3_2_1 T检验(比例检验)

3.2.1 T检验（比例检验）北京桑兰特科技有限公司124连续型离散型XY验证根本原因的统计工具T检验（比例检验）目标：了解T检验（比例检验）及其应用主要内容：•单个正态总体均值的T检验•两个正态总体均值的T检验•成对数据T检验•比例检验5单个正态总体均值的T检验的含义设正态总体X：X～N（μ，σ²），在实际问题中，μ，σ²通常是很难知道的。

现从总体X中抽取样本x1,x2,…，x n，从样本均值X和样本标准差S出发来检验总体分布的均值μ是否等于（或大于、小于）定值μ０，这就是单个正态总体均值的T检验。

67两个正态总体均值的T 检验的含义设两个独立的正态总体Ｘ、Y ：X ～N （μ１，σ²１）,Y ～Ｎ（μ2，σ²2)同样μ１,μ2, σ²１,σ²2通常是很难知道的。

现从总体X 中抽取样本x 1,x 2,…，x n ，样本均值为，样本标准差为S x ，从总体Y 中抽取样本y 1,y 2,…y m ，样本均值为，样本标准差为Sy ，从样本均值，和样本标准差Sx ，S y 来检验总体X 的均值μ１是否等于（或大于、小于）总体Y的均值μ2，这就是两个正态总体均值的T 检验Y X X Y实例：实例1：炼铁厂某号高炉的铁水含碳量X～N（μ，σ²），在正常情况下，铁水含碳量μ0=4.55%，今抽查5炉铁水的含碳量（%）分别为：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37，试判断铁水含碳量μ是否正常？实例2：实践表明，钢条的抗剪强度服从正态分布，现对生产线作工艺改进，在改进工艺前后，各测量了若干钢条的抗剪强度，数据如下：改进后：525，531，518，533，546，524，521，533，545，540改进前：521，525，533，525，517，514，526，519问：可以认为工艺改进前后钢条的平均抗剪强度有提高吗？89单个正态总体均值的T 检验步骤步骤1：建立原假设H 0和备择假设H 1通常有三类假设H 0：μ=μ0 , H 1:μ≠μ0----双边假设检验H 0: μ≤μ0, H 1: μ>μ0H 0: μ≥μ0, H 1：μ<μ0----单边假设检验10单个正态总体均值的T 检验步骤步骤2：选择检验统计量这里μ0是定值，n 为样本容量，与s 分别表示样本x 1，x 2，…x n 的均值与标准差，t(n-1)是自由度为n-1的t 分布。

x−)1(~0−−=n t nsx t µ单个正态总体均值的T检验步骤步骤3：给出检验中的显著性水平α常取α=0.05，根据问题的具体情况，也可取α= 0.01或0.10步骤4：给出临界值、确定拒绝域根据选择的检验统计量的分布，以及给定的显著性水平α，可确定临界值和拒绝域，但在不同的三类假设下，拒绝域是不同的11单个正态总体均值的T检验步骤步骤5：根据样本观察值，计算检验统计量的值，并作判断.判断方法：（1）若检验统计量的值落在拒绝域中，则拒绝原假设。

（2）由检验统计量计算P值，当P<α时拒绝原假设。

（3）若原假设的参数值μ0未落入总体均值的置信区间内，则拒绝原假设12用MINTAB进行单个正态总体均值的T检验实例1：打开MINTAB工作表，输入数据：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37•首先进行正态性检验•Stat> Basic Statistics > Normality Test13正态性检验输出结果14实例1（续）建立假设H0：μ=4.55 H1:μ≠4.55•Stat>Basic Statistics>1-Sample t•在Sample in Columns 下选择C1，在Test mean下输入4.55•按Graphs 选择Box plot of data•按Options 在Confidence level下输入95.0在Alternative选择not equal•OK1516MINITAB 输出结果One-Sample T: C1Test of mu = 4.55 vs not = 4.55Variable N Mean StDevSE Mean 95% CI T P C1 5 4.36400 0.05413 0.02421 (4.29679, 4.43121)-7.68 0.002结论：铁水含碳量在显著性水平α=0.05下不正常，且显著降低17两个正态总体均值的T 检验步骤步骤1：建立原假设H O 和备择假设H 1通常也有三类假设H O : μ1=μ2, H 1: μ1≠μ2 ----双边假设检验H O : μ1≤μ2, H 1: μ1>μ2 H O : μ1≥μ2, H 1: μ1<μ2----单边假设检验18两个正态总体均值的T 检验步骤步骤2：选择检验统计量若= 且未知时，21σsw22σ2)1()1(22−+−+−m n sm s n yx =其中=)2(~11−++−=m n t mn s y x t w两个正态总体均值的T检验步骤步骤3: 检验两个总体是否服从正态分布;步骤4：检验两个正态总体的方差是否相等，即方差齐性检验可用MINTAB操作Stat > Basic Statistics > 2 Variances19两个正态总体均值的T检验步骤步骤5：给出检验中的显著性水平α步骤6：根据备择假设,给出临界值，确定拒绝域步骤7：根据样本观察值作统计判断上述三个步骤与单个正态总体均值的T检验对应的步骤基本相同20用MINTAB进行两个正态总体均值的T检验实例2：打开文件：两总体T检验1首先进行正态性检验Stat > Basic Statistics > Normality Test结论：两组样本数据均服从正态分布2122实例2：（续）作方差齐性检验建立假设H O : = , H 1: ≠•Stat > Basic Statistics > 2 Variances•在Samples in different columns 下依次选择C 1,C 2•按Options 在Confidence level 下输入95.0•OK21σ22σ21σ22σMINTAB输出结果Test for Equal VariancesLevel1 C1Level2 C2Conflvl95.0000Bonferroni confidence intervals forstandard deviations6.39571 9.77753 19.6885 10 C13.75367 6.00000 13.7429 8 C2F-Test (normal distribution)Test Statistic: 2.656P-Value : 0.211Levene's Test (any continuous distribution)Test Statistic: 2.022P-Value : 0.174结论：两正态总体的方差在显著性水平α=0.05下无显著差异23实例2：（续）作T检验建立假设H O: μ1=μ2 ,H1: μ1>μ2 ,Stat > Basic Statistics > 2-Sample t•在Samples in different columns下依次选择C1，C2•选择Assume equal Variances•按Graphs 选择Box plots of data•按Options 在Confidence level下输入95.0在Test difference 输入0.0在Alternative 下选择greater than•OK2425MINTAB 输出结果Two-Sample T-Test and CI: C1, C2Two-sample T for C1 vs C2N Mean StDevSE MeanC1 10 531.60 9.78 3.1C2 8 522.50 6.00 2.1Difference = mu C1 -mu C2Estimate for difference: 9.1095% lower bound for difference: 2.19T-Test of difference = 0 (vs >): T-Value = 2.30P-Value = 0.018DF = 16Both use Pooled StDev = 8.34结论:工艺改进后,钢条的平均抗剪强度确有提高26用MINTAB练习（一）某热轧结构钢钢板厚度目标值为5.00mm，为了了解实际的厚度是否与目标值相吻合，测量了20个数据见文件：单总体T检验–C2问：近阶段该产品厚度是否正常？27练习（二）在某炼钢炉上进行一项试验以确定改变操作方法是否增加钢水收得率，试验在同一只炉上进行，每炼一炉时，除操作方法外，其他条件尽可能做到相同，先用原方法炼一炉，然后改变方法炼一炉，以后交替进行，各炼了10炉，其收得率数据见文件（两总体T检验2），且认为两个样本数据来自互相独立的正态总体问:改变操作方法有否提高收得率？28对正态总体进行T检验时样本容量的确定对正态总体均值作T检验时，通常事先指定显著性水平α，以确定发生第一类错误（弃真错误）的概率α，再通过控制样本容量n，对发生第二类错误（纳伪错误）的概率β进行控制29对正态总体进行T检验时样本容量的确定两类错误造成的损失是不同类型的，其性质的严重性也是不同的，因此不同的问题会对两类错误的概率做出不同的选择。

所以常常会对发生两类错误所允许的概率先作出明确规定，然后确定适当的样本容量样本容量除了与两类错误的概率α，β有关外，还与总体方差σ²及被检参数的精度要求δ有关30对正态总体进行T检验时样本容量的确定若第二类错误的概率为β，则定义检验功效（power of test）为1-β，即为“在备择假设成立时不犯第二类错误”的概率计算样本容量可用MINTAB进行：Stat > power and sample size > 1 Sample Z(σ已知)1 Sample t (σ未知)3132对正态总体进行T 检验时样本容量的确定实例：某轧钢厂为提高某管坯的屈服强度，改变轧制工艺的某些参数作试验，从取得的部分数据分析知：均值为=39.32，标准差为S = 0.75，屈服强度服从正态分布，且目标值为40，若要作T 检验分析其改变工艺是否有效，试确定样本容量。

（取α= 0.05 ，β= 0.2）x −对正态总体进行T检验时样本容量的确定•Stat > power and Sample Size > 1 Sample t•分别输入δ= 0.68 1-β= 0.8 S = 0.75•按Options，选择Greater than ，输入α= 0.05•OK33MINTAB输入结果Power and Sample Size1-Sample t TestTesting mean = null (versus > null)Calculating power for mean = null + differenceAlpha = 0.05 Sigma = 0.75Sample Target ActualDifference Size Power Power0.68 10 0.8000 0.8407作T检验时,先确定样本容量!3435成对数据T 检验为比较两种产品，或两种仪器，两种方法等的差异，在相同条件下作对比实验，得到成对的观察值，根据观察值作统计推断时，可运用成对数据T 检验.成对数据T 检验原理：若 d =Ｘ-Y ～N(μ, σ²)，作原假设H 0：μ=0，备择假设H 1:μ≠0，选择检验统计量)1(~−=n t ns d t d36成对数据T 检验•保险公司的评估员认为汽车修理厂A 比汽车修理厂B 对汽车修理费用的评估要高。