第八讲 动态规划与最短路径(3)_538106033

动态规划1．最短路线问题解（1）：将上图该画成下图：记a （1,2）=4，a(1,3)=5，依次类推，表示每个点和值的关系。

逆序递推方程：⎪⎩⎪⎨⎧==+++=0)6(61,2,3,4,5)}1(1),({min )(s f k k s k f k u k s k d k uk s k fAB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 8 7 75845348435 6 2 314 31234 5 6 789 101112134523 6 8 7 7584534 8435 6 2 314 3如图各状态：逆序递推，找出上一个状态到下一阶段的最小路径值。

例如，当K=4时，状态 它们到F 点需经过中途 点E ，需一一分析从E 到 F 的最短路：先说从D1到F 的最短路 有两种选择：经过 E1, E2, 比较最短。

这说明由 D1 到F 的最短距离为7，其路径为AB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1 D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 87 75845348435 62 31 4 3第1阶段 第2阶段 第3阶段 第4阶段 第5阶段状态 1状态 2状态3状态 4状态 5状态 6)}(),(),(),(m in{)(252141511414E f E D d E f E D d D f ++=.7}35,43min{=++=.11F E D →→},,{3214D D D S =a=[0,4,5,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 4,0,inf,2,3,6,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 5,inf,0,inf,8,7,7,inf,inf,inf,inf,inf,inf inf,2,inf,0,inf,inf,inf,5,8,inf,inf,inf,inf inf,3,8,inf,0,inf,inf,4,5,inf,inf,inf,inf inf,6,7,inf,inf,0,inf,inf,3,4,inf,inf,inf inf,inf,7,inf,inf,inf,0,inf,8,4,inf,inf,inf inf,inf,5,4,inf,inf,inf,0,inf,inf,3,5,inf inf,inf,inf,8,5,3,8,inf,0,inf,6,2,inf inf,inf,inf,inf,inf,4,4,inf,inf,0,1,3,inf inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,3,6,1,0,inf,4 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,5,2,3,inf,0,3 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,4,3,0]; s8=min(a(8,11)+a(11,13),a(8,12)+a(12,13)); s9=min(a(9,11)+a(11,13),a(9,12)+a(12,13)); s10=min(a(10,11)+a(11,13),a(10,12)+a(12,13)); s4=min(a(4,8)+s8,a(4,9)+s9); s5=min(a(5,8)+s8,a(5,9)+s9); s6=min(a(6,9)+s9,a(6,10)+s10); s7=min(a(7,9)+s9,a(7,10)+s10); s2=[a(2,4)+s4,a(2,5)+s5,a(2,6)+s6]; s2=min(s2);s3=[a(3,5)+s5,a(3,6)+s6,a(3,7)+s7]; s3=min(s3);s1=min(a(1,2)+s2,a(1,3)+s3)运行结果为：s8 = 7 s9 = 5 s10 = 5 s4 = 12 s5 = 10 s6 = 8 s7 = 9 s2 =13s3 = 15 s1 = 17结果分析：s 表示每个点到终点的最短距离，那么最短路程为17。

最优化计算方法中的动态规划算法电子科技大学微固学院[摘要]本文首先介绍了动态规划的原理思想，然后给出了利用动态规划解决问题的基本步骤，最后文中给出两个例子，利用动态规划算法和matlab软件解决了图论中的最短路径问题和单调递增最长子序列问题。

[关键词]动态规划最短路径递增最长子序列一.引言动态规划算法大约产生于50年代，1951年由美国数学家R.贝尔曼首先提出动态规划的概念，是用来解决多阶段决策过程最优化的一种数学方法。

我们知道，在计算机算法中，当处理的问题规模比较大时，可以利用分治法将大问题分为若干独立子问题，再利用递归法解决这些子问题，最后将子问题合并得到原问题的解。

但是当子问题之间不独立时，分治法将失效，而应当用动态规划算法来解决。

动态规划属于运筹学的分支，也属于最优计算方法的一种。

图论中的最短路径问题可以利用Dijkstra算法来解决，计算出起点到各个点的最短路径以及如何找到最短路径，本文中应用动态规划算法结合matlab软件，同样找到从起点到各个点的最短路径，以及起点到终点的最短搜索路径，并动态表示出来。

在实际生活中，有一些问题可以化归为最短路径问题，如排队买票问题，假设第i位歌迷买一张票需要时间T[i](1<=i<=n),队伍中相邻的两位歌迷（第j 个人和第j+1个人）也可以由其中一个人买两张票，而另一个人就可以不用排队了，则这两位歌迷买两张票的时间变为R[j],且有R[j]<T[j]+T[j+1],这样做就可以缩短后面歌迷的等待时间，加快整个售票的进程。

现在给出 n ，T[j]和R[j],求使每个人都买到票的最短时间和算法。

这可以化归为图1所示最短路径问题：图1第一个人为N，最后一个人为S相当于求出S到N的最短路径，两点之间的连线的权重相当于每个人的买票时间，如D和N之间的连线用来表示N买票的时间，点N和点C之间的连线表示点N这个人买两张票，所以用不着点D买票了，直接就到点C了，依此类推，相当于求点N到点S的最短路径，即动态规划方程，min{DN+min{SD},CN+min{SC}}。

动态规划实现最短路径问题⼀、设计最短路径的动态规划算法 <算法导论>中⼀般将设计动态规划算法归纳为下⾯⼏个步骤： 1）分析最优解的结构 2）递归定义最优解的值 3）⾃底向上计算最优解的值 4）从计算的最优解的值上⾯构建出最优解⼆、最短路径的结构 从最优解的结构开始分析(我们假设没有权值为负的路径),对于图G<V,E>的所有结点对最短路径的问题，我们能知道⼀条最短路径的⼦路径都是最短路径。

假设⽤邻接矩阵W=w(ij)来表⽰输⼊带权图,考虑从结点i到结点j的⼀条最短路径p，如果p最多有m(m为有限值)条边。

若i=j，则p的权值为0⽽且不包含其他边。

若i ≠ j，可以将i到j的路径转换为i -> k、k->j。

三、⼀个给定的图 1）给定⼀个有向图 2）我们可以给出这个有向图的邻接矩阵四、C++实现1 #include <iostream>2 #include<fstream>3 #include<sstream>4 #include<vector>5 #include<string>6using namespace std;7const int Max_Num = 100;89 typedef struct Point {10int n; //点的个数11double p[Max_Num];12double q[Max_Num];13int root[Max_Num][Max_Num];14double w[Max_Num][Max_Num];15double e[Max_Num][Max_Num];16 }Point;1718 vector<Point> points;19 vector<string> res;20 vector<int> num;2122void file_read();23void createPoint();24void optimalBST();25void printRoot(Point P);26void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite);27 template <class Type>28 Type stringToNum(const string& str) {29 istringstream iss(str);30 Type num;31 iss >> num;32 iss.str("");33return num;34 }3536void file_read() {37string str2, str1 = "", result;38 ifstream fileRead("in.dat");39if (fileRead.is_open()) {40while (getline(fileRead, str2, '\n')) {41if (str2.find("") != -1) {42 str1.append(str2 + "");43 }44else {45 num.push_back(stringToNum<int>(str2));46if (str1 != "") {47 res.push_back(str1);48 }49 str1 = "";50 }51 }52 res.push_back(str1);53 fileRead.close();54 }55 }5657void createPoint() {58string temp;59 Point P;60for (int i = 0; i < res.size(); i++) {61 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字62int n = num[i];63 stringstream input(res[i]);64while (input >> temp) {65 temp_str.push_back(temp);66 }67 P.n = n;68for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);69for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]);70 points.push_back(P);71 }72 }7374//根据书上的伪代码：接收概率列表p1....pn和q0.....qn以及规模n作为输⼊计算出e和root75void optimalBST(){76 Point P;77for(int i = 0; i<res.size(); i++) {78 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字79int n = num[i];80string temp;81 stringstream input(res[i]);82while (input >> temp) {83 temp_str.push_back(temp);84 }85 P.n = n;8687for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);88for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]); 8990//初始化只包括虚拟键的⼦树91for (int i = 1;i <= P.n + 1;++i){92 P.w[i][i-1] = P.q[i-1];93 P.e[i][i-1] = P.q[i-1];94 }95//由下到上，由左到右逐步计算96for (int len = 1;len <= P.n;++len){97for (int i = 1;i <= P.n - len + 1;++i){98int j = i + len - 1;99 P.e[i][j] = Max_Num;100 P.w[i][j] = P.w[i][j-1] + P.p[j] + P.q[j];101//求取最⼩代价的⼦树的根102for (int r = i;r <= j;++r)103 {104double temp = P.e[i][r-1] + P.e[r+1][j] + P.w[i][j];105if (temp < P.e[i][j])106 {107 P.e[i][j] = temp;108 P.root[i][j] = r;109 }110 }111 }112 }113 points.push_back(P);114 }115 }116117void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite){118int root_node = P.root[i][j];//⼦树根节点119if (root_node == P.root[1][P.n]){120//输出整棵树的根121 fileWrite << "k" << root_node << "是根" << endl;122 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);123 printOptimalBST(root_node +1 , j, root_node, P, fileWrite);124return;125 }126127if (j < i - 1){128return;129 }else if (j == i - 1){//遇到虚拟键130if (j < r)131 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl;132else133 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl;134return;135 }136else{//遇到内部结点137if (root_node < r)138 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl; 139else140 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl; 141 }142 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);143 printOptimalBST(root_node + 1, j, root_node, P, fileWrite);144 }145146//输出最优⼆叉查找树所有⼦树的根147void printRoot(Point P){148 cout << "各⼦树的根：" << endl;149for (int i = 1;i <= P.n;++i){150for (int j = 1;j <= P.n;++j){151 cout << P.root[i][j] << "";152 }153 cout << endl;154 }155 cout << endl;156 }157158int main(){159 file_read();160 optimalBST();161 ofstream fileWrite("out.dat");162 Point P ;163for(int i = 0; i<points.size(); i++) {164 P = points[i];165 printRoot(P);166 printOptimalBST(1,P.n,-1, P, fileWrite);167 }168 fileWrite.clear();169return0;170 } 上述代码是将给定的邻接矩阵从⽂件中读取 然后根据输⼊的邻接矩阵求出最短路径。

动态规划在最短路径问题中的应用动态规划是一种解决复杂问题的方法，它将问题分解成更小的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高解决问题的效率。

最短路径问题是在图或者网络中找到从起点到终点的最短路径的问题，可以使用动态规划算法来解决。

本文将介绍动态规划在最短路径问题中的应用及其算法实现。

一、最短路径问题在最短路径问题中，我们需要在图或网络中找到从一个节点到另一个节点的最短路径。

最短路径可以通过边的权重来衡量，权重可以表示距离、时间、代价等。

最短路径问题有多种变体，其中最常见的是单源最短路径和全源最短路径。

单源最短路径问题是在给定一个起点的情况下，找到该起点到其他所有节点的最短路径。

最常用的算法是Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。

二、动态规划原理动态规划通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。

它将问题分解成更小的子问题，并使用递推关系来计算子问题的解。

在最短路径问题中，我们可以使用动态规划来计算从起点到每个节点的最短路径。

首先，我们定义一个一维数组dist[]来保存从起点到每个节点的最短路径长度。

初始化时，dist[]的值为无穷大，表示路径长度未知。

然后，我们从起点开始逐步计算每个节点的最短路径长度。

具体的动态规划算法如下：1. 初始化dist[]为无穷大，起点的dist[]为0。

2. 对于每个节点v，按照拓扑顺序进行如下操作：2.1. 对于节点v的所有邻接节点u，如果dist[v] + weight(v, u) < dist[u]，则更新dist[u]。

2.2. 拓扑顺序可以根据节点的拓扑顺序进行计算或者使用深度优先搜索（DFS）算法。

三、算法实现下面是使用动态规划算法解决最短路径问题的示例代码：```// 定义图的邻接矩阵和节点个数int graph[MAX][MAX];int numNodes;// 定义dist[]数组来保存最短路径长度int dist[MAX];// 定义拓扑排序和DFS算法需要的变量bool visited[MAX];stack<int> s;// 动态规划算法求解最短路径void shortestPath(int startNode) {// 初始化dist[]数组为无穷大for (int i = 0; i < numNodes; i++) {dist[i] = INT_MAX;}dist[startNode] = 0;// 拓扑排序或DFS计算每个节点的最短路径长度 for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (!visited[i]) {DFS(i);}}// 输出最短路径长度for (int i = 0; i < numNodes; i++) {cout << "Node " << i << ": " << dist[i] << endl; }}// 深度优先搜索void DFS(int node) {visited[node] = true;for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (graph[node][i] != 0 && !visited[i]) {DFS(i);}}s.push(node);}```以上示例代码演示了使用动态规划算法求解最短路径问题的基本原理和步骤。

最短路径问题的动态规划算法动态规划是一种解决复杂问题的有效算法。

最短路径问题是指在给定的图中找到从起点到终点路径中距离最短的路径。

本文将介绍动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。

1. 最短路径问题简介最短路径问题是图论中的经典问题之一，旨在找到从图中一点到另一点的最短路径。

通常使用距离或权重来衡量路径的长度。

最短路径问题有多种算法可以解决，其中动态规划算法是一种常用且高效的方法。

2. 动态规划算法原理动态规划算法的核心思想是将原问题分解为更小的子问题，并存储已解决子问题的结果，以供后续使用。

通过逐步解决子问题，最终得到原问题的解。

在最短路径问题中，动态规划算法将路径分解为多个子路径，并计算每个子路径的最短距离。

3. 动态规划算法步骤（1）定义状态：将问题转化为一个状态集合，每个状态表示一个子问题。

（2）确定状态转移方程：通过递推或计算得到子问题之间的关系，得到状态转移方程。

（3）确定初始状态：设置与最小子问题相关的初始状态。

（4）递推求解：根据状态转移方程，逐步计算中间状态，直到得到最终解。

（5）回溯路径：根据存储的中间状态，找到最短路径。

4. 动态规划算法示例以经典的Dijkstra算法为例，演示动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。

假设有带权重的有向图G，其中节点数为n，边数为m。

算法步骤如下：（1）定义状态：对于图G中的每个节点v，定义状态d[v]代表从起点到节点v的最短距离。

（2）确定状态转移方程：d[v] = min(d[u]+w[u,v])，其中u为节点v 的直接前驱节点，w[u,v]为边(u,v)的权重。

（3）确定初始状态：设置起点s的最短距离d[s]为0，其他节点的最短距离d[v]为无穷大。

（4）递推求解：根据状态转移方程逐步计算中间状态d[v]，更新最短距离。

（5）回溯路径：根据存储的前驱节点，从终点t开始回溯，得到最短路径。

5. 动态规划算法的优缺点优点：（1）求解速度快，适用于大规模问题。

最短路径问题的动态规划算法最短路径问题的动态规划算法是一种常用的解决路径优化的方法。

动态规划算法的核心思想是将原问题拆分成若干个子问题，通过递推关系找到最优解。

在最短路径问题中，我们通常希望找到从起点到终点的最短路径。

首先，我们需要定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从起点到达坐标(i, j)的最短路径长度。

初始化dp数组，将起点的值设为0，其他位置的值设为无穷大（即表示不可达）。

接下来，我们需要确定动态规划的状态转移方程。

对于任意一个坐标(i, j)，它可以从上方的坐标(i-1, j)、左方的坐标(i, j-1)、右方的坐标(i, j+1)、下方的坐标(i+1, j)四个位置中的某一个到达。

因此，可以得到状态转移方程如下：
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i][j+1], dp[i+1][j]) + 1
其中，min表示取其中的最小值。

通过以上状态转移方程，我们可以逐步更新dp数组，直到最终得到终点的最短路径长度。

需要注意的是，动态规划算法的时间复杂度通常是O(n^2)，其中n 表示问题规模。

因此，在处理大规模最短路径问题时，需要考虑算法的效率，可能需要进行剪枝等优化操作。

总的来说，最短路径问题的动态规划算法在路径优化领域有着重要的应用价值，通过合理定义状态转移方程和优化算法效率，可以找到从起点到终点的最短路径长度，为路径规划提供有效的解决方案。

计算机算法设计与分析论文名：动态规划及其在求最短路径问题中的应用班级：12医软一班学号：姓名：张健<日期：2015年6月动态规划及其在求最短路径问题中的应用摘要：在概述动态规划原理的基础上，提出了动态规划数学模型建模主要步骤，并运用动态规划思想对最短路径进行求解，最后总结出动态规划在此类问题中的优越性。

关键字：动态规划；最短路径；多阶段决策。

在实践中有许多决策问题与时间有关系，决策过程分成若干阶段，各阶段的决策相互关联，共同决定最终的目标，这样的问题称之为多阶段决策问题。

动态规划方法是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。

这一方法最初是由美国数学家等人在20世纪50年代提出的，实践证明许多问题用动态规划建模求解比用线性规划或非线性规划更加有效，特别是对离散性问题，运用解析数学无法解决，而动态规划就成为得力的工具。

动态规划方法把一个比较复杂的问题分析为一系列同一类型的更容易求解的子问题先按照整体最优思想逆序求出各个可能状态的最优策略，然后顺序求出整个问题的最优策略和最优路径。

由于将动态规划思想应用到求解运输问题的最短路径中，计算过程单一化便于应用于计算机，求解结果清晰明了，在实践应用中获得显著效果。

1 动态规划原理概述动态规划最优化原理可以这样阐述：一个最优化策略不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸多策略必须构成最优策略，即其子策略总是最优的。

任何思想方法都有一定的局限性，动态规划也有其适应的条件。

如果某阶段的状态给定后，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响，这个性质称为无后效性，适用动态规划的问题必须满足这个性质；其次还须满足上述最优化原理。

动态规划基本思想一是正确的写出基本的递推关系式和恰当的边界条件；二是在多阶段决策过程中，动态规划方法是即把当前一段和后来各阶段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种多阶段决策的最优化方法，每阶段决策和选取是从全局来考虑，与该段的最优选择的答案一般是不同的；三是在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已知的，儿每阶段的决策又都是该阶段状态的函数，因而最优策略所经过的各阶段状态便可逐次变换得到，从而确定最优路线。

动态规划在最短路径问题中的应用最短路径问题是计算两个给定节点之间的最短路径的问题。

在现实生活和计算机科学中，这个问题经常出现。

一种常用的解决方法是动态规划。

本文将介绍动态规划在最短路径问题中的应用。

动态规划是一种用于解决优化问题的算法思想。

它通常用于寻找最优解，避免重复计算。

在最短路径问题中，动态规划可以帮助我们找到从起点到终点的最短路径。

为了更好地理解动态规划在最短路径问题中的应用，我们先来介绍一下最短路径问题的定义。

最短路径问题可以建模成一个图的问题，其中节点表示位置，边表示路径。

每条边都有一个相关的权重，表示从一个节点到另一个节点的代价或距离。

目标是找到从起点到终点的最短路径。

现在，我们来看一下动态规划如何解决最短路径问题。

首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从起点到节点i的最短路径的权重。

我们将所有的dp[i][j]初始值设为无穷大，表示路径不存在。

接下来，我们需要定义一些转移方程来更新dp数组的值。

对于节点i和节点j之间存在一条边的情况，我们可以使用如下的转移方程来更新dp[i][j]：dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]+w[i][j])其中，k是一个介于i和j之间的节点，w[i][j]是从节点i到节点j的边的权重。

这个转移方程表示，如果从起点到节点k的路径加上从节点k到终点的路径再加上边的权重，比当前的dp[i][j]的值小，那么我们更新dp[i][j]的值。

通过不断更新dp数组的值，我们最终可以得到从起点到终点的最短路径的权重。

同时，我们还可以通过修改转移方程来记录路径上的节点，从而得到最短路径。

在实际应用中，动态规划在最短路径问题中有着广泛的应用。

例如，在导航系统中，我们可以使用动态规划算法来计算从当前位置到目的地的最短路径。

在网络路由中，动态规划可以帮助我们找到从源节点到目标节点的最短路径。

总结一下，动态规划是一种解决优化问题的算法思想，在最短路径问题中有着重要的应用。