等价转化思想方法

我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化、归类，就会使问题变得简单，这类问题的解决方法就是转化与化归思想，它在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归.转化与化归思想,指的是在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使问题得到解决的一种思想。

利用化归与转化的思想可以实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧来解决问题.数学解题过程，就是不断转化的过程，不断把问题由陌生转化成熟悉的来解决，几乎所有问题的解决都离不开转化与化归。

在其他的数学思想中明显体现了转化与化归的思想,比如，数形结合思想体现了数与形的相互转化,函数与方程思想体现了函数、方程、不等式等问题之间的相互转化,分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化.一、常见的转化与化归的形式常见的有：陌生问题向熟悉问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，不同数学问题之间的互相转化,实际问题向数学问题转化等。

二、常见的转化策略常见的有：正与反的转化、数与形的转化、整体与局部的转化、常量与变量的转化、相等与不等的转化、空间与平面的转化、数学语言之间的转化等。

三、常见的实现转化与化归的方法:1.直接转化法：把原问题直接转化为学过的基本定理、基本公式或基本图形问题.2.换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。

3。

数形结合法，即数与形的转化。

将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.例如在函数与图象的联系中可以体现出，把繁琐的代数问题转化为直观的几何图形来解决4。

特殊化方法:即特殊与一般的转化，把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题。

5。

补集法，即正与反的相互转化.当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，正难则反，设法从问题的反面去探讨,使问题获解.6.等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，即原问题的充要条件，达到化归的目的.7。

等价转化思想在充要条件中的应用在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想。

例如互为逆否命题的两个命题（原命题与逆否命题或逆命题与否命题）一定同真或同假，它们都是等价的。

但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真。

【规律总结】命题的充要关系的判断方法①定义法：即判断原命题与其逆命题的真假性。

②等价法：p是q的什么条件等价于⌝q是⌝p的什么条件。

③利用集合间的包含关系判断：建立命题p、q的相应集合：p：A＝{x|p（x）成立}，q：B＝{x|q（x）成立}，转化为判定A与B间的关系。

练习：已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的________条件。

思路分析：p和q中都含有否定词语，直接判断较为困难，可采用间接判断。

答案：∵p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，∴⌝p：x＋y＝2，⌝q：x＝1且y＝1。

∵⌝p⌝q，但⌝q⇒⌝p，∴⌝q是⌝p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件。

技巧点拨：由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p⇒q较困难时，可利用等价转化，先判断由⌝q⇒⌝p，从而得到p⇒q。

例题已知p：2x2－9x＋a<0，q：22430680x xx x⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，且⌝p是⌝q的充分条件，求实数a的取值范围。

思路分析：先解p和q中的不等式，把条件间的关系转化为集合间的关系。

答案：由22430680x xx x⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，得1324xx<<⎧⎨<<⎩，即2<x<3。

∴q：2<x<3。

设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}，∵⌝p⇒⌝q，∴q⇒p，∴B⊆A。

∴2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0。

设f（x）＝2x2－9x＋a，要使2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，须使(2)0(3)0ff≤⎧⎨≤⎩，即818018270aa-+≤⎧⎨-+≤⎩，∴a≤9。

转化与化归思想等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性．在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形．消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化．可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变．由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型．►探究点一高维与低维的转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维向高维的发展规律，如从点研究线，由线到面，由面再到空间．通过降维可以把问题从一个领域带到另一个领域研究，从而使问题简单化．如立体几何中三维问题转化为平面几何的二维问题，多元问题转化为一元问题进行研究等．例(1)如图30－1，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC最小时，△AMC的面积为________．30－1(2)若不等式x2108＋y24≥xy3k对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是k∈[m，＋∞)，则正整数m只能取________．►探究点二特殊与一般的转化所谓特殊化的策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考查包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究，拓宽解题的思路，从而发现解答原题的方向或途径，即“由一般退回特殊，再由特殊推广至一般”．例2已知椭圆x24＋y22＝1，A、B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连结AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP，MQ的交点，则点Q的坐标为________．► 探究点三 陌生与熟悉的转化化陌生为熟悉，即当我们面临一个没有接触过的问题时，要设法把它转化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有知识、经验或解题模式解出原题．一般来说对题目的熟悉程度取决于对题目自身结构的认识和理解．常用转化途径有：(1)充分联想、回忆基本知识和题型；(2)全方位、多角度地分析题意；(3)恰当构造辅助元素．例3 若关于x 的方程x 4＋ax 3＋ax 2＋ax ＋1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．变式 设x ，y 为正实数，a ＝x 2＋xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y .(1)如果p ＝1，则是否存在以a ，b ，c 为三边长的三角形？请说明理由；(2)对任意的正实数x ，y ，试探索当存在以a ，b ，c 为三边长的三角形时p 的取值范围．例 [2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．例设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝y x －x y 的取值范围是________．例设A 1、A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的点P ，使得PO →·PA 2→＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．► 探究点四 函数中的分类讨论问题函数的基本概念和基本性质中本身涉及分类讨论的问题并不多，但是有一类带有参数的函数即动态函数问题中，其单调性的求解、值域的研究、零点问题等往往都需要对参数的取值进行划分后，分成不同情况进行研究．例1已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若a ＝2，求证：f (x )在(1，＋∞)上是增函数；(2)求f (x )在[1，e]上的最小值．。

数学思想方法——等价转化解决数学问题时，我们常会遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程. 转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如函数与方程的转化，未知向已知转化，数与形的转化，空间向平面的转化，正面与反面的转化等，都是转化思想的体现.我就平时遇到的一些题目进行归类、剖析.题型一函数与方程的转化例1、已知函数在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_______.解析：f(x)在定义域内为增函数即等价于,对恒成立.解题回顾：(1)f(x)在区间（a,b）上为增函数（减函数）常转化为对恒成立(注意验证) .(2)“恒成立”问题常可转化为最值问题，本题中采用分离参数法，问题就明朗化了.解析：建立如图所示的平面直角坐标系解题回顾：（1）解决向量的问题我们有三种方法：一线性运算、二向量数量积的定义、三向量的坐标运算.本题采用第三种方法将向量的问题转化为函数的最值问题.（2）本题也体现了数与形的转化.例3、中，角A的对边长等于2，向量向量（1）求取得最大值时的角A的大小；（2）在（1）的条件下求面积的最大值.解析：故取得最大值时的角. .（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，由余弦定理，得即，当且仅当b＝c＝2时取等号,又，当且仅当a=b＝c＝2时，的面积最大为.解题回顾：(1)本题中求的最大值转化为求关于的二次函数的最大值.在解题时应注意的取值范围即角A的范围.(2)为了求bc的取值范围只要将由余弦定理得到的等式转化为不等式即可.即运用不等式.例4、若关于x的方程cos2x＋4asinx＋a－2=0在区间［0,π］上有两个不同的解，求实数a的取值范围.可知：解得：解题回顾：本题涉及多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.题型二未知与已知的转化例1、已知则解析：由已知可得所以把变形成点评：在三角求值中，我们一定要注意已知角与未知角的关系，实现未知与已知的转化.当然本题中也涉及三角函数名的转化.例2、在R上定义运算：若不等对任意实数x都成立，则实数a的取值范围解析：由定义可知即恒成立点评：定义信息型创新题是近年高考出现频率较高的试题之一，对定义信息的提取和转化是求解的关键，也是一个难点.例3、已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有且的最大值为1，则满足的解集为_______.解析：解决本题的关键是对的理解.从代数的角度看：当时，，当时，所以此函数在定义域内为增函数，从几何的角度看：此函数上任意两点连线的斜率均大于0，所以此函数为增函数.解题回顾：未知与已知的转化，方法二也体现了数与形的转化.例4、已知o为原点，向量（2）求的最大值及相应x的值.（2），所以的最大值为相应的解题回顾：本题涉及三角函数名的转化、未知角向已知角的转化、数与形的结合、利用不等式求函数的最值等问题.题型三变量与常量的转化例、若不等式对一切均成立，则实数x的取值范围____.解析∵∴，令g(p)=，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有∴x>3或x<－1点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.题型四正面与反面的转化例、已知命题：使为真命题，则a的取值范围是_____.解析：原命题等价于若从反面考虑：原命题的否定为使解题回顾：正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可转化考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.题型五空间与平面的转化例、如图所示，在单位正方体的面对角线上存在一点P使得最短，则的最小值_______.解析：将面A1AB绕轴A1A旋转到与面A1BCD1共面，如右图所示，D1A 为所求最小值，最小值为.解题回顾：立体图形中最短路径的问题常通过图形的翻折转化到平面来解决.等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性，在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个固定统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；也可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；也可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

初中数学解题技巧:常见的转化方法
初中数学解题技巧:常见的转化方法
（ 1 ）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 .
（ 2 ）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题 .
（ 3 ）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径 .
（ 4 ）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的 .
（ 5 ）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题 .
（ 6 ）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 .
（ 7 ）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径
转化与化归的指导思想
（ 1 ）把什么问题进行转化，即化归对象 .
（ 2 ）化归到何处去，即化归目标 . 0
（ 3 ）如何进行化归，即化归方法 .
化归与转化思想是一切数学思想方法的核心 .。

数学二轮复习—数学思想方法选讲4.等价转化思想班级 姓名 学号 学习目标：体会什么是等价转化思想，会利用等价转化的思想解决常见问题。

学习重点、难点： 运用等价转化思想。

教学过程：一、典型例题分析： 例1、阅读材料：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x 轴于点A(3,0)，交y 轴于点B.（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；（3）是否存在一点P ，使S △P AB=89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.〖点评〗（1）是大家熟悉的待定系数法求解析式问题；（2）转化为阅读材料提供的方法来解图2xC Oy ABD1 1BC铅垂高水平宽 ha 图1决；（3）将面积的等量关系转化为方程。

（本题的面积也可用割补法求）熟悉化原则：把生疏的转化为熟悉的，把未知的转化为已知的，把非典型的转化为典型的以充分利用已知的知识及解题经验。

例2、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.〖点评〗（1）是大家熟悉的待定系数法求解析式问题；（2）转化为在对称轴上求点Q使QC+QA的值最小；（3）将面积转化为二次函数，利用二次函数的定点确定最大值。

数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。

通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。

转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。

下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。

首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。

它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。

等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。

一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。

在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。

其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。

代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。

代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。

代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。

几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。

几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。

几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。

最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。

枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。

枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。

然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。

综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。

高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。

数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。

而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。

常用数学思想方法有：1、数形结合的思想方法2、分类讨论的思想方法3、函数与方程的思想方法4、转化（化归）的思想方法5、分类讨论的思想方法6、整体的思想方法。

更多数学思维方法，请参阅《高中数学_快速解题的六种数学思维方法》。

一、数形结合的数学思想方法数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。

如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

1、导读：2、相关内容：3、再现性题组：1.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sinθ2＝1-sinθ,那么θ2是_____。

A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角2.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。

A. 12B.33C.32D. 34、巩固性题组：1.已知5x＋12y＝60，则x y22+的最小值是_____。

A. 6013 B. 135C. 1312D. 12.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。

A. 1B. 2C. 3D.以上都不对3.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。

二、分类讨论的数学思想方法①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

解决问题的策略思想——等价与非等价转化是目前在解决实际问题中被广泛应用的一种思维策略，它是将解决问题中的现有条件或者程序，转化成另外一种可以帮助解决问题的条件或程序，从而达到解决问题的目的。

等价转化是指在解决复杂问题时，将当前的问题转化成与原问题具有同一解的另一种形式，以便更容易的解决。

通过等价转化，可以将复杂的问题转化成更简单的形式，使其更容易理解和解决。

例如，当在求解方程时，如果原方程中存在复杂的符号，则可以将其进行等价转化，使其变得简单易懂，从而使解决方程变得简单，可以在较短时间内得到解决。

非等价转化是指在解决复杂问题时，将当前的问题转化成与原问题不具有同一解的另一种形式，以便更容易的解决。

这种转化的方式比等价转化更加的复杂，但是它可以帮助我们更好的理解问题，从而更容易的解决问题。

例如，当求解一个复杂的方程时，如果原方程中存在复杂的符号，可以通过对方程进行非等价转化，将其转化为两个或多个更加简单的方程，从而使解决方程变得更加容易，从而达到解决问题的目的。

总之，等价与非等价转化都是解决复杂问题的有效策略，它们可以有效的将复杂的问题，转化成更简单的形式，使其更容易理解，从而达到解决问题的目的。

因此，在解决实际问题时，应该灵活的利用等价与非等价转化的思想，从而更有效的解决问题。

等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。

数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。

在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。

它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。

可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。

由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。

在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。

新高考数学大一轮复习专题：第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．方法一 特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．例1 (1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5D ．x 2＋y 2＝4 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12， 所以1a ＋1＝12，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2，所以两条切线的交点坐标为(2，3)，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋32＝7，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C等于( )A.45B.15C.35D.25 思路分析 求cos A ＋cos C 1＋cos A cos C→考虑正三角形ABC 的情况 答案 A 解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.方法二 命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．例2 (1)由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2 思路分析 命题：存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0是假命题→任意x ∈R ，e |x －1|－m >0是真命题→m <e |x －1|恒成立→求m 的范围→求a答案 C解析 由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．思路分析 g x 在t ，3上总不为单调函数→先看g x 在t ，3上单调的条件→补集法求m 的取值范围答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. 所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.方法三 函数、方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y ＝f (x )的图象性质可以确定方程f (x )＝0，不等式f (x )>0和f (x )<0的解集．例3 (2020·全国Ⅱ)若2x －2y <3－x －3－y ，则( )A ．ln(y －x ＋1)>0B ．ln(y －x ＋1)<0C ．ln|x －y |>0D ．ln|x －y |<0 答案 A解析 ∵2x －2y <3－x －3－y ，∴2x －3－x <2y －3－y. ∵y ＝2x －3－x ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上单调递增， ∴x <y ，∴y －x ＋1>1，∴ln(y －x ＋1)>ln1＝0.例4 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 思路分析 g x 的极值→ln x <x －1→赋值叠加证明结论(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1x－1(x >0)． 令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)．取t ＝1n(n ∈N *)时， 则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×…×n ＋1n ＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值值域问题，从而求出参变量的范围.。

行列式等价转化法是一种常用的代数方法，用于解决线性方程组、矩阵计算和行列式计算等问题。

其基本思想是通过行列式的性质和等价变换，将复杂的行列式转化为简单的形式，从而简化计算。

在行列式等价转化法中，常用的性质包括：
1.行列式的展开性质：将行列式展开为若干项的代数和，每项都
是按照某一行或某一列展开的。

2.行列式的乘法性质：如果两个行列式相等，则它们的对应元素
相乘得到的行列式也相等。

3.行列式的加法性质：如果两个行列式相等，则它们的对应元素
相加得到的行列式也相等。

4.行列式的转置性质：将行列式的行和列互换，得到的新行列式
称为原行列式的转置。

5.行列式的代数余子式：去掉一个元素所在的行和列后，剩下的
元素构成的二阶行列式称为该元素的代数余子式。

在应用行列式等价转化法时，需要注意以下几点：
1.确定目标：明确需要解决的问题，例如求解线性方程组、求矩
阵的逆或行列式的值等。

2.观察特点：观察所给行列式的特点，如是否为上三角或下三角
形式、是否可以通过行变换或列变换化为简单形式等。

3.选择方法：根据观察到的特点选择合适的方法，如展开法、递
推法、归纳法等。

4.逐步转化：通过一系列等价变换，将复杂的行列式逐步转化为
简单的形式。

5.验证结果：最后需要验证所得结果是否正确。

高考数学思想方法我们在数学教学的每一个环节中，都要重视数学思想方法的教学。

“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生。

下面是提供的高考数学思想方法，希望对您有所帮助！高考试题重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合灵活运用。

它着眼于知识点新颖巧妙的组合，试题新而不偏，活而不过难；着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。

尤其是近几年的高考试题加大了对考生应用能力的考查，高考《考试说明》中明确指出：“能综合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决在相关学科、生产生活中的数学问题……”、“有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度……”。

高考的这种积极导向，决定了我们的数学复习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各局部知识的内在联系。

高考复习有别于新知识的教学。

它是在学生根本掌握了中学数学知识体系、具备了一定的解题经验的根底上的复课数学，也是在学生根本认识了各种数学根本方法、思维方法及数学思想的根底上的复课数学。

其目的在于深化学生对根底知识的理解，完善学生的知识结构，在综合性强的练习中进一步形成根本技能，优化思维品质，使学生在屡次的练习中充分运用数学思想方法，提高数学能力。

高考复习是学生开展数学思想，熟练掌握数学方法理想的难得的深化过程。

中学数学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为根底知识，另一个称为深层知识．根底知识包括概念、性质、法那么、公式、公理、定理等数学的根本知识和根本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。

根底知识是深层知识的根底，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识．学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的根底知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。

那种只重视讲授根底知识，而不注重渗透数学思想、方法的复习，是不完备的，它不利于对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略根底知识的教学，就会使复习流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的复习应与整个根底知识的融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。

高中数学等价思想总结归纳高中数学等价思想主要包括等价变形、等价代换、等价关系和等价性质四个方面。

这些等价思想在数学的各个分支领域中普遍存在，并具有重要的理论和应用价值。

下面将对这四个方面进行归纳总结。

等价变形是数学中常用的一种推理方法。

它通过对数学表达式、方程式或不等式进行一系列的代数运算，使其形式上发生变化，而保证其数学意义不变。

等价变形的核心思想是利用数学运算的性质来调整表达式的形式，以达到简化、解决问题的目的。

常见的等价变形方法有因式分解、通分、配方法、换元等。

例如，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，可以通过配方法将其变形为(a'x+p)^2+q=0的形式，从而更便于解方程。

等价变形在解决各种类型的数学问题中起到了重要的作用，使复杂的问题变得简单。

等价代换是利用代数等式的等价性质进行推理的方法。

它将一个数学表达式或方程中的某个量用其它的等价形式进行替代，以便于化简或求解问题。

等价代换一般包括两个步骤：找到等价量并进行替代。

等价量指的是在数学运算过程中，可以与原有量进行等价替换的数学表达式或方程。

常见的等价代换方法有因式分解、代入法、递推法等。

例如，求解二次函数f(x)=ax^2+bx+c的最值问题，可以利用等价代换将其转换为求解一元二次方程的问题，进而应用二次函数的性质完成最值问题的求解。

等价关系是指在数学领域中具有某种关联的两个数学事物之间存在着一种特定的关系。

等价关系由三个性质构成：自反性、对称性和传递性。

自反性指的是任何元素与自身之间满足这种关系；对称性指的是如果x与y之间存在这种关系，那么y与x之间也存在这种关系；传递性指的是如果x与y之间存在这种关系，y与z之间也存在这种关系，那么x与z之间也存在这种关系。

等价关系在数学中具有广泛的应用，例如，等价关系可以用于划分集合，进行分类和归纳，也可以用于构建等价类以进行证明和推理。

等价性质是在数学中常用的一种判断两个事物是否具有相同性质或结构的方法。

常见的数学思想方法
1. 归纳法：通过已知结论推导出未知结论的方法。

2. 反证法：通过假设逆命题的真假，来证明所需要的命题的真假。

3. 递推法：通过已知项和递推关系式，推导出未知项。

4. 分析法：通过分析问题的特点和条件，将其转化成易于解决的数学模型。

5. 近似法：通过简化问题，使用近似的方法求解。

6. 对称法：通过利用问题的对称性质，简化问题的求解过程。

7. 反思法：通过回顾和反思已有的知识和结果，寻找新的问题解决思路。

8. 等价转化法：通过将问题转化为等价或相似的问题，来求解原问题。

9. 极限思想：通过分析问题的极限情况，来得到问题的解或性质。

10. 约束条件法：通过分析问题的约束条件，确定问题的可行解范围。

11. 逆向思维：通过倒推或逆向思考，找到问题的解决方法。

12. 概率思想：通过概率与统计的方法，分析问题的可能性和影响因素。