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6.2 点估计的评价标准1,总体X U （θ，2θ）是未知参数，又1x ,…..,nx为取自该总体的样本，_x 为样本均值。
（1）证明 θ =23x --是参数θ的无偏估计和相和估计；（2）求θ的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相和估计吗？ 解 （1）总体X U(θ，2θ）,则 2123(),()2nE X Var X θθ==-，从而123()2E x θ=, ()212Var x n θ=于是，E （θ ）=_2()3E x =θ，这说明θ =_23x 是参数θ的无偏估计。
进一步，224()091227Var n nθθθ=⨯=→这就证明了θ也是θ的相和估计。
（2）似然函数为(1)()()(2),1()n nL I x x θθθθ=<<<显然()L θ是θ的减函数，且θ的取值范围为()(1)2n xx θ<<，因而θ的最大似然估计为()2n mlexθ=下求mleθ的均值与方差，由于()n x 的密度函数为1()()n f x n x θθ-=-。
1θ=1()n n nx n θ--，（2x θθ<<）,故2112(1)021()(),1()n n n nnn E xdx t dt n x n x t θθθθθθθ--+==+=+-⎰⎰2221222482()(1)(2)(1)()n n nE dx n n n x n x xθθθθ-++==++-⎰22()(2)(1)n n Var n x n θ=++，从而()121()()22(1)n n E E n n x θθθ+==→→+∞+ ，这说明mleθ不是θ的无偏估计，而是θ的渐进无偏估计。
又22()1()()0()44(2)(1)n n V Var n n x n θθ==→→+∞++， 因而mleθ是θ的相和估计。
2，设123,,x x x 是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值μ的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？（1） 1123111233x x x μ=++ （２） 2123111333x x x μ=++ （３） 3123112663x x x μ=++ 解 先求三统计量的数学期望，1123111111()()()(),236236E E E E x x x μμμμμ=++=++= 2123111111()()()()333333E E E E x x x μμμμμ=++=++= 3123112112()()()()663663E E E E x x x μμμμμ=++=++= 这说明它们都是总体均值μ的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为2σ则222211231111117()()()()4936493618V a r V a r V a r V a r x x x μσσσσ=++=++=222221231111111()()()()9999993Var Var Var Var x x x μσσσσ=++=++=222231231141141()()()()36369363692Var Var Var Var x x x μσσσσ=++=++= 不难看出(1,)(,)L M x L M x += 213()()()Var Var Var μμμ<<。
简述点估计中判别估计量的三个优良标准哎呀，这可是个大问题啊！不过别着急，我来看看怎么解决。
我们得明确什么是点估计中判别估计量的三个优良标准。
简单来说，就是我们在估计一个值的时候，要尽量准确、可靠、简洁。
具体来说呢？1. 准确第一个标准就是准确啦！这个不用多说了吧？我们在估计的时候，尽量要让结果接近真实值。
比如说，我们要估计一下某个班级有多少人，我们可以先看看大概有多少人，然后再根据实际情况进行调整。
如果我们估计的结果和真实值相差太大，那就不能算是准确的估计了。
2. 可靠第二个标准就是可靠啦！这个也很重要哦！我们在估计的时候，要尽量让结果稳定、可信。
比如说，我们要预测明天的天气，不能今天看了一下云层很厚就说是暴雨天，过几天看了一下阳光明媚就说是晴天吧？这样的估计肯定是不可靠的。
我们要做的是根据历史数据、气象知识等多方面因素综合判断，给出一个相对准确的预测结果。
3. 简洁第三个标准就是简洁啦！这个也很关键哦！我们在估计的时候，要尽量用简单的方法、最少的步骤来得到结果。
比如说，我们要计算一个人的体重，不能先让他站上秤，再让他蹲下秤，最后让他跳起来秤三次才能得到结果吧？这样的方法不仅麻烦，而且还容易出错。
我们应该采用一些简便的方法，比如直接称一次或者用公式计算等等。
现在我们已经知道了点估计中判别估计量的三个优良标准：准确、可靠、简洁。
那么接下来怎么办呢？我们可以通过以下几个步骤来进行点估计：1. 收集数据我们需要收集相关的数据。
比如说，我们要估计一个班级有多少人，就需要先调查一下这个班级的学生人数；如果我们要预测明天的天气，就需要查看历史天气数据等等。
只有收集到足够的数据，才能进行后续的分析和估计。
2. 分析数据收集到数据之后，我们需要对这些数据进行分析。
比如说，我们可以统计一下每个学生的身高、体重等信息；或者查看一下过去几天的天气情况等等。
通过分析数据，我们可以得出一些有用的信息和结论。
3. 建立模型根据前面的数据收集和分析过程，我们可以建立一个数学模型来描述这个问题。
6.2点估计的评价标注我们已经看到，点估计有各种不同的求法，为了在不同点估计间进行比较选择，就必须对各种点估计的好坏给出评价标准.数理统计中给出了众多的估计量评价标准，对同一估计量实用不同的评价标准可能会得到完全不同的结论，因此在评价某一个估计好坏时首先要说明是在哪一个标准下，否则所论好坏则毫无意义.但不管怎么说，有一个基本标准时所有的估计都应该满足的，它是衡量一个估计是否可行的必要条件，这就是估计的相合性，我们就从相合性开始。
6.2.1 相合性我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。
但如果我们有足够的观测值，根据格里文科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下：定义6.2.1 设θ∈Θ为未知参数，()12,,,n n n x x x θθ∧∧= 是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个0ε>，有()ˆlim 0nn P θθε→∞->= 则称ˆnθ为参数θ的相合估计。
相合性被认为是对估计的一个最基本的要求，如果一个估计量，在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度，那么这个估计值是很值得怀疑的。
通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑。
证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证。
若把依赖于样本量n 的估计量ˆn θ看作一个随机变量序列，相合性就是ˆnθ依概率收敛于θ，所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质以及各种大数定律。
例6.2.1 设12,,x x 是来自正态总体()2,N μσ的样本，则有辛钦大数定律及依概率收敛的性质知：x 是μ的相合估计；*2s 是2σ相合估计；2s 也是2σ的相合估计。
由此可见参数的相合估计不止一个。
在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。
点估计量的评价标准点估计是统计学中一个重要的概念，它是利用样本数据来估计总体参数的值。
在实际应用中，我们经常需要对总体参数进行估计，而点估计量就是用来估计总体参数的统计量。
在进行点估计时，我们需要对点估计量的表现进行评价，以确保我们得到的估计是准确可靠的。
因此，本文将从偏差、方差和均方误差三个方面对点估计量的评价标准进行详细介绍。
首先，我们来看偏差。
偏差是指估计量的期望值与真实参数值之间的差异。
一个好的点估计量应该是无偏的，即其期望值等于真实参数值。
如果估计量存在偏差，那么它在大量重复抽样的情况下，估计值的平均将会偏离真实参数值。
因此，我们通常会对估计量的偏差进行评价，以确保我们得到的估计是准确的。
其次，方差也是一个重要的评价指标。
方差衡量了估计量的离散程度，即在重复抽样的情况下，估计值的变动程度。
一个好的点估计量应该是具有较小的方差，这意味着在不同的样本中，估计值的变动程度较小，估计结果较为稳定。
因此，我们需要对估计量的方差进行评价，以确保我们得到的估计是稳定可靠的。
最后，我们来看均方误差。
均方误差是衡量估计量的精确程度的指标，它是估计值与真实参数值之间差异的平方的期望值。
一个好的点估计量应该是具有较小的均方误差，这意味着估计值与真实参数值之间的差异较小，估计结果较为精确。
因此，我们需要对估计量的均方误差进行评价，以确保我们得到的估计是精确可靠的。
综上所述，点估计量的评价标准主要包括偏差、方差和均方误差三个方面。
一个好的点估计量应该是无偏的、具有较小的方差和均方误差，这样才能保证估计结果的准确性和可靠性。
因此，在进行点估计时，我们需要对估计量的偏差、方差和均方误差进行综合评价，以确保我们得到的估计是准确、稳定和精确的。
希望本文对点估计量的评价标准有所帮助，谢谢阅读！。
