高考数学文科二轮专题突破素材：专题七 数学思想方法 第2讲主干知识梳理+热点分类突破+押题精练

数学思想方法【考纲解读】1.熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.2.能够对所学知识进行分类或归纳,能应用数学思想方法分析和解决问题,系统地把握知识间的内在联系.【考点预测】1.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点，也是高考的一个热点。

对函数试题的设计仍然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图象、应用考查函数知识；与方程、不等式、解析几何等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查。

2.预测在今年的高考中,数形结合与分类讨论思想仍是考查的一个热点，数形结合的考查方式常以数学式、数学概念的几何意义、函数图象、解析几何等为载体综合考查,分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n 项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等。

3.预测在今年的高考中,运用化归与转化思想解题的途径主要有：借助函数、方程（组）、辅助命题、等价变换、特殊的式与数的结构、几何特征进行转化,其方法有:正反转化、数形转化、语义转化、等与不等、抽象问题与具体问题化归，一般问题与特殊问题化归，正向思维与逆向思维化归。

【要点梳理】1.函数与方程思想：我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n 项和的公式，都可以看成n 的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

2.数形结合的思想:是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择与填空题时发挥着奇特功效.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画图,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程的解的个数.3．与分类讨论有关的知识点有：直线的斜率分为存在和不存在两种情形、等比数列中的公比1q =和1q ≠、由参数的变化引起的分类讨论、由图形的不确定性引起的分类讨论、指对函数的底数a 分为1a >和01a <<两种情形等。

第4讲转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1．转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．2．常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定． (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则． 3． 转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法．化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.类型一 特殊与一般的转化例1 (1)过抛物线y ＝ax 2 (a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB.12aC ．4aD.4a(2)已知函数f (x )＝a x a x ＋a (a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100的值为________． 答案 (1)C (2)992解析 (1)由x 2＝1a y (a >0)知抛物线开口向上，故过焦点F 作一在特殊位置的直线即平行于x 轴的直线交抛物线于P 、Q ，则|PF |＝|FQ |＝12a ，即1p ＋1q＝4a . (2)由于直接求解较困难，可探求一般规律， ∵f (x )＋f (1－x )＝a xa x ＋a ＋a 1－xa 1－x ＋a ＝a xa x ＋a ＋aa ＋a x a ＝a xa x ＋a ＋aa ＋a x＝a ＋a xa x ＋a＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫99100＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫2100＋f ⎝⎛⎭⎫98100＋…＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫49100＋f ⎝⎛⎭⎫51100＋f ⎝⎛⎭⎫50100＝1×49＋12＝992. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果．(1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________.(2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 (1)45(2)0解析 (1)根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算． 令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形， 且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45＋01＋45×0＝45.(2)因为xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )， 所以f (x ＋1)f (x )＝1＋x x ，使f (x )特殊化，可设f (x )＝xg (x )，其中g (x )是周期为1的奇函数，再将g (x )特殊化， 可设g (x )＝sin 2πx ，则f (x )＝x sin 2πx ， 经验证f (x )＝x sin 2πx 满足题意，则f ⎝⎛⎭⎫52＝0. 类型二 相等与不等的转化例2 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．可采用换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决．答案 (－∞，－8]解析 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得 a ＋4＝－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ， ∵t >0，∴－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组)来求解，则显得非常简捷有效．定义运算：(ab )x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(a b )x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b a )x <0的解集为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－23，1D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞) 答案 D解析 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，∴(－31)x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0，解得x <－23或x >1.类型三 常量与变量的转化例3 对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是______________．本题若按常规法视x 为主元来解，需要分类讨论，这样会很繁琐，若以p 为主元，即可将原问题化归为在区间[0,4]上，一次函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0成立的x 的取值范围．这样，借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析 设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，求x 的取值范围． 解 ∵f (x )在R 上是增函数， ∴由f (1－ax －x 2)≤f (2－a )可得1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]． ∴a (x －1)＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则当且仅当g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0， 解之，得x ≥0或x ≤－1.故实数x 的取值范围为x ≤－1或x ≥0. 类型四 正与反的相互转化例4 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 －373<m <－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c 使得f (c )>0，求实数p 的取值范围． 解 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．在将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则 (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题． (2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)．(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.1． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝29，则a 10等于( )A.49B.47C.463 D.563答案 C解析 由a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，得1S n －1S n －1＝－1，∴1S n ＝92＋(n －1)×(－1)， ∴S n ＝211－2n ，∴a 10＝S 10－S 9＝463.2． 方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 取得最大值( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2答案 A解析 由原式得m ＝x －1－x ，设1－x ＝t (t ≥0)，则m ＝1－t 2－t ＝54－⎝⎛⎭⎫t ＋122， ∴m ＝54－⎝⎛⎭⎫t ＋122在[0，＋∞)上是减函数， ∴t ＝0时，m 的最大值为1.3． 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则PR →·PQ→的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2答案 A解析 当直线RQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a ，故选A.4． 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．答案1316解析 由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.5． 已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是______________________________________________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－43，7 解析 g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1，1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是⎣⎡⎭⎫－43，7. 故所求的a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－43，7. 6． 已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m ，使f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由．解 因为f (x )在R 上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，故f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0.由题设条件可得，f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0. 又由f (x )为奇函数，可得 f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )． ∵f (x )在R 上为增函数， ∴cos 2θ－3>2m cos θ－4m ， 即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0. 令cos θ＝t ，∵0≤θ≤π2，∴0≤t ≤1.于是问题转化为对一切0≤t ≤1， 不等式t 2－mt ＋2m －2>0恒成立．∴t 2－2>m (t －2)，即m >t 2－2t －2恒成立．又∵t 2－2t －2＝(t －2)＋2t －2＋4≤4－22，∴m >4－22，∴存在实数m 满足题设的条件，且m >4－2 2.。

高三二轮复习之数学思想方法高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．第1讲 函数与方程思想[思想方法概述]函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．[方法探究]方法一 运用函数相关概念的本质解题在理解函数，函数的定义域、值域、性质等的本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题，常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值问题，研究函数的性质．[例1] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ＜0，a x ，x ≥0，(a ＞0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫13，1D.⎝⎛⎭⎫0，13 思路分析 先求出a x 是减函数时a 的范围→满足－0＋3a ≥a 0时a 的范围→取交集解析 ∵函数f (x )是R 上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，3a ≥a 0，解得13≤a ＜1. ∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，1，故选B.答案 B规律方法 解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视．方法二 用函数的性质解决问题能意识到题目考查函数的什么性质或相关问题应该用函数的什么性质来解答，考查热点有函数的单调性、奇偶性及函数图象的对称性等，常见问题是函数性质的应用．[例2] (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤01，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)思路分析 首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现若有f (x ＋1)＜f (2x )成立，一定会有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜02x ＜x ＋1，从而求得结果．解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知会有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜02x ＜x ＋1，解得x ＜0，所以满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)，故选D. 答案 D规律方法 该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果．方法三 用函数的图象解决问题当一个函数比较复杂或比较抽象，而其中函数的图象又比较容易作出时，可作出函数的图象，直观解答问题，常见问题有：抽象函数问题、含参数函数问题．[例3] (2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)思路分析 函数零点个数→图象交点个数→做出函数图象→求出a 的范围 解析 画出函数f (x )的图像，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动， 可以发现当直线过点(0,1)时，直线与函数f (x )图象有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点， 即方程f (x )＝－x －a 有两个解， 也就是函数g (x )有两个零点， 此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.答案 C规律方法 该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果．方法四 构造函数解题根据题设条件，构造相关函数，运用这个函数的性质解答问题，常见问题有：比较大小、解不等式等．[例4] (2018·合肥调研)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.思路分析 构造函数g (x )＝23x 3－12x 2－ln x →求函数的最小值→问题得证解 (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x ，故f ′(x )＞0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x ＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )＞g (1)＝16＞0，∴当x >1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.[例5] (2018·济南模拟)定义在R 上的函数f (x )，f ′(x )是其导函数，且满足f (x )＋f ′(x )＞2，f (1)＝2＋4e，则不等式e x f (x )＞4＋2e x 的解集为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)思路分析 构造函数令g (x )＝e x f (x )－2e x －4→利用导数判断单调性→与g (1)进行比较→解不等式 解析 令g (x )＝e x f (x )－2e x －4，g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－2e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－2]， ∵f (x )＋ f ′(x )＞2 ∴g ′(x )＞0；∴g (x )在R 上单调递增． 又f (1)＝2＋4e，∴g (1)＝e ⎝⎛⎫2＋4e －2e －4＝0 ∴x ＞1时，g (x )＞0；∴原不等式的解集为(1，＋∞)．故选B. 答案 B规律方法 解答本类问题时，关键是构造函数，有时通过条件构造，有时通过选项构造，然后运用函数的性质解题。

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专题七数学思想方法第2讲分类讨论思想、转化与化归思想练习文一、填空题1.等比数列{a n｝中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是________.解析当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求.当q≠1时，a1q2＝7，错误!＝21，解之得，q＝－错误!或q＝1(舍去).综上可知，q＝1或－错误!.答案1或－错误!2.过双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则错误!·错误!的值为________。

解析当直线PQ与x轴重合时，|错误!|＝｜错误!｜＝a.答案a23.方程sin2x＋cos x＋k＝0有解，则k的取值范围是________.解析求k＝－sin2x－cos x的值域.k＝cos2x－cos x－1＝错误!错误!－错误!。

当cos x＝错误!时，k min＝－错误!，当cos x＝－1时，k max＝1，∴－错误!≤k≤1.答案错误!4.若数列{a n}的前n项和S n＝3n－1，则它的通项公式a n＝________。

第3讲分类讨论思想1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．4．解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.类型一由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论例1 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．答案 (1)14 (2)－34解析 (1)讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值．若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．(2)当a >0时，1－a <1,1＋a >1. 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.应用指数、对数函数时往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( )A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对答案 D解析 ∵S n ＝p n －1，∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1(n ≥2)， 当p ≠1，且p ≠0时，{a n }是等比数列； 当p ＝1时，{a n }是等差数列． 当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)， 此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．类型二 由元素的位置、图形的形状变化引起的分类讨论例2 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．解 ①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数y ＝－2x ＋43，它在[0,1]上是减函数，所以y max ＝f (0)＝43.②当4－3m ≠0，即m ≠43时，y 是二次函数．当4－3m >0，即m <43时，二次函数y 的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m >0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，当m ≥2－2m ，又m <43，即23≤m <43时，y max ＝m .当m <2－2m ，又m <43，即m <23时，y max ＝2(1－m )．当4－3m <0，即m >43时，二次函数y 的图象开口向下，又它的对称轴方程x ＝14－3m <0，所以函数y 在[0,1]上是减函数，于是y max ＝f (0)＝m . 由①、②可知，这个函数的最大值为y max＝⎩⎨⎧2－2m ，m <23，m ，m ≥23.求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1>PF 2，则PF 1PF 2的值为________．答案 2或72解析 若∠PF 2F 1＝90°， 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， ∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143， |PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 2PF 1＝90°，则|F 1F 22|＝|PF 21|＋|PF 22| ＝|PF 21|＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， ∴|PF 1||PF 2|＝2.综上所述，|PF 1||PF 2|＝2或72. 类型三 由参数变化引起的分类讨论例3 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x(0<a <1)，讨论函数f (x )的单调性．解 f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0， 解得x 1＝1，x 2＝1a －1.(1)若0<a <12，则x 2>x 1.当0<x <1或者x >1a －1时，f ′(x )<0；当1<x <1a－1时，f ′(x )>0.故此时函数f (x )的单调递减区间是(0,1)，⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1，1a －1. (2)若a ＝12，则x 1＝x 2，此时f ′(x )≤0恒成立，且仅在x ＝12处等于零，故此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； (3)若12<a <1，则0<x 2<x 1，当0<x <1a －1或者x >1时，f ′(x )<0；当1a－1<x <1时，f ′(x )>0. 故此时函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，1.含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要符合最简原则．设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 (1)由已知x >0，f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax ，因为曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1， 所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a2＝1，所以a ＝0，此时f (2)＝2－2＝0，故曲线f (x )在(2，f (2))处的切线方程为x －y －2＝0. (2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x.①当0<a <1时，若x ∈(0，a )，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若x ∈(a,1)，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ，极小值是f (1)＝－12；②当a ＝1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0，若x ＝1，f ′(x )＝0，若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，所以函数f (x )在定义域内单调递增，此时f (x )没有极值点，也无极值． ③当a >1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(1，a )，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；若x ∈(a ，＋∞)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ；综上，当0<a <1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12；当a ＝1时，f (x )无极值；当a >1时，f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a .分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论． 常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集∅的讨论．(2)函数：对数或指数函数中的底数a ，一般应分a >1和0<a <1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论．(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n >1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论． (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论．(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论．(7)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.1． 等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案 C解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求．当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1(1－q 3)1－q＝21，解之得，q ＝－12.2． 若x >0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为( )A ．RB ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案 D解析 当x >1时，y ＝lg x ＋log x 10 ＝lg x ＋1lg x≥2lg x ·1lg x＝2；当0<x <1时，y ＝lg x ＋log x 10＝－⎣⎡⎦⎤(－lg x )＋⎝⎛⎭⎫－1lg x ≤－2(－lg x )⎝⎛⎭⎫－1lg x ＝－2. 所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．3． 过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线有________条． 答案 3解析 由2x 2－y 2＝2，得x 2－y 22＝1.当l 无斜率时，|AB |＝2b 2a＝4，符合要求．当l 有斜率时，若A 、B 两点都在右支上，则|AB |>4不符合要求． A 、B 在左、右两支上，有两条．所以共3条．4． 函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,4]解析 因为函数f (x )的定义域为一切实数， 所以mx 2＋mx ＋1≥0对一切实数恒成立，当m ＝0时，原不等式即1≥0对一切实数恒成立，当m ≠0时，则需⎩⎨⎧m >0Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上，实数m 的取值范围是[0,4]．5． 已知线段AB 和平面α，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为________． 答案 1或2解析 此题分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况，答案为1或2. 6． 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)可得b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘q ，得 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减，得(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2. 若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.综上，S n＝⎩⎨⎧n (n ＋1)2 (q ＝1)，nqn ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2(q ≠1).。

第2讲数学思想方法(限时:45分钟)一、选择题1.已知数列{a n},{b n}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1,b1,且a 1+b1=5,a1,b1∈N*,设c n=(n∈N*),则数列{c n}的前10项和等于( C )(A)55 (B)70 (C)85 (D)100解析:设b 1=1,则a1==4.从而b n=n,于是有c n==+(b n-1)·1=4+n-1=n+3.c1+c2+…+c10=(1+2+…+10)+30=85.2.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,则( C )(A)f(0)>f(log32)>f(-log23)(B)f(log32)>f(0)>f(-log23)(C)f(-log23)>f(log32)>f(0)(D)f(-log23)>f(0)>f(log32)解析:因为log23>log22=1=log33>log32>0,且函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(log23)>f(log32)>f(0),又函数f(x)为偶函数,所以f(log23)=f(-log23),所以f(-log23)>f(log32)>f(0).故选C.3.(2019·安徽省示范高中上学期考试)函数f(x)=(其中e为自然对数的底数)的图象大致为( D )解析:法一由题意得函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).因为f(-x)==-==f(x),所以函数f(x)为偶函数,可排除选项A,C.又f(x)===+,所以f′(x)=--,所以x>0时,f′(x)<0,f(x)单调递减,可排除选项B,故选D.法二由题意得函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(x)=·,易知y=和y=均为奇函数,所以函数f(x)是偶函数,可排除选项A,C.当x→+∞时,→0,→1,所以→0,则可排除B,故选D.4.(2019·洛阳市第二次统考)已知实数x,y满足则z=的最大值为( C )(A)(B)(C)(D)解析:由题意,画出可行域,如图中阴影部分所示,目标函数z=的几何意义是可行域内的点(x,y)与P(-1,0)连线的斜率,由解得即A(,),所以z的最大值为=,故选C.5.已知函数f(x)=若f(a)=3,则f(a-2)等于( A )(A)-(B)3(C)-或3 (D)-或3解析:当a>0时,若f(a)=3,则log2a+a=3,解得a=2(满足a>0);当a≤0时,若f(a)=3,则4a-2-1=3,解得a=3,不满足a≤0,所以舍去.于是,可得a=2.故f(a-2)=f(0)=4-2-1=-.故选A.6.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则等于( A )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3解析:由正弦定理:asin A-bsin B=4csin C⇒a2-b2=4c2⇒a2=b2+4c2.①由余弦定理cos A==-. ②将①代入②,消去a2得=-⇒=6.7.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是( B )(A)(B)(C)(D)解析:如图,作PH⊥l于H,由抛物线的定义可知,|PH|=|PF|,从而的最小值等价于的最小值,等价于∠PAH最小,等价于∠PAF最大,即直线PA的斜率最大.此时直线PA与抛物线y2=4x 相切,由直线与抛物线的关系可知∠PAF=45°,所以==sin 45°= .故选B.8.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f(x)>f′(x),且f(0)=1,则不等式<1的解集为( B )(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)(C)(-∞,2) (D)(2,+∞)解析:构造函数g(x)=,则g′(x)==.由题意得g′(x)<0恒成立,所以函数g(x)=在R上单调递减.又g(0)==1,所以<1,即g(x)<1,解得x>0,所以不等式的解集为(0,+∞).故选B.9.(2019·武昌区调研)已知函数f(x)=则y=f(x)(x∈R)的图象上关于坐标原点O对称的点共有( C ) (A)0对(B)1对(C)2对(D)3对解析:由题意知,函数y=f(x)(x∈R)的图象上关于原点对称的点即函数y=e x的图象关于原点的对称图象(函数y=-e-x的图象)与y=2x2-4x+ 1(x>0)的图象的交点,如图,作出函数y=-e-x和y=2x2-4x+1的图象,由图知函数y=-e-x的图象与y=2x2-4x+1(x>0) 的图象有两个交点,所以满足条件的对称点有2对.故选C.10.(2019·浙江卷)设a,b∈R,函数f(x)=若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则( C )(A)a<-1,b<0 (B)a<-1,b>0(C)a>-1,b<0 (D)a>-1,b>0解析:由题意,b=f(x)-ax=设y=b,g(x)=即以上两个函数的图象恰有3个交点,根据选项进行讨论.①当a<-1时,1-a>0,可知g(x)在(-∞,0)上递增;由g′(x)=x2-(a+1)x=x[x-(a+1)](x≥0),a+1<0,可知g(x)在(0,+∞)上递增.此时直线y=b与g(x)的图象只有1个交点,不符合题意,故A,B排除.②当a>-1,即a+1>0时,因为g′(x)=x[x-(a+1)](x≥0),所以当x≥0时,由g′(x)<0可得0<x<a+1,所以当x≥0时,g(x)在(0,a+1)上递减,g(x)在(a+1,+∞)上递增.如图,y=b与y=g(x)(x≥0)的图象至多有2个交点.当1-a>0时,即-1<a<1时,由图象可得,若要y=g(x)与y=b的图象有3个交点,必有b<0;当1-a=0时,y=g(x)与y=b的图象可以有1个、2个或无数个交点,但不存在有3个交点的情况,不合题意,舍去;当1-a<0,即a>1时,y=g(x)与y=b的图象可以有1个或2个交点,但不存在有3个交点的情况,不合题意,舍去.综上,-1<a<1,b<0.故选C.11.(2019·湖北省宜昌市高三调研)已知f′(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数,若对任意实数x都有f′(x)>f(x)+1,且有f(1)=1,则不等式f(x)+1<2e x-1的解集为( A )(A)(-∞,1) (B)(1,+∞)(C)(1,e) (D)(,1)解析:不等式f(x)+1<2e x-1可化为-<0,令g(x)=-,所以g′(x)==,又f′(x)>f(x)+1,所以g′(x)>0恒成立,故g(x)=-在R上单调递增.又g(1)=-=0,所以-<0等价于g(x)<g(1),由g(x)=-在R上单调递增可得x<1,所以不等式f(x)+1<2e x-1的解集为(-∞,1),故选A.二、填空题12.(2019·福建龙岩高三第一学期期末)已知P为函数y=ln x图象上任意一点,点Q为圆x2+(y-e2-1)2=1上任意一点,则线段PQ长度的最小值为.解析:由圆的对称性可知,只需满足圆心(0,e2+1)到y=ln x图象上一点的距离最小值.设y=ln x图象上的一点为(m,ln m)(m>0),则y′=,即有切线斜率为k=,可得=-m,所以m2+ln m-e2-1=0,设g(m)=m2+ln m-e2-1,g′(m)=2m+>0,g(m)递增,又g(e)=0,可得m=e处点(e,1)到Q的距离最小,为-1=e-1, 即线段PQ长度的最小值为e-1.答案:e-113.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.解析:以AB为直径的圆的方程为x2+(y-a)2=a,由得y2+(1-2a)y+a2-a=0,即(y-a)[y-(a-1)]=0,由题意得解得a≥1.答案:[1,+∞)14.设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是.解析:①当x≤0时,f(x)+f(x-)=x+1+x-+1>1,即x>-,所以-<x≤0.②当0<x≤时,f(x)+f(x-)=2x+x-+1>1,即2x+x>,显然成立,所以0<x≤.③当x>时,f(x)+f(x-)=2x+>1,也成立,所以x>.由①②③可得x>-.答案:(-,+∞)15.(2019·太原模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点Q在棱AA1上,且AQ=3A1Q,EFGC1是侧面BCC1B1内的正方形,且C1E=1,P是侧面BCC1B1内的动点,且P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长,则线段PQ长度的最小值为.解析:在平面BCC1B1内建立如图所示的平面直角坐标系,其中O为FG 的中点,过P作PN⊥CC1于点N,由题意知|PN|=|PF|,所以点P的轨迹是抛物线的一部分,F为焦点,CC1所在的直线为准线,因为|C1E|=1,所以准线方程为x=,抛物线方程为y2=-2x(-≤x≤0),设x轴与BB1的交点为M,则M(-,0),设P(x 0,±),连接PM,则|PM|===,当x 0=-时,|PM|min=,在正方体中,M在BB1上,且BM=3B1M,连接QM, 则PQ=,所以PQ min==.答案:。