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一．复变函数积分计算方法：
1． 线积分法，udy vdx i vdy udx z f c c c ++-=⎰⎰⎰
)( 2． 参数方程法，就是将积分线段分成几段，每一段尽可能简单，并且可以用一个参数式表达出来。
参考课本37页例3.1（2） 3． 原函数法，要用此方法必须保证函数f(z)在单连通区域D 内解析，求出f(z)的原函数G
（z ），则)z ()z ()(00G G dt t f z z -=⎰
4． 柯西积分公式，)z (2z -z z)(00
if dz f c π=⎰，用这种方法的关键是找出函数)z (f ，有时候要进行一些变形。
二．课本难点
课本47页例3.10（2） 他在解答过程中，有一步是令2)z ()z (i e f z +=，开始看的时候很难看明白是为什么，后来细心一想，原来他用了一个很巧妙的变换：
2
2222)()z /()])(z [()1z (111i z i e i z i e dz e z c z c z c -+=-+=+⎰⎰⎰ 这样就可以凑成柯西积分公式的形式，令2)z ()z (i e f z +=，就可以轻松使用柯西积分公式求出答案。
作业题很多都要用到这个技巧。
三．错误更正
课本55页作业6（3）的答案是i e π，课本答案e π是错误的。
四．规律总结
在做作业过程中，我找到以下两个公式：
ishz iz =sin
ithz iz =tan
特别是z=1的时候，有sini=ish1,tani=ith1
上面的公式根据定义就可以证明。
复变函数与积分变换知识点复变函数是数学中极具特色和深刻内涵的一个分支，其理论和应用不仅涉及到数学领域，也伸展至物理、工程、计算机等多个领域。
而积分变换则是复变函数中的一项重要技术，可应用于信号处理、控制系统等领域。
本文将介绍关于复变函数和积分变换的知识点。
1. 复数及其运算复数是一种拓展了实数的数学概念，其具有实部和虚部，记作z = x + yi（其中 x 和 y 均为实数，i 为虚数单位，满足 i² = -1）。
复数的加、减、乘法等运算法则与实数有所区别，例如：（1）加法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z + w = (x + u) + (y + v)i。
（2）减法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z - w = (x - u) + (y - v)i。
（3）乘法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z × w = (xu - yv) + (y u + x v)i。
（4）除法：若 z = x + yi，w = u + vi，则 z ÷ w = (xu + yv)/(u²+ v²) + (y u - x v)/(u² + v²)i。
2. 复变函数的概念复变函数是自变量为复数、因变量为复数的函数。
设 z = x + yi，w = u + vi，则复变函数 f(z) 的定义为： f(z) = u(x,y) + v(x,y)i （其中，u(x,y) 和 v(x,y) 均为实函数）。
复变函数的导数、积分、解析函数等概念与实函数也有所不同，例如：（1）导数：复变函数 f(z) 在点 z0 的导数定义为：f'(z0) = lim (f(z) - f(z0))/(z - z0) （其中，极限是沿着复平面中有向直线逼近 z0 时的极限）（2）积分：复变函数沿着简单曲线γ 的积分（记作∮γ f(z) dz）定义为：∮γ f(z) dz = ∫ab f(γ(t))γ'(t) dt （其中，γ(t) 为参数方程，γ'(t) 为γ(t) 的导数）（3）解析函数：对于复平面上的一个区域 D，若在 D 内的每一点都有导数，则称 f(z) 在 D 内为解析函数。
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。
在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。
积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。
本文将介绍复变函数以及积分变换公式。
一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
复变函数可以看作二元实函数的推广。
在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。
复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。
2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。
3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。
4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。
共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。
5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。
积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。
常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。
2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。
第三章 复数函数的积分重点：1．复变函数的积分的定义与计算方法)dx ()()()1(iay iv u dz z f c c ++=⎰⎰)vd ud ()v (x y i dy udx C ++-=⎰其中f(z)=u(z ，y)+iv(z ，y)(2)若曲线C 的方程为,),()()(βα≤≤+==t t iy t x t z z 则由公式，得dt t y t y t x v t x t y t x u dz z f c a )}()](),([)()](),([{)('-'=⎰⎰β,)}()](),([)()](),([{dt t x t y t x v t y t y t x u i a '+'+⎰β上式右端可以写成dt t y i t x t y t x wt y t x u a )]()()]}[(),([)](),([{'+'+⋅⎰ β dt t t z z a )()]([f ⎰=β因此复变函数的积分可利用公式t )()]([)(t z t z f dz z f a r '=⎰⎰β来进行计算．这是计算复变函数积分的参数方程法．2．柯西定理,0)(=⎰dz z f C 其中，(z)在D 内解析，C 在D 内。
推论1 设函数，(z)在单连通区域D 内解析，则积分dz z f c)(⎰只与曲线C 的起点和终点有关，而与曲线C 无关。
推论2 设闭曲线C 是在单连区域D 的边界，函数，(z)在D 内解析，在C 上连续，则.0)(=⎰dz z f c(1)原函数与不定积分设f(z)是单连通区域D 内的解析函数，则ζζd f x F z x )()(0⎰= 也是D 内的解析函数，且).()(z f z F ='若函数，(z)在区域D 内解析，)(z Φ是，(z)在D 内的一个原函数，21,z z 是D 内的两点，则)()()(1221z z dz z f z z Φ-Φ=⎰(2)柯西定理的推广设D 是由边界曲线---+++=Γn 21C C C C 所围成的多连通区域，，(z)在D 内解析，在r 上连续，则 0)(=⎰Γdz z f若函数f(z)在区域D 内除点0z 外都解析，则它在D 内沿任何一条围绕0z 的正向闭曲线的积分值都相等。
复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要概念，它在数学和物理学等领域中都有着广泛的应用。
复变函数的积分与实变函数的积分有着很大的不同，它涉及到复数域上的积分运算，因此需要特殊的技巧和理论来处理。
本文将从基本概念开始，逐步介绍复变函数的积分，并探讨其在不同领域中的应用。
首先，我们来回顾一下复变函数的基本概念。
复变函数是定义在复数域上的函数，它可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别是实部和虚部。
在复变函数中，我们引入了复数域上的积分运算，即复积分。
复积分的定义是在复平面上对复变函数的积分运算，它可以表示为∫f(z)dz，其中积分路径可以是曲线、环路或者区域。
复积分的计算需要用到复变函数的积分定理，其中最重要的是柯西积分定理和柯西-黎曼积分公式。
柯西积分定理指出，如果在一个简单闭合曲线内部的区域上f(z)是解析的，那么f(z)在这个区域上的积分为0。
柯西-黎曼积分公式则给出了解析函数在闭合曲线上的积分与函数在这个曲线内部的性质之间的关系。
这些定理为复积分的计算提供了重要的工具和方法。
在实际应用中，复变函数的积分在物理学、工程学和数学等领域中都有着广泛的应用。
在物理学中，复变函数的积分可以用来描述电磁场、流体力学和量子力学等问题。
在工程学中，复变函数的积分可以用来解决电路分析、信号处理和控制系统等问题。
在数学中，复变函数的积分可以用来研究解析函数的性质、级数和积分变换等问题。
除了在理论研究中的应用，复变函数的积分在实际计算中也有着重要的作用。
通过复变函数的积分，我们可以求解复杂的积分问题，计算曲线和曲面的长度、面积和体积等。
同时，复变函数的积分还可以用来解决微分方程、积分方程和边界值问题等。
因此，复变函数的积分在数学和物理学等领域中都有着重要的应用价值。
总之，复变函数的积分是复分析中的重要概念，它涉及到复数域上的积分运算，需要特殊的技巧和理论来处理。
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
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就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点?k 并作和式S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)= ∑f (?k )n k −1?z k 记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即?k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f (z )dz c=limδ 0∑f (?k )nk −1?z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c −.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)=b-a∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.(2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则∑2= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
所以S n = (∑1+∑2)= ∑k −1n z k (z k 2−z k −12)=b 2-a2∴ ∫2zdz c=b 2-a 2定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入∫f (z )dz c 得： ∫f (z )dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β)∫f (z )dz c =∫f (z (t ))z (t )dt βα参数方程书写：z=z 0+(z 1-z 0)t （0≤t ≤1）；z=z 0+re i θ，(0≤θ≤2π)例题1： ∫z 2dz 3+i 0积分路线是原点到3+i 的直线段解：参数方程 z=（3+i ）t∫z 2dz 3+i 0=∫[(3+i )t ]2[(3+i )t ]′dt 1=(3+i)3∫t 2dt 1=6+263i例题2： 沿曲线y=x 2计算∫（x 2+iy）dz 1+i解： 参数方程 {x =ty =t 2 或z=t+it 2 (0≤t ≤1)∫(x 2+iy )dz 1+i 0=∫（t 2+it 2）(1+2it )dt 1=(1+i)[∫(t 2dt )dt 10 + 2i ∫t 3dt 1] =-16+56i 定义衍生2 重要积分结果： z=z 0+ re i θ ，(0≤θ≤2π) 由参数法可得：∮dz (z −z 0)n +1c =∫ire iθei（n +1）θrn +12π0d θ=irn ∫e −inθ1+i 0d θ∮dz(z −z 0)n +1c={2πi n =00 n ≠0例题1：∮dzz −2|z |=1例题2：∮dzz −12|z |=1解： =0 解 =2πi 2.柯西积分定理法：柯西-古萨特定理：若f(z)dz 在单连通区域B 内解析，则对B 内的任意一条封闭曲线有：∮f (z )dz c=0定理2：当f 为单连通B 内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z 0与终点z 1来确定。
闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D 内解析，C 与C 1是D 内两条正向简单闭曲线，C 1在C 的内部，且以复合闭路Γ=C+C 1所围成的多连通区域G 全含于D 则有：∮f (z )dz Γ=∮f (z )dz c+∮f (z )dz c 1=0即∮f (z )dz c=∮f (z )dzc 1推论：∮f (z )dz c=∑∮f (z )dzc kn k =1例题：∮2z −1z 2−zdz cC 为包含0和1的正向简单曲线。
解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交，互不包含的正向曲线c 1和c 2。
∮2z −1z 2−zdz c=∮2z −1z(1−z )dz c1+∮2z −1z(1−z )dzc2=∮1z −1+1zdz c1+∮1z −1+1zdzc2=∮1z −1dz c1+∮1zdz c1+∮1z −1dz c2+∮1zdzc2=0+2πi+2πi+0 =4πi原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理可知，解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关，即∫f (?)c d ? = ∫f (?)z1z 0d ? 这里的z 1和z 0积分的上下限。
当下限z 0固定，让上限z 1在B 内变动，则积分∫f (?)z1zd ?在B 内确定了一个单值函数F(z),即F(z)= ∫f (?)z1z 0d ? 所以有若f(z)在单连通区域B 内解析，则函数F(z)必为B 内的解析函数，且F (z) =f(z).根据定理和可得∫f (k )z 1zd k = F(z 1) - F(z 0). 例题：求∫zcosz 1d k 解： 函数zcosz 在全平面内解析∴∫zcosz 1d k =zsinz |0i -∫sinz 10d k = isin i+cosz |0i =isin i+cos i-1 =ie −1−12i+e −1+12i-1=e -1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。
柯西积分公式法：设B 为以单连通区域，z 0位B 中一点，如f(z)在B 内解析，则函数f (z )z −z 0在z 0不解析，所以在B 内沿围绕z 0的闭曲线C 的积分∫f (z )z −z 0dz c一般不为零。
取z 0位中心，以δ>0为半径的正向圆周|z −z 0|=δ位积分曲线c δ，由于f(z)的连续性，所以∫f (z )z −z 0dz c=∫f (z )z −z 0dz c δ=2πif(z 0)定理：若f(z)在区域D 内解析，C 为D 内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D ，z 0为C 内的任一点，有：f(z 0)=12πi∮f (z )z −z 0dz例题：1）∮|z |=22）∮z (9−z 2)(z +i )dz |z |=2解：=2π isin z|z=0=0 解： =∮z9−z 2z −(−i )dz |z |=2=2πi z9−z 2|z=-i =π5解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数，它的n 阶导数为f (n)(z 0)=n !2πi∮f (z )(z −z 0)n +1dz(n=1,2…)其中C 为f(z)的解析区域D 内围绕z 0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.例题：∮e zz5dz cC:|Z |=1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2πi ?14!(e z )(4)|z=π2=πi123.解析函数与调和函数：定义：（1）调和函数：如果二元实函数φ(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：?2φ?x2+?2φ?y2=0，则称φ(x,y)为区域D内的调和函数。
若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确（2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。
若v是u的共轭调和函数，则-u是v的共轭调和函数关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。
求解方法：（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数?u?x =?v?y，两边对y积分得v=∫?u?x dy+g(x).再由?u?y=−?v?x又得??x∫?v?xdy+g(x)=-?u?y从而g(x)=∫[−?u?y−? ?x ∫?u?xdy]dx + Cv=∫?u?x dy+ ∫[−?u?y−??x∫?u?xdy]dx + C同理可由v(x,y)求u(x,y).不定积分法：因为f(z)=U x+i V x= U x-iU y= V y+iV X所以f(z)=∫U(z)dz+c f(z)=∫V(z)dz+c线积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R 方程可得的dv=?v?xdx+?v ?ydy=-?u?ydx+∫?u ?xdy 故虚部为v=∫−?u ?ydx +（x，y）（x0，y 0，）?u ?xdy +C该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).例题：设u=x 2-y 2+xy 为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 解：利用C-R 条件?u ?x=2x+y ?u ?y=-2y+x ?2u ?x 2=2?2u ?y 2=-2所以满足拉普拉斯方程，有?v ?x=−?u ?y=2y-x ?v ?y=?u ?x=2x+y所以v=∫(2y −x )dx +φ(y )=2xy- x 22+φ(y )?v ?y=2x+φ(y)=2x+y φ(y)=y φ(y )=y 22+c v(x,y)=2xy- x 22+y 22+cf(z)=u(x,y)+iv(x,y)=12(2-i)z 2+iC 4.留数求积分：留数定义：设z 0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、0<|z −z 0|<δ ,我们把f(z)在z 0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c -1称为f(z)在z 0处的留数，记为Res[f(z),z 0]即Res[f(z),z 0]=c -1或者Res[f(z),z 0]=12πi ∮f (z )dz cC 为0<|z −z 0|<δ留数定理：设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点z 1z 2…z n,其中z k 表示函数f (z )的孤立奇点 孤立奇点：定义：如果函数k (k )在z 0不解析，但在z 0某个去心邻域0<|z −z 0|<δ内解析，则称z 0为f (z )的孤立奇点。
