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动态规划1．最短路线问题解（1）：将上图该画成下图：记a （1,2）=4，a(1,3)=5，依次类推，表示每个点和值的关系。
逆序递推方程：⎪⎩⎪⎨⎧==+++=0)6(61,2,3,4,5)}1(1),({min )(s f k k s k f k u k s k d k uk s k fAB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 8 7 75845348435 6 2 314 31234 5 6 789 101112134523 6 8 7 7584534 8435 6 2 314 3如图各状态：逆序递推，找出上一个状态到下一阶段的最小路径值。
例如，当K=4时，状态 它们到F 点需经过中途 点E ，需一一分析从E 到 F 的最短路：先说从D1到F 的最短路 有两种选择：经过 E1, E2, 比较最短。
这说明由 D1 到F 的最短距离为7，其路径为AB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1 D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 87 75845348435 62 31 4 3第1阶段 第2阶段 第3阶段 第4阶段 第5阶段状态 1状态 2状态3状态 4状态 5状态 6)}(),(),(),(m in{)(252141511414E f E D d E f E D d D f ++=.7}35,43min{=++=.11F E D →→},,{3214D D D S =a=[0,4,5,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 4,0,inf,2,3,6,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 5,inf,0,inf,8,7,7,inf,inf,inf,inf,inf,inf inf,2,inf,0,inf,inf,inf,5,8,inf,inf,inf,inf inf,3,8,inf,0,inf,inf,4,5,inf,inf,inf,inf inf,6,7,inf,inf,0,inf,inf,3,4,inf,inf,inf inf,inf,7,inf,inf,inf,0,inf,8,4,inf,inf,inf inf,inf,5,4,inf,inf,inf,0,inf,inf,3,5,inf inf,inf,inf,8,5,3,8,inf,0,inf,6,2,inf inf,inf,inf,inf,inf,4,4,inf,inf,0,1,3,inf inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,3,6,1,0,inf,4 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,5,2,3,inf,0,3 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,4,3,0]; s8=min(a(8,11)+a(11,13),a(8,12)+a(12,13)); s9=min(a(9,11)+a(11,13),a(9,12)+a(12,13)); s10=min(a(10,11)+a(11,13),a(10,12)+a(12,13)); s4=min(a(4,8)+s8,a(4,9)+s9); s5=min(a(5,8)+s8,a(5,9)+s9); s6=min(a(6,9)+s9,a(6,10)+s10); s7=min(a(7,9)+s9,a(7,10)+s10); s2=[a(2,4)+s4,a(2,5)+s5,a(2,6)+s6]; s2=min(s2);s3=[a(3,5)+s5,a(3,6)+s6,a(3,7)+s7]; s3=min(s3);s1=min(a(1,2)+s2,a(1,3)+s3)运行结果为：s8 = 7 s9 = 5 s10 = 5 s4 = 12 s5 = 10 s6 = 8 s7 = 9 s2 =13s3 = 15 s1 = 17结果分析：s 表示每个点到终点的最短距离，那么最短路程为17。
运用动态规划模型解决物流配送中的最短路径问题王嘉俊（盐城师范学院数学科学学院09（1）班）摘要：随着现代社会的高速发展，物流配送成为了连接各个生产基地的枢纽，运输的成本问题也成为了企业发展的关键。
运费不但与运量有关，而且与运输行走的线路相关。
传统的运输问题没有考虑交通网络，在已知运价的条件下仅求出最优调运方案，没有求出最优行走路径。
文中提出“网络上的物流配送问题“，在未知运价，运量确定的情况下，将运输过程在每阶段中选取最优策略，最后找到整个过程的总体最优目标，节省企业开支。
关键词：动态规划，数学模型，物流配送,最优路径1 引言物流配送是现代化物流系统的一个重要环节。
它是指按用户的订货要求, 在配送中心进行分货、配货, 并将配好的货物及时送交收货人的活动。
在物流配送业务中, 合理选择配送径路, 对加快配送速度、提高服务质量、降低配送成本及增加经济效益都有较大影响。
物流配送最短径路是指物品由供给地向需求地的移动过程中, 所经过的距离最短(或运输的时间最少, 或运输费用最低) , 因此, 选定最短径路是提高物品时空价值的重要环节。
[1]经典的Dijkstra 算法和Floyd 算法思路清楚,方法简便,但随着配送点数的增加,计算的复杂性以配送点数的平方增加,并具有一定的主观性。
我国学者用模糊偏好解试图改善经典方法[]5,取得了较好的效果。
遗憾的是,模糊偏好解本身就不完全是客观的。
文献[]6详细分析了经典方法的利弊之后,提出将邻接矩阵上三角和下三角复制从而使每条边成为双通路径,既适用于有向图也适用于无向图, 但复杂性增加了。
为了避免上述方法存在的不足,本文以动态规划为理论,选择合理的最优值函数,用于解决物流配送最短路径问题。
动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
1951年美国数学家Bellman（贝尔曼）等人根据一类多阶段决策问题的特性，提出了解决这类问题的“最优性原理”，并研究了许多实际问题，从而创建了最优化问题的一种新方法——动态规划。
动态规划------最短路径问题最短路径问题是动态规划的⼀个实例。
1.最短路径问题的描述2.举个例⼦来说明：求从 S 到 T 的最短路径。
3.思考⽅式4.利⽤动态规划求解问题依次考虑从 C 到 T 的最短距离。
考虑从 B 到 C 的最短距离考虑从 A 到 B 的最短距离考虑从 T 到 A 的最短距离每次都是最短距离。
在整个过程中，我们把我们的⽬标问题转化成了⼀个个的⼦问题，在⼦问题求最⼩值，最后解决了这个问题。
4.⼦问题的界定5.最短路程之间的依赖关系每⼀次计算的时候都是依据前⼀个⼦问题。
不需要⼀个⼀个计算。
每次计算都可以直接利⽤前⼀个问题的解。
6.⼦问题的优化原则6.利⽤动态规划求解是需要条件的，⼀个反例告诉你，动态规划求解的条件分析：假如从S 到 T 经过的节点依次是 A B C ，从C 到 T ，模10，我们选择上⾯的2 . 从 B 到 C，我们的两条路分别是 4 和 7 ，模10，我们选择上⾯的 4 ，那么，从B到T的最短距离就是 6；从 A 到 B ，我们的两条路分别是 6 和 9，模10，我们选择上⾯的路。
从 S 到 A ，两条路分别是 8 和 11，此时，模10，我们选择下⾯的路。
这时，路径就如上图中蓝⾊的路径了。
但是，这是最优的路径吗？显然不是，红⾊的路线才是最优的路径。
因为模10后，得到的结果为0，⽐ 1 ⼩。
为什么是错误的？因为破坏了动态规划的优化原则，它的问题和它的⼦问题的优化函数之间没有依赖关系。
⽐如，我们考虑最后⼀段即 C 到 T的距离，显然， 2是最优解，⽽不是 5 。
因此，破坏了优化原则的问题不能使⽤动态规划。
7.动态规划⼩结可以⽤于求解组合优化问题。
注意动态规划的最优化的原则。
8.代码这个问题的简化版本，编码实现：从矩阵的（0,0）位置到矩阵的（array.length-1,array[0].length-1）的位置的最⼩值。
动态规划实现最短路径问题⼀、设计最短路径的动态规划算法 <算法导论>中⼀般将设计动态规划算法归纳为下⾯⼏个步骤： 1）分析最优解的结构 2）递归定义最优解的值 3）⾃底向上计算最优解的值 4）从计算的最优解的值上⾯构建出最优解⼆、最短路径的结构 从最优解的结构开始分析(我们假设没有权值为负的路径),对于图G<V,E>的所有结点对最短路径的问题，我们能知道⼀条最短路径的⼦路径都是最短路径。
假设⽤邻接矩阵W=w(ij)来表⽰输⼊带权图,考虑从结点i到结点j的⼀条最短路径p，如果p最多有m(m为有限值)条边。
若i=j，则p的权值为0⽽且不包含其他边。
若i ≠ j，可以将i到j的路径转换为i -> k、k->j。
三、⼀个给定的图 1）给定⼀个有向图 2）我们可以给出这个有向图的邻接矩阵四、C++实现1 #include <iostream>2 #include<fstream>3 #include<sstream>4 #include<vector>5 #include<string>6using namespace std;7const int Max_Num = 100;89 typedef struct Point {10int n; //点的个数11double p[Max_Num];12double q[Max_Num];13int root[Max_Num][Max_Num];14double w[Max_Num][Max_Num];15double e[Max_Num][Max_Num];16 }Point;1718 vector<Point> points;19 vector<string> res;20 vector<int> num;2122void file_read();23void createPoint();24void optimalBST();25void printRoot(Point P);26void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite);27 template <class Type>28 Type stringToNum(const string& str) {29 istringstream iss(str);30 Type num;31 iss >> num;32 iss.str("");33return num;34 }3536void file_read() {37string str2, str1 = "", result;38 ifstream fileRead("in.dat");39if (fileRead.is_open()) {40while (getline(fileRead, str2, '\n')) {41if (str2.find("") != -1) {42 str1.append(str2 + "");43 }44else {45 num.push_back(stringToNum<int>(str2));46if (str1 != "") {47 res.push_back(str1);48 }49 str1 = "";50 }51 }52 res.push_back(str1);53 fileRead.close();54 }55 }5657void createPoint() {58string temp;59 Point P;60for (int i = 0; i < res.size(); i++) {61 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字62int n = num[i];63 stringstream input(res[i]);64while (input >> temp) {65 temp_str.push_back(temp);66 }67 P.n = n;68for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);69for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]);70 points.push_back(P);71 }72 }7374//根据书上的伪代码：接收概率列表p1....pn和q0.....qn以及规模n作为输⼊计算出e和root75void optimalBST(){76 Point P;77for(int i = 0; i<res.size(); i++) {78 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字79int n = num[i];80string temp;81 stringstream input(res[i]);82while (input >> temp) {83 temp_str.push_back(temp);84 }85 P.n = n;8687for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);88for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]); 8990//初始化只包括虚拟键的⼦树91for (int i = 1;i <= P.n + 1;++i){92 P.w[i][i-1] = P.q[i-1];93 P.e[i][i-1] = P.q[i-1];94 }95//由下到上，由左到右逐步计算96for (int len = 1;len <= P.n;++len){97for (int i = 1;i <= P.n - len + 1;++i){98int j = i + len - 1;99 P.e[i][j] = Max_Num;100 P.w[i][j] = P.w[i][j-1] + P.p[j] + P.q[j];101//求取最⼩代价的⼦树的根102for (int r = i;r <= j;++r)103 {104double temp = P.e[i][r-1] + P.e[r+1][j] + P.w[i][j];105if (temp < P.e[i][j])106 {107 P.e[i][j] = temp;108 P.root[i][j] = r;109 }110 }111 }112 }113 points.push_back(P);114 }115 }116117void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite){118int root_node = P.root[i][j];//⼦树根节点119if (root_node == P.root[1][P.n]){120//输出整棵树的根121 fileWrite << "k" << root_node << "是根" << endl;122 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);123 printOptimalBST(root_node +1 , j, root_node, P, fileWrite);124return;125 }126127if (j < i - 1){128return;129 }else if (j == i - 1){//遇到虚拟键130if (j < r)131 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl;132else133 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl;134return;135 }136else{//遇到内部结点137if (root_node < r)138 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl; 139else140 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl; 141 }142 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);143 printOptimalBST(root_node + 1, j, root_node, P, fileWrite);144 }145146//输出最优⼆叉查找树所有⼦树的根147void printRoot(Point P){148 cout << "各⼦树的根：" << endl;149for (int i = 1;i <= P.n;++i){150for (int j = 1;j <= P.n;++j){151 cout << P.root[i][j] << "";152 }153 cout << endl;154 }155 cout << endl;156 }157158int main(){159 file_read();160 optimalBST();161 ofstream fileWrite("out.dat");162 Point P ;163for(int i = 0; i<points.size(); i++) {164 P = points[i];165 printRoot(P);166 printOptimalBST(1,P.n,-1, P, fileWrite);167 }168 fileWrite.clear();169return0;170 } 上述代码是将给定的邻接矩阵从⽂件中读取 然后根据输⼊的邻接矩阵求出最短路径。
动态规划在最短路径问题中的应用动态规划是一种解决复杂问题的方法，它将问题分解成更小的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高解决问题的效率。
最短路径问题是在图或者网络中找到从起点到终点的最短路径的问题，可以使用动态规划算法来解决。
本文将介绍动态规划在最短路径问题中的应用及其算法实现。
一、最短路径问题在最短路径问题中，我们需要在图或网络中找到从一个节点到另一个节点的最短路径。
最短路径可以通过边的权重来衡量，权重可以表示距离、时间、代价等。
最短路径问题有多种变体，其中最常见的是单源最短路径和全源最短路径。
单源最短路径问题是在给定一个起点的情况下，找到该起点到其他所有节点的最短路径。
最常用的算法是Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
二、动态规划原理动态规划通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
它将问题分解成更小的子问题，并使用递推关系来计算子问题的解。
在最短路径问题中，我们可以使用动态规划来计算从起点到每个节点的最短路径。
首先，我们定义一个一维数组dist[]来保存从起点到每个节点的最短路径长度。
初始化时，dist[]的值为无穷大，表示路径长度未知。
然后，我们从起点开始逐步计算每个节点的最短路径长度。
具体的动态规划算法如下：1. 初始化dist[]为无穷大，起点的dist[]为0。
2. 对于每个节点v，按照拓扑顺序进行如下操作：2.1. 对于节点v的所有邻接节点u，如果dist[v] + weight(v, u) < dist[u]，则更新dist[u]。
2.2. 拓扑顺序可以根据节点的拓扑顺序进行计算或者使用深度优先搜索（DFS）算法。
三、算法实现下面是使用动态规划算法解决最短路径问题的示例代码：```// 定义图的邻接矩阵和节点个数int graph[MAX][MAX];int numNodes;// 定义dist[]数组来保存最短路径长度int dist[MAX];// 定义拓扑排序和DFS算法需要的变量bool visited[MAX];stack<int> s;// 动态规划算法求解最短路径void shortestPath(int startNode) {// 初始化dist[]数组为无穷大for (int i = 0; i < numNodes; i++) {dist[i] = INT_MAX;}dist[startNode] = 0;// 拓扑排序或DFS计算每个节点的最短路径长度 for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (!visited[i]) {DFS(i);}}// 输出最短路径长度for (int i = 0; i < numNodes; i++) {cout << "Node " << i << ": " << dist[i] << endl; }}// 深度优先搜索void DFS(int node) {visited[node] = true;for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (graph[node][i] != 0 && !visited[i]) {DFS(i);}}s.push(node);}```以上示例代码演示了使用动态规划算法求解最短路径问题的基本原理和步骤。
动态规划——所有点对最短路径问题按照书上所说，d k i ,j 代表了点i 到 j 经过 1or 2or 3or 4......k 的最短路径长度，⽐如d 31,6表⽰点1到点6， 可以经过点1，点2，点3的最短长度。
算法基本思路：引理，点 i 到点 j 的最短路径可能是点 i 到点 j 的直接路径长度，也可能是以某点 k 为中间节点，i, k, j 的路径长度。
采⽤⾃底向上逐步求解的⽅法，设D k i ,j表⽰ 点 i 到 j 以点集[0..k] 为中间节点的最短路径。
k 从0开始枚举各点，则第⼀步先求所有点以可能经过点0为中间节点的最短路径；第⼆步求所有点以可能经过点1为中间节点的最短路径，在此时所有的D[i, j] 已经考虑过0作为中间节点的最短路径，即第⼆步做的是以点集[0..1]作为考虑，满⾜⾃底向上，不难看出，到了最后⼀步，就是以点集[0...n-1]作为考虑，此时求得的D[i, j] 就是最短路径。
如：初始： k = 0298061∞6先代⼊公式 k = 0时，有 D 0[i ,j ]=L [i ,j ]; 所以有 D 0=0298061∞0[][]Processing math: 100%之后计算D1, 按照公式有 D1=min(D0[i,j],D0[i,k]+D0[k,j])所以D1=029 806 130以此类推，当计算到D3时，说明已经是经过整个点集的最短路径以下是python代码实现：n = 3 //n*n的矩阵D = [[0, 2, 9],[8, 0, 6],[1, 9999999, 6]]for k in range(0, 3): //从D_0到D_k进⾏k次运算for i in range(0, 3): //i从0到3for j in range(0, 3): //j从0到3，给每条边赋值D[i][j] = min(D[i][j], D[i][k] + D[k][j])print(D) //打印矩阵[]。
最短路径问题的动态规划算法动态规划是一种解决复杂问题的有效算法。
最短路径问题是指在给定的图中找到从起点到终点路径中距离最短的路径。
本文将介绍动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。
1. 最短路径问题简介最短路径问题是图论中的经典问题之一，旨在找到从图中一点到另一点的最短路径。
通常使用距离或权重来衡量路径的长度。
最短路径问题有多种算法可以解决，其中动态规划算法是一种常用且高效的方法。
2. 动态规划算法原理动态规划算法的核心思想是将原问题分解为更小的子问题，并存储已解决子问题的结果，以供后续使用。
通过逐步解决子问题，最终得到原问题的解。
在最短路径问题中，动态规划算法将路径分解为多个子路径，并计算每个子路径的最短距离。
3. 动态规划算法步骤（1）定义状态：将问题转化为一个状态集合，每个状态表示一个子问题。
（2）确定状态转移方程：通过递推或计算得到子问题之间的关系，得到状态转移方程。
（3）确定初始状态：设置与最小子问题相关的初始状态。
（4）递推求解：根据状态转移方程，逐步计算中间状态，直到得到最终解。
（5）回溯路径：根据存储的中间状态，找到最短路径。
4. 动态规划算法示例以经典的Dijkstra算法为例，演示动态规划算法在解决最短路径问题中的应用。
假设有带权重的有向图G，其中节点数为n，边数为m。
算法步骤如下：（1）定义状态：对于图G中的每个节点v，定义状态d[v]代表从起点到节点v的最短距离。
（2）确定状态转移方程：d[v] = min(d[u]+w[u,v])，其中u为节点v 的直接前驱节点，w[u,v]为边(u,v)的权重。
（3）确定初始状态：设置起点s的最短距离d[s]为0，其他节点的最短距离d[v]为无穷大。
（4）递推求解：根据状态转移方程逐步计算中间状态d[v]，更新最短距离。
（5）回溯路径：根据存储的前驱节点，从终点t开始回溯，得到最短路径。
5. 动态规划算法的优缺点优点：（1）求解速度快，适用于大规模问题。
基于动态规划的最短路径算法设计与优化一、绪论最短路径问题是一个经典的计算机科学问题，在众多领域中都有着广泛的应用，如网络路由、物流配送、地图导航等。
本文将讨论如何运用动态规划方法来求解最短路径问题，并从算法设计和算法优化两个方面入手，提高算法的效率和性能。
二、最短路径问题的动态规划解法1. 最短路径的定义在一张有向带权图中，从起点s到终点t的一条路径，如果它的边权之和最小，那么我们称这条路径是最短路径。
2. 最短路径问题的动态规划解法基本原理我们可以将最短路径问题转化为子问题，定义d[v]表示从起点s到顶点v的最短距离，那么d[t]就是问题的解。
记G=(V,E)为一张有向带权图，我们要求的就是d[t]。
在进行最短路径的动态规划时，我们主要运用的是最优子结构和重复计算问题。
最优子结构的原理如下：一条最短路径可以被拆分为多个“次优解”，每个“次优解”都可以用更小的“次优解”组合而成，直到组合到最短路径为止。
重复计算问题的原理如下：在计算d[v]时，需要先计算出所有以v为终点的边的起点u的最短路径，这些最短路径构成了一个集合P。
如果直接使用暴力算法，则有可能会重复计算P中的某些路径。
运用动态规划，我们可以将已经计算出的最短路径结果保存起来，每次需要计算时可以直接调用，避免了重复计算的问题。
3. 最短路径问题的动态规划解法步骤定义数组d[V]，其中d[s]=0，d[v]=+ɛ(v≠s)。
按拓扑排序的顺序遍历有向带权图，对于每个顶点v，更新所有以v为终点的边的起点u的最短路径，即：d[v]=min(d[u]+w[u,v])，其中w[u,v]表示边(u,v)的权值。
4. 最短路径问题的动态规划算法实现算法实现的代码如下：void dp_shortest_path(Graph *G, int s, int *d) {int t, i, v, u, p;for (i = 0; i < G->vexnum; ++i) d[i] = INF;d[s] = 0;for (t = 1; t < G->vexnum; ++t) {for (v = 0; v < G->vexnum; ++v) {for (p = G->v[v].first; p != -1; p = G->arc[p].next) {u = G->arc[p].adjvex;if (d[u] + G->arc[p].weight < d[v]) {d[v] = d[u] + G->arc[p].weight;}}}}}三、最短路径算法的优化1. Dijkstra算法优化Dijkstra算法是一种贪心算法，它适用于有权图的最短路径问题，算法的基本思路是：每次找到离起点最近的尚未确定最短路径的顶点v，更新v的所有邻接点的距离，直到找到终点或路径无法更新为止。
最短路径问题的动态规划算法最短路径问题的动态规划算法是一种常用的解决路径优化的方法。
动态规划算法的核心思想是将原问题拆分成若干个子问题，通过递推关系找到最优解。
在最短路径问题中，我们通常希望找到从起点到终点的最短路径。
首先，我们需要定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从起点到达坐标(i, j)的最短路径长度。
初始化dp数组，将起点的值设为0，其他位置的值设为无穷大（即表示不可达）。
接下来，我们需要确定动态规划的状态转移方程。
对于任意一个坐标(i, j)，它可以从上方的坐标(i-1, j)、左方的坐标(i, j-1)、右方的坐标(i, j+1)、下方的坐标(i+1, j)四个位置中的某一个到达。
因此，可以得到状态转移方程如下：
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i][j+1], dp[i+1][j]) + 1
其中，min表示取其中的最小值。
通过以上状态转移方程，我们可以逐步更新dp数组，直到最终得到终点的最短路径长度。
需要注意的是，动态规划算法的时间复杂度通常是O(n^2)，其中n 表示问题规模。
因此，在处理大规模最短路径问题时，需要考虑算法的效率，可能需要进行剪枝等优化操作。
总的来说，最短路径问题的动态规划算法在路径优化领域有着重要的应用价值，通过合理定义状态转移方程和优化算法效率，可以找到从起点到终点的最短路径长度，为路径规划提供有效的解决方案。
浅谈最短线路及其动态规划最短路问题是一个组合优化问题，它不但可以被直接用于解决生产生活中的很多实际问题，而且常常被作为一种有效工具，用于解决其他优化问题.本文将最短路问题及其动态规划谈一些自己粗浅的认识。
标签：最短路；描述；动态规划最短路问题是最基本的组合优化问题之一，随着我国经济水平的迅猛发展和城市化过程的加快，城市交通线路已进入飞速发展时期，最短路算法在人们的日常生活中显得越来越重要.比如，每天开车去上班，应该选择哪条路线才能使自己到单位的费用最低、时间最少，这是最短路的问题；在电网架设、城市规划以及交通旅游中如何使其耗费的资金最少，这也是最短路问题；管道设计问题，给出一个网络图，从A点铺设一条煤气管道到E点，必须经过三个中间站，如何选择路线使得铺设的管道费用最少，这还是最短路问题.目前，最短路问题及其算法在实际生活的各个领域中应用广泛.计算机C语言，运筹学以及图论中的某些重要思想都在涉及最短路问题及其算法问题，并且被普遍应用于农业，军事以及重型工业和交通等等.由此可见研究最短路问题是非常有意义的.很多参考文献对最短路问题及其算法进行了讨论，文献[1-3]讨论了最短初等链法，给出了最短初等链法是最短路问题的通用算法的结果，文献[4-6]介绍了最短路问题的动态规划算法，给出了算法的基本思想与解题步骤，文献[7-9]介绍了伏特算法，给出了算法的具体步骤与适用的问题类型，文献[10-11]介绍了最短路问题的狄克斯特拉算法，通过对算法基本步骤的了解，为提高其搜索速度提出了一种新的算法，文献[12-13]介绍了狄克斯特拉算法的局限性，给出此算法不适于具有负弧长的情形.一、最短路程问题描述在图论中关于最短路问题的提法是：设图G=（V，E）为连通图，对G的每一条边，相应的有一个数（简记作）称为边的权（表示到无关联边），图G连同在它边上的权称为赋权图.设H是赋权图G的子图，H的权是它的每一条边的权的和.在赋权图中，一条边的权也可说成是它的长.若在赋权图中任取两点和，所谓最短道路就是求出一条路μ，它表示的是从到的全部路中总权最小的路[2]，即最短路问题在图论中的应用比较广泛，它包含许多生活中的实际问题，如各种管道的铺设、线路的安排、输送网络最少费用等问题，通过建立最短路问题模型都可以进行求解.二、最短路程問题的动态规划动态规划处理的问题是一个多阶段的决策问题，一般从初始状态开始，经过对中间阶段的决策选择，最终达到结束状态.这些决策形成一个决策序列，同时也确定了一条整个过程的活动路线.动态规划的设计有一定的模式，通常要经历以下几个步骤：初始状态→│决策1│→│决策2│→…→│决策n│→结束状态.利用动态规划解题的基本思路：将一个多阶段的决策问题转化成依次求解多个单阶段的决策问题，进而简化计算的过程，这种方法的实现就是从终点反向递推，即采用逆序算法.若赋权图1以A为起点，以D为终点，如何求出以A为起点，以D为终点的最短路？应用动态规划算法求解上述问题的基本思想是：（1）把以A为起点的全部链的终点按链的长度进行分类.如图1所示，以A 为起点的全部链的终点根据链的长度被分为4部分，可用集合分别表为：每一部分称为一个状态，相邻的两个状态以及由它们间的有向线段构成的有向边记做一个阶段，任一条边都含有一个权值，图1是赋权三阶段有向图.图1 赋权三阶段有向图（2）利用逆序递推的方法进行求解，从最后一阶段一直到第一阶段分别逐步求出每点到终点的最短路，最后再求起点A到终点D的最短路.利用动态规划描述多阶段决策问题的基本概念[7]有：阶段与阶段变量k，决策与决策变量，策略与最优策略，指标函数与最优指标函数，状态与状态变量，状态的转移方程，阶段指标（阶段效益）等.从第k阶段状态起至第n阶段终止状态过程中的策略，指标函数及最优值函数可分别用式（1）～式（4）表示.（1）（2）（3）（4）动态规划的基本方程：在动态规划中有2种算法：顺序递推和逆序递推.顺序递推就是从始点向终点逐段的递推，而逆序递推则是从终点向始点逐段的递推[3].若一个多阶段的决策问题有一个固定的过程始点和一个固定的过程终点，那么2种递推方法所得到的最优结果是相同的.参考文献[1]刘道建.最短路问题的通用算法--最短初等链法[J].湘潭师范学院学报，2003，25（2）：11-13.[2]郭锐.最优化算法中的最短路问题讨论[J].大庆师范学院学报，2008，28（2）：75-78.。
