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研究性学习课题：数列在分期付款中的应用──分期付款中还款方式的选择一．教案（例）描述问题提出：当前，随着经济发展改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。
为了增强学生对金融市场中的分期付款知识的了解。
我在上星期天给学生预先布置了下面的例题，让学生利用休息时间，进行社会调查，把全班学生分成5组，分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、光大银行5家银行去咨询，要求每一组能拿出一个设计成果，看一看如何帮助我，符合我的承受能力，选择一种分期付款的方式。
今天我们就这一例题，一起来看看研究成果，同时体会数列在分期付款中的应用。
例题：随着社会发展和人们生活水平的提高，我也想改善一下居住的环境。
日前，我欲在某房产公司处购买一套商品房，价值为22万元，首次付款2万元后，其余经15年按月分期付款，月利率为0.42%，而我的家庭月工资为2200元，麻烦同学们去银行了解一下情况，为我作一下参谋，我将如何办理商业性个人住房贷款，每月应付款多少元（精确到1元）？实际付款总额比一次性付款额多付了多少元？二、 研究成果展示学生们已去了各个银行咨询，参考了金融知识和贷款信息，结合运用了我们学过的数学知识，每组都有了一个调查结果，大家达成了一个共识，一致认为：1、每期还款额的研究：现在各大银行的对于一年以上还款方式一般有以下两种：（1）等额本息法：每期还款额（本金和利息）相同。
将各期所付款都折合成结清时的值来考虑问题的。
推导公式：设每月还款额均为x 元，每月还款在180月后的总值：x x x x x +++++++++)0042.01()0042.01()0042.01()0042.01(177178179 贷款200000元在180月后的总值：180)0042.01(200000+ 当贷款全部还清时，两者的总值应该相等，所以 x x x x +++++++)0042.01()0042.01()0042.01(178179 180)0042.01(200000+=整理得：1)0042.01()0042.01(0042.0200000180180-++⨯⨯=x 76.1585=x 1586≈元即每月需还款1586元。
数列综合应用（二）——分期付款中的有关计算教学目标：1. 理解分期付款中的有关规定；2．掌握分期付款中的有关计算；3．会应用分期付款的原理解决现实生活中类似于分期付款的问题。
教学过程：例1. 王老师购买一套售价为26万元的商品房，购买时，先一次性付款18万元，余下的8万元欠款按分期付款的方式在五年内付清，销售商提出如下表所示的三种付款方案，供王（注：分期付款中的规定：（1）每期所付款额相同；（2）月利率为0.3%，每月利息按复利计算；（3）每期所付款额会随着时间的推移而不断增值，商品售价在货款付清前也会随着时间的推移而不断增值；（4）各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。
）思考1：如果王老师把方案3中每月支付的数额按零存整取的方式每月到银行存款，存满一年（共存12次）后将本息全部取出，再按方案1支付房款，这样是否更省钱？（已知1年期零存整取存款的月利率是0.1%，不计复利）思考2.观察上面3个方案中的x的表达式，它们有什么共同特点和不同之处？你能发现其中的一般规律吗？思考4.购买一件售价为a元的商品，采用分期付款时要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分n（n是m的约数）次付款，那么每次付款数x的计算公式是什么？课后作业：1. 某人从1990年初向银行贷款10万元用于购房，贷款的年利率为10%，并按复利计算，若这笔贷款分20年从1991年初开始归还，求每年归还的款项。
2. 张明的父母为他将来上大学准备学费，从他出生的那年起，每年8月底到银行存入一定数额的人民币。
若张明18岁高中毕业考入大学，这年起不再存款，并且从这年起，每年9月1日取出a元支付学费。
为满足四年大学学费，问张明的父母每年至少应存入多少元？（设银行利率保持不变）。
如果张明上大学每年需要1.5万元，银行利率问10%（复利），那么张明的父母每年应为张明存入多少元，才能保证张明有足够的钱交学费？3. 随着人们日常生活水平的提高，人们对住宅的要求越来越高，朝着大面积、豪华型的标准在飞速发展，为此各种花园住宅小区在全国各处涌现，现有某市一住宅小区出售面积为150平方米，售价为每平方米4000元的住房。
数学示例1：数列在分期付款中的应用教学目的１．知识目标：巩固数列的基础知识；会用数列知识解决实际问题。
２．能力目标：培养学生搜集资料、分析资料的良好习惯；提出问题、解决问题并得出科学结论的研究能力、人际交往及协作能力，渗透研究性学习的思路。
３．情感目标：体验探索和创造的过程，获得成功的快乐；激发对数学的兴趣和树立自信心；培养科学探索的精神。
重点难点分析重点是弄清分期付款中的有关规定，特别是贷款会随着时间推移而增值；难点是建立数学模型，理解分期付款到期偿还贷款的意义。
课前准备师生搜集关于分期付款的相关材料，了解有关规定。
教学设计一引入 新闻“负翁”增多----当前年轻一代消费观念发生巨大变化，一般的“工薪阶层”正兴起买车潮、买房潮，他们敢于用明天的钱享受今天的生活，过起名副其实的“负翁”生活，各商业银行、商家的分期付款业务大副增长。
专家指出，这将有利于促进消费，拉动内需。
二例题 某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款均等额还本付息，如果贷款10000元，两年还清，月利率0.4575%，那么每月应还多少钱呢？解：（学生发表看法，教师适当点拨，共同完成）设每月应还ｘ元一方面，向银行贷的10000元，两年后相当于10000×1.00457524另一方面，第一个月还的ｘ元，两年后相当于1.00457523ｘ;第二个月还的ｘ元，两年后相当于1.00457522ｘ;第三个月还的ｘ元，两年后相当于1.00457521ｘ;………………………第十二个月即最后一个月还的ｘ元,两年后相当于ｘ所以10000×1.00457524 =1.00457523ｘ+1.00457522ｘ+…+1.004575ｘ+ｘ10000×1.00457524=ｘ(004575.11004575.1124--)解得: ｘ约等于440.9元三练习：国家鼓励职工购买住房，在一次性交付一定金额后，不足部分可向银行贷款。
数列应用题例1、甲、乙两人同一天分别携款1万元到银行储蓄。
甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%,乙存一年期定期储蓄,年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。
按规定每次计算利息时，储户须缴纳利息的20%作为利息税。
若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得的本息之和的差为多少元？（精确到分）解.甲:410(15 2.88%0.8)+⨯⨯乙:4510(1 2.25%0.8)+⨯410(15 2.88%0.8)+⨯⨯-4510(1 2.25%0.8)+⨯219.01≈答:甲与乙所得的本息之和的差约为219.01.注:存款问题,关键是搞清楚其中的单利(等差数列)、复利（等比数列）计算方法以及利息税的问题。
例2、(分期还款问题)陈先生买了一套新住宅，总价250万元。
首期付款120万元，余款130万元向银行借款。
贷款后第一个月末开始还款，每月等额还款一次，分20年还清。
假设银行贷款利率在20年中不变化，每月利率1.05%。
问陈先生每月应还银行多少元？解：设陈先生把每个月的还款x 万元按时存入一虚拟银行，存款利率即为贷款利率r ，20年后，这些存款的本利总和为：2402402392382401(1)(1)(1)(1)(1)1(1)r r r S x r x r x r x x x r r-++-=+++++++==-+ 这些存款本利总和应该等于陈先生20年欠银行贷款的本利总额240130(1)r + 240240240240(1)1130(1)130(1)14861.57(1)1r r r x r x x r r +-+∴=+⇒=⇒≈+- 答：陈先生每月因还银行14861.57元.例3、参加一次国际商贸洽谈会的国际友人，居住在某五星级宾馆的不同楼层内，该大楼共有n 层，每层均住有与会人员。
现要求每层派一人，共n 人集中到第k 层开会。
问k 如何确定，能使n 位参加会议人员的上、下楼梯所走的路程的总和最少？分析:设每两层楼梯的楼梯长度为L,住在m 层的人到k 层开会走的路程为()na k m L =- 当1m k ≤≤时,();().n m a k m L k m n a m k L =-<≤=-当时，解: 设每两层楼梯的楼梯长度为L,开会人员所走路程为S(121)0(12)[1(1)](1)[1()]()22S k L n k L k k n k n k L L =+++-⋅+++++-⋅+--+--=⋅+⋅ 22(1)2n n k n k L ⎡⎤+=-++⋅⎢⎥⎣⎦ 2211(,)24n n k L L k n N +-⎛⎫=-⋅+⋅∈ ⎪⎝⎭1S 22S 22n n k n n n k +=+=当为奇数时，时，最小；当为偶数时，k=或时，最小. 注:(1)本题属于等差数列类应用题,要用等差数列的公式来构造;(2)数列应用题中的最值方法之一转化为二次函数的最值,注意取值范围是自然数.例4、在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了它们的工资标准：A 公司许诺第一年的月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司许诺第一年月工资数2000元，以后每年月工资在上一年工资基础上递增5%。
高中数学数列与分期付款1、分期付款中的单、复利例1、某人从银行贷款a万元，分五期等额还清，期利率为r。
（1）按复利（本期的利息计入下期的本金生息）计算，每期须还多少万元？（2）按单利（本期的利息不计入下斯的本金生息）计算，每期须还多少万元？解：（1）解法1：设每期须还x万元，则第一期到期后的欠款数为：第二期到期后的欠款数为：第五期到期后的欠款数为：由于五次还清，故，即解法2：设每期须还x万元，则第一期还x万元，到结账时相当于万元；第二期还x万元，到结账时相当于万元；……第五期还x万元，到结账时仍是x万元。
因为五期总和=a万元在银行存五期的本息之和，即所以解法3：设每期还款x万元，则第一期偿还的x万元相当于贷款时的万元；第二期偿还的x万元相当于贷款时的万元；第五期偿还的x万元相当于贷款时的万元。
由已知得：（2）设每期须还x万元，则第一期还x万元，到结账时相当于万元；第二其还x万元，到结账时相当于万元；……第五期还x万元，到结账时仍为x万元。
因为五期总和=a万元在银行存五期，即由上述推算可知：若从银行贷款a元，分n期等额还清，期利率为r，每期须还x元，则（复利形式）；（单利形式）。
2、在银行中存款例2、某同学若将每月省下的零花钱5元，在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年取出本和利共多少元（保留到个位）。
分析：先分析每一年存款的本利和（单位：元）。
按月分开算第一个月：；第二个月：；……第十二个月：5。
那么，每一年的本息和为：第一年的A元，改存为年利按复利计算，两年后到期的本利和为：；第二年的A元，同理一年后到期的本利和为：；第三年的A元，由于全部取出，这一年的存款没有利息，三年后取出的本利和为：解：设每存一年的本利和为A，则设三年后取出的本利为y答：三年后取出本利共193元。
3、分期付款中的收益比较例3、某商店为了促进商品销售，特定优惠方式，即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择，家用电器价值2150元。
一.专题内容：等比数列综合，数列在分期付款中的应用。
二. 重点与难点：教材中分期付款问题的具体要求：（1）在分期付款中，每月的利息均按复利计算；（2）分期付款中规定每期所付款额相同；（3）分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随着时间推移而不断增值；（4）各期所付款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。
例题选讲：例1. 家用电器一件，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，以后每月付款一次，共付12次，即购买一年后付清，如果按月利率8‰，每月复利一次计算，那么每期应付款多少？解法一：设每期应付款x元，则：第一次付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1+0.008)11元。
第二次付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1+0.008)10元。
……第十一次付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1+0.008)元。
第十二次付款已没有利息问题，即为x元。
所以各期付款连同利息之和为又所购电器的现价及其利息之和为即每期应付款175.46元。
解法二：设每期付款x元，第k月后欠商店货款为a k元(k=1，2， (12)……即每期应付款约为175.46元。
小结：两种解法从不同角度解决了分期付款问题，相比较而言解法一（即教材所提供的解法）简便易行，通过两种方法的比较，也可进一步加深对分期付款问题的理解。
例2. 某商店为了促进商品销售，特定优惠方式，即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择，家用电器价格2150元。
第一种付款方式：购买当天先付150元，以后每月这一天都交付200元，并加付欠款利息。
每月利息按复利计算，月利率1%。
第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%。
试比较两种付款方式，计算每月所付金额及购买这件家电总共所付金额。
解：第一种付款方式：购买时付出150元，则欠款2000元，按要求知10次付清，则以后：第一次应付a1=200+2000×0.01=220（元）第二次应付a2=200+(2000-200)×0.01=200+1800×0.01=218（元）第三次应付a3=200+(2000-2×200)×0.01=200+1600×0.01=216（元）…每次所付的款额顺次构成数列{a n}，{a n}是以220为首项，-2为公差的等差数列。
生活中的的数学----数列 （二）四、a n = C ·a n-1+B ，其中B 、C 为非零常数且C ≠1例9、（企业生产规划问题）某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？（lg2=0.3）。
分析：设经过n 年后，该项目的资金为a n 万元，则容易得到前后两年a n 和a n-1之间的递推关系：a n =a n-1（1+25%）-200（n ≥2），对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”：解：由题，a n =a n-1（1+25%）-200（n ≥2），即a n =45a n-1-200，设a n +λ=45（a n-1+λ），展开得a n =45a n-1+41λ，41λ=-200，λ=-800，∴a n -800=45（a n-1-800），即{a n -800}成一个等比数列，a 1=1000(1+25%)-200=1050, a 1-800=250，∴a n -800=250（45）n-1，a n =250（45）n-1+800，令a n ≥4000，得（45）n ≥16，解得n ≥12,即至少要过12年才能达到目标。
例10（分期付款问题）某人年初向银行贷款10万元用于买房：(1)如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到一元)；(2)如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到一元)。
解：(1)设每年还款x 元，依题意得x+x(1+5%)+x(1+2×5%)+…+x(1+9×5%)=100000×(1+5%)， ∴x≈12245元(2)设每年还款x 元，依题意得x+x(1+4%)+x(1+4%)2+…+x(1+4%)9=100000(1+4%)10， ∴x≈12330元答：(1)当年利率为5%，按单利计算，每年应归还12245元；(2)当年利率为4%，按复利计算时，每年还款12330元。
课 题：分期付款中的有关计算（二）
教学目的：
通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究
教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
?? ?研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会
研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题另外以突出学生主体地位为根本去设计教学环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果 教学过程：
一、复习引入：
1．研究性课题的基本过程：
生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地
→搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩 →创建数学模型→验证并使用模型→结论分析
2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款：
1
)1(1)1()1(-+⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-++=m
n
m
m
p p p a x
二、例题讲解
将上节课采取不同方案所得结果列表比较，看其是否有共同特点?列表比
例1 一般地，购买一件售价为a 元的商品采用分期付款时要求在m 个月内将款全部付清，月利率为p ，分n(n 是m 的约数)次付款，那么每次付款数的计算公式为
1
)1(]
1)1[()1(-+-++=
m n
m m
p p p a x
推导过程：设每次付款x 则：第1期付款x 元（即购货后
n m 个月时），到付清款时还差n
m m 2-个月，因此这期所付款连同利息之和为：
n
m m p x 2)
1(-
+
……
第n 期付款（即最后一次付款）x 元时，款已付清，所付款没有利息. 各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：
n
m m n
m n m p x p x p x x -
+++++++)
1()
1()1(2Λ
货款到m 个月后已增值为m
p a )1(+
根据规定可得：m n
m m n
m n
m p a p p p x )1(])
1()
1()1(1[2+=+++++++-
Λ
即：m n
m m p a p p x )1(1
)1(1)1(+=-+-+⋅
解之得：1
)1(1
)1[()1(-+-++=
m
n
m m
p p p a x 例2 某人，公元2000年参加工作，考虑买房数额较大需做好长远的储蓄买房计划，打算在2010年的年底花50万元购一套商品房，从2001年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题：
方案1：从2001年开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在2010年年底，可以从银行里取到多少钱？若想在2010年年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢？
方案2：若在2001年初向建行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢？
方案3：若在2001年初贷款50万元先购房，要求从贷款开始到2010年要分5期还清，头两年第1期付款，再过两年付第二期…，到2010年年底能够还清，这一方案比方案2好吗？
启迪思维，留有余地：
问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？
每次付款额是50万元的平均数吗？（显然不是，而会偏高） 那么分期付款总额就高于买房价，什么引起的呢？（利息）
问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）
于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？ ——设为x 搜集、整理信息：
(1)分期付款中规定每期所付款额相同;
(2)每年利息按复利计算,即上年利息要计入下年本金.
例如,由于年利率为1.98%，,款额a 元过一个年就增值为
a(1+1.98%)=1.0198a(元);
再过一个月又增值为1.0198a(1+1.98%)=1.01982a(元) 独立探究方案1
可将问题进一步分解为： 1. 商品售价增值到多少？
2. 各期所付款额的增值状况如何？
3．当贷款全部付清时，房屋售价与各期付款额有什么关系？ 提出解答,并给答辩：
按复利计算存10年本息和（即从银行里取到钱）为： 3×10
%)98.11(++3×9
%)98.11(++…+3×1
%)98.11(+
=%)
98.11(1]%)98.11(1%)[98.11(310+-+-+⨯≈33.51（万元）
设每年存入x 万元，在2010年年底能够存足50万则：
50%)
98.11(1]
%)98.11(1[%)98.11(10=+-+-+••x
解得x=4.48（万元）
通过方案1让学生了解了银行储蓄的计算，也初步掌握了等比数列在银行储蓄中的应用，储蓄买房时间长久，显然不切合我的实际，于是引出分期付款问题；
独立探究方案2：
分析方法1：设每年还x ，第n 年年底欠款为n a ，则 2001年底：1a =50（1+4.425%）–x 2002年底：2a =1a （1+4.425%）–x
=502
%)425.41(+–（1+4.425%）·x –x … 2010年底：10a =9a （1+4.425%）–x
=50×10
%)425.41(+–9
%)425.41(+ ·x –…–（1+4.425%）·x –x
=50×10
%)425.41(+–0%)
425.41(1%)425.41(110
=•+-+-x
解得：10
10%)
425.41(1%)]
425.41(1[%)425.41(50+-+-+⨯=x ≈6.29（万元） 分析方法2：50万元10年产生本息和与每年存入x 的本息和相等，故有 购房款50万元十年的本息和：5010
%)425.41(+
每年存入x 万元的本息和：x ·9
%)425.41(++x ·8
%)425.41(++…+x
=%)
425.41(1%)425.41(110+-+-·x 从而有 5010
%)425.41(+＝%)
425.41(1%)425.41(110
+-+-·x
解得：x=6.29（万元） ， 10年共付：62.9万元
独立探究方案3：
分析：设每期存入x 万元，每一期的本息和分别为：第5期为x ，第4期
2%)425.41(+x ， 第3期 4%)425.41(+x ，第二期：6%)425.41(+x ，第1
期8
%)425.41(+x ，则有
[1+2
%)425.41(++4
%)425.41(++6
%)425.41(++8
%)425.41(+·x =50·10%)425.41(+
解得：10
210%)
425.41(1]
%)425.41(1[%)425.41(¨50+-+-+=•x ≈12.85（万元） 此时，10年共付：12.85×5=64.25（万元） 创建数学模型：
比较方案1、2、3结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过
m 个年还清贷款,每年还款x,年利率为p,则1
)1(1)1()1(-+⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-++=m
n
m
m
p p p a x 验证并使用模型：（略）
结论分析：
方案3比方案2多付了：64.25-62.9=1.35(万元)所以方案2更好
方案1每年虽存款少，但需等10年后才能买房由于6.29－4.48＝1.81(万
元)，如若本地的年房租低于1.81(万元)就可以考虑先租10年房后再买房的方案，当然还要考虑10年后的房价是升还降的问题
四、小结 ： 解决实际应用问题时，应先根据题意将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识求得数学模型的解，最后根据实际情况求得实际问题的解.
五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决 六、板书设计（略） 七、课后记。
