数列应用题专题训练
高三数学备课组
以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上,正确处理数列中的递推关系。
一、储蓄问题
对于这类问题的求解,关键是要搞清:(1)是单利还是复利;（2)存几年。
单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为ｒ，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1＋ｎｒ)。
复利是一种计算利率的方法,即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为ｒ，设本利和为y,存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。
例１、(储蓄问题)某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月３0日在银行中存入2000元，连续５年，有以下两种存款的方式：
(1)如果按五年期零存整取计,即每存入a元按ａ(１+n·6.5%)计本利(n为年数);
(2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(１＋5.7%)ｎ·ａ计算本利(n为年数)。
问用哪种存款的方式在第六年的7月１日到期的全部本利较高？
分析:这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同,因此最后的本利也不同。
解：若不计复利，5年的零存整取本利是ﻫ20０0(1+5×０.065）+2００0（1+４×0.065)＋…+２000(1＋0．０65）＝１１950;
若计复利，则
2000（1+5%)5+2０00(１+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。ﻫ所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。
二、等差、等比数列问题
等差、等比数列是数列中的基础,若能转化成一个等差、等比数列问题,则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。
例２、(分期付款问题)用分期付款的方式购买家用电器一件,价格为1１50元。购买当天先付１５0元,以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息,月利率为1%。若交付15０元以后的第一
个月开始算分期付款的第一日,问分期付款的第10个月该交付多少钱?全部货款付清后,买这件家电实际花了多少钱?ﻫ 解:购买时付出１50元,余欠款1０00元，按题意应分２0次付清。ﻫ 设每次所付欠款顺次构成数列{a n }，则
ａ1=5０＋10００×０.０1＝60元,
a 2＝50+（10０0-50）×0.01=5９.5元,ﻫ a 3＝５０+(10０0-5０×2)×0．01=59，ﻫ ……ﻫ ａn =60-（n-1）·０.5ﻫ 所以{a n }是以60为首项，-0.５为公差的等差数列，ﻫ 故ａ10=６0-９×0.5=55.5元
20次分期付款总和ﻫ S ２0=2
5.5060+×20=1105元,ﻫ 实际付款１１05+15０=1２５５（元)ﻫ 答:第10个月该付55.5元，全部付清后实际共付额１2５5元。
例3、(疾病控制问题)流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感,据资料记载,１1月1日，该市新的流感病毒感染者有２0人,以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加５０人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少3０人,到１１月30日止,该市在这30天内感染该病毒的患者共有867０人,问1１月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。
分析:设１1月n 日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n 日,每天新感染者人数构成一等差数列;从ｎ＋1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。
略解:由题意,1１月1日到n 日,每天新感染者人数构成一等差数列a ｎ,a １＝20，d １＝5０,1１月n 日新感染者人数ａｎ=５0n —30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n ,ｂ1=５０n-６0,d ２=—３０,b n =（50n-６０)+(n-1)（-3０)=２0n-３0,11月30日新感染者人数为ｂ30-n =20(３０-ｎ）－30=－20n+57０. 故共感染者人数为：2
)30)](57020(6050[2)305020(n n n n n -+-+-+-+=８6７０,化简得:n 2-61n+５8８=０,解得n ＝12或n ＝49(舍)，即11月１2日这一天感染者人数最多，为57０人。 例４（住房问题)某城市199１年底人口为５00万,人均住房面积为6 m 2,如果该城市每年人口平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为３０万ｍ2,求2０0０年底该城市人均住房面积为多少m 2？(精确到0．01)
解：199１年、199２年、……2000年住房面积总数成AP
ａ１ = ６×5０0 = 30０0万ｍ2，d = 30万m 2，
a 10 = 3０0０ + 9×3０ = 3２70
199０年、1９91年、……２00０年人口数成GP
b 1 = 500 ， q = 1% , 8.5460937.150001.1500910≈⨯≈⨯=b
∴2０00年底该城市人均住房面积为:298.58
.5463270m ≈ 点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。
例5 （浓度问题) 从盛有盐的质量分数为20%的盐水２ ｋg 的容器中倒出1 kg 盐水，然后加入１ ｋｇ水，以后每次都倒出1 ｋｇ盐水，然后再加入１ kg 水,
问:1.第５次倒出的的1 kg 盐水中含盐多少ｇ?
2.经6次倒出后，一共倒出多少k ｇ盐?此时加1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
解:1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{ａｎ}，则:
a 1= 0.２ kg , a 2=
21×０．2 kg ， ａ3＝ (2
1)2×0.2 ｋg 由此可见：ａn ＝ （21）n -1×０.2 k ｇ , ａ5= (21）５-1×０．2＝ （21)4×０.2=0.0125 ｋg
2.由1．得{a ｎ｝是等比数列 a １=0．2 , q =2
1 kg q q a S 39375.02
11)211(2.01)1(6616=--
=--=∴ 00625.039375.04.0=- 003125.0200625.0=÷ 点评：掌握浓度问题中的数列知识。
例6.(减员增效问题）某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的１00％,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的23
领取工资,该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%,如果某人分流前工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元，
（１)求{}n a 的通项公式;
(2）当827
a b =
时,这个人哪一年的收入最少?最少为多少? (３)当38
a b ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入? 解：（1)由题意得,当1n =时,1a a =，当2n ≥时,1223()()32n n n a a b --=+，
