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复变函数积分方法总结精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点?k 并作和式S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)= ∑f (?k )n k −1?z k 记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即?k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f (z )dz c=limδ 0∑f (?k )nk −1?z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c −.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
复变函数积分计算方法总结1、 一般计算方法：()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿有向曲线C 的积分：()CCCf z dz udx vdy i udy vdx =-++⎰⎰⎰若有向光滑曲线C 可以表示为参数方程()()() ()z z t x t iy t t αβ==+≤≤，则：()[()]()Cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2、 柯西积分定理：()f z 在简单闭曲线C 上和内部解析，则：()0Cf z dz =⎰由闭路变形原理可得重要积分：100, 012, 0()n C n dz i n z z π+≠⎧=⎨=-⎩⎰ 可以把各种简单闭路变为圆周进行积分。
3、 柯西积分公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：00()2()f z dz if z z z πΓ=-⎰高阶导数公式：设D 为有界多（单）连域，Γ为其正向边界 条件：()f z 在D 内及其边界Γ上解析，0z 为D 内任意一点 公式：()010()2()()!n n f z i dz f z z z n π+Γ=-⎰ 联系：柯西积分公式是高阶导数公式的特殊情况，高阶导数公式是柯西积分公式的推广。
4、 用洛朗级数展开式的-1次项系数计算积分00101()()() (r<) 2()n n n n C n f z f z c z z z z R c dz iz z π∞+=-∞=--<=-∑⎰，其中：其中C 为环域内任意围绕0z 的正向简单闭路。
当1n =-时，-1次项的系数为11()2Cc f z dz iπ-=⎰，因此1()2Cf z dz ic π-=⎰5、 用留数计算复积分 函数()f z 在点0z 的留数定义为:01Re [(),]()2Cs f z z f z dz iπ=⎰，即洛朗级数展开式中-1次项的系数。
一．复变函数积分计算方法：
1． 线积分法，udy vdx i vdy udx z f c c c ++-=⎰⎰⎰
)( 2． 参数方程法，就是将积分线段分成几段，每一段尽可能简单，并且可以用一个参数式表达出来。
参考课本37页例3.1（2） 3． 原函数法，要用此方法必须保证函数f(z)在单连通区域D 内解析，求出f(z)的原函数G
（z ），则)z ()z ()(00G G dt t f z z -=⎰
4． 柯西积分公式，)z (2z -z z)(00
if dz f c π=⎰，用这种方法的关键是找出函数)z (f ，有时候要进行一些变形。
二．课本难点
课本47页例3.10（2） 他在解答过程中，有一步是令2)z ()z (i e f z +=，开始看的时候很难看明白是为什么，后来细心一想，原来他用了一个很巧妙的变换：
2
2222)()z /()])(z [()1z (111i z i e i z i e dz e z c z c z c -+=-+=+⎰⎰⎰ 这样就可以凑成柯西积分公式的形式，令2)z ()z (i e f z +=，就可以轻松使用柯西积分公式求出答案。
作业题很多都要用到这个技巧。
三．错误更正
课本55页作业6（3）的答案是i e π，课本答案e π是错误的。
四．规律总结
在做作业过程中，我找到以下两个公式：
ishz iz =sin
ithz iz =tan
特别是z=1的时候，有sini=ish1,tani=ith1
上面的公式根据定义就可以证明。
复变函数积分方法总结The final revision was on November 23, 2020复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θθ称为主值 -π＜θ≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点k 并作和式S n =∑f(k )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(k )nk−1z k 记z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k≤n {S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即k 的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(k )nk−1z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0. ∵f(z)=1 S n =∑f(k)nk−1(z k -z k-1)=b-a∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.(2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c存在，设k =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设k =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数与积分变换总结第一章小结一、复数及运算1.复数及代数运算2复数的几何表示复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积商的模等于模的积商，幅角等于幅角和差；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便二、复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域三、复变函数1.对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法1参考一元实变函数的研究方法在0连续，且f00，证明必存在0的一个邻域，使得在此邻域内f0f02证明：设imff0，则对任意的0,存在0使得当0时ff0f02f02,因此f0ff02,所以f02转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤1证明复数模的不等式关键步骤：1证明原不等式两端平方后的不等式2利用22.确定平面曲线的复数方程关键步骤：转化为求,满足的方程3确定复数方程对应图形关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于,的方程；转化为关于r,将平面上的图形映到w平面上的图形关键步骤：1写出wf对应的两个二元实变函数2的极限及连续性关键步骤：1将wf看成一些简单函数的运算2通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性3利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性扩展阅读：复变函数与积分变换重要知识点归纳复变函数复习重点一复数的概念1.复数的概念：i，,是实数,Re,Imi21注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2复数的表示1）模：22；2）幅角：在0时，矢量与轴正向的夹角，记为Arg（多值函数）；主值arg是位于,]中的幅角。
3）arg与arctan之间的关系如下：；当0,argarctan0,argarctan当0,0,argarctan；4）三角表示：coiin，其中arg；注：中间一定是“”号。
第一章小结一、 复数及运算1. 复数及代数运算2. 复数的几何表示复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积(商)的模等于模的积(商)，幅角等于幅角和(差)；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便 二、 复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域 三、复变函数1. 对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法 (1). 参考一元实变函数的研究方法例. 设函数()f z 在0z 连续，且0()0f z ≠，证明必存在0z 的一个邻域，使得在此邻域内()0f z ≠证明：设00lim ()()z z f z f z →=，则对任意的0(),2f z ε=存在0δ>使得当0z z δ-<时00()()(),2f z f z f z -<因此 00()()(),2f z f z f z -<所以 0()()0.2f z f z >>(2). 转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论 四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤 1. 证明复数模的不等式 关键步骤：(1). 证明原不等式两端平方后的不等式 (2). 利用2zz z =2. 确定平面曲线的复数方程关键步骤：转化为求,x y 满足的方程 3. 确定复数方程对应图形关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于,x y 的方程；转化为关于,r θ的方程 4. 确定映射()w f z =将z 平面上的图形映到w 平面上的图形 关键步骤：(1). 写出()w f z =对应的两个二元实变函数(2). 利用z平面上的图形对应的方程将二元实变函数中的两个变量用同一个变量表示5. 讨论复变函数()=的极限及连续性w f z关键步骤：(1). 将()=看成一些简单函数的运算w f z(2). 通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性(3). 利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性。
复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ θ称为主值 -π＜θ≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e iθ=cos θ+isin θ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k ≤n {S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即k 的∫f (z )dz c=limδ 0∑f (?k )nk −1z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c −.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)=b-a∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.(2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1) 有可设k =z k ，则∑2= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
所以S n = (∑1+∑2)= ∑k −1n z k (z k 2−z k −12)=b 2-a2∴ ∫2zdz c=b 2-a 2定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入∫f (z )dz c 得： ∫f (z )dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β)∫f (z )dz c =∫f (z (t ))z (t )dt βα参数方程书写：z=z 0+(z 1-z 0)t （0≤t ≤1）；z=z 0+re i θ，(0≤θ≤2π)例题1： ∫z 2dz 3+i 0积分路线是原点到3+i 的直线段解：参数方程 z=（3+i ）t∫z 2dz 3+i 0=∫[(3+i )t ]2[(3+i )t ]′dt 1=(3+i)3∫t 2dt 1=6+263i例题2： 沿曲线y=x 2计算∫（x 2+iy）dz 1+i解： 参数方程 {x =t y =t2 或z=t+it 2(0≤t ≤1) ∫(x 2+iy )dz 1+i0=∫（t 2+it 2）(1+2it )dt 10 =(1+i)[∫(t 2dt )dt 10 + 2i ∫t 3dt 1] =-16+56i定义衍生2 重要积分结果： z=z 0+ re i θ ，(0≤θ≤2π) 由参数法可得：∮dz(z −z 0)n +1c =∫ire iθe i（n +1）θrn +12πd θ=i r n ∫e −inθ1+id θ∮dz(z −z 0)n +1c={2πi n =00 n ≠0例题1：∮dz|z |=1例题2：∮dzz −2|z |=1解： =0 解 =2πi 2.柯西积分定理法：柯西-古萨特定理：若f(z)dz 在单连通区域B 内解析，则对B 内的任意一条封闭曲线有：∮f (z )dz c=0定理2：当f 为单连通B 内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z 0与终点z 1来确定。
闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D 内解析，C 与C 1是D 内两条正向简单闭曲线，C 1在C 的内部，且以复合闭路Γ=C+C 1所围成的多连通区域G 全含于D 则有：∮f (z )dz Γ=∮f (z )dz c+∮f (z )dz c 1=0即∮f (z )dz c=∮f (z )dzc 1推论：∮f (z )dz c=∑∮f (z )dzc kn k =1例题：∮2z −1z 2−zdz cC 为包含0和1的正向简单曲线。
解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交，互不包含的正向曲线c 1和c 2。
∮2z −1z 2−zdz c=∮2z −1z(1−z )dz c1+∮2z −1z(1−z )dzc2=∮1z −1+1zdz c1+∮1z −1+1zdzc2=∮1z −1dz c1+∮1zdz c1+∮1z −1dz c2+∮1zdzc2=0+2πi+2πi+0 =4πi原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理可知，解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关，即∫f (?)c d ? = ∫f (?)z1z 0d ? 这里的z 1和z 0积分的上下限。
当下限z 0固定，让上限z 1在B 内变动，则积分∫f (?)z1zd ?在B 内确定了一个单值函数F(z),即F(z)= ∫f (?)z1z 0d ? 所以有若f(z)在单连通区域B 内解析，则函数F(z)必为B 内的解析函数，且F (z) =f(z).根据定理和可得∫f (k )z 1zd k = F(z 1) - F(z 0). 例题：求∫zcosz 1d k 解： 函数zcosz 在全平面内解析∴∫zcosz 1d k =zsinz |0i -∫sinz 10d k = isin i+cosz |0i =isin i+cos i-1 =i e −1−12i+e −1+12i-1=e -1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。
柯西积分公式法：设B 为以单连通区域，z 0位B 中一点，如f(z)在B 内解析，则函数f (z )z −z 0在z 0不解析，所以在B 内沿围绕z 0的闭曲线C 的积分∫f (z )z −z 0dz c一般不为零。
取z 0位中心，以δ>0为半径的正向圆周|z −z 0|=δ位积分曲线c δ，由于f(z)的连续性，所以∫f (z )z −z 0dz c=∫f (z )z −z 0dz c δ=2πif(z 0)定理：若f(z)在区域D 内解析，C 为D 内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D ，z 0为C 内的任一点，有：f(z 0)=12πi∮f (z )z −zdz例题：1）∮|z |=2）∮z (9−z 2)(z +i )dz |z |=2解：=2π isin z|z=0=0 解： =∮z9−z 2z −(−i )dz |z |=2=2πiz 9−z2|z=-i=π5解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数，它的n 阶导数为f (n)(z 0)=n !2πi∮f (z )(z −z 0)n +1dz(n=1,2…)其中C 为f(z)的解析区域D 内围绕z 0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.例题：∮e z z5dz cC:|Z |=1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2πi ?14!(e z )(4)|z=π2=πi 123.解析函数与调和函数：定义：（1）调和函数：如果二元实函数φ(x,y)在区域D 内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：?2φ?x 2+?2φ?y 2=0，则称φ(x,y)为区域D 内的调和函数。
若f(z)=u+iv 为解析函数，则u 和v 都是调和函数，反之不一定正确（2）共轭调和函数:u(x ，y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv 在D 内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。
若v 是u 的共轭调和函数，则-u 是v 的共轭调和函数关系：任何在区域D 内解析的函数，它的实部和虚部都是D 内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。
求解方法：（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R 方程先求得v 的偏导数?u ?x=?v ?y，两边对y积分得v=∫?u ?xdy +g (x ).再由?u ?y=−?v ?x又得??x∫?v ?xdy +g (x)=- ?u?y从而g (x )=∫[−?u ?y−??x∫?u?x dy ]dx + Cv=∫?u ?xdy + ∫[−?u ?y−??x∫?u?x dy ]dx + C 同理可由v(x,y)求u(x,y).不定积分法：因为f (z)=U x +i V x = U x -iU y = V y +iV X 所以f(z)=∫U (z )dz +c f(z)=∫V (z )dz +c 线积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=?v?xdx+?v?ydy=-?u?ydx+∫?u?xdy故虚部为v=∫−?u?y dx+（x，y）（x0，y0，）?u?xdy+C该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解：利用C-R条件?u ?x =2x+y?u?y=-2y+x?2u?x2=2?2u?y2=-2所以满足拉普拉斯方程，有?v ?x =−?u?y=2y-x?v?y=?u?x=2x+y所以v=∫(2y−x)dx+φ(y)=2xy- x 22+φ(y)?v?y=2x+φ(y)=2x+yφ(y)=y φ(y)=y 22+cv(x,y)=2xy-x22+y22+cf(z)=u(x,y)+iv(x,y)=12(2-i)z2+iC4.留数求积分：留数定义：设z为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、0<|z −z 0|<δ ,我们把f(z)在z 0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c -1称为f(z)在z 0处的留数，记为Res[f(z),z 0]即Res[f(z),z 0]=c -1或者Res[f(z),z 0]=12πi ∮f (z )dz cC 为0<|z −z 0|<δ留数定理：设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点z 1z 2…z n,其中z k 表示函数f (z )的孤立奇点 孤立奇点：定义：如果函数k (k )在z 0不解析，但在z 0某个去心邻域0<|z −z 0|<δ内解析，则称z 0为f (z )的孤立奇点。
