第八章多元函数PPT课件

z=f(x,y)
二元函数
independent variable ，dependent variable.
functional value ：
z0
f
( x0 ,
y0 )
z
x x0 y y0
domain of definition ：
在xOy平面上使函数 z=f(x,y) 有定义的一切点
的集合. 12
第八章 多元函数 18-21学时
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
空间解析几何简介 多元函数的概念 二元函数的极限与连续 偏导数与全微分 复合函数的微分法与隐函数的微分法 二元函数的极值 二重积分
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第一节
空间解析几何简介
(一)
空间直角坐标系
z
按右手法则规定坐标轴的
正方向，构成空间直角坐标系．
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（三）曲面与方程
例1.求与两定点P(1,1,0)和Q(2,1,3)等距离的点的轨 迹．
解：由 ( x 1)2 ( y 2)2 (z 0)2 ( x 2)2 ( y 1)2 (z 3)2
得 2x 2 y 6z 9 0 , 为平面．
z
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一次方程 Ax By Cz D 0 3x 2y z 6 0
U ( P0 , ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 } U ( P0 )
•
•
U ( P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 } U ( P0 )
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（二）空间任意两点间的距离
空间直角坐标系下，点 P 的坐标为 P(x , y , z) 在空间直角坐标系下，任意一点 P 与一个
三元有序数组(x , y , z)一一对应，即： 点 P 的坐标为 P(x , y , z)
空间直角坐标系下，两点 P1 (x1 , y1 , z1) 和 P2 (x2 , y2 , z2) 之间的距离为
（一）多元函数的定义
类似可定义： 三元函数 u = f(x,y,z)
n 元函数 y f ( x1 , x2 , , xn )
自变量多于一个的函数统称为多元函数 （multivariate function）.
我们重点讨论二元函数，所得的结果可直接 推广到多元函数.
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（二）二元函数的定义域
二元函数的定义域在几何上表示xoy平面上一 个平面区域．包括边界在内的平面区域叫做闭区 域，不包括边界在内的平面区域叫做开区域．以 某点为中心的一个圆形开区域叫做该点的邻域．
表示顶点在原点的圆锥面.
z2
x2
y 2 是平面 z
1上的圆（曲线 ）.
z 1
z2
x2
y2
z2
y2
1是平面x
1上的双曲线.
x 1
x 1z
(曲线)
z2 y2 1
x 1
o
y
x x1
z2 x2 y2
z 1
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（三）曲面与方程
z2 x2 y2
x 0
z2 y2 x 0
0
z x
y 0
0
或
z y 0
x
0
z
x
y 0
0和
z x
y 0
0
是平面x
0上的直线.
z
z y 0
x
0
z y 0
o
x
0
y
x
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（三）曲面与方程
例6. 二次方程 z y2 x2 在空间直角坐标系下
表示 双曲抛物面（鞍面）. 当c0时 平面zc与曲面zy2x2的截痕为双曲线
y2x2c zc 当c0时平面zc与曲面
表示顶点在原点，开口向上的旋上的圆（曲线）.
椭圆抛物面
z 1
z x2 y 1
y2是平面y 1上的抛物线（曲线）.
z
z
x2 a2
y2 b2
z x2 y2 z 1
z x2 y2 y 1
z x2 y2
o
y
x
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（三）曲面与方程
例5. 二次方程 z2 x2 y2 在空间直角坐标系下
在空间直角坐标系下表示平面.
2o
3y
x
其中，A、B、C、D为常数，A、B、C 不全为零.
平行于 xOy 平面 (垂直于 z 轴)的 z z2
平面方程为 z G (G为常数)
2
o
y
5
x
（三）曲面与方程
例2. 二次方程
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
在空间直角坐标系下表示球面. 其中，点 M0 (x0 , y0 , z0) 为球心，R 为半径.
zy2x2的截痕为两条相交于原点
的直线 yx0 z0 yx0 z0
平面 yc 与曲面 zy2x2 的
截痕为抛物线 zc2x2 yc
平面 xc 与曲面 zy2x2 的截痕为抛物线
zy2c2 xc
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第二节 多元函数的概念
（一）多元函数的定义 定义 8.2 设D为一个非空的二元有序数组的集合
f (x, y) D
当球心在原点时，球面方程为 x2 y2 z2 R2
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
R x2 y2 z2 R2
o
R
R
x
y
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（三）曲面与方程
例3. 二次方程 x2 y2 R2 在空间直角坐标系下
表示圆心在原点，母线平行于z 轴的圆柱面.
x2
y2
R 2 是平面 z
1上的园（曲线）.
包括：一个坐标原点O，
o
y
x
三个坐标轴：x 轴 (横轴)、y 轴 (纵轴)、 z 轴 (竖
轴) ，三个坐标平面： xOy 、yOz 、 zOx ，
八个卦限 ：在xOy平面上方，含有 x 、 y 、z 正方 向的那个卦限称为第一卦限，其余三个卦限，按 逆时针方向，依次称为第二、三、四卦限.在xOy 平面下方，与第一、二、三、四卦限对称的卦限， 依次称为第五、六、七、八卦限.
P1P2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
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（三）曲面与方程
定义81(曲面方程) 如果曲面 S 上任意一点的坐标都满足方程
F(x, y, z)0， 而不在曲面 S 上的点的坐标都不满足 方程 F(x, y, z)0，那么方程 F(x, y, z)0 称为曲面 S 的方程，而曲面 S 称为方程 F(x, y, z)0 的图形
z 1
x2 y2 y 1（1
R2
R）
z
x y
R2 1（1
1是直线（两平面的交线）.
R）
z
x2 y2 R2 z 1
x2 y2 R2
x R2 1
y
1（1
R）
o
Ry
o
x R2 1
Ry
y1
x
x
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（三）曲面与方程
例4. 二次方程 z x2 y2 在空间直角坐标系下