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第八章 空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算一、向量的相关概念1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2. 向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为 AB 或a .3. 向量的模：称向量的大小为向量的模，记为||a .4. 自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5. 单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作e .6. 零向量：称模为0的向量为零向量，记作0.7. 两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作=.(即两个向量平移后重合.)8. 两向量的夹角：],0[),(πϕ∈=∧b a ，≠,.9. 两向量平行：若非零向量a 与b 所成的角•b a 0),(=∧或π，则称的a 与b 平行，记作b //a . 规定: 零向量与任何向量平行.10. 两向量垂直：若非零向量a 与b 所成的角•2/),(π=∧，则称的a 与b 垂直，记作⊥.注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直.11. 向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线.12. 向量共面：将)3(≥k k 个向量的起点放到同一点时，若k 个终点与公共起点在一个平面上，则称这k 个向量共面. 二、向量的线性运算 1．向量的加减法 (1). 向量的加法①．运算法则：设有向量a 与b ，求a 与b 的和.I. 三角形法则：c AC BC AB b a ==+=+.II. 平行四边形法则：==+=+=+.②.运算规律：1°. 交换律：a b b a +=+.2°. 结合律：)()(c b a c b a ++=++.注:)3(≥n 个向量相加的法则：用前一个向量的终点作为后一个向量的起点，依次作向量n a a a ,,,21 ，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即n a a a s +++= 21. (2). 向量的减法①．负向量：称与向量a 同模反向的向量为它的负向量，记作a -.②. 两向量的差：称向量b 与向量a 的负向量a -的和为b 与a 的差向量，记作)(-+=-. 注：特别地，当a b =时，0)(=-+=-a a a a . ③．运算法则：设有向量a 与b ，求a 与b 的差.I.平行四边形法则：AB OC OA OB a b ==-=-. II.三角形法则：AB OA OB a b =-=-. (3). 运算定理：||||||+≤±. 2．向量与数的乘法(1). 定义：称向量与实数λ的乘积λ为向量的数乘. 注：1°. 规定a λ是一个向量.2°. ||||||a a ⋅=λλ3°. 若0>λ，则a λ与a 同向；若0<λ，则a λ与a 反向；若0=λ，则0=a λ. (2). 运算规律：①． 结合律：a a a )()()(λμλμμλ==. ②． 分配律：b a b a λλλ+=+)(. (3). 性质①．向量a 的同向单位向量：||a ae a =，a e a a ⋅=||. ②．向量平行的充要条件(定理)：若向量0≠a ，则向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使a b λ=.③．数轴上的点P 的坐标为x 的充要条件为：i x OP =，其中向量i 为数轴的单位向量，实数x称为有向线段OP 的值.例1. 如图，用a 、b 表示MA 、MB 、MC 以及MD .解：由于MC AC b a 2==+，故()b a MC +=21，进而()b a MA +-=21. 又MD BD a b 2==-，故()-=21，进而()()-=--=2121.三、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系：oxyz 坐标系或],,;[O 坐标系.2. 坐标面：xoy 面；yoz 面；zox 面.3. 卦限：),,(+++→z y x I ；),,(++-→z y x II ；),,(+--→z y x III ；),,(+-+→z y x IV ； ),,(-++→z y x V ；),,(-+-→z y x VI ； ),,(---→z y x VII ；),,(--+→z y x VIII .4. 空间点的坐标：),,(z y x M .OM r =(向径)OR OQ OP ++=k z j y i x ++=. (1). 向量r 的坐标分解式：k z j y i x r ++=. (2). 向量的分向量：z y x ,,. (3). 向量的坐标：),,(z y x =. (4). 点M 的坐标：),,(z y x M .注：1°. xoy 面上点M 的坐标：)0,,(y x M ； 2°. x 轴上点M 的坐标：)0,0,(x M ；yoz 面上点M 的坐标：),,0(z y M ； y 轴上点M 的坐标：)0,,0(y M ；zox 面上点M 的坐标：),0,(z x M . z 轴上点M 的坐标：),0,0(z M .四、利用坐标作向量的线性运算：设),,(z y x a a a =，),,(z y x b b b =. 1. 向量线性运算的坐标表示：(1). 加减法：),,(z z y y x x b a b a b a ±±±=±. (2). 数乘：),,(z y x a a a λλλλ=.(3). 两向量平行：)0,,(,),,(),,(≠==⇔=⇔z y x zzy y x x z y x z y x a a a a b a b a b a a a b b b b //a λ.注：1°. 若0,,0≠=z y x a a a ，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔z z yy x ab a b b b //a 0.2°. 若0,0≠==z y x a a a ，则⎩⎨⎧==⇔00yx b b //.例2. 已知)2,1,2(=，)2,1,1(--=，求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-by x ay x 2335的解向量.解：方程①乘2减去方程②乘3得：b a x 32-=)2,1,1(3)2,1,2(2---=)10,1,7(-=，方程①乘3减去方程②乘5得：b a y 53-=)2,1,1(5)2,1,2(3---=)16,2,11(-=.例3. 已知两点),,(111z y x A 、),,(222z y x B 及实数1-≠λ，在直线AB 上求一点M ，使λ=. 解：因为OA OM AM -=，OM OB MB -=，因此有)(-=-λ，整理得)(11OM λλ++=， 代入坐标得)],,(),,[(11222111z y x z y x OM λλ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x ， 从而得到点M 的坐标⎪⎭⎫⎝⎛++++++λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x M .注：线段AB 中点坐标公式⎪⎭⎫⎝⎛+++2,2,2212121z z y y x x M .五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间距离公式：(1). 向量的模：k z j y i x z y x OM r ++===),,(，222||z y x ++=. (2). 两点间距离公式：点),,(111z y x A 与),,(222z y x B 之间的距离：212212212)()()(|z z y y x x AB -+-+-=.推导：因为()121212,,z z y y x x OA OB AB ---=-=，所以|)()()(||||212212212z z y y x x AB AB -+-+-==.例4. 求证以三点)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点间距离公式，有 14)12()31()47(||22221=-+-+-=M M ；6)23()12()75(||22232=-+-+-=M M ； 6)31()23()54(||22213=-+-+-=M M ，由于||||1322M M M M =，故321M M M ∆为等腰三角形. 例5. 在z 轴上求与两点)7,1,4(-A 、)2,5,3(-B 等距离的点. 解：由题可设所求点为),0,0(z M ，有||||MB MA =，即222222)2()05()03()7()10()40(z z --+-+-=-+-++，整理得914=z ，故所求点为⎪⎭⎫ ⎝⎛914,0,0M . 例6. 已知两点)5,0,4(A 、)3,1,7(B ，求与AB 同向的单位向量e .解：因为)2,1,3()53,01,47(-=---=，所以14)2(13||222=-++=，于是)2,1,3(141||-==AB .2. 方向角与方向余弦(1). 向量的方向角：称非零向量r 与三条坐标轴的夹角γβα,,为向量r 的方向角，],0[,,πγβα∈.(2). 向量的方向余弦：方向角的余弦γβαcos ,cos ,cos .222||cos zy x x r ++==α,222||cos zy x y r ++==β,222||cos zy x z r ++==γ.注：1°. 1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα.2°. )cos ,cos ,(cos ),,||||γβα===z y x r r r e . 例7. 已知两点)2,2,2(1M 、)0,3,1(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：由于)2,1,1()20,23,21(21--=---=M M ，从而有2)2(1)1(||22221=-++-=M M于是，21cos -=α，21cos =β，22cos -=γ，由此可得43,3,32πγπβπα===.例8．设点A 位于第I 卦限，向径与x 轴、y 轴的夹角依次为3π、4π，且6||=OA ，求点A 的坐标.解：由于3πα=，4πβ=，并且1cos cos cos 222=++γβα，有4122211cos 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=γ，由题可知0cos >γ，故21cos =γ，于是)3,23,3(21,22,216||=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==e ，故点A 的坐标为)3,23,3(. 3. 向量在轴上的投影(1). 向量在轴上的投影：设向量与u 轴正向的夹角为ϕ，称数ϕcos ||为向量在u 轴上的投影，记作j u Pr 或u )(.注：向量),,(z y x a a a a =在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即x x a j =Pr ，y y a j =Pr ，z z a j =Pr .(2). 投影的性质：①．j j j u u u Pr Pr )(Pr +=+. ②．j j u u Pr )(Pr λλ=.例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|= a ，求OA 在OM 方向上的投影OA j OM Pr .解：记ϕ=∠MOA ，有31||||cos ==OM OA ϕ， 于是3cos ||Pr a OA OA j OM ==ϕ.§8.2数量积、向量积一、两向量的数量积1．常力沿直线所作的功：θcos ||||S F W ⋅= 2. 两向量的数量积(1). 定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积),cos(||||∧⋅⋅b a b a 为与的数量积，也称为内积或点积，记作b a ⋅.注：1°. a j b b j a b a Pr ||Pr ||==⋅.2°. 2||=⋅. 3°. 0=⋅⇔⊥b a b a . (2). 运算规律①．交换律：a b b a ⋅=⋅.(由定义可知) ②．分配律：c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(c b c a b j c a j c b a j c c b a ⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅=⋅+Pr ||Pr ||)(Pr ||)(③．结合律：)()(⋅=⋅λλ；)()()(⋅=⋅λμμλ.3. 两向量数量积的坐标表示式：若),,(z y x a a a a =，),,(z y x b b b =，则z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅.4. 两非零向量夹角余弦的坐标公式：222222||||),cos(||||zy x zyxz z y y x x bb b aa ab a b a b a b a ba b a b a ++++++=⋅=⋅⋅∧.例1. 试用向量证明三角形的余弦定理： θcos 2222ab b a c -+=. 解：在ABC ∆中，记a BC =||，b CA =||，c AB =||，a CB =，b CA =，c AB =，有b a c -=，从而⋅+⋅-⋅=-⋅-=⋅=2)()(||22||cos ||||2||+⋅-=θ，即θcos 2222ab b a c -+=.例2. 已知三点)1,1,1(M 、)1,2,2(A 和)2,1,2(B ，求AMB ∠.解：由题可得)0,1,1()11,12,12(=---=MA ，)1,0,1()12,11,12(=---=MB ，于是21221||||cos =⋅=⋅=∠MB MA AMB ，故3π=∠AMB .例3. 设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v . 设为垂直于S 的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m (液体的密度为ρ).解：单位时间内经过该区域的液体的体积为n v A v A V ⋅==θcos ||， 所求质量为n v A V m ⋅==ρρ. 二、两向量的向量积1. 力对支点的力矩：M .模：||||||OQ =θsin ||||=； 方向：与及的方向成右手规则. 2. 两向量的向量积(1).定义：设有向量a 与b ，夹角为θ，称c 为a 与b 的向量积(叉积、外积)，其中c 的模θsin ||||||b a c =，方向与a 和b 的方向符合右手规则，记作b a c ⨯=. 注：1°. 0=⨯a a .2°. 0//=⨯⇔b a b a .3°. ||⨯的几何意义：以a 与b 为邻边的平行四边形的面积. (2).运算规律①．反交换律：⨯-=⨯. ②．分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(. ③．结合律：)()()(b a b a b a ⨯=⨯=⨯λλλ.(3). 两向量的向量积的坐标表示式：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则b b a a b b a a b b a a b a xx xzz zyy ++=⨯zyxz y x b b b a a a =⨯.例4. 试用两向量的向量积证明三角形正弦定理：CcB b A a sin sin sin ==. 证明：在三角形ABC ∆中，记a BC =||，b CA =||，c AB =||，由于||21||21||21CB CA BA BC AC AB S ABC ⨯=⨯=⨯=∆，即c b a B c a A c b sin sin sin ⋅=⋅=⋅， 整理得 C cB b A a sin sin sin ==. 例5. 设)1,1,2(-=，)2,1,1(-=，计算b a ⨯.解：k j i kj b a 352111--=--=⨯. 例6. 已知三角形ABC 的顶点分别是)3,2,1(A 、)5,4,3(B 和)7,4,2(C ，求三角形ABC 的面积.解：由于)2,2,2(=AB ，)4,2,1(=AC ，有26422+-==⨯，于是142)6(421|264|21||21222=+-+=+-=⨯=S ABC ∆. 例7. 设刚体一角速度ω绕l 轴旋转，计算刚体上一点M 的线速度v . 解：在轴l 上引进一个角速度向量ω，使ωω=||，其方向与旋转方向 符合右手法则，在l 上任取一点O ，作向径=，它与ω的夹角为θ， 则点M 离开转轴的距离θsin ||a =，由物理学中线速度和角速度的关系可知，θωωsin ||||||||r a v ==，且ω、r 、v 符合右手规则，于是r v ⨯=ω.§8.3曲面及其方程一、曲面方程的相关概念1.曲面方程：若曲面S 上任一点的坐标都满足方程(*)0),,(=z y x F ，且不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S 的方程，而称曲面S 为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1). 已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2). 已知关于点),,(z y x M 的坐标x 、y 、z 之间的一个方程0),,(=z y x F ，研究该方程所表示曲面的形状.例1. 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程.解：设),,(z y x M 为所求球面上任一点，有R M M =||0，即R z z y y x x =-+-+-202020)()()(， 整理得 2202020)()()(R z z y y x x =-+-+-.例2. 设有点)3,2,1(A 和)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 为所求平面上任一点，由题意，有||||BM AM =，即222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x ，整理得 07262=-+-z y x .例3. 方程042222=+-++y x z y x 表示怎样的曲面？解：原方程变形为5)2()1(222=+++-z y x ，表示以)0,2,1(0-M 为球心，以5为半径的球面. 二、旋转曲面1. 定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2. 旋转曲面的方程：曲线C ：0),(=z y f 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±z y x f .(绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±x z y f .)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁.)推导：在曲线C 上任取一点),,0(111z y M ，有0),(11=z y f ，且点1M 到z 轴的距离||1y d =.当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 绕z 轴旋转到点),,(z y x M ，其中1z z =，点M 到z 轴的距离221y x d +=，由于1d d =，有221||y x y +=， 即221y x y +±=，代入曲线方程有0),(22=+±z y x f .注：1°. 曲线C ：0),(=y x f 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±z y x f ；绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±y x z f .2°. 曲线C ：0),(=x z f 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±y x z f ；绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±x z y f .3. 常见旋转曲面及其方程(1). 圆锥面及其方程①．圆锥面：称由直线L 绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角)2/,0(πα∈为圆锥面的半顶角.②．圆锥面的方程：以坐标原点o 为顶点，以α为半顶角，以z 轴为旋转轴的圆锥面的方程为：)(2222y x a z +=，其中αcot =a .推导：在yoz 坐标面上，过原点且与z 轴夹角为α的直线方程为y z ⋅=αcot ，于是，直线L 绕z 轴旋转而成的圆锥面的方程为)(cot 22y x z +±⋅=α，整理得)()(cot 2222222y x a y x z +⋅=+⋅=α.注：1°. 以坐标原点O 为顶点，以α为半顶角，以x 轴为旋转轴的圆锥面的方程为：)(2222z y a x +=，其中αcot =a .2°. 以坐标原点O 为顶点，以α为半顶角，以y 轴为旋转轴的圆锥面的方程为：)(2222x z a y +=，其中αcot =a .(2). 旋转双曲面及其方程①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双叶双曲面.②．旋转双曲面的方程：(双曲线：12222=-cz a x ) 旋转单叶双曲面的方程：(绕z 轴旋转) 122222=-+cz a y x . 旋转双叶双曲面的方程：(绕x 轴旋转) 122222=+-cz y a x .三、柱面1. 柱面的定义： 称由直线L 沿定曲线C 平行于定直线l 移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C 为柱面的准线，动直线L 为柱面的母线.2. 几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁)(1). 圆柱面：222R y x =+. (准线为xoy 坐标面上的圆：222R y x =+，母线平行z 轴.)222R z y =+. (准线为yoz 坐标面上的圆：222R z y =+，母线平行x 轴.)222R x z =+. (准线为zox 坐标面上的圆：222R x z =+，母线平行y 轴.)(2). 过坐标轴的平面：0=-y x ，过z 轴，准线为xoy 坐标面上的直线0=-y x .0=-z y ，过x 轴，准线为yoz 坐标面上的直线0=-z y .0=-x z ，过y 轴，准线为zox 坐标面上的直线0=-x z .四、二次曲面1. 椭球面：1222222=++c z b y a x .2. 椭圆锥面：22222z by a x =+. 3. 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x . 4. 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x . 5. 椭圆抛物面：z b y a x =+2222. 6. 双曲抛物面：z by a x =-2222. 7. 椭圆柱面：12222=+b y a x . 8. 双曲柱面：12222=-by a x 9. 抛物柱面：ay x =2.§8.4空间曲线及其方程一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C .二、空间曲线的方程1. 一般式(面交式)方程：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F . 例如：⎩⎨⎧=+=+632122y x y x 表示圆柱面122=+y x 与平面632=+y x 的交线. 又如：⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22222222a y a x y x a z 表示上半球面222y x a z --=与圆柱面22222⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x 的交线.2. 参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，其中点),,(z y x M 随着参数t 的变化遍历曲线C .例1. 称由点),,(z y x M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转，又同时以线速度v 沿平行z 轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程.解：取时间t 为参数，0=t 对应点)0,0,(a A ，t 对应点),,(z y x M ，作M 在xoy 面上的投影'M ，有)0,,('y x M ，且t AOM ω=∠'，于是t a AOM OM x ωcos 'cos |'|=∠=，t a AOM OM y ωsin 'sin |'|=∠=，又vt MM z =='，于是，螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===vt z t a y t a x ωωsin cos ， 令ωωθv b t ==,，则螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos . 三、空间曲线在坐标面上的投影1．投影柱面：称以空间曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面为曲线C 关于xoy 坐标面的投影柱面.2. 空间曲线的投影：称空间曲线C 关于xoy 坐标面的投影柱面与xoy 坐标面的交线为空间曲线C 在xoy 坐标面上的投影曲线，也称为投影.3. 空间曲线的投影方程：空间曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 在xoy 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==00),(z y x H ，其中0),(=y x H 为方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 消去z 所得的投影柱面方程. 注：1°. 空间曲线曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 在yoz 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==00),(x z y R . 2°. 空间曲线曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 在zox 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==00),(y x z T .例2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1)1()1(1222222z y x z y x 在xoy 坐标面上的投影方程. 解：现求曲线C 在关于xoy 坐标面上的投影方程，将方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1)1()1(1222222z y x z y x 消去z 得投影柱面方程：02222=-+y y x ，于是所求投影方程为⎩⎨⎧==-+002222z y y x .例3. 求由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z +=所围成的立体在xoy 坐标面上的投影. 解：先求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z y x z 关于xoy 坐标面的投影方程，消去z 得投影柱面方程：122=+y x ，故曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z y x z 在xoy 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0122z y x ，从而所求投影为圆域：122≤+y x .§8.5平间及其方程一、平面的点法式方程1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量.2.平面的点法式方程：过点),,(0000z y x M ，以向量),,(C B A =为一法向量的平面∏的方程为：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .推导：在平面∏上任取一点),,(z y x M ，有向量),,(0000z z y y x x M M ---=，由于M M n 0⊥，有00=⋅M M n ，即有0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A (1)，即平面∏上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点),,(z y x M 不在平面∏上，则向量M M 0不垂直法向量n ，从而00≠⋅M M n ，即不在平面∏上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面∏的点法式方程0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .例1. 求过点)0,3,2(-且以)3,2,1(-=为法向量的平面的方程.解：由平面的点法式方程得 0)0(3)3(2)2(=-++--z y x ，整理得 0832=-+-z y x . 例2. 求过三点)4,1,2(1-M 、)2,3,1(2--M 和)3,2,0(3M 的平面的方程. 解：先求所求平面的一个法向量n ，由题可得向量)6,4,3(21--=M M ，)1,3,2(31--=M M ，可取 k j i kj i M M M M n -+=----=⨯=9141326433121，于是所求平面的方程为0)4()1(9)2(14=--++-z y x ，整理得015914=--+z y x .二、平面的一般方程1. 平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax (*)推导：若点),,(0000z y x M 满足方程(*)，则有0000=+++D Cz By Ax ， (**)两方程相减得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ， (***)方程(***)为过点),,(0000z y x M ，以向量),,(C B A n =为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)的图形总是一个平面，称0=+++D Cz By Ax 为平面的一般方程，其一法线向量为),,(C B A n =.2. 几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁)(1). 过原点的平面方程：0=++Cz By Ax ，法向量为),,(C B A =.(2). 平行x 轴的平面方程：0=++D Cz By ，法向量为),,0(C B n =.(3). 垂直于x 轴 (平行yoz 坐标面) 的平面方程：0=+D Ax ，法向量为)0,0,(A n =. 例3．求通过x 轴和点)1,3,4(--的平面的方程.解：由题意，可设所求平面的方程为：0=+Cz By ，(*)又点)1,3,4(--在该平面上，有03=--C B ，得B C 3-=，代入方程(*)得03=-z y . 例4. 设一平面与x 、y 、z 轴的交点依次为)0,0,(a P 、)0,,0(b Q ，),0,0(c R ，求该平面的方程.解：设所求平面的方程为0=+++D Cz By Ax ，(*) 将P 、Q 、R 三点坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000D cC D bB D aA ，得a D A -=，b D B -=，cD C -=，代入方程(*)， 从而有所求平面方程为1=++cz b y a x ，称之为平面的截距式方程. 三、两平面的夹角及点到平面的距离 1. 两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角.2. 两平面夹角的余弦：设平面1∏的法线向量为),,(1111C B A n =，平面2∏的法线向量为),,(2222C B A n =，两平面的夹角为θ，则22222221212121212121|||),cos(|cos C B A C B A C C B B A A n n ++⋅++++==∧θ.注：1°. 212121212121////D D C C B B A A n n ≠==⇔⇔∏∏. 2°. 021********=++⇔⊥⇔⊥C C B B A A n n ∏∏.3. 点到平面的距离：平面0:=+++D Cz By Ax ∏外一点),,(0000z y x P 到平面∏的距离为222000||C B A D Cz By Ax d +++++=.推导：在平面∏上任取一点),,(1111z y x P ，过点0P 作平面∏的一法向量n ， 有|||Pr |001NP P P j d ==，由于01010101010101||||||||cos ||Pr P P e P P n P P n P P n P P P P P P j n ⋅=⋅=⋅== θ， 由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=222222222,,C B A C C B A B CB A A e n ，),,(01010101z z y y x x P P ---=， 于是))()()((Pr 10101022201z zC y y B x x A C B A AP P j n -+-+-++=，又点),,(1111z y x P 在平面∏上，故有0111=+++D Cz By Ax ，从而222000||C B A D Cz By Ax d +++++=.例5. 求两平面062=-+-z y x 和052=-++z y x 的夹角. 解：由两平面夹角余弦公式211122)1(1|121)1(21|cos 222222=++⋅+-+⨯+⨯-+⨯=θ，故所求夹角为3πθ=. 例6. 一平面通过两点)1,1,1(1M 和)1,1,0(2-M 且垂直于平面0=++z y x ，求它的方程. 解：设所求平面∏的一个法线向量为),,(C B A n =，由题可知向量)2,0,1(21--=M M 在平面∏上，已知平面0:1=++z y x ∏的一个法线向量为)1,1,1(1=n ，由题意有21M M ⊥，有02=--C A ；1n n ⊥，有0=++C B A ；由以上两方程可得C A 2-=，C B =，故所求平面∏的法线向量为),,2(C C C n -=，于是所求平面∏的方程为0)1()1()1(2=-+-+--z C y C x C ，整理得02=--z y x . 另解：由题可知所求平面上一向量)2,0,1(21--=M M ，又已知平面0=++z y x 的一个法线向量为)1,1,1(1=n ，易知1n 不平行于21M M ，故可取所求平面的一个法线向量为M M ++-=--=⨯=2201111211，于是所求平面方程为：0)1()1()1(2=-+-+--z y x ，整理得02=--z y x .第六节 空间直线及其方程一、空间直线：称空间两平面1∏、2∏的交线为空间直线.二、空间直线的方程1. 一般(面交式) 方程：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A . 2. 对称式(点向式)方程(1). 直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量.(2). 直线的点向式方程：过点),,(0000z y x M 以向量),,(p n m S =为方向向量的直线L 的方程为：pz z n y y m x x 000-=-=-. 推导：在直线L 上任取一点),,(z y x M ，有向量),,(0000z z y y x x M M ---=，由于S M M //0，故有 pz z n y y m x x 000-=-=-， (*) 即直线L 上点的坐标都满足方程(*).反之，若点),,(z y x M 不在直线L 上，则由于M M 0不平行S ，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L 的方程，称为直线的对称式或点向式方程. 注：1°. m 、n 、p 不同时为零.2°. 若0,,0≠=p n m ，则直线L 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-p z z n y y x x 0000，即平面00=-x x 上的直线.3°. 若0,0≠==p n m ，则直线L 的方程为⎩⎨⎧=-=-0000y y x x ，即平面00=-x x 与00=-y y 上的交线，过点),,(000z y x 且平行z 轴.3. 参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y m t x x 000.注：一般式⇒对称式⇔参数式.例1. 用对称式方程以及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x .解：先找出该直线上一点),,(000z y x ：不妨取10=x ，代入原方程组得⎩⎨⎧=--=+632z y y x ，解得00=y ，20-=z ，即)2,0,1(-为该直线上一点. 再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为)1,1,1(1=n ，)3,1,2(1-=n，故可取k j i kj n n S 341121--=-=⨯=，故所给直线的对称式方程为：32141-+=-=-z y x . 令t z y x =-+=-=-32141，得到所给直线的参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y t x 3241. 三、两直线的夹角1. 两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角.2. 两直线夹角的余弦：直线1L 的方向向量为),,(1111p n m S =，直线2L 的方向向量为),,(2222p n m S =,两直线的夹角为ϕ，则22222221212121212121|||),cos(|cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++==∧ϕ. 注：1°. 021********=++⇔⊥⇔⊥p p n n m m S S L L .2°. 2121212121////p p n n m m S S L L ==⇔⇔. 例2. 求直线13411:1+=-=-z y x L 和1222:2-=-+=z y x L 的夹角. 解：由题可知直线1L 的方向向量为)1,4,1(1-=S ，直线2L 的方向向量为)1,2,2(2--=S ，设1L 与2L 的夹角为ϕ，则由两直线夹角余弦公式得21)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|cos 222222=-+-+⋅+-+-⨯+-⨯-+⨯=ϕ, 故4πϕ=. 四、直线与平面的夹角 1. 直线与平面的夹角：称直线与不垂直该直线的平面上的投影 直线的夹角)2/0(πϕϕ<≤为直线与平面的夹角. 规定：直线与平面垂直时夹角为2π. 2. 直线与平面夹角的正弦：若直线L 的方向向量为),,(p n m S =，平面∏的而一个法线向量为),,(C B A n =.L 与∏的夹角为ϕ，则222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ. 注：1°. p C n B m A n S L ==⇔⇔⊥//∏. 2°. 0//2121=++⇔⊥⇔Cp Bn Am L L .例3. 求过点)4,2,1(-且与平面0432=-+-z y x 垂直的直线的方程. 解：由题意，可取)1,3,2(-=S 为所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为143221-=-+=-z y x . 五、平面束及其方程1. 平面束：称通过定直线的所有平面的全体为平面束.2. 平面束的方程：设有直线⎩⎨⎧=+++=+++00:22221111D z C y B x A D z C y B x A L ，其中111,,C B A 与222,,C B A 不成比例,则通过直线L 的平面束的方程为：0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ. 注：该平面束不包含平面02222=+++D z C y B x A .例4. 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程. 解：过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束的方程为0)1(1=++-+--+z y x z y x λ，即 01)1()1()1(=-+-+-++λλλλz y x ，其中λ为待定常数.由题可知，该平面与已知平面0=++z y x 垂直，故有01)1(1)1(1)1(=⋅-+⋅-+⋅+λλλ，即01=+λ，解得1-=λ.由此可得所给直线关于所给平面 的投影平面的方程为0222=--z y ，整理得01=--z y ,故所求投影直线的方程为⎩⎨⎧=++=--001z y x z y . 六、点到直线的距离：直线pz z n y y m x x L 111:-=-=-外一点),,(0000z y x M 到直线L 的距离为： ||0S S MM d =),,(z y x M 为直线L 上的一点.推导：在直线L 上任取一点),,(z y x M ，有向量0，设点0M 到直线L 的距离为d ，由于||||0S MM S d ⨯=⋅，故||0S S MM d =. 例5. 求点)3,2,1(到直线412111-=-=-z y x 的距离. 解：由题可知，所给直线的方向向量为)4,2,1(=S ，点)1,1,1(是该直线上一点，从而有向量)2,1,0(--=a ，由平面外一点到直线的距离公式得：2154214221222=++--==d . 七、杂例： 例6. 求与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行且过点)5,2,3(-的直线的方程. 解法一 (点向式) 由题可知两已知平面的法向量分别为)4,0,1(1-=和)5,1,2(2--=，故可取21n n ⨯为所求直线的一个方向向量，即)34(514021++-=---=⨯=，于是所求直线方程为153243-=-=+z y x . 解法二 (一般式)过点)5,2,3(-且与平面34=-z x 平行的平面方程为234-=-z x ，过点)5,2,3(-且与平面152=--z y x 平行的平面方程为3352-=--z y x ，易知所求直线为上述两个平面的交线，所以所求直线方程为⎩⎨⎧-=---=-3352234z y x z x .例7.求直线241312-=-=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点. 解：易知所给直线的参数方程为t x +=2，t y +=3，t z 24+=，代入平面方程中，得06)24()3()2(2=-+++++t t t ，解得1-=t ，代入直线的参数方程得所求交点的坐标2,2,1===z y x .例8.求过点)3,1,2(且与直线12131-=-=+z y x 垂直相交的直线方程.解：先求过点)3,1,2(且垂直于已知直线12131-=-=+z y x 的平面： 由题可知该平面的方程为 0)3()1(2)2(3=---+-z y x .再求该平面与已知直线的交点：已知直线的参数方程为t x 31+-=，t y 21+=，t z -=，代入上述平面方程解得73=t ，于是得到交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛-73,713,72. 以点)3,1,2(为起点，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-73,713,72为终点的向量为)4,1,2(76373,1713,272--=⎪⎭⎫ ⎝⎛----，于是所求直线方程为431122-=--=-z y x .。
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
