下载文档原格式
第1课时 一元一次不等式的解法1．掌握一元一次不等式的概念．2．体会解不等式的步骤，体会数学学习中比较和转化的作用．3．用数轴表示解集，启发学生对数形结合思想的进一步理解和掌握．重点掌握一元一次不等式的解法． 难点掌握一元一次不等式的解法．一、创设情境、复习引入1．不等式的三条基本性质是什么？2．一个方程是一元一次方程的三个条件是什么？ 3．解一元一次方程的一般步骤是什么？ 二、探索问题，引入新知让同学们观察下列不等式： ①x－7≥2；②3x＜2x ＋1；③13x≤5；④－4x ＞8.它们有什么共同点？你能借鉴一元一次方程给它下个定义吗？结论：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是 1.像这样的不等式叫做一元一次不等式．我们再来解一些一元一次不等式．【例1】 下列各式：(1)－x≥5；(2)y －3x ＜0；(3)xπ＋5＜0；(4)x 2＋x≠3；(5)3x ＋3≤3x；(6)x ＋2＜0是一元一次不等式的有哪些？分析：利用一元一次不等式的定义判断即可．解：(1)－x≥5，是；(2)y －3x ＜0，不是；(3)xπ＋5＜0，是；(4)x 2＋x≠3，不是；(5)3x＋3≤3x，不是；(6)x ＋2＜0，是． 如何来解一元一次不等式呢？【例2】 解不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)2(5x ＋3)≤x－3(1－2x)； (2)1＋x 3>5－x －22.分析：(1)先去括号，然后通过移项、合并同类项，化未知数系数为1解不等式；(2)先去分母，然后通过移项、合并同类项，化未知数系数为1解不等式．解：(1)去括号，得：10x ＋6≤x－3＋6x ， 移项、合并同类项，得：3x≤－9， 系数化为1，得：x≤－3； 表示在数轴上为：(2)去分母，得：6＋2x ＞30－3x ＋6， 移项、合并同类项，得：5x ＞30， 系数化为1，得：x ＞6. 表示在数轴上为：点评：需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 结论：解一元一次不等式的步骤： 1．去括号，去分母；2．利用不等式的性质移项； 3．合并同类项； 4．系数化为1.三、巩固练习1．下列各式中，一元一次不等式是( )A ．x ≥5xB ．2x ＞1－x 2C ．x ＋2y ＜1D ．2x ＋1≤3x2．不等式x ＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是( )3．若(m ＋1)x |m|＋2＞0是关于x 的一元一次不等式，则m ＝________. 4．不等式组m(x －5)＞2m －10的解集是x ＞m ，则m 的值是________． 5．解不等式2(x ＋6)≥3x－18，并将其解集在数轴上表示出来．6．解不等式2x ＋13－5x －12≥－1，并把它的解集在数轴上表示出来．四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 作业1教材第61页“习题8.2”中第1，4 题． 2．完成练习册中本课时练习．在教学过程中，由于通过简单的类比解方程，学生很快掌握了解不等式的方法，而且对比起方程，不等式题目的形式较简单，计算量不大，所以能引起学生的兴趣．但是部分学生在作业中存在以下问题：由于没有结合不等式的性质，认真分析解方程与解不等式的区别：在两边同时乘以或者除以负数时，不等号忘记改变方向．9.2 一元一次不等式第1课时解一元一次不等式【知识与技能】1.掌握一元一次不等式的解法.2。
《有理数的加减混合运算》知识点解读知识点1 将有理数的加减混合运算统一为加法运算（重点）★在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法，也就是将有理数的加减混合运算统一为单一的加法运算.如（－8）－7+（－6）－（－5）=（－8）+（－7）+（－6）+（+5）.★在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式.如（－8）+（－7）+（－6）+（+5）=－8－7－6+5.★和式的读法：如上面的例子，一是按这个式子表示的意义读作“负8，负7，负6，正5的和”；二是按运算意义读作“负8减7减6加5”.★省略括号的和的形式，可看作是有理数的加法运算.因此，可运用加法运算律来使计算简化，但要注意运算的合理性.①在交换加数位置时，要连同前面的符号一起交换.②在运用加法结合律时，有时也把减号看作负号.例1把（－6）－（－3）+（－2）－（+6）－（－7）写出省略括号的和的形式是读作或.分析：首先应把这个式子中的减法转化为加法，再写成省略号的和的形式.解：（－6）－（－3）+（－2）－（+6）－（－7）=（－6）+（+3）+（－2）+（－6）+（+7）=－6+3－2－6+7.读作：负6，正3，负2，负6，正7的和，或读作：负6加3减2减6加7.答案：－6+3－2－6+7；负6，正3，负2，负6，正7的和；负6加3减2减6加7.点拨：（1）在省略括号的代数和中，性质符号和运算符号是统一的.（2）省略括号的方法：①若括号前是“+”，则省略括号及括号前的“+”后，原括号内的各项不变号；②若括号前是“-”则省略括号及括号前的“-”后，原括号内各项的符号变为原来相反的符号.知识点2 有理数加减混合运算的步骤（难点）第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法.第二步：写出省略加号、括号的各数和的形式.第三步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算.例2 计算：11(0.5)(3) 3.75(8).42---+-+ 分析：按有理数减法法则，把减法统一成加法，运用运算律进行简便运算.解：原式=11311113338(8)(33)97224422244-++-=--++=-+=-. 点拨：进行有理数加减混合运算时一定要注意符号.同时在运算过程中，通常把同分母的分数或者易于通分的分数归类进行计算.知识点3 有理数加减混合运算的注意事项①运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同它们前面的符号一起交换，千万不要把符号漏掉，因为一个数包括两个方面，一方面是符号，另一方面是绝对值．例如8－5＋7应变成8＋7－5，而不能变成8－7＋5；②应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形，从而选择适当的方法，使运算简便；③当分数、小数混在一块运算时，可以把它们统一成分数或小数再运算； ④如果有大括号和小括号应当先转化小括号里的运算，再转化大括号里的运算．反之，进行有理数的加减混合运算，有时候需要添加括号，一定要连同加数的符号一起括进括号内，并将原来已省略的加号写进来．【例3】 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－837＋(－7.5)＋⎝⎛⎭⎪⎫－2147＋⎝ ⎛⎭⎪⎫＋312； 分析：异分母分数的加减混合运算统一成加法之后，应用运算律使同分母分数相加可以简化运算．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－837＋(－7.5)＋⎝⎛⎭⎪⎫－2147＋⎝ ⎛⎭⎪⎫＋312 ＝－837－7.5－2147＋312＝－837－2147－7.5＋312＝－30－4＝－34.知识点4 既含小数又含分数的有理数加减混合运算解题时先将减法转化为加法，再按照以下的四条思路进行转化：一是将小数统一化成分数，二是将分数统一化成小数，三是将小数与小数，分数与分数分别结合，四是将各数的整数部分和分数(小数)部分分别结合．析规律 有理数加减混合运算的运算顺序 注意运算的顺序，如果是同一级的运算，可以同时完成化简绝对值符号和减法变加法的运算过程．有括号的要先计算括号里面的，有绝对值符号的也要先根据数或式的取值范围化去绝对值符号再进行运算．【例4】 计算：(1)－4.2－[(－0.2)－(－7.5＋0.4)]＋(－3.8)；(2)(－1)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－(－4)＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13. 分析：有多重括号的，先计算小括号里面的，再计算大括号里面的，有绝对值符号的要先把绝对值符号化简．解：(1)－4.2－[(－0.2)－(－7.5＋0.4)]＋(－3.8)＝－4.2－[(－0.2)－(－7.1)]＋(－3.8)＝－4.2－[(－0.2)＋(＋7.1)]＋(－3.8)＝－4.2＋(－6.9)＋(－3.8)＝－14.9.(2)(－1)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－(－4)＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝(－1)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋(＋4)＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝(－1)－216＝－316. 知识点5 利用有理数加减法运算解决实际问题（重点）“水位的变化”问题是典型的利用有理数的加减混合运算的实际问题，首先要理解在水位的变化图表下面标明的“注”或者“注意”的含义：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，参考对象是前一天的水位.例3 一名潜水员在水下80米处发现一条鲨鱼在离他不远处的上方25米的位置往下游追逐猎物，当它向下游42米后追上猎物，此时猎物做垂死挣扎立刻反向上游，鲨鱼紧紧尾随，又游了10米后被鲨鱼一口吞吃.（1）求鲨鱼吃掉猎物时所在的位置；（2）与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，鲨鱼的位置有什么变化？解析：本题主要考查应用有理数的加减混合运算解释实际问题，向上游与向下游是一对具有相反意义的量，可以用正数、负数来表示.若设向上游的高度为正数，则向下游的高度为负数.求出几个有理数的和，就可以判断鲨鱼吃掉猎物时所在的位置.答案：（1）设鲨鱼向上游的高度为正，潜水员在水下80米记为－80米，依据题意可得，鲨鱼吃掉猎物时所在的位置是－80+25－42+10=（－80－42）+（25+10）=－122+35=－87（米）.（2）鲨鱼原来的位置是－80+25=－55(米).所以鲨鱼原来在水下55米处.所以与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，它向下游了32米.点拨：题目中已知条件给出一对具有相反意义的量，但没规定正负，解题时应先规定正、负才能解决问题.【类型突破】某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下：（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负号）根据记录回答下列问题：（1）本周三生产了多少辆摩托车？（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加了还是减少了？（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？解析：首先必须弄清表中每个数据的意义，它是表示实际每日与计划量的差额，列出准确算式是关键.答案：（1）300+（－3）=297辆，即本周三生产了297辆.（2）因为表数据中是每日与计划量300的差值，故先求出这些差值的和：（－5）+7+（－3）+4+10+（－9）+（－25）=[（－5）+（－3）+（－9）+（－25）]+7+4+10=－42+21=－21.所以本周总生产量与计划生产量相比，是减少了21辆；（3）产值最多的一天是周五，而产量最少的一天是周日，其差是：（+10）－（－25）=10+25=35辆.即产量最多的一天比产量最少的一天多生产了35辆.点拨：弄清表格中数据表示的意义是解题的首要条件.知识点6 折线统计图（难点）根据相关数据，在图中标出能反映这些数据特征的点，然后再按照事物发展的一种趋势，将标出的点连成折线，这样就得到了折线统计图.★画折线统计图的步骤：（1）首先确定题目中折线统计图的标题，即应弄清楚要画的是说明什么问题的折线统计图.（2）确定一个量或一个数值为0点，有的题目直接给出0点.（3）标出横线和竖线的单位，使看图的人能够看懂，并能正确使用.（4）恰当选择单位长度，使画出的折线统计图既不太靠上，又不太靠下，有明显的上升和下降的幅度，能清楚地看出变化的情况.（5）竖线上选取的最高点最好比实际最高值略高一些，最低点比实际最低值略低些，这样能突出最大值和最小值的变化幅度.例4下表为某个雨季某水库管理员记录的水库一周内的水位变化情况，警戒水位为150m（上周末的水位达到警戒水位）.注：正数表示比前一天水位上升，负数表示比前一天水位下降.（1）本周哪一天水位最高？有多少米？（2）根据给出的数据，请利用折线统计图分析一下本周内该水库的水位变化情况.（在不放水的情况下）分析：本周星期一到星期四，水位一直上升，星期五下降，星期六的上升值又低于星期五的下降值，故最高水位出现在周四.解：星期四水位最高，（+0.38+0.25+0.54+0.13）+150=151.3（m）（2）由已知条件，可求出一周内各天相对于警戒水位的变化情况，列表如下：星期一二三四五六日水位变化/m +0.38 +0.63 +1.17 +1.30 +0.85 +1.21 +1.02 以警戒水位为0点，用折线统计图表示在不放水的情况下该水库一周内的水位变化情况如图所示.。
有理数的加减、乘除及乘方运算有理数的加减混合运算一、基础知识知识点1 有理数加减法统一成加法的意义1. 有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式.如：(－11)－(+7)+(－4)－(－3)=(－11)+(－7)+(－4)+(3)2. 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式：如：(－11)+(－7)+(－4)+(+3)=－11－7－4+33. 和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“－11，－7，－4，+3的和”二是按运算意义读作“负11，减7，减4，加3”.例1 把下列各式写成省略加号的和的形式.(1)(－26)－(－7)+(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)+(－12)－(－5).分析：先统一成加法，再省略括号和加号.小结：在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化.知识点2 有理数的加减混合运算的加法和步骤1.运用减法法则将有理数的混合运算中的加减法变化为加法，写成省略加号，括号的代数和.2.利用加法的交换律、结合律简化运算，这里应注意的是：通常把同号(指同正、同负)的结合，整数与整数结合，同分母分数或容易通分的分数结合，互为相反数的结合，几个加数能凑整的结合在一起相加；对于特殊结构的计算题要灵活运用运算律.例2 计算：(－47111)－(－5)+(－4)－(+3)分析：加减混合运算应注意有条理按步骤进行，把同号的数相结合相加，这样可以使计算简便.二、典型题解析(一)基本概念题例1 把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法.(1)－2－(+3)－(－5)+(－4)；(2)(+8)－(－9)+(－12)+(+5).分析：先把加减法统一成加法；再省略括号和加号.小结：（1）和式中第一个加数若是正数，正号也可省略不写；（2）第一种读法中“的和”两字不要漏掉.(二)知识应用题例2 从－50起逐次加2，得到一连串数－48，－46，－41，－44，－40，…，问：(1)第50个整数是什么？(2)你能巧妙地运用规律计算这50个整数的和吗？小结：在求和时，找出互为相反数的数，再计算出其余的数的和，能用简便算法的尽量用简便算法.(三)学科综合题例3 小彬和小丽在一起玩游戏，游戏规则是：(1)每人每次抽取4张卡片，如果抽取到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字.(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果小的为胜者，小彬抽到了下面的4张卡片：红－13，白7，红－5，白4，小丽抽到了下面的4张卡片：白3.2，白－2.7，红－6，白－2问：获胜的是谁？(四)拓展创新题例4 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为190个埃及分数：你能从中挑出10个，加上正负号，使他们的和等于－1吗?分析：这是一道阅读理解题，要从90个埃及分数中挑出10个，使它们的和等于－1，不能被题目所举的例子束缚了思维，必须要运用有理数的加减混合运算.(三)培优练习1.下列化简正确的是( )A.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3－2B.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3－2C.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3+2D.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3+22.下列各式中与a－b－c的值不相等的是( )A.a－(b－c)B.a－(b+c)C.(a－b)+(－c)D.(－b)+(a－c)3.负数a减去它的相反数的差的绝对值是( )A.0B.2aC.－2aD.以上都可能4.使等式|－7+x|=|－7|+|x|成立的有理数x是( )A.任意一个正数B.任意一个非正数C.小于1的有理数D.任意一个有理数5.在数轴上，点x表示到原点的距离小于3的那些点，那么|x－3|+|x+3|等于( )A.6B.－2xC.－6 D2x6.填空题(1)小于5而大于－4的所有偶数之和是________；(2)－14的绝对值的相反数与5的相反数的差是________；(3)若|x－3|+|y－2|=0，则x+y=________，x－y=________.7计算①(－1.5)+1.4－(－3.6)－4.3+(－5.2) ②(－1)－1+(－2)－(－3)－(－1)③－12－[10+(－8)－3] ④(－4)－(－2)－{(－5)－[(－7)+(－3)－(－8)]}⑤|－0.1|－|－0.2|+|－0.4|－|－0.2|－|+0.1|+0.48、在数1，2，3，4，……，2003，2004前添加“+”或“－”，然后求代数和，使求得的结果为最小的非负数；9.定义新运算a*b=a+b-1,如3*(-2)=3+(-2)-1=0.请你计算(-1)*(-3)*2=_________.10．定义一种运算☆，其规则为a ☆b =b a 11+，根据这个规则，计算-2☆3的值 .11.已知有理数x 、y 满足|x －2y|=－2|x －4|，求4x 2－3y 的值.12.已知|a|=6，|b|=3，|c|=5，且c ＜0，a+c ＞0，求a+b+c 的值.有理数的乘除及乘方运算一、基础知识点1.有理数的乘法法则：2.有理数的除法法则：3.乘方：4.处理好符号仍然是有理数乘法、除法及乘方运算的关键。
2.1.2有理数的减法(2)---加减法混合运算(教案，新教材)第二章有理数的运算2.1有理数的加法与减法2.1.2有理数的减法(2)---加减法混合运算【教学目标】1．能够把有理数的加、减混合运算统一成加法运算；探究数轴上两点间的距离；2. 熟练掌握有理数的加、减混合运算及其运算顺序，能运用运算律进行简化运算；3.通过对于同一个算式可以给出不同的解释，体现了数学的发散思维和转化思想.通过实例让学生感受有理数加减混合运算在实际问题中的广泛应用.【教学重点】能够把有理数的加、减混合运算统一成加法运算.【教学难点】运用运算律进行简化运算；数轴上两点间的距离.【教学过程】一、情境导入问题1：下表是某水文站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：米).与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？小组探究与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降，得出以下两种计算方法：(1) 0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01；(2)0.20＋（＋0.81）＋（－0.35）＋（＋0.13）＋（＋0.28）＋（－0.36）+(－0.01)；比较以上两种算法，你发现了什么？我们怎样计算？点出课题，本节课学习——2.1.2有理数的加减混合运算（板书课题）二、合作探究活动一：运用加、减法法则进行加减混合运算例1. 计算： (－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7).学生活动：探讨上式有加，也有减法，可以先根据有理数减法法则，按顺序把减法化为加法计算.师生活动：减法变成加法后，运用加法运算律，将正数和负数分别相加. 引导学生注意：括号前是“＋”号时，将括号连同它前边的“＋”号直接去掉；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内要变号．师生共同活动：(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7)＝(－20)＋(＋3)＋(＋5)+(-7)(减法变成加法)＝［(－20)＋(－7)］＋［(＋3)＋(＋5)］（加法运算律，正负数分别相加）＝(－27)＋(＋8)＝－19活动二： 有理数的加减混合运算统一成加法运算问题2.怎样将a b c +-，加减混合运算统一成加法运算？学生活动：讨论归纳，根据相反数意义和减法法则，统一为加法：()a b c a b c +-=++-. 问题3.上面的算式：(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋2)，怎样改写成省略括号和加号的形式，上面的两种书写形式怎样读？学生活动：学生试着写，试着读；教师活动：教师对学生活动进行评价，要求学生再分组换数字写和读.师生活动：师生共同用简单的方式写出上面的运算(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7)＝－20＋3＋5－7＝－20－7＋3＋5＝－27＋8＝－19.例2. 计算： 14－25＋12－17.学生活动：统一成加法，运用加法运算律，把正负数分别相加；教师活动：提醒学生在式子中，要每两个数之间都视为有一个“＋”省略没写，运用加法运算律具有把共同特点的数放到一起加.14－25＋12－17＝14＋12－25－17＝26－42＝－16.活动三：探究数轴上两点间的距离问题4.在数轴上，点Ａ，Ｂ分别表示数,a b .对于下列各组数,a b ：2,6;0,6;2,6;2, 6.a b a b a b a b ======-=-=-（1）观察点Ａ，Ｂ在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？（2）你能用,a b 的算式表示上述各组点Ａ，Ｂ的距离吗？学生活动：小组合作，画数轴，探究结果.教师活动：再换几组数字，你能归纳Ａ，Ｂ两点间的距离与数,a b 的关系？师生共同活动：Ａ，Ｂ两点的距离与数,a b 的关系为：ＡＢ＝()a b a b ->,即ＡＢ＝a b -. 例3.如图，在数轴上，点A 、B 分别表示数a 、b ，且20a b +=．若A 、B 两点间的距离为12，则点A 表示的数为（ ）A ．4B ．4-C ．8D ．8-学生活动：由20a b +=可得2a b =-，再根据A 、B 两点间的距离为12列式求得b ，进而求得a 即可教师活动：对学生活动进行评价，分析如下：∵20a b +=，∴2a b =-；∵A 、B 两点间的距离为12，∴()212b b --=，解得：4b =，∴8a =-，点A 表示的数为8-.故选：D三、强化巩固1.解答课堂导入中的问题1.学生解答对比，教师评价.2.练习1、2抽学生板演，其余学生独立完成.3.拓展训练：如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”和“6cm ”分别对应数轴上表示2-和实数x 的两点，那么x 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6师生共同讨论，引导学生讨论解答.（参考答案：将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm )，刻度尺上的0cm 和6cm 分别对应数轴上表示2-和实数x 的两点，∵0到6之间是6个单位，∴(2)6x --=.∴4x =，故答选：B ）四、总结拓展学生小组合作对知识总结：1.有理数加减混合运算：一般统一为加法，再利用加法运算律，把具有某些特点的数结合在一起，再运用有理数加法法则；也可以从左向右依次按加减法法则进行.2. 数轴上Ａ，Ｂ两点的距离与数,a b 的关系为：ＡＢ＝()a b a b ->,即ＡＢ＝a b -. 学生小组合作对思想方法总结：在加减混合运算中，对于“+”“-”既可以看作性质符号（正、负），又可以看作运算符号（加、减），对于同一个算式可以给出不同的解释，体现了数学的发散思维和转化思想，感受数学的实际应用.五、作业布置必做作业： 1. 课本习题2.1第5题的2、4、6、8小题；2. 课本习题2.1第6、7、10、11题.选做作业：课本习题2.1第5题的2、4、6小题；2.课本习题第8、9、12、13题。
第4讲有理数的加减乘除乘方运算知识点1 加减运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. .有理数加法运算律：①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果. 加减混合运算技巧：把符号相同的加数相结合； 把和为整数的加数相结合；把分母相同或便于通分的加数相结合； 既有小数又有分数的运算要统一后再结合； 把带分数拆分后再结合； 分组结合； 先拆项后结合.【典例】⎧⎪⎨⎪⎩加减运算有理数的运算乘除运算乘方运算()a b a b -=+-a b b a +=+()()a b c a b c ++=++1.计算：（1）4+（﹣6）；（2）（﹣116）+（-23）；（3）-2-（﹣3.5）；（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.【方法总结】考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．注意：绝对值有括号的作用.2.【题干】计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5；（2）(−478)−(−512)+(−414)−(+3178)；（3）−200956−(+200823)−(−401834)+(−112)；（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）.【方法总结】（1）把和为整数的数结合在一起；（2）把分母相同或容易通分的数结合在一起；（3）拆项法，把带分数拆成整数和分数，再把所有整数和分数分别结合在一起；（4）找规律，相邻两数之和为﹣1．本题考查的是有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键．能使用运算律的要使用运算律，以简化计算，减少计算错误. 【随堂练习】1．（2017秋•小店区校级月考）计算：（1）﹣3+（﹣4）﹣（﹣5）； （2）1+（﹣2）+|﹣2|﹣5； （3）﹣5﹣（+11）+；（4）．2．（2016秋•靖远县校级月考）计算题： （1）27﹣28+（﹣7）﹣32 （2）1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣4； （3）0.5+（﹣）﹣（﹣2.75）+0.25 （4）3+（﹣1）+（﹣3）+1+2．知识点2 乘除运算有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同相乘，都得．有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值． 多个有理数相乘：（1）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．（2）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于． 有理数乘法运算律：（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．00000ab ba（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．整除：一个整数a 除以一个不为0的整数b ，商是整数，而没有余数，则我们说a 能被b 整除（或说b 能整除a ）.【典例】1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）； （2）（﹣8）÷（﹣1.25）； （3）11÷17×(−411)； （4）(−1.5)×45÷(−25)×34．【方法总结】（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解；（3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；（4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．()()ab c a bc =()a b c ab ac +=+1本题考查了有理数的乘法和除法，熟记运算法则是解题的关键．2.计算：（1）37×（﹣45）×712×58；（2）292324÷（﹣112）；（3）﹣5×（﹣115）+13×（﹣115）﹣3×（﹣115）.【方法总结】（1）利用乘法交换律和乘法结合律，把分子或分母容易约分的因数结合；（2）先把除法转换为乘法，再利用乘法的分配律计算；（3）利用乘法分配律的逆运用，即可解答．本题考查了有理数的乘除法的运算，解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算．【随堂练习】1．（2017秋•夏邑县期中）小华在课外书中看到这样一道题：计算：（）+（）．她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．（4）根据以上分析，求出原式的结果．2．（2017秋•兴化市期中）小明对小丽说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加12，然后除以6，再减去你原来所想的那个数与6的差的三分之一，我可以知道你计算的结果．”请你根据小明的说法探索：（1）如果小丽一开始想的那个数是﹣5，请列式并计算结果； （2）如果小丽一开始想的那个数是2m ﹣3n ，请列式并计算结果； （3）根据（1）、（2），尝试写出一个结论．3．（2017秋•盐都区校级月考）阅读下列材料： 计算：÷﹙﹣+﹚． 解法一：原式=÷﹣÷+÷=×3﹣×4+×12=．解法二：原式=÷﹙﹣+﹚=÷=×6=．解法三：原式的倒数=﹙﹣+﹚÷=﹙﹣+﹚×24=×24﹣×24+×24=4． 所以，原式=．（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：﹙﹣﹚÷﹙﹣+﹣﹚．知识点3 乘方乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．（1）一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；（2）在中，叫做底数，叫做指数；（3）当看作的次方的结果时，读作的次幂． 注意：，其底数为，；，其底数为，；，其底数为，； n n a n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个n a a n n a a n n a a n a n ()224-=()2-()()()22224-=-⨯-=224-=-2()()222121224-=-⨯=-⨯⨯=-239=749⎛⎫⎪⎝⎭372333977749⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，其底数为，； ，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写． 正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方. 科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少． 万，亿 .【典例】1.一张纸的厚度为 0.09mm （毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．【方法总结】根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度，由此可算出折第8次的厚度．一张纸的厚度为0.09mm ，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm ；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm ；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm ；对折n 次后纸的厚度为0.09×2n mm ，据此列出算式．即可求解．本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积． 2.若|x −2|+(y −23)2=0，则y x =__________．【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性，由“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”可求出x 、y 的值，然后将x 、y 的值代入计算即可求解．239=77323339777⨯==221391224⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51511010n a ⨯110a ≤<n n 101n -101410=810=3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；（2）用科学记数法表示出690000这个数；（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．【方法总结】用科学记数法表示较大数的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．确定n的值时，要看由原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，关键是要正确确定a的值以及n的值．【随堂练习】1．（2017秋•石景山区期末）（﹣1）2018÷．2．（2017秋•蚌埠期中）﹣32×（﹣）3=______．3．（2017秋•浦东新区期中）用简便方法计算：﹣35×（﹣）5×（﹣5）6（结果可用幂的形式表示）综合运用1.若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，a+b﹣c的值为_______．2.2.5+（﹣214）﹣1.75+（﹣12）=____．3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米．5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．6.计算：（﹣0.5）+|0﹣614|﹣（﹣712）﹣（﹣4.75）．7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15．（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？（3）若汽车行驶每千米耗油量为a升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？8.计算下列各式：（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；（2）91819×15；（3）﹣100×18﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y的平方等于它本身，求m的值.。
《有理数的加减混合运算》知识点解读知识点1将有理数的加减混合运算统一为加法运算（重点）在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法，也就是将有理数的加减混合运算统一为单一的加法运算.如（－8）－7+（－6）－（－5）=（－8）+（－7）+（－6）+（+5）.在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式.如（－8）+（－7）+（－6）+（+5）=－8－7－6+5.和式的读法：如上面的例子，一是按这个式子表示的意义读作“负8，负7，负6，正5的和”；二是按运算意义读作“负8减7减6加5”.省略括号的和的形式，可看作是有理数的加法运算.因此，可运用加法运算律来使计算简化，但要注意运算的合理性.①在交换加数位置时，要连同前面的符号一起交换.②在运用加法结合律时，有时也把减号看作负号.例1把（－6）－（－3）+（－2）－（+6）－（－7）写出省略括号的和的形式是读作或.分析：首先应把这个式子中的减法转化为加法，再写成省略号的和的形式.解：（－6）－（－3）+（－2）－（+6）－（－7）=（－6）+（+3）+（－2）+（－6）+（+7）=－6+3－2－6+7.读作：负6，正3，负2，负6，正7的和，或读作：负6加3减2减6加7.答案：－6+3－2－6+7；负6，正3，负2，负6，正7的和；负6加3减2减6加7.点拨：（1）在省略括号的代数和中，性质符号和运算符号是统一的.（2）省略括号的方法：①若括号前是“+”，则省略括号及括号前的“+”后，原括号内的各项不变号；②若括号前是“-”则省略括号及括号前的“-”后，原括号内各项的符号变为原来相反的符号.知识点2 有理数加减混合运算的步骤（难点）第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法.第二步：写出省略加号、括号的各数和的形式.第三步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算.例2计算：11---+-+(0.5)(3) 3.75(8).42分析：按有理数减法法则，把减法统一成加法，运用运算律进行简便运算.解：原式=11311113338(8)(33)972-++-=--++=-+=-.24422244点拨：进行有理数加减混合运算时一定要注意符号.同时在运算过程中，通常把同分母的分数或者易于通分的分数归类进行计算.知识点3 利用有理数加减法运算解决实际问题（重点）“水位的变化”问题是典型的利用有理数的加减混合运算的实际问题，首先要理解在水位的变化图表下面标明的“注”或者“注意”的含义：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，参考对象是前一天的水位.例3某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下：（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负号）根据记录回答下列问题：（1）本周三生产了多少辆摩托车？（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加了还是减少了？（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？解析：首先必须弄清表中每个数据的意义，它是表示实际每日与计划量的差额，列出准确算式是关键.答案：（1）300+（－3）=297辆，即本周三生产了297辆.（2）因为表数据中是每日与计划量300的差值，故先求出这些差值的和：（－5）+7+（－3）+4+10+（－9）+（－25）=[（－5）+（－3）+（－9）+（－25）]+7+4+10=－42+21=－21.所以本周总生产量与计划生产量相比，是减少了21辆；（3）产值最多的一天是周五，而产量最少的一天是周日，其差是：（+10）－（－25）=10+25=35辆.即产量最多的一天比产量最少的一天多生产了35辆.点拨：弄清表格中数据表示的意义是解题的首要条件.例4下表为某个雨季某水库管理员记录的水库一周内的水位变化情况，警戒水位为150m（上周末的水位达到警戒水位）.注：正数表示比前一天水位上升，负数表示比前一天水位下降.（1）本周哪一天水位最高？有多少米？（2）根据给出的数据，请利用折线统计图分析一下本周内该水库的水位变化情况.（在不放水的情况下）分析：本周星期一到星期四，水位一直上升，星期五下降，星期六的上升值又低于星期五的下降值，故最高水位出现在周四.解：星期四水位最高，（+0.38+0.25+0.54+0.13）+150=151.3（m）（2）由已知条件，可求出一周内各天相对于警戒水位的变化情况，列表如下：星期一二三四五六日水位变化/m+0.38+0.63+1017+1.30+0.85+1.21+1.02以警戒水位为0点，用折线统计图表示在不放水的情况下该水库一周内的水位变化情况如图所示.。
