山东省临沂十九中2016届高三上学期8月月考数学试卷(理科)含解析

2015-2016学年山东省临沂市临沭县高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x≥2}，A∩（∁R B）=（）A．[0，2）B．[0，2]C．（1，2）D．（1，2]2．复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i3．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则﹣x＜﹣y”的逆命题是“若﹣x＞﹣y，则x＜y”B．若命题P：∀x∈R，x2+1＞0，则￢P：∃x∈R，x2+1＞0C．设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥βD．设x，y∈R，则“（x﹣y）•x2＜0”是“x＜y”的必要而不充分条件4．设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X＞4）=P（X＜0），则μ=（）A．2 B．3 C．9 D．15．已知，则向量的夹角为（）A． B． C．D．6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度7．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则fA．﹣2 B．C．2 D．58．函数f（x）=3cosx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A．B． C．D．9．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3]D．[1，3]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填写到答题卡的相应位置.11．已知函数y=2sinx（）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为______．12．如图给出的是计算+++…+的值的程序框图，其中判断框内应填入的是______．13．将边长为2的正△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B﹣AD﹣C，则三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为______．14．若多项式，则a9=______．15．已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k=______．三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）16．已知向量，函数．（1）若，求cos2x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．17．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．（1）求甲获第一名且丙获第二名的概率；（2）设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求二面角E﹣BC﹣A．19．已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前2n项和T2n．20．已知函数f（x）=在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．（I）求函数f（x）的解析式；（II）设g（x）=lnx，当x∈[1，+∞）时，求证：g（x）≥f（x）；（III）已知0＜a＜b，求证：．21．已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点M（m，0）是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围；（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．2015-2016学年山东省临沂市临沭县高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x≥2}，A∩（∁R B）=（）A．[0，2）B．[0，2]C．（1，2）D．（1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中不等式的解集确定出A，求出B的补集，即可确定出所求的集合．【解答】解：由集合A中（）x≤1，得到x≥0，即A=[0，+∞），∵B={x|x≥2}，∴（∁R B）={x|x＜2}=（﹣∞，2），则A∩（∁R B）=[0，2），故选：A．2．复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z=的共轭复数可求．【解答】解：z==，则复数z=的共轭复数是：1+2i．故选：C．3．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则﹣x＜﹣y”的逆命题是“若﹣x＞﹣y，则x＜y”B．若命题P：∀x∈R，x2+1＞0，则￢P：∃x∈R，x2+1＞0C．设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥βD．设x，y∈R，则“（x﹣y）•x2＜0”是“x＜y”的必要而不充分条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】运用命题：若p则q的逆命题：若q则p，即可判断A；由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断B；运用面面平行的判定定理：同垂直于一条直线的两个平面平行，即可判断C；运用充分必要条件的判断，即可判断D．【解答】解：对于A．命题“若x＞y，则﹣x＜﹣y”的逆命题是“若﹣x＜﹣y，则x＞y”，则A 错误；对于B．若命题P：∀x∈R，x2+1＞0，则￢P：∃x∈R，x2+1≤0，则B错误；对于C．设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，由线面垂直的性质定理，垂直于同一直线的两平面平行，则有α∥β，则C正确；对于D．设x，y∈R，“（x﹣y）•x2＜0”可推出“x＜y”，但反之，不成立，比如x=0，则为充分不必要条件，则D错误．故选：C．4．设随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X＞4）=P（X＜0），则μ=（）A．2 B．3 C．9 D．1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意和正态曲线的对称性可得．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（X＞4）=P（X＜0），∴由正态曲线的对称性可得曲线关系x=2对称，故μ=2，故选：A．5．已知，则向量的夹角为（）A． B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入夹角公式计算．【解答】解：∵•（﹣）=﹣=﹣4，∴=﹣4=﹣3．∴cos＜＞===﹣．∴＜＞=．故选：A．6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：函数y=3cos2x=3sin（2x+），把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，可得函数y=3sin[2（x+）+]=3sin（2x+）的图象，故选：D．7．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则fA．﹣2 B．C．2 D．5【考点】函数的周期性．【分析】利用函数的周期性及奇偶性即得f，代入计算即可．【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，∴f，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．8．函数f（x）=3cosx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】由函数解析式判断函数的性质，从而利用排除法求解即可．【解答】解：易知函数f（x）=cosx•ln（x2+1）是偶函数，故排除B、D；ln（x2+1）≥0，cosx有正有负；故排除C；故选：A．9．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选C．10．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3]D．[1，3]【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．【解答】解：∵f（x）=x3ax2+bx+c，∴f′（x）=x2+ax+b∵函数f（x）在区间（﹣1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得极小值，∴f′（x）=x2+ax+b=0在（﹣1，0）和（0，1）内各有一个根，f′（0）＜0，f′（﹣1）＞0，f′（1）＞0即，在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，=1+2×，令m=，其几何意义为区域中任意一点与点（﹣2，﹣1）连线的斜率，分析可得0＜＜1，则1＜＜3∴的取值范围是（1，3）．故选B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填写到答题卡的相应位置.11．已知函数y=2sinx（）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为4π．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】画出函数y=2sinx（）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，相当于由x=，x=π，y=0，y=2围成的矩形面积，即可求出封闭图形的面积．【解答】解析：数形结合，如图所示．y=2sinx的图象与直线y=2围成的封闭平面图形面积相当于由x=，x=π，y=0，y=2围成的矩形面积，即S=4π．故答案：4π12．如图给出的是计算+++…+的值的程序框图，其中判断框内应填入的是i≤2014．【考点】程序框图．【分析】根据流程图写出每次循环i，S的值，和+++…+比较即可确定退出循环的条件，得到答案．【解答】解：根据流程图，可知第1次循环：i=2，S=；第2次循环：i=4，S=；第3次循环：i=6，S=；…第1007次循环：i=2014，S=+++…+；此时，设置条件退出循环，输出S的值．故判断框内可填入i≤2014．故答案为：i≤2014．13．将边长为2的正△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B﹣AD﹣C，则三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为5π．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，由此可得三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，∵长方体的对角线的长为：=，∴球的直径是，半径为，∴三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为：4π×=5π．故答案为：5π14．若多项式，则a9=﹣10．【考点】二项式定理的应用．【分析】先凑成二项式，再利用二项展开式的通项公式求出（x+1）9的系数．【解答】解：x3+x10=x3+[（x+1）﹣1]10，题中a9（x+1）9只是[（x+1）﹣1]10展开式中（x+1）9的系数故a9=C101（﹣1）1=﹣10．故答案为：﹣10．15．已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k=+e2．【考点】函数零点的判定定理．【分析】可化为k=﹣x2+2ex有且只有一个解，再令g（x）=﹣x2+2ex，求导g′（x）=，从而判断函数的单调性及最值，从而解得．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，∴方程﹣x﹣+2e=0有且只有一个解，∴﹣x2﹣k+2ex=0有且只有一个解，即k=﹣x2+2ex有且只有一个解，令g（x）=﹣x2+2ex，g′（x）=，故当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0；故g（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数；而g（e）=﹣e2+2e2=+e2，故k=+e2，故答案为： +e2．三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）16．已知向量，函数．（1）若，求cos2x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用三角恒等变换化简==，从而可得，从而解得；（2）化简可得，从而可得，从而解得．【解答】解：（1）==，∵，∴，，∴，∴==；（2）由得，，∴，∴，∴，故．17．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．（1）求甲获第一名且丙获第二名的概率；（2）设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）甲获第一表示甲胜乙且甲胜丙，这两个事件是相互独立事件，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．丙获第表示丙胜乙，根据对立事件的概率知概率，甲获第一名且丙获第二名的概率根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）由题意知ξ可能取的值为O、3、6，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式，写出变量的概率，写出分布列和期望．【解答】解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，∴甲获第一的概率为丙获第二，则丙胜乙，其概率为∴甲获第一名且丙获第二名的概率为（2）ξ可能取的值为O、3、6甲两场比赛皆输的概率为P（ξ=0）=甲两场只胜一场的概率为甲两场皆胜的概率为∴ξ的期望值是Eξ=+=18．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求二面角E﹣BC﹣A．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，则EF∥DO，F落在BO上，∠EBF=60°，从而四边形DEFO是平行四边形，进而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ABC．（2）以OA，OB，OD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，…又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴EF=DO=，…∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC…（2）以OA，OB，OD为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），设平面BCE的一个法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣3，，1），…∴cos＜＞===，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…19．已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前2n项和T2n．【考点】数列的求和．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出；（II）由题意知，，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设数列{a n}的公差为d，令n=1，得，所以a1a2=3．令n=2，得，所以a2a3=15．解得a1=1，d=2，所以a n=2n﹣1．（II）由题意知，，所以=[﹣（1•2﹣1）+（2•3﹣1）]+[﹣（3•4﹣1）+（4•5﹣1）…+{﹣[2（n﹣1）•2n﹣1]+[2n（2n+2）﹣1]}=4+8…+4n=．20．已知函数f（x）=在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．（I）求函数f（x）的解析式；（II）设g（x）=lnx，当x∈[1，+∞）时，求证：g（x）≥f（x）；（III）已知0＜a＜b，求证：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）将切点横坐标代入切线方程，求出切点，得到关于a，b的等式，求出f（x）的导数，将x=﹣1代入导函数，令得到的值等于切线的斜率﹣1；（II）将要证的不等式变形，构造新函数h（x），求出其导函数，判断出其符号，判断出h （x）的单调性，求出h（x）的最小值，得到要证的不等式；（III）将要证的不等式变形，转化为关于的不等式，利用（II）得到的函数的单调性，得到恒成立的不等式，变形即得到要证的不等式．【解答】解：（Ⅰ）将x=﹣1代入切线方程得y=﹣2，∴f（﹣1）==﹣2，化简得b﹣a=﹣4，f（x）的导数为f′（x）=，f′（﹣1）==﹣1，解得：a=2，b=﹣2．∴f（x）=；（Ⅱ）证明：lnx≥在[1，+∞）上恒成立，即为（x2+1）lnx≥2x﹣2，即x2lnx+lnx﹣2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．设h（x）=x2lnx+lnx﹣2x+2，h′（x）=2xlnx+x+﹣2，∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+≥2，即h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0，∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；（Ⅲ）证明：∵0＜a＜b，∴＞1，由（Ⅱ）知有ln＞，整理得：．∴当0＜a＜b时，．21．已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点M（m，0）是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围；（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设出椭圆的方程，把抛物线方程整理成标准方程，求得焦点的坐标，进而求得椭圆的一个顶点，即b，利用离心率求得a和c关系进而求得a，则椭圆的方程可得．（2）设直线l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），代入椭圆方程，利用韦达定理结合向量的数量积公式，即可求得m的取值范围；（3）确定直线BC的方程，令y=0，结合A，B在l的方程y=k（x﹣2）上，即可求得结论．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），抛物线方程化为x2=4y，其焦点为（0，1）则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1由e==，∴a2=5，所以椭圆C的标准方程为+y2=1；（2）由（1）得F（2，0），则0≤m≤2设直线l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），代入椭圆方程，消去y可得（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=∴y1+y2=k（x1+x2﹣4），y1﹣y2=k（x1﹣x2）∵∴=0∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y2﹣y1）（y1+y2）=0∴=0∴∴∴∴当时，；（3）在x轴上存在一个定点N，使得C、B、N三点共线由题意C（x1，﹣y1），∴直线BC的方程为令y=0，则x=∵A，B在l的方程y=k（x﹣2）上∴y1=k（x1﹣2），y2=k（x2﹣2）∴x====∴在x轴上存在一个定点N（，0），使得C、B、N三点共线．2016年9月30日。

2015-2016学年山东省临沂十九中高三（上）8月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，） C．﹙，3﹚D．（3，+∞）2．下面给出的关系式中正确的个数是（）①•=②•=•③2=||2④（•）=（•）⑤|•|≤•．A．0 B．1 C．2 D．33．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．634．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3C．y=D．y=x|x|5．数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n﹣1，则这个数列一定是（）A．等差数列 B．非等差数列C．常数数列 D．等差数列或常数数列6．设为两不共线的向量，则与共线的条件是（）A．λ=B．λ=C．λ=﹣D．λ=﹣7．f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．9．在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（）A．19 B．﹣14 C．﹣18 D．﹣1910．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．函数f（x）=+的定义域为．12．已知向量=1，=2，⊥（﹣），则向量与的夹角大小是．13．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是．14．当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．15．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2011•云南模拟）已知向量=31﹣22，=41+2，其中1=（1，0），2=（0，1），求：（1）•和|+|的值；（2）与夹角θ的余弦值．17．（12分）（2012•黄州区校级模拟）已知等比数列{a n}中，a2=2，a5=128．（1）求通项a n；（2）若b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=360，求n的值．18．（12分）（2015秋•临沂校级月考）设函数f（x）=sinxcosx+cos2x+a．（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求f（x）的解析式．19．（12分）（2011•云南模拟）将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？20．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．21．（14分）（2012•天津）已知函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g （t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．2015-2016学年山东省临沂十九中高三（上）8月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，） C．﹙，3﹚D．（3，+∞）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合B，然后直接求解A∩B．解答：解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故选：D．点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．2．下面给出的关系式中正确的个数是（）①•=②•=•③2=||2④（•）=（•）⑤|•|≤•．A．0 B．1 C．2 D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：①•=0，即可判断出；②向量的数量积运算满足交换律；③2=||2，不同的记法；④由于与不一定共线，可知（•）=（•）不正确；⑤由向量的数量积的运算性质即可得出．解答：解：①•=0，因此不正确；②•=•，满足交换律，正确；③2=||2，正确；④由于与不一定共线，因此（•）=（•）不正确；⑤由向量的数量积的运算性质即可得出：|•|≤•．综上可得：只有②③⑤正确．故选：D．点评：本题考查了数量积运算及其性质、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和理解能力，属于基础题．3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．解答：解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C．点评：此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础题．4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3C．y=D．y=x|x|考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的定义，导数符号和函数单调性的关系，反比例函数的单调性，二次函数的单调性即可找出正确选项．解答：解：A．该函数不是奇函数，所以该选项错误；B．y′=﹣3x2≤0，所以该函数是减函数，所以该选项错误；C．该函数是反比例函数，该函数在（﹣∞，0），（0，+∞）单调递增，所以在定义域{x|x=0}上不具有单调性，所以该选项错误；D．容易判断该函数是奇函数，，根据二次函数的单调性x2在[0，+∞）是增函数，﹣x2在（﹣∞，0）上是增函数，所以函数y在R上是增函数，所以该选项正确．故选D．点评：考查奇函数的定义，y=﹣x3的单调性，反比例函数的单调性，分段函数的单调性，以及二次函数的单调性．5．数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n﹣1，则这个数列一定是（）A．等差数列 B．非等差数列C．常数数列 D．等差数列或常数数列考点：等差关系的确定．专题：计算题．分析：由已知中数列{a n}的前n项和S n=n2+2n+﹣1，可以根据a n求出数列的通项公式，然后验证数列是否是等差数列，等比数列，得到选项．解答：解：∵S n=n2+2n﹣1，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n﹣1）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣1]=2n+1又∵当n=1时a1=S1=2≠2×1+1故a n=显然，数列不是等差数列，也不是等比数列，故选：B．点评：本题考查的知识点是由前n项和公式，求数列的通项公式，其中掌握a n，及解答此类问题的步骤是关键．6．设为两不共线的向量，则与共线的条件是（）A．λ=B．λ=C．λ=﹣D．λ=﹣考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用共线向量的充要条件化简求解，推出结果即可．解答：解：为两不共线的向量，与共线，可得，1=﹣2k，并且λ=3k，解得k=﹣，λ=﹣．故选：D．点评：不考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．7．f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．解答：解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选B．点评：本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．8．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．解答：解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：B．点评：本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用．9．在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（）A．19 B．﹣14 C．﹣18 D．﹣19考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：根据题中已知条件先求出cosB的值，然后根据向量的求法即可求出答案．解答：解：AB=7，BC=5，AC=6所以cosB===，=|AB|•|BC|•cos（π﹣B）=7×5×（﹣）=﹣19．故选D．点评：本题主要考查了向量在几何中的实际应用，考查了学生的计算能力和对向量的综合掌握，属于基础题．10．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：由y=x2﹣lnx得y′=，由y′≤0即可求得函数y=x2﹣lnx的单调递减区间．解答：解：∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′=，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．函数f（x）=+的定义域为（﹣1，1）∪（1，2]．考点：对数函数的定义域．分析：本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，根据函数的定义为使函数f（x）=+的解析式有意义的自变量x取值范围，我们可以构造关于自变量x 的不等式，解不等式即可得到答案．解答：解：要使函数f（x）=+的解析式有意义，自变量x需满足解得：﹣1＜x＜1或1＜x≤2故答案为：（﹣1，1）∪（1，2]点评：求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．12．已知向量=1，=2，⊥（﹣），则向量与的夹角大小是．考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设向量与的夹角大小是θ，则由题意可得=0，由此求得cosθ的值，即可求得θ的值．解答：解：设向量与的夹角大小是θ，则由题意可得=﹣=1﹣1×2×cosθ=0，解得cosθ=，∴θ=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．13．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是﹣2．考点：程序框图．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出y值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：当x=1时，满足循环条件，此时x=2，y=0当x=2时，满足循环条件，此时x=4，y=﹣1当x=4时，满足循环条件，此时x=8，y=﹣2当x=8时，不满足循环条件，退出循环故输出结果为﹣2故答案为：﹣2点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．考点：三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；压轴题．分析：利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．解答：解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．点评：本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．15．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=±2．考点：函数的图象；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．解答：解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值，∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0，∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故答案为：±2．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2011•云南模拟）已知向量=31﹣22，=41+2，其中1=（1，0），2=（0，1），求：（1）•和|+|的值；（2）与夹角θ的余弦值．考点：平面向量数量积坐标表示的应用；向量的模；平面向量的坐标运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：（1）先根据1=（1，0），2=（0，1）的值表示出向量、，然后根据向量的数量积运算和向量模的运算求出答案．（2）先求出向量、的模，然后根据，将数值代入即可得到答案．解答：解：由已知，向量=31﹣22，=41+2，其中1=（1，0），2=（0，1），∴，（1），．（2）由上得，，∴．点评：本题主要考查向量的模、平面向量的坐标运算、数量积运算．属基础题．17．（12分）（2012•黄州区校级模拟）已知等比数列{a n}中，a2=2，a5=128．（1）求通项a n；（2）若b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=360，求n的值．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：（1）根据等比数列{a n}，设公比为q，根据a2=2，a5=128求出公比，然后根据a n=a2q n ﹣2可求出所求；（2）结合（1）求出数列{b n}的通项公式，然后利用等差数列的求和公式求出S n，根据S n=360建立等式，解关于n的一元二次方程即可．解答：解：（1）设公比为q，由a2=2，a5=128及a5=a2q3得128=2q3，∴q=4∴a n=a2q n﹣2=2•4n﹣2=22n﹣3（6分）（2）∵b n=log222n﹣3=2n﹣3，∴数列{b n}是以﹣1为首项，2为公差的等差数列∴S n=n（﹣1）+=n2﹣2n令n2﹣2n=360得n1=20，n2=﹣18（舍）故n=20为所求．（12分）点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，同时考查了计算能力，属于中档题．18．（12分）（2015秋•临沂校级月考）设函数f（x）=sinxcosx+cos2x+a．（Ⅰ）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求f（x）的解析式．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin（2x+）+a+，易得周期，由2kπ+≤2x+≤2kπ+解不等式可得单调区间；（Ⅱ）由x∈[﹣，]可得﹣≤sin（2x+）≤1，进而由题意可得a的方程，解方程可得a值，可得解析式．解答：解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sinxcosx+cos2x+a=sin2x++a=sin（2x+）+a+，∴函数的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴函数f（x）的最大值与最小值的和为（1+a+）+（﹣+a+）=，解得a=0∴f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+）+点评：本题考查三角函数的公式，涉及三角函数的单调性和最值，属基础题．19．（12分）（2011•云南模拟）将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题．分析：首先列出容积与小正方形的边长的函数关系，建立实际问题的函数模型，利用导数作为工具求解该最值问题．注意自变量的取值范围问题．解答：解：设小正方形的边长为x，则盒底的边长为a﹣2x，由于a﹣2x也要＞0，则x∈（0，），且方盒是以边长为a﹣2x的正方形作底面，高为x的正方体，其体积为V'=（a﹣2x）（a﹣6x），令V'=0，则=，由，且对于，，∴函数V在点x=处取得极大值，由于问题的最大值存在，∴V（）=即为容积的最大值，此时小正方形的边长为．点评：本题考查函数的应用，考查函数模型的工具作用，考查求函数最值的导数思想．体现了实际问题数学化的思想，注意发挥导数的工具作用．20．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根据a2=4b，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．解答：解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：．（2）由题设a2=4b，设则，令h'（x）=0，解得：，；∵a＞0，∴，x （﹣∞，﹣）﹣）h′（x）+ ﹣+h（x）极大值极小值∴原函数在（﹣∞，﹣）单调递增，在单调递减，在）上单调递增①若，即0＜a≤2时，最大值为；②若＜﹣，即2＜a＜6时，最大值为③若﹣1≥﹣时，即a≥6时，最大值为h（﹣）=1综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为；当a∈（2，+∞）时，最大值为．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．21．（14分）（2012•天津）已知函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g （t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，从而可得g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值；②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x﹣a），令f′（x）=0，可得x1=﹣1，x2=a ＞0，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，a） a （a，+）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a）（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，∴，∴，∴0＜a＜∴a的取值范围为；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者由f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[﹣3，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f （t），所以g（t）=f（﹣1）﹣f（t）而f（t）在[﹣3，﹣2]上单调递增，因此f（t）≤f（﹣2）=﹣，所以g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值为②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，下面比较f（﹣1），f（1），f（t），f （t+3）的大小．由f（x）在[﹣2，﹣1]，[1，2]上单调递增，有f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）∵f（1）=f（﹣2）=﹣，f（﹣1）=f（2）=﹣∴M（t）=f（﹣1）=﹣，m（t）=f（1）=﹣∴g（t）=M（t）﹣m（t）=综上，函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值为．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键．。

2015－2016学年上期第一次摸底考试高三数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．己知集合{}1,A y y x x R ∈＝｜＝－，{}|2B x x ＝≥则下列结论正确的是 A ．3A ∈－ B ．3∉B C ．A B B U ＝ D ．A B B ＝I 2．己知2(,)a ib i a b R i+∈＝＋，其中i 为虚数单位，则a ＋b= A ．－1 B ．1 C ．2 D ．33．设随机变量ξ服从正态分布N （3，4），若(23)P a ξ＜－(2)P a ξ＝＞＋，则实数a 的值为A ．73 B ．35 C ．53 D ．754．某程序框图如右图所示，则输出的n 值是 A ． 21 B ．22 C ．23 D ．245．己知函数()ln 4x f x x ＝－，则函数()f x 的零点所在的 区间是 A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4） 6．如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为A ．1e B ．2e C ．22e D ．21e7．若4cos 5θ＝－，θ是第三象限的角，则1tan 21tan2θθ－＋＝ A ．12 B ．12－ C ．35D ．－28．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋≤≥－，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，a ＝A ．14 B ． 12C ．1D ．2 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N ∈＋，且2n a n λ=+，若数列{}n S 在7n ≥时 为递增数列，则实数λ的取值范围为A ．（－15，＋∞）B ．[－15，＋∞）C ．[－16，＋∞）D ．（－16，＋∞）10．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x －＝＋＋＋＋＋，则012345a a a a a a ＋＋＋＋＋等于A ．55B ．－lC ．52D ．52－ 11．“a ＜0”是“函数()(2)f x x x a =-在区间(0)∞，＋上单调递增”的 A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件12．已知一函数满足x ＞0时，有2()()2g x g x x x'－＞，则下列结论一定成立的是 A ．(2)(1)32g g －≤ B ．(2)(1)32g g －＞C ．(2)(1)42g g －＜D ．(2)(1)42g g －≥第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2015-2016学年山东省临沂市重点中学高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，B⊆A，则实数a的取值范围是( )A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞22．复数z=（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是( )A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）3．设a，b是实数，命题“∀ab＞0，都有a＞0，b＞0”的否定是( )A．∃ab≤0，使得a≤0，b≤0 B．∃ab≤0，使得a≤0或b≤0C．∃ab＞0，使得a≤0，b≤0 D．∃ab＞0，使得a≤0或b≤04．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )A．8 B．4 C．1 D．5．函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为( )A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，1]6．已知函数f（x）=sinωx在[﹣，]上是增函数，则实数ω的取值范围是( ) A．[﹣，0）∪（0，3]B．（0，2]C．（0，]D．（0，3]7．已知△ABC中，AB=，AC=2，++=，则•=( ) A．B．C．D．8．等差数列{a n}中，a1=1，a7=﹣23，若数列{}的前n项和为﹣，则n=( ) A．14 B．15 C．16 D．189．已知α是三角形的内角，sin（α+）=，则cos（﹣α）=( )A．B．﹣C．﹣D．10．设x，y满足约束条件，则的取值范围是( ) A．B．C．D．11．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数f（x）的最小正周期为3，且则m的取值范围是( )A．B．C．D．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=ac，则( )A．B=2C B．B=2A C．A=2C D．C=2A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．数列{a n}是公差不为零的等差数列，若a1，a3，a4成等比数列，则公比q=__________．14．曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为__________．15．若将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象关于直线x=对称，则φ的最小值为__________．16．下列结论正确的是__________．（1）函数f（x）=sinx在第一象限是增函数；（2）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件；（3）设，是非零向量，命题“若|•|=||||，则∃t∈R，使得=t”的否命题和逆否命题都是真命题；（4）函数f（x）=2x3﹣3x2，x∈[﹣2，t]（﹣2＜t＜1）的最大值为0．三、解答题：本题共5小题，选做题10分，其它每小题12分，共70分.17．已知命题p：方程x2﹣（2+a）x+2a=0在[﹣1，1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x 使不等式x2+2ax+2a≤0成立，若命题“￢p且q”是真命题，求a的取值范围．18．甲、乙、丙三人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙丙各射击一发子弹，根据以往统计资料知，甲击中9环、10环的概率分别为0.3、0.2，乙中击中9环、10环的概率分别为0.4、0.3，丙击中9环、10环的概率分别为0.6、0.4，设甲、乙、丙射击相互独立，求：（1）丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率；（2）求在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率．19．已知{a n}是公差为正的等差数列，且a3a6=55，a2+a7=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知a n=b1+++…+（n∈N），求数列{b n}的前n项和S n．20．已知△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，记f（θ）=•．（1）求f（θ）关于θ的表达式；（2）求f（θ）的值域及单调区间．21．设直线l：y=kx+1与曲线f（x）=ax2+2x+b+ln（x+1）（a＞0）相切于点P（0，f（0））．（1）求b，k的值；（2）若直线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD=DC，连结AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．[选修4-4；坐标系与参数方程]23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2015-2016学年山东省临沂市重点中学高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，B⊆A，则实数a的取值范围是( )A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】利用条件B⊆A，建立a的不等式关系即可求解．【解答】解：要使B⊆A，则满足a≥2，故选：C．【点评】本题主要考查集合关系的应用，利用数轴是解决此类问题的基本方法．2．复数z=（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是( )A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义以及复数的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵z===1﹣i，∴共轭复数=1+i对应的点为（1，1），故选：A．【点评】本题主要考查复数的几何意义以及复数的基本运算，比较基础．3．设a，b是实数，命题“∀ab＞0，都有a＞0，b＞0”的否定是( )A．∃ab≤0，使得a≤0，b≤0 B．∃ab≤0，使得a≤0或b≤0C．∃ab＞0，使得a≤0，b≤0 D．∃ab＞0，使得a≤0或b≤0【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；对应思想；简易逻辑．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设a，b是实数，命题“∀ab＞0，都有a ＞0，b＞0”的否定是：∃ab＞0，使得a≤0或b≤0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )A．8 B．4 C．1 D．【考点】基本不等式；等比数列的性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．5．函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为( )A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，1]【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．【解答】解：∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，∴只有f（）•f（）＜0，∴函数的零点在区间[，]上．故选C．【点评】本题考查函数零点的存在性判定定理，考查基本初等函数的函数值的求法，是一个基础题，这是一个新加内容，这种题目可以出现在高考题目中．6．已知函数f（x）=sinωx在[﹣，]上是增函数，则实数ω的取值范围是( ) A．[﹣，0）∪（0，3]B．（0，2]C．（0，]D．（0，3]【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得正实数ω满足﹣•ω≥﹣，由此求得ω的范围．【解答】解：由于函数f（x）=sinωx在[﹣，]上是增函数，∴﹣•ω≥﹣，∴ω≤，则实数ω的范围为（0，]，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．7．已知△ABC中，AB=，AC=2，++=，则•=( ) A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】由++=，可得点O为△ABC的重心，不妨取BC=1，则∠ABC=90°，如图所示．利用数量积的坐标运算性质即可得出．【解答】解：由++=，可得点O为△ABC的重心，不妨取BC=1，则∠ABC=90°，如图所示．则A，C（1，0），D，O，=，=（1，0），∴•=．故选：C．【点评】本题考查了数量积的坐标运算性质、三角形的重心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．等差数列{a n}中，a1=1，a7=﹣23，若数列{}的前n项和为﹣，则n=( )A．14 B．15 C．16 D．18【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，利用通项公式可得a n=5﹣4n．可得=，即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a7=﹣23，∴﹣23=1+6d，解得d=﹣4．∴a n=1﹣4（n﹣1）=5﹣4n．∴==，∴数列{}的前n项和=+…+=，令=﹣，则n=14．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知α是三角形的内角，sin（α+）=，则cos（﹣α）=( )A．B．﹣C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件判断α+为钝角，求得cos（α+）的值，再利用cos（﹣α）=﹣cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos[（+α）+]，利用两角和的余弦公式计算求的结果．【解答】解：α是三角形的内角，∵sin（α+）=＜，∴α+为钝角，∴cos（α+）=﹣，则cos（﹣α）=﹣cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos[（+α）+]=﹣cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣（﹣）•+=，故选：D．【点评】本题主要考查利用诱导公式化简三角函数的值，同角三角函数的基本关系，判断α+为钝角，是解题的关键，属于基础题．10．设x，y满足约束条件，则的取值范围是( )A．B．C．D．【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题．【解答】解：由z=，考虑到斜率以及由x，y满足约束条件所确定的可行域，数形结合，由图得当过A（0，4）时，z有最大值11，当过B（3，0）时，z有最小值，所以≤z≤11．故选C．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与（﹣1，﹣1）的斜率．属于线性规划中的延伸题11．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数f（x）的最小正周期为3，且则m的取值范围是( )A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性．【专题】计算题．【分析】先根据周期性可知f（1）=f（﹣2），然后根据奇偶性可知f（﹣2）=﹣f（2），从而可得f（2）＜﹣1，最后解分式不等式即可求出所求．【解答】解：∵若f（x）的最小正周期为3，且f（1）＞1，∴f（1）=f（﹣2）＞1而函数f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣2）=﹣f（2）则f（2）＜﹣1即＜﹣1∴则故选C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性以及分式不等式的解法，是一道综合题，属于基础题．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=ac，则( )A．B=2C B．B=2A C．A=2C D．C=2A【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】利用余弦定理，正弦定理化简已知可得2sinAcosB=sinC﹣sinA，根据三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用解得sin（B﹣A）=sinA，即B﹣A=A或B﹣A=180﹣A，从而可得B=2A．【解答】解：∵cosB====∴2sinAcosB=sinC﹣sinA=sin（A+B）﹣sinA=sinAcosB﹣cosAsinB﹣sinA移项，整理，得sin（B﹣A）=sinA即B﹣A=A或B﹣A=180﹣A所以B=2A 或B=180（舍）．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．数列{a n}是公差不为零的等差数列，若a1，a3，a4成等比数列，则公比q=．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的通项公式和等比数列的性质得a1=﹣4d，由此能求出公比q．【解答】解：∵数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1，a3，a4成等比数列，∴，解得a1=﹣4d，∵d≠0，∴公比q===．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和等比数列的性质的合理运用．14．曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；【解答】解：y′=e x+x•e x+2，y′|x=0=3，∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．故答案为：y=3x+1【点评】本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．15．若将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象关于直线x=对称，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin2（x﹣φ），再由题意结合正弦函数的对称性可得2×﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小值．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=sin2（x﹣φ）的图象，再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2×﹣2φ=kπ+，k∈z，即﹣φ=+，k∈z，即φ=﹣﹣，k∈z，再根据φ＞0，可得φ的最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．16．下列结论正确的是（2）（3）．（1）函数f（x）=sinx在第一象限是增函数；（2）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件；（3）设，是非零向量，命题“若|•|=||||，则∃t∈R，使得=t”的否命题和逆否命题都是真命题；（4）函数f（x）=2x3﹣3x2，x∈[﹣2，t]（﹣2＜t＜1）的最大值为0．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】举例说明（1）错误；利用角的范围结合余弦函数的单调性说明（2）正确；由向量共线的条件判断（3）正确；利用导数求出函数f（x）=2x3﹣3x2，x∈[﹣2，t]（﹣2＜t＜1）的最大值说明（4）错误．【解答】解：对于（1），390°＞60°，但sin390，∴函数f（x）=sinx在第一象限是增函数错误；对于（2），△ABC中，∵0＜A，B＜π，且y=cosx在[0，π]上是减函数，∴“A＞B”是“cosA ＜cosB”的充要条件正确；对于（3），设，是非零向量，若|•|=||||，则共线，∴命题“若|•|=||||，则∃t∈R，使得=t”是真命题，则其逆否命题是真命题；命题“若|•|=||||，则∃t∈R，使得=t”的否命题是“若|•|≠||||，则∀t∈R，≠t”，也是真命题，故（3）是真命题；对于（4），由f（x）=2x3﹣3x2，得f′（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），当x∈[﹣2，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0，原函数为增函数，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，原函数为减函数，∴f（x）=2x3﹣3x2在[﹣2，t]（﹣2＜t＜1）上的最大值为，故（4）错误．故答案为：（2）（3）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的单调性，考查了命题的否命题和逆否命题，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．三、解答题：本题共5小题，选做题10分，其它每小题12分，共70分.17．已知命题p：方程x2﹣（2+a）x+2a=0在[﹣1，1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x 使不等式x2+2ax+2a≤0成立，若命题“￢p且q”是真命题，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假；一元二次不等式．【专题】计算题；判别式法；简易逻辑．【分析】先通过因式分解求出方程x2﹣（2+a）x+2a=0的根，再根据判别式确定不等式x2+2ax+2a≤0有解，最后根据复合命题真假求出a的取值范围．【解答】解：①若命题p为真，由x2﹣（2+a）x+2a=0得（x﹣2）（x﹣a）=0，解得x=2或x=a，又∵方程x2﹣（2+a）x+2a=0，在[﹣1，1]上有且仅有一解，∴﹣≤a≤1．②若命题q为真，即存在实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0∴△=4a2﹣8a≥0解得a≤0或a≥2，因为命题“￢p且q”是真命题，所以，命题p是假命题、命题q是真命题，当命题p为假时，a＜﹣1或a＞1，当命题q为真时，a≤0或a≥2，因此，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．【点评】本题主要考查了复合命题真假的判断，一元二次方程和一元二次不等式的解法，以及集合交集的运算，属于中档题．18．甲、乙、丙三人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙丙各射击一发子弹，根据以往统计资料知，甲击中9环、10环的概率分别为0.3、0.2，乙中击中9环、10环的概率分别为0.4、0.3，丙击中9环、10环的概率分别为0.6、0.4，设甲、乙、丙射击相互独立，求：（1）丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率；（2）求在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率．【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）记在一轮比赛中“丙击中的环数不超过甲击中的环数”为事件A，A包括“丙击中9环且甲击中9或10环”、“丙击中10环且甲击中10环”两个互斥事件，由此能求出丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率．（2）记在一轮比赛中，“甲击中的环数超过丙击中的环数”为事件B，“乙击中的环数超过丙击中的环数”为事件C，则B与C相互独立．由此能求出在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率．【解答】解：已知甲击中9环、10环的概率分别为0.3、0.2，则甲击中8环及其以下环数的概率是0.5，乙击中9环、10环的概率分别为0.4、0.3，则乙击中8环及其以下环数的概率是0.3，丙击中9环、10环的概率分别为0.6、0.4，0.6+0.4=1，则丙击中8环及其以下环数是不可能事件．（1）记在一轮比赛中“丙击中的环数不超过甲击中的环数”为事件A，A包括“丙击中9环且甲击中9或10环”、“丙击中10环且甲击中10环”两个互斥事件，则丙击中的环数不超过甲击中的环数的概率P（A）=0.6（0.3+0.2）+0.4×0.2=0.38．（2）记在一轮比赛中，“甲击中的环数超过丙击中的环数”为事件B，“乙击中的环数超过丙击中的环数”为事件C，则B与C相互独立，且P（B）=0.2×0.6=0.12，P（C）=0.3×0.6=0.18．所以在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率为：P（）P（）=[1﹣P（B）][1﹣P（C）]=0.88×0.82=0.7216．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件的概率和对立事件的概率的计算公式的合理运用．19．已知{a n}是公差为正的等差数列，且a3a6=55，a2+a7=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知a n=b1+++…+（n∈N），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）{a n}是公差d＞0的等差数列，由a3a6=55，a2+a7=16=a3+a6．解得：a3，a6，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用递推关系即可得出b n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵{a n}是公差d＞0的等差数列，∴由a3a6=55，a2+a7=16=a3+a6．解得：a3=5，a6=11，∴，解得a1=1，d=2．a n=2n﹣1．（2）∵a n=b1+++…+（n∈N），=a n=b1+++…（n≥2），∴a n﹣1相减得=2，可得b n=4n﹣2，当n=1时，b1=1，∴b n=，∴n≥2时，S n=1+=2n2﹣1，又n=1时，适合上式．综上所述：S n=2n2﹣1．【点评】本题考查了递推关系、等差数列前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，记f（θ）=•．（1）求f（θ）关于θ的表达式；（2）求f（θ）的值域及单调区间．【考点】正弦定理；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f（θ）的解析式．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（θ）的值域，再利用正弦函数的单调性求得f（θ）的单调区间．【解答】解：（1）△ABC中，|AC|=1，∠ABC=，∠BAC=θ，由正弦定理有：===，求得|BC|=sinθ，|AB|=sin（﹣θ），故f（θ）=•=sin（﹣θ）•sinθ•cos（π﹣）=sin（﹣θ）•sinθ=（cosθ﹣sinθ）sinθ=（sinθcosθ﹣sin2θ）=[sin2θ﹣（1﹣cos2θ）]=sin（2θ+）﹣，0＜θ＜．（2）∵0＜θ＜，∴2θ+∈（，），∴f（θ）的值域为（0，]，当2θ+∈（，），即θ∈（0，）时，f（θ）是增函数；当2θ+∈（，），即θ∈（，）时，f（θ）是减函数，∴f（θ）的递增区间是（0，），递减区间是（，）．【点评】本题主要考查正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．21．设直线l：y=kx+1与曲线f（x）=ax2+2x+b+ln（x+1）（a＞0）相切于点P（0，f（0））．（1）求b，k的值；（2）若直线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求a的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；导数的概念及应用．【分析】（1）根据导数的几何意义，求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，可得b=1，k=﹣1；（2）将切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），求出h'（x），然后讨论a与的大小，研究函数的单调性，求出满足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x+b+ln（x+1）∴f（0）=b，由切线y=kx+1，可得f（0）=1=b，∴f'（x）=，∴f′（0）=﹣1，切点P（0，1），切线l的斜率为k=﹣1；（2）切线l：y=﹣x+1与曲线y=f（x）有且只有一个公共点等价于方程ax2﹣2x+1+ln（x+1）=﹣x+1，即ax2﹣x+ln（x+1）=0有且只有一个实数解．令h（x）=ax2﹣x+ln（x+1），∵h（0）=0，∴方程h（x）=0有一解x=0h'（x）=2ax﹣1+，①若a=，则h'（x）=≥0（x＞﹣1），∴h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；②若0＜a＜，则h′（x）=0两根x1=0，x2=﹣1＞0，在x∈（﹣1，0），（x2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，在（0，x2）时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴h（）＜h（0）=0，而h（）＞0，∴方程h（x）=0在（﹣1，+∞）上还有一解，则h（x）=0解不唯一；③若a＞，则h′（x）=0两根x1=0，x2=﹣1∈（﹣1，0）同理可得方程h（x）=0在（﹣1，﹣1）上还有一解，则h（x）=0解不唯一；综上，当切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点时，a=．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的思想，以及计算能力，属于中档题，综合题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD=DC，连结AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题．【分析】要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．【解答】证明：连接AD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B=∠E（圆周角定理）∴∠E=∠C（等量代换）【点评】本题考查的知识点是圆周角定理，等腰三角形的性质，中垂线的性质，熟练掌握证明角相等的常用方法是解答的关键．[选修4-4；坐标系与参数方程]23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。