江苏省泰州中学2023届高三下学期一模模拟数学试题+含解析

高三模拟考试数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B =I ▲ ． 2．函数()sin(4)6f x x π=+的最小正周期为 ▲ _. ．3．复数(i)(12i)a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = ▲ ． 4．某算法的伪代码如图所示，如果输入的x 值为32，则输出的y 值 为 ▲ ．5．从1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是偶数的概率为 ▲ ．6．若双曲线22221x y a b -=的离心率2=e ，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ．7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为 ▲ ．9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．10．如图，在由5个边长为1，一个顶角为60o的菱形组成的图形中，AB CD ⋅=u u u r u u u r▲ ．11．已知点,F A 是椭圆:C 2211612x y +=的左焦点和上顶点，若点 P 是椭圆C 上一动点，则PAF ∆周长的最大值为 ▲ ．12．已知函数3()1f x x x =++，若对任意的x ，都有2()()2f x a f ax ++>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．在ABC ∆中，若120C =o，tan 3tan A B =，sin sin A B λ=，则实数λ= ▲ ． 14．若函数22()(1)(0)f x ax a x a a =++->的一个零点为0x ，则0x 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b .（1）若3m =，1n =-，且(λ⊥+)a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ．第10题图DA17．（本题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在O e 上，,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ． （1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,1)P 且互相垂直的两条直线分别与圆22:4O x y +=交于点,A B ，与圆22:(2)(1)1M x y -+-=交于点,C D ．（1）若AB =CD 的长； （2）若CD 中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．19．（本题满分16分）已知函数2()2ln f x x x ax =+-，R a ∈．（1）若函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若a =e ，解不等式：()2f x <；（3）求证：当4a >时，函数()y f x =只有一个零点．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足11b =，22b =，12n n n n T bT b ++=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在正整数n ，使得11n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要求的n b ；若不存在，说明理由．2016～2017高三模拟考试高三数学参考答案一、填空题1．{1,1}-； 2．2π； 3．2； 4．5； 5．13；6．y =； 7．19； 8．； 910．4-；11．16； 12．04a <<； 13．12+ ； 141. 二、解答题15. 解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ∴+=+-=+-a b ，若(λ⊥+)a a b ，则(0)=λ⋅+a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． ……………7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=，所以211122()216644mn m n ⋅⨯+≤++=+⨯=a b =， 故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． ……………14分 16. 证：（1）因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC CD ⊥，又因为CD AC ⊥，所以CD ⊥平面PAC ． ……………7分 （2）因为AB //CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以//AB 平面CDEF ， ……………10分 又因为平面PAB I 平面CDEF EF =，AB ⊄平面CDEF ，所以//AB EF ． ……………14分17. 解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米，所以10OA OB AB ===，则3AOB π∠=，所以»103AB π=，………2分所以广场的面积为2211050(1010)101002343ππ⋅⋅-⋅+=+-2m ） ………6分 （2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=，则2220sin AD DG OK α===， ………8分 由余弦定理得 2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥o ， ………12分所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=o时取等号，所以201)OA OB OC OD +++≤+= 因此求4条小路的总长度的最小值为 答：（1）广场的面积为501003π+- （2）4条小路的总长度的最小值为 …………14分 18. 解：（1）直线AB 斜率显然存在，设为k ，则直线:1AB y kx =+，因为22()42AB +=，所以AB = ………3分由=215k =，22211()12CD -+-=-，CD === ………6分 （2）当直线AB 斜率不存在时，ABE ∆的面积14242S =⨯⨯=； 当直线AB 斜率存在时，设为k ，则直线:1AB y kx =+，显然0k ≠，直线1:1CD y x k =-+1<得23k >, ………8分所以(,)k ∈-∞+∞U ．因为22()42AB +=，所以AB =E 到直线AB 的距离即M 到AB的距离，为d ==，所以ABE ∆的面积12S AB d =⋅== ………12分 令234(45)t t k +=<<，则4)S ==． 综上，ABE ∆面积的取值范围4]． …………16分 说明：求S =令214k t +=>，S ==∈ 19．解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()2ln f x x x ax =+-，2()2f x x a x'=+-， 由题意，对任意的0x >，都有2()20f x x a x '=+-≥，只要min 2(2)x a x+≥，由基本不等式得224x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， 所以4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞． ………4分（2）当a =e 时，2()2ln f x x x x =+-e ，2222()20x x f x x x x-+'=+-=>e e ， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为2()2ln 2f =+-⋅e e e e e =，所以()2()()f x f x f <⇔<e ，因此0x <<e ， 故不等式()2f x <的解集为(0,)e ． ………9分（3）2222()2x ax f x x a x x-+'=+-=，(0,)x ∈+∞，令2()22g x x ax =-+，当4a >时，因为2160a ∆=->,所以2()22g x x ax =-+一定有两个零点，设为1212,()x x x x <，又因为121x x =，所以1201x x <<<，则()f x 在区间1(0,)x 或2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减， ………12分因为2111()220g x x ax =-+=，所以22111111()2ln 2ln 2f x x x ax x x =+-=--， 因为101x <<,所以221111()2ln 22ln120f x x x x =--<--<，所以21()()0f x f x <<，又()2ln ()f x x x x a =+-，则()2ln 0f a a =>，所以()f x 在(0,)+∞上只有一个零点． ………16分 说明：事实上，对任意的R a ∈，函数()y f x =只有一个零点． 20. 解：(1) 因为22n n S a =-，所以当2n ≥时，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=- ，即12n n a a -=，又1122S a =-，则12a =，所以数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，故2nn a =． ………4分由12n n n n T b T b ++=得 33111122233445112,,,,,n n n n n n n n T bT b T b T b T b T b T b T b T b T b --+++=====L ，以上n 个式子相乘得11212n n n T b bT b b ++=，即12n n n T b b += ①，当2n ≥时，112n n n T b b --=②，两式相减得 112()n n n n b b b b +-=-，即112n n b b +--=（2n ≥）， ………6分所以数列{}n b 的奇数项、偶数项分别成等差数列， 又1123T b T b =，所以32123b T b b ==+=，则1322b b b +=， 所以数列{}n b 是以11b =为首项，1为公差的等差数列，因此数列{}n b 的通项公式为n b n =． ………8分另法：由已知显然0n b ≠，因为12n n n n T b T b ++=，所以1112n n n n n n T T b b b b ++++=，则数列1{}n n n Tb b +是常数列，所以111212n n n T T b b b b +==，即12n n n T b b +=，下同上． （2）当1n =时，11n n n n a b a b +++-无意义，设1121(2,)2(1)n n n n n n n a b n c n n a b n *+++++==∈--+Ｎ≥，显然1n c >，则111112221202(2)2(1)[2(2)][2(1)]n n n n n n n n n n n n c c n n n n +++++++++-⋅-=-=<-+-+-+⋅-+，即11n n c c +>>，显然212(1)n nn n ++>-+，所以234731c c c =>=>>>L ，所以存在2n =，使得72b c =，33b c =， ………12分下面证明不存在2n c =，否则2122(1)n n nn c n ++==-+，即23(1)n n =+， 此式右边为3的倍数，而2n 不可能是3的倍数，故该式不成立．综上，满足要求的n b 为37,b b ． ………16分附加题参考答案21.A ．证明：因为CD 为圆的切线，弧BC 所对的圆周角为BAC ∠ 所以 BCD BAC ∠=∠ （1） 又因为 AB 为半圆O 的直径 所以90ACB ∠=︒，又BD ⊥CD ，所以90CDB ACB ∠=︒=∠ （2） 由（1）、（2）得ABC CBD ∆∆: 所以2AB BCBC BA BD BC BD=⇒=⋅ ……………10分 21.B . 解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩所以4,3x y ==； ……………5分矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ……………10分21.C . 解：曲线C 的普通方程是2213x y +=． ……………………………2分直线l的普通方程是0x +-=． ……………………………4分 设点M的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是d=．………10分21.D . 证明：因为2≤(a +1+b +1)(12+12)=6， ………… 8分． …………10分，即证22≤，即证116a b +++≤，即证3(1)(1)a b =+++ 由基本不等式易得。

一、单选题二、多选题1. 已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则2. 函数的大致图象是（ ）A．B．C．D．3. 如图，在中 ，2BD =CD ，E 为AC 中点，AD 和BE 相交于点F ，那么AF ：DF =（ ）.A ．2B．C ．3D ．44. 若为定义在上的奇函数，则下列函数必为奇函数的是（ ）A．B．C．D．5. 设复数，则的虚部是（ ）A ．B ．3C ．2D．6. 知函数（，）满足，其图象与直线的某两个交点横坐标为，，且的最小值为．现给出了以下结论．①且②在上单调递减且③在上单调递增且④是的对称中心则以上正确的结论编号为（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度8. 已知i为虚数单位，复数，则z =（ ）A．B．C．D．9. 下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ）江苏省泰州中学2023届高三下学期一模模拟数学试题(1)江苏省泰州中学2023届高三下学期一模模拟数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．样本乙的极差一定大于样本甲的极差B ．样本乙的众数一定大于样本甲的众数C ．样本甲的方差一定大于样本乙的方差D ．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数10. 已知复数，则下列结论正确的有（ ）A ．在复平面对应的点位于第二象限B ．的虚部是C．D．11.已知圆，P为直线上一点，过点，分别作两条不同的直线，，与圆相交于A ，B ，与圆的另一个交点为，则下列说法正确的是（ ）A ．若，且点在轴上的射影为，则B．圆上的点到直线的最大距离与最小距离之和为C ．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线，过定点D ．若，则的最大值为12. 下列说法不正确的是（ ）A ．存在，使得B．函数的最小正周期为C ．函数的一个对称中心为D ．若角的终边经过点，则角是第三象限角13. 已知，，则的值是_____________.14. 已知点在直线上，则______________；______．15. 定义表示实数中较大的数，已知数列满足，若，记数列的前项和为，则的值为________.16.已知数列的前项和为，，．（1）求；（2）求证:．17.对于项数为的有限数列，记该数列前项中的最大项为，即；该数列后项中的最小项为，即，．（1）对于共有四项的数列：，求出相应的；（2）设为常数，且，，求证：；（3）设实数，数列满足，()，若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，为等边三角形，且面底面ABCD．(1)若M为BC中点，求证：；(2)求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．19. 某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销量y（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响.对近6宣传费x i和年销售量y i（i＝1，2，3，4，5，6）的数据做了初步统计，得到如下数据：年份201320142015201620172018年宣传费x（万384858687888元）年销售16.818.820.722.424.025.5量y（吨）经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y＝a•x b（a，b＞0），即lny＝blnx+lna．，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：75.324.618.3101.4（Ⅰ）从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率.（Ⅱ）根据所给数据，求关于的回归方程；（Ⅲ）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本=固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），则2019年该公司应该投入多少宣传费才能使利润最大？（其中）附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为20. 椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.21. 已知函数（其中为常数）．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，设函数的3个极值点为，，证明：．。

一、单选题二、多选题1. 已知为等比数列，为其前项和，若，，则（ ）A．B．C．D．2. 已知则下列不等式恒成立的是（ ）A．B．C．D．3. 若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则此三棱柱外接球的表面积是（ ）A．B．C．D．4. 已知，，则函数的图像与直线的交点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V （单位：L ）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（ ）A．B ．C．D．6. 底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A．B．C．D．7.已知全集，，则（ ）A．B．C．D．8. 多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i （其中）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量（其中），则有（ ）A．B．C．D．9. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，O 为坐标原点，圆，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且，则下列结论中正确的有（ ）A ．双曲线C的离心率为B．点到一条渐近线的距离为C ．的面积为D ．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为210. “中国最具幸福感城市调查推选活动”由新华社《瞭望东方周刊》、瞭望智库共同主办，至今已连续举办15年，累计推选出80余座幸福城市，现某城市随机选取30个人进行调查，得到他们的收入、生活成本及幸福感分数（幸福感分数为0~10分），并整理得到散点图（如图），其中x 是收入与生活成本的比值，y是幸福感分数，经计算得回归方程为.根据回归方程可知（ ）江苏省泰州市2023届高三下学期第一次调研测试数学试题(1)江苏省泰州市2023届高三下学期第一次调研测试数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．y 与x 成正相关B ．样本点中残差的绝对值最大是2.044C ．只要增加民众的收入就可以提高民众的幸福感D ．当收入是生活成本3倍时，预报得幸福感分数为6.04411.如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则下列结论正确的是（）A ．平面B ．平面C．平面D ．平面12. 下列命题中正确的命题是 （ ）A ．，使；B．若，则；C ．已知，是实数，则“”是“”的必要不充分条件；D ．若角的终边在第一象限，则的取值集合为．13.设数列的前n 项和为，（对于所有），且，则的数值是___________．14.在中，分别是角的对边，已知成等比数列，且，则的值为________.15. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是、、，且，则B 的大小为_________．16. 已知点A (－1，0)，B (1，－1)和抛物线.，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（1）证明:为定值;（2）若△POM 的面积为，求向量与的夹角；（3）证明直线PQ 恒过一个定点.17.如图，在三棱柱中，平面，，F是的中点，点E 在棱上．(1)证明：；(2)若，，且点到平面的距离为，求的值．18. 已知等差数列的前项和为，，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若成等比数列，求正整数的值．19. 设函数．(1)若，求的单调区间和极值；(2)在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；(3)若存在，使得，求的取值范围20. 灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播､自媒体､配音，还有电竞､电商这些新兴产业上.只要有网络､有电脑，随时随地都可以办公.这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景.甲､乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，其10种表现得分如下表：甲897976101086乙1098687978a(1)若甲和乙所得平均分相等，求a的值；(2)在（1）的条件下，从10种表现得分中，任取一种，求甲的评分大于乙的评分的概率；(3)在（1）的条件下，判断甲､乙两人哪个的表现更稳定.21. △中，角所对边分别是，，．(1)求角及边；(2)求的最大值．。

高一年级2023年春学期第一次阶段检测数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.已知向量(1,2)=- a ，(,4)b m = ，且//a b ，那么a b - 等于（）A.(4，0)B.(0，4)C.(3，－6)D.(－3，6)【答案】C 【解析】【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.【详解】解析∵//a b ，∴λa b=则1,24,m λλ=⎧⎨-=⎩得1,22,m λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴(2,4)b =-，∴a b -＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).故选：C2.已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=A.13B.10C.4 D.13【答案】A 【解析】【详解】222|3|6·910611cos 6013a b a a b b +=++=+⨯⨯⨯=.所以3a b += 133.sin 400cos 20cos 40cos110︒︒-︒︒=（）A.12B.32C.12-D.32-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式求解．【详解】()()sin 400cos 20cos 40cos110sin 40360cos 20cos 40cos 2090︒︒-︒︒=︒+︒︒-︒︒+︒sin40cos20cos40sin20=︒︒+︒︒3sin(4020)sin 602=︒+︒=︒=．故选：B ．4.八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如ACD ）为等腰直角三角形，点O 为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则AB AO ⋅的值为（）A.10B.12C.14D.16【答案】C 【解析】【分析】利用转化法得()()·AB AO AD DB AD DO ⋅=++，展开利用向量数量积的定义并代入相关数据即可.【详解】如图所示：连接OD ，因为中间阴影部分是正方形且边长为2，且图中各个三角形为等腰直角三角形，所以可得4ADO ODB π∠=∠=，||2OD = ，||4AD = ，2ADB π∠=则()()··AB AO AD DB AD DO =++ ，23cos cos44AD AD DO DB AD DB DO ππ=++⋅+ 222442221422⎛⎫=+⨯⨯-+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.5.已知向量(1,1)a =，(1,0)b =，则a在b上的投影向量的模为（）A.2B.3C.1D.33【答案】C 【解析】【分析】求出a在b上的投影向量的坐标，从而求出投影向量的模．【详解】∵(1,1)a = ，(1,0)b = ，∴1a b ⋅= ，||1b = ，∴a 在b上的投影向量为(1,0)||||a b b b b ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，则a 在b上的投影向量的模为22101+=．故选：C ．6.已知a ，b 满足2b = ，b 与b a - 的夹角为120︒，记(1)=+-m ta t b ，则m 的最小值为（）A.3B.2C.1D.12【答案】A 【解析】【分析】根据条件+(1)m t a t b →→→=-，其中()11t t +-=，则,,m a b →→→起点相同，且终点共线，采取数形结合法进行解决.【详解】如图，b OB →→=，a OA →→=，则b a AB →→→-=，则120OBA ︒∠=，因为+(1)m t a t b →→→=-，其中()11t t +-=，则m →与,a b →→共起点，且终点共线，即在直线AB 上，于是m AB →→⊥（即m →为OC →，其中OC AB ⊥）时，||m →最小，最小值为3sin 60232OB ︒=⨯= .故选：A.7.已知22ππβα-<-<，sin 2cos 1βα-=，2sin cos 2αβ+=，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.63±B.33±C.33D.63【答案】D 【解析】【分析】根据sin 2cos 1βα-=，2sin cos 2αβ+=，两式平方相加得到()54sin 3αβ+-=，根据ππ22βα-<-<，得到6παβ=-代入2sin cos 2αβ+=求解.【详解】因为sin 2cos 1βα-=，2sin cos 2αβ+=，所以两式平方相加得()54sin 3αβ+-=，即()1sin 2αβ-=-，又因为ππ22βα-<-<，所以6παβ-=-，即6πβα=+，6παβ=-，将6παβ=-代入2sin cos 2αβ+=，得2sin cos 3sin cos cos 26πβββββ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，即6sin 3β=，所以π6sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴cos sin 332π6sin 63πππααα⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.8.在ABC 中，角A ，B 都是锐角，且sin()3sin cos()0A C A A B +-+=，则tan B 的最大值是（）A.33B.334C.433D.34【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件由诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系可得tan 4tan C A =-，再由()tan tan B A C =-+展开表示为关于tan A 的函数，利用基本不等式即可求最值.【详解】由sin()3sin cos()0A C A A B +-+=，可得()()sin 3sin cos π0A C A C +--=，所以()sin 3sin cos 0A C A C ++=，所以sin cos cos sin 3sin cos 0A CA C A C ++=，即cos sin 4sin cos A C A C =-，所以tan 4tan C A =-，所以()tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1A C A CB AC A C A C ++=-+=-=--22tan 4tan 3tan 314tan 114tan 4tan tan A A A A A A A-===--++，因为角A ，B 都是锐角，所有tan 0A >，tan 0B >，所以114tan 24tan 4tan tan A A A A+≥⨯=，当且仅当14tan tan A A =即1tan 2A =时等号成立，所以33tan 144tan tan B A A=≤+，所以tan B 的最大值是34，故选：D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.下列说法正确的是（）A.向量AB 与CD共线是,,,A B C D 四点共线的必要不充分条件B.若a b ，则存在唯一实数λ使得b aλ=C.已知(1,3)a =，(1,1)b =，则a 与a+b λ的夹角为锐角的充要条件是5(,)2λ∈-+∞D.在ABC 中，D 为BC 的中点，若AB AC AD AB ACλ+=，则BD 是BA 在BC上的投影向量【答案】AD 【解析】【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A ；根据向量共线的充要条件可判断B ；当0λ=时，a b a l +=，此时a 与a b λ+的夹角为0︒，可判断C ；由平面向量加法和已知条件可得AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，可判断D ．【详解】对于A ：A ，B ，C ，D 四点共线⇒向量AB 与CD共线，反之不成立，可能//AB CD ，不一定四点共线，所以A 正确；对于B ：当0a = ，0b ≠r r时，不存在实数λ使得b a λ= ，当0a = ，0b = 时，存在无数个实数λ使得b a λ=，故B 错误；对于C ：当0λ=时，a b a l +=，此时a 与a b λ+的夹角为0︒，不是锐角，故C 错误；对于D ：由平面向量加法可知，AB ACAB AC+ 表示：与BAC ∠的平分线表示的向量平行的向量，因为AB ACAD AB ACλ+=，所以AD 为BAC ∠的平分线，又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，所以BD 是BA 在BC的投影向量，故D 正确.故选：AD.10.下列各式中，值为12的有（）A.sin7°cos23°+sin 83°cos 67°B.4sin10°cos20°cos 40°C.3cos10sin102sin 25cos 25︒-︒︒︒D.1(1tan 37)(1tan 8)+︒+︒【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由诱导公式及两角和的正弦公式化简求值；对于B ，用二倍角公式化简求值；对于C ，由二倍角公式及辅助角公式化简求值；对于D ，先去括号，由两角和的正切公式化简求值.【详解】()1sin 7cos 23sin83cos67sin 7cos 23cos7sin 23sin 723sin302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，故A 正确；8sin10cos10cos 20cos 404sin 20cos 20cos 404sin10cos 20cos 402cos102cos10︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒==︒︒2sin 40cos 40sin 8012cos102cos102︒︒︒===︒︒，故B 正确；312cos10sin10223cos10sin103cos10sin102sin 25cos 25sin 50sin 50⎛⎫︒-︒ ⎪︒-︒︒-︒⎝⎭==︒︒︒︒()()2sin 60cos10cos 60sin102sin 60102sin 50sin 50︒︒-︒︒︒-︒===︒︒，故C 错误；对D ，11(1tan 37)(1tan 8)1tan 37tan 8tan 8tan 37=+︒+︒+︒+︒+︒︒()()11tan 3781tan 37tan8tan8tan 37=+︒+︒-︒︒+︒︒()111tan 451tan 37tan8tan8tan 372==+︒-︒︒+︒︒，故D 正确.故选：ABD.11.如图所示，ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，1cos 4BAC ∠=-，点M 为线段AB 中点，N 在线段BC 上，且2BN NC =，连接CM 与AN 相交于P ，则下列结论正确的有（）A.10BC =B.1319cos 76NAC ∠=C.1124A AB A P C=+ D.193AN =【答案】BD 【解析】【分析】ABC 中，由余弦定理求得BC 可判断A ；由2BN NC =可得1233AN AB AC =+ ，两边平方可求得AN，可判断D ；在ANC 中，由余弦定理求得cos NAC ∠，可判断B ；由,,M P C 共线可得()()112AP AM AC AB AC λλλλ=+-=+-，由,,A P N 共线得1223333m AP m m AB AC A C m A B N A ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，从而23m λ=且213m λ-=，解得,m λ，可判断C.【详解】ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，1cos 4BAC ∠=-，由余弦定理得2194232164BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，4BC =，故A 错误；∵2BN NC =，∴()2AN AB AC AN -=- ，∴1233AN AB AC =+ ，∴22221244939193AN AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭ 111994949324499⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴193AN = ，故D 正确；在ANC 中，1914,,2333AN NC BC AC ====，∴2221942331319cos 7619223NAC ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯，故B 正确；∵,,M P C 共线，∴CP CM λ=，∴()AP AC AM AC λ-=- ，∴()()112AP AM AC AB AC λλλλ=+-=+- ，∵,,A P N 共线，1223333m AP m m AB AC A C m A B N A ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，∵,AB AC不共线，∴23m λ=且213m λ-=，解得13,24m λ==，∴1142AP AB AC =+，故C 错误.故选：BD.12.已知奇函数()3sin()cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的有（）A.函数()g x 的图象关于直线5π12x =对称B.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最小值是3-C.函数()g x 在区间π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.当[]0,πx ∈若函数()y g x =有且仅有2个零点，则所有零点之和为5π6【答案】ABD 【解析】【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，根据其奇偶性和最小正周期以及0,0πωϕ><<即可求得,ωϕ的值，再根据图象平移求出()g x 的解析式，验证5π12x =时()g x 是否取最值即可判断A ；根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合()g x 的解析式利用整体代换和三角函数性质可求得其最小值，即得B 正确；当π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由整体代换和三角函数图象的单调性可判断C 错误；分别求出函数()y g x =在[]0,π上的所有零点，即可得D 正确.【详解】由π()3sin()cos()2sin 6f x x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 为奇函数，则ππ,Z 6k k ϕ-=∈，所以ππ,Z 6k k ϕ=+∈，又因为0πϕ<<，所以π6ϕ=.由函数()f x 的最小正周期为π，可得2ππT ω==，即2ω=；故()2sin 2f x x =；将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，得到函数ππ()2sin 22sin 263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；因为5π5ππ2sin 2212123g ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π12x =是函数()g x 的一条对称轴，即A 正确；当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可得π()2sin 23,23g x x ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，所以当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最小值是3-，即B 正确；当π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π4π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据三角函数单调性可得，函数()g x 在区间π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，所以C 错误；当[]0,πx ∈时，令π()2sin 203g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得12π2π,63x x ==；此时两零点之和为125π6x x +=，即D 正确.故选：ABD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知,A B 的坐标分别是(2,5)-和(1,4)，若P 在直线AB 上，且2AP BP =，则P 的坐标为________.【答案】13(0,)3或(4,3)【解析】【分析】设P 的坐标为(,)x y ，则(2,5)AP x y =+- ，(1,4)BP x y =--，分两种情况讨论：当P 在线段AB 上时，2AP BP =-uuu r uur ；当P 在线段AB 的延长线上时，2AP BP =，结合向量的坐标运算求解即可．【详解】设P 的坐标为(,)x y ，则(2,5)AP x y =+- ，(1,4)BP x y =--，当P 在线段AB 上时，2AP BP =-uuu r uur，(2,5)2(1,4)x y x y ∴+-=---，即22(1)52(4)x x y y +=--⎧⎨-=--⎩，解得130,3x y ==，即点P 的坐标为13(0,)3．当P 在线段AB 的延长线上时，2AP BP =，(2,5)2(1,4)x y x y ∴+-=--，即22(1)52(4)x x y y +=-⎧⎨-=-⎩，解得4,3x y ==，即点P 的坐标为(4,3)．综上，点P 的坐标为13(0,)3或(4,3)．故答案为：13(0,)3或(4,3)．14.π1cos()(0π)33αα+=<<，则sin(π)α+=_______.【答案】3226-【解析】【分析】根据同角关系式，诱导公式及两角差的正弦公式，由()ππsin πsin sin 33ααα⎡⎤⎛⎫+=-=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦计算即可.【详解】0πα<< ，ππ4π333α∴<+<，又π1cos()033α+=>，πππ332α∴<+<，πsin 03α⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭，所以2ππ22sin 1cos 333αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()ππππππsin πsin sin sin cos cos sin 333333ααααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-+-=-+-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦221133232⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭3226-.故答案为：3226-.15.设α、β都是锐角，且()53cos ,sin 55ααβ=+=，则cos β=____________.【答案】2525【解析】【分析】由α是锐角，5cos 5α=求出sin α的值，再由β是锐角，()3sin 5αβ+=得出()cos αβ+的值，将β角转化成()αβα+-，利用两角和差的余弦公式化简计算，并验证即可.【详解】因为α是锐角，5cos 5α=，所以2525sin 155α⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因为β是锐角，所以0αβ<+<π，又()3sin 5αβ+=，所以()234cos 155αβ⎛⎫+=±-=± ⎪⎝⎭，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++当()4cos 5αβ+=时，4532525cos +55555β=⨯⨯=，此时cos sin βα=，即2παβ+=，与()3sin 5αβ+=矛盾，舍去，当()4cos 5αβ+=-时，4532525cos +555525β=-⨯⨯=，符合要求.故答案为：2525【点睛】本题主要考查了两角和与差的正余弦公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题，熟练掌无公式并应用是解题的关键.16.在ABC 中，26AC BC ==，ACB ∠为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且2MN =，若CM CN⋅的最小值为3，则cos ACB ∠=_________．【答案】22109-【解析】【分析】取线段MN 的中点P ，结合向量数量积求出边AB 上的高CO ，进而求出,OCA OCB ∠∠的正余弦即可求解作答.【详解】取线段MN 的中点P ，连接CP ，过C 作CO AB ⊥于O ，如图，112PM MN ==，依题意，()()2221CM CN CP PM CP PM CP PM CP ⋅=+⋅-=-=- ，因CM CN ⋅的最小值为3，则CP 的最小值为2，因此2CO =，在Rt AOC 中，1cos 3CO OCA CA ∠==，22sin 3OCA ∠=，在Rt BOC 中，2cos 3CO OCB CB ∠==，5sin 3OCB ∠=，所以cos cos()cos cos sin sin ACB OCA OCB OCA OCB OCA OCB ∠=∠+∠=∠∠-∠∠22109-=.故答案为：22109-【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的计算公式求解是关键.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知()1,1a =-- ，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++ ；②()()ta b a tb +⊥+ ；③ta b a tb +=+ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.（1）若________，求实数t 的值；（2）若向量(),c x y = ，且()1c ya x b =-+-，求c r .【答案】（1）选①：1t =±，选②：352t ±=，选③：1t =±；（2）2.【解析】【分析】（1）求出ta b + 和a tb +r r的坐标，选①由向量平行的坐标表示列方程，解方程即可求解；选②由向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可求解；选③由平面向量模长的坐标运算列方程，解方程即可求出结果；（2）根据平面向量线性运算的坐标运算建立方程组，即可求解；【详解】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=-- ，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：（1）因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；（2）()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c = ，所以22112c =+= ；选②：（1）因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：352t ±=；（2）()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c = ，所以22112c =+= ；选③：（1）因为ta b a tb +=+ ，所以()()()()2222111t t t -+-=-+-，即21t =，解得：1t =±；（2）()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c = ，所以22112c =+= .18.已知π2π,(,)63αβ∈，且π310cos()610α-=，π5sin()35β+=.（1）求sin α的值；（2）求αβ-的值.【答案】（1）3031020+（2）π4-【解析】【分析】（1）利用同角三角函数关系式可求得πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和的正弦公式可求得结果；（2）根据同角三角函数关系式可求得πcos 3β⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由()ππsin cos 63αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合两角差的余弦公式和αβ-的范围可求得结果.【小问1详解】π2π,63α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，ππ0,62α⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，2ππ10sin 1cos 6610αα⎛⎫⎛⎫∴-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππsin sin sin cos cos sin666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦30310102102201033101+=⨯+⨯=；【小问2详解】π2π,63β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，ππ,π32β⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，2ππ25cos 1sin 335ββ⎛⎫⎛⎫∴+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()πππππsin sin cos 63263αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--++=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦cos cos s πin sin 6πππ363αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3102510521051052⎛⎫=⨯-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭，π2π,,63αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，ππ,22αβ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，π4αβ∴-=-.19.已知向量(1,2)a =，(cos ,sin )b αα= ，设()m a tb t R =+∈ .（1）若4πα=，求当m u r取最小值时实数t 的值;（2）若a b ⊥ ，问:是否存在实数t ，使得向量a b - 与向量m 的夹角为4π若存在，求出实数t ;若不存在，请说明理由.【答案】（1）322t =-；（2）存在，5352t -±=.【解析】【分析】（1）由题意可得22,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，322a b ⋅= ，从而可得222()52325a tb t ta b t t +=++⋅=++ ，再利用二次函数的性质可得答案，（2）由题意可得()()·cos 4a b a tb a b a tbπ-+=-+ ，再由a b ⊥可得0a b ⋅= ，从而可求得a b -r r ，a tb + 的值，从而可求出实数t 的值【详解】（1）当4πα=时，22,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则322a b ⋅= ，∴m u r =2222321()5232522a tb t ta b t t t ⎛⎫+=++⋅=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭ ，∴当322t =-时，m u r 取得最小值.（2）假设存在满足条件的实数t.由条件得()()·cos 4a b a tb a b a tb π-+=-+ ，∵a b ⊥，∴a b -r r =2()6a b -= ，a tb + =22()5a tb t +=+ ，()()5a b a tb t -+=-，∴252265t t -=⋅+.∴2550t t +-=，且5t <，得5352t -±=.∴存在5352t -±=满足条件.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P ，Q 是以AB 为直径的上半圆弧上两点（点P 在Q 的右侧），点O 为半圆的圆心，已知2AB =，BOP θ∠=，POQ α∠=.（1）若点P 的横坐标为45，点Q 的纵坐标为12，求cos α的值；（2）若1PQ =，求AQ BP ⋅的取值范围.【答案】（1）34310-；（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）计算3sin 5θ=，4cos 5θ=，()1sin 2αθ+=，()3cos 2αθ+=-，利用和差公式计算得到答案.（2）3πα=，故()cos ,sin P θθ，cos ,sin 33Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1sin 62AQ BP πθ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭ ，计算得到答案.【详解】（1）根据题意：3sin 5θ=，4cos 5θ=，()1sin 2αθ+=，()sin sin αθθ+<，故,2παθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()3cos 2αθ+=-，故()()()343cos cos cos cos sin sin 10ααθθαθθαθθ-=+-=+++=.（2）1OP OQ PQ ===，故3πα=，故()cos ,sin P θθ，cos ,sin 33Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()10B ,，()1,0A -，故()cos 1,sin cos 1,sin 33AQ BP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1cos 1cos 1sin sin sin 3362πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5,666πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故11sin 0,622πθ⎛⎫⎡⎤+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题考查了三角恒等变换，向量的数量积，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE △三条边）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别落在线段BC ，AD 上（含线段两端点），已知303AB =米，45AD =米，BHE θ∠=.（1）设Rt FHE △的周长为L ，求L 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）θ为何值时，污水净化效果最好？【答案】（1）111153cos sin sin cos L θθθθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）π6θ=或π3θ=【解析】【分析】（1）利用直角三角形中边角关系求得边长，进而得L 关于θ的函数关系式，由,45BE AF ≤求出定义域；（2）由（1）得sin cos 1153sin cos L θθθθ++=⋅⋅，令sin cos t θθ+=，结合辅助角公式及三角函数的性质求得答案.【小问1详解】由题意得，BHE AFH θ∠=∠=，则153cos EH θ=，153sin FH θ=，∴22153sin cos EF EH FH θθ=+=，∵153tan 45BE θ=≤，15345tan AF θ=≤，∴3tan 33θ≤≤，∴ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴111153cos sin sin cos L θθθθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由（1）得，111sin cos 1153153cos sin sin cos sin cos L θθθθθθθθ++⎛⎫=++=⋅⎪⋅⎝⎭，设sin cos t θθ+=，则21sin cos 2t θθ-⋅=，21303153112t L t t +=⨯=--，∴πsin cos 2sin 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∵ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5π7ππ,42211θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则31,22t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴3031L t =-在31,22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴当312t +=时，即π6θ=或π3θ=时，污水净化效果最好.22.已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()1f x a b m a b =⋅-++ ，,,34x m R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦.（1）若()f x 的最小值为-1，求实数m 的值；（2）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2m =；（2）72764m ≤<.【解析】【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可．（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由()g x =0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．试题解析：（1）∵33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴2233cos cos sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222cos24cos x x =+=，∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴24cos 2cos a b x x +== ，()cos22cos 1f x x m x =-+22cos 2cos x m x =-，令1cos ,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴222y t mt =-∵min 1y =-，对称轴为2mt =，①当122m <即1m <时，当12t =时，min 112y m =-=-∴32m =舍，②当112m ≤≤即12m ≤≤时，当2m t =时，2min 12m y =-=-∴2m =，③当12m >即2m >是，当1t =时，min 221y m =-=-∴32m =舍，综上，2m =.（2）令()()224049m g x f x =+=，即22242cos 2cos 049m x m x -+=，∴3cos 7m x =或47m ，∵()y g x =，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点，∴方程3cos 7m x =和4cos 7m x =在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上共有四个不同的实根，∴2312724{1273477mm m m≤<≤<≠∴72763727{840m m m ≤<≤<≠∴72764m ≤<.。

2025届江苏泰兴一中高考数学全真模拟密押卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ）A ．－2B ．－4C ．3D ．－3 2．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301x x -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．113．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．44．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D5．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ）A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =6．已知圆锥的高为3体积的比值为( )A ．53B ．329C ．43D ．2597．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ）A ．7B ．14C ．28D ．848．已知i 是虚数单位，若z 211i i=+-，则||z =（ ）A ．2B ．2C ．10D ．109．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ）A ．2B ．53C ．43D ．3210．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．5411．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC +B ．5799BA BC + C ．11099BA BC +D ．2799BA BC + 12．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．66C ．34D 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1. 若函数，则（ ）A ．24B ．25C ．26D ．272. 近年来，我国无人机产业发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，其中民用无人机市场也异常火爆，销售量逐年上升．现某无人机专卖店统计了5月份前5天每天无人机的实际销量，结果如下表所示．日期编号12345销量/部9a17b 27经分析知，与有较强的线性相关关系，且求得线性回归方程为，则的值为（ ）A ．28B ．30C ．33D ．353. 已知点在直线上,点在直线上，同一平面内的点满足条件:,设点且,则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若，则A．B．C．D．5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体外接球的体积之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（）A．B．C．D．6. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）A．B．C．D．7.已知等差数列的前n项和为，且，则＝（ ）A ．0B ．10C ．15D ．308. 设函数若,则实数（ ）A ．4B．C ．4或D ．4或9. 已知函数，将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，江苏省泰州中学2023届高三下学期一模模拟数学试题江苏省泰州中学2023届高三下学期一模模拟数学试题三、填空题四、解答题纵坐标不变，得到函数的图像．若为奇函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）A．函数的图像关于点中心对称B ．函数在区间上单调递减C ．不等式的解集为D ．方程在上有2个解10. 若的展开式中最中间的一项是，则（ ）A．B ．展开式中所有项的二项系数之和为64C．展开式中的所有项的系数和为D．展开式中的常数项为11. 已知线段BC 的长度为4，线段AB 的长度为，点D ,G 满足，，且点在直线AB 上，若以BC 所在直线为轴，BC 的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（ ）A ．当时，点的轨迹为圆B ．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为C ．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为D ．当时，面积的最大值为312. 在棱长为6的正方体中，E 为的中点，P 在棱BC 上（不包括端点），则下列判断正确的是（ ）A ．存在点P ，使得AP⊥平面B ．存在点P ，使得三棱锥的体积为45C ．存在点P ，使得点P 到DE 的距离为5D ．当P 为BC的中点时，三棱锥外接球的表面积为86π13. 在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若，则_________．14. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，，则________，的面积为________．15. 已知在中，角的对边分别为，且满足，，则的面积为__________.16. 某校高二年级进行了百科知识大赛，为了了解高二年级900名同学的比赛情况，现在甲、乙两个班级各随机抽取了10名同学的成绩，比赛成绩满分为100分，80分以上可获得二等奖，90分以上可以获得一等奖，已知抽取的两个班学生的成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：(1)比较两组数据的分散程度（只需要给出结论），并求出甲组数据的频率分布直方图如图2中所示，，的值；(2)现从两组数据中获奖的学生里分别随机抽取一人接受采访，求被抽中的甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率．17. 某靶场有，两种型号的步枪可供选用，其中甲使用两种型号的步枪的命中率分别为,；，(1)若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份精美礼品，若甲使用型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得精美礼品的概率；(2)现在两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记为射击的次数，求的分布列与数学期望．18. 已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点.①求证：点与点的横坐标的积为定值；②求△周长的最小值.19. 已知数列的前n项之积为，且，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．20. 为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为20的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示.(1)求上图中的值；(2)根据频率分布直方图，求200件样本尺寸在内的样本数；(3)记产品尺寸在内为等品，每件可获利5元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损2元；其余的为合格品，每件可获利3元.若该机器一个月共生产3000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到11000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.21. 已知向量，，.（1）画出函数的图象；（2）在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若，求△ABC的周长.。

2025届江苏省泰州市兴化一中高考仿真卷数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件2．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对4．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=5．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．[2,2)-B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 6．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln 2D ．2ln 27．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1-D ．()()1,00,1-9．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．1648110．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件线xy e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N12．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21xf x =-，则()()20f f -+=（ ）A ．3-B ．2C ．3D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省泰州中学2023-2024学年高三下学期高考模拟预测数学试题一、单选题1．样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（ ） A ．16B ．17C ．23D ．242．若集合{}4A x m x =∈<<Z 有15个真子集，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)1,0-B ．(]1,0-C ．()1,0-D ．[]1,0-3．若()2,0a =r ，1b =r ，a b -r r a r 与a b -rr 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π64．疫情期间，有6名同学去社区做防疫志愿者，根据需要，要安排这6名同学去甲､乙两个核酸检测点，每个检测点至少去2名同学，则不同的安排方法共有( ) A ．10种B ．20种C ．50种D ．70种5．若函数()1sin2cos 2f x x a x =-在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞6．已知1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与C 交于点A ，与y 轴交于点B ，110F A F B ⋅=u u u r u u u r，224BF F A =u u u u r u u u u r ，则C 的离心率为（ ）A B C ．25D ．357．对于数列{}n a ，若点(),n n a 都在函数x y cq =的图象上，其中0q >且1q ≠，则“1c q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8．过抛物线2:4C y x =焦点FC 交于A B ､两点，若PF 为PAB V 的内角平分线，则PAB V 面积最大值为（ ）A ．83B ．163C ．323D ．16二、多选题9．已知m n l ，，为空间中三条不同的直线，αβγ，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A ．若,m m αβγ⋂=⊥，则,αγβγ⊥⊥B ．若,m n αα⊂⊄，则m 与n 为异面直线C ．若,,l m n αββγγα⋂=⋂=⋂=，且l m P =I ，则P n ∈D ．若,,//m m αβαγ⊥⊥，则//βγ10．已知复数1z ，2z ，3z ，下列说法中正确的有（ ）A ．若112z =-+，则211z z =B ．11z z =是1122z z =的充分非必要条件 C ．若1213z z z z =，则10z =或23z z = D ．111z z +>11．已知可导函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，()()210f f =-≠，且对任意,x y ∈R ，恒有()()()()()f x y f x f y f x f y ''+=+，则一定有（ ）A ．()112f '=-B ．()90f =C ．2421()1k f k ==∑D ．2421()1k f k ='=-∑三、填空题12．在二项式)9x 的展开式中，系数为有理数的项的个数是个.13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112nn n n S a =--，n *∈N ，则 （1）1a =；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=.14．已知函数()()2cos cos N f x nx nx nx n *+∈在ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则满足条件的n 值有个.四、解答题15．如图，几何体ABCDE 中，AC BC ⊥，四边形ABDE 是矩形，BD BC ⊥，点F 为CE 的中点，1BC BD ==，2AC =．(1)求证：//BC 平面ADF ；(2)求平面BCD 与平面ADF 所成角的余弦值．16．已知函数()2()2e ,R xf x x x a a =-+∈．(1)若1a =，求函数()f x 在[0,3]x ∈上的最大值和最小值； (2)讨论函数()f x 的单调性．17．城市大气中总悬浮颗粒物(简称TSP )是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》规定，TSP 日平均浓度(单位：3μg/m )在[]0,120时为一级水平，在(]120,300时为二级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重TSP 日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的TSP 日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP 日平均浓度X 不高于380μg/m ，3120μg/m ，3200μg/m ，3300μg/m 的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95.（1）若单个喷雾头能实现有效降尘38m ，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数. （2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间TSP 日平均浓度X 不高于380μg/m ，3120μg/m ，3200μg/m ，3300μg/m 的概率均相应提升了5%，求：①该工地在未来10天中至少有2天TSP 日平均浓度能达到一级水平的概率；(100.60.006≈，结果精确到0.001)②设单个喷雾头出水量一样，如果TSP 日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由. 18．已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的离心率为2，点()6,4在C 上，A 、B 为双曲线的下、上顶点，P 为C 上支上的动点（点P 与B 不重合），直线AP 和直线1y =交于点N ，直线NB 交C 的上支于点Q . (1)求C 的方程；(2)探究直线PQ 是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设1S ，2S 分别为ABN V 和NPQ △19．（1）已知各项均为正数的无穷数列{}n a 满足：对于n *∀∈N ，都有2213n n a a +-=，1a =求数列{}n a 的通项公式；（2）已知各项均为正数的无穷数列{}n a 满足：对于n *∀∈N ，都有2212n n t a a t +≤-≤，其中t 为常数.①若1a =3t =，记11n n n b a a +=+，数列{}n b 的前n 项和n S满足)1n S ≤，求数列{}n a 的通项公式：②记1n n n c a a +=-，证明：数列{}n c 中存在小于1的项.。

江苏省泰州市2023届高三下学期第一次调研测试数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）A．B．C．D．2．已知向量满足，则（ ）A．－2B．－1C．0D．23．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ）A．B．2C．D．44．2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（ ）A．B．C．D．5．已知，则（ ）A．B．C．D．6．已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：；如果只有一个假命题，则该命题为（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁7．已知函数的定义域为，且为偶函数，，若，则（ ）A．1B．2C．D．8．若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、多选题9．在棱长为2的正方体中，与交于点，则（ ）A．平面B．平面C．与平面所成的角为D．三棱锥的体积为10．函数的部分图象如图所示，则（ ）B．C．的图象关于点对称D．在区间上单调递增11．一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）A．B．为互斥事件C．D．相互独立12．已知抛物线的焦点为，以该抛物线上三点为切点的切线分别是，直线相交于点与分别相交于点.记的横坐标分别为，则（ ）A．B．C．D．三、填空题13．已知函数，则__________.14．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{}的通项公式＝___．①；②15．已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆上有且只有一个点满足，则的值为__________.四、双空题16．已知正四棱锥的所有棱长都为1，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为__________，的面积的最大值为__________.五、解答题17．在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，_____ _____.(1)求的通项公式；(2)求.注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.18．第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIF AWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.附：.19．在中，的对边分别为.(1)若，求的值；(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.20．如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.21．已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.22．已知函数和有相同的最大值.(1)求实数；(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：.参考答案：1．A【分析】根据交集概念计算出答案.【详解】.故选：A.2．C【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】.故选：C3．C【分析】根据对称性得到，从而计算出，求出模长.【详解】对应的点为，其中关于的对称点为，故，故.故选：C4．D【分析】根据椭圆的远地点和近地点的距离可得，进而可求得，求得b，可得答案.【详解】由题意得，故，故选：D.5．B【分析】根据三角恒等变换公式求解.【详解】所以，所以故选:B.6．D【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙､丙一定都正确，继而根据正态曲线的对称性可判断甲和丁，即得答案.【详解】因为只有一个假命题，故乙､丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，所以乙､丙一定都正确，则，故甲正确，根据正态曲线的对称性可得，故丁错.故选：D.7．A【分析】设，满足题意，即可求解.【详解】因为为偶函数，所以，则关于对称，设，，关于对称，.，即满足条件，.故选:A.8．D【分析】设切点，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点，结合韦达定理可得的关系，进而可得的关系，再利用导数即可得出答案.【详解】设切点，则切线方程为，又切线过，则，有两个不相等实根，其中或，令或，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，，，当时，，当时，，所以，即.故选：D.9．ABD【分析】根据线面平行判定定理判断A，利用线面垂直判定定理判断B，利用线面夹角的定义判断C，根据等体积法判断D.【详解】∵平面平面平面，A对；因为又平面，平面，所以平面平面，B对；因为平面与平面所成角为因为，C错；因为，D对.故选：.10．ACD【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】，，由于，所以，所以A选项正确，B选项错误.，当时，得，所以关于对称，C选项正确，，当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确.故选：ACD11．AC【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析.【详解】正确；可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误；在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；不独立，D错误；故选：AC.12．BCD【分析】利用导函数和斜率的关系表示出切线方程可求出的坐标可判断A，根据向量数量积的坐标运算判断B,并根据两点间的距离公式运算求解即可判断C,D.【详解】设，所以，即，同理，，即，也即，B正确；不一定为A错误；正确；正确，故选:BCD.13．4【分析】根据分段函数的定义求解即可.【详解】由，所以，所以.故答案为：4.14．（答案不唯一）【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案.【详解】依题意，是等比数列，设其公比为，由于①，所以，由于②，所以，所以符合题意.故答案为：（答案不唯一）15．##【分析】根据可得在的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解.【详解】在的垂直平分线上，所以中垂线的斜率为，的中点为，由点斜式得，化简得，在圆满足条件的有且仅有一个，直线与圆相切，，故答案为: .16．【分析】空1，数形结合，作平面与平面平行，即可解决；空2，令，得，，得，，得，即可解决.【详解】取中点平面，作平面与平面平行，如图至多为五边形.令，，，所以，所以所以,因为与的夹角为与夹角，而与垂直，所以，当时，取最大值.故答案为：；17．(1)选①②，①③或②③均可得(2)【分析】（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到通项公式；（2）在第一问的基础上，得到，利用裂项相消法求和.【详解】（1）若选①②，设公差为，则，解得：，；选①③，设公差为，，解得：，；选②③，设公差为，，解得：，；（2），.18．(1)列联表见解析，有(2)分布列见解析，【分析】(1)利用独立性检验的方法求解；(2)根据独立事件的概率公式和离散型随机变量的分布列的定义求解.【详解】（1）列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关（2）3人进球总次数的所有可能取值为，的分布列如下：0123的数学期望.19．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得结果；（2）设，把表示成两个三角形的面积和，表示出，再求其取值范围；【详解】（1）已知，由正弦定理可得，，，，， 即，.（2）由（1）知，由，则.设，，，，.20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明出线面垂直，得到，进而证明出平面；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值，进而求出正弦值.【详解】（1）证明：∵是边上的高，∴，∵，平面，平面，∵平面，,又平面，∴平面；（2）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，垂直ADB平面为z轴，建立空间直角坐标系，，则，，设平面与平面的一个法向量分别为，故，解得：，令，得：，则，，解得：，令，则，故，设二面角平面角为，显然为锐角，，.21．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，可得，，进而求解；（2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解.【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为，代入双曲线方程，可得，，即，由题意，可得，解得，，，双曲线的方程为：；（2）方法一：设方程为，，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得，而，，对恒成立，，以为直径的圆经过定点；方法二：设方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.设以为直径的圆过，，而，，，即对恒成立，，即以为直径的圆经过定点.22．(1)(2)证明见解析【分析】(1)利用导函数分别讨论两个函数的单调性和最值即可求解；(2)构造函数和，利用导数和单调性讨论函数的零点，结合函数分类讨论对应方程根的个数和分布证明.【详解】（1），令.有最大值，且在上单调递增上单调递减，.时，，当时，单调递增；当时，单调递减，.（2）由，由，令,当时，，当时，，所以在上单调递增；上单调递减，至多两个零点，令，当时，，当时，，所以在上单调递增；上单调递减；至多两个零点.令，当时，，所以；当时，由，设，，所以当时，，所以在单调递增，所以，所以，且，所以，设当时，，当时，，所以在上单调递减，方程无解，当时，由在上单调递增，方程有唯一解，当时，注意到，设，对恒成立，所以，所以当时，，即，因为，所以，，所以，所以，在和上各有一个零点，示意图如下注意到，令，，即函数在上单调递减，因此，即有，在和上各有一个零点.且由，而，而在上单调递增，由，由，而而在上单调递减，由，于是得，，证毕!【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键，进而可得同构等式，根据函数的单调性分类讨论证明.。

一、单选题二、多选题1. 如图，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，两点、对应的复数分别为、，则复数的虚部为（）A．B．C．D ．2. 某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，全校2000名学生每人都参加且只参加其中二个社团，校团委从这2000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的两个统计图：则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．453. 定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．24. 数列共7项，，且．满足这些条件的不同数列的个数为（ ）A ．6B ．12C ．15D ．305. 若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ）A．B．C．D．6. 设数列为正项等差数列，且其前项和为，若，则下列判断错误的是（ ）A．B．C．D．7. 已知在边长为2的正方体中，点在线段上（含端点位置），现有如下说法：①平面；②；③点到平面的距离的最大值为1．则正确说法的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38. 已知集合，，则A．B．C．D．9. 某公司经营五种产业，为应对市场变化，在五年前进行了产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比五年前增加了一倍，调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示，则下列结论错误的是（ ）江苏省泰州市2023届高三下学期第一次调研测试数学试题江苏省泰州市2023届高三下学期第一次调研测试数学试题三、填空题四、解答题A ．调整后传媒的利润增量小于杂志B ．调整后房地产的利润有所下降C ．调整后试卷的利润增加不到一倍D ．调整后图书的利润增长了一倍以上10.如图，直线，点A 是之间的一个定点，点A到的距离分别为1和2.点是直线上一个动点，过点A作，交直线于点，则（）A．B ．面积的最小值是C．D ．存在最小值11. 对于实数，下列结论正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则12.抛物线的焦点为，、是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则（ ）A ．若，则直线的斜率为或B．若，则C ．若和不平行，则D ．若，则的最大值为13.设函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．14. 已知函数在上单调递减，且方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．15. 两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是________．16. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，，点E 、F分别为棱、的中点．(1)证明：面；(2)求三棱锥的体积17. 如图所示，是等边三角形，，，面面，．（1）求证：；（2）求四面体的体积．18. 已知，，分别为椭圆的左，右，上顶点，为抛物线的焦点，，为抛物线的准线上的动点，与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：直线过定点．19. 已知数列的前项和为，且满足(1)的通项公式；(2)若，求数列的前项和．20. 如图，圆锥的底面半径为2，高．为底面圆周上三点，且．是线段的中点，满足．(1)求三棱锥的体积；(2)记二面角的大小为，二面角的大小为．求的值．21. 如图，四棱锥中，，，，平面CDP，E为PC中点.(1)证明：平面PAD；(2)若平面PAD，，求三棱锥的体积.。