等价转化思想方法

数学思想方法——等价转化解决数学问题时，我们常会遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程. 转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如函数与方程的转化，未知向已知转化，数与形的转化，空间向平面的转化，正面与反面的转化等，都是转化思想的体现.我就平时遇到的一些题目进行归类、剖析.题型一函数与方程的转化例1、已知函数在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_______.解析：f(x)在定义域内为增函数即等价于,对恒成立.解题回顾：(1)f(x)在区间（a,b）上为增函数（减函数）常转化为对恒成立(注意验证) .(2)“恒成立”问题常可转化为最值问题，本题中采用分离参数法，问题就明朗化了.解析：建立如图所示的平面直角坐标系解题回顾：（1）解决向量的问题我们有三种方法：一线性运算、二向量数量积的定义、三向量的坐标运算.本题采用第三种方法将向量的问题转化为函数的最值问题.（2）本题也体现了数与形的转化.例3、中，角A的对边长等于2，向量向量（1）求取得最大值时的角A的大小；（2）在（1）的条件下求面积的最大值.解析：故取得最大值时的角. .（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，由余弦定理，得即，当且仅当b＝c＝2时取等号,又，当且仅当a=b＝c＝2时，的面积最大为.解题回顾：(1)本题中求的最大值转化为求关于的二次函数的最大值.在解题时应注意的取值范围即角A的范围.(2)为了求bc的取值范围只要将由余弦定理得到的等式转化为不等式即可.即运用不等式.例4、若关于x的方程cos2x＋4asinx＋a－2=0在区间［0,π］上有两个不同的解，求实数a的取值范围.可知：解得：解题回顾：本题涉及多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题.题型二未知与已知的转化例1、已知则解析：由已知可得所以把变形成点评：在三角求值中，我们一定要注意已知角与未知角的关系，实现未知与已知的转化.当然本题中也涉及三角函数名的转化.例2、在R上定义运算：若不等对任意实数x都成立，则实数a的取值范围解析：由定义可知即恒成立点评：定义信息型创新题是近年高考出现频率较高的试题之一，对定义信息的提取和转化是求解的关键，也是一个难点.例3、已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有且的最大值为1，则满足的解集为_______.解析：解决本题的关键是对的理解.从代数的角度看：当时，，当时，所以此函数在定义域内为增函数，从几何的角度看：此函数上任意两点连线的斜率均大于0，所以此函数为增函数.解题回顾：未知与已知的转化，方法二也体现了数与形的转化.例4、已知o为原点，向量（2）求的最大值及相应x的值.（2），所以的最大值为相应的解题回顾：本题涉及三角函数名的转化、未知角向已知角的转化、数与形的结合、利用不等式求函数的最值等问题.题型三变量与常量的转化例、若不等式对一切均成立，则实数x的取值范围____.解析∵∴，令g(p)=，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有∴x>3或x<－1点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.题型四正面与反面的转化例、已知命题：使为真命题，则a的取值范围是_____.解析：原命题等价于若从反面考虑：原命题的否定为使解题回顾：正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可转化考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.题型五空间与平面的转化例、如图所示，在单位正方体的面对角线上存在一点P使得最短，则的最小值_______.解析：将面A1AB绕轴A1A旋转到与面A1BCD1共面，如右图所示，D1A 为所求最小值，最小值为.解题回顾：立体图形中最短路径的问题常通过图形的翻折转化到平面来解决.等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性，在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个固定统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；也可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；也可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

数学思想之一：转化与化归思想（概述）
1、转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决（当然包括解题）都离不开转化与化数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方归，
程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。

各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化
的手段。

所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。

2、转化包括等价转化和非等价转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改。

3、转化与化归的原则将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决。

4、转化与化归的基本类型
（1）正与反、一般与特殊的转化；
（2）常量与变量的转化；
（3）数与形的转化；
（4）数学各分支之间的转化；
（5）相等与不相等之间的转化；
（6）实际问题与数学模型的转化。

数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。

通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。

转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。

下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。

首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。

它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。

等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。

一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。

在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。

其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。

代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。

代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。

代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。

几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。

几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。

几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。

最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。

枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。

枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。

然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。

综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。

高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。

数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。

而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。

常用数学思想方法有：1、数形结合的思想方法2、分类讨论的思想方法3、函数与方程的思想方法4、转化（化归）的思想方法5、分类讨论的思想方法6、整体的思想方法。

更多数学思维方法，请参阅《高中数学_快速解题的六种数学思维方法》。

一、数形结合的数学思想方法数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。

如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

1、导读：2、相关内容：3、再现性题组：1.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sinθ2＝1-sinθ,那么θ2是_____。

A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角2.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。

A. 12B.33C.32D. 34、巩固性题组：1.已知5x＋12y＝60，则x y22+的最小值是_____。

A. 6013 B. 135C. 1312D. 12.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。

A. 1B. 2C. 3D.以上都不对3.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。

二、分类讨论的数学思想方法①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

解决问题的策略思想——等价与非等价转化是目前在解决实际问题中被广泛应用的一种思维策略，它是将解决问题中的现有条件或者程序，转化成另外一种可以帮助解决问题的条件或程序，从而达到解决问题的目的。

等价转化是指在解决复杂问题时，将当前的问题转化成与原问题具有同一解的另一种形式，以便更容易的解决。

通过等价转化，可以将复杂的问题转化成更简单的形式，使其更容易理解和解决。

例如，当在求解方程时，如果原方程中存在复杂的符号，则可以将其进行等价转化，使其变得简单易懂，从而使解决方程变得简单，可以在较短时间内得到解决。

非等价转化是指在解决复杂问题时，将当前的问题转化成与原问题不具有同一解的另一种形式，以便更容易的解决。

这种转化的方式比等价转化更加的复杂，但是它可以帮助我们更好的理解问题，从而更容易的解决问题。

例如，当求解一个复杂的方程时，如果原方程中存在复杂的符号，可以通过对方程进行非等价转化，将其转化为两个或多个更加简单的方程，从而使解决方程变得更加容易，从而达到解决问题的目的。

总之，等价与非等价转化都是解决复杂问题的有效策略，它们可以有效的将复杂的问题，转化成更简单的形式，使其更容易理解，从而达到解决问题的目的。

因此，在解决实际问题时，应该灵活的利用等价与非等价转化的思想，从而更有效的解决问题。

等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。

数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。

在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。

它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。

可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。

由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。

在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。

高中数学等价思想总结归纳高中数学等价思想主要包括等价变形、等价代换、等价关系和等价性质四个方面。

这些等价思想在数学的各个分支领域中普遍存在，并具有重要的理论和应用价值。

下面将对这四个方面进行归纳总结。

等价变形是数学中常用的一种推理方法。

它通过对数学表达式、方程式或不等式进行一系列的代数运算，使其形式上发生变化，而保证其数学意义不变。

等价变形的核心思想是利用数学运算的性质来调整表达式的形式，以达到简化、解决问题的目的。

常见的等价变形方法有因式分解、通分、配方法、换元等。

例如，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，可以通过配方法将其变形为(a'x+p)^2+q=0的形式，从而更便于解方程。

等价变形在解决各种类型的数学问题中起到了重要的作用，使复杂的问题变得简单。

等价代换是利用代数等式的等价性质进行推理的方法。

它将一个数学表达式或方程中的某个量用其它的等价形式进行替代，以便于化简或求解问题。

等价代换一般包括两个步骤：找到等价量并进行替代。

等价量指的是在数学运算过程中，可以与原有量进行等价替换的数学表达式或方程。

常见的等价代换方法有因式分解、代入法、递推法等。

例如，求解二次函数f(x)=ax^2+bx+c的最值问题，可以利用等价代换将其转换为求解一元二次方程的问题，进而应用二次函数的性质完成最值问题的求解。

等价关系是指在数学领域中具有某种关联的两个数学事物之间存在着一种特定的关系。

等价关系由三个性质构成：自反性、对称性和传递性。

自反性指的是任何元素与自身之间满足这种关系；对称性指的是如果x与y之间存在这种关系，那么y与x之间也存在这种关系；传递性指的是如果x与y之间存在这种关系，y与z之间也存在这种关系，那么x与z之间也存在这种关系。

等价关系在数学中具有广泛的应用，例如，等价关系可以用于划分集合，进行分类和归纳，也可以用于构建等价类以进行证明和推理。

等价性质是在数学中常用的一种判断两个事物是否具有相同性质或结构的方法。

转化思想在初中数学解题中的应用
转化思想是一种通过变形、等价转化等方法，使题目更易于理解、计算和解答的思考方式。

在初中数学解题中，转化思想应用广泛，可以减少计算量、简化问题、得出更精确的答案。

以下是几个例子：
1. 化简式子
化简式子是数学中经常出现的问题，例如化简分式、化简式子等。

这时可以运用转化思想，将式子变形成更简单的形式，使得计算更方便。

2. 转化为几何问题
在解决几何题时，转化思想也非常有用。

可以将几何题转化为代数问题或者反过来，根据具体情况来选择合适的表达方式，从而更好地解决问题。

3. 设变量
在解决问题中，遇到一些具有变量的题目，可以将问题中所含量先假设为变量，根据实际情况推导出该变量的取值，从而得出问题的答案。

4. 分解因式
分解因式也需要运用转化思想，将表达式按照特定的规则进行转化，使其因式分解更加得心应手。

同时，因式分解也可以被视为一种概括和转化的思想方法。

总之，转化思想在初中数学解题中的应用非常广泛，可以巧妙地化简问题、提高解题效率、得出更精确的答案。

转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.1.转化与化归的原则1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.2简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.3直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.4正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：1直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.2换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.3数形结合法：研究原问题中数量关系解析式与空间形式图形关系,通过互相变换获得转化途径.4等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的.5特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现.新的教学体制的出现,化归与转化的思想将是贯穿整个中学教学的一种主要的思想,所以在教学过程中要把这种思想溶入进去,让学生体会个中的精髓.关健词化归；转化；分析；联想１.化归与转化解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题相对来说,对自己较熟悉的问题,通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.化归与转化思想的核心,是以可变的观点对所要解决的问题进行变形,就是在解决数学问题时,不是对问题进行直接进攻,而是采取迂回的战术,通过变形把要解决的问题,化归为某个已经解决的问题.从而求得原问题的解决.它的基本形式有：化未知为已知,化难为易,化繁为简,化曲为直等等.化归与转化的思想也不是随时能用,或随便用的,它需要遵循一定的原则,从而达到转化的正确性,实现这种思想的作用.下面我就来谈谈我对这种方法的理解.２．化归与转化的原则化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.转化有等价转化和非等价转化,等价转化的作用就不用说,而不等价转换,如果没明确的附加条件,那就失去它的价值了.所以化归与转化就需要遵循一定的原则:2.1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.除了及少数的原始知识外,整个中学的数学知识的学习就是在实现转化为旧的知识而得到的.例如:学二元一次方程就用化元法转化为一元一次方程;学一元二次方程用降幂法转化为一元一次方程;函数与方程之间的转化等等.2.2简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.这个原则大部分学生都知道,他们都会想把问题简单化,达到求解的过程.这个原则可以在无以记数的数学简便方法中体现出来.2.3和谐化原则：化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.也就是说整个转化的过程中,要符合思维规律,虽然思维可以多样化,可以无以为边的想象,但也要能被人接受并能理解.体现出现在国家倡导的和谐社会.2.4直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.这个主要在函数与图象的联系中体现出来.把某些枯燥乏味的代数问题转化为图形来解决,能直观的解决问题.2.5正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解.反证法的应用把这个原则表现的淋漓尽致,学生能理解到其中的精髓可是可以受用无穷的,包括在生活中的应用.2.6 现实化原则:所学所用所理解的道理要用于社会实践,同时要满足社会人才的需求.3．化归与转化的方法化归与转化的方法,在千变万化的题目中,方法也各不相同,也无以统计,这里就只讲解几中常用,学生也容易理解的.3.1 直接转化法:直接把新的知识转化为前续知识.这个在讲解新课的时候,尽量让学生去体会,让他们能自己解决新的问题,获取新的知识,接着把新的知识吸收,继续解决新的问题.3.2 构造法:这个是个重要的方法,有不少题目,不能直接解决和转化,缺少了媒介,让不少学生无从下手,这时就需要构造一个数学情境,建立一个数学模型,把问题溶入进去,使问题简单化,直观化,从而达到求解的过程.3.3 数与形的转化:这个主要用于函数问题的解答和某些图型中的某些量的关系.数形结合是数学学习的一种重要的思想.3.4 换元法:这个重要是把一些繁杂的,但又有重复性的题目简单化,更直观.这个主要用于方程的解答.3.5 相等与不相等之间的转化:这个主要用与不等式的证明和函数区间.3.6 实际问题与数学理论的转化:理论联系实际的一种方法.也是学生情感方面的培养.3.7 特殊与一般之间的转化:公式法解一元二次方程就是把特殊的一般化了.同时也可以说把具体的抽象化了.3.8 数学各分支之间的转化:数学本来就是一个连贯的整体,把各分支有机的联系起来,让人感到它的魄力.同时也能解决数学以外的我问题.5 总结提炼数学新课标要求学生不仅要学会知识,还要能用所学的知识解决新问题,并能总结归纳,化为新的知识并接受,这样才能满足社会人才的需求.化归与转化就是将待解决或未解决的问题,通过转化归结为一个已经能解决的问题,或者归结为一个比较容易解决的问题,或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题,最终求得原问题的解决.懂得化归和转化的基本方向是简单化、熟悉化、和谐化.化归和转化需要广泛和灵活的联想,联想的基础是扎实的基础知识、基本技能和基本方法.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题.。

一
分析 ： 联想椭 圆的第二定义 ， 作椭 圆的右准线 ｚ ， 由
一
去知 ， ２ ｆ ＭＦＩ 即点 Ｍ 到 ｚ 的垂 线段 的长 ， 点 Ｍ 则
ｄ ） 一１ ＋ｌ ｏ ｇ ｚ只有一解 ， 求 实数 ａ的范 围” ， 又 因为 该方
，
是过 Ａ 点作 ｚ 的垂线段 与椭 圆的交点 ， 从而得 Ｍ （ ２ √ ３ ，
问题 的解． 下面我谈谈等价转化思想在教学 中的应用．
一
在解一 个问题 觉得十分 困难 的时候 ， 不妨考 虑相关 定义的运用． 有时运用定义进行命 题 的转 化 会使 问题 更
、
不违逻辑 。 力求简 明
明晰 、 更容易解决． 【 例３ １ 已知定点 Ａ（ 一２ ， √ ３ ） ， Ｆ是椭 圆ｘ １ ６ －ｒ １ ２ —１
｛（ 尽管 题 设 ＞ １ ， 但 此处 作 为 思 维 起 点 是 可 行 的 ） ，
／ ＜ ２ ） 一 ， Ｌ 厂 （ ３ ） 一 ， 可猜 测 厂 （ ｎ ） 是 的增 函数 ， 事 实
（ Ｈ ㈩ 一 ＋ 一 一 一
Ａ Ｂ — ｃ ， 求 出 使 ＋ 詈 ＋ 寺 取 最 小 值 时 Ｐ 点 的 位 置 ．
二、 化生为熟 ， 推 陈 出新
【 例４ １已 知不等式 号＋ ０ ｏ ｇ （ ａ —１ ） ＜ ＋
＋ ＋… ＋ 对一切大于 １的 自然数 ”都成 立 ， 求实数 ａ的取 值范围． 分析 ： 设不等式的右边 为 ． 厂 （ ） ， 则其项 数 随 １ １ ＂ 的增 大而增加． 值也发生变化 ， 似乎 难于把 握 ， 但如 果能求 出 ＿ 厂 （ ｎ ） 的最小值 ， 这个问题便容 易解决． 经计算 得 厂 （ １ ） 一
分析： 对 于式 子 ａ＋ ｂ＋

高三数学思想、方法、策略专题第三讲 转化与化归思想一．知识探究：等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

1．转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

2．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。

3．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

５ 营 造 独 立 思 考 、 胆 质 疑 的 氛 围 大
在 分 析 和 解 决 问 题 的 过 程 中 ， 生 能 别 出 心 裁 地 学
提 出新 异 的想 法 和 解 法 ， 是 思 维 独 创 性 的 表 现 ． 管 这 尽
许 多 情 况 下 是 处 于 低 层 次 的 ， 它 却 孕 育 着 未 来 的 大 但 发明、 大创 造 ， 师 应 满 腔 热 情 地 鼓 励 他 们 别 出 心 裁 地 教 思考 问题 ， 大胆 地 提 出 与众 不 同 的 意 见 与 质 疑 ， 辟 蹊 独 径地 解 决 问题 ， 这样 才 能使 学 生 思 维 从 求 异 、 散 向创 发 新 推进 ． 有 的 学 生 发 现 和 提 出 含 有 某 种 创 新 因 素 的 当
元 函数 的最 值 求 解 ． 题 在 转 化 为 一 元 函 数 的 区 间 上 本 求 最 值 问题 时 ， 能 忽 略 一 元 函数 的定 义 域 ， Ｘ的 取 不 即 值 范 围受 Ｙ 的 制 约 （ 一６ ｘ Ｏ ． —２ ≥ ）
３ 等价 转化 思 想 在 三 角 函 数 的化 简 、 值 、 求 证 明 中 的应 用
例 ３ 已知 ｚ Ｙ ， 为锐角， Ｓ￣÷ ， ｎｘ ｙ ＝一 ＣＸ Ｏ ｔ （－ ） ａ
÷ ， ｃｓ 求 ｏｙ的值．
解答： ｚ 。 是锐角， Ｓ 一÷， ｓ ｘ ÷ ， ｎ ＣＸ Ｏ 故 ｉ ＝ ｔｘ ｎ ａ
一
２ 等价 转化 思想在 求 函数最 值 中的应 用
例 ２ 设 ｚ ≥ ０ ２ ＋ 一６ 求 一 ４ 。 ３ ＋Ｙ ， ，ｚ ， ｘ＋ ｚ ６ 一 ３ 的最 值 ． ｚ 分 析 ： 化 为 一 元 函数 的最 值 求 解 ． 转 解 答 ：由 ６ ２ ≥Ｏ及 ｚ Ｏ ，≤ ｚ ３ — ｚ ≥ 得 Ｏ ≤ 将 一６ ｘ代 入 中得 —２

（3）是否存在一点P，使S△PAB=
9 8
S△CAB，
若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
y C
B D
1 O1
Ax
图2
〖点评〗 （1）是大家熟悉的待定系数法求解析式问题； （2）转化为阅读材料提供的方法来解决； （3）将面积的等量关系转化为方程。 （本题的面积也可用割补法求）
熟悉化原则： 把生疏的转化为熟悉的， 把未知的转化为已知的， 把非典型的转化为典型的以充分利用已知的知识及解 题经验。
S ABC
1 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 2
铅垂高
h
C
B
水平宽
a
图1
解答下列பைடு நூலகம்题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y
轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结
PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及 S CAB
常用的转化策略有： 已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形 的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。
C
B
A
〖点评〗
（1）是大家熟悉的待定系数法求解析式问题； （2）转化为在对称轴上求点Q使QC+QA的值最小； （3）将面积转化为二次函数，利用二次函数的顶点 确定最大值。
归纳总结：
等价转化是指同一命题的等价形式。可以通过变 量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的 形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
学习目标： 体会什么是等价转化思想，会利
用等价转化的思想解决常见问题。
例1、阅读材料：

行列式等价转化法是一种常用的代数方法，用于解决线性方程组、矩阵计算和行列式计算等问题。

其基本思想是通过行列式的性质和等价变换，将复杂的行列式转化为简单的形式，从而简化计算。

在行列式等价转化法中，常用的性质包括：
1.行列式的展开性质：将行列式展开为若干项的代数和，每项都
是按照某一行或某一列展开的。

2.行列式的乘法性质：如果两个行列式相等，则它们的对应元素
相乘得到的行列式也相等。

3.行列式的加法性质：如果两个行列式相等，则它们的对应元素
相加得到的行列式也相等。

4.行列式的转置性质：将行列式的行和列互换，得到的新行列式
称为原行列式的转置。

5.行列式的代数余子式：去掉一个元素所在的行和列后，剩下的
元素构成的二阶行列式称为该元素的代数余子式。

在应用行列式等价转化法时，需要注意以下几点：
1.确定目标：明确需要解决的问题，例如求解线性方程组、求矩
阵的逆或行列式的值等。

2.观察特点：观察所给行列式的特点，如是否为上三角或下三角
形式、是否可以通过行变换或列变换化为简单形式等。

3.选择方法：根据观察到的特点选择合适的方法，如展开法、递
推法、归纳法等。

4.逐步转化：通过一系列等价变换，将复杂的行列式逐步转化为
简单的形式。

5.验证结果：最后需要验证所得结果是否正确。

姨 姨 则（ f x）＝-2t2＋at＋1.因为x∈ π ， π ，所以t∈ 1 ，1 ，所
62
2
姨 以（ f x）＝-2t2＋at＋1，t∈ 1 ，1 .因为（ f x）＝cos2x＋asinx在区 2
姨 间 π ， π 上是减函数，所 以 f（x）＝-2t2＋at ＋1 在 区 间 62
（ f x）在R上的大致图像，如图4.
解法探究
教学 参谋
y a2
-4a2 -3a2 -2a2 -a2 O a2 2a2 3a2 x
-a2
图4
观察图像可知，要使坌x∈R，（ f x-1）≤（ f x），则需满
例3 （2014年高考天津）已知函数（ f x）＝|x2＋3x|，x∈ R.若方程（ f x）-a|x-1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为_________.
88
高中版
2015 年 3 月
解 析 ：显然a≠1，所以a =
y
x2+3x ， 令 t =x -1， 则 a =
x-1
t+ 4 +5 . 因 为 t + 4 ∈（-∞，
x
y=e-x- 1 2
图1
当lna<
1
时，两图像有交点，解得a<
摇
姨
e
，故a∈（-∞，
2
摇
姨
e
）.答案为B.
评注：本题解答中，将两函数存在关于y轴对称的点，
对称转化为两个函数的交点问题， 进而将问题求解.在
利用函数的对称性求解相关问题时，要注意变量的变与
不变.
二、等价换元— ——化陌生为熟悉
化陌生为熟悉，是等价转化思想的精髓所在，高中

高中数学等价变换思想总结高中数学中的等价变换思想是一种解题思路，通过等价变换可以简化问题，得到更简洁、更易解的表达式或结论。

等价变换的思想在数学中应用广泛，不仅能够解决各种数学题目，还能够培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

等价变换的基本思想是根据等式的性质和运算的法则，通过变换等式的形式，改变等式中的一些因素，使得等式更符合问题的要求，从而更容易解决问题。

等价变换的核心思想有以下几个方面。

首先是加减法的等价变换。

通过加减法的等价变换可以改变等式中的数值或运算符号，使得等式中的一些因素得到简化或消除。

例如，对于一元一次方程3x+5=8，我们可以通过减去5，得到3x=3，使得方程中的常数项被消除，达到简化方程的目的。

其次是乘除法的等价变换。

通过乘除法的等价变换可以改变等式中的系数或运算符号，使得等式中的一些因素得到简化或消除。

例如，对于一元一次方程2x=10，我们可以通过除以2，得到x=5，使得方程中的系数得到简化，达到简化方程的目的。

另外，通过代换的等价变换可以将复杂的表达式替换为简单的表达式，使得问题的解题过程更加简洁。

例如，在解一元一次方程2(3x+5)=8时，我们可以令y=3x+5，得到2y=8，进一步得到y=4，最后代入y=4得到x=-1，从而解得方程的根。

等价变换的思想还能够应用于解决不等式、恒等式、证明题等数学问题。

例如，通过对不等式的两边同时加减、乘除同一个数，可以改变不等式的形式，从而用于解决大小关系、区间判断等问题。

通过等价变换可以将一个复杂的恒等式转化为若干个等价的简单等式，从而用于证明等式成立的过程。

总之，高中数学中的等价变换思想是数学问题解决的一种重要思路，通过改变等式的形式，简化问题，使得解题过程更加简洁、明确。

等价变换的思想不仅能够帮助解决各种数学题目，还能够培养学生的逻辑思维和分析问题的能力，对于提高数学能力和解题能力都具有重要的意义。

高中数学等价思想总结高中数学等价思想总结等价思想是指在数学问题中，通过将一个问题转化为另一个与之等价的问题，从而求解原问题的思想和方法。

高中数学中的等价思想体现了数学的抽象思维和逻辑推理能力。

下面我将对高中数学中常见的等价思想进行总结。

一、等价变形思想等价变形是指通过对数学问题中的各种数式、方程、不等式等进行运算、变形，从而改变其形式，使问题更加简洁明了，便于求解的思想方法。

在代数中，我们常用等价变形来解决方程、不等式、组合等问题。

例如，对于解一元二次方程，我们可以通过配方法、因式分解等等形式进行等价变形，最终求得方程的解。

在几何中，利用等价变形思想往往能将原问题转化成一个与之等价的简单问题，从而更加方便求解。

例如，证明两角相等、两边相等时，两个三角形全等等问题，都需要灵活运用等价变形思想。

二、递推思想递推思想是指通过已知条件推导出下一个条件，从而得到问题的解决方法的思想方法。

在数列中，递推思想是一个重要的解题方法。

通过观察数列的前几项或已知的关系式，我们可以推导出数列的通项公式。

递推思想在高中数学的各个章节中都有应用，如数列、函数、排列组合等。

三、矛盾思想矛盾思想是指通过引入矛盾的假设，从而推导出一个矛盾的结论或条件，从而得到问题的解决方法的思想方法。

在证明题中，矛盾思想是一种常用的证明方法。

通过假设所要证明的结论不成立，推导出矛盾的结论或条件，从而证明假设的反面是正确的。

这种思想方法在数学中得到了广泛应用，如直接证明、反证法、逆否命题等。

四、类比思想类比思想是指找到一个与问题相似的已知问题，通过类比的方式求解问题的思想方法。

在高中数学中，类比思想常常用于解几何问题。

通过找到一个与原问题相似的已知问题，利用已知问题的解法和结论，求解原问题。

例如，在证明两角相等、两边相等时，我们可以通过找到一个与之相似的已知三角形来求解。

五、分类讨论思想分类讨论思想是指将一个问题按照某种特定的条件或性质进行分类，分别讨论每一类问题的思想方法。