．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．17．已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0 截得的线段的长为5，求直线l的方程．1. [答案] A[解析] 当PQ 与已知直线垂直，垂足为Q 时，点Q (5，－3)即为所求．2. [答案] A[解析] 所求直线与两点A (1,2)，O (0,0)连线垂直时与原点距离最大．3. [答案] D[解析] 验证法：直线2x ＋y ＝0与2x ＋y ＋1＝0的距离为122＋12＝55， 直线2x ＋y ＋2＝0与2x ＋y ＋1＝0的距离为|2－1|22＋12＝55，故选D. 4. [答案] D[解析] 设直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，∵直线过(1,2)且与A 、B 两点距离相等， 则⎩⎨⎧ A ＋2B ＋C ＝0 ①|2A ＋3B ＋C |A 2＋B 2＝|4A －5B ＋C |A 2＋B 2 ②由②得：A ＝4B 或3A －B ＋C ＝0. 当A ＝4B 时，C ＝－6B ，直线方程4Bx ＋By －6B ＝0即4x ＋y －6＝0.当3A －B ＋C ＝0时，2A ＝3B ，－7A ＝3C ，∴直线方程3Ax ＋2Ay －7A ＝0，即3x ＋2y －7＝0.点评：本题实际解答比较麻烦，作为选择题可用检验淘汰法，由P (1,2)在所求直线上，排除B ，C.故只须检验A 、B 两点到直线3x ＋2y －7＝0的距离是否相等即可，选D.5. [答案] B[解析] 解法一：l 1关于P (2,3)的对称直线l 3，l 2关于P (2,3)的对称直线l 4，就是另两边所在直线．解法二：因为另两边分别与l 1、l 3平行且到P (2,3)距离分别相等，∴设l 3：x －2y ＋c 1＝0，l 4：3x －y ＋c 2＝0，由点到直线距离公式得出． 解法三：l 1的对边与l 1平行应为x －2y ＋c ＝0形式排除A 、D ；l 2对边也与l 2平行，应为3x －y ＋c 1＝0形式排除C ，∴选B.[解析] 设所求轨迹上任意点P (x ，y )， 由题意，得|3x －4y －1|32＋42＝2， 化简得3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0.7. [答案] B[解析] ∵k AB ＝k CD ＝13，k BC ＝－12，k AD ＝－3，∴AB ∥CD ，AB ⊥AD .8. [答案] B[解析] 设直线ax ＋3y －9＝0关于原点对称的直线方程为－ax －3y －9＝0，又∵直线ax ＋3y －9＝0与直线x －3y ＋b ＝0关于原点对称，∴－a ＝1，b ＝－9，即a ＝－1，b ＝－9.9. [答案] 3x －y ＋10＝0[解析] 设原点为O ，则所求直线过点A (－3,1)且与OA 垂直，又k OA ＝－13，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y －1＝3(x ＋3)．即3x －y ＋10＝0.10. [答案] 3x ＋4y －18＝0或3x ＋4y ＋12＝0[解析] 设所求直线上任意一点P (x ，y ) 由题意，得|3x ＋4y －3|32＋42＝3， ∴|3x ＋4y －3|＝15，∴3x ＋4y －3＝±15，即3x ＋4y －18＝0或3x ＋4y ＋12＝0.11. [答案] 4[解析] 由题设a 2＋b 2＝c 2，m 2＋n 2表示直线l ：ax ＋by ＋2c ＝0上的点P (m ，n )到原点O 的距离的平方，故当PO ⊥l 时，m 2＋n 2取最小值d ，∴d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2c a 2＋b 22＝4c 2a 2＋b 2＝4. 12. [答案] x ＋y －10＝0或x ＋y ＝0[解析] ∵l 1∥l 2其距离d ＝|2－(－3)|2＝52 2.所求直线l 4∥l 3，设l 4：x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋5|2＝522， ∴c ＝0或－10， ∴所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋y －10＝0.13. [解析] 正方形中心G (－1,0)到四边距离相等，均为|－1－5|12＋32＝610 . 设与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋c 1＝0，由|－1＋c 1|10＝610，∴c 1＝－5(舍去)或c 1＝7. 故与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设另两边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0.由|3×(－1)＋c 2|10＝610，得c 2＝9或c 2＝－3. ∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上可知另三边所在直线方程分别为：x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.14. [解析] 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(1－2)2＋(－2－4)2＝37，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －4－2－4＝x －21－2. 即6x －y －8＝0.点C (－2,3)到6x －y －8＝0的距离h ＝|－12－3－8|62＋(－1)2＝233737， 因此，S △ABC ＝12×37×233737＝232.15. [解析] 若所求直线斜率不存在，则它的方程为x ＝2满足要求；若所求直线的斜率存在．设方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，由题设B (－1,1)到该直线距离为3， ∴|－k －1－2k －1|k 2＋1＝3，∴k ＝512，∴直线方程为：y ＋1＝512(x －2)即：5x －12y －22＝0，∴所求直线的方程为：x ＝2或5x －12y －22＝0.16. [解析] 解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等， 即|t －(3－t )＋1|2＝|t －(3－t )－1|2， 解得t ＝32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎨⎧ y －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32y ＝32.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)， 故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法三：由题意知直线l 的斜率必存在，设l ：y －4＝k (x －2)，由⎩⎨⎧ y －4＝k (x －2)x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1.∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1， ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∵M 为中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1. 又点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)，即5x －y －6＝0.17. [解析] 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A ′(3，－4)和B ′(3，－9)，截得线段A ′B ′的长为|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，解方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －3)＋1x ＋y ＋1＝0， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝k (x －3)＋1x ＋y ＋6＝0， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. ∵|AB |＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＋1k ＋1＋9k －1k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，所求直线的方程为x ＝3或y ＝1.。

人教B 版 数学 必修2：点到直线的距离一、选择题1、过点（1，3）且与原点相距1的直线共有（ ）A. 0条B. 一条C. 2条D.3条2、点P ),(y x 在直线04=-+y x 上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值是（ ）A. 10B. 22C. 6D.23、A 、B 、C 为三角形三个内角，它们的对边分别为c b a ,,，已知直线C B y A x sin sin sin ++=0，到原点的距离大于1，则此三角形为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D.不能确定4、设a ，b ，k ，p 分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有（ ）A ．a 2k 2＝p 2(1＋k 2)B ．k ＝b aC ．1a ＋1b＝p D ．a ＝－kb 5、直线1l 过点A （3，0），直线2l 过点B （0，4），1l ∥2l ，用d 表示1l 和2l 的距离，则（ ）A. 5≥dB. 53≤≤dC. 50≤≤dD.50≤<d二、填空题6、经过直线032=-+y x 和012=--y x 的交点，且与点（0，1）的距离等于21的直线的方程为__________________.7、若P<-1，则点)sin ,(cos αα到直线0sin cos =++P y x αα的距离是__________________.8、 已知A （3，0），B （0，4），则过B 且与A 的距离为3的直线方程为 ．9、若点（1，1）到直线xcos α＋ysin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是 ．10、已知三角形ABC 的三个顶点分别为A （1，5），B （-2，4），C （-6，-4），M 为BC 边上的一点，且三角形ABM 的面积等于三角形ABC 面积的41，则线段AM 的长度等于__________________.三、解答题 11、已知一直线经过点（1，2），并且与点（2，3）和（0，-5）的距离相等，求此直线的方程。