新课标2020版高考数学二轮复习专题七鸭部分 坐标系与参数方程练习理新人教A版

第1讲 坐标系与参数方程1．(2019·东北四市联合体模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的倾斜角为30°，且经过点A (2，1)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2：ρcos θ＝3.从坐标原点O 作射线交l 2于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|OM |·|ON |＝12，记点N 的轨迹为曲线C .(1)写出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 1与曲线C 交于P ，Q 两点，求|AP |·|AQ |的值．解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 30°y ＝1＋t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t y ＝1＋12t(t 为参数)．设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ1)(ρ>0，ρ1>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ1＝12θ＝θ1，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ3cos θ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0(x ≠0)．(2)设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 1的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中， 得(2＋32t )2－4(2＋32t )＋(1＋12t )2＝0， 即t 2＋t －3＝0，Δ＝13>0，t 1，t 2为方程的两个根，所以t 1t 2＝－3，所以|AP ||AQ |＝|t 1t 2|＝|－3|＝3.2．(2019·四省八校双教研联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝t2(其中t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝1.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)过P (0，1)的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，当|PA |·|PB |＝8时，求直线l 的倾斜角． 解：(1)消去参数t 得曲线C 1的普通方程为x 2＝4y ，曲线C 2的极坐标方程可化为ρcos θ－3ρsin θ＝2，化为直角坐标方程为x －3y －2＝0.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m cos αy ＝1＋m sin α(m 为参数，α为直线l 的倾斜角且α≠90°)，代入曲线C 1的普通方程中得m 2cos 2α－4m sin α－4＝0，所以m 1m 2＝－4cos 2α，所以|PA |·|PB |＝|m 1m 2|＝4cos 2α＝8，得α＝45°或135°，即直线l 的倾斜角为45°或135°.3．(2019·广州市综合检测(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝sin 2t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sin θ－a cos θ)＝12(a ∈R )．(1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程；(一题多解)(2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，求a 的取值范围．解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρ(sin θ－a cos θ)＝12，得直线C 2的直角坐标方程为y －ax ＝12，即ax －y ＋12＝0.(2)法一：由直线C 2∶ax －y ＋12＝0，知直线C 2恒过点M (0，12)．由y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，知当y ＝0时，x ＝±1，则直线MP 的斜率为k 1＝0－12－1－0＝12，直线MQ 的斜率为k 2＝0－121－0＝－12.因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即－12≤a ≤12.所以a 的取值范围为[－12，12]．法二：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)ax －y ＋12＝0，消去y 得x 2＋ax －12＝0，依题意，得x 2＋ax －12＝0在[－1，1]上有两个不相等的实根．设f (x )＝x 2＋ax －12，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2>0－1<－a 2<1f (－1)＝12－a ≥0，f (1)＝12＋a ≥0解得－12≤a ≤12.所以a 的取值范围为[－12，12]．4．(2019·湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝42sin(θ＋π4)．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 的交点为A ，B ，Q 是曲线C 上的动点，求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t 消去t 得x ＋y －5＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.由ρ＝42sin(θ＋π4)＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.(2)由(1)知，曲线C 是以(2，2)为圆心，22为半径的圆，直线l 过点P (3，2)，可知点P 在圆内．将直线l 的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－22t y ＝－2＋22t ，代入圆的直角坐标方程，得t 2－92t ＋33＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝92，t 1t 2＝33， 所以|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝30. 又圆心(2，2)到直线l 的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，所以△ABQ 面积的最大值为12×30×(22＋22)＝5152.5．(2019·济南市学习质量评估)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t y ＝a ＋12t(t 为参数，其中a >0)，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P (0，a )满足1|PM |＋1|PN |＝4，求a 的值．解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2. (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t y ＝a ＋12t(t 为参数)代入y ＝x 2，得34t 2－t 2－a ＝0，Δ＝14＋3a >0.设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23，t 1t 2＝－4a3，所以1|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM ||PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝49－4·(－4a 3)|－4a 3|＝4，化简得64a 2－12a －1＝0， 解得a ＝14或a ＝－116(舍去)，所以a ＝14.6．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数，实数a >0)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝b ＋b sin φ(φ为参数，实数b >0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α(ρ≥0，0≤α≤π2)与C 1交于O ，A两点，与C 2交于O ，B 两点，当α＝0时，|OA |＝1；当α＝π2时，|OB |＝2.(1)求a ，b 的值；(2)求2|OA |2＋|OA |·|OB |的最大值．解：(1)将C 1的参数方程化为普通方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，其极坐标方程为ρ1＝2a cos θ，由题意可得，当θ＝α＝0时，|OA |＝2a ＝1，所以a ＝12.将C 2的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －b )2＝b 2，其极坐标方程为ρ2＝2b sin θ， 由题意可得，当θ＝α＝π2时，|OB |＝2b ＝2，所以b ＝1.(2)由(1)可得C 1，C 2的方程分别为ρ1＝cos θ，ρ2＝2sin θ，所以2|OA |2＋|OA |·|OB |＝2cos 2θ＋2sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋1＝2sin(2θ＋π4)＋1. 因为θ＝α，0≤α≤π2，所以0≤θ≤π2，所以2θ＋π4∈[π4，5π4]，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，2sin(2θ＋π4)＋1取得最大值，为2＋1.7．(2019·合肥市第一次质量检测)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102cos αy ＝sin α(α为参数)，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)P ，Q 为曲线C 上两点，若OP →·OQ →＝0，求|OP →|2·|OQ →|2|OP →|2＋|OQ →|2的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102cos αy ＝sin α，得曲线C 的普通方程是2x 25＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入，得5ρ2sin 2θ＋2ρ2cos 2θ＝5，即ρ2＝53sin 2θ＋2(ρ2＝55sin 2θ＋2cos 2θ也可得分)． (2)因为ρ2＝55sin 2θ＋2cos 2θ，所以1ρ2＝sin 2θ＋2cos 2θ5， 由OP →·OQ →＝0，得OP ⊥OQ ，设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，则点Q 的极坐标可设为(ρ2，θ±π2)，所以|OP →|2·|OQ →|2|OP →|2＋|OQ →|2＝11|OP →|2＋1|OQ →|2＝11ρ21＋1ρ22＝1sin 2θ＋2cos 2θ5＋cos 2θ＋2sin 2θ5＝11＋25＝57.8．(2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．(1)若点P 的极坐标为(2，π)，求|PM |·|PN |的值； (2)求曲线C 的内接矩形周长的最大值．解：(1)由ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12得x 2＋3y 2＝12，故曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，点P 的直角坐标为(－2，0)，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝22t代入曲线C 的直角坐标方程x 212＋y24＝1中，得t 2－2t－4＝0，设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝4.(2)由(1)知，曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的动点A (23cos α，2sin α)，0<α<π2，则以A 为顶点的内接矩形的周长为4(23cos α＋2sin α)＝16sin(α＋π3)，0<α<π2.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当α＝π6时取得最大值．第1讲 坐标系与参数方程[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标．解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π. (2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．解：(1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.[明考情]1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．极坐标方程及其应用[典型例题](2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【解】 (1)因为M (ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 的任意一点．连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.(1)极坐标方程与普通方程互化的技巧①巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsinθ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．②巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．③将直角坐标方程中的x 换成ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程． (2)求解与极坐标有关问题的主要方法①直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．②转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．[对点训练]1．(2019·合肥模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 1的极坐标方程式为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0.(2)设A (π2，ρ1)、B (π4，ρ2)，将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋ 2. 故△OAB 的面积为12×(1＋2)2×sin π4＝1＋324.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与 C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.参数方程及其应用 [典型例题](2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 【解】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cosα＋sin α)t －8＝0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.(1)有关参数方程问题的2个关键点①参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化． ②利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义． (2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：①t 0＝t 1＋t 22.②|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③|AB |＝|t 2－t 1|.④|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[对点训练]1．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求|AB |的值；(2)若F 为曲线C 的左焦点，求FA →·FB →的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，消去参数θ得x 216＋y 24＝1.由⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23消去参数t 得y ＝2x －4 3.将y ＝2x －43代入x 2＋4y 2＝16中，得17x 2－643x ＋176＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝64317，x 1x 2＝17617.所以|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝517×(643)2－4×17×176＝4017，所以|AB |的值为4017. (2)由(1)得，F (－23，0)，则 FA →·FB →＝(x 1＋23，y 1)·(x 2＋23，y 2) ＝(x 1＋23)(x 2＋23)＋(2x 1－43)(2x 2－43) ＝x 1x 2＋23(x 1＋x 2)＋12＋4[x 1x 2－23(x 1＋x 2)＋12] ＝5x 1x 2－63(x 1＋x 2)＋60 ＝5×17617－63×64317＋60＝44，所以FA →·FB →的值为44.极坐标方程与参数方程的综合应用[典型例题](2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为(2，π4)． (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)(一题多解)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.【解】 (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为(2，π4)，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1)．(2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 代入x 22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝|t 1＋t 22|＝5541. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t y ＝1＋45t，消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880>0， 所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M (841，－341)．所以|PM |＝(841－1)2＋(－341－1)2＝(－3341)2＋(－4441)2＝5541.解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．[对点训练]1．(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0<r <2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围． 解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一： 把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)>0，结合0<r <2，得3<r 2<4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2>0， 所以1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2.因为3<r 2<4，所以0<4－r 2<1， 所以1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12ty ＝32t(t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)>0，结合0<r <2，得3<r 2<4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1>0，t 2>0， 所以1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2.因为3<r 2<4，所以0<4－r 2<1， 所以1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．2．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B (ρ2，φ＋π6)，C (ρ3，φ－π6)(ρ1，ρ2，ρ3>0)都在曲线M 上．(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t y ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC 的面积．解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos(φ＋π6)，ρ3＝2cos(φ－π6)，则ρ2＋ρ3＝2cos(φ＋π6)＋2cos(φ－π6)＝23cos φ＝3ρ1.(2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，所以在平面直角坐标中，B (12，32)，C (2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，所以ρ1＝ 3.所以四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.1．(2019·东北四市联合体模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的倾斜角为30°，且经过点A (2，1)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2：ρcos θ＝3.从坐标原点O 作射线交l 2于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|OM |·|ON |＝12，记点N 的轨迹为曲线C .(1)写出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 1与曲线C 交于P ，Q 两点，求|AP |·|AQ |的值．解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 30°y ＝1＋t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t y ＝1＋12t(t 为参数)．设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ1)(ρ>0，ρ1>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ1＝12θ＝θ1，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ3cos θ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0(x ≠0)．(2)设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 1的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中， 得(2＋32t )2－4(2＋32t )＋(1＋12t )2＝0， 即t 2＋t －3＝0，Δ＝13>0，t 1，t 2为方程的两个根，所以t 1t 2＝－3，所以|AP ||AQ |＝|t 1t 2|＝|－3|＝3.2．(2019·四省八校双教研联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝t 2(其中t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝1.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)过P (0，1)的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，当|PA |·|PB |＝8时，求直线l 的倾斜角． 解：(1)消去参数t 得曲线C 1的普通方程为x 2＝4y ，曲线C 2的极坐标方程可化为ρcos θ－3ρsin θ＝2，化为直角坐标方程为x －3y －2＝0.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m cos αy ＝1＋m sin α(m 为参数，α为直线l 的倾斜角且α≠90°)，代入曲线C 1的普通方程中得m 2cos 2α－4m sin α－4＝0， 所以m 1m 2＝－4cos 2α，所以|PA |·|PB |＝|m 1m 2|＝4cos 2α＝8，得α＝45°或135°，即直线l 的倾斜角为45°或135°.3．(2019·广州市综合检测(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝sin 2t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sin θ－a cos θ)＝12(a ∈R )．(1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程；(一题多解)(2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，求a 的取值范围．解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρ(sin θ－a cos θ)＝12，得直线C 2的直角坐标方程为y －ax ＝12，即ax －y ＋12＝0.(2)法一：由直线C 2∶ax －y ＋12＝0，知直线C 2恒过点M (0，12)．由y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，知当y ＝0时，x ＝±1，则直线MP 的斜率为k 1＝0－12－1－0＝12，直线MQ 的斜率为k 2＝0－121－0＝－12.因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即－12≤a ≤12.所以a 的取值范围为[－12，12]．法二：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)ax －y ＋12＝0，消去y 得x 2＋ax －12＝0，依题意，得x 2＋ax －12＝0在[－1，1]上有两个不相等的实根．设f (x )＝x 2＋ax －12，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2>0－1<－a 2<1f (－1)＝12－a ≥0，f (1)＝12＋a ≥0解得－12≤a ≤12.所以a 的取值范围为[－12，12]．4．(2019·湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝42sin(θ＋π4)．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 的交点为A ，B ，Q 是曲线C 上的动点，求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t 消去t 得x ＋y －5＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.由ρ＝42sin(θ＋π4)＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.(2)由(1)知，曲线C 是以(2，2)为圆心，22为半径的圆，直线l 过点P (3，2)，可知点P 在圆内．将直线l 的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－22t y ＝－2＋22t ，代入圆的直角坐标方程，得t 2－92t ＋33＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝92，t 1t 2＝33， 所以|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝30. 又圆心(2，2)到直线l 的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，所以△ABQ 面积的最大值为12×30×(22＋22)＝5152.5．(2019·济南市学习质量评估)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t y ＝a ＋12t(t 为参数，其中a >0)，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P (0，a )满足1|PM |＋1|PN |＝4，求a 的值．解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2. (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t y ＝a ＋12t(t 为参数)代入y ＝x 2，得34t 2－t 2－a ＝0，Δ＝14＋3a >0.设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23，t 1t 2＝－4a3，所以1|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM ||PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝49－4·(－4a 3)|－4a 3|＝4，化简得64a 2－12a －1＝0， 解得a ＝14或a ＝－116(舍去)，所以a ＝14.6．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数，实数a >0)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝b ＋b sin φ(φ为参数，实数b >0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α(ρ≥0，0≤α≤π2)与C 1交于O ，A两点，与C 2交于O ，B 两点，当α＝0时，|OA |＝1；当α＝π2时，|OB |＝2.(1)求a ，b 的值；(2)求2|OA |2＋|OA |·|OB |的最大值．解：(1)将C 1的参数方程化为普通方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，其极坐标方程为ρ1＝2a cos θ， 由题意可得，当θ＝α＝0时，|OA |＝2a ＝1，所以a ＝12.将C 2的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －b )2＝b 2，其极坐标方程为ρ2＝2b sin θ， 由题意可得，当θ＝α＝π2时，|OB |＝2b ＝2，所以b ＝1.(2)由(1)可得C 1，C 2的方程分别为ρ1＝cos θ，ρ2＝2sin θ，所以2|OA |2＋|OA |·|OB |＝2cos 2θ＋2sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋1＝2sin(2θ＋π4)＋1. 因为θ＝α，0≤α≤π2，所以0≤θ≤π2，所以2θ＋π4∈[π4，5π4]，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，2sin(2θ＋π4)＋1取得最大值，为2＋1.7．(2019·合肥市第一次质量检测)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102cos αy ＝sin α(α为参数)，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)P ，Q 为曲线C 上两点，若OP →·OQ →＝0，求|OP →|2·|OQ →|2|OP →|2＋|OQ →|2的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102cos αy ＝sin α，得曲线C 的普通方程是2x 25＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入，得5ρ2sin 2θ＋2ρ2cos 2θ＝5，即ρ2＝53sin 2θ＋2(ρ2＝55sin 2θ＋2cos 2θ也可得分)． (2)因为ρ2＝55sin 2θ＋2cos 2θ，所以1ρ2＝sin 2θ＋2cos 2θ5， 由OP →·OQ →＝0，得OP ⊥OQ ，设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，则点Q 的极坐标可设为(ρ2，θ±π2)，所以|OP →|2·|OQ →|2|OP →|2＋|OQ →|2＝11|OP →|2＋1|OQ →|2＝11ρ21＋1ρ22＝1sin 2θ＋2cos 2θ5＋cos 2θ＋2sin 2θ5＝11＋25＝57.8．(2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．(1)若点P 的极坐标为(2，π)，求|PM |·|PN |的值； (2)求曲线C 的内接矩形周长的最大值．解：(1)由ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12得x 2＋3y 2＝12，故曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，点P 的直角坐标为(－2，0)，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝22t代入曲线C 的直角坐标方程x 212＋y24＝1中，得t 2－2t－4＝0，设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝4.(2)由(1)知，曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的动点A (23cos α，2sin α)，0<α<π2，则以A 为顶点的内接矩形的周长为4(23cos α＋2sin α)＝16sin(α＋π3)，0<α<π2.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当α＝π6时取得最大值．第2讲 不等式选讲1．(2019·昆明市质量检测)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4；(2)当x ≠0，x ∈R 时，证明：f (－x )＋f (1x)≥4.解：(1)不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4等价于|2x －1|＋|2x ＋1|≥4， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12－4x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤122≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x >124x ≥4， 解得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)证明：当x ≠0，x ∈R 时，f (－x )＋f (1x )＝|－2x －1|＋|2x－1|，因为|－2x －1|＋|2x －1|≥|2x ＋2x |＝2|x |＋2|x |≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(2x －1)≥02|x |＝2|x |，即x ＝±1时等号成立，所以f (－x )＋f (1x)≥4.2．(2019·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象所围成的多边形面积为92，求实数a 的值．解：(1)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥1x ＋2，－12<x <1－3x ，x ≤－12，由f (x )≥3可知： ①当x ≥1时，3x ≥3，即x ≥1；②当－12<x <1时，x ＋2≥3，即x ≥1，与－12<x <1矛盾，舍去；③当x ≤－12时，－3x ≥3，即x ≤－1.综上可知不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A (－12，32)，B (1，3)，可知直线AB 的斜率k AB ＝1，知直线y ＝x ＋a 与直线AB 平行，若要围成多边形，则a >2.易得直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象交于C (a 2，3a 2)，D (－a 4，3a4)两点，则|CD |＝2·|a 2＋a 4|＝324a ，平行线AB 与CD 间的距离d ＝|a －2|2＝a －22，|AB |＝322，所以梯形ABCD 的面积S ＝322＋324a 2·a －22＝32＋34a 2·(a －2)＝92(a >2)，即(a ＋2)(a －2)＝12，所以a ＝4， 故所求实数a 的值为4.3．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知函数f (x )＝|x ＋m 2|＋|x －2m －3|. (1)求证：f (x )≥2；(2)若不等式f (2)≤16恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)证明：因为f (x )＝|x ＋m 2|＋|x －2m －3|≥|(x ＋m 2)－(x －2m －3)|，所以f (x )≥|m 2＋2m ＋3|＝(m ＋1)2＋2≥2.(2)由已知，得f (2)＝m 2＋2＋|2m ＋1|，①当m ≥－12时，f (2)≤16等价于m 2＋2m ＋3≤16，即(m ＋1)2≤14，解得－14－1≤m ≤14－1，所以－12≤m ≤14－1；②当m <－12时，f (2)≤16等价于m 2－2m ＋1≤16，解得－3≤m ≤5，所以－3≤m <－12.综上，实数m 的取值范围是[－3，14－1]．4．(2019·江西八所重点中学联考)已知不等式|ax －1|≤|x ＋3|的解集为{x |x ≥－1}．(1)求实数a 的值；(2)求12－at ＋4＋t 的最大值．解：(1)|ax －1|≤|x ＋3|的解集为{x |x ≥－1}，即(1－a 2)x 2＋(2a ＋6)x ＋8≥0的解集为{x |x ≥－1}，当1－a 2≠0时，不符合题意，舍去．当1－a 2＝0，即a ＝±1时，x ＝－1为方程(2a ＋6)x ＋8＝0的一解，经检验a ＝－1不符合题意，舍去，a ＝1符合题意．综上，a ＝1.(2)(12－t ＋4＋t )2＝16＋2(12－t )(4＋t )＝16＋2－t 2＋8t ＋48，当t ＝82＝4时，(12－t ＋4＋t )2有最大值32.又12－t ＋4＋t ≥0，所以12－t ＋4＋t 的最大值为4 2.5．(2019·石家庄市模拟(一))设函数f (x )＝|1－x |－|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≤1的解集；(2)若函数f (x )的最大值为m ，正实数p ，q 满足p ＋2q ＝m ，求2p ＋2＋1q的最小值． 解：(1)不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－31－x ＋x ＋3≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <11－x －x －3≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －1－x －3≤1，解得x ≥－32，所以f (x )≤1的解集为{x |x ≥－32}．(2)法一：因为|1－x |－|x ＋3|≤|1－x ＋x ＋3|＝4， 所以m ＝4，p ＋2q ＝4，所以(p ＋2)＋2q ＝6，2p ＋2＋1q ＝16(2p ＋2＋1q )(p ＋2＋2q )＝16(4＋4q p ＋2＋p ＋2q )≥16(4＋24q p ＋2·p ＋2q )＝43， 当且仅当p ＋2＝2q ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1q ＝32时取“＝”，所以2p ＋2＋1q 的最小值为43. 法二：因为|1－x |－|x ＋3|≤|1－x ＋x ＋3|＝4， 所以m ＝4，p ＋2q ＝4，所以p ＝4－2q ，q ∈(0，2)， 2p ＋2＋1q ＝26－2q ＋1q ＝2q ＋6－2q (6－2q )q ＝33q －q 2＝3－(q －32)2＋94，因为q ∈(0，2)，所以当q ＝32时，2p ＋2＋1q 取得最小值43.6．(2019·成都第一次诊断性检测)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x2＋1|.(1)求不等式f (x )－3<0的解集；(2)若关于x 的方程f (x )－m 2－2m －54＝0无实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意，知f (x )＝|2x －1|＋|x2＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x2，x <－2－3x2＋2，－2≤x ≤12.5x 2，x >12由f (x )－3<0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2－5x 2－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤12－3x 2＋2－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧x >125x2－3<0，解得－23<x <65.所以原不等式的解集为(－23，65)．(2)由(1)知，函数f (x )的值域为[54，＋∞)．若关于x 的方程f (x )－54＝m 2＋2m 无实数解，则m 2＋2m <0，解得－2<m <0.所以实数m 的取值范围为(－2，0)． 7．已知f (x )＝2|x |＋|x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )>4；(2)对于任意正数m ，n ，求使得不等式f (x )≤1m 2＋1n2＋2nm 恒成立的x 的取值集合M .解：(1)当x ≤0时，不等式化为－2x ＋1－x >4，所以x <－1； 当0<x <1时，不等式化为2x ＋1－x >4，解得x >3，无解； 当x ≥1时，不等式化为2x ＋x －1>4，所以x >53，综上，不等式f (x )>4的解集为(－∞，－1)∪(53，＋∞)．(2)因为1m 2＋1n 2＋2mn ≥2mn＋2mn ≥4，当且仅当m ＝n ＝1时“＝”成立，所以2|x |＋|x －1|≤4，由(1)知x 的取值集合M 为[－1，53]．8．(2019·沈阳市质量监测(一))设a >b >0，且ab ＝2，记a 2＋b 2a －b的最小值为M .(1)求M 的值，并写出此时a ，b 的值； (2)解关于x 的不等式：|3x ＋3|＋|x －2|>M . 解：(1)因为a >b >0，所以a －b >0，4a －b>0， 根据基本不等式有a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋4a －b ＝a －b ＋4a －b≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2ab ＝2，即⎩⎨⎧a ＝3＋1b ＝3－1时取等号，所以M 的值为4，此时a ＝3＋1，b ＝3－1.(2)当x ≤－1时，原不等式等价于－(3x ＋3)＋(2－x )>4，解得x <－54；当－1<x <2时，原不等式等价于(3x ＋3)＋(2－x )>4，解得－12<x <2；当x ≥2时，原不等式等价于(3x ＋3)＋(x －2)>4，解得x ≥2. 综上所述，原不等式的解集为(－∞，－54)∪(－12，＋∞)．第2讲 不等式选讲[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明：(1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，且abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33(a ＋b )3(b ＋c )3(a ＋c )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)． 当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0；当x ≥1时，f (x )≥0. 所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)． (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．3．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥(2＋a )23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为(2＋a )23.由题设知(2＋a )23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.[明考情]1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．含绝对值不等式的解法[典型例题](2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[对点训练]1．(2019·广州市调研测试)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式|x －13|＋f (x )≥1；(2)设不等式|x －13|＋f (x )≤x 的解集为M ，若[13，12]⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3，①当x ≤13时，不等式可化为1－3x ＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13<x <2时，不等式可化为3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x <2；③当x ≥2时，不等式可化为3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}．(2)不等式|x －13|＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ，依题意不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在x ∈[13，12]上恒成立，所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤13a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故实数a 的取值范围是[－12，43]．2．(2019·长春市质量监测(二))设函数f (x )＝|x ＋2|. (1)求不等式f (x )＋f (－x )≥6的解集；(2)若不等式f (x －4)－f (x ＋1)>kx ＋m 的解集为(－∞，＋∞)，求k ＋m 的取值范围． 解：(1)f (x )＋f (－x )＝|x ＋2|＋|－x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x (x <－2)4(－2≤x ≤2)，2x (x >2)当x <－2时，－2x ≥6，所以x ≤－3； 当－2≤x ≤2时，4≥6不成立，所以无解； 当x >2时，2x ≥6，所以x ≥3. 综上，x ∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)令g (x )＝f (x －4)－f (x ＋1)＝|x －2|－|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧5(x <－3)－2x －1(－3≤x ≤2)，－5(x >2)作出g (x )的。