群论第二章‘作业’

第二章第二章 群表示论基础群表示论基础§1 1 群表示和表示空间群表示和表示空间群表示和表示空间1． 表示空间表示空间：：线性空间和Hilbert 空间空间线性空间概念线性空间概念：：由三维矢量空间抽象出的n 维向量空间定义了加法和数乘维向量空间定义了加法和数乘（（“+“”“..”）运算运算..向量取值定义在实数域R 或复数域C 上。

普通二维空间和三维空间是线普通二维空间和三维空间是线性性空间的空间的最简单的例子最简单的例子最简单的例子。

这里的这里的““矢量矢量””可以是向量可以是向量,,也可以是波函数也可以是波函数,,对于后者通常是在Hilbert 空间进行运算空间进行运算。

所谓Hilbert 空间是指定义了内积的完备的n 维线性空间维线性空间。

内积内积::线性空间v v 中每一对向量中每一对向量x 和y 对应着唯一的一个数对应着唯一的一个数((x ,y),),且满足下列的四个条件且满足下列的四个条件且满足下列的四个条件，， 则称则称((x ,y )为x 和y 的内积的内积。

1. (x ,x )≥0,0,只只有在x =0时, (x ,x )=0)=0；；2. . ((x ,y )=(y ,x )*； 3. (x α ,y )=α*(x ,y ) ,(α为复为复常常数)；4. . ((x +y ,z )=(x ,z )+(y ,z )一般说一般说,,值域为复数域C C 。

对于三维特例对于三维特例::x =(1ξ,2ξ,3ξ), y =(1η,2η,3η) ) 则则 (x ,y )=3*1j j j ξη=∑对于n 维复线性空间维复线性空间，，(x ,y )=*1n j j j ξη=∑若对波函数若对波函数,,有定义在[],a b 上的复值函数f 1,f 2,则内积内积 12(,)f f =*12()()baf f d τττ∫矢量空间和函数空间统称为线性空间矢量空间和函数空间统称为线性空间。

近世代数习题解答第二章群论1群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明, 我们也可以用条件1,2以与下面的条件''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 <1> 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---= 即 e a a =-1<2> 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = 即 a ea =这样就得到群的第二定义. <3> 证 b ax =可解 取b a x 1-= 这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 <1> 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 <2>a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾<3> b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:n m a a =)(n m 〈 故 e a m n =- m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ,a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同例如 }231,231,1{i i G +-+-=对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ<这里x 是G 的任意元,1是-G 的元>由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 ……τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 <1> :τb ax x +→d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :εx x → 而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ)(1a a τ→那么:21ττ)()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律: 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换. 证 设ε是是变换群G 的单位元G ∈τ ,G 是变换群,故τ是一一变换,因此对集合A 的任意元a ,有A 的元b ,))(()(a a τεε==a b b ==)()(τετ另证 )()(1x x ττε-= 根据.7.1习题3知x x =-)(1ττ5. 证明实数域上一切有逆的n n ⨯矩阵乘法来说,作成一个群.证 G ={实数域上一切有逆的n n ⨯矩阵}G B A ∈, 则11--A B 是AB 的逆从而 G B A ∈,对矩阵乘法来说,G 当然适合结合律且E 〔n 阶的单位阵〕 是G 的单位元. 故 G 作成群.6 置换群1. 找出所有3S 的不能和)(123231交换的元.证 3S 不能和)(123231交换的元有 )(),(),(123321123213123132 这是难验证的.2. 把3S 的所有的元写成不相连的循环置换的乘积解: 3S 的所有元用不相连的循环置换写出来是: <1>, <12>, <13>, <23>, <123>, <132>. 3. 证明:<1> 两个不相连的循环置换可以交换<2> )()(11121i i i i i i k k k --=证<1> ))((121m k k i i i i i +=)(11211132nm m k k nm m k i i i i i i i i i i i i i ++++)(12121113221nm m k k k n m k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i +=++++++=<)(121211132132nii i i i i i i ii i i i i i i nm m k k k m k k k +++++++ 又 m k k i i i 21(++>)(21k i i i =)(12121113221nm m k k k n m k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i +++++++)(112111132nm m k k n m m k iii ii i i i i i i i i i ++++ =)(121211132132n m m k k k nm k k k ii i i i i i i i i i i i i i i +++++++,故))(())((211121k m k m k k i i i i i i i i i i ++= <2> )())((11121i i i i i i i k k k =- ,故)()(11121i i i i i i k k k --=.3. 证明一个K 一循环置换的阶是K.证 设)()(2113221kii i i i i k i i i ==π ………… 设k h 〈, 那么)()(111i k hh ii i i h ≠=+ π５． 证明n S 的每一个元都可以写成)1(,),13(),12(n 这1-n 个２－循环置换 中的若干个乘积.证 根据.6.2定理２.n S 的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积 而我们又能证明同时有)1)(1)(1()(111i i i i i l l =, 这样就得到所要证明的结论.则)(1132nii i i =π)(1111k k ii i i -=-π7 循环群1． 证明一个循环群一定是交换群.证)(a G ∈m a ,G a n∈ 则m n m n nm nma a a aa a ===++2． 假设群的元a 的阶是n ,证明ra 的阶是dn这里),(n r d =是r 和n 的最大公因子 证 因为d n r =),(所以,,11dn n dr r ==而 1),(11=n r3.假设a 生成一个阶n 是的循环群G .证明ra 也生成G ,假如1),(=n r <这就是说r 和n 互素>证 a 生成一个阶n 是的循环群G ,可得生成元a 的阶是n ,这样利用上题即得所证, 或者,由于1),(=n r 有1=+tn srn r tn sr tn sr a a a a a )(===+ 即)(r a a ∈故ra a )()(=4 假定G 是循环群,并且G 与-G 同态,证明-G 也是循环群.证 有2.4.定理1知G 也是群, 设 G 且-=a a )(φ<φ是同态满射>--∈G b 则存在G b ∈使-=b b )(φka b = 因而G ∽-G故k ka a -=)(φ 即ka b -=)(φ 因而ka b --=即Ã=〔ã〕5．假设G 是无限阶的循环群,-G 是任何循环群,证明G 与-G 同态. 证 ⅰ〕设-G 是无限阶的循环群,)(a G =)(--=a G 令ττφ-=a a )(且)()()(ττττφφφa a a a aa a s s s s===⋅--+-所以G ∽-Gⅱ〕设)(--=a G 而-a 的阶是n . 令ψ：11k h a a-→ 当且只当111k nq h +=,n k 〈≤10易 知ψ是G 到-G 的一个满射设k nq k k +=+21则212121)(k k q q n h h ++=+k q q q n +++=)(21 那么 k h h a aa -→212121k k k k qk q a a aaa --+-+--===G ∴∽-G8 子群1．找出S3的所有子群证S3={)132(),123(),23(),13(),12(),1(}的子群一定包含单位元)1(. ⅰ〕S3本身与只有单位元)1(都是子群ⅱ〕包含)1(和一个2一循环的集合一定是子群因)1()(),())(1(2==ij ij ij2H ={)12(),1(},3H ={)13(),1(}, 4H ={)23(),1(}亦为三个子群ⅲ〕包含)1(与两个3—循环置换的集合是一个子群)()(2ijk ijk =, )1())((=ikj ijk 5H ={)132(),123(),1(}是子群,3S 有以上6个子群,今证只有这6个子群,ⅳ〕包含)1(与两个或三个2—循环置换的集合不是子群因)())((ijk ik ij =不属于此集合 ⅴ>若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群 因)()(2ikj ijk =ⅵ>一个集合若出现两个3—循环置换与一个2—循环置换不是子群 因)())((ik ijk ij =ⅶ〕3—循环置换与2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群 因若)(),(ik ij 出现 则)(0)((jk ijk ij = 故3S 有且只有6个子群.2.证明；群G 的两个子群的交集也是G 的子群.证21,H H 是G 的两个子群,21H H H =H 显然非空 H b a ∈, 则1,H b a ∈ 同时2,H b a ∈因2,1H H 是子群,故11H ab ∈-,同时21H ab ∈- 所以11H ab ∈-H H =2 故H 是G 的子群3．取3S 的子集)}123(),12{(=S ,S 生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不会生成相同的子群？证 S ∈=)1()12(2S ∈=)23()132)(12( 从而 3S S =群的两个不同的子集会生成相同的子群)}123{(1=S 1S 生成的子群为{)132(),123(),1(} )}132{(2=S 2S 生成的子群为{)132(),123(),1(}4．证明,循环群的子群也是循环群.证 G =〔a 〕是循环群,H 是G 的子群 设H a k ∈,而k h 〈〈0时H a k∉.任意H b ∈ 则G b ∈ 因而ma b =r kq m +=k r 〈≤0 因H a m∈,q k kqa a)(=所以)(k a H =是循环群.5. 找出模12的剩余类加群的所有子群证剩余类加群是循环群故其子群是循环群.G ={]11[,],1[],0[ }<ⅰ> G ====])11([])7([])5([])1([ <ⅱ> ])0([1=H<ⅲ>])10([])2([=即2H ]}10[],8[],6[],4[],2[],0{[= <ⅳ> [])9(])3([= 即3H ]}9][6[],3[],0{[= <ⅴ>])8([])4([=即4H ]}8[],4[],0{[= <ⅵ> <[6]> 即5H ]}6[],0{[= 有且只有以上6个 子群.6.假定H 是群G 的一个非空子集,并且H 的每一个元的阶都有限,证明,H 作成子群的充要条件:H b a ∈,推出H ab ∈ 证 必要性 显然充分性H b a ∈,推出H ab ∈,<*>所以只证H a ∈推出即可.H a ∈,a 的阶有限 设为me a m = 即e aa m =-1所以11--=m a a由<*> 可知H am ∈-1,因而H a ∈-1这样H 作成G 的子群.9 子群的陪群1. 证明阶是素数的群一定是循环群 证：设群G 的阶是素数P ,则可找到G a ∈而e a ≠, 则a 的阶p , 根据.9.2定理3知p n , 但p 是素数,故,p n = 那么121,,-p aa a a 是G 的P 个不同元,所以恰是P 的不同元,故p n =.2. 证明阶是mp 的群<p 是素数>一定包含一个阶是p 的子群.证：设阶是mp 的群为G ,m 是正整数, 可取G a ∈, 而e a ≠, 根据.9.2定理3,a 的阶是np 而m n ≤, 进一步可得1-n p a的阶为p .)(1-=∴n p aH 是阶为p 的G 的子群.3. 假定a 和b 是一个群G 的两个元,并且ba ab =,又假定a 的阶是m ,b 的阶n 是并且1)(=mn .证明:ab 的阶是mn证 e b a ab e b e a mn mn mnnm==∴==)(, .设.)(e ab r = 则1),(,)(=⇒===n m mr n e b b a ab mr mr mr mr故.r n 1),(,)(=⇒==n m nr m e b a ab nr nr nr 故r m 又1),(=n m r mn ∴ 因此ab 的阶是mn .4. 假定~是一个群G 的元间的一个等价关系,并且对于G 的任意三个元',,x x a 来说,''~~x x ax ax ⇒证明与G 的单位元e 等价的元所作成的集合为H 证 由于~是等价关系,故有'~e e 即H b a H e ∈∈,,.,则e b e a ~,~ 因而11~,~--bb be aa ae 由题设可得11~,~--b e a e 由对称律与推移律得11~--a b再由题设得e ab~1-即 H ab ∈-1这就证明了H 是G 的一个子群.5. 我们直接下右陪集Ha 的定义如下:Ha 刚好包含G 的可以写成G 的每一个元属于而且只属于一个右陪集. 证 任取G a ∈则Ha ea a ∈=这就是说,G 的每一个元的确属于一个右陪集 若Hb x Ha x ∈∈,则.,21b h x a h x == 则b h a h 21=,因而a h h b b h h a 112211,--==Ha Hb Hb Ha ⊂⊂⇒,故Ha=Hb这就证明了,G 的每一个元只属于一个右陪集.6. 若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是4的群, 它们都是交换群.证 设G 是阶为4的群.那么G 的元的阶只能是.4,2,1 1．若G 有一个元的阶为4,则G 为循环群;2. 若G 有一个元的阶为2,则除单位元外,其他二元的阶亦均未2. 就同构的观点看阶为4的群,只有两个; 由下表看出这样的群的确存在. 循环群0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 33 0 1 2非循环群循环群是交换群,由乘法表看出是交换群10不变子群、商群1.假定群G 的不变子群N 的阶是2,证明,G 的中心包含N .证设},{n e N =N 是不变子群,对于任意G a ∈有若e ana=-1则a an =,e n =矛盾n ana =-1则na an =即n 是中心元.又e 是中心元显然. 故G 的中心包含N .2. 证明,两个不变子群的交集还是不变子群令证 21N N N = ,则N 是G 的子群.1N n N n ∈⇒∈与2N n ∈,N ana N ana N ana ∈⇒∈∈---12111,故N 是不变子群.3.证明:指数是2的子群一定是不变子群.证设群H 的指数是2 则H 的右陪集为Ha He ,H 的左陪集为aH eH ,由aH eH Ha He =易知aH Ha = 因此不论x 是否属于H 均有xH Hx =4.假定H 是G 的子群,N 是G 的不变子群,证明HN 是G 的子群. 证任取 HN n h HN n h ∈∈2211,e a b c e e a b c aa e cb b bc e a cc b a e至于HN 非空是显然的 !HN 是G 的子群.5.列举证明,G 的不变子群N 的不变子群1未必是G 的不变子群<取G=!> 证取4S G =易知N 是G 的子群,1N 是N 的子群 我们说N 是G 的不变子群,这是因为 此即说明.,,1N n G a N ana ∈∈∈-因为N 是阶为4的群,所以为交换群,故其子群1N 是不变子群. 但1N 却不是G 的不变子群,原因是:6.一个群G 的可以写成ab b a 11--!形式的元叫做换位子.证明: i>所有的有限个换位子的乘积作成的集合C 是G 的一个不变子群; ii>G/C 是交换群;iii>若N 是G 的一个不变子群,并且G/N 是交换群,那么C N ⊃证i>e 显然是有限个换位子的乘积;ee e e e 11--=故C e ∈<有限个换位子的乘积> <有限个换位子的乘积>= 有限个换位子的乘积,故C 对G 的乘法是闭的. 由于()ba a b abb a 11111-----=1是换位子,故<有限个换位子的乘积>的逆仍为<有限个换位子的乘积>即有,1C c =-故C 是子群;由C gcg ∈-1有()C c c gcg ∈--11 即C gcg∈-1所以C 是不变子群.<ii>x 、G y ∈C c ∈c xy y x =--11 就有yxc xy =故yxC xy ∈ 1 因而yxC xyC =即))(())((xC yC yC xC = 所以NG是交换子群;<iii>因G/N 是交换子群 就有 ))(())((xN yN yN xN = 因此 N xy y x ∈--11又由于N 是子群,所以N 包含有限个换位子的乘积, 即C N ⊃.11同态与不变子群1．我们看一个集合A 到集合-A 的满射φ,证明,若S 是-S 的逆象,-S 一定是S 的象;但若-S的S 的象,S 不一定是-S 的逆象. 证ⅰ > 在φ之下的象一定是-S ;若有S 的元s 在φ之下的象--∉S s ,则s 有两个不同的象,故矛盾 又-S 的逆象是S 两者合起来,即得所证ⅱ>设 },6,5,4,3,2,1{=A }2,1{=-A 令}3,1{=S在φ之下}1{=-S 但-S 的逆象是}5,3,1{2.假定群G 与群-G 同态,-N 是-G 的一个不变子群,N 是-N 的逆象.证明:证设-→x x :1φ是G 到-G 的同态满射;---→N x x :2φ是-G 到--N G的同态满射.规定:φ))(,)((2------==→N x x x x N x x φφ则φ是G 到--NG 的同态满射.事实上,))(,)((:21------==→N y y y y N y y φφφ则--+=+=+y x y x y x )()()(111φφφ 故----+→+N y N x y x :φ 这就是说,--NGG ~现在证明同态满射φ的核是NN x ∈则-=x x )(1φ由于N 是-N 的逆象故 -=x x )(1φ 因而----==N N x x )(2φ 另一方面,若 --∈N x 则N x ∈ <N 是-N 的逆象>根据1.2 1定理2.3．假定G 和-G 是两个有限循环群,它们的阶各是m 和n 证明G 与-G 同态,当而且只当m n 的时候证〔ⅰ〕 N G令N 为同态满射的核心,N G 的阶一定整除G 的阶 但-≅G N G故-G 的阶一定整除G 的阶.即.m n 〔ⅱ〕-⇒G G m n ~.设 )(),(--==a G a G令)0,(:n r r nq i a a ri〈≤+=→-φ.11 / 11 在φ下 1r ka a -→)0,(111n r r nq i 〈≤+=而 r nq r r +=+21)0(n r 〈≤即-G G ~4．假定G 是一个循环群,N 是G 的一个子群,.证明,N G 也是循环群. 证设)(a G = G b ∈则m a b =另证G 是循环群,由.10.2习题1知:G 是交换群,又由!.例3知N 是G 是一个不变子群,由这一节定理1得 再由.7.2习题4知N G 是循环群.。

11. （1）（5）（7）2. T (e )=T (ee )=T (e )T (e )det T (e )≠0,两边同乘T −1(e )⇒ T (e )=1。

1=T (e )=T (gg −1)=T (g )T (g −1)⇒T (g −1)=T −1(g ).3. 按定义检验保乘法和非奇异性。

4. Easy.5. Easy.6. 利用给出的公式直接计算。

exp A =e 52( cosh √332−√311sinh √3326√33√3324√33√332cosh √332+√311sinh √332), ln A =⋯7. det S =0,tr S =0,tr S 2=−10, 得三维矩阵的恒等式S 3+5S =0，(S √5⁄)3=−(S √5⁄)， exp *tS +=( 4+1cos(√5t)√5√5t 2−2cos(√5t)1√5√5t cos(√5t)2√5√5t 25−25cos(√5t)2√5√5t 15+45cos(√5t)) 8. 略。

9. 直接计算，略。

10. Easy.11. 按定义验证。

12. 按定义验证。

13. gK⃗ j ∗K ⃗ k g −1=K ⃗ j ∗K ⃗ k ，可知同一个共轭类中的元素出现的次数相同。

14. 按定义验证。

15. 伴随表示刚好是SO(3)矩阵群的生成元。

16. 按定义写出。

17. 按定义写出。

18. T 1(g )=MT 2(g )M −1→M †MT 2(g )=T 2(g )M †M →M †M =λ1，M →M √λ⁄。

19. 考虑T (ℎ)∑T (g )g∈K T −1(ℎ)。

20. （1）easy.（2）1.21. 略。

22. 略。

23. 利用特征标的正交定理。

24. 计算恒等表示的重复度。

25. （1）检查特征标的内积是否为1。

（2）利用Burnside 和其它相关定理。

（3）（4）easy 。

26. 和13题相同。

27. 利用上题，类算符的在不可约表示中的表示矩阵正比于单位矩阵，比例常数可直接求得。

《群论》部分习题解答版权所有人：Wu TS,2006年4月第一章.预备知识(Chapter1.Preliminary) 4.(Page28)Let S be the set of all n×n symmetric real matrices and in S we define a binary relation∼in the followingA∼B if and only if there exists an invertible matrix C such that B=C AC,where C is the transpose matrix of C.Prove that∼defines an equivalent relation in pute|S/∼|.解答：（1）直接验证∼是S的一个等价关系。

（2）根据线性代数理论，对于任意实对称矩阵A,存在可逆矩阵Q 使得Q AQ是对角矩阵diag{1,1,···,−1,···,−1,0,···,0},简记为Q AQ=E r000−E s0000=Dr,s,其中r+s=r(A).根据惯性定理，其中的r也是由A唯一确定的。

因此，两个n阶实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是r(A)=r(B)且正惯性指数相同。

所以我们得到S/∼={D r,s|0≤r,s and r+s≤n},其中，D r,s={P D r,s P|P∈GL n(R)}.下面计算|S/∼|.(1)满足r=0的D r,s共有n+1个，它们分别是D0,0,D0,1,D0,2,···,D0,n.(2)满足r=1的D r,s共有n个，它们分别是D1,0,D1,1,D1,2,···,D1,n−1.···(n+1)满足r=n的D r,s共有1个，即为D n,0.因此，|S/∼|=n+1j=1j=(n+1)(n+2)2.1第二章.群论(Chapter2.Group Theory)1.(Page49)Prove that both G1={(a ij)n×n|a ij∈Z,det(A)=1}and G2= {(a ij)n×n|a ij∈Q,det(A)=1}are groups under the matrix multiplication.证明:只证明G1是子群。

近世代数第二章群论答案§ 1.群的定义1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律。

例如3 2 1 3 1 2 3 2 1 1 1 03 2 1 3 2 12. 举一个有两个元的群的例。

解：令G e,a , G的乘法由下表给出首先，容易验证，这个代数运算满足结合律(1) x y z x y z x, y,z G因为，由于ea ae a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。

(参考第一章，§ 4,习题3。

)若是e不在(1)中出现，那么有aa a ea a a aa ae a而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。

所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

3. 证明，我们也可以用条件I,H 以及下面的条件IV , V 来做群的定义:IVG 里至少存在一个右逆元a 1，能让ae = a对于G 的任何元a 都成立；V对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个右逆元a 1，能让1aa = e解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件 I,II,IV,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。

§ 2.单位元、逆元、消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程x 2 = e ，那么G 是交换群。

解：令a 和b 是G 的任意两个元。

由题设2ab ab = ab = e另一方面ab ba = ab 2a = aea= a 2 = e于是有ab ab = ab ba 。

利用消去律，得ab = ba所以G 是交换群。

2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。

解：令G 是一个有限群。

设G 有元a 而a 的阶n>2。

考察a 1。

我们有n 1n1n1 na a = ee a = a = e设正整数m<n而a1"=e，那么同上可得a m = e，与n是a的阶的假设矛盾。

Exercises1.Find a formula for the inverse of a general 2⇥2matrix.2.Find the inverse of the following matrix0@3212211141A 3.Show that an n ⇥n orthogonal matrix has n (n 1)/2independent parameters.4.Show that an n ⇥n unitary matrix has n 2independent parameters.5.Show that( ·a )( ·b )=a ·b I 2+i ·(a ⇥b ).where ⌘ 1ˆx + 2ˆy + 3ˆz with i (i =1,2,3)are the Pauli matices,a ,b are ordinary vectors,and I 2is the 2⇥2unit matrix.6.Find the eigenvalues and a set of orthonormal eigenvectors for the following matrix.What is the unitary matrix for diagonalizing it?0@1010101011A 7.Find the eigenvalues and a set of orthonormal eigenvectors for the following matrix.0@0011000101A 8.Find the eigenvalues and a set of orthonormaleigenvectors for the following matrix.0B B @00010010010010001C C A 9.Let A,B be two complex n ⇥n matrices.Show that:(a)if [A,B ]=0,then e A e B =e A +B ;(b)if B is regular (non-singular),then Be A B 1=e BAB 1;(c)Det (e A )=e Tr A .7374CHAPTER9.SU(3)GROUP10.If a,b2G,show that ab and ba have the same order.11.Prove that a group whose order N is a prime number must be a cyclic group C N.12.The permutation group S3has the following6elementse=✓123123◆a1=✓123231◆a2=✓123312◆a3=✓123213◆a4=✓123132◆a5=✓123321◆please construct the multiplication table.13.Let H be a subgroup of a group G.The normalizer N H of H in G is defined by N H= g2G:gHg 1=H.Verify that N H is a subgroup of G and H is a normal (or invariant)subgroup of N H.14.If A and B are two subgroups of a group G,prove that the common elements in Aand B also form a subgroup of G.15.Let A and B be subgroups of G such that AB=BA.Show that AB is a subgroup ofG.16.If A and B are two subgroups of G,prove that the common elements in A and B alsoare form a subgroup of G.17.Show that every element of a group belongs to one and only one class,and the identityelement forms a class by itself.18.Show that once you have a matrix representation of a group,a one-dimensional rep-resentation can be obtained by taking the determinants of the matrices.19.Prove that the module of any representation matrix in a one-dimensional representa-tions of afinite group is equal to1.20.Prove that any irreducible representation of afinite Abelian group is one-dimensional.21.Prove that the similarity transformation matrix between two equivalent irreducibleunitary representation of afinite group,if restricting its determinant to be1,has to be unitary.22.If D(g)is one representation of group G,show that D⇤(g)is also one representationof G,while D 1(g)and D†(g)are not,unless the group G is Abelian group.23.The rank3cyclic group C3⌘Z3has three elements{e,a,b=a2}with a3=e.(a)Please write down the multiplication table for this group.(b)What are the(conjugacy)classes?(c)Please write down its character table.(d)What are the irreducible representations of the group?(e)Write down the explicit matrices of its regular representation?(f)Is the regular representation reducible?If yes,what is the proper similaritytransformation matrix to make them into complete reducible forms?。

近世代数习题解答二章近世代数习题解答第二章群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说就是不就是一个群?证不就是一个群,因为不适合结合律、2、举一个有两个元的群的例子、证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说就是一个群、3、证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件''5,4来作群的定义:'4、 G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立 '5、对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定就是一个左逆元,意思就是由e aa=-1 得e a a =-1 因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也就是一个左恒等元,意即由 a ae = 得 a ea =a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义、(3) 证 b ax =可解取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义、反过来有群的定义得到''5,4就是不困难的、 2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就就是交换群、证由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(、 2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数就是偶数、证 (1) 先证a 的阶就是n 则1-a 的阶也就是n 、e e a a e a n n n ===?=---111)()(若有n m ? 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶就是n 矛盾、a Θ的阶等于1-a 的阶 (2) a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =?=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定就是偶数3. 假定G 就是个数一个阶就是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定就是奇数、证根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数就是偶数;因此阶2≤的元的个数仍就是偶数,但阶就是1的元只有单位元,所以阶2≤的元的个数一定就是奇数、4. 一个有限群的每一个元的阶都就是有限的、证G a ∈故G a a a a n m ∈K K K ,,,,,,2由于G 就是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:n m a a = )(n m ? 故 e a m n =-m n -就是整数,因而a 的阶不超过它、4 群的同态假定在两个群G 与-G 的一个同态映射之下,-→a a ,a 与-a 的阶就是不就是一定相同? 证不一定相同例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G 对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 就是G 的任意元,1就是-G 的元)由φ可知G ∽-G但 231,231i i --+-的阶都就是3、而1的阶就是1、5 变换群1. 假定τ就是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1证我们的回答就是回有的},3,2,1{K =A 1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→33→2 3→44→3 4→5… …τ显然就是一个非一一变换但εττ=-12. 假定A 就是所有实数作成的集合、证明、所有A 的可以写成ba b ax x ,,+→就是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群、这个群就是不就是一个交换群?证(1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)(d cb ca +,就是有理数0≠ca Θ 就是关闭的、(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则:ε x x →(4) :τ b ax +)(1:1ab x a x -+→-τ而εττ=-1所以构成变换群、又1τ: 1+→x x:2τ x x 2→:21ττ )1(2+→x x:12ττ 12+→x x故1221ττττ≠因而不就是交换群、3、假定S 就是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→ 来说明一个变换τ、证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还就是S 的单位元、证:1τ )(1a a τ→:2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→显然也就是A 的一个变换、现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ==→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ故)()(321321ττττττ=再证ε还就是S 的单位元:ε )(a a a ε=→:ετ )()]([a a a ττε=→τ :τε )()]([a a a τετ=→ ∴ τεετ=4. 证明一个变换群的单位元一定就是恒等变换。