∴向量组 A 线性相关，
22
（3）m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n小于向量个数 m 时一定线性相关.
若向量组 A 线性 无关，则向量组 B也线性无关；
若向量组 B线性相关， 则向量组 A 也线性相关.
证 若向量组 B 线性相关，∴存在不全为零的数 k1 , k2 ,, km , 使
k1b1 k2b2 kmbm 0
即
k1a1 k2a2 kmam 0
且 k1ar 1,1 k2ar 1,2 kmar 1,m 0
(a1
,
a
2
,,
am
)
k2
j
,
kmj
从而
k11
(b1
,
b2
,,
bs
)
(a1
,
a2
,,
am
)
k21
k12
k22
k1s
k2s
.
km1 km2 kms
矩阵 Kms (kij ) 称为这一线性表示的系数矩阵.
8
向量组 B:b1,b2 , ,bl , 能由向量组 A : a1, a2 ,, am , 线性表示
给定向量组 A : a1, a2 ,, am , 和向量 b, 如果存在一组数
1, 2 ,, m , 使 b 1a1 2a2 mam ,
则称向量 b 是向量组 A 的线性组合, 这时称 向量 b 能由向量组 A 线性表示.
也就是方程组 x1a1 x2a2 xmam b 有解.
6
定理1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充分必要条件是矩阵
2
在点空间取定 坐标系以后, 空间中的点 P( x, y, z)与3维向量 r (x, y, z)T 之间有一一对应的关系, 因此, 向量空间可以类比为 取定了坐标系的点空间.
