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成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
评卷人得分二倍角公式一、选择题1.已知 2sin θ +3cosθ =0，则 tan2 θ =（）A ．B ．C ．D ．2.已知= ，则 sin2 α +cos （α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若 0＜α＜，﹣＜β＜ 0，cos （+α） = ，cos （﹣β），则 cos （α +β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知 cos α=， cos （α +β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值： tan42 ° +tan78 °﹣tan42 ° ?tan78 ° =（）A．B．C．D．7.已知 sinx= ﹣，且 x 在第三象限，则tan2x= （）A．B．C．D．8.已知 tan α =4，= ，则则 tan （α +β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算 log 2sin +log 2cos 的值为（）A．﹣ 4 B． 4 C． 2 D．﹣ 210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知 tan α=， tan β=，则 tan （α﹣β）等于（）12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则 cos2 θ =（）A．﹣B．﹣C．D．13.已知 sin θ +cos θ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．14.设 tan α， tan β是方程 x 2﹣3x+2=0 的两个根，则tan （α +β）的值为（）A．﹣ 3 B．﹣ 1 C． 1 D． 315.sin α=，α∈（，π），则cos （﹣α）=（）A．B．C．D．16.已知 sin α +cos α =﹣，则 sin2 α =（）A．B．C．D．17.已知，那么cosα=（）A．B．C．D．18.设α﹑β为钝角，且 sin α=， cos β =﹣，则α +β的值为（）A．B．C．D．或19.若 tan （α﹣β） = ， tan β=，则 tan α等于（）A．﹣ 3 B．﹣C． 3 D．20. =（）A．B．C．D．21.若角 A为三角形 ABC的一个内角，且 sinA+cosA= ，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形第 II 卷（非选择题）评卷人得分二、填空题22.若 tan （α +β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（ 1+tan 1°）（ 1+tan44 °）=．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜， cos （ +α） =﹣，则 sin α=．27.在△ ABC中，已知 tanA ，tanB 是方程 3x 2﹣ 7x+2=0 的两个实根，则 tanC= ．评卷人得分三、解答题28.已知，（1）求 sin α的值；（2）求β的值．29.已知 cos α=， cos （α﹣β） =，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2 α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A 解答：解：由已知得：==sin α +cos α=，∴（ sin α+cosα）2=1+2sin αcosα=1+sin2 α=，∴ sin2α=﹣，又 sin α+cosα=sin （α+），∴ sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴ sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵ cos（+α） =，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin （+α） ==，∵ cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴ sin（﹣β）==，∵α +β=（+α）﹣（﹣β），∴ cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos （+α） cos （﹣β）+sin（+α） sin （﹣β）===．4.解答：由题意可得：tan α +tan β=； tan α tan β=，显然α，β﹣又 tan （α +β） ===1 且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）5.C解答：由 2α∈（ 0，π），及 cos α=2﹣，且，得到 cos2 α =2cos α﹣ 1=sin2 α==，由α+β∈（ 0，π），及cos （α +β） =﹣，得到sin（α +β）==，则 cos （α﹣β） =cos[2 α﹣（α +β）] =cos2αcos（α +β） +sin2 αsin （α +β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到 tan78 °+tan42 °=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78 °+tan42 °﹣tan18 °?tan42 °=﹣．故选： C．．7.A8.B解答：由得tanβ=3，又 tan α=4，所以tan （α +β） ===，故选：B．解答：α，β 为锐角，则cosα===；则 cos （α +β） =﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α +β﹣α）=cos （α +β） cosα+sin （α +β） sin α==．11.D12.B13.C14.A15.A16.D17.C18.C解答：∵α﹑β 为钝角，且sin α=，cosβ=﹣，∴ cosα=﹣，sinβ=，∴cos（α +β） =cosαco sβ﹣ sin αsin β=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α +β∈（π， 2π），∴α +β=．故选：C．19.C 解答：∵ tan （α﹣β） = = = ，∴可解得：tan α =3．故选：C．20.D 21.B 解答：角 A 为三角形ABC的一个内角， sinA+cosA= sin （ A+ ），如果 A∈（ 0，] ， A+ ∈，sin （ A+ ）∈．A∈（，π）， A+ ∈，sin （ A+ ）∈（﹣ 1， 1）．∵sinA+cosA= ，∴A 是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22. 解答：∵tan （α+） =tan[ （α +β）﹣（β﹣） ] ，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24. 解答：∵∴∵，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α 为第三象限的角，所以2α∈（ 2（ 2k+1）π，π +2（ 2k+1）π）（ k∈ Z），又＜ 0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，? 4kπ+2π＜ 2α＜4kπ+3π ? 2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α） =﹣，∴sin （+α） ==，∴sin α=sin[ （α+）﹣]=sin （+α） cos﹣cos（+α） sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7 解答：∵ tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan= ﹣ tan （A+B） =﹣=﹣ 728.解答：（1）∵，∴tan α==．∵ tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sinα= ，cosα= ．（ 2）∵，，∴ sin（α﹣β）=﹣，∴tan （α﹣β）==﹣ 7==，∴ tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得： cosβ=cos=cosαcos（α﹣β） +sin αsin （α﹣β）=所以．。
第2讲 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、学习目标能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们.的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.二、教学重难点重点：两角和与差的正切公式及其推导，二倍角公式的记忆. 难点：二倍角公式及变形公式的应用.三、知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式2（1）降幂公式：22cos 1cos 2αα+=；22cos 1sin 2αα-=；ααα2sin 21cos sin =⋅；（2）升幂公式：αα2cos22cos 1=+；αα2sin 22cos 1=-；（3）配方变换：222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±； （4）因式分解变换：)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=． 3．半角公式2cos 12sinαα-±=；2cos 12cos αα+±=；αααcos 1cos 12tan +-±= 四、课前自测1．(2018·山西长治二模)已知sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6的值为( ) A ．43－310B ．43＋310C ．4－3310D ．33－410[解析] ∵sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝31010，sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫10102＝1－15＝45，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310，故选A. [答案] A2．(2018·广东七校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝( ) A ．－223B ．223C ．－13D ．13[解析] 由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝－33，得32sin α＋12cos α＋cos α＝－33，即32sin α＋32cos α＝－33， 亦即3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－33， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝－13，故选C.[答案] C3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. [解析] 由sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，两式平方相加，得2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，整理得 sin(α＋β)＝－12.[答案] －124．(2018·豫北名校联考)计算：cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝________.(用数字作答)[解析] cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝cos10°＋3cos80°1－cos80°＝cos10°＋3sin10°2·sin40°＝2sin (10°＋30°)2·sin40°＝ 2.[答案]25．(2018·河南六市联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________．[解析] 由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. [答案] π3五、典例剖析题型一 二倍角公式的直接运算例1（1）(2018年全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos2α＝( )A ．89B ．79C ．－79D ．－89[解析] 由sin α＝13，得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝1－29＝79.故选B. [答案] B （2）已知ααππαα2cos 2sin ),,2(,53sin 那么且∈=的值等于( ) A ．43B ．23C ．43-D ．23-答案：D（3）（2016年高考全国III 卷）若tan 13θ= ，则cos2θ=（ ） A ．45-B ．15-C ．15D ．45答案：D（4）（2018届高三合肥调研）已知x ∈(0，π)，且x x 2sin )22cos(=-π，则)4tan(π-x 等于( ) A ．13B ．－13C ．3D ．－3答案：A解析：由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13. 课堂练习1：（1）（2018山东滕州高一期末）已知),2,2(,54sin ππαα-∈-=则α2sin 的值为（ ） A ．2524-B ．2524 C ．54 D ．257 答案：A（2）设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________.答案：3（3）==+θθπ2cos ,53)2sin(则 . 答案：257-（4）（浙江东阳中学高三10月月考）25242sin =a ,20πα<<,则)4cos(2a -π的值为（ ）A ．51B ．51-C ．51± D ．57答案：D题型二 二倍角公式与简单的三角恒等变换例2（1）(2018年山西长治二模)已知sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6的值为( ) A ．43－310B ．43＋310C ．4－3310D ．33－410[解析] ∵sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝31010，sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫10102＝1－15＝45，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310.故选A. [答案] A（2）(2018年河南濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－35，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝( )A ．110B ．220C ．－110D ．－220[解析] 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－35<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－45.所以sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝sin(15°＋α)·cos(15°＋α)＝12sin(30°＋2α)＝12sin[(75°＋2α)－45°]＝12[sin(75°＋2α)·cos45°－cos(75°＋2α)·sin45°]＝12×⎝⎛⎭⎫－35×22＋45×22＝220，故选B. [答案] B（3）(2018年贵阳监测)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A ．79B ．13C ．－13D ．－79[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. [答案] D（4）（2017年洛阳统考）若41)3sin(=-απ，则)23cos(απ+＝________. 答案：－78解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫142－1＝－78. （5）已知322sin =α，则)4(cos 2πα+=（ ） A ．错误!未找到引用源。
10.2二倍角的三角函数学习目标核心素养1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．(难点) 1.通过对二倍角公式的推导，培养学生逻辑推理素养.2. 通过利用二倍角公式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养.若sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 2α，cos 2α的值．思考上述题目，并回答下列问题．1．你还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？2．你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？3．在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗？4．细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？(1)sin 2α＝2sinαcosα；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.思考1：T2α对任意角α都成立吗？提示：不是．所含各角要使正切函数有意义．思考2：倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？提示：倍角公式中的“倍角”具有相对性，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．1．若sin α＝15，则cos 2α＝________. 2325[∵cos 2α＝1－2sin 2α，sin α＝15， ∴cos 2α＝1－2×125＝2325.]2．若tan α＝3，则tan 2α＝________.－34[∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－9＝－34.] 3．若sin 2α＝－sin α，且sin α≠0，则cos α＝________. －12[∵sin 2α＝2sin αcos α， ∴2sin αcos α＝－sin α， 又sin α≠0，∴cos α＝－12.]直接应用二倍角公式求值【例1】 已知sin 2α＝513，π4＜α＜π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值． [思路点拨] 先由α的范围求2α的范围，并求出cos 2α的值，进而求出sin 4α，cos 4α及tan 4α的值．[解]由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π. 又因为sin 2α＝513， 所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169；tan 4α＝sin 4αcos 4α＝－120169119169＝－120119.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；…，又如α＝2·α2，α2＝2·α4，….[跟进训练]1．求下列各式的值．(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°； (3)2cos 25π12－1；(4)tan 30°1－tan 230°.[解](1)∵sin 3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8 ＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24；(2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°，∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32； (3)2cos 25π12－1＝cos 5π6＝－32； (4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230° ＝12tan 60°＝32.逆用二倍角公式化简求值【例2】 化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.[思路点拨]切化弦→逆用二倍角公式[解]原式＝2cos 2α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．[跟进训练]2．求下列各式的值：(1)2sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)cos π12cos5π12. [解](1)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝sin π6＝12；(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(60°＋4×360°)＝cos 60°＝12；(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－3；(4)原式＝cos π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12＝cos π12sin π12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12cos π12＝12sin π6＝12×12＝14.活用“倍角”关系巧解题1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的值，如何求sin 2x 的值？[提示]可利用sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1求解．2．当题设条件中含有“π4±x ”及“2x ”这样的角时，如何快速解题？ [提示]可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换． 【例3】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[思路点拨] 先由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，再求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 即可． [解]∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，又0＜x ＜π4，∴π4＜x ＋π4＜π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213.∴cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2413.当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有： (1)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；(2)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1；(3)sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等．提醒：在使用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错． 1．本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用． 2．要掌握二倍角公式的三个应用 (1)解决化简求值问题； (2)解决条件求值问题； (3)倍角公式的综合应用．3．应用二倍角公式化简求值的三个关注点(1)当单角为非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值．(2)当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角．(3)对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围． 1．若tan α＝2，则2cos 2α＋sin 2α＝( ) A ．34 B ．53 C ．76 D ．65 D [∵tan α＝2，∴2cos 2α＋sin 2α＝2cos 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2＋2tan αtan 2α＋1＝2＋2×222＋1＝65.故选D ．]2．cos 2π12－sin 2π12＝________. 32[原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32.]3.tan 7.5°1－tan 2 7.5°＝________.2－32[原式＝12·2tan 7.5°1－tan 2 7.5°＝12×tan 15°＝12×tan(60°－45°)＝12×3－11＋3＝12×(3－1)2(3＋1)(3－1)＝12×4－232＝2－32.] 4．求值：sin 50°(1＋3tan10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝________.2[∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.] 5．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos 2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值． [解](1)因为OP →·OQ →＝－12， 所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23， 所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝13. (2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010.。
一、选择题1．已知cos（α+β）=，cos（a﹣β）=﹣，则cosαcosβ的值为（）A．0B．C．0或D．0或考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先用两角和公式的余弦函数对题设中的等式展开后，两式相加即可求得cosαcosβ的值．解答：解：依题意可知，两式相加得2cosαcosβ=0，∴cosαcosβ=0，故选A．点评：本题主要考查了两角和公式的余弦函数．考查了学生对基础知识的理解和应用．2．如果，那么等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：由两角和与差的正弦函数公式化简原式，变形得到一个比例式，然后把所求的式子利用同角三角函数的关系化简后，将变形得到的比例式整体代入可求出值．解答：解：由==，得：nsinαcosβ+ncosαsinβ=msinαcosβ﹣mcosαsinβ移项合并得cosαsinβ（n+m）=sinαcosβ（m﹣n），变形得=，则===．故选A点评：本题的解题思路是运用和与差的正弦函数公式和同角三角函数的基本关系把已知和所求的式子化简后找出其联系点，然后利用整体代入的思想解决数学问题．3．已知α，β，γ均为锐角，且tanα=，tanβ=，，则α，β，γ的和为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：先根据两角和的正切公式利用tanα和tanβ的值求得tan（α+β）的值，进而利用两角和的正切公式求得tan （α+β+γ）的值，进而根据α，β，γ的范围确定α，β，γ的和．解答：解：tan（α+β）==tan（α+β+γ）==1由α，β，γ都为锐角及各自取值，知0＜α，β，γ＜，即α+β+γ也是锐角，故α+β+γ=．故选B点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．4．在△ABC中，C＞90°，E=sinC，F=sinA+sinB，G=cosA+cosB，则E，F，G之间的大小关系为（）A．G＞F＞E B．E＞F＞G C．F＞E＞G D．F＞G＞E考点：三角函数的积化和差公式；同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题．分析：把F和G利用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简后，做差得到大小；利用正弦定理和三角形的两边之和大于第三边判断F和E的大小，即可得到三者之间的大小关系．解答：解：因为F=sinA+sinB=2sin cos=2cos cos；G=cosA+cosB=2cos cos=2sin cos；由180°＞C＞90°得到45°＜＜90°，根据正弦、余弦函数的图象得到sin＞cos，所以G﹣F=2cos（sin﹣cos）＞0即G＞F；根据正弦定理得到=，因为a+b＞c，所以sinA+sinB＞sinC即F＞E；所以E，F，G之间的大小关系为G＞F＞E故选A点评：解此题的方法是利用正弦定理和做差法比较大小，要求学生灵活运用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简求值．5．化简：的值为（）B．t an2x C．﹣tanx D．c otxA．tan考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：把原式的分子和分母根据两角和的正弦、余弦函数公式进行化简后合并，再根据同角三角函数间的基本关系化简可得值．解答：解：原式=═=﹣tanx故选C点评：此题是一道基础题，要求学生掌握两角和与差的正弦、余弦函数的公式，以及会利用同角三角函数间的基本关系．6．若A，B为锐角三角形的两个锐角，则tanAtanB的值（）A．不大于1 B．小于1 C．等于1 D．大于1考点：正切函数的值域．专题：计算题．分析：直接利用锐角三角形的性质，确定sinA＞cosB，利用切化弦化简tanAtanB，即可得到选项．解答：解：因为三角形是锐角三角形，所以A+B＞；即：，所以sinA＞cosB，同理sinB ＞cosA，tanAtanB=＞1故选D点评：本题是基础题，考查锐角三角形的性质，切化弦的应用，考查计算能力，常考题型．二、填空题7．（2008•浙江）若，则cos2θ=．考点：诱导公式的作用；二倍角的余弦．分析：由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．解答：解：由可知，，而．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．8．若cosαcosβ=，则sinαsinβ的取值范围是______．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：设x=sinαsinβ，利用两角和与差的正弦函数公式分别化简cos（α+β）与cos（α﹣β），将cosαcosβ的值代入，利用余弦函数的值域列出不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为sinαsinβ的取值范围．解答：解：∵cosαcosβ=，设sinαsinβ=x，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣x，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+x，∴﹣1≤﹣x≤1，﹣1≤+x≤1，解得：﹣≤x≤，则sinαsinβ的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题9．在△ABC中，∠B=60°，且tanAtanC=2+，求角A，C的度数．考点：解三角形．专题：计算题．分析：根据B的值，进而确定A+C的值，进而利用两角和与差的正切函数公式求得tanA+tanC的值，进而联立求得tanA和tanC的值，进而求得A和C．解答：解：∵∠B=60°且A+B+C=180°，∴A+C=120°，∴tan（A+C）=．由tanAtanC=2+，∴tanA+tanC=3+，∴tanA，tanC可看作方程x2﹣（3+）x+（2+）=0的两根．解方程得x1=1，x2=2+．当tanA=1，tanC=2+时，A=45°，C=75°．当tanC=1，tanA=2+时，A=75°，C=45°．点评：本题主要考查了解三角形问题，两角和与差的正切函数．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．10．若已知方程x2﹣（tanθ+cotθ）x+1=0有两个实根，且其中一个根是2﹣，求cos4θ的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：利用方程的根，结合判别式确定sin22θ≤1，通过两个根求出另一个根，推出sin2θ的值，然后求出cos4θ的值．解答：解：∵方程x2﹣（tanθ+cotθ）2x+1=0有两个实根，∴△=（tanθ+cotθ）2﹣4==，即sin22θ≤1．设另一个根为m，则由根与系数的关系可得，（2﹣）m=1，于是，故tanθ+cotθ=4，即，∴sin2θ=（满足sin22θ≤1）．∴cos4θ=1﹣2sin22θ=．点评：本题考查三角函数的化简求值，考查二次方程根的问题，二倍角公式的应用，考查计算能力．11．已知函数y=，求函数的最大值及对应自变量x的集合．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数y=，然后求出最大值，及其相应的x 值．解答：解：==，y取最大值，只需，即，∴当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．点评：本题考查三角函数的最值，二倍角公式的应用，同时利用两角和的正弦函数化简是本题解题的关键，本题考查计算能力，是基础题．12．如图，在某点B处测得建筑物AE的项点A的仰角为θ，沿B前进30米至C点处测得顶点A的仰角为2θ，再继续前进10米至D点，测得顶点A的仰角为4θ，求θ的大小及建筑物AE的高．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：由题意及仰角的定义画出图形，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系及三角形求解即可．解答：解：由已知BC=30米，CD=10米，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，在Rt△ABE中，BE=AEcotθ，在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，∴BC=BE﹣CE=AE（cotθ﹣cot2θ）．同理可得：CD=AE（cot2θ﹣cot4θ）．∴即而cotθ﹣cot2θ==．同理可得cot2θ﹣cot4θ=．∴==2cos2θ=∴cos2θ=，结合题意可知：2θ=30°，θ=15°，∴AE=（米）．点评：此题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，还考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角，及二倍角的正切公式．。
二倍角公式评卷人得分一、选择题1.已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=（）A． B． C． D．2.已知=，则sin2α+cos（α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．7.已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．8.已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知tanα=，tanβ=，则tan（α﹣β）等于（）A．B．C．D．12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．13.已知sinθ+cosθ=，则tan2θ值为（）A．B．C．D．14.设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．315.sinα=，α∈（，π），则cos（﹣α）=（）A．B．C．D．16.已知sinα+cosα=﹣，则sin2α=（）A．B．C．D．17.已知，那么cosα=（）A．B．C．D．18.设α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，则α+β的值为（）A．B．C．D．或19.若tan（α﹣β）=，tanβ=，则tanα等于（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．20.=（）A．B．C．D．21.若角A为三角形ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题22.若tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（1+tan1°）（1+tan44°）= ．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜，cos（+α）=﹣，则sinα=．27.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ．评卷人得分三、解答题28.已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．29.已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A解答：解：由已知得：==sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，又sinα+cosα=sin（α+），∴sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵cos（+α）=，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）==，∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴sin（﹣β）==，∵α+β=（+α）﹣（﹣β），∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β）===．4.解答：由题意可得：tanα+tanβ=；tanαtanβ=，显然α，β ﹣又tan（α+β）===1且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5.C解答：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．．7.A 8.B 解答：由得tanβ=3，又tanα=4，所以tan（α+β）===，故选：B．9.D 10.B解答：α，β为锐角，则cosα===；则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．11.D 12.B 13.C 14.A 15.A 16.D 17.C 18.C解答：∵α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，∴cosα=﹣，s inβ=，∴cos（α+β）=cosαco sβ﹣sinαsinβ=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α+β∈（π，2π），∴α+β=．故选：C．19.C解答：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．20.D 21.B解答：角A为三角形ABC的一个内角，sinA+cosA=sin（A+），如果A∈（0，]，A+∈，sin（A+）∈．A∈（，π），A+∈，sin（A+）∈（﹣1，1）．∵sinA+cosA=，∴A是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22.解答：∵tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24.解答：∵∴∵，∴，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）==，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（+α）cos﹣cos（+α）sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7解答：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣728.解答：（1）∵，∴tanα==．∵tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sin α=，cos α=．（2）∵，，∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣7==，∴tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．。
两角和与差及二倍角公式（答案）两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，认识它们的内在联.2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2. 可以利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回首】1．两角和与差的三角函数sin( ) ； sin( ) ；cos( ) ； cos( ) ；tan( ) ； tan( ) ；2．二倍角公式：在sin( ),cos( ), tan( ) 中令，可得相应的二倍角公式。
sin2 ；cos2 = =tan 2 。
3．降幂公式sin 2 ；cos2 .注意：二倍角公式拥有“升幂缩角“作用，降幂公式拥有“降幂扩角”作用4．协助角公式y a sin x bcos x a2 b2 sin(x ) ，（此中a, b不可以同时为0）证明： y sin x cos x 2 2 ( a bcos x)a b sin xa2 b 2a2 b2a2 b2 (cos sin x sin cos x)a2 b2 sin( x )此中， cosa， sinb， tanb终边过点 ( a, b)2 2且角a2 2ab a b在使用时，不用死记结论，而重在这种缩短（合二为一）思想如： sin cos ； sin cos 。
5.公式的使用技巧（ 1）连续应用：sin( ) sin[( ) ] sin( )coscos()sin（ 2）“ 1”的代换：sin2 cos2 1， sin2 1,tan 14（ 3）缩短代换： y sin x cos x a 2 b 2 sin( x) ，（此中 a, b 不可以同时为0）（ 4）公式的变形：tan()tan tan tan( ) tantantan() tan tan1 tan tantan() tan tan tan( ) tantantan() tan tan1 tan tan如： tan95otan 35o3 tan 95o tan 35o。
暑期培训专题三两角和差公式、二倍角公式1. 两角和与两角差公式： (2) sin( a + 3 )=(4) sin( a - 3 )=(6) tan( a - 3 )=2. 倍角公式： (1) sin2 a = ____________________________ :(2) COS2 a = _____________ = ________ (3) tan2 a =-,试求：(1) cos( ) ； (2) tan( ).5 4 3变式 1 cos75O =__________________________o2. tan 105 = ________________________54 3. 在△ ABC 中，已知 cosA =, cosB =，求 cosC 的值1354. △ ABC 不 是直角三角形，求证：tan A ta nB ta nC tan A?ta nB?ta nC1例 2、①已知 sin( + ) =, sin(2(1 ) COS ( a + 3 )= ______ (3)COS ( a - 3 )= _________(5) tan( a + 3 )=降幕公式：sin 2a2cos a = ________________;sin cos = ______例1设Q ),若sin)=—，求-tan—的值10 tan已知 sin +sin =3cos +cos—，求 cos(52变式(1)、( 07 福建)sin 15°cos75° cos15o sin105o例5、求证： cosx+sinx= ■, 2 cos(x)4二倍角公式应用：11、（ 08 浙江）若 sin （— ）—,贝U cos2 _____________________2 5(2) si n17 cos47sin 73 cos43 =例3.已知3■ ?, cos()44 44）的值.1 tan15 sin(—4tan1513’求 sin( +变式：已知壬 V aV, cos ( a — 3)=12 , sin ( a + 3)=—-，求 sin2 a 的值. 135例 4、tan10 tan 20 , 3(tan10 tan20 ) = __________变式〔、已知tan ,tan 是方程x 2 5x0的两个实根，求tan （ ）的值。
倍角公式（二）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.设向量与垂直，则( )
A. B.
C.0
D.-1
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式
2.已知，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式
3.设，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式
4.已知，，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的正切公式
5.已知为第二象限角，，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：同角三角函数的基本关系
6.若，则( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式
7.设，且，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的正切公式
8.若，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的余弦公式
9.若，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：二倍角的正弦公式
10.若，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：同角三角函数的基本关系。
二倍角公式一、选择题，则tan2θ=（）A． B． C． D．2.已知=，则sin2α+cos（α﹣）等于（）A．﹣B．C．D．﹣3.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣β），则cos（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5.已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．6.求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．7.已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．8.已知tanα=4，=，则则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣9.计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣210.若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．11.已知tanα=，tanβ=，则tan（α﹣β）等于（）A．B．C．D．12.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（ ）A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．13.已知sin θ+cos θ=，则tan2θ值为（ ）A ．B ．C ．D ．14.设tan α，tan β是方程x 2﹣3x+2=0的两个根，则tan （α+β）的值为（ ） A ． ﹣3 B ． ﹣1C ． 1D ． 315.sin α=，α∈（，π），则cos （﹣α）=（ ）A ．B ．C ．D ．16.已知sin α+cos α=﹣，则sin2α=（ ）A ．B ．C ．D ．17.已知，那么cos α=（ ）A ．B ．C ．D ．18.设α﹑β为钝角，且sin α=，cos β=﹣，则α+β的值为（ ）A ．B ．C ．D ．或19.若tan （α﹣β）=，tan β=，则tan α等于（ ）A ． ﹣3B ． ﹣C ． 3D ．20.=（ ）A ．B ．C ．D ．21.若角A 为三角形ABC 的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（ ）A ． 锐角三角形B ． 钝角三角形C ． 等腰直角三角形D ． 等腰三角形第II卷（非选择题）二、填空题22.若tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=．23.（1+tan1°）（1+tan44°）= ．24.若，，，则=．25.已知α为第三象限的角，，则=．26.已知＜α＜，cos（+α）=﹣，则sinα= ．27.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC= ．三、解答题28.已知，（1）求sinα的值；（2）求β的值．29.已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求β．二倍角公式试卷答案1.B2.A解答：解：由已知得：==sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α=，∴sin2α=﹣，又sinα+cosα=sin（α+），∴sin（α+）=，cos（α﹣）=cos（﹣α）=sin（x+）=，∴sin2α+cos（α﹣）=﹣．3.C解答：解：∵cos（+α）=，0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）==，∵cos（﹣β）=，﹣＜β＜0，∴＜﹣β＜，∴sin（﹣β）==，∵α+β=（+α）﹣（﹣β），∴cos（α+β）=cos[（+α）﹣（﹣β）]=cos（+α）cos（﹣β）+sin（+α）sin（﹣β）===．4.解答：由题意可得：tanα+tanβ=；tanαtanβ=，显然α，β﹣又tan（α+β）===1且α+β∈，故α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5.C解答：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．6.C解答：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．．7.A 8.B 解答：由得tanβ=3，又tanα=4，所以tan（α+β）===，故选：B．9.D 10.B解答：α，β为锐角，则cosα===；则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．11.D 12.B 13.C 14.A 15.A 16.D 17.C 18.C解答：∵α﹑β为钝角，且sinα=，cosβ=﹣，∴cosα=﹣，sinβ=，∴cos（α+β）=cosαco sβ﹣sinαsinβ=﹣×（﹣）﹣×=，又α﹑β为钝角，∴α+β∈（π，2π），∴α+β=．故选：C．19.C解答：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故选：C．20.D 21.B解答：角A为三角形ABC的一个内角，sinA+cosA=sin（A+），如果A∈（0，]，A+∈，sin（A+）∈．A∈（，π），A+∈，sin（A+）∈（﹣1，1）．∵sinA+cosA=，∴A是钝角．三角形是钝角三角形．故选：B．22.解答：∵tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，∴又∵∴．故答案为：．23.2 24.解答：∵∴∵，∴，∴===故答案为：25.解答：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，26.解答：∵＜α＜，∴＜α+＜π，又cos（+α）=﹣，∴sin（+α）==，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（+α）cos﹣cos（+α）sin=×﹣（﹣）×=．故答案为：．27.-7解答：∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根，则tanA+tanB=，tanAtanB=，∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣728.解答：（1）∵，∴tanα==．∵tanα=，sin2α+cos2α=1，∴sin α=，cos α=．（2）∵，，∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣7==，∴tanβ=﹣1，∴β=．29.解答：（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由0＜β＜α＜，得，又∵，∴由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=所以．。
二倍角的正弦、余弦、正切公式[基础自测]1．思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )[解析] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误．(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α. [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．sin 15°cos 15°＝________.14 [sin 15°cos 15°＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 3．12－cos 2π8＝________. －24 [12－cos 2π8＝12－1＋cos π42＝12－12－12×22＝－24.]4．若tan θ＝2则tan 2θ＝________. －43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.] [合 作 探 究·攻 重 难]给角求值(1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( ) A ．14 B ．－14 C ．18D ．－18(2)求下列各式的值：①cos 415°－sin 415°；②1－2sin 275°；③1－tan 275°tan 75°；④1sin 10°－3cos 10°.(1)D [(1)∵cos 3π7＝－cos 4π7，cos 5π7＝－cos 2π7，∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin 8π78sin π7＝－18. (2)①cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.②1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. ③1－tan 275°tan 75°＝2×1－tan 275°2tan 75° ＝2×1tan 150°＝－2 3.④1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.][规律方法] 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟踪训练] 1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°.[解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.给值求值、求角问题(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋π4与2α＋π2，α－π4与2α－π2具有2倍关系，用二倍角公式联系； (2)2α＋π2与2α差π2，用诱导公式联系． [解] (1)∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22×725＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3， 即α＝－π4或α＝5π12.母题探究：1.在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝－336625.2．将例2(1)的条件改为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[解] ∵0＜x ＜π4，∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.[规律方法] 解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到\f(π,4)±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.化简证明问题[探究问题]1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．(1)化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________.(2)证明：3tan 12°－3sin 12°(4cos212°－2)＝－4 3.[思路探究](1)通分变形．(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan 2θ[(1)原式＝tan θ－1＋tan θ＋1(tan θ＋1)(tan θ－1)＝2tan θtan2θ－1＝－2tan θ1－tan2θ＝－tan2θ.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°(2cos212°－1)＝23⎝⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin(12°－60°)sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边，所以原等式成立．][规律方法]证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°B [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.]3．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝________. 6 [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.]4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.3 [∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3， ∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.] 5．已知π2＜α＜π，cos α＝－45. (1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解](1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝3 5，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－24 25，cos 2α＝2cos2α－1＝7 25，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.。
精品文档二倍角正弦、余弦与正切公式练习题一 选择题3*41.已知sin ,cos 则〉终边所在的象限是（） 2 52 5A 第一象限B第二象限 C 第三象限 D第四象限2.已知 sin xtanx ：0则,1 cos2x =( )A 、2COSX Bf?2cosx C■, 2 sin xD2 sin x1 …sin2：£ 亠3.右 tan -Z则二（) 24cos2： -4sin2：A 1o155ABCD-1414224. log 2 sin15 0log 2cos15 的值是()A 1B -1C 2D -2pZ -TT_____________________ _______________________________5.若〔三(—-,)化简1 sin 21 -sin 2二的结果是()4 2A2sin rB2cosr C-2si nrD-2cos )- n36. 已知sin（： -x) ,sin 2x 的值为（)A 714 16 19BCD25252525 -二填空题7. tan22.50 -1 _n —1tan 22.H + 0=tan2 25ta n22.508.已知 sin x =_1贝U sin 2(x —巴)=249. 计算 sin6°sin42°sin66°sin 78° = _____________________ 10. 已知 f(cos ；) =3cosx 2 则 三 解答题CL CL(1 sin 二"cos ： )(sincos —)11. 化简 --------------2 2〈2 +2cosaf (sin§)二（二：:：：：::2 二）00hoII*3n H «口再x m(0-2)应sin(2— X)J2 x• 、2cos ——S 5x '-M 2孚血7585'(：十)cos2xcos千 口再 32=2 0+22=20"严32= 2Q —2sin 20“0皿0-0骥池溢>〉泪肖0选择题DBDDCA填空题 题-2; 2、2 解答题 11.解 二：:：:-:::2 二, 2 CL<~ 2 参考答案10题4 一3\2 2原式= acos 0 2… … 2 a …… (1 2sin cos 2cos 1)(s in cos — ) 2 2 2 2 2CL CL 2(1 - 2cos 2 £ -1)a … aa aa2cos (sincos —)(s incos —)a a a a a2cos —(s in cos —)(s in cos —)2 2 2 2 2_a -2cos —2a= (cos? sin 列2« .= cos sin2二 COS :aCL CLCOS3 - sin 3)12.解；0：：：x jr < — 4 JI Tt0 x — 4 4 即 cosx sin 12. 2x 二13 cos 2 x -sin 2 x原式 = — 72 (cosx—sinx) 2 =2(cos x sin x)24 13 2ta nx13.解 tan2x — 1 -ta n 2x= -2^2 ■■- 2 tan 2 x - tan x - . 2 = 0解得 tanx-2 或 tanx-t21 -ta nx=1 ta n x 2=32.21 一 ‘2214.证明：由 3s in 2 : =1-2s in 2： 得 3s in 2: = cos2 ：……① 由 3sin 2 = 2sin 2 -得 3sin cos ：•二 sin 2 一： ②：都是锐角3兀 即 cos （二亠 2F ） =0 又；0 ：： : 2卩2所以：£亠21-'=—2J； — ::: x :::■:2tan x 0tanx =_ cosx -sin xsin x cosxcosx = 0分子分母同时除以 cosx 得①十②得sin ： cos2 : cos _：＞ sin2cos ： cos 2 - - sin ： sin 2 ： = 0精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
§3 二倍角的三角函数公式3．1 二倍角公式 3．2 半角公式必备知识基础练知识点一 利用二倍角公式化简、求值 1.sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝( ) A ．－12 B ．12C ．32 D ．－322．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝13 ，则sin 2α＝( )A ．－79B ．79C ．±223D ．±793．下列各式：①2sin 67.5°cos 67.5°；②2cos2π12－1； ③1－2sin 215°；④2tan22.5°1－tan 222.5° . 其中值等于32的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3知识点二 利用半角公式化简、求值 4．设α∈(π，2π)，则1－cos （π＋α）2＝( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α25．若sin α＝13 ，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝( )A ．23B ．12C ．13D ．0 6．(1)已知sin α＝－817 ，且π<α<3π2 ，求sin α2 ，cos α2 和tan α2 .(2)若32π<α<2π，化简12＋1212＋12cos 2α .知识点三 二倍角公式、半角公式的综合应用7．设a ＝(1－3 tan 20°)sin 80°，b ＝sin 40°sin 110°－sin 20°sin 130°，c ＝2tan 15°1－tan 215°，则( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．c >a >b D ．a >c >b8．化简：（1＋sin α＋cos α）⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2 cos α (π<α<2π)．关键能力综合练一、选择题1．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝( )A ．－154B ．±158C ．－158 D ．1582．若cos 2α＝－725 ，0<α<π2 ，则cos α＝( )A ．45B ．－45 C ．35 D ．－353．sin 10°sin 30°·sin 50°sin 70°＝( ) A ．116 B ．－116 C ．316 D ．－3164．(易错题)若3π<x <4π，则1＋cos x2＋ 1－cos x2＝( ) A ．2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 B ．－2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 C ．2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 D ．－2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 5．已知sin (α－π5 )＝34 ，则sin (2α＋π10 )＝( )A ．－716B ．716C ．－18D ．18二、填空题6．已知α是第二象限角，tan (π－2α)＝43 ，则tan α＝________．7．设a ＝12 cos 6°－32 sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝1－cos50°2，将a ，b ，c 用“<”连接起来为________．8．(探究题)已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，且B ＝2A ，则sin Bsin A 的取值范围为________．三、解答题9．已知向量a ＝(2sin x ，cos x )，b ＝(3 cos x ，2cos x )，定义函数f (x )＝a ·b －1.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间．学科素养升级练1.(多选题)关于函数f (x )＝12 sin ωx －cos 2ωx 2 ＋12 (ω>0)，若函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则下列说法正确的有( )A ．函数f (x )的最小正周期有可能为4πB ．函数f (x )在区间(π，2π)内一定不存在对称轴C ．函数f (x )在区间(－π4 ，0)上单调递增D ．ω的最大值是122．(情境命题——生活情境)如图所示，已知扇形POQ 的半径为3 ，圆心角为π3 ，C是弧PQ 上的动点(不与P ，Q 重合)，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，设∠COP ＝x ，矩形ABCD 的面积为f (x ).(1)求函数f (x )的解析式，并写出其定义域；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 的最大值及相应的x 值．§3 二倍角的三角函数公式 3．1 二倍角公式 3．2 半角公式必备知识基础练1．答案：B解析：由题意，根据诱导公式得sin110°sin 20°＝cos 20°sin 20°，根据二倍角公式得cos 2155°－sin 2155°＝cos310°＝sin 40°， 则原式可转化为cos 20°sin 20°sin 40° ＝2cos 20°sin 20°2sin 40° ＝12 .故选B.2．答案：B解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝13 ， ∴sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×19－1 ＝79 .故选B.3．答案：C解析：2sin67.5°cos 67.5°＝sin 135°＝22； 2cos2π12 －1＝cos π6 ＝32； 1－2sin 215°＝cos30°＝32； 2tan 22.5°1－tan 222.5° ＝tan45°＝1.故选C. 4．答案：D解析：∵α∈(π，2π)，∴α2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ， ∴ 1－cos （π＋α）2 ＝1＋cos α2＝cos2α2＝－cos α2.故选D.5．答案：C解析：∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22 ＝－12 sin α＋12 ，sin α＝13 ，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝－12 ×13 ＋12 ＝13 .故选C.6．解析：(1)∵sin α＝－817 ，π<α<3π2 ，∴cos α＝－1517 .又∵π<α<3π2 ，∴π2 <α2 <3π4，∴sin α2＝ 1－cos α2 ＝ 1＋15172 ＝41717 ， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－15172 ＝－1717， tan α2＝sin α2cosα2＝－4.(2)∵32 π<α<2π，∴34 π<α2 <π，∴cos α>0，cos α2 <0，∴12＋12 12＋12cos 2α ＝12＋12 12（1＋cos 2α） ＝12＋1212×2cos 2α ＝12＋12cos α ＝ 12（1＋cos α） ＝cos2α2＝－cos α2.7．答案：C解析：a ＝(1－3 tan 20°)sin 80°＝（cos 20°－3sin 20°）sin （90°－10°）cos 20°＝－（3sin 20°－cos 20°）cos 10°cos 20°＝－2sin （20°－30°）cos 10°cos 20° ＝2sin 10°cos 10°cos 20°＝sin 20°cos 20°＝tan 20°，b ＝sin 40°sin 110°－sin 20°sin 130°＝sin 40°sin (90°＋20°)－sin 20°sin (90°＋40°)＝sin 40°cos 20°－sin 20°cos 40°＝sin (40°－20°)＝sin 20°，c ＝2tan 15°1－tan 215°＝tan30°， 因为0<cos 20°<1，则tan 30°>tan 20°＝sin 20°cos 20° >sin 20°，即c >a >b .故选C.8．解析：原式＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ，∵π<α<2π，∴π2 <α2 <π.∴cos α2<0.∴原式＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝－cos α2cos α－cos α2 ＝cos α.关键能力综合练1．答案：C解析：因为cos x ＝－14 ，x 为第二象限角，所以sin x ＝154 ，所以sin 2x ＝2sin xcos x ＝2×154 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 ＝－158 .故选C. 2．答案：C解析：因为cos 2α＝2cos 2α－1＝－725 ，所以cos 2α＝925 ，又0<α<π2 ，则cos α＝35.故选C. 3．答案：A解析：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝12 cos 20°cos 40°cos 80°＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°4sin 20° ＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 80°cos 80°16sin 20° ＝sin 160°16sin 20° ＝116.4．答案：C解析：因为3π<x <4π，所以3π2 <x 2 <2π，sin x 2 <0，cos x2>0.于是 1＋cos x2＋1－cos x 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 2 ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2 ＝cos x 2 －sin x 2 ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x 2－22sin x 2 ＝2 sin (π4 －x2).故选C.5．答案：C解析：令t ＝α－π5 ，所以sin t ＝34 ，α＝t ＋π5 ，所以sin (2α＋π10 )＝sin (2t＋π2 )＝cos 2t ＝1－2sin 2t ＝－18.故选C. 6．答案：－12解析：由tan(π－2α)＝43 ，得tan 2α＝－43 .又tan 2α＝2tan α1－tan 2α ＝－43 ，解得tan α＝－12 或2.又α是第二象限角，所以tan α＝－12.7．答案：a <c <b解析：a ＝12 cos 6°－32sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝tan 26°，c ＝1－cos 50°2＝sin 225° ＝sin25°. ∵tan 26°＝sin 26°cos 26° ，0<cos 26°<1，∴tan 26°>sin 26°.又y ＝sin x 在(0，π2 )上为增函数，∴a <c <b .8．答案：(2 ，3 )解析：由于△ABC 为锐角三角形，故A ，B ，C 都为锐角，从而得⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<B ＝2A <π2，0<C ＝π－3A <π2，解得π6 <A <π4 ，从而sin B sin A ＝sin 2Asin A＝2cos A ∈(2 ，3 ). 9．解析：f (x )＝23 sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3 sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 . (1)最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令π2 ＋2k π≤2x ＋π6 ≤3π2 ＋2k π，k ∈Z ，解得π6 ＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π (k ∈Z ).学科素养升级练1．答案：AC解析：由题知：f (x )＝12 sin ωx －1＋cos ωx 2 ＋12 ＝22 sin (ωx －π4)，因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （π）f （2π）≥0，T 2＝πω≥2π－π ⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin （πω－π4）sin （2πω－π4）≥0，0<ω≤1.对于A ，B ，当ω＝12 时，f (x )＝22 sin (12 x －π4 )，满足题意，最小正周期为4π，x ＝3π2是其一条对称轴，故A 正确，B 错误；对于C ，由于0<ω≤1，所以当x ∈(－π4 ，0)时，－π2 <－ωπ4 －π4 <ωx －π4 <－π4 ，函数单调递增，故C 正确；对于D ，当⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎪⎫πω－π4≥0，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πω－π4≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14≤ω≤2k ＋54，k ＋18≤ω≤k ＋58，k ∈Z ⇒14 ≤ω≤58 ，当⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω－π4≤0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πω－π4≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k －34≤ω≤2k ＋14，k －38≤ω≤k ＋18，k ∈Z ⇒0<ω≤18 ，综上：0<ω≤18 或14 ≤ω≤58，故D 错误．故选AC.2．解析：(1)∵在Rt△COB 中，CB ＝3 sin x ，OB ＝3 cos x ， ∴OA ＝DA tan π6 ＝CB tan π6＝sin x ，AB ＝OB －OA ＝3 cos x －sin x ，∴f (x )＝AB ·CB ＝(3 cos x －sin x )·3 sin x ＝3sin x ·cos x －3 sin 2x ＝32sin2x －32 (1－cos 2x )＝3 sin (2x ＋π6 )－32 ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 .(2)y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －32 ＋3 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6 －32 ＝3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －3 ＝6 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12 －3 . 由0<x <π3 ，0<x ＋π4 <π3 ，得0<x <π12 ，∴5π12 <2x ＋5π12 <7π12， ∴当2x ＋5π12 ＝π2 ，即x ＝π24 时，y max ＝6 －3 .。
