大物上预备知识——矢量

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大学物理通用矢量知识

A 1即模为1的矢量 ——单位矢量 A 0即模为0的矢量 —— 零矢量
零矢量的方向可以认为是任意的，记作0 。
大学物理通用矢量知识
5
大学物理
数学知识：矢量
A
与矢量 A 同方向的单位矢量记作 e 。在直角坐标系O-xyx中，记x、y、z三个方向的单位矢量为 i 、j 、k 。 z 矢量具有大小与方向两个 y 要素，只有当同类的两个矢 x 量大小相等且方向相同时，两个矢量才相等。记为 A B 。而标量和矢量由于不同类，故不能相比较，也不能相加减。
Ax Bx i i Ax By i j Ax Bz i k Ay Bx j i Ay By j j Ay Bz j k Az Bx k i Az By k j Az Bz k k
( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
大学物理
数学知识：矢量
§0.1 矢量物理学中常会遇到两类不同性质的物理量：标量（Scalar）和矢量（Vector）。其中只用数值即可表示的量叫标量，这里数值的含义包括大小和正负。比如时间、路程、质量、能量、电量等就是这样的量。
大学物理通用矢量知识
1
大学物理
数学知识：矢量
而既有大小、正负，还有方向，且其加法遵从平行四边形法则或三角形法则的量叫做矢量。力、速度、加速度、电场强度等都是这样的量。矢量可以用有方向的几何线段表示。
( ) A A A
满足交换律
( A) ( A) ( A)
大学物理通用矢量知识
14
大学物理
数学知识：矢量

《大学物理矢量》课件

VS
加速度的合成
当物体同时参与两个运动，且这两个运动的加速度共同产生与物体实际加速度相同的效果时，这两个加速度称为合加速度。合加速度的计算通过平行四边形法则或三角形法则进行。
05
总结与展望
矢量在物理中的重要性
描述物理现象
矢量是描述物理现象的重要工具，如速度、力、加速度等都是矢量，它们可以完整地描述物体的
理解矢量运算规则
矢量运算包括向量的加法、减法、数乘、向量的点乘、叉乘等，需要理解这些运算的规则和几何意义，才能更好地应用矢量。
实践应用
通过解决实际问题，如力的合成与分解、速度和加速度的计算等，将所学知识应用于实践，加深对矢量的理解。
对未来学习的展望
深入学习矢量理论
矢量理论在数学和物理中具有广泛的应用，可以深入学习矢量的性质、定理和证明等，为未来的学习和研究打下坚实的基础。
详细描述
矢量具有独立性，即矢量的数值与其参考系的选择无关。矢量具有可加性，即两个矢量相加得到一个新的矢量。矢量还具有传递性，即对于三个矢量A、B和C，有A+B+C=A+(B+C)。此外，矢量还具有分解和投影等性质。
02
矢量的运算
矢量的加法
矢量加法
将两个矢量首尾相接，形成一个新的矢量。
三角形法则
矢量的表示方法
总结词
矢量可以用箭头表示，箭头的长度代表矢量的大小，箭头的指向代表矢量的方向。
详细描述
在物理学中，通常用箭头表示矢量。箭头的长度代表矢量的大小，箭头的指向代表矢量的方向。在数学和物理学中，常用黑体字母来表示矢量，例如A、B、C等。
矢量的基本性质
总结词
矢量具有独立性、可加性和传递性等基本性质。

学习大学物理必备数学知识

r
r
r
自矢矢量量的BAr 的末端末画端出画矢出量矢量，CBr，则再从就Cr矢是量和A的Ar 始端的Br到合
矢量。
4
利用矢量平移不变性： r
d
A r
c
r
C
r
B a

r
B b
A
图4 两矢量相加的平行四边形法则
2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：
r
C A2 B2 2AB cos arctan B sin
r B
•
r dA
dt
dt
dt
(4)
d
rr A B

r A
r dB

r dA

r B
dt
dt dt
26
2、矢量的积分：
设
r A
和
r B
均在同一平面直角坐标系内，且
r dB

Ar，
则有：dBr

r Adt
dt
r B

r Adt

r Axi

Ay
r j
dt
r
r
Axdt i Aydt j
r
的模，用符号 A 表示。
A
图1 矢量的图像表示
2
2、矢量平移的不变性：
r
r
把矢量 A在空间平移，则矢量 A的大小和方向都不
会因平移而改变。
r
r
A
A
r A
图2 矢量平移
3
二矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
r
c

大学物理+补充-矢量分析简介

A , A 0 , 即 0
A 0 , A A 0 , 2 0
3、谐和场若一矢量场在空间某一范围内，即无散又无旋，称谐和场无旋：无散：
——拉普拉斯方程
即：谐和场的位函数满足拉普拉斯方程。
2、矢量场的旋度（是个矢量场） curlA (或 rotA , 或 A ) A dl A ( A) n lim lim L S S 0 S S 0
i j k Az Ay Ax Az Ay Ax A ( )i ( )j ( )k x y z y z z x x y Ax Ay Az
任何矢量场的旋度永远是无散场：
B A
B 0
即 ( A) 0
2、有旋场和无旋场
A dl 0 或 A 0
L
若一矢量场在空间某一范围内
称“无旋场”或“有势场”或“位场” 否则称“有旋场”
任何标量场的梯度永远是个无旋场：
以电磁场为例：非恒定情况下，电场既有散度又有旋度。
E E势 E旋麦克斯韦方程组： D e 0 D dS q0 B B E dS E dl t t B 0 B dS 0 D D H dl I 0 t dS H j0 t
研究任何矢量场时，常引入“场线”概念，如电场线，磁场线。
二、标量场的梯度 grad
(或 )
标量场的梯度定义为这样一个矢量，它的方向沿方向微商最大的方向，数值上等于这个最大的方向微商：
ˆ n n
i j k x y z

大学物理矢量PPT课件

把 [a,b] 分成 n个小 y 区间[ xi 1, xi ]，长度为 xi xi xi1;
在每个[ xi1, xi ] 上
任取一点 i，
o
x1
a
xi1 i xi
xn1
b
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
Ax
O Ax
X

如果A Axi Ay j 和 B Bxi By j , 则有:

C Cxi Cy j B A (Ax Bx )i (Ay By ) j
显然:
C x Ax Bx
C y Ay By
第1章运动的描述
矢量的加法: 两个矢量相加
C AB
AB
矢量的减法: 两个矢量相减
C' A B A (B)
差矢量方向：
减数终端→被减数终端
第1章运动的描述
A
C
B

C'
A
B
矢量的内积
a

b

ab
（点乘、标乘）：

0, cos 1, a b ab
第1章运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

矢量预备知识

力学(Classical Mechanics)数学预备知识矢量（vector)矢量（vector)•矢量是物理学研究中所使用的重要数学工具之一，利用矢量来描述物理规律具有许多的优点：–形式简单；–与坐标系的选择无关；•本章内容：1.矢量的加法和减法2.矢量的标积（点积）3.矢量的失积（叉积）4.矢量分解5.矢量函数的微商一、矢量及其表示(Vector and its representation)1.矢量的定义•有些物理量(如位移、速度、加速度、力等）需要同时指明其大小和方向，进行相加运算时遵从平行四边形法则，这类量称为矢量（vector)。

矢量的特点：–由大小和方向（magnitude and direction）唯一地确定，平行一动不会改变一个矢量。

–平行四边形相加法则；vector algebra•有些物理量（如质量、温度、电量等）只需用包含正负的数字来表征，这类量称为标量（scalar)，标量遵从代数运算法则。

标量的特点：–用包含正负的数就可充分描述；–遵从代数运算法则；•矢量和标量不能包含全部的物理量，例如角位移、既不是矢量也不是标量，而是张量（tensor)，需用矩阵表示。

(Vector and its representation)2.矢量的表示•矢量几何表示：从几何的观点看，可用有方向的线段来表示矢量，线段的长度表示该矢量的大小，箭头的方向表示该矢量的方向•矢量的书写：习惯上，书写时在字母上方加一箭头代表矢量，如印刷时用黑体字母表示矢量，如A做作业和考试时，必须用字母上面架箭头的方式表示矢量Av A v 矢端矢尾(Vector and its representation)3.有关矢量的定义•矢量的模：矢量的大小称为矢量的模，矢量A 的模，记为|A |–注：在不致引起混淆的情况下，可用斜体字母表示矢量的模：A•矢量相等(Equality of two vectors): 具有相同长度和相同方向的两个矢量彼此相等。

高一物理矢量和标量归纳知识点

高一物理矢量和标量归纳知识点在高一物理学习中，矢量和标量是重要的概念。

矢量是具有大小和方向的物理量，而标量只有大小没有方向。

深入理解和掌握这些概念对于学习物理非常关键。

下面将对高一物理矢量和标量的相关知识点进行归纳。

1. 矢量和标量的定义矢量是具有大小和方向的物理量，常用箭头表示，如力、速度、位移等。

它们在运算中需考虑方向和大小的综合作用。

而标量只有大小，没有方向，常用数字表示，如时间、温度、质量等。

标量在运算中只需考虑大小的计算。

2. 矢量的表示方法矢量可以使用多种表示方法，包括数值法、文字法和图示法。

数值法是指使用数值和单位来表示矢量，如10 m/s的速度矢量。

文字法是使用字母符号和单位来表示矢量，如V表示速度矢量。

图示法是通过箭头图示来表示矢量的大小和方向，箭头长度表示大小，箭头方向表示方向。

3. 矢量的运算矢量的运算包括矢量相加和矢量相减。

矢量相加时，可以使用平行四边形法则或三角形法则。

平行四边形法则是将矢量按照顺序排列，然后把它们的起点连起来构成平行四边形，连接对角线得到结果矢量。

三角形法则是将矢量按照顺序排列，然后从第一个矢量的尾部画一条线到第二个矢量的尾部，再从第二个矢量的尾部画一条线到第三个矢量的尾部，连接第一个矢量的起点和第三个矢量的终点得到结果矢量。

矢量相减可以通过将被减矢量取反后再进行矢量相加来实现。

4. 矢量的分解矢量的分解是将一个矢量分解为数个分量，常用直角坐标系进行分解。

例如，将一个力矢量分解为水平和垂直方向上的分量。

分解后的矢量之和等于原矢量。

分解矢量使计算和分析更方便和准确。

5. 标量的运算标量的运算较为简单，只需考虑标量的大小即可。

标量相加时，只需将各个标量相加即可；标量相减时，只需用被减数减去减数即可。

标量的乘除法也是类似的，只需进行相应的数值计算即可。

6. 矢量和标量的关系矢量和标量之间有一种特殊的关系，即矢量可以表示为标量与方向的乘积。

例如，力可以表示为施力大小乘以施力方向的矢量。

矢量

A B
B
强调：矢量点乘与矢量叉乘是不同的概念，大家一定要把符号搞清楚，不要混淆。
A
7
r1 r2 x1 x2
i
j y1
k z1
r1 r2
y2 z2 ( y1 z2 y 2 z1 )i ( z1 x2 z2 x1 ) j ( x1 y 2 x2 y1 )k
其他情况： r1 r2 r1 r2 sin
方向：与r1 , r2成右手系。

பைடு நூலகம்
r2 r1
8
（4）矢量的求导 dA d ( Ax i Ay j Az k ) dt dt d d d ( Ax i ) ( Ay j ) ( Az k ) dt dt dt dAx dAy dAz i j k dt dt dt （5）矢量的积分对矢量我们不能直接积分，可以先把矢量投影到x， y，z轴，对各分量分别进行积分，再对得到的各分量值进行矢量合成。
预备知识 ——矢量
1
一、矢量代数的基本知识
标量：只有大小，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量：既有大小又有方向，并有一定的运算规则，例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。 1、矢量的几种表示方式：
几何表示 ——有指向的线段。解析表示（直角坐标系）
z
Az
Axo
i , j , k 表示沿x,y,z 轴的单位矢量。 x 2 2 2 矢量的模 A | A | Ax Ay Az
A(t )
A
方向：沿A(t )矢端曲线的切线且指向与时间增加相对应的方向。 A 大小： lim t 0 t

大学物理知识课件：矢量知识

坐标系中x、y、z 方向的单位矢量

j
Az
o k
i
Ax
x
z Ax Ay Az是矢量在ox，oy，oz轴
上分量的大小
大学物理补充知识
在自然坐标系中 F F Fn
矢量

F P

F
Fn
大学物理补充知识
矢量
(4) 矢量相等
大小相等,方向相同的矢量相等

A
B
如果两矢量大小相等,方向相反
五、矢量的标积和矢积 1、矢量的标积

A B A B cos
矢量
B

A
V S (h cos )
=S h
h
S
大学物理补充知识
矢量
2、矢量的矢积
C AB
C
大小

C A B s in

方向 A B （右手螺旋法则）
B

A

右手四指从 A经小于180角转向B时，右手拇指的
可写成

C A B A ( B )

三末角端形作法一：矢从量一即点为画C。矢量 A和 B。自 B末端向 A
C
A
AC

B
B
B
大学物理补充知识
矢量
总结：矢量合成与分解的几何法
几个矢量合成相加为一个
A
合矢量
y
一个矢量也可分解任意数目的分矢量
见第一章速度和加速度公式推导
大学物理补充知识
矢量
y
或大小
C
C

矢量相关物理知识点总结

矢量相关物理知识点总结矢量是描述物理量的一种数学工具，它可以用来表示物理量的大小和方向。

在物理学中，矢量被广泛应用于描述力、速度、加速度、位移等物理量。

在本文中，我们将总结矢量相关的物理知识点，包括矢量的基本概念、矢量的运算、矢量的坐标表示、以及矢量在物理学中的应用等内容。

一、矢量的基本概念1. 矢量的定义矢量是具有大小和方向的物理量，通常用有向线段来表示。

在数学上，矢量可以表示为箭头，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。

矢量在物理学中有着广泛的应用，例如表示力、速度、加速度、位移等物理量。

2. 矢量的性质矢量有三个基本性质：大小、方向和起点。

矢量的大小表示为矢量的模，通常用|A|表示；矢量的方向表示为矢量的方向角，通常用θ表示。

起点是矢量的起始位置，通常用A表示。

3. 矢量的分解矢量可以分解为两个或多个分量矢量，分量矢量的和等于原始矢量。

矢量的分解可以帮助我们理解矢量的性质和运算规律。

二、矢量的运算1. 矢量的加法矢量的加法满足平行四边形法则，即两个矢量的和等于这两个矢量构成的平行四边形的对角线。

在坐标表示下，矢量的加法可以表示为A+B=(Ax+Bx, Ay+By)。

2. 矢量的减法矢量的减法可以看作是矢量的加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。

在坐标表示下，矢量的减法可以表示为A-B=(Ax-Bx, Ay-By)。

3. 矢量的数量积矢量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的余弦值。

数量积的结果是一个标量，表示为A·B=|A||B|c osθ。

4. 矢量的向量积矢量的向量积又称为叉积或外积，表示为A×B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的正弦值，并且方向垂直于这两个矢量所在的平面。

向量积的结果是一个矢量。

三、矢量的坐标表示1. 矢量的坐标分量矢量在笛卡尔坐标系中可以表示为一个有序实数对(x,y)，其中x表示矢量在x轴上的分量，y表示矢量在y轴上的分量。

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4t (6 t 2 )2t 0 t1 0 t2 2s
(4)r x2 y2 4t 2 (6 t 2 )2
令：dr 0 dt
t2
t1
0, 2s,
r1 6m r2 4.47m
rmin 4.47m
例2
已知
a 16 j ，t=0s时
v (0)
6i
r(0)
8k
求速度和运动方程。
et
ds dt
et
2.自然坐标系下加速度的分量表示
a
dv
dt
d (vet )
dt
dv dt
et
v
det dt
切向加速度 at
速度大小的变化率
v det
dt
当：
有
|
et
||
et
|
方向
即：
v det
dt
v (den )
dt
v d
dt
en
v2
en
法向加速度
速度方向的变化率
质点位置：
s s(t)
路程：
s sQ sP
P
s
s
O
Q
坐标轴： s
切向坐标轴
沿质点前进方向的
O
切向，单位矢量为 et
P
et
en
s
en
Q
et
法向坐标轴
沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为 en
e t , e n 为单位矢量，大小不变，但方向
改变。
1.自然坐标系下速度的分量表示
v
dr
dt
dr dt
r
B
r
A
强调：矢量点乘与矢量叉乘是不同的概念，大家一定
要把符号搞清r楚，r不要r混r淆。r r r r
A B A B AB BA
7
rrr
r r1
r r2
rr i j k r1 r2 x1 y1 z1
x2 yr2 z2
r r2 r
r r1
r
( y1z2 y2 z1)i (z1x2 z2 x1) j (x1 y2 x2 y1)k
(6
t
2
)
ˆj
试求：1、t=2s时的速度、加速度。
2、头两秒内的平均速度、平均加速度
3、何时 v r ?
思考 4、质点何时离原点最近？该最小距离是多少？
解:
(1)v
2iˆ
2tˆj
v (2)
2iˆ
4
ˆj
a
2
ˆj
(2)v
r(2) 2
r(0) 0
2iˆ
2
ˆj
(3)v
r
v
r
0
a
2 ˆj
线量
at
dv dt
R
角量
an
v2 R
R 2
例已知质点r在水5平ti面内(1运5t动，5t运2 )动j 方程为：
求t=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。
解：v
dr
5i
(1510t)
j
dt
a
dv
10j
dt
v 25 (15 10t)2
at
dv dt
10(3 2t) 1 (3 2t)2
平均速率： v s t
s
A r B
瞬时速率（简称速率）：
v lim s ds t t0 dt
一般：
v v
| v ||
dr
|
dr
ds
v
dt dt dt
四、加速度
描述质点速度变化快慢的物理量。
1.平均加速度
t , v1;
t t,
v2 ;
v1
A
在t时间内速度增量为：
v
平均加速度：
v2
解：设质点在任一位置x处速度为v，则
a dv dv dx vdv 4 3x2 dt dx dt dx
由初始条件
v
vdv
x (4 3x2 )dx v
8x 2x3
0
0
• 六、平面曲线运动的自然坐标描述
自然坐标系：
把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。
在运动轨道上任取一点作为坐标原点O。
1.已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度
以及加速度
r r t
v
dr
dt
a
dv
dt
d2r dt 2
2. 已知速度函数（或加速度函数）以及初始条件
求质点的运动方程v源自 dv t adtv0
t0
r r0
dr
t vdt
t0
矢量积分要投影后积！
例1 已知质点的运动方程为
r (t)
2tiˆ
1
z
r
rrrr r r r A Axi Ay j Azk
Az A
Axo
Ay
y
i , j,k
r A | A |
x
Ax2 Ay 2 Az 2
2
z
cos x , cos y , cos z
r
r
r
Az
r A
o Ay
y
cos2 cos2 cos2 1
r xAx
r C
B
r A
第2题一质点做抛物体运动（忽略空气阻力），
质点在运动过程中：
dv
（1）是否变化？
y
dt
（2） d v 是否变化？
0
x
dt
（3）法向加速度是否变化？
（4）最大和最小曲率半径在何处？
8
r dA dt
d dt d dt
rrr ( Axi Ay j Azk )
(
r Axi )
d dt
(
Ay
r j)
d dt
r ( Azk )
dAx
r i
dAy
r j
dAz
r k
dt dt dt
Axr dArx , Ay r dAy ,r Az dAz
A Axi Ay j Azk
9
dAz (t)
k
dt
dt
dt
dt
1. d
(A B)
dA
dB
dt 2. d
( fA)
f
dt dA
dt df
A(
f为标量函数）
3.
dt d
(A
B)
dt dA
dt B
A
dB
dt 4. d
(A B)
dt dA
B
A
dt dB
dt
dt
dt
5.
d
(C )
0(C是常矢量）
rr(2rr1rr2rr2
)
r r1
r r2
r r2
r 2 r12 r22 2r1r2 cos
r r12 r22 2r1r2 cos
6
是
rr A/ B
的夹角Ar 。Brr|是Ar一|| 个Br |单si位n 矢r量。
r r r
AB
rr AB
rr Ar B rA Br r A B
rr A B
置的坐标系统讨论： (1) 运动学中参考系可任选。 (2) 参考系选定后，坐标系可任选。运动形式相同，数学表述不同。
3、常见的坐标系
直角坐标系（ x , y , z ）、自然坐标系 ( s )、
球坐标系（ r, θ, ）、柱坐标系（ , , z ）
二、质点
具有一定质量的，大小和形状可以忽略的理想物体。可以把物体看作质点来处理的两种情况:
t r
v r t
2.瞬时速度(简称速度)
v
lim
r
dr
t0 t dt
r (t)
r
oo
r (t
t
)
速度方向:
沿切线指向前进的方向
在直角坐标系中
v vxi vy j vzk
vx , vy , vz 为速度在 x、y、z 方向的分量。
vx
dx dt
,
vy
dy dt
,
vz
dz dt
3.速率
v1
a
v
t
B
v1 v
v2
2.瞬时加速度（简称加速度）
a
lim
v
dv
d 2r
t0 t dt dt 2
在曲线运动中，加速度总是指向轨道曲线的凹侧。
在直角坐标系中：a axi ay j azk
ax
dvx dt
,
ay
dvy dt
,
az
dvz dt
大小：a
ax2
a
2 y
az2
五、运动学的两类问题
表明：在相对作匀速直线运动的不同参考系中观察同一质点的运动，所测得的加速度相同
伽利略变换关系的前提是：绝对时空观即长度和时间的测量不依赖于参考系（绝对空间和绝对时间）。
绝对时空观，只适用于宏观的、低速运动的物体
【思考】
第1题在质点运动学讲课中曾有两式与
在数学上都是矢量合成，在物理上有何差别？
cos x cos y cos z
r
r
r
2.运动方程矢量形式：
r r(t )
r
x (t )i
y(t)
j
z (t )k
参数形式： x x(t ), y y(t ), z z(t)
3.轨道方程
由参数方程消去t，即可得到质点的轨道方程
F (x, y, z) 0
例如平抛（v0 ，θ=0）
当 t 0 时：
|