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估计量的评选标准

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第十八讲 估计量的评选标准及区间估计

第十八讲 估计量的评选标准及区间估计

第十八讲 估计量的评选标准及区间估计1. 估计量的评价标准判断估计量好坏的标准是：有无系统偏差；波动性的大小；伴随样本容量的增大是否是越来越精确，这就是估计的无偏性，有效性和相合性。

（1）无偏性设∧θ是未知参数θ的估计量，则∧θ是一个随机变量，对于不同的样本值就会得到不同的估计值，我们总希望估计值在θ的真实值左右徘徊，即其数学期望恰等于θ的真实值。

定义: 设∧∧=θθ（n X X X ,,,21 ）是未知参数θ的估计量，若)(∧θE 存在，且对Θ∈∀θ有)(∧θE =θ，则称∧θ是θ的无偏估计量，称∧θ具有无偏性。

在科学技术中，)(∧θE -θ称为以∧θ作为θ的估计的系统误差，无偏估计的实际意义就是无系统误差。

例１：设总体X 的k 阶中心矩)(kk X E =μ)1(≥k 存在，),,,(21n X X X 是X 的一个样本，证明：不论X 服从什么分布，∑==n i ki k X n A 11是k μ的无偏估计量。

证明：n X X X ,,21与X 同分布，n i X E X E k k ki ,,2,1)()( ===∴μ第七章 参数估计第3节 估计量的评选标准从上一节得到：对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量，也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，原则上讲，其中任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪一个估计量为好呢？这就涉及到估计量的评价问题。

对定义的理解：设Θ∈θ是总体X 的分布参数，Θ∈∀θ，即服从某一分布形式的任意总体分布，参数θ的估计量∧∧=θθ（,,21X X n X , ）（是简单随机样本的函数）的数学期望都等于θ。

k n i ki k X E n A E μ==∴∑=1)(1)(特别，不论X 服从什么分布，只要)(X E 存在，X 总是)(X E 的无偏估计。

例２：设总体X 的2)(,)(σμ==X D X E 都存在，且02>σ，若2,σμ均为未知，则2σ的估计量∑=-=ni i X X n 122)(1ˆσ是有偏的。

估计量的评选标准

估计量的评选标准
首先讨论如下简单情形：总体 X 的概率密度为
p(x,θ )，g(θ )为待估参数，设 gˆ(X1)为 g(θ) 的
任意无偏估计，考虑
Var(gˆ(X1)) 的下界？
注：积分形式的 Cauchy 不等式：
uvdx 2 u2dx v2dx
1、 Fisher信息量的定义.
设总体 X 的概率函数为 p (x; ), ,且满足一定条件:
ln p(x;) x ln ln x! x!
I ()
E[ d ln
p( X ; )]2 d

E[ X

1]2

E(X )2 2

1

故 1 , nI () n
显然,Var(x) 1 ,
nI ()
所以, x是的有效估计.
例1 设 X1, X2,… Xn 是取自总体 X ~ N( 0,σ2) 的一个 样本，试证：
两者不同!
对于同一个未知参数,用不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题：
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
ˆ( X1,..., Xn ) 越接近 越好！
如何刻画？
例：估计农大12级本科生高数的平均成绩：
方案一：设计一个抽样方案，取200个同学 的高数成绩，计算出他们的平均成绩，作为 真实成绩的估计； 方案二：随便取一个同学的成绩作为真实成 绩的估计。

1 n
Var (ˆ )

1
n
2
Var(ˆ1)
例如 X ~ N( , 2 ) , ( x 1, x 2 ) 是一个样本.
ˆ1

2 3
x1

1 3
x2

7.3估计量的评选标准

7.3估计量的评选标准

第12页
例7 设总体期望为 E( X )= , 方差 D( X )= 2
( X 1 , X 2 ,, X n )
(1)设常数 为总体X 的一个样本。
1 ci i 1,2, , n. n
n
c
i 1
n
i
1.
证明
(2) 证明
ˆ1 ci X i 是 的无偏估计量
i 1
由前面例子 可知,
x0 X 与 n min{X 1 , X 2 , , X n }都
0 为常数
是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？ 2 解 D(X ) , D(n min{ X 1 , X 2 ,, X n }) 2 n
所以, X 比
n min{X1, X 2 ,, X n } 更有效。
k
特别地, 样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的无偏估计量
1 n 2 样本二阶原点矩 A2 X i 是总体二阶 n i 1 2 原点矩 2 E ( X ) 的无偏估计量。
例2 设总体 X 的期望 E( X )与方差 D( X )存在,
第4页
n i 1n 1 2 2 S ( X X ) (2) 是 D( X ) 的无偏估计量。 i n 1 i 1 n 1 n 1 证 (X i X )2 X i2 X 2 n i 1 n i 1
第23页
n 1 1 n 2 2 2 又 B2 ( X i X ) ( X i 2 X i X X ) n i 1 n i 1
1 n 2 X i X 2 A2 X 2 , n i 1
( A2是样本二阶原点矩 )
由大数定律知,
1 n 2 A2 X i 依概率收敛于E ( X 2 ), n i 1 1 n X X i 依概率收敛于E ( X ), n i 1

估计量的三个评价标准

估计量的三个评价标准

估计量的三个评价标准估计量是统计学中非常重要的概念，它在实际应用中有着广泛的用途。

在进行估计量的评价时，我们通常会采用一些评价标准来衡量其优劣，从而选择最适合的估计量。

本文将从三个方面来介绍估计量的评价标准。

首先，我们来看估计量的无偏性。

无偏性是评价估计量优劣的重要标准之一。

一个估计量如果是无偏的，意味着在重复抽样的情况下，其期望值等于被估计的参数真值。

换句话说，无偏估计量不会出现系统性的偏差，能够在一定程度上准确地估计参数的真值。

因此，无偏性是评价估计量优劣的重要标准之一。

其次，我们来讨论估计量的一致性。

一致性是另一个重要的评价标准。

一个估计量如果是一致的，意味着当样本容量趋于无穷大时，估计量收敛于被估计的参数真值。

换句话说，一致估计量能够在大样本情况下稳定地接近参数的真值，具有较高的精确度和可靠性。

因此，一致性也是评价估计量优劣的重要标准之一。

最后，我们来考虑估计量的效率。

效率是评价估计量优劣的另一个重要标准。

一个估计量如果是有效的，意味着在所有无偏估计量中具有最小的方差，能够以最小的误差估计参数的真值。

换句话说，有效估计量具有最佳的精确度和准确性，能够在给定的样本容量下提供最优的估计结果。

因此，效率也是评价估计量优劣的重要标准之一。

综上所述，无偏性、一致性和效率是评价估计量优劣的三个重要标准。

在实际应用中，我们需要综合考虑这三个标准，选择最合适的估计量来进行参数估计。

只有在估计量具有较高的无偏性、一致性和效率时，我们才能够更准确地估计参数的真值，从而得到更可靠的统计推断结果。

因此，在统计学中，对于估计量的评价标准是非常重要的，它直接影响着我们对于总体参数的估计和推断的准确性和可靠性。

7.3 估计量的评选标准

7.3 估计量的评选标准
第三节
估计量的评选标准
一、问题的提出 二、无偏性 三、有效性 四、相合性参数, 对于同一个参数 用不同的估计方法求出的 估计量可能不相同. 估计量可能不相同 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? 对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好 (2)评价估计量的标准是什么? (2)评价估计量的标准是什么? 评价估计量的标准是什么 本节介绍几个常用标准. 本节介绍几个常用标准.
ˆ θ 是 θ 的无偏估计量 .
无偏估计的实际意义: 无系统误差. 无偏估计的实际意义: 无系统误差.
例1 设总体 X 的 k 阶矩 µ k = E ( X k ) ( k ≥ 1)存在 ,
试证明不论 的一个样本， 又设 X 1 , X 2 ,L, X n 是 X 的一个样本，
1 n k 总体服从什么分布 , k 阶样本矩 Ak = ∑ X i 是 n i =1
才能显示出优越性, 这在实际中往往难以做到, 才能显示出优越性, 这在实际中往往难以做到, 因此, 因此, 在工程中往往使用无偏性和有效性这 两个标准. 两个标准.
k 阶总体矩 µ k 的无偏估计 .
证 因为 X 1 , X 2 ,L, X n 与 X 同分布， 同分布， 故有 即
E ( X ik ) = E ( X k ) = µ k ,
i = 1,2,L, n.
1 n k E ( Ak ) = ∑ E ( X i ) = µ k . n i =1
故 k 阶样本矩 Ak 是 k 阶总体矩 µ k 的无偏估计 .
都是 θ 的无偏估计量 ,
ˆ ˆ ˆ ˆ 若有 D(θ1 ) ≤ D(θ 2 ) , 则称 θ1 较 θ 2 有效 .
四、相合性

估计量的评选标准

估计量的评选标准

均为未知, 则 2 的估计量ˆ 2
1n n i1 ( X i
X )2 是有偏
的(即 不 是 无 偏 估 计) .
证明
ˆ 2
1n n i1
X
2 i
X2
A2 X 2 ,
因为 E( A2 ) 2 2 2 , 又因为 E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2 ,
1
e
x 2
x
n11
2 dx
n1
22
1 n
1
2
0
x n1
e 2 x 2 dx
2
n
n 2
2
1
,
E(S)
n
2
1
n
n 2
1
2
,
故 S 不是 的无偏估计量,
n
2
1
n
2
1
n 2
S
是
的无偏估计量.
例4 设总体 X 在 [0, ]上服从均匀分布,参数 0,
0,
0 x ,
其他
所以
E(Xh)
0
x
nx
n1
n dx
n ,
n1
故有
E
n
n
1
X
h
,
故
n
n
1
max(
X1
,
X
2
,,
X
n
)
也是
的
无
偏估
计量.
例5 设总体 X 服从参数为 的指数分布, 概率密度
f
(
x;
)
1
x
e
,
0,
x 0, 其他.

7.2估计量的评选标准

7.2估计量的评选标准

1 n 2 2 {∑[ D( Xi ) + E ( Xi )]− n[ D( X ) + E ( X )]} = n − 1 i =1 2 1 σ 2 2 2 [( nσ + nµ ) − n( = + µ )] n−1 n =σ 2 ⇒S2为σ2的无偏估计量 n n−1 2 1 2 E ( B2 ) = E[ ∑ ( X i − X ) ] = E ( S ) n i =1 n n−1 2 2 σ ≠σ = n ⇒B2不是σ2的无偏估计量
7.2 估计量的评选标准
一、一致性 二、无偏性 三、有效性
有时候同一个参数可以有几种不同的 估计方法,这时就存在采用哪一个估计的问 估计方法 这时就存在采用哪一个估计的问 题. 希望未知参数与它的估计量在某种意 义下最为接近. 义下最为接近.
相合性) 一、一致性(相合性 一致性 相合性
ˆ 当样本容量无 对于一个好的估计量θ ,当样本容量无 限增大时,它的值应趋于稳定在参数 限增大时 它的值应趋于稳定在参数θ的真 值附近,即与 保持一致或相合. 值附近 即与θ保持一致或相合
令E(X)=µ, D(X)=σ2 n n 1 1 E ( X ) = E ( ∑ X i ) = ∑ E ( X i ) =µ n i =1 n i =1 ⇒ X为µ的无偏估计量 n 1 2 2 E ( S ) = E[ ∑(Xi − X ) ] n − 1 i =1 n 1 2 2 E ( ∑ X i − nX ) = n − 1 i =1 n 1 2 2 [∑ E ( X i ) − nE ( X )] = n − 1 i =1
, −∞ −∞<x <+∞, x1,x2,⋅⋅⋅ n是X的n次观察值 试求σ的 ⋅⋅⋅,x 次观察值,试求 ∞ ⋅⋅⋅ 的 次观察值 极大似然估计量.并判断它是否为σ的一 极大似然估计量 并判断它是否为 致估计量. 致估计量 1 n ˆ 解: σ = ∑ | X i | n i =1 1 n 1 n P 由大数定律,有 由大数定律 有 ∑ | X i | → ∑ E | X i | n i =1 n i =1 | x| +∞ 1 −σ e dx E|Xi|=E|X|= ∫− ∞ | x | ⋅ 2σ

第三节 估计量的评选标准

第三节 估计量的评选标准
在本节中, 介绍了评定估计量好坏的三个标 准 :无偏性、有效性 .
n
数理统计
由辛钦定理
若总体 X 的数学期望 E X μ 有限, 则有
Ak

1 n
n i 1
X
k i
P
E(X k )

μk
(k

1, 2,
)
g( A1, A2 , , Ak ) P g( μ1, μ2, , μk )
其中 g 为连续函数 .
数理统计
故
Ak

1 n
因为 E
X

E

1 n
n i1
Xi


1 n
E

n i1
Xi


EX

所以样本均值是总体均值的无偏估计量。
为方便起见，记总体均值为 方差为 2
n
2
n
2
因为
Xi X
Xi X
i 1
i 1


1 n 1

n i1
E

Xi


2

nE
X
2

1 n 1
n

2

n
2
n



2
Xi 与
所以样本方差是总体方差的无偏估计量。
X X
有相同的
~
N

,
2
n
和


2
数理统计
一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 ˆ1和 ˆ2
无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 . 无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 .

估计量的评选标准

估计量的评选标准

估计量的评选标准估计量是指对未知数或未知参数的估计值，它是统计推断的基础，对于估计量的评选标准，是统计学中非常重要的问题。

在实际应用中，我们需要根据一定的标准来评价估计量的好坏，以便选择出最合适的估计量进行推断。

下面将从偏差、精确度和效率三个方面来探讨估计量的评选标准。

首先，偏差是评价估计量优劣的重要指标之一。

偏差是指估计量的期望值与真值之间的差异，如果一个估计量的偏差较小，则说明它是一个较为准确的估计量。

在实际应用中，我们常常希望估计量的偏差能够尽可能地接近于零，这样才能更好地反映出真实情况。

因此，偏差越小的估计量往往被认为是更为可靠的估计量。

其次，精确度也是评价估计量优劣的重要标准之一。

精确度是指估计量的方差，它反映了估计量的稳定性和可靠性。

一个精确度高的估计量意味着它的取值波动较小，对真值的估计更加准确。

因此，我们通常会选择具有较高精确度的估计量进行统计推断，以确保推断结果的可靠性。

最后，效率也是评价估计量优劣的重要指标之一。

效率是指在给定精确度下，估计量所具有的信息量。

一个效率高的估计量意味着它在给定精确度的情况下能够提供更多的信息，从而使得推断结果更加准确。

因此，我们通常会选择具有较高效率的估计量进行统计推断，以获得更加精确的推断结果。

综上所述，偏差、精确度和效率是评价估计量优劣的重要标准，它们相互关联、相互制约。

在实际应用中，我们需要综合考虑这三个方面的指标，选择出最合适的估计量进行统计推断。

希望本文对估计量的评选标准有所帮助，谢谢阅读。

估计量的评选标准

估计量的评选标准

估计量的评选标准
估计量在统计学中扮演着非常重要的角色，它是对未知参数进行估计的数值。

在实际应用中，估计量的准确性和可靠性直接影响到统计结论的正确性。

因此，如何评选一个好的估计量是非常重要的。

下面将从偏差、方差和均方误差三个方面来探讨估计量的评选标准。

首先，偏差是评价估计量优劣的重要指标之一。

偏差是指估计量的期望值与真实参数值之间的差异。

一个好的估计量应当具有较小的偏差，即在重复抽样下，估计量的平均值应当接近于真实参数值。

因此，评选估计量时，需要对其偏差进行严格的评估，选择偏差较小的估计量作为最优估计。

其次，方差也是评选估计量的重要指标。

方差是用来度量估计量的离散程度，即在重复抽样下，估计量的变异程度。

一个好的估计量应当具有较小的方差，即在重复抽样下，估计量的取值应当比较稳定。

因此，评选估计量时，需要对其方差进行严格的评估，选择方差较小的估计量作为最优估计。

最后，均方误差是评价估计量优劣的综合指标。

均方误差是偏
差和方差的平方和，它综合考虑了估计量的偏差和离散程度。

一个好的估计量应当具有较小的均方误差，即在重复抽样下，估计量的预测误差应当较小。

因此，评选估计量时，需要对其均方误差进行严格的评估，选择均方误差较小的估计量作为最优估计。

综上所述，评选估计量的标准应当综合考虑偏差、方差和均方误差三个方面。

一个好的估计量应当在偏差小、方差小和均方误差小的情况下，具有较高的准确性和可靠性。

在实际应用中，需要根据具体问题和数据特点，选择合适的评选标准，以得到最优的估计量。

希望本文对您有所帮助。

6.2 估计量的评选标准

6.2 估计量的评选标准

所以， X 是 的无偏估计量:
ˆ X.
n n 1 2 1 2 2 2 ( X i n X ) . (Xi X ) （2） S n 1 i 1 n 1 i 1
而 E ( X i2 ) D( X i ) [ E ( X i )]2 2 2 , i 1 ,2 , , n . 2 1 n 2 E ( X ) D( X ) [ E ( X )] D( X i ) 2 n i 1 2 1 n 2 1 2 2 2 . 2 D( X i ) 2 n n n i 1 n n 1 2 由此得 2 2 E ( S ) E[ ( X i n X )] n 1 i 1 2 2 1 2 2 2 . [n( ) n( )] n 1 n 所以，S 2 是 2的无偏估计量:
[例1] 设总体 X 的均值 E ( X ) , 方差 D( X ) 2 ,证明:
1 n （1）样本均值 X X i 是总体均值 的无偏估计量； n i 1 n 1 2 2 （2）样本方差 S 2 ( X X ) 是总体方差 的 i n 1 i 1 无偏估计量.
由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏 离程度的度量, 所以无偏估计以方差小者为好.
ˆ1 ( X 1 , X 2 ,, X n )与 ˆ1 ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 设
都是 的无偏估计量 ,
ˆ1 ) D( ˆ2 ) , 则称 ˆ1 较 ˆ2 有效. 若有 D(
体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的一致估计量, 进而若待
估参数 g ( 1 , 2 ,, n ), 其中g 为连续函数 ,

估计量的评选标准

估计量的评选标准
则称T为 的无偏估计，否则称为有偏估计。
整理ppt
3
一．无偏性
渐近无偏估计
设 ( X1, X2, …, Xn )是抽自总体X ~F ( x ; )， 的样本， T = T ( X1, X2, …, Xn ) 是 的一
个估计量， 如果
limE(T)
n
则称 T 是 的渐近无偏估计。
整理ppt
整理ppt
33
五．完备性
求最小方差无偏估计的 Lemann-Scheffe方法 (1)
设 ( X1, X2, …, Xn )是抽自总体 X ~ F ( x ; )， 的样本， 如果 ´ 是 的无偏估计且 D ( ´ ) < ∞，T 是 的充分完备统计量, 则
* = E ( ´ | T ) 是 唯一的最小方差无偏估计量。
则称 F ( x ; ) 是完备分布函数。
完备统计量
设 ( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X ~ F ( x ; )
的样本，如果统计量T＝ T ( X1, X2, …, Xn ) 的分
布函数是完备的，则称整T理p是pt 完备统计量。
32
五．完备性
注记
有关概念、定理可推广到多维情形。
4
一．无偏性
例题 1
样本原 Al 点 n 1 i n 矩 1Xil
总体原点矩 µl = E ( X l )
（1）样本均值 X 是总体均值 = E(X) 的无偏估计。
（2）样本原点矩 A l 是相应的总体原点矩μl 的无偏估计 。
整理ppt
5
一．无偏性
例题 2
（1）样本方差
S2
1 n
n i1
(Xi
+ T 知道后，样本 ( X1, X2, …, Xn ) 中所含 的剩余信息

7.2估计量的评选标准

7.2估计量的评选标准

7.2估计量的评选标准第二节估计量的评选标准对于同一个参数,哪一个估计量较好呢?下面介绍评价估计量优劣的三个标准。

用不同的估计方法得到的估计,有时相同,有时不同.在不同时,一、无偏性由于估计量是样本的函数，因此是一个随机希望估计量的期望等于未知参数的真值!这就是所谓的估计量的无偏性概念。

尽管样本值不同，估计量的取值（估计值）变量。

也不同，估计值与参数的真值可能不同，但是我们定义1是参数q则称为q的无偏设若的估计量,估计量。

例1证明；样本均值是总体均值E(X)=m的无偏估计量.证独立,又∴是总体均值E(X)=m的无偏估计量。

定义1是参数q则称为q的无偏设若的估计量,估计量。

且与总体X同分布，定义1设是参数q的则称为的无偏估计。

可证：是总体方差的无偏估计量。

注意：总体X的方差D(X)的矩估计量不是D(X)的无偏估计。

见书P117。

估计量,若思考题是总体X的样本，判断估计量设是否为总体均值m的无偏估计。

定义1是参数q的估若,则称为q的无偏估计量。

设计量,若为总体X简单随机样本，则（1）相互独立（2）中每一个与X有相同的分布。

2.有效性都是总体均值m的两个无偏估计量.哪个估计量更好一些?我们希望参数q的无偏估计量对q的平均偏差越小越好，注意到即一个好的估计量，设未知参数q有两个无偏估计量即那么如何去判定这两个估计量的好坏呢？应当有尽可能小的方差。

定义2分别是参数q两个则称较有效.设如果及无偏估计量，定义1设是参数q的估若,则称为q的无偏估计量。

计量,例2设是总体X的样本，分别是m的两个估计量,证明比有效。

证是m的两个无偏估计量(由例1得)定义2设是参数q如果两个无偏估计量,则称较有效.及定义1设是参数q的估若,则称为q的无偏估计量。

计量,又∵∴比有效。

3.相合性估计量一个好的估计量应当随着n的增大而愈加精确,因此有定义3设为q的估计量,若对任给的e>0,则称为的相合估计.则称序列{Xn}依概率收敛于a,记作Pa即Pq 定义3设为的估计量,若对任给的则称为的相合估计量.定理1设是q的一个若估计量,则是q的相合估计。

估计量的评选标准

估计量的评选标准

故 的无偏估计量 X 较 nX (1)有效.
ˆ 2X 例6 (续例3) 在 例 3中 已 证 明 1 n1 ˆ 和 2 max{X 1 , X 2 , , X n }都 是的 无 偏 估 n ˆ 较 ˆ 有效 计 量, 现 证 当 n 2时, .
2 1
2 4 ˆ1 ) 4 D( X ) D( X ) , 证明 由于 D( n 3n 2 n 1 n 1 ˆ D( 2 ) D X ( n) DX ( n ) , n n
所以 nX (1) 也是 的无偏估计量.
x0 其它
由以上两例可知,同一个参数可以有不同的无 偏估计量.
无偏性虽然是评价估计量的一个重要标 准,而且在许多场合是合理的, 必要的.然而， 有时对同一个参数可以有多个无偏估，如上 例.这些说明仅有无偏性要求是不够的.于是， 人们又在无偏性的基础上增加了对方差的要 求.若估计量的方差越小,表明该估计量的取 值（即估计值）围绕着待估参数的波动就越 小，也就是更为理想的估计量.为此，引入最 小方差无偏估计。
2 的相合估计量.
六、小结
无偏估计 估计量的评选的三个标准 最小方差无偏估计 相合估计 相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备 相合性的估计量是不予以考虑的. 由最大似然估计法得到的估计量, 在一定条 件下也具有相合性. 估计量的相合性只有当样本 容量相当大时,才能显示出优越性, 这在实际中 往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和 有效性这两个标准.
即 S 2是 2 的无偏估计, 故通常取S 2作 2的估计量.
例3 设总体 X 在 [0, ]上服从均匀分布 , 参数 0,
X 1 , X 2 , L , X n 是来自总体 X 的样本，试证明 2 X 和 n 1 max( X 1 , X 2 , L , X n ) 都是 的无偏估计 . n 证 因为 E ( 2 X ) 2 E ( X ) 2 E ( X ) 2 , 2 所以 2 X 是 的无偏估计量.

概率论与数理统计 7.2 估计量的评选标准

概率论与数理统计 7.2 估计量的评选标准
若 1 比 2有效, 即指在样本容量 n 相同的条件下,
1 的观察值比 2 的更密集在真值 的附近,
也就是 1 比 2 更理想 .
兰州交通大学博文学院 10
例2：设总体 X 的方差存在且大于零, E(X)=μ , 设 (X1 , X2) 是X的一个样本, 则
1 = X 和 2 = X1 均为 的无偏估计量,
总体 X 的均值为 μ , 方差为 σ 2 , 证明:
(1) 样本平均数 X 是 的无偏估计量 ;
(2) 样本方差 S 2是 2的无偏估计量 ,
2 样本方差 Sn 不是 2 的无偏估计量.
解 (1) 由于 E ( X i ) = E ( X ) = , ( i = 1, 2,
, n)


nபைடு நூலகம்
4 2
D(
i 1
n
( X i 0 )2
2
2 4 ) 2 2n n n
兰州交通大学博文学院 17
4
三、相合性: 1、定义7.5:
设 n = n ( X1 , X 2 ,
, X n ) 是 的一个估计量,
若对任何一个 ε > 0 , 有
lim P { n > } = 0 ,
所以 S 2 是 2 的无偏估计量.
n 1 2 由于 E( Sn ) = E ( ( X i X )2 ) n i =1
n1 2 = E S n
n1 = E( S 2 ) n n1 2 = n
2 所以 Sn 不是 2 的无偏估计量. 可是
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2 n 1 2 2 2 = + ( + ) n n 1 i =1 n

§3估计量的评选标准

§3估计量的评选标准
一定是未知参数 的无偏估计．
第 8页
第七章 参数估计
二、有效性 定义：
ˆ ˆ ( X ,, X )， ˆ ˆ ( X ,, X )都是 若 1 1 1 n 2 2 1 n 的无偏估计量, 若 ,
有 D (ˆ1 ) D (ˆ2 ),
且至少对于某一个 , 不等号成立 ,则称 ˆ1较 ˆ2有效. 实际中以方差小者为好．


未知参数
ˆ
由于 1
n
2
2
的最大似然估计为
1 n 2 X i n i 1
i

2
X
i 1

2
X i ~ 2 n i 1
n
2
2 2 2 n Xi 2 2 n ˆ E 因此， E 2 n n i 1 n 1 2 2 ˆ 这表明， X i 是总体方差 2 的无偏估计． n i 1 第 6页总体 X 服从参数为 θ 的指数分布 , 其概率密度为
1 x θ , x 0, e f x θ 其它, 0,
其 中 θ 0 为未知, X1,X2,…,Xn 是取自总体的一个样本 ,
试证 X 和 nZ n min( X 1 , , X n ) 都是参数 θ 的无偏估计量 .
1 n k 因此，样本的 k 阶矩 Ak X i 是总体 的 n i 1 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量．
第12页
第七章 参数估计
§4 区间估计
Ø置信区间与置信水平 Ø置信区间的计算
第13页
第七章 参数估计
ˆ X ， ， X : 在统计推断中，未知参数 的点估计 1 n

评价估计量的三个标准

评价估计量的三个标准

评价估计量的三个标准
评价估计量是统计学中一个重要的概念，它是用来衡量估计量的准确性和可靠性的一种方法。

评价估计量的标准主要有三个：准确性、可靠性和效率。

首先，准确性是指估计量的准确程度，它是衡量估计量的最重要的标准。

准确性可以通过检验估计量的偏差来衡量，偏差越小，准确性越高。

其次，可靠性是指估计量的可靠程度，它是衡量估计量的重要标准。

可靠性可以通过检验估计量的稳定性来衡量，稳定性越高，可靠性越高。

最后，效率是指估计量的效率，它是衡量估计量的重要标准。

效率可以通过检验估计量的计算速度来衡量，计算速度越快，效率越高。

总之，评价估计量的标准主要有三个：准确性、可靠性和效率。

准确性是指估计量的准确程度，可靠性是指估计量的可靠程度，效率是指估计量的效率。

这三个标准是衡量估计量的重要指标，只有当估计量在这三个标准上都达到较高水平时，才能说明估计量是准确可靠的。

6.2估计量的评选标准

6.2估计量的评选标准

Xi
是总体均值
的无偏估计量；
（2）样本方差 S
无偏估计量.
2
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
是总体方差
2
的
证： 因为样本 X1 , X 2 , , X n 相互独立，且与总体 X 服从相同分布，所以有
E( Xi ) , D( Xi ) 2 , i 1,2 ,,n.
由数学期望与方差的性质可知
例如 由第六章第一节知, 样本 k(k 1)阶矩是总
体 X 的k阶矩 k E( X k )的一致估计量, 进而若待 估参数 g(1 , 2 ,, n ), 其中g为连续函数, 则 的矩估计量
ˆ g(ˆ1 , ˆ 2 ,, ˆ n ) g( A1 , A2 ,, An ) 是 的一致估计量.
（1）样本均值 X
1 n
n i1
Xi
是总体均值
的无偏估计量；
（2）样本方差S 2
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
是总体方差
2
的
无偏估计量.
说明：
Hale Waihona Puke 同一个参数的无偏估计不止一个。
样本的二阶中心矩1 n
n i 1
(Xi
X )2是
2的有偏估计。
三、有效性
比较参数 的两个无偏估计量ˆ1 和ˆ2 , 如果 在样本容量n 相同的情况下,ˆ1 的观测值较ˆ2 更 密集，则认为ˆ1 较 ˆ2 为理想 .
一、问题的提出
对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的 估计量可能不相同.
问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 本节介绍几个常用标准.
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存在,
k
为正整数,则
1 n
n i 1
X
k i
为
E(X
k
)
的相合估计量.
证明
对指定的
k
,令 Y
X k ,Yi
X
k i
,则 Y1,Y2 ,
,Yn 相互
独立并与 Y 同分布,且 E(Yi ) E(Y) E(X k ) ,由大数定理知, 对任意 0,有
lim P n
1 n
n
Yi
i 1
E(Y )
样本 k 阶矩 Ak
1 n
n i 1
X
k i
是总体 k 阶矩 k 的
无偏估计量.
证明
X1, X2 , , Xn 与 X 同分布,故有
E
X
k i
E
Xk
k , i 1, 2,
, n.
即有
E Ak
1 n
n i 1
E
Xik
k . 因此,不论总体 X 服从什
么分布,样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的无偏估计量.
n
2
D(Xi )
i 1
n
,
故 X 较 Xi (i 1, 2, , n) 更有效.
3.一致性
定义 6.7 设 X1, X2 , , Xn 为未知参数 的估计
量,若 依概率收敛于 ,即对任意 0, 有
lim
P
1
或
lim
P
0
,
n
n
则称 为 的相合估计量或一致估计量.
例 6.15 设 X1,X2 , ,Xn 是取自总体 X 的样本,且 E( X k )
lim P n
1 n
n i 1
X
k i
E(X k )
1
,
从而,
1 n
n i 1
X
k i
是
E(X
k)
的相合估计量.
谢谢聆听
2.有效性
定义
6.6
设
1
1
X1, X2,
,
Xn
和
2
2
X1,
X2,
, Xn
都是未知参数 的无偏估计量,若
D(1) D( 2 ) ,
则称无偏估计 1 较 2 有效.
例 6.12
设
X1,
X
，
2
,
Xn
是来自均值为
、方差为
2
的 总 体 X 的 样 本 . X , Xi (i 1, 2, , n) 均 为 总 体 均 值
E(X ) 的无偏估计量,问哪一个估计量更有效？ 解 由于 X , Xi (i 1, 2, , n) 为 的无偏估计量,所以
E(Xi ) (i 1, 2, , n), E(X ) ,
但
D(Xi ) 2 (i 1, 2, , n) ,
D(
X
)
D
1 n
n i 1
X
i
1 n2
估计量的评选标准
1.无偏性
定义 6.5 设 X1, X2 , , Xn 是未知参数 的估
计量,若
E( )= ,
则称 为 的无偏估计量.
例 6.9 设总体 X Байду номын сангаас k 阶矩 k E(X k )(k 1) 存在,又
设 X1, X2, , Xn 是 X 的一个样本.试证明不论总体服从
什么分布,