集合的包含关系

集合和元素的关系集合是数学中的一个基本概念，它是由一些特定元素组成的整体。

集合中的元素可以是任何事物，可以是数字、字母、人、动物等等。

集合和元素之间有着密切的关系，本文将从不同的角度来探讨集合和元素之间的关系。

一、集合包含元素集合是由元素构成的，一个集合可以包含多个元素，也可以只有一个元素。

例如，{1, 2, 3}就是一个包含了三个元素的集合，而{1}则是一个只包含了一个元素的集合。

集合中的元素是无序的，即元素之间没有顺序关系。

二、元素属于集合集合中的元素都属于这个集合，也可以说集合包含了这些元素。

例如，集合{1, 2, 3}中的元素1属于这个集合，元素2也属于这个集合。

元素和集合之间是一种包含关系。

三、集合的元素不重复集合中的元素是互不相同的，即集合中不存在重复的元素。

例如，{1, 2, 2, 3}这个集合中的元素2出现了两次，但在集合中只算一个元素，所以这个集合的元素个数为3个。

四、集合的关系运算集合之间可以进行一系列的关系运算，包括并集、交集、差集和补集等。

这些运算是基于集合和元素之间的关系进行的。

并集是指将两个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A和B的并集为{1, 2, 3, 4, 5}。

交集是指两个集合中共有的元素构成的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A和B的交集为{3}。

差集是指属于一个集合但不属于另一个集合的元素构成的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A和B的差集为{1, 2}，即A中的元素去掉B中的元素。

补集是指全集中除去集合中元素后剩余的元素构成的集合。

补集是相对于全集来说的，全集是包含了所有元素的集合。

例如，全集为{1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2, 3}，则A的补集为{4, 5}。

通过这些关系运算，我们可以对集合和元素进行更加灵活的操作和计算。

集合的包含关系练习题集合的包含关系练习题在数学中，集合是一种基本的概念，它用来描述一组具有共同特征的对象。

而集合的包含关系则是研究集合之间的相互关系的重要内容之一。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对集合包含关系的理解。

1. 练习题一：集合的相等给定两个集合A和B，如果A中的每个元素都属于B，且B中的每个元素都属于A，则称A和B相等。

现在考虑以下情况，请判断集合A和集合B是否相等：- A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4}- A = {a, b, c}，B = {c, b, a}- A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}解答：- A和B不相等，因为B中有一个元素4不属于A。

- A和B相等，因为它们的元素相同，只是顺序不同。

- A和B相等，因为它们的元素相同，只是顺序不同。

2. 练习题二：真子集和超集给定两个集合A和B，如果A中的每个元素都属于B，但B中存在一个元素不属于A，则称A是B的真子集，B是A的超集。

现在考虑以下情况，请判断集合A和集合B的关系：- A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4}- A = {a, b, c}，B = {c, b, a}- A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}解答：- A是B的真子集，B是A的超集，因为A中的每个元素都属于B，但B中有一个元素4不属于A。

- A是B的真子集，B是A的超集，因为A和B的元素相同，只是顺序不同。

- A是B的真子集，B是A的超集，因为A和B的元素相同，只是顺序不同。

3. 练习题三：交集和并集给定两个集合A和B，A与B的交集是由同时属于A和B的元素组成，A与B 的并集是由属于A或B的元素组成。

现在考虑以下情况，请计算集合A和集合B的交集和并集：- A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}- A = {a, b, c}，B = {c, d, e}- A = {1, 2, 3}，B = {4, 5, 6}解答：- A与B的交集为{2, 3}，并集为{1, 2, 3, 4}。

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变式：
M
x
x
k 2
1 4
,k
Z ，N
x
x
k 4
1 2
,k
Z
，
P
x
x
k 4
1 4
,
k
Z
，
则M , N, P的关系为______
反思回顾：解答集合题目,认清集合元素的属性 （是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确 求解的两个先决条件.
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反思回顾：
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感谢您的观看！
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变式二：已知二次函数 f (x) ax2 x有最小值,不等式
f (x) 0的解集为A，设集合 B x x 4 a
若集合B是集合A的子集,求 a 的取值范围.
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课堂总结：
1、集合的基本概念及表示方法 认识集合：一看代表元素 二看元素性质
2、集合间的基本关系 （1）包含关系 ：子集（真子集） （空集之误） （2）相等关系
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二：集合间的基本关系
1.包含关系：
(1)对任意的x∈A，都有x∈B，称集合A为集合B的子集
记作： A B （或 B A ）. 子集的性质： ①A A
AB
②A B, B C 则A C
(2)若A B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x A，
称集合A为集合B的真子集，
记作：______（或______）.
题型二：子集的个数问题：
例1：A x Z 6 x 1，B 3,2,1,0,1,2
则A B的子集有 ____ 个 真子集有 _____ 个

集合的包含关系和运算规则总结一、集合的包含关系1.子集的概念：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。

2.真子集的概念：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合就是另一个集合的真子集。

3.集合的相等：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合相等。

4.集合的并集：两个集合的并集包含这两个集合的所有元素，但元素不重复。

5.集合的交集：两个集合的交集包含这两个集合共有的元素。

6.集合的补集：一个集合的补集是指在全集范围内不属于该集合的元素组成的集合。

7.集合的幂集：一个集合的幂集是指该集合所有子集组成的集合。

二、集合的运算规则1.并集的运算规则：对于任意集合A和B，它们的并集可以表示为A∪B，即包含A和B所有元素的集合。

2.交集的运算规则：对于任意集合A和B，它们的交集可以表示为A∩B，即包含A和B共有元素的集合。

3.补集的运算规则：对于任意集合A和全集U，A的补集可以表示为∁UA，即包含全集U中不属于A的元素的集合。

4.幂集的运算规则：对于任意集合A，A的幂集可以表示为P(A)，即包含A所有子集的集合。

5.集合的笛卡尔积：对于任意两个集合A和B，它们的笛卡尔积可以表示为A×B，即包含所有形式为(a,b)的元素，其中a属于A，b属于B。

6.集合的限制：在实际应用中，集合的元素通常具有一定的限制，如自然数集、整数集、实数集等。

三、集合的应用1.集合在数学中的应用：集合是数学中的基本概念，广泛应用于概率论、图论、拓扑学等领域。

2.集合在计算机科学中的应用：集合是计算机科学中的基本数据结构，用于存储无序且不重复的元素。

3.集合在逻辑推理中的应用：集合论是逻辑推理的基础，用于构建数学归纳法、反证法等推理方法。

4.集合在实际生活中的应用：集合概念在日常生活中也具有重要意义，如对事物进行分类、统计等。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握集合的包含关系和运算规则，了解集合在数学及其它领域中的应用，为深入学习数学和其他学科奠定基础。

元素与集合的关系符号属于关系可以用符号“∈”来表示，意思是一些元素属于一些集合。

例如，若要表达元素x属于集合A，可以写作x∈A。

这表示x是A中的一个元素。

不属于关系可以用符号“∉”来表示，意思是一些元素不属于一些集合。

例如，若要表达元素y不属于集合B，可以写作y∉B。

这表示y不是B中的一个元素。

除了属于关系和不属于关系外，数学中还有其他一些表示元素与集合关系的符号，下面我们一一进行介绍。

1.包含关系包含关系表示一个集合包含另一个集合，记作“⊆”。

若集合A包含集合B，可以写作A⊆B。

这意味着集合A的所有元素都属于集合B。

2.真包含关系真包含关系表示一个集合严格包含另一个集合，记作“⊂”。

若集合A真包含集合B，可以写作A⊂B。

这意味着集合A包含集合B的所有元素，且A与B不相等。

3.不真包含关系不真包含关系表示一个集合不严格包含另一个集合，记作“⊆”。

若集合A不真包含集合B，可以写作A⊆B。

4.并集关系并集关系表示将两个集合中的所有元素合并在一起形成一个新集合，记作“∪”。

若集合A和集合B的并集为集合C，可以写作C=A∪B。

这意味着集合C包含了A和B的所有元素。

5.交集关系交集关系表示两个集合中共有的元素集合，记作“∩”。

若集合A和集合B的交集为集合C，可以写作C=A∩B。

这意味着集合C包含了A和B 共有的元素。

6.补集关系补集关系表示一个集合中不属于另一个集合的元素集合，记作“∁”或“-”。

若集合A与宇集U的补集为集合B，可以写作B=∁A或B=-A。

这意味着集合B包含了所有不属于A的元素。

除了以上介绍的基本关系符号外，还有一些其他表示元素与集合关系的符号，如差集关系、相等关系等。

数学包含关系易错题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学中的包含关系是一个非常基础但也容易混淆的概念，很多学生在这方面容易犯错。

本文将介绍一些关于数学中包含关系的易错题，并给出详细的解析，希望能够帮助读者更好地理解这一概念。

一、集合的包含关系1. 题目：已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,4,6}，判断下列命题的真假：a. A⊆Bb. B⊆Ac. A∩B=∅d. A∪B={1,2,3,4,5,6}解析：a. A⊆B的意思是集合A是集合B的子集，即A中的每一个元素都是B中的元素。

显然，A中包含的元素有1,2,3,4,5，而B中包含的元素有2,4,6，所以A不是B的子集，因此命题a为假。

b. B⊆A的意思是集合B是集合A的子集，即B中的每一个元素都是A中的元素。

因为B中的元素都属于A，所以命题b为真。

c. A∩B表示A和B的交集，即A和B共同拥有的元素。

A和B的交集是{2,4}，所以命题c为假。

d. A∪B表示A和B的并集，即A和B中所有的元素。

A和B的并集是{1,2,3,4,5,6}，所以命题d为真。

2. 题目：如果A和B是两个有限集合，且|A|=4，|B|=5，那么A∩B至少包含几个元素？解析：根据集合的包含关系，A∩B至少包含的元素个数等于A和B的元素个数之和减去A∪B的元素个数。

所以A∩B至少包含的元素个数为|A|+|B|-|A∪B|=4+5-9=0。

所以A∩B至少包含0个元素。

解析：a. 函数f(x)和g(x)的定义域均为实数集，且对于任意实数x，f(x)≥g(x)，所以f(x)⊇g(x)，即f⊃g。

所以命题a为假。

b. 函数f(x)和g(x)的定义域均为实数集，且对于任意非负实数x，f(x)>g(x)，对于负实数x，f(x)g(x)，所以f(x)≠g(x)，即f≠g。

所以命题c为假。

d. f(x)和g(x)的交集为{0,1,2}，因为f(0)=0，f(1)=1，f(2)=4，而g(0)=0，g(1)=2，g(2)=4，所以f(x)和g(x)的交集为{0,1,2}。

集合的运算与关系集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的元素组成的。

在集合中，常常需要对集合进行运算并研究元素之间的关系。

本文将详细介绍集合的运算及其相关的关系，包括并集、交集、差集、补集以及集合的包含关系和等价关系。

一、并集运算并集运算是指将两个或多个集合中的所有元素都放在一起形成的新集合。

用符号∪表示，并集运算的示例如下：A = {1, 2, 3}B = {3, 4, 5}C = A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}二、交集运算交集运算是指寻找两个或多个集合中共有的元素组成的新集合。

用符号∩表示，交集运算的示例如下：A = {1, 2, 3}B = {3, 4, 5}C = A ∩ B = {3}三、差集运算差集运算是指从一个集合中去除另一个集合中所有的元素，剩下的元素组成的新集合。

用符号\表示，差集运算的示例如下：A = {1, 2, 3}B = {3, 4, 5}C = A \ B = {1, 2}四、补集运算补集运算是集合在某个全集中除去自身所有元素所得到的集合。

用符号'表示，补集运算的示例如下：A = {1, 2, 3}U = {1, 2, 3, 4, 5}C = A' = U \ A = {4, 5}五、包含关系在集合中，一个集合包含另一个集合是指被包含的集合的所有元素都包含在包含集合中。

用符号⊆表示，包含关系的示例如下：A = {1, 2, 3}B = {1, 2, 3, 4, 5}A ⊆ B六、等价关系等价关系是指具有自反性、对称性和传递性的关系。

在集合中，等价关系主要用于将集合划分为若干个等价类。

等价关系的示例如下：A = {1, 2, 3}B = {4, 5, 6}C = {7, 8, 9}R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9)}在以上的示例中，A、B和C为集合，R为关系。

高一数学集合间的基本关系(一)高一数学集合间的基本关系1. 包含关系•定义：集合A包含集合B，表示为A ⊃ B。

•解释：如果B中的所有元素都属于A，则称A包含B。

2. 等于关系•定义：集合A等于集合B，表示为A = B。

•解释：如果A和B具有相同的元素，则称A等于B。

3. 不相交关系•定义：集合A与集合B不相交，表示为A ∩ B = ∅。

•解释：如果A和B没有相同的元素，则称A与B不相交。

4. 交集关系•定义：集合A与集合B的交集，表示为A ∩ B。

•解释：集合A与集合B的交集是包含A和B共有元素的新集合。

5. 并集关系•定义：集合A与集合B的并集，表示为A ∪ B。

•解释：集合A与集合B的并集是包含A和B所有元素的新集合。

6. 差集关系•定义：集合A与集合B的差集，表示为A - B。

•解释：集合A与集合B的差集是包含A中但不包含B中元素的新集合。

7. 互斥关系•定义：集合A与集合B互斥，表示为A ∩ B = ∅。

•解释：如果A和B没有相同的元素，则称A与B互斥。

8. 超集关系•定义：集合A是集合B的超集，表示为A ⊇ B。

•解释：如果B中的所有元素都属于A，则称A是B的超集。

9. 子集关系•定义：集合A是集合B的子集，表示为A ⊆ B。

•解释：如果A中的所有元素都属于B，则称A是B的子集。

以上是高一数学集合间的基本关系的简述和解释。

理解这些关系是数学学习的基础，也是解决相关问题的前提。

在实际应用中，通过运用这些集合关系，可以对数据进行分类、比较和分析，进而推导出更深层次的结论。

数学的集合理论对于求解实际问题非常重要。

设 U 是一个集合，A是U的子集，则由U 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中 子集A的补集。U 称为全集 记为
U
CU A
CU A { x | x U , x A }
例: 1、设U=R，A={ x│x-3 > 2}, 求 CU A
2、若A={x|1<x<2} , B={x|x>0} , 求 C R A ，C R B , CBA.
1.1.2 集合的包含关系
子集：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的 元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集．
记作 A B（或 B A ），
读作 “A 包含于 B”（或“B 包含 A”）． 用Venn图表示两个集 合间的“包含”关系
B
A
规定：空集是任意一个集合的子集，也就是说， 对任意集合A，都有 A．
{ 1，2 ，3 }；
B 的真子集是 上述子集中，去掉{ 1，2 ，3 }．
思考：你能找出一般的规律吗?
设 U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
A = {1 , 3 , 5 , 7 } B = { 2 , 4 , 6 , 8 }
A B 用 Venn 图表示的关系是________
小结： 1. 子集、真子集 2. A=B（集合相等）
3.全集与补集
相等的定义：如果两个集合的元素完全相同，那么就 说这两个集合相等 记作 A=B
相等的定义：如果集合A是集合B的子集，且集合B 是集合A的子集，则集合A与集合B相等.
如果 A B 且 BA 则 A=B
A
B
新课
真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且集 合 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 是集合 B 的真子集．

集合关系的表示形式
集合关系通常有以下几种表示形式：
1. 包含关系：表示一个集合是另一个集合的子集，或者两个集合相等。

符号表示为“⊆”或“=”。

例如，A ⊆ B 表示A是B的子集，A = B表示两个集合相等。

2. 互斥关系：表示两个集合没有共同元素，即它们互不包含任何相同的元素。

符号表示为“Φ”，表示空集。

例如，A ∩B = Φ表示A和B没有共同元素。

3. 子集关系：表示一个集合是另一个集合的真子集，或者两个集合相等。

符号表示为“⊂”或“=”。

例如，A ⊆ B 表示A是B的真子集，A = B表示两个集合相等。

4. 元素与集合的关系：表示一个元素属于一个集合，或者不属于一个集合。

符号表示为“∈”或“∉”。

例如，a ∈A 表示a是A中的元素，a ∉A 表示a 不属于A。

这些符号和表示方法可以用来表示各种集合关系，包括子集、相等、互斥、真子集、元素与集合的关系等。

常见集合符号
常见的集合符号有：
1. {}：表示一个集合，如{1, 2, 3}表示包含元素1，2和3的集合。

2. ∅：表示空集，即不包含任何元素的集合。

3. ⊆：表示子集关系，如A ⊆B表示集合A是集合B的子集。

4. ⊂：表示真子集关系，即A ⊂ B表示集合A是集合B的子
集但不等于B。

5. ⊇：表示包含关系，如A ⊇ B表示集合A包含集合B。

6. ⊃：表示真包含关系，即A ⊃ B表示集合A包含集合B但
不等于B。

7. ∪：表示并集，即集合A和集合B的所有元素组成的集合，如A ∪ B。

8. ∩：表示交集，即集合A和集合B共有的元素组成的集合，如A ∩ B。

9. \：表示集合的减法操作，如A \ B表示从集合A中减去集
合B中的元素。

10. |：表示“使得”的意思，如{x | x > 0}表示满足条件x > 0的
元素组成的集合。

11. ∈：表示属于关系，如x ∈ A表示元素x属于集合A。

12. ∋：表示包含关系，即A ∋ x表示集合A包含元素x。

13. ∑：表示求和，如∑(i=1 to n) ai表示从i=1到n的所有ai的和。

14. ∏：表示乘积，如∏(i=1 to n) ai表示从i=1到n的所有ai 的乘积。

这些是常见的集合符号，用于表示集合相关的运算和关系。

集合之间的基本关系知识点：1.“包含”关系—子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个A⊆（或B⊇Ａ）集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；注意：B（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)或若集合A⊆B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。

③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n -1个真子集，2n -1个非空子集，2n -2个非空真子集.一、子集与真子集①包含关系的判断1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A解：“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.3．设集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x是不大于3的自然数}，A⊆C，B⊆C，则集合C 中元素最少有()A．2个B．4个C．5个D．6个解：A＝{－1,1}，B＝{0,1,2,3}，∵A⊆C，B⊆C，∴集合C中必含有A与B的所有元素－1,0,1,2,3，故C中至少有5个元素．11．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________．2.（一星）用适当的符号填空：⑴{1}___2-+={|320}x x x⑵{1,2}___2-+={|320}x x x⑶ {|2,}x x k k =∈N ___{|6,}x x ττ=∈N ⑷ ∅___2{R |20}x x ∈+=答案：（1）⊂；（2）=；（3）⊃；（4）=5.（一星）用适当的符号填空：{}()(){}|2,1,2____,|1x x x y y x =+≤ {|2x x ≤，⑶{}31|,_______|0x x x x x x x⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭R3.（一星）用适当的符号填空： ⑴ ___{0}∅ ⑵ 2___{(1,2)}⑶ 0___2{|250}x x x -+= ⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸ {3,5}___N⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺ {(2,3)}___{(3,2)}23.,___________.(1)3{3};(2)2{3};(3){1}{1,2,3}(4){1}{{1},{2},{1,2}}=≠∈∈（一星）以下表述中正确的有；答案：（2）（4）6.（二星）下列说法中，正确的是（ ） A ．任何一个集合必有两个子集； B ．若,A B =∅则,A B 中至少有一个为∅ C ．任何集合必有一个真子集； D ．若S 为全集，且,A B S =则A B S == 备注：空集、子集概念辨析1.判断下列两个集合之间的关系： （1）=A {}6,3,2,=B {}的约数是12x x ；（2）=A {}1,0，=B {}N y y x x ∈=+,122；（3）=A {}21<<-x x ，=B {}22<<-x x ； （4）=A (){}0,<xy y x ，=B (){}0,0,<>y x y x .2.指出下列各组集合之间的关系：（1）=A {}1,1-，=B ()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1----； （2）=A {}是等边三角形x x ，=B {}是等腰三角形x x ； （3）=M {}*,12N n n x x ∈-=，{}*,12N n n x x N ∈+==.7.{(,)||1||1|0}{(,)|10}_____.A x y x y B x y xy x y （三星）=-+-==--+=集合与集合的包含关系为答案：A B ⊂28.{|12,}{|_________.A x x a a a RB x y ==+-∈==（三星）设集合与集合的包含关系为答案：B A ⊂②空集的概念1.下列四个集合中，是空集的是( )A ．{0}B ．{x |x ＞8且x ＜5}C ．{x ∈N |x 2－1＝0}D ．{x |x ＞4}4.下列集合中是空集的是( )A ．{}332=+x x B ．(){}R y x x y y x ∈-=,,,2C ．{}02≥-xx D ．{}R x x xx ∈=+-,0123.给出下列命题：（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若∅ÜA ，则≠A ∅.其中正确的个数是 个.1.（一星）下列四个命题：①Φ=｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集,其中正确的有（ ）B A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.（二星）若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ） A ．0X ⊆ B ．{}0X ∈ C ．X ∅∈ D ．{}0X ⊆φφφ∈∈==22.（一星）下列关系中正确的是().0.0{0}.0.{0}A B C D答案：B③找规律判断关系1111.|,,|,,6231|,.26n M x x m m Z N x x n Z p P x x p Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭（三星）指出下列集合之间的关系：答案：M N P ⊂=7．设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，求M 和N 关系.二、韦恩图9．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )解：由N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}得，N M ，选B.12.（二星）设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）A BBA AB A BA ．B ．C ．D ．三、已知包含关系求参数范围 ①列举法相关6．集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }；集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C .则满足条件的集合A 的个数是( )A ．8B ．2C ．4D ．1解： ∵A ⊆B ，A ⊆C ，∴集合A 中的元素只能由a 或b 构成．∴这样的集合共有22＝4个．即：A ＝∅，或A ＝{a }，或A ＝{b }或A ＝{a ，b }．4.已知=A {}0822=--∈x x R x ，=B {}08222=--+-∈a a ax x R x ，B A ⊆,求实数a 的取值集合.5.已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且只有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．0,1D ．－1,0,14．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵B ⊆A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C.6.已知集合{}m A ,1,4--=，集合{}5,4-=B ，若A B ⊆,则实数m = .②描述法相关9.（二星）设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______.17．已知A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围．解：∵A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}＝{x |x <－a4}， ∵A ⊇B ，∴－a4≤－1，即a ≥4， 所以a 的取值范围是a ≥4.2110.{|||2},{|1},.2x A x x a B x A B a x -=-<=<⊆+（三星）设若，求实数的取值范围 答案：01a ≤≤1．已知集合M={x|﹣1＜x ＜2}，N={x|x ＜a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ）BA ．（2，+∞）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣1]2.已知集合=A {}21≤≤x x ，=B {}a x x ≤≤1 (1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围．③端点的单独验证1.设集合{2135},{322}A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤，若集合A 是集合B 的真子集，求实数a 的取值范围。

集合间的基本关系总结归纳集合是数学中一个基础的概念，它描述了一组元素的集合体。

而在集合理论中，我们常常需要研究集合之间的基本关系。

本文将对集合之间的基本关系进行总结归纳，包括子集关系、相等关系、交集和并集等。

一、子集关系在集合论中，子集关系是最基本的关系之一。

对于两个集合A、B，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A为B的子集，用符号A⊆B表示。

即A中任意一个元素x，必然存在于B中。

子集关系有以下几个特点：1. 任何集合是其自身的子集，即A⊆A。

2. 空集∅是任意集合的子集，即∅⊆A。

3. 如果A是B的子集，且B是C的子集，则A也是C的子集，即A⊆B且B⊆C，则A⊆C。

二、相等关系相等关系是指两个集合包含的元素完全相同。

当集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集时，称集合A和集合B相等，记作A=B。

相等关系具有以下性质：1. 集合与自身相等，即A=A。

2. 集合相等满足交换律，即A=B等价于B=A。

3. 如果A=B且B=C，则A=C，满足传递性。

三、交集与并集交集是指两个集合中共有的元素构成的集合。

对于集合A和集合B，它们的交集记作A∩B，表示A和B共有的元素。

并集是指两个集合中所有元素的集合。

对于集合A和集合B，它们的并集记作A∪B，表示A和B中所有的元素。

交集和并集具有以下性质：1. 交集满足交换律，即A∩B=B∩A。

2. 并集满足交换律，即A∪B=B∪A。

3. 交集和并集满足结合律，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

4. 交集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

5. 并集满足分配律，即A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

四、包含关系除了子集关系外，还存在一种更为宽松的包含关系。

对于集合A和集合B，如果集合A包含了集合B的所有元素，但并不要求A中的元素全部存在于B中，则称A包含B，用符号A⊇B表示。

包含关系具有以下特点：1. 任何集合包含空集∅，即A⊇∅。

数学数集符号及意思
1. ∪ ：表示并集，即将两个或多个集合合并在一起，包含所有元素。

2. ∩ ：表示交集，即两个或多个集合中共有的元素。

3. ⊆：表示包含关系，即一个集合包含于另一个集合中。

4. ⊂：表示真包含关系，即一个集合是另一个集合的子集，但不等于它。

5. ⊇：表示被包含关系，即一个集合包含其它集合。

6. ⊃：表示真被包含关系，即一个集合是其它集合的子集，但不等于它。

7. ∈ ：表示元素属于某个集合，即该元素属于该集合。

8. ∉：表示元素不属于某个集合，即该元素不属于该集合。

9. ∅：表示空集，即不含任何元素的集合。

10. ℕ：表示自然数集合，即包括0、1、2、3……的集合。

11. ℤ：表示整数集合，即包括0、1、-1、2、-2、3……的集合。

12. ℚ：表示有理数集合，即可以表示为两个整数之商的数的集合。

13. ℝ：表示实数集合，即包括所有实数的集合。

14. C ：表示复数集合，即包括实数和虚数的集合。

四种条件与集合间的包含关系四种条件是指充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件，建立与p 、q 相应的集合，即{}{})(:,)(:x q x B q x p x A p ==四种条件与集合间的包含关系如下：1、 充分必要条件若q q p 但,⇒≠>p ，则p 是q 的充分不必要条件。

从集合间的包含关系看B A ⊄例1 已知)0(012:,102:22>≤-+-≤≤-m m x x q x p ，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。

思路点拨：先求不等式的解集，然后根据充分不必要条件的意义建立不等式组求解即可。

解：102:≤≤-x p 设集合{}102≤≤-=x x A由)0(01222>≤-+-m m x x 得)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x)0(11:>+≤≤-∴m m x m q 设集合{})0(11>+≤≤-=m m x m x B的充分不必要条件是p qA B ⊄∴ ⎩⎨⎧≤+->-⎩⎨⎧<+-≥-∴101211012m 1m m m 或 解得 33<≤m m 或3≤∴m 又0>m所求实数m 的取值范围为30≤<m2、 必要不充分条件若p p q 但,⇒≠>q ，则p 是q 的必要不充分条件。

从集合的包含关系看A B ⊄ 例2 已知0541:,325:2>-+>-x x q x p ，求p 是q 的什么条件？ 思路点拨：先求不等式的解集，然后根据p 、q 相应的集合间的包含关系确定p 是q 的什么条件。

解：由325>-x 得 325325-<->-x x 或511:-<>∴x x p 或 记⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>=511x x x A 或 由032032122>-+>-+x x x x 得 即0)3)(1(>+-x x{}31-<>=∴x x x B 或A B ⊄∴∴P 是q 的必要不充分条件3、 充要条件若p q q p ⇒⇒且,则p 是q 的充要条件。

四种条件与集合间的包含关系四种条件是指充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件，建立与p 、q 相应的集合，即{}{})(:,)(:x q x B q x p x A p ==四种条件与集合间的包含关系如下：1、 充分必要条件若q q p 但,⇒≠>p ，则p 是q 的充分不必要条件。

从集合间的包含关系看B A ⊄例1 已知)0(012:,102:22>≤-+-≤≤-m m x x q x p ，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。

思路点拨：先求不等式的解集，然后根据充分不必要条件的意义建立不等式组求解即可。

解：102:≤≤-x p 设集合{}102≤≤-=x x A由)0(01222>≤-+-m m x x 得)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x)0(11:>+≤≤-∴m m x m q 设集合{})0(11>+≤≤-=m m x m x B的充分不必要条件是p q ΘA B ⊄∴ ⎩⎨⎧≤+->-⎩⎨⎧<+-≥-∴101211012m 1m m m 或 解得 33<≤m m 或3≤∴m 又0>m所求实数m 的取值范围为30≤<m2、 必要不充分条件若p p q 但,⇒≠>q ，则p 是q 的必要不充分条件。

从集合的包含关系看A B ⊄ 例2 已知0541:,325:2>-+>-x x q x p ，求p 是q 的什么条件？ 思路点拨：先求不等式的解集，然后根据p 、q 相应的集合间的包含关系确定p 是q 的什么条件。

解：由325>-x 得 325325-<->-x x 或511:-<>∴x x p 或 记⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>=511x x x A 或 由032032122>-+>-+x x x x 得 即0)3)(1(>+-x x{}31-<>=∴x x x B 或A B ⊄∴∴P 是q 的必要不充分条件3、 充要条件若p q q p ⇒⇒且,则p 是q 的充要条件。

集合的基本关系思维导图集合的基本关系思维导图如下：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合间的关系有“包含”关系——子集、不含任何元素的集合——空集、真子集等。

子集：
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。

符号语言：若任意a∈A，均有a∈B，则A⊆B或B⊇A。

真子集：
如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集。

记作A⊊B （或B⊋A）。

非空真子集：
如果集合A⊊B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集。

全集：
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（通常也把给定的集合称为全集），通常记作U。

空集：
不含任何元素的集合叫做空集。

空集是一切集合的子集。

空集是任何非空集合的真子集。

空集不是无；它是内部没有元素的集合。