二倍角的三角函数练习(包含答案)

评卷人得分二倍角公式一、选择题1.已知 2sin θ +3cosθ =0，则 tan2 θ =（）A ．B ．C ．D ．2.已知= ，则 sin2 α +cos （α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若 0＜α＜，﹣＜β＜ 0，cos （+α） = ，cos （﹣β），则 cos （α +β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知 cos α=， cos （α +β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值： tan42 ° +tan78 °﹣tan42 ° ?tan78 ° =（）A．B．C．D．7.已知 sinx= ﹣，且 x 在第三象限，则tan2x= （）A．B．C．D．8.已知 tan α =4，= ，则则 tan （α +β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算 log 2sin +log 2cos 的值为（）A．﹣ 4 B． 4 C． 2 D．﹣ 210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知 tan α=， tan β=，则 tan （α﹣β）等于（）12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则 cos2 θ =（）A．﹣B．﹣C．D．13.已知 sin θ +cos θ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．14.设 tan α， tan β是方程 x 2﹣3x+2=0 的两个根，则tan （α +β）的值为（）A．﹣ 3 B．﹣ 1 C． 1 D． 315.sin α=，α∈（，π），则cos （﹣α）=（）A．B．C．D．16.已知 sin α +cos α =﹣，则 sin2 α =（）A．B．C．D．17.已知，那么cosα=（）A．B．C．D．18.设α﹑β为钝角，且 sin α=， cos β =﹣，则α +β的值为（）A．B．C．D．或19.若 tan （α﹣β） = ， tan β=，则 tan α等于（）A．﹣ 3 B．﹣C． 3 D．20. =（）A．B．C．D．21.若角 A为三角形 ABC的一个内角，且 sinA+cosA= ，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形第 II 卷（非选择题）评卷人得分二、填空题22.若 tan （α +β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（ 1+tan 1°）（ 1+tan44 °）=．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜， cos （ +α） =﹣，则 sin α=．27.在△ ABC中，已知 tanA ，tanB 是方程 3x 2﹣ 7x+2=0 的两个实根，则 tanC= ．评卷人得分三、解答题28.已知，（1）求 sin α的值；（2）求β的值．29.已知 cos α=， cos （α﹣β） =，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2 α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A 解答：解：由已知得：==sin α +cos α=，∴（ sin α+cosα）2=1+2sin αcosα=1+sin2 α=，∴ sin2α=﹣，又 sin α+cosα=sin （α+），∴ sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴ sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵ cos（+α） =，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin （+α） ==，∵ cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴ sin（﹣β）==，∵α +β=（+α）﹣（﹣β），∴ cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos （+α） cos （﹣β）+sin（+α） sin （﹣β）===．4.解答：由题意可得：tan α +tan β=； tan α tan β=，显然α，β﹣又 tan （α +β） ===1 且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）5.C解答：由 2α∈（ 0，π），及 cos α=2﹣，且，得到 cos2 α =2cos α﹣ 1=sin2 α==，由α+β∈（ 0，π），及cos （α +β） =﹣，得到sin（α +β）==，则 cos （α﹣β） =cos[2 α﹣（α +β）] =cos2αcos（α +β） +sin2 αsin （α +β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到 tan78 °+tan42 °=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78 °+tan42 °﹣tan18 °?tan42 °=﹣．故选： C．．7.A8.B解答：由得tanβ=3，又 tan α=4，所以tan （α +β） ===，故选：B．解答：α，β 为锐角，则cosα===；则 cos （α +β） =﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α +β﹣α）=cos （α +β） cosα+sin （α +β） sin α==．11.D12.B13.C14.A15.A16.D17.C18.C解答：∵α﹑β 为钝角，且sin α=，cosβ=﹣，∴ cosα=﹣，sinβ=，∴cos（α +β） =cosαco sβ﹣ sin αsin β=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α +β∈（π， 2π），∴α +β=．故选：C．19.C 解答：∵ tan （α﹣β） = = = ，∴可解得：tan α =3．故选：C．20.D 21.B 解答：角 A 为三角形ABC的一个内角， sinA+cosA= sin （ A+ ），如果 A∈（ 0，] ， A+ ∈，sin （ A+ ）∈．A∈（，π）， A+ ∈，sin （ A+ ）∈（﹣ 1， 1）．∵sinA+cosA= ，∴A 是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22. 解答：∵tan （α+） =tan[ （α +β）﹣（β﹣） ] ，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24. 解答：∵∴∵，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α 为第三象限的角，所以2α∈（ 2（ 2k+1）π，π +2（ 2k+1）π）（ k∈ Z），又＜ 0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，? 4kπ+2π＜ 2α＜4kπ+3π ? 2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α） =﹣，∴sin （+α） ==，∴sin α=sin[ （α+）﹣]=sin （+α） cos﹣cos（+α） sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7 解答：∵ tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan= ﹣ tan （A+B） =﹣=﹣ 728.解答：（1）∵，∴tan α==．∵ tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sinα= ，cosα= ．（ 2）∵，，∴ sin（α﹣β）=﹣，∴tan （α﹣β）==﹣ 7==，∴ tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得： cosβ=cos=cosαcos（α﹣β） +sin αsin （α﹣β）=所以．。

二倍角公式评卷人得分一、选择题1.已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=（）A． B． C． D．2.已知=，则sin2α+cos（α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．7.已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．8.已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知tanα=，tanβ=，则tan（α﹣β）等于（）A．B．C．D．12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．13.已知sinθ+cosθ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．14.设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．315.sinα=，α∈（，π），则cos（﹣α）=（）A．B．C．D．16.已知sinα+cosα=﹣，则sin2α=（）A．B．C．D．17.已知，那么cosα=（）A．B．C．D．18.设α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，则α+β的值为（）A．B．C．D．或19.若tan（α﹣β）=，tanβ=，则tanα等于（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．20.=（）A．B．C．D．21.若角A为三角形ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题22.若tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（1+tan1°）（1+tan44°）= ．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜，cos（+α）=﹣，则sinα=．27.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ．评卷人得分三、解答题28.已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．29.已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A解答：解：由已知得：==sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，又sinα+cosα=sin（α+），∴sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵cos（+α）=，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）==，∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴sin（﹣β）==，∵α+β=（+α）﹣（﹣β），∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β）===．4.解答：由题意可得：tanα+tanβ=；tanαtanβ=，显然α，β ﹣又tan（α+β）===1且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5.C解答：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．．7.A 8.B 解答：由得tanβ=3，又tanα=4，所以tan（α+β）===，故选：B．9.D 10.B解答：α，β为锐角，则cosα===；则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．11.D 12.B 13.C 14.A 15.A 16.D 17.C 18.C解答：∵α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，∴cosα=﹣，s inβ=，∴cos（α+β）=cosαco sβ﹣sinαsinβ=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α+β∈（π，2π），∴α+β=．故选：C．19.C解答：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．20.D 21.B解答：角A为三角形ABC的一个内角，sinA+cosA=sin（A+），如果A∈（0，]，A+∈，sin（A+）∈．A∈（，π），A+∈，sin（A+）∈（﹣1，1）．∵sinA+cosA=，∴A是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22.解答：∵tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24.解答：∵∴∵，∴，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）==，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（+α）cos﹣cos（+α）sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7解答：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣728.解答：（1）∵，∴tanα==．∵tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sin α=，cos α=．（2）∵，，∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣7==，∴tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．。

二倍角公式一、选择题，则tan2θ=（）A． B． C． D．2.已知=，则sin2α+cos（α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．7.已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．8.已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知tanα=，tanβ=，则tan（α﹣β）等于（）A．B．C．D．12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（ ）A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．13.已知sin θ+cos θ=，则tan2θ值为（ ）A ．B ．C ．D ．14.设tan α，tan β是方程x 2﹣3x+2=0的两个根，则tan （α+β）的值为（ ） A ． ﹣3 B ． ﹣1C ． 1D ． 315.sin α=，α∈（，π），则cos （﹣α）=（ ）A ．B ．C ．D ．16.已知sin α+cos α=﹣，则sin2α=（ ）A ．B ．C ．D ．17.已知，那么cos α=（ ）A ．B ．C ．D ．18.设α﹑β为钝角，且sin α=，cos β=﹣，则α+β的值为（ ）A ．B ．C ．D ．或19.若tan （α﹣β）=，tan β=，则tan α等于（ ）A ． ﹣3B ． ﹣C ． 3D ．20.=（ ）A ．B ．C ．D ．21.若角A 为三角形ABC 的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（ ）A ． 锐角三角形B ． 钝角三角形C ． 等腰直角三角形D ． 等腰三角形第II卷（非选择题）二、填空题22.若tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（1+tan1°）（1+tan44°）= ．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜，cos（+α）=﹣，则sinα= ．27.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ．三、解答题28.已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．29.已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A解答：解：由已知得：==sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，又sinα+cosα=sin（α+），∴sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵cos（+α）=，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）==，∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴sin（﹣β）==，∵α+β=（+α）﹣（﹣β），∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β）===．4.解答：由题意可得：tanα+tanβ=；tanαtanβ=，显然α，β﹣又tan（α+β）===1且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5.C解答：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．．7.A 8.B 解答：由得tanβ=3，又tanα=4，所以tan（α+β）===，故选：B．9.D 10.B解答：α，β为锐角，则cosα===；则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．11.D 12.B 13.C 14.A 15.A 16.D 17.C 18.C解答：∵α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，∴cosα=﹣，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαco sβ﹣sinαsinβ=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α+β∈（π，2π），∴α+β=．故选：C．19.C解答：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．20.D 21.B解答：角A为三角形ABC的一个内角，sinA+cosA=sin（A+），如果A∈（0，]，A+∈，sin（A+）∈．A∈（，π），A+∈，sin（A+）∈（﹣1，1）．∵sinA+cosA=，∴A是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22.解答：∵tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24.解答：∵∴∵，∴，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）==，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（+α）cos﹣cos（+α）sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7解答：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣728.解答：（1）∵，∴tanα==．∵tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sin α=，cos α=．（2）∵，，∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣7==，∴tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．。

专题4二倍角的三角函数（一）二倍角的正弦S 2α：sin2α＝2sin αcos α（二）二倍角的余弦C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；（三）二倍角的正切T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α；公式应用的条件：α≠24k ππ+且α≠k π＋2π(k ∈Z )，当α＝k π＋2π(k ∈Z )时，tan α不存在，求tan2α的值可采用诱导公式（四）二倍角公式的逆用、变形1.逆用形式：2sin αcos α＝sin2α；sin αcos α＝12sin2α；cos α＝sin2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos2α；2tan α1－tan 2α＝tan2α．2.变形用形式：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos2α＝2cos 2α；1－cos2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2；sin 2α＝1－cos2α2．题型一公式的正用【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知()0,απ∈，1tan 2α=，则cos2α＝（）A ．15B ．35C ．45D ．1225【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量3sin ,2,1,1cos a b αα=-=-，若2a b ⋅=-，则tan2α=（）A ．1213-B ．613-C ．125-D ．65-【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求sin sin sin 181818的值.由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．题型二公式的逆用【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设212tan13cos 66,,21tan 13a b c ︒=︒-︒==-︒则有（）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a正确的是（）A ．tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒⋅︒=B ．22ππ1cos sin 12122-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52︒=︒-︒D．12sin10=(1)求值()4sin 67cos 27sin 23cos 27tan 40-- ；(2)已知ππ1sin sin 634αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ,32α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程.题型三公式的变用【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·=（）A ．1BCD 122122212212222sin cos sin cos π，Z sin cos sin cos sin θθθθθk θθθθθ⎛⎫+-+++=≠∈ ⎪+++-⎝⎭．【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知cos 2,252θθπ=<<．(1)求tan θ的值；(2)求22cos sin 24θθπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2．题型四三角函数式化简问题【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：1cos15sin15·sin170cos15sin15⎫︒+︒-⎪⎪︒︒-︒⎝⎭____.sin21tan tan2ααα⎛⎫+=⎪⎝⎭__．︒-︒cos40sin501︒+︒︒1.三角公式化简求值的策略(1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型五三角恒等式证明问题【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证：tan 1sin 2cos 2ααα=++【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：cos()2sin sin αβαβ--；（2）求证：1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023·江苏·高一专题练习）1sin cos ,sin25ααα+=-=（）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知2sin 2cos24θ+=，则sin 2θ=A ．1516-B ．1516C ．34-D ．34tan 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．512B ．43-C ．34D ．43A ．0B ．2cos αC π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭D π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若51sin 123⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．9B ．9-C ．79D ．79-sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．25B ．25-C ．65D ．65-7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知0,απ∈，且sin cos 5αα-=，则22sin2cos sin ααα=-（）A ．247B ．12C ．12-D ．247-，且，则α=（）A ．9B ．18C ．27oD ．36o【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到()cos 29sin 9α+=，结合090α<< 得到29909α+=- ，求出α.【详解】因为()()sin181sin 22sin 9cos 91sin 2αα+=+，所以()22cos 9cos 22sin 9cos 91sin 2αα=+，整理得：cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα=+ ，cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα-= ，()cos 29sin 9α+= ，因为090α<< ，所以929189α<+< ，所以29909α+=- ，解得：36α= 故选：D.二、多选题9．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15-B ．sincos 882ππ=C ．1sin 4040sin 702=D ．tan152=10．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知sin cos 5αα+=，以下选项正确的是（）A ．24sin 225α=±B ．7sin cos 5αα-=±C ．7cos 225α=±D ．447sin cos 25αα-=±11．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）24cos 20︒=___________.12.（2022春·江苏盐城·高一统考期中）若(,2)2απ∈_____．13．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知tan 2θ=-π02θ<<.(1)求tan θ；(2)求22cos sin 12π4θθθ+-⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）（1）已知2sin sin 22α=-，求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知ππ22x -<<，1sin cos 5x x +=，则2sin22sin 1tan x x x+-．15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量()()sin ,1,3,cos m n αα=-=-，其中,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥ ．(1)求tan α和sin 2α的值；(2)若sin()αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β的值．16．（2022春·江苏盐城·高一盐城中学校考期中）已知向量()cos ,sin a αα=，122b ⎫=-⎪⎪⎝⎭，02πα<<．(1)若a b ⊥时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -= sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。

5.2 二倍角的三角函数1.二倍角的三角函数公式(1)sin 2α=①.(2)cos 2α=②=③=④.(3)tan 2α=⑤(其中α、2α≠kπ+π2,k∈Z).2.二倍角的三角函数公式的推导和角公式中以⑥代替其中的⑦就可以得到二倍角公式.3.二倍角的余弦公式的变形公式(1)降幂公式:sin2α=⑧,cos2α=⑨.(2)升幂公式:1+cos 2α=⑩,1-cos 2α=.一、选择题1.已知θ是第三象限角,若sin4θ+cos4θ=59,那么sin 2θ等于( )A.2√23 B.-2√23C.23D.-232.已知tan x=2,则tan[2(x-π4)]等于( )A.43 B.-43C.34D.-343.tan 67°30'-tan 22°30'的值为( )A.1B.√2C.2D.44.√1-sin24°等于( )A.√2cos 12°B.2cos 12°C.cos 12°-sin 12°D.sin 12°-cos 12°5.设-3π<α<-5π2,化简√1-cos (α-π)2的结果是( ) A.sin α2 B .cos α2 C .-cos α2 D.-sin α26.函数y=12sin 2x+sin 2x,x∈R 的值域是( )A.-12,32B.-32,12C.-√22+12,√22+12D.-√22-12,√22-12二、填空题7.cos 20°·cos 40°·cos 80°= .8.已知sin θ2+cos θ2=2√33,那么sin θ= ,cos 2θ= .9.已知4cos Acos B=√6,4sin Asin B=√2,则(1-cos 4A)(1-cos 4B)= .10.已知方程x 2-tan α+1tanαx+1=0的一个根是2+√3,则sin 2α= .三、解答题11.化简:2cos 4x -2cos 2x+122tan(π4-x)sin (π4+x).12.求(tan 10°-√3)sin 40°的值.13.在一块半径为R 的半圆形的铁板中截取一个内接矩形ABCD,使其一边CD 落在圆的直径上,问应该怎样截取才可以使矩形ABCD 的面积最大,并求出这个矩形的面积.。

二倍角的正弦、余弦、正切公式[基础自测]1．思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )[解析] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误．(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α. [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．sin 15°cos 15°＝________.14 [sin 15°cos 15°＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 3．12－cos 2π8＝________. －24 [12－cos 2π8＝12－1＋cos π42＝12－12－12×22＝－24.]4．若tan θ＝2则tan 2θ＝________. －43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.] [合 作 探 究·攻 重 难]给角求值(1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( ) A ．14 B ．－14 C ．18D ．－18(2)求下列各式的值：①cos 415°－sin 415°；②1－2sin 275°；③1－tan 275°tan 75°；④1sin 10°－3cos 10°.(1)D [(1)∵cos 3π7＝－cos 4π7，cos 5π7＝－cos 2π7，∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin 8π78sin π7＝－18. (2)①cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.②1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. ③1－tan 275°tan 75°＝2×1－tan 275°2tan 75° ＝2×1tan 150°＝－2 3.④1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.][规律方法] 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟踪训练] 1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°.[解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.给值求值、求角问题(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋π4与2α＋π2，α－π4与2α－π2具有2倍关系，用二倍角公式联系； (2)2α＋π2与2α差π2，用诱导公式联系． [解] (1)∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22×725＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3， 即α＝－π4或α＝5π12.母题探究：1.在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝－336625.2．将例2(1)的条件改为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[解] ∵0＜x ＜π4，∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.[规律方法] 解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到\f(π,4)±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.化简证明问题[探究问题]1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．(1)化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________.(2)证明：3tan 12°－3sin 12°(4cos212°－2)＝－4 3.[思路探究](1)通分变形．(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan 2θ[(1)原式＝tan θ－1＋tan θ＋1(tan θ＋1)(tan θ－1)＝2tan θtan2θ－1＝－2tan θ1－tan2θ＝－tan2θ.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°(2cos212°－1)＝23⎝⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin(12°－60°)sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边，所以原等式成立．][规律方法]证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°B [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.]3．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝________. 6 [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.]4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.3 [∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3， ∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.] 5．已知π2＜α＜π，cos α＝－45. (1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解](1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝3 5，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－24 25，cos 2α＝2cos2α－1＝7 25，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.。

二倍角的三角函数（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题） 1．（2020•北京模拟）若点55(cos ,sin )66M ππ在角α的终边上，则tan 2(α= )A B ．C D ．2．（2019秋•海淀区校级期末）已知(0,)4πθ=，1sin 23θ=，则sin cos (θθ-= )A ．23B ．23-C D ． 3．（2019秋•海淀区校级期末）设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2(θ= )A ．725-B ．725C ．2425-D ．24254．（2020•怀柔区模拟）函数22cos 1y x =-的最小正周期为( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π5．（2019•北京学业考试）函数()sin cos f x x x =的最小正周期为( ) A ．1B ．2C ．πD ．2π6．（2019秋•西城区校级期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2(α= )A B ．13C ．13-D ． 7．（2018•西城区模拟）已知4sin 5α=，且(,)2παπ∈，那么cos2α等于( ) A ．725-B ．725C ．925D ．925-二．填空题（共7小题）8．（2020•密云区一模）函数2()cos f x x =的最小正周期是 ，单调递增区间是 9．（2019秋•丰台区期末）sin15cos15︒︒= ．10．（2018秋•海淀区期末）在ABC ∆中，b ，且cos2cos A B =，则cos A = ．11．（2018秋•海淀区期末）在ABC ∆中，2a b =，且sin2sin A B =，则cos A = ，C ∠= ．12．（2019•西城区校级模拟）若tan αcos2α= ．13．（2019•顺义区二模）已知α为锐角，sin2α=cos()2πα+= ． 14．（2017秋•海淀区校级期末）已知tan 2x =，则cos2sin()cos()2x x x ππ+++=三．解答题（共1小题）15．（2019秋•通州区期末）已知α是第二象限角，且3sin 5α=， （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos2cos()2παα++的值．二倍角的三角函数（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．（2020•北京模拟）若点55(cos ,sin )66M ππ在角α的终边上，则tan 2(α= )A B ．C D ．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值，进而根据二倍角的正切函数公式即可求解．【解答】解：因为点55(cos ,sin )66M ππ在角α的终边上，即点(，1)2在角α的终边上，则tan y x α==，可得：22tan tan 21tan ααα==-故选：D ．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切函数公式的应用，属于基础题．2．（2019秋•海淀区校级期末）已知(0,)4πθ=，1sin 23θ=，则sin cos (θθ-= )A ．23B ．23-C D ． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．【解答】解：(0,)4πθ=，1sin 23θ=，sin cos 0θθ∴-<，sin cos θθ∴-===． 故选：D ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．3．（2019秋•海淀区校级期末）设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2(θ= )A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos θ的值，进而根据二倍角的正弦函数公式可求sin 2θ的值． 【解答】解：θ为第三象限角，3sin 5θ=-，4cos 5θ∴==-，3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ∴==⨯-⨯-=． 故选：D ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．（2020•怀柔区模拟）函数22cos 1y x =-的最小正周期为( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【分析】把函数22cos 1y x =-化为一个角的一个三角函数的形式，求出周期即可． 【解答】解：函数22cos 1cos2y x x =-=， 可得它的最小正周期为：22ππ=， 故选：B ．【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，考查三角函数的周期性及其求法，是基础题． 5．（2019•北京学业考试）函数()sin cos f x x x =的最小正周期为( ) A ．1B ．2C ．πD ．2π【分析】根据二倍角的正弦公式化简函数解析式，再由周期公式求出函数的周期即可． 【解答】解：由题意得，11()sin cos 2sin cos sin 222f x x x x x x ==⨯=，所以函数的最小正周期为22ππ=， 故选：C ．【点评】本题考查二倍角的正弦公式，以及三角函数的周期公式应用，熟练掌握公式是解题的关键．6．（2019秋•西城区校级期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2(α= )A ．3 B ．13C ．13-D ．3-【分析】直接利用三角函数的定义和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos α=，所以221cos22cos 12133αα=-=-=． 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．（2018•西城区模拟）已知4sin 5α=，且(,)2παπ∈，那么cos2α等于( ) A ．725-B ．725C ．925D ．925-【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解． 【解答】解：4sin 5α=，且(,)2παπ∈， 2247cos212sin 12()525αα=-=-⨯=-．故选：A ．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力，属于基础题． 二．填空题（共7小题）8．（2020•密云区一模）函数2()cos f x x =的最小正周期是 π ，单调递增区间是 【分析】化简函数的表达式，利用余弦函数的图象和性质求解即可． 【解答】解：函数211()cos cos222f x x x ==+，∴可得最小正周期22T ππ==， 令2222k x k ππππ++，k Z ∈，可得2k x k ππππ++，k Z ∈，可得单调递增区间是[2k ππ+，]k ππ+，k Z ∈．故答案为：π，[2k ππ+，]k ππ+，k Z ∈．【点评】本题考查二倍角的公式的应用，余弦函数的图象与性质，属于基础题． 9．（2019秋•丰台区期末）sin15cos15︒︒=14． 【分析】由题意利用二倍角的正弦公式，求得结果． 【解答】解：11sin15cos15sin3024︒︒=︒=，故答案为：14． 【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．10．（2018秋•海淀区期末）在ABC ∆中，b ，且cos2cos A B =，则cos A = ． 【分析】由题意先判断2A B =，再利用正弦定理、二倍角公式求出cos A 的值．【解答】解：ABC ∆中，b =，且cos2cos A B =，2A B ∴=．再由正弦定理可得sin sin a b A B ===即sin a A =，则cos A． 【点评】本题主要考查正弦定理、二倍角公式的应用，属于中档题．11．（2018秋•海淀区期末）在ABC ∆中，2a b =，且sin2sin A B =，则cos A =，C ∠= ． 【分析】先判断A B <，2B A =，再利用正弦定理、二倍角公式求得cos A 的值，进而求得A 和B ，再利用三角形内角和公式求得C 的值．【解答】解：ABC ∆中，2a b ==，且sin2sin A B =，A B ∴<，2B A ∴=．22sin 2sin cos B A A==，则cos A 4A π∴=，2B π=，4C A B ππ∴=--=，；4π． 【点评】本题主要考查正弦定理、二倍角公式、三角形内角和公式，属于中档题．12．（2019•西城区校级模拟）若tan αcos2α= 13- ．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：若tan α=222222cos sin 1tan 1cos2cos sin 1tan 3ααααααα--===-++， 故答案为：13-．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．13．（2019•顺义区二模）已知α为锐角，sin2α=cos()2πα+= 45- ． 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式求得cos 2α，再由诱导公式及倍角公式化简求值．【解答】解：α为锐角，且sin 2α=cos2α∴==．∴4cos()sin 2sincos22225παααα+=-=-=-=-． 故答案为：45-．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题． 14．（2017秋•海淀区校级期末）已知tan 2x =，则cos2sin()cos()2x x x ππ+++= 15【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得cos2sin()cos()2x x x ππ+++的值． 【解答】解：tan 2x =，则cos2sin()cos()2x x x ππ+++2222222cos sin sin cos2sin (sin )cos sin cos sin x x xx x x x x x x-=--=+++ 22221tan tan 14411tan 1tan 14145x x x x --=+=+=++++， 故答案为：15．【点评】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题． 三．解答题（共1小题）15．（2019秋•通州区期末）已知α是第二象限角，且3sin 5α=， （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos2cos()2παα++的值．【分析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得tan α的值． （Ⅱ）由题意利用二倍角公式、诱导公式，求出cos2cos()2παα++的值．【解答】解：（Ⅰ）α是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴==-，sin 3tan cos 4ααα∴==-．（Ⅱ）2938cos2cos()12sin sin 12225525παααα++=--=-⨯-=-．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题．。

有关2倍角公式练习题一、选择题1. 已知cosθ=1/2，且θ为第二象限角，则cos2θ的值为（）A. 1/2B. 1/2C. 3/4D. 3/42. 若sin2α=1/2，则cosα的取值范围是（）A. [1/2, 1/2]B. [√3/2, √3/2]C. [1, 1]D. [1, 0)3. 已知tanθ=3，则tan2θ的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12二、填空题1. 已知sinα=4/5，则sin2α=______。

2. 若cosβ=5/13，且β为第四象限角，则cos2β=______。

3. 已知tanγ=1，则tan2γ=______。

三、解答题1. 已知sinθ=3/5，求sin2θ和cos2θ的值。

2. 已知cosα=2/3，求tan2α的值。

3. 已知tanβ=4，求sin2β和cos2β的值。

4. 已知sin2γ=1/2，求cosγ的值。

5. 已知cos2θ=1/2，求sinθ和cosθ的值。

四、应用题1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=θ，若sinθ=3/5，求sin2θ的值。

2. 在△DEF中，∠D=90°，∠E=2α，若cosα=1/3，求cos2α的值。

3. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，若tan∠B=1，求tan2∠B的值。

4. 在圆中，弧AB的长度是弧CD的两倍，若弧AB对应的圆心角为2θ，求sin2θ的值。

5. 在四边形EFGH中，EF∥GH，若∠E=α，∠G=2α，求cos2α的值。

有关2倍角公式练习题（续）五、判断题1. 若sinθ=1/2，则sin2θ=1。

（）2. 若cosα=1，则cos2α=0。

（）3. 对于任意角β，都有tan2β=2tanβ。

（）4. 若sin2γ=0，则γ必定是整数倍的π/2。

（）5. cos2θ的值总是小于或等于1。

（）六、匹配题将下列2倍角公式与对应的三角函数匹配：A. sin2θ = 2sinθcosθB. cos2θ = cos²θ sin²θC. cos2θ = 2cos²θ 1D. cos2θ = 1 2sin²θE. tan2θ = 2tanθ / (1 tan²θ)1. sin2θ的化简公式是（）2. cos2θ的化简公式是（）3. tan2θ的化简公式是（）4. cos2θ的另一种表达形式是（）5. sin2θ的另一种表达形式是（）七、简答题1. 简述如何利用2倍角公式将sin2θ转换为cosθ的表达式。