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第11讲 函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.考试要求理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.01聚焦必备知识1.指数、对数、幂函数模型性质比较知识梳理 函数 性质 y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调______单调______单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与______平行随x的增大逐渐表现为与______平行随n值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)型与对数函数相关的模f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)型与幂函数相关的模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0)提醒实际问题中函数要有意义，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，增长速度缓慢.常用结论1.回源教材(1)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示，假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A.40万元B.60万元C.80万元D.120万元夯基诊断D D 当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元).故该商人共获利40＋80＝120(万元).(2)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝a e－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝( )C 2.易错自纠(1)已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A.f (x )>g (x )>h (x )B.g (x )>f (x )>h (x )C.g (x )>h (x )>f (x )D.f (x )>h (x )>g (x )B B 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g (x )>f (x )>h (x ).(2)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少C是( )A.8B.9C.10D.1102突破核心命题1.某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间 t (年)的函数图象正确的是( )考 点 一利用函数图象刻画实际问题的变化过程A A 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，A中总产量增长，C中总产量不变，因此A正确.2.如图所示，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y(见图中阴影部分)，则函数y＝f(t)的大致图象为( )D判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案.考 点 二已知函数模型解决实际问题ABC已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.反思感悟C 例2 某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元考 点 三构造函数模型解决实际问题考向 1构建二次函数模型C C 设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.2构建分段函数模型例3 某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼技术.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的连续函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.例4 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________.3构建对勾函数模型答案：5在应用函数解决实际问题时需注意以下4个步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.(3)解模：求解函数模型，得出数学结论.(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题.反思感悟训练2 (2024·临沂测试)已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x千件(0<x≤25)并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)(单位：万元)，且(1)写出年利润f(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)03限时规范训练(十六)A级 基础落实练1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的B 一个是( )x 1.99234 5.15 6.126y 1.517 4.04187.51218.01B 由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2.据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝k log3(x ＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)( )B A.1530只B.1636只C.1830只D.1930只3.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为D 获得最大利润，销售价应定为( )A.3.75元/瓶B.7.5元/瓶C.12元/瓶D.6元/瓶4.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到BD 乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( ) ArrayA.甲同学从家出发到乙同学家走了60 minB.甲从家到公园的时间是30 minC.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快B 由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整数，故为6个小时.故选B.6.(2024·连云港质检)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为B 使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A.8B.10C.12D.13。
