广东省汕头市潮阳实验学校2021届高三下学期3月第一次测试理科数学试题

2021年高三3月月考（一模）数学（理）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.若复数则=（）A．3 B.2 C． D．2.已知集合，集合B为函数的定义域，且A∪B=R，那么m的值可以是（）A．﹣1 B．0C．1D．23．设向量与满足:在方向上的投影为，与垂直，则（）A． B． C． D．4.设中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A．2B．4C．8D．165.已知不重合的直线m、l和平面，，,则是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件6．已知对任意的实数，直线都不与曲线相切．则实数的取值范围为( )A. B. C. D.7．某三棱锥的三视图如图所示，其中左视图中虚线平分底边，则该三棱锥的所有面中最大面的面积是( )否是输入m 输出S 结束 S =0,i =1 S =S +ii =i +2 i<m 开始A ．2B ．C ．2D ． 8．阅读如图所示的程序框图，若输入m=xx ，则输出等于() A ．10072 B.10082 C ．10092 D ．xx 29.函数y=sin φ取最小正值时所得偶函数为，则函数的部分图象可以为( )10．设、是双曲线：（，）的两个焦点，是上一点，若，且△最小内角的大小为，抛物线：的准线交双曲线所得的弦长为4,则双曲线的实轴长为（ ）A ．6B ．2C ．D ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0.若函数只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.左（侧）视图12.已知是定义在上的函数的导函数，且满足，则不等式的解集为( ) A. B. C. D.第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-24为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

广东省汕头市潮阳区实验中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义域为的奇函数，当时，满足，则（）A．B．C．－2 D．0参考答案：B定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B．2. 已知全集，若，，则等于（）A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4}参考答案：D3. 若函数是偶函数，则的单调递增区间是（）．A．(－∞,1)B．(1,+∞)C．(－∞,0)D．(0,+∞)参考答案：D是偶函数，得，，其单调递增区间是，故选D.4. 《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马初日行九十七里，日减半里……”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里.良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里.驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”。

试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（A） 1235 （B）1800 （C） 2600 （D）3000参考答案：A5. 设向量、满足||=3，||=2，且?=1，则|﹣|等于（）A．B．C．3 D．2参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】对|﹣|两边平方，开方得出|﹣|．【解答】解：||2==9+4﹣2=11．∴|﹣|=．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6. 《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50πC．100πD．π参考答案：B【考点】LR：球内接多面体；L7：简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径： =5该三棱锥的外接球的表面积为： =50π，故选B．7. 设函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．3 C．D．参考答案：D【考点】3T：函数的值．【分析】由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出 f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果．【解答】解：函数f（x）=，则f（3）=，∴f（f（3））=f（）=+1=，故选D．8. 设集合，，则( )A.A BB.A BC.A BD.A B参考答案：B9. 已知函数>0，则的值A．一定大于零B．一定小于零C．等于零D．正负都有可能参考答案：B略10. 设a＞1＞b＞0，则下列不等式中正确的是（A）(-a)7＜(-a)9（B）b- 9＜b- 7（C）（D）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义一种新运算“”：，其运算原理如图3的程序框图所示，则=_______.参考答案：-3 略12. 将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得函数的单调递增区间为.参考答案：13. 已知为奇函数，则___________．参考答案： 1014. 函数的增区间为____________．参考答案：试题分析：因为的图象开口向上，且对称轴方程是，所以在上递增，故答案为.考点：二次函数的图象及单调性.15. 已知双曲线左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线与双曲线一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为_______；参考答案：16. 计算行列式=____________参考答案：略17. （5分）（2015?淄博一模）若直线y=kx+3与圆x 2+y 2=1相切，则k= ．参考答案：±2【考点】： 圆的切线方程． 【专题】： 直线与圆．【分析】： 联立方程组消y 的x 的一元二次方程，由△=0解方程可得．解：联立消去y 并整理得（k 2+1）x 2+6kx+8=0，由直线y=kx+3与圆x 2+y 2=1相切可得△=36k 2﹣32（k 2+1）=0， 解得k=±2故答案为：±2【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合P=，Q=，若，则A. B. C. D.2.若复数（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a=A. B.-1 C.0 D.13.有下列关于三角函数的命题：)(2,1Z k k x R x P ∈+≠∈∀ππ：，若，则。

函数与函数的图像相同；函数的最小正周期为2x 。

其中真命题是（ ）A.，B.，C.，D. ，4.某程序框图如图所示，则输出的n 值是A.3B. 4C. 5D. 6 5.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2,1]，则b-a 的值不可能是A. B. C. D.26. 某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到如下联表：则下列结论正确的是（ ）A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到“光盘”与性别无关”B.有99%以上的把握认为“该校学生能否做到“光盘”与性别有关”C.在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到“光盘”与性别有关”D.有99%以上的把握认为“该校学生能否做到“光盘”与性别无关”7.若x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥-+00202y y kx y x 且的最小值为-2，则k 的值为（ ）A.1B. -1C. 2D. -28.已知菱形ABCD 的边长为3，，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD 平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）A.15B.C.D.69.定义在（0，+）上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D.10.已知分别是双曲线的左右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以现在为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A.（1，）B.（）C.（）D.11.如图，长方形ABCD的长AD=2x,宽AB=x（1），线段MN的长度为1，端点M,N在长方形ABCD 的四边形上滑动，当M,N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围城的面积数值的差为y，则函数的图像大致为（）12.已知函数=，=（），若对任意的c>1，存在实数a，b满足0<a<b<c，使得，则k的最大值为（）A.2B.3C.4D.5第II卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2021年高三3月统一测试（一模）数学（理）试题含解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（） A． {1，2} B．{x|x≤1} C． {﹣1，0，1} D． R【考点】：交集及其运算．【专题】：计算题；集合．【分析】：由集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，得B⊆A，由此能求出结果．【解析】：解：∵集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，∴B⊆A，观察备选答案中的4个选项，只有{1，2}⊆A．故选：A．【点评】：本题考查交集性质的应用，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2被直线ρsinθ=1截得的弦长为（）A．B． 2 C． 2 D． 3【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解析】：解：圆ρ=2的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=4．直线ρsinθ=1转化成直角坐标方程为：y=1．所以：圆心到直线y=1的距离为1．则：弦长l==．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．3．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为（）A． 4 B． 6 C．8 D．10【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=48时，由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1不满足条件n＞k，n=4，S=6不满足条件n＞k，n=7，S=19不满足条件n＞k，n=10，S=48由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10故选：C．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，根据退出循环的条件分析k的取值范围是解题的关键，属于基础题．4．（5分）已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．5．（5分）二项式（2x+）6的展开式中，常数项的值是（）A．240 B．60 C．192 D．180【考点】：二项式系数的性质．【专题】：概率与统计．【分析】：利用通项公式T r+1==x6﹣3r，令6﹣3r=0，解得r=2．即可得出．【解析】：解：T r+1==x6﹣3r，令6﹣3r=0，解得r=2．∴常数项的值是==240．故选：A．【点评】：本题考查了二项式定理的通项公式、常数项，属于基础题．6．（5分）等差数列{a n}中，a，a k=（m≠k），则该数列前mk项之和为（）A．B．C．D．【考点】：等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由已知求出等差数列的公差，得到a mk，然后代入前n项和公式得答案．【解析】：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的性质以及已知条件得d==，∵a1+（m﹣1）d=a m，∴a1=﹣（m﹣1）=，∴a mk=+（mk﹣1）=1，∴s mk==．故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．7．（5分）（xx•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解析】：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．8．（5分）如果双曲线的离心率e=，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：①双曲线是黄金双曲线；②双曲线y是黄金双曲线；③在双曲线中，F1为左焦点，A2为右顶点，B1（0，b），若∠F1 B1 A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线中，过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，若∠MON=120°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：对于①②求出双曲线的离心率判断正误；对于③通过∠F1B1A2=90°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；对于④，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=120°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误．【解析】：解：①双曲线中a=，c=，离心率是，故不是黄金双曲线，即①正确；②由双曲线y，可得离心率e==，故该双曲线是黄金双曲线，即②正确；③∵∠F1B1A2=90°，∴，∴b2+c2+b2+a2=（a+c）2，化为c2﹣ac﹣a2=0，由③可知该双曲线是黄金双曲线；④如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=120°，∴NF2=OF2，∴，∴b2=3ac，∴c2﹣a2=3ac，∴e2﹣3e﹣1=0，∴e=，∴该双曲线不是黄金双曲线，故选：B【点评】：本题考查双曲线的基本性质，a，b，c的关系，离心率的求法，考查计算能力．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）z=1+i，为复数z的共轭复数，则z+=1+．【考点】：复数代数形式的混合运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数的模，共轭复数化简求解即可．【解析】：解：z=1+i，=1﹣i，z+=1+i+（1﹣i）+|1+i|﹣1=1+．故答案为：1+．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．10．（5分）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=30°．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：欲求：“∠CBD”，根据圆中角的关系：∠COD=2∠CBD，只要求出∠COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题．【解析】：解：由割线定理得，PA×PB=PC×PD，∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD，∴PD=8，∴CD=8﹣5=3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．故填：30°或．【点评】：此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形．本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆x2+y2=1内的概率为．【考点】：几何概型；简单线性规划．【专题】：概率与统计．【分析】：首先分别画出区域D、M，然后分别计算面积，利用几何概型的公式解答即可．【解析】：解：平面区域D以及满足条件的M如图阴影部分区域D的面积为=4，区域M的面积为，由几何概型的公式得点M落在圆x2+y2=1内的概率为；故答案为：．【点评】：本题考查了几何概型的概率公式的运用；关键是明确区域的面积，利用公式解答．12．（5分）如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足=x+y（x，y∈R），则=．【考点】：向量的三角形法则．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可．【解析】：解：将向量，，放入坐标系中，则向量=（1，2），=（2，﹣1），=（3，4），∵=x+y，∴（3，4）=x（1，2）+y（2，﹣1），即，解得，则=，故答案为：．【点评】：本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键．13．（5分）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有180种．【考点】：计数原理的应用．【专题】：排列组合．【分析】：根据分步计数原理，先选2门确定为甲乙相同的2门，再从剩下的4门中任选2门分配给甲乙即可．【解析】：解：先出6门中选2门，再从剩下的4门再选2门分给甲乙，故甲乙所选的课程中恰有2门相同，故有C62×A42=180种情况，故答案为：180．【点评】：本题考查分步计数原理，关键是如何分步，属于基础题14．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，都存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=e x﹣2；④M={（x，y）|y=sinx+1．其中是“垂直对点集”的序号是③④．【考点】：点到直线的距离公式．【专题】：导数的综合应用．【分析】：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．【解析】：解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①M={（x，y）|y=}，假设集合M是“垂直对点集”，则存在两点，，满足=﹣1，化为=﹣1，无解，因此假设不成立，即集合M不是“垂直对点集”，②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0=0，因此集合M不是“垂直对点集”；③M={（x，y）|y=e x﹣2，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”；④M={（x，y）|y=sinx+1，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”．综上可得：只有③④是“垂直对点集”．故答案为：③④．【点评】：本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）=y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b．【考点】：任意角的三角函数的定义；直线与圆的位置关系．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（1）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；（2）根据条件求出C，根据余弦定理即可得到结论．【解析】：解：（Ⅰ）由三角函数定义知，y1=sinα，y2=sin（α+）=cosα，f（α）=y1+y2=cosα+sinα=sin（α+），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，∴1＜sin（α+）≤，则f（α）的取值范围是（1，]；（Ⅱ）若f（C）=，且a=，c=1，则f（C）═sin（C+）=，即sin（C+）=1，则C=，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即1=2+b2﹣2×b，则b2﹣2b+1=0，即（b﹣1）2=0，解得b=1．【点评】：本题主要考查三角函数的定义以及余弦定理的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．16．（13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市xx年3月某时刻实时监测到的数据：（Ⅰ）求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据AQI的平均数及其它几个城市的AQI值即可求出x，带入方差公式即可求出并比较出东西部城市AQI数值的方差；（Ⅱ）根据古典概型的求概率方法求出随机变量ξ分别取1，2，3时的概率，从而列出其分布列，带入数学期望公式即可求出其数学期望．【解析】：解：（Ⅰ）x=82，；（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个；根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3；P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=；∴ξ的分布列为：所以E（ξ）=．【点评】：考查对数据平均值的理解，方差的概念及计算方差的公式，古典概型的概率求解，以及组合数公式，离散型随机变量的分布列的概念，数学期望的概念及求解公式．17．（14分）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=AD=2，CD=4．（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，欲使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF 所成的角等于30°．【考点】：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（Ⅰ）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；（Ⅱ）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系D﹣xyz，求出D，A，E，B，F，以及，，设P（o，y，z）通过|y|=|z|．设是平面BEF 的法向量，利用，求出，推出与所成的角为60°或120°．通过cos=和y|=|z|．求出P的坐标．【解析】：解：（Ⅰ）在正方形ADEF中，ED⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．（3分）在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得在△BCD中，，所以BD2+BC2=CD2．所以BC⊥BD．（5分）所以BC⊥平面BDE．（6分）（Ⅱ）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），F（2，0，2）=（2，0，0），设P（o，y，z）则|y|=|z|．令是平面BEF的法向量，则，∴令y′=1，得∴∵AP与平面BEF所成的角等于30°∴与所成的角为60°或120°．∴cos===．∴y2+z2+4yz﹣4=0又∵|y|=|z|．∴y=z或y=﹣z，当y=z时y=z=，当y=﹣z时，上式无解，∴P（0，），或P（0，﹣）．【点评】：本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，空间向量的运算，考查空间想象能力，计算能力已经逻辑推理能力．18．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）求出导数，求得单调区间，进而得到极小值；（Ⅱ）求出h（x）的导数，注意分解因式，结合a＞0，即可求得单调区间；（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．对a讨论，①当1+a≥e，②当1＜1+a ＜e，求得单调区间和最小值即可．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=x﹣alnx的定义域为（0，+∞）．当a=1时，f′（x）=．由f′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=1时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（1）=1﹣ln1=1；（Ⅱ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，其定义域为（0，+∞）．又h′（x）==．由a＞0可得1+a＞0，在0＜x＜1+a上，h′（x）＜0，在x＞1+a上，h′（x）＞0，所以h（x）的递减区间为（0，1+a）；递增区间为（1+a，+∞）．（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，由（II）可知h（x）在[1，e]上单调递减．故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由h（e）=e+﹣a＜0，可得a＞．因为＞e﹣1．所以a＞．②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，由（II）可知h（x）在（1，1+a）上单调递减，在（1+a，e）上单调递增．h（x）在[1，e]上最小值为h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）．因为0＜ln（1+a）＜1，所以0＜aln（1+a）＜a．则2+a﹣aln（1+a）＞2，即h（1+a）＞2不满足题意，舍去．综上所述：a∈（，+∞）．【点评】：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式成立的问题转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．19．（14分）已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）利用短轴长及离心率即得椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），由（I）可得直线PA、QA的方程，从而可得以MN为直径的圆，化简后令y=0，则x=，即得结论．【解析】：（Ⅰ）解：由短轴长为，得b=，由=，得a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）结论：以MN为直径的圆过定点F（，0）．证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴Q（0，），直线QA方程为：，∴N（0，），以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，则x2﹣2=0，解得x=．∴以MN为直径的圆过定点F（，0）．【点评】：本题考查椭圆，及其与直线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（Ⅰ）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（Ⅱ）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前30项之和；（Ⅲ）若数列{a n}的前n项和S n =n2+c（其中c常数），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前m项和T m．【考点】：数列的求和．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（Ⅰ）根据伴随数列的定义直接可得答案；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m （m∈N*），分1≤m≤2，3≤m≤8，9≤m≤26，27≤m≤30（m∈N*）四种情况考虑即可；（III）由题意和a n与S n的关系式求出a n，代入a n≤m得n的最大值为b m，并求出伴随数列{b m}的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列{b m}的前m项和T m．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，易得数列为1，4，7；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m （m∈N*）当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3当27≤m≤30，m∈N*时，b27=b28=b29=b30=4∴b1+b2+…+b30=1×2+2×6+3×18+4×4=84；（III）∵a1=S1=1+c=1，∴c=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，∴a n=2n﹣1 （n∈N*）由a n=2n﹣1≤m得：（m∈N*）因为使得a n≤m成立的n的最大值为b m，所以b1=b2=1，b3=b4=2，…，b2t﹣1=b2t=t （t∈N*）当m=2t﹣1 （t∈N*）时：=t2=，当m=2t （t∈N*）时：=t2+t=所以．【点评】：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，属难题．b32711 7FC7 翇C^30925 78CD 磍v34413 866D 虭29139 71D3 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2021-2022年高三下学期三月一模考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合1{|()1},{|lg(2)}2xM x N x y x=≥==+，则等于（）A． B． C． D．2、设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，若，则的虚部为（）A． B． C． D．3、如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．34、已知函数的定义域为，且满足，当时，，则函数的大致图象为（）5、某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）A．90% B．95% C．99% D．99.9%附：参考公式和临界值表：6、下列结论中正确的是（）①命题：的否定是；②若直线上有无数个点不在平面内，则；③若随机变量服从正态分布，且，则； ④等差数列的前n 项和为，若，则A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7、如图，在中，点在AC 上，23,33,5,sin 3AB BD BC BD ABC ⊥==∠=，则的长为（ ） A ． B ．4 C ． D ．58、某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．9、已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P 到轴距离为，P 到的距离为，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．10、对于实数定义运算“”：2221m mn m nm n n mnm n ⎧-+-≤⎪⊕=⎨->⎪⎩，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

. 11、的解集是12、运行右面的程序框图，如果输入的的值在区间内， 那么输出的的取值范围是13、若变量满足约束条件203260x y x y y k +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，且的最小值为4，则14、对于实数表示不超过的最大整数，观察下列等式：12334567810910111213141521⎡⎡⎡++=⎣⎣⎣⎡⎡⎤⎡⎤⎡++++=⎣⎣⎦⎣⎦⎣⎡⎡⎡⎡⎤++++++=⎣⎣⎣⎣⎦15、如图，正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，P 为以点A 为圆心，以AB 为半径的圆弧上一点， 若(0)AC xDE y AP xy =+≠，则以下说法正确的是： （请将所有正确的命题序号填上）①若点E 和A 重合，点P 和B 重合，则；②若点E 是线段AB 的中点，则点P 是圆弧的中点；③若点E 和B 重合，且点P 为靠近D 点的圆弧的三等分点，则； ④若点E 与B 重合，点P 为上任一点，则动点的轨迹为双曲线的一部分。

广东省汕头市潮阳城郊中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，正方形的边长为1，延长至，使，连接、，则（）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：由图象知，所以有，再根据同角三角函数关系式，可求出，选B.考点：1.两角差的正切公式；2.同角三角函数关系式.2. 在坐标平面内,不等式组所表示的平面区域的面积为A.2B.C. D． 2参考答案：B 3. 如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为6分米，其内有一边长为1分米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖(飞镖的大小忽略不计)，则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（）A. B. C. D.参考答案：B因为圆形图案的面积为，正六边形的面积为，所以该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为.试题立意：本小题考查几何概型等基础知识；考查数学文化，数据处理，数形结合.4. 在等比数列{a n}中，，则首项a1=（）A． B． C． D．参考答案：D5. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=的最大值为( )A．2 B．C．D．参考答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．z=的几何意义为区域内的动点（x，y）到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知，AD的斜率最大，由得，即A（1，2），此时AD的斜率z==，即z的最大值为．故选：B．点评：本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6. 已知向量，的夹角为，，，若点M在直线OB上，则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B略7. （04年全国卷Ⅱ）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：B8. 复数+i等于A． -i B．1 C． -l D．0参考答案：D9.参考答案：C略10. 已知，则的值为（）A. －1B.或1C.D. 1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）参考答案：5412. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．参考答案：5【考点】等差数列．【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【解答】解：设该等差数列的首项为a ， 由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2 解得a=5 故答案为：513. 在斜中，若，则的最大值是．参考答案：14.在△ABC 中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC= ．参考答案：1【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解AC 的值． 【解答】解：在△ABC 中，∵AB=，BC=3，∠C=120°，∴由余弦定理可得：AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC?BC?cosC ，即：（）2=AC 2+32﹣2×3×AC×cos120°．∴整理可得：AC 2+3AC ﹣4=0，解得：AC=1或﹣4（舍去）． 故答案为：1．15. 在中，角所对的边分别为,且则.参考答案：5略16. 一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图 都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何 体的表面积为________________．参考答案：略17. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；分割补形法；立体几何．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与四棱锥的组合体，结合图中数据，求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱柱ABF ﹣DCE 与四棱锥P ﹣ABCD 的组合体， 如图所示；则该几何体的体积为V=×22×2+×2×2×2=．故答案为：．【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021年高三3月统一练习（一模）数学（理）试题含解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C． D．【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（1，﹣1），故选：A．【点评】：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．（5分）在等比数列{an }中，a3+a4=4，a2=2，则公比q等于（）A．﹣2 B．1或﹣2 C． 1 D．1或2【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由题意可得q的一元二次方程，解方程可得．【解析】：解：∵等比数列{a n}中，a3+a4=4，a2=2，∴a3+a4=2q+2q2=4，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2故选：B【点评】：本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解析】：解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．【点评】：本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．4．（5分）当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．7 B．10 C．11 D．16【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，m的值，当m=5时，不满足条件m ＜5，退出循环，输出S的值为11，从而得解．【解析】：解：模拟执行程序，可得n=5，m=1，S=1满足条件m＜5，S=2，m=2满足条件m＜5，S=4，m=3满足条件m＜5，S=7，m=4满足条件m＜5，S=11，m=5不满足条件m＜5，退出循环，输出S的值为11．故选：C．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，依次写出每次循环得到的S，m的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5．（5分）在极坐标系中，曲线ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+6=0与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于（）A．B．C．D． 4【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用在x轴上的两根和与两根积的关系式，利用两点间的距离公式求出结果．【解析】：解：曲线ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+6=0转化成直角坐标方程为：x2+y2﹣6x﹣2y+6=0．由于曲线与极轴交于A，B两点，设交点坐标为：A（x1，0），B（x2，0），令y=0，则：x2﹣6x+6=0，所以：x1+x2=6，x1x2=6．则：|AB|=|x1﹣x2|==2．故选：B【点评】：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点角的距离公式的应用，及相关的运算问题．6．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（）A． 4 B． 5 C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，利用三视图的数据直接求解几何体的体积即可【解析】：解：三视图复原的几何体是直三棱柱与三棱锥的组合体，直三棱柱底面是等腰直角三角形，腰长为3，高为3，三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为3，高为1，所以该几何体任意两个顶点间距离的最大值是=3．故选：D．【点评】：本题考查几何体任意两个顶点间距离的最大值，三视图复原的几何体的形状是解题的关键．7．（5分）将函数图象向左平移个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．B．C．y=cosx D．【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：根据“左加右减，上加下减”图象变换规律求出函数解析式即可．【解析】：解：将函数图象向左平移个长度单位，得到的函数解析式为：y=cos[（x+）﹣]=cos；再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是：y=cosx．故选：C．【点评】：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，“左加右减，上加下减”，熟练记忆平移规律是解题的关键，属于基本知识的考查．8．（5分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x轴和y轴非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC=90°，AB=AC=4，那么O，A两点间距离的（）A．最大值是，最小值是4 B．最大值是8，最小值是4C．最大值是，最小值是2 D．最大值是8，最小值是2【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：设A（x，y），B（b，0），C（0，c），由条件∠BAC=90°，可得x2﹣bx+y2﹣cy=0，又b2+c2=32，可得A的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣）2=8，运用圆的参数方程，结合两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最值．【解析】：解：设A（x，y），B（b，0），C（0，c），则由∠BAC=90°，可得x（x﹣b）+y（y﹣c）=0，即为x2﹣bx+y2﹣cy=0，又|BC|=4，即有b2+c2=32，即有A的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣）2=8，设x=+2cosα，y=+2sinα，（0），则有x2+y2=（b2+c2）+8+2bcosα+2csinα=16+2（bcosα+csinα），令b=4sinθ，c=4cosθ（0），则有x2+y2=16（cosαsinθ+sinαcosθ）=16+16sin（α+θ），当α+θ=时，取得最大值32，即有|AO|最大为4，当α+θ=0时，取得最小值16，即有|AO|最小为4，故选：A．【点评】：本题考查轨迹方程的求法，主要考查圆的参数方程的运用：求最值，同时考查两点的距离公式和正弦函数的最值求法，注意三角函数的公式的灵活运用．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）定积分．【考点】：定积分．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据定积分的计算法则计算即可．【解析】：解：（x2+sinx）|=故答案为：．【点评】：本题主要考查了定积分的计算，关键是求原函数，属于基础题．10．（5分）已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n=4，展开式中的常数项是24．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：由题意知：得2n=16，即可求出n；利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项求出常数项．【解析】：解：由题意知：得2n=16，∴n=4；展开式的通项为T r+1=，令4﹣2r=0得r=2∴展开式中的常数项为24故答案为：4，24【点评】：本题考查二项式系数和问题、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．11．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值是6．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2）将C（2，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+2=6．即z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，如果函数g （x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点，则m的取值范围是（﹣1，0）．【考点】：根的存在性及根的个数判断．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：函数g（x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点可化为函数f（x）与y=m恰有4个交点，作函数f（x）与y=m的图象求解．【解析】：解：函数g（x）=f（x）﹣m（m∈R）恰有4个零点可化为函数f（x）与y=m恰有4个交点，作函数f（x）与y=m的图象如下，故m的取值范围是（﹣1，0）；故答案为：（﹣1，0）．【点评】：本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用，属于基础题．13．（5分）如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，则CD=3；AD=．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：由切割线定理可得CD2=CB•CA，求出CD，再利用余弦定理求出AD．【解析】：解：∵CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，∴由切割线定理可得CD2=CB•CA=1×9，∴CD=3；连接OD，则OD⊥DC，∴cos∠COD=，∴cos∠AOD=﹣，∴AD==．故答案为：3，．【点评】：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．14．（5分）已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A）．如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，点P的坐标为（2，0），那么d（P，A）=1；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为6+π．【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：新定义；直线与圆；集合．【分析】：如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，设Q（x，y），运用两点的距离公式，结合二次函数的最值，即可得到最小值；讨论P的位置，得到点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形为三个边长分别为2，1的矩形和三个半径为1，圆心角为120度的扇形以及内部，运用面积公式计算即可得到．【解析】：解：如果集合A={（x，y）|x+y=1（0≤x≤1）}，设Q（x，y），点P的坐标为（2，0），则|PQ|====，由于0≤x≤1，即有x=1取得最小值1，那么d（P，A）=1；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，若P在正三角形及其内部，则面积为0，若P∉A，则点集D={P|0＜d（P，A）≤1}所表示的图形为三个边长分别为2，1的矩形和三个半径为1，圆心角为120度的扇形以及内部，即有面积为3×2×1+3×π=6+π，故答案为：1，6+π．【点评】：本题考查新定义：点P到集合A的距离的理解和运用，考查集合的含义和运算能力，属于中档题．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【专题】：常规题型；三角函数的图像与性质．【分析】：先利用倍角公式及两角和的正弦公式将函数f（x）化成标准形式，然后利用周期公式求出ω的值，根据正弦函数的最值求出函数f（x）的最大值和最小值；根据正弦函数的单调区间求出函数f（x）的单调区间．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=cos2+sin﹣===sin（）．因为T=，ω＞0，所以ω=2．因为f（x）=sin（2x+），x∈R，所以．所以函数f（x）的最大值为1，最小值为﹣1．（Ⅱ）令2kπ，k∈Z，得2k，k∈Z，所以k，k∈Z．所以函数f（x）的单调递增区间为[，k∈Z．【点评】：本题考查了三解函数式的化简及三角函数的图象与性质，解决这类问题的关键是把三角函数式利用三角公式化成标准形式．16．（13分）（xx•高密市模拟）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C类车型的概率为．（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．【考点】：离散型随机变量及其分布列；概率的应用．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，即可求解p，q的值．（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分情况直接求解甲、乙选择不同车型的概率．（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．分别求解概率，即可得到分布列．【解析】：解：（Ⅰ）由题意可得解得，．…（4分）（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，分三种情况，甲选车型A，甲选车型B，甲选车型C，满足题意的概率为：P（A）=．答：所以甲、乙选择不同车型的概率是．…（7分）（Ⅲ）X 可能取值为7，8，9，10．P（X=7）==，P（X=8）==，P（X=9）==；P（X=10）==．所以X的分布列为：…（13分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，概率的应用，考查分析问题解决问题的能力．17．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．【考点】：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【专题】：探究型；空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，即证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由•=0，可解a，然后求得的值．【解析】：（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（4分）（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为a，则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．…（9分）（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则，=（4，﹣4，2）．设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则．令x=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以•=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点．所以．…（14分）【点评】：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．18．（13分）设函数f（x）=e x﹣ax，x∈R．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞0；（Ⅲ）当a＞1时，求函数f（x）在[0，a]上的最大值．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出当a=2时的f（x），求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）求出导数，求得单调区间，极小值也为最小值，判断它大于0，即可得证；（Ⅲ）求出导数，令导数为0，可得极值点x=lna，比较a与lna的大小，再求得f（0），f（a）作差比较，即可得到最大值．【解析】：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=e x﹣2x，f（0）=1，f′（x）=e x﹣2，即有f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=e0﹣2=﹣1，即有f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣0），即为x+y﹣1=0；（Ⅱ）证明：f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=0，解得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞n2时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有x=ln2处f（x）取得极小值，也为最小值，且为e ln2﹣2ln2=2﹣2ln2＞0，即有f（x）＞0；（Ⅲ）由于f（x）=e x﹣ax，f′（x）=e x﹣a，令f′（x）=0，解得x=lna＞0，当a＞1，令M（a）=a﹣lna，M′（a）=1﹣=＞0，M（a）在（1，+∞）递增，又M（1）=1﹣ln1=0，M（a）=a﹣lna＞0，即有a＞1，a＞lna，当0＜x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）递减，lna＜x＜a时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有x=lna处f（x）取得最小值；f（0）=e0﹣0=1，f（a）=e a﹣a2，令h（a）=f（a）﹣f（0）=e a﹣a2﹣1，a＞1时，h′（a）=e a﹣2a＞0，h（1）=e﹣1﹣1=e﹣2＞0，h（a）=e a﹣a2﹣1＞0，当a＞1时，f（a）＞f（0），则有当a＞1时，f（x）在[0，a]上的最大值为f（a）=e a﹣a2．【点评】：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查构造函数运用导数判断单调性，进而判断大小，考查运算化简能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：的离心率为，右顶点A是抛物线y2=8x的焦点．直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如果，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）确定椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C联立，确定M的坐标，进一步可得MN中点坐标，由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，即可求k的值．【解析】：解：（Ⅰ）抛物线y2=8x，所以焦点坐标为（2，0），即A（2，0），所以a=2．又因为e==，所以c=．所以b=1，所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，所以=（x1+x2﹣4，y1+y2），所以M（x1+x2﹣2，y1+y2）．由直线l：y=k（x﹣1）与椭圆C联立，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，得x1+x2﹣2=﹣，y1+y2=，即M（﹣，）．设N（0，y3），则MN中点坐标为（﹣，），因为M，N关于直线l对称，所以MN的中点在直线l上，所以=k（﹣﹣1），解得y3=﹣2k，即N（0，﹣2k）．由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，所以，解得k=±．…（14分）【点评】：本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（13分）如果数列A：a1，a2，…，a m（m∈Z，且m≥3），满足：①a i∈Z，（i=1，2，…，m）；②a1+a2+…+a m=1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：﹣2，1，3，﹣1；数列N：0，1，0，﹣1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．【考点】：数列的应用．【专题】：新定义；探究型；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）根据定义直接判断即可得解．（Ⅱ）假设存在等差数列是“Ω”数列，由a1+a2+…+a m=1，得a1+am=∉Z，与a i∈Z矛盾，从而可证不存在等差数列为“Ω”数列．（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足﹣+1≤S1≤，然后利用反证法，证明即可．【解析】：（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列．…（2分）（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由a1+a2+…+a m=1 得a1+am=∉Z，与a i∈Z矛盾，所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．…（7分）（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足﹣+1≤S1≤，假设当2≤n≤m时，若S n﹣1=0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤，若S n﹣1≠0，则剩下的项必有0或与S n﹣1异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与S n﹣1异号的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤．如果按上述排列后存在S n=0成立，那么命题得证；否则S1，S2，…，S m这m个整数只能取值区间[﹣+1，]内的非0整数，因为区间[﹣+1，]内的非0整数至多m﹣1个，所以必存在S i=S j（1≤i＜j≤m），那么从第i+1项到第j项之和为S i﹣S j=0，命题得证．综上所述，数列A中必存在若干项之和为0．…（13分）【点评】：本题主要考查了新定义和数列的应用，解答新定义的试题的关键是把题目中的定义转化已经学过的知识进行解决，属于中档题．u•L34253 85CD 藍25939 6553 敓26216 6668 晨H8&24430 5F6E 彮aj35593 8B09 謉22644 5874 塴y。

2021年广东省汕头市高考数学三模试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知复数z＝+i，是z的共轭复数，z0＝，z0在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+2}，集合B＝{x|9﹣x2＞0}，则阴影部分表示的集合为（）A．[﹣3，2]B．（﹣3，2）C．（﹣3，2]D．[﹣3，2）3．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（）A．B．C．D．4．已知S n是数列{a n}的前n项和，则“S n+1+2S n﹣1＝3S n对n≥2恒成立”是“{a n}是公比为2的等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知f（x）是定义在R上的函数，满足∀x∈R，都有f（x）＝f（﹣x），且在[0，+∞）上单调递增．若，b＝f（sin1），c＝f（cos2），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b6．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2256种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2256次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行2.5×1011次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.477）A．4.5×1073秒B．4.5×1065秒C．4.5×107秒D．28秒7．设F是双曲线﹣＝1的右焦点，双曲线两渐近线分别为l1，l2，过点F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A，B两点，若A，B两点均在x轴上方且|OA|＝3，|OB|＝5，则双曲线的离心率e为（）A．B．2C．D．8．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣f（x）＞0，f（2021）＝e2021，则不等式的解集为（）A．（e2021，+∞）B．（0，e2021）C．（e2021e，+∞）D．（0，e2021e）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，某贫困村主要产业是种植蜜柚，由于销售渠道单一，导致蜜柚滞销或低价出售．其定点扶贫单位为帮助该村真正脱贫，为该村建立多种销售渠道，一年后该村的蜜柚销售收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该村的蜜柚销售收入变化情况，统计了该村扶贫前后的蜜柚销售收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（）A．扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入减少B．扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上C．扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍D．扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的四倍10．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x（ab≠0），且对任意x∈R都有，则以下正确的有（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在上单调递减C．是f（x）的一个零点D．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝a，以下结论正确的有（）A．AC⊥BEB．点A到平面BEF的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE，BF所成的角为定值12．画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B 为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx+ay﹣a2﹣b2＝0．下列说法正确的是（）A．C的蒙日圆的方程为x2+y2＝3b2B．对直线l上任意点P，•＞0C．记点A到直线l的距离为d，则d﹣|AF2|的最小值为bD．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则mn的最大值为．14．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为．15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为10cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为.（精确到0.01cm）．16．已知数列{a n}满足a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）a n＝3n，则a3＝，若对任意的n∈N*，a n≥（﹣1）nλ恒成立，则λ的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C，②2c＝2a cos B+b，③b cos C+c cos B﹣2a cos A＝0这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C 的对边长分别为a，b，c，且____．（1）求角A的大小；（2）若△ABC是锐角三角形，且b＝2，求边长c的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是首项为，公差为的等差数列，若[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]＝0，[lg499]＝2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝[lga n]，求数列{b n}的前2020项的和．19．已知△ABC是正三角形，线段AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝2CD＝2，F为BE 的中点，设平面BDE∩平面ABC＝l．（1）求证：DF∥l；（2）当平面BDE与平面ABC所成的锐二面角为时，求几何体ABCDE的体积．20．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝1与定直线l：y＝﹣1，且动圆M与圆C外切并与直线l相切．（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（2）已知点P是直线l1：y＝﹣2上一个动点，过点P作轨迹E的两条切线，切点分别为A，B①求证：直线AB过定点．②求证：∠PCA＝∠PCB．21．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，MIKSA﹣V200W，已知这种球的质量指标ξ（单位：g）服从正态分布N（270，52）．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选处最后冠军，积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分．已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p（0＜p＜1）（1）若比赛准备了1000个排球，请估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果收整数）．（2）第10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为f（p）．（ⅰ）求出f（p）的最大值点p0；（ⅱ）若以p0作为p的值，记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列及数学期望．参考数据：若X～N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826，p（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9544．22．已知函数，．（1）当a＝1时，求证：当x≥0时，f（x）≥0；（2）若f（x）+g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知复数z＝+i，是z的共轭复数，z0＝，z0在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由题意得＝，z0＝＝＝＝．其对应的点（，﹣）在第四象限．故选：D．2．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+2}，集合B＝{x|9﹣x2＞0}，则阴影部分表示的集合为（）A．[﹣3，2]B．（﹣3，2）C．（﹣3，2]D．[﹣3，2）解：集合A＝{y|y≥2}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，阴影部分表示的是∁B（A∩B），而A∩B＝[2，3），所以∁B（A∩B）＝（﹣3，2）．故选：B．3．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（）A．B．C．D．解：设事件A表示“黄色杯子和绿色杯子相邻”，事件B表示“黄色杯子和红色杯子相邻”，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为：P（B|A）＝＝＝．故选：C．4．已知S n是数列{a n}的前n项和，则“S n+1+2S n﹣1＝3S n对n≥2恒成立”是“{a n}是公比为2的等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当S n+1+2S n﹣1＝3S n对n≥2恒成立，所以S n+1﹣S n＝2（S n﹣S n﹣1），所以a n+1＝2a n，n≥2，所以从第二项开始，{a n}是公比为2的等比数列，由于不知道a1与a2的关系，故无法判断{a n}是公比为2的等比数列，故不满足充分性；当{a n}是公比为2的等比数列，∴a n+1＝2a n，n≥1，∴S n+1﹣S n＝2（S n﹣S n﹣1），n≥2∴S n+1+2S n﹣1＝3S n对n≥2恒成立，满足必要性；故S n+1+2S n﹣1＝3S n对n≥2恒成立”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．故选：B．5．已知f（x）是定义在R上的函数，满足∀x∈R，都有f（x）＝f（﹣x），且在[0，+∞）上单调递增．若，b＝f（sin1），c＝f（cos2），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b解：由题意，得f（x）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，因为0＜﹣cos2＜＜sin1，所以f（﹣cos2）＝f（cos2）＜f（sin1），即c＜b，又因为sin1＞，所以f（sin1）＞f（），即b＞a，因为﹣cos2＜，所以f（﹣cos2）＝f（cos2）＜f（），所以c＜a，综上b＞a＞c．故选：B．6．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2256种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2256次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行2.5×1011次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.477）A．4.5×1073秒B．4.5×1065秒C．4.5×107秒D．28秒解：设这台机器破译密码所需时间大约为x秒，则：x•2.5×1011＝2256，两边同时取常用对数得：lg（x•2.5×1011）＝lg2256，∴lgx+lg2.5+lg1011＝256lg2，∴lgx+lg5﹣lg2+11＝256lg2，∴lgx+1﹣lg2﹣lg2+11＝256lg2，∴lgx＝258lg2﹣12≈258×0.301﹣12＝65.658，∴x≈1065.658＝1065×100.658，而lg4.5＝lg＝2lg3﹣lg2≈0.653，∴100.658≈4.5，∴x≈4.5×1065，故选：B．7．设F是双曲线﹣＝1的右焦点，双曲线两渐近线分别为l1，l2，过点F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A，B两点，若A，B两点均在x轴上方且|OA|＝3，|OB|＝5，则双曲线的离心率e为（）A．B．2C．D．解：在直角三角形AOB中，|OA|＝3，|OB|＝5，可得|AB|＝＝4，可得tan∠AOB＝＝，由直线l1：y＝x，直线l2：y＝﹣x，由直线l1到直线l2的角的正切公式，可得tan∠AOB＝＝，化简可得b＝2a，即有e＝＝＝．故选：C．8．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣f（x）＞0，f（2021）＝e2021，则不等式的解集为（）A．（e2021，+∞）B．（0，e2021）C．（e2021e，+∞）D．（0，e2021e）解：令，则，∴g（x）在R上单调递增，令，则，即为，即为g（t）＜g（2021），∴t＜2021，即，解得0＜x＜e2021e．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，某贫困村主要产业是种植蜜柚，由于销售渠道单一，导致蜜柚滞销或低价出售．其定点扶贫单位为帮助该村真正脱贫，为该村建立多种销售渠道，一年后该村的蜜柚销售收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该村的蜜柚销售收入变化情况，统计了该村扶贫前后的蜜柚销售收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（）A．扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入减少B．扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上C．扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍D．扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的四倍解：设扶贫前销售收入为a，扶贫后销售收入为2a，对于A，扶贫前该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为a×30%＝0.3a，扶贫后该村的城乡集贸市场销售渠道的收入2a×20%＝0.4a，所以扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入增加，故选项A错误；对于B，扶贫前该村的自媒体销售渠道的收入为a×5%＝0.05a，扶贫后该村的自媒体销售渠道的收入为2a×10%＝0.2a，所以扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上，故选项B正确；对于C，扶贫前该村的农产品批发市场销售渠道的收入为a×30%＝0.3a，扶贫后该村的农产品批发市场销售渠道的收入2a×30%＝0.6a，所以扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍，故选项C正确；对于D，扶贫前该村的农产品电商销售渠道收入为a×5%＝0.05a，扶贫后该村的农产品电商销售渠道收入2a×20%＝0.4a，所以扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的八倍，故选项D错误．故选：BC．10．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x（ab≠0），且对任意x∈R都有，则以下正确的有（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在上单调递减C．是f（x）的一个零点D．解：对于D，因为f（x）对任意x∈R都有，则f（x）的一条对称轴为，则有f（0）＝f（），即b＝，所以，故选项D正确；对于A，因为，所以f（x）＝a sin x+b cos x＝a sin x+cos x＝2a（）＝2a sin（x+），故函数f（x）的最小正周期为T＝2π，故选项A正确；对于B，当x∈时，x+∈，当a＞0时，f（x）在上单调递减，当a＜0时，f（x）在上单调递增，故选项B错误；对于C，当时，f（）＝2a sinπ＝0，所以是f（x）的一个零点，故选项C正确．故选：ACD．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝a，以下结论正确的有（）A．AC⊥BEB．点A到平面BEF的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE，BF所成的角为定值解：对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD1，AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BE，所以A正确；对于B，A到平面BDD1B1的距离是定值，所以点A到△BEF的距离为定值，则B正确；对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为V三棱锥A﹣BEF＝•EF•AB•BB1•sin45°＝××a×a×a＝a3，三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的，正确；对于D，异面直线AE，BF所成的角不为定值，命题D错误；故选：ABC．12．画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点．直线l的方程为bx+ay﹣a2﹣b2＝0．下列说法正确的是（）A．C的蒙日圆的方程为x2+y2＝3b2B．对直线l上任意点P，•＞0C．记点A到直线l的距离为d，则d﹣|AF2|的最小值为bD．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2解：对于A：因为点Q（a，b）在蒙日圆上，所以方程为x2+y2＝a2+b2，又e＝＝＝，所以a2＝2b2，故A正确；对于B：因为l过顶点P（b，a），而又Q满足蒙日圆方程，所以点P在圆x2+y2＝3b2上，当A，B恰为切点时，•＝﹣1＜0，故B不正确；对于C：由A在椭圆上，得|AF1|+|AF2|＝2a，所以d﹣AF2＝d﹣（2a﹣AF1）＝d+AF1﹣2a，当F1A⊥l时，d+AF1有最小值，由上可得c2＝a2﹣b2＝2b2﹣b2＝b2，即点F1到直线l的距离d＝＝＝b，所以|d﹣AF2|min＝b﹣2a，故C不正确；对于D：当矩形四边形与椭圆C相切时，它为蒙日圆的内接矩形，对角线为蒙日圆的直径，设边长为x，y，则x2+y2＝（2r）2＝4r2＝12b2，所以S矩形＝xy≤＝6b2，故D正确；故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则mn的最大值为．解：因为当x＝3时，y＝a3﹣3+1＝2，所以函数y＝a x﹣3+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（3，2），又点A在直线mx+ny﹣1＝0上，所以3m+2n﹣1＝0，即3m+2n＝1，因为m＞0，n＞0，所以mn＝＝，当且仅当，即时取等号，所以mn的最大值为．故答案为：．14．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为．解：∵非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，设与的夹角θ，则（﹣）•＝﹣＝2||•||cosθ﹣＝0，∴cosθ＝，∴θ＝，故答案为：．15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为10cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为 2.96cm.（精确到0.01cm）．解：设细沙在上部时，细沙的底面半径为r，则，∴细沙的体积为，设细沙流入下部的高度为h1，根据细沙体积不变，可知，解得．故答案为：2.96cm．16．已知数列{a n}满足a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）a n＝3n，则a3＝，若对任意的n∈N*，a n≥（﹣1）nλ恒成立，则λ的取值范围为[﹣3，2]．解：数列{a n}满足a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）a n＝3n，①当n＝1时，a1＝3，当n≥2时，a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣3）a n﹣1＝3n﹣1，②①﹣②得：，所以，（首相不符合通项），故，所以．对任意的n∈N*，a n≥（﹣1）nλ恒成立，所以当n为奇数时，a n≥﹣λ，即λ≥﹣a n恒成立，即λ≥（﹣a n）max，所以λ≥﹣a1＝﹣3，由于n≥2时，＝3﹣，故数列{a n}单调递增，当n为偶数时，a n≥λ，所以（a n）min≥λ，所以λ≤a2＝2，所以λ的取值范围为[﹣3，2]．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C，②2c＝2a cos B+b，③b cos C+c cos B﹣2a cos A＝0这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C 的对边长分别为a，b，c，且____．（1）求角A的大小；（2）若△ABC是锐角三角形，且b＝2，求边长c的取值范围．解：（1）选条件①．因为（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C，所以sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，根据正弦定理得，b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，，因为A是△ABC的内角，所以选条件②，因为，由余弦定理，整理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，，因为A是△ABC的内角，所以．选条件③，因为b cos C+c cos B﹣2a cos A＝0，∴sin B cos C+sin C cos B﹣2sin A cos A＝0．∴sin（B+C）＝2sin A cos A，即sin A＝2sin A cos A因为0＜A＜π，sin A≠0．∴，∴；（2）因为，△ABC为锐角三角形，所以，解得在△ABC中，，所以，即．由可得，，所以，所以1＜c＜4．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是首项为，公差为的等差数列，若[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]＝0，[lg499]＝2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝[lga n]，求数列{b n}的前2020项的和．解：（1）数列是首项为，公差为的等差数列，所以，得．当n＝1时，，当n≥2时，，又也适合上式，所以．（2），当n＝1时，﹣1＜lga1＜0；当n＝2，3，4，…，19时，0≤lga n＜1；当n＝20，21，22，…，199时，1≤lga n＜2；当n＝200，201，202，…，1999时，2≤lga n＜3；当n＝2000，2001，…，2020时，3≤lga n＜4．故数列{b n}的前2020项和为[lga1]+[lga2]+[lga3]+⋯+[lga2020]＝﹣1+0×18+1×180+2×1800+3×21＝3842．19．已知△ABC是正三角形，线段AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝2CD＝2，F为BE 的中点，设平面BDE∩平面ABC＝l．（1）求证：DF∥l；（2）当平面BDE与平面ABC所成的锐二面角为时，求几何体ABCDE的体积．【解答】（1）证明：取AB中点G，连CG、FG，在△ABE中，F，G分别为BE、AB的中点，所以FG∥AE，FG＝AE，因为线段AE和CD都垂直于平面ABC，所以CD∥AE，又因为AE＝2CD．所以FG∥DC，FG＝DC，所以四边形CDFG为平行四边形，所以DF∥CG，又因为DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，所以DF∥平面ABC，又因为DF⊂平面BDE，平面BDE∩平面ABC＝l，所以DF∥l．（2）解：因为△ABC是正三角形，所以CG⊥AB，因为AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC，因为CG⊂平面ABC，平面ABE∩平面ABC＝AB，所以CG⊥平面ABE，由（1）知CG∥l，所以l⊥平面ABE，因为AB、BE⊂平面ABE，所以l⊥AB，l⊥BE，所以∠ABE为平面BDE与平面ABC所成的锐二面角的平面角，于是∠ABE＝45°，于是BG＝FG＝CD＝1，所以V B﹣ACDE＝V D﹣ABC+V D﹣ABE＝+＝．20．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝1与定直线l：y＝﹣1，且动圆M与圆C外切并与直线l相切．（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（2）已知点P是直线l1：y＝﹣2上一个动点，过点P作轨迹E的两条切线，切点分别为A，B①求证：直线AB过定点．②求证：∠PCA＝∠PCB．解：（1）依题意知：M到C的距离等于M到直线y＝﹣2的距离，∴动点M的轨迹是以C为焦点，直线y＝﹣2为准线的抛物线，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则，∴p＝4，∴抛物线的方程为x2＝8y，故动圆圆心M的轨迹E的方程为：x2＝8y；（2）证明：①由x2＝8y得：，∴，设，，P（t，﹣2），（x1≠x2），则切线PA的方程为：，同理，切线PB的方程为：，由解得：∴∴，即：，∵，∴直线AB的方程为：，化简得：，即：，故直线AB过定点（0，2）；②由①知：直线AB的斜率为，（i）当直线PC的斜率不存在时，直线AB的方程为：y＝2，∴PC⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB，（ii）当直线PC的斜率存在时，∵P（t，﹣2），C（0，2），∴直线PC的斜率，∴，∴PC⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB，综上所述：∠PCA＝∠PCB得证．21．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，MIKSA﹣V200W，已知这种球的质量指标ξ（单位：g）服从正态分布N（270，52）．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选处最后冠军，积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分．已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p（0＜p＜1）（1）若比赛准备了1000个排球，请估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果收整数）．（2）第10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为f（p）．（ⅰ）求出f（p）的最大值点p0；（ⅱ）若以p0作为p的值，记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列及数学期望．参考数据：若X～N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826，p（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9544．解：（1）因为ξ～N（270，52），则，所以质量指标在（260，265]内的排球个数约1000×0.1359≈136个；（2）（i）前三场赢两场，第四场必赢，则f（p）＝3×p3×（1﹣p）＝3（p3﹣p4）f'（p）＝3p2（3﹣4p），令f'（p）＝0，得（p＝0舍去），当时，f'（p）＞0，函数f（p）单调递增，当时，f'（p）＜0，函数f（p）单调递减，所以f（p）的最大值点．（ii）X可能取的值为0、1、2、3，当X＝3时，前三均全赢，或者前三场赢两場，第四场必赢，故，当X＝2时，前四场赢两场，第五场必赢，故，当X＝1时，前四场赢两场，第五场必输，故，当X＝0时，前三场全输，或者前三场赢一场，第四场必输，故，所以X的分布列为：X3210P则．22．已知函数，．（1）当a＝1时，求证：当x≥0时，f（x）≥0；（2）若f（x）+g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【解答】（1）证明：当a＝1时，，所以f'（x）＝e x﹣x﹣1，则f''（x）＝e x﹣1≥0恒成立，故f'（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥f'（0）＝0，则f（x）在[0，+∞）上单调递增，故f（x）≥f（0）＝0，故原式得证；（2）解：因为f（x）+g（x）＝e x+cos x﹣ax﹣2，令h（x）＝e x+cos x﹣ax﹣2，即求解h（x）≥0恒成立，因为h'（x）＝e x﹣sin x﹣a，h''（x）＝e x﹣cos x，又e x≥1，﹣1≤cos x≤1，故h''（x）≥0，所以h'（x）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x）≥h'（0）＝1﹣a，①当1﹣a≥0，即a≤1时，h'（x）≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，故h（x）≥h（0）＝0．此时原式成立，故a≤1满足题意；②当1﹣a＜0，即a＞1时，h'（0）＜0，当x→+∞时，h'（x）→+∞，故∃x0∈（0，+∞），使得h'（x0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，x0）上单调递减，故h（x）＜h（0）＝0，矛盾．综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]．。

汕头市2021年普通高中高三教学质量测评〔一〕理 科 数 学本试卷分选择题和非选择题两局部，共4页，总分值150分，考试时间120分钟。

第一局部 选择题一、选择题：本大题共有8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑。

1．假设复数341iz i-=+，复数z 的共轭复数z 等于〔 〕 A ．1722i -- B ．1722i - C ．1722i -+ D ．1722i +2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设4518a a =-，那么8S =〔 〕 A ．68 B ．72 C ．54 D ．903．设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是〔 〕A B C D 4．求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的选项是〔 〕 A ．120()S x x dx =-⎰B ．120()S x x dx =-⎰ C ．120()S y y dy =-⎰ D ．1()S y y dy =-⎰5．3cos()25πα+=，且3ππα∈（，）22，那么tan α=〔 〕 A ．43 B ．34 C ．34- D ．34±6．如果命题“()p q ⌝或为假命题，那么〔 〕A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题 7．从2-、1-、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数2y ax bx c =++的系数a b c 、、，那么可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为〔 〕A ．6B ．20C ．100D ． 1208．O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，那么ABC ∆的面积与OAC ∆的面积之比是〔 〕 A ．32 B ．53C ．2D ．5 第二局部 非选择题二、填空题：本大题共7小题，每题5分，总分值30分．本大题分必做题和选做题两局部．〔一〕必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须作答． 10．如右图所示为某一函数的求值程序框图。

广东省汕头市3月模拟数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={−2,−1,0，1}，B={x|y=√x+1}，则A∩B=()A. {−2,−1,0，1}B. {−2,−1,0}C. {0,1}D. {−1,0，1}2.设x，y∈R命题p：x>1且y>1，q：x+y>2，则p是q成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知a=2−13，，c=log1213，则()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a4.三棱锥D−ABC中，AD⊥平面ABC，∠ABC=120°，AB=BC=AD=2，则该棱锥外接球的表面积为()A. 8πB. 12πC. 16πD. 20π5.设{a n}为等比数列，{b n}为等差数列，且S n为数列{b n}的前n项和．若a2=1，a10=16且a6=b6，则S11=()A. 20B. 30C. 44D. 886.(1−x)(√x−x)6的展开式中含x的项的系数为()A. 35B. 5C. −15D. −207.将函数y=2sin2x图象上的所有点向右平移π6个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，(纵坐标不变)得到y=f(x)的图象，则f(x)等于()A. 2sin(x−π6) B. 2sin(x−π3) C. 2sin(4x−π6) D. 2sin(4x−π3)8.过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，与C左支交于点A，若|OF|=|OA|，则C的离心率为()A. √2B. 2C. √5D. 5二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.某同学参加社会实践活动，随机调查了某小区5个家庭的年可支配收入x(单位：万元)与年家庭消费y(单位：万元)的数据，制作了对照表：由表中数据得回归直线方程为y^=0.5x+a，得到下列结论，其中正确的是()A. 若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.3万元B. 若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.1万元C. 若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元D. 若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.1万元10.下面四个命题中的真命题为()．∈R，则z∈RA. 若复数z满足1zB. 若复数z满足z2∈R，则z∈RC. 若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2D. 若复数z∈R，则z∈R11.抛物线x2=4y的焦点为F，A,B是抛物线上两动点，P(2,2)是平面内一定点，下列说法正确的有()A. 准线方程为x=−1B. 若|AF|+|BF|=8，则线段AB中点到x轴为3C. △APF的周长的最小值为√5+3D. 以线段AB为直径的圆与准线相切12.已知函数f(x)=xlnx，若0<x1<x2，则下列结论正确的是()A. x2f(x1)<x1f(x2)B. x1+f(x1)<x2+f(x2)C.f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0D. 当lnx > −1时，x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>2x 2f (x 1)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知定义在R 上的函数f(x)=2|x−m|−1 (m ∈R)为偶函数，则不等式f(x)<1的解集为______ ．14. 在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =2，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 15. 已知α∈(π2,π)，2sin2α+1=cos2α，则cosα=______．16. 已知随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)，且P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−σ<X ≤μ+σ)=0.6826，若μ=4，σ=1，则P(5<X <6)= ______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 数列{a n }，{b n }满足：a 1=2，2a n+1=a n +n ，b n =a n −n +2(n ∈N ∗)(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，问是否存在实数λ，使得{A n +λB nn}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a2b−c =cosAcosC ．(1)求角A 的值；(2)求2sinB −sinC 的取值范围．19. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得如下数据： 单价t(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件)908483807568(Ⅰ)求回归直线方程y =bt +a ；(Ⅱ)当单价t 为10元时，预测该产品的销量． 附：回归方程y ̂=b ̂t +a ̂中，b ̂=∑(n i−l ti−t −)(yi−y −)∑(n i−l ti−t −)2=∑t n i−l iyi−nt −y −∑t n i−li 2−nt −2，a ̂=y −−b ̂t −．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，∠BAP =∠BCP =90°．(1)证明：PD ⊥平面ABCD;(2)若直线BD 与平面PBC 所成的角为30°，求二面角D −PB −C 的大小．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点A在椭圆C上，|AF1|=2，∠F1AF2=60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为P，Q的中点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知点M(0,18)，且MN⊥PQ，求直线MN所在的直线方程．22.已知函数f(x)=13x3+12(2−a)x2+(1−a)x(a≥0).(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在[0,1]上单调递增，求a的取值范围。

2021年高三3月一模统考理科数学含解析数学（理科） xx年3月本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3【答案】B【解析】因为，所以，即或，解得，或，当时，集合不成立。

所以或，选B.2.已知函数，则A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，选B.3. 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是A．420 B．560 C．840 D．xx0【答案】C【解析】从下层8件中取2件有种方法。

将2件调整到上层，有种，所以不同的调整方法的种数有种，选C.4.在极坐标系下，圆的圆心坐标为A. B. C. D.【答案】B【解析】将极坐标方程转化为普通方程为，即圆的标准方程为，所以圆心坐标为。

所以极坐标为。

，所以，即。

所以圆心的极坐标为，选B.5.已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为，所以双曲线中。

又，所以。

所以双曲线飞渐近线方程为，选D.6.已知直线，，则“”是“”A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，两直线方程为，。

两直线的斜率分别为和，满足，所以。

当时，两直线方程为，，满足。

所以“”是“”的充分不必要条件，选A.7.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是A. B. C. D.【答案】D【解析】将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为,由直观图可知，最大的面为.在等边三角形中，,所以面积，选D.8.已知函数有且仅有两个不同的零点，，则 A ．当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 【答案】B【解析】函数的导数为，当，解得或。

2021届广东省汕头市高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.设复数z 的共轭复数为z .，若z =1−i(i 为虚数单位)，则复数z.z +z 2+|z|在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，则图中阴影部分表示的集合是( )A.B.C.D.3.哈六中高二学年的A ，B ，C ，D ，E 五位同学准备从四门选修课中各选一门，若已知每门选修课至少有一人选修的前提下，则A ，B 不选修同一门课的概率( )A. 1112B. 110C. 910D. 1124.b =0是函数f(x)=x 2+bx +c 为偶函数的( )条件．A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要5.记max{x,y}={x,x ≥y y,x <y ，min{x,y}={y,x ≥yx,x <y ，已知f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，设函数F(x)=max{f(x),g(x)}+min{f(x),g(x)}，若a ≥0，则( )A. F(a)+F(−a)≥0B. F(a)+F(−a)≤0C. F(a)−F(−a)≥0D. F(a)−F(−a)≤06.光线通过一块玻璃，强度要损失10%，那么若光线强度要减弱到原来的15以下，要通过这样的玻璃的块数至少为( )(lg3≈0.477,lg2≈0.3)A. 14B. 15C. 16D. 187.双曲线x 24−y 23=1的渐近线方程为( )A. y =±√32xB. y =±2xC. y =±12xD. y =±2√33x8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)−f(−x)=0，且当x>0时，f′(x)<0，则满足不等式f(m)≤f(2m−1)的实数m的取值范围是(),1]A. [1,3]B. [13]∪[1,+∞) D. (−∞,1]∪[3,+∞)C. (−∞,13二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．根据表中数据，下列结论正确的是()A. 顾客购买乙商品的概率最大B. 顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2C. 顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3D. 顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3的是()10. 下列各式中值为12A. 2sin75°cos75°B. 1−2sin2π12C. cos45°cos15°−sin45°sin15°D. tan77°−tan32°2(1+tan77∘⋅tan32∘)11. 如图，正方体ADCD−A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是()A. 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4B. 点C到面ABC1D1的距离为√22C. 两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4D. 二面角C−BC1−D的平面角的余弦值为−√3312. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是()A. a1+c1=a2+c2B. a1−c1=a2−c2C. c1a2>a1c2D. c1a1<c2a2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 不等式(x+y)(1x+a y)≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为______ ．14. 已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,−3).若向量c⃗满足(c⃗⃗⃗ +a⃗ )//b⃗ ，c⃗⊥(a⃗+b⃗ )，则c⃗=______ ．15. 用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为．16. 数列{a n}满足√a n+1=√a1+√a2+√a3+⋯√a n，a1=4，则a n=______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=√3sinxcosx+cos2x.(1)若x∈[0,π4]，求f(x)的最大值及相应的x；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(B2)=32，a=5，b=5√3，求△ABC的面积．18. 已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+3，数列{b n}中，b1=1，且点(b n+1,b n)在直线y=x−1上．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅲ)求数列{b n}的前n项和S n．19. 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点．(1)求证：CF⊥平面ABED；(2)求四棱锥C−ABED的体积；(3)判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．20. 已知点P是⊙M：(x+1)2+y2=16上的任意一点，点N(1,0)，线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；(2)已知直线l′与点Q的轨迹交于点A，B，且直线l′的方程为y=kx+√3(k>0)，若O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．21. 在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A，B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对A，B问题的概率分别为12,1 4．(Ⅰ)记甲先回答问题A再回答问题B得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ)你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．22. 已知函数f(x)=lnx−ax，(1)当a=1时，求函数f(x)在x=e处的切线方程；(2)当a=2时，求函数f(x)的极值；(3)求函数f(x)在[1,e]上的最大值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：复数z.z +z 2+|z|=1+i1−i +(1−i)2+|1−i|=(1+i)2(1−i)(1+i)−2i +√2=−i +√2． 在复平面内对应的点(√2,−1)位于第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：试题分析：阴影部分表示的是，因为=考点：集合的运算；集合的表示方法。

广东省汕头市潮阳实验学校2021届高三数学下学期3月第一次测试试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分．每题有且仅有一项正确选项） 1.若{}{}=0,1,2,32,A B y y x x A ==∈，，则A B =（ ）A. {}0,2,4,6B. {}0,2C. {}0,1,2,3,4,6D.{}0,1230246,,,,,, 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合B ，再根据并集定义求结果. 【详解】∴B={0,2,4,6}A B=｛0，1，2，3，4，6｝. 故选：C【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.设i 为虚数单位，复数212z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.【详解】22111122422z ⎛⎫⎫=+=+⋅+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以z 在复平面内对应的点为1,22⎛- ⎝⎭，在第二象限. 故选：B【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.“(1)(1)0b a -⋅->”是“log 0a b >”成立的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】通过1a -和1b -同号可得前者等价于11a b >⎧⎨>⎩或11a b <⎧⎨<⎩，通过对数的性质可得后者等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，结合充分条件，必要条件的概念可得结果. 【详解】()()11101a b a b >⎧-⋅->⇔⎨>⎩或11a b <⎧⎨<⎩，1log 01aa b b >⎧>⇔⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩， 即“(1)(1)0b a -⋅->”是“log 0a b >”成立的必要不充分条件， 故选：B .【点睛】本题主要考查了不等式的性质以及充分条件，必要条件的判定，属于中档题.4.已知实数,x y 满足约束条件20220x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A. 4B. 2C.145D. 0【答案】C 【解析】 【分析】根据约束条件作出可行域，并且由2022x y x y -≥⎧⎨+≤⎩得24,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线:30l x y +=平移至经过点24(,)55A 时，3z x y =+取得最大值，可得选项.【详解】如图，作出可行域，由2022x y x y -≥⎧⎨+≤⎩得24,55A ⎛⎫⎪⎝⎭， 当直线:30l x y +=平移至经过点24(,)55A 时，3z x y =+取得最大值145，故选:C.【点睛】本题考查线性规划问题中已知约束条件，求目标函数的最值，属于基础题. 5.已知正项等比数列{a n }的公比为3，若a m a n ＝9a 22，则212m n +的最小值等于（ ） A.14B.13C. 34D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据正项等比数列{a n }的公比为3，且a m a n ＝9a 22，得到11221119m n a qa q a q --=，从而有6m n +=，然后用“1”的代换将212m n+转化为()21121152262622n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用基本不等式求解. 【详解】因为正项等比数列{a n }的公比为3，且a m a n ＝9a 22， 所以11221119m n a qa q a q --=，所以6m n +=， 所以()2112115232626224n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22=n mm n且6m n +=，即42m n ==，时，取等号， 所以则212m n +的最小值等于34. 故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6.已知函数()xx af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（ ）B. 2C. 2ln 2D. ln 2【答案】D 【解析】 【分析】先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】()f x 为偶函数，则()()(1)0xxx x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =. 故选：D【点睛】本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.7.P 为椭圆22110091x y +=上的一个动点，,M N 分别为圆22:(3)1C x y -+=与圆222:(3)(05)D x y r r ++=<<上的动点，若||||PM PN +的最小值为17，则r =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据||||PM PN +的最小值，得到关于r 的方程，进而求得答案. 【详解】因为(3,0)C ，(3,0)D -恰好为椭圆的两个焦点， 因为||||1,||||PM PC PN PD r ≥-≥-，所以||||||||121PM PN PC PD r a r +≥+--=--. 因为2100a =，得10a =， 所以20117r --=，则2r .故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.8.已知直角坐标原点O 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）A.4B.44- C.2D.22- 【答案】A 【解析】满足题意时，椭圆上的点()cos ,sin P a b θθ 到圆心()0,0O 的距离：()()222222cos 0sin 0d a b r a b θθ=-+->=+ ，整理可得2222222222sin sin 11,111sin 1sin 1sin 2b b e a a θθθθθ>∴=-<-=<+++ ，据此有：21,022e e <<<，题中事件的概率02204p -==- . 本题选择A 选项.9.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且斜率大于0的直线l 交抛物线于点,A B (点A 位于第一象限)，交其准线于点C ，若3BC BF =，且3AF =，则直线AB 的方程为（ ）A. 0y --=0y --=C. 2220x y --=D. 220x y --=【答案】A 【解析】 【分析】作出图象如下图所示，作1AA ⊥准线于1A ，1BB ⊥准线于1B ，11FF AA ⊥于1F .根据抛物线的定义得1BB BF =，由3BC BF =，1cos CBB ∠13=，从而得出直线的斜率，再根据三角形相似求得p ，由直线的点斜式得出直线的方程.【详解】作出图象如下图所示，作1AA ⊥准线于1A ，1BB ⊥准线于1B ，11FF AA ⊥于1F .在1Rt BCB ∆中，11||cos ||BB CBB BC ∠=||1||3BF BC ==，1tan 22CBB ∴∠=，l ∴的斜率为22，又11BCB AFF ∆∆，11||||13AF AF ∴==，11||2p A F ∴==，所以()1,0F ，∴直线AB 的方程为22(1)y x =-，即22220x y --=，故选：A.【点睛】本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.10.半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 83B. 4C.163D.203【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.11.已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.给出下述四个结论：①0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭；②若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ③()f x 的最小正周期为3；④()f x 在()0,2019上的零点个数最少为1346个． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②④ B. ①③④C. ①③D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，结合对称性以及周期性分别进行判断即可． 【详解】()00,1x x +区间中点为012x +，根据正弦曲线的对称性知0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,①正确.若00x =，则()()00112f x f x =+=-，即12sin ϕ=-，不妨取6πϕ=-，此时()sin 26f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，满足条件，但113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为()0,1上的最大值，不满足条件，故②错误.不妨令0526x k πωϕπ+=-，()0126x k πωϕπ++=-，两式相减得23πω=, 即函数的周期23T πω==，故③正确.区间()0,2019的长度恰好为673个周期，当()00f =时，即k ϕπ=时，()f x 在开区间()0,2019上零点个数至少为673211345⨯-=，故④错误.故正确的是①③， 故选：C ．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象和性质，利用特值法以及三角函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．12.若函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,11e e e ⎛⎫--⎪-⎝⎭B. 11,1ee e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦C. 11,1ee e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭D.1,11e e e ⎡⎤--⎢⎥-⎣⎦【答案】C 【解析】【详解】函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点,即方程ln ln x xa x x x =--有三个不同实数根.设ln ()(0)ln x xg x x x x x=->-, 则22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )()(ln )(ln )x x x x x x g x x x x x x x ----'=-=--由1212ln ,2x y x x y x x-'=-=-=, 当1(0,)2x ∈时，0y '<，2ln y x x =-单调递减， 当1()2,x ∈+∞时，0y '>，2ln y x x =-单调递增, 所以112ln 2ln 1ln 2022y x x =-≥⨯-=+> 所以在(0,)x ∈+∞恒有2ln 0y x x =-> 令()0g x '=，得1x =或x e =.当01x <<时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，当e x <时，()0g x '< 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.(1)1g =，1()1e g e e e=-- 0x →时，ln x x→-∞，1ln ln 1x x x x x=→-- x →+∞时，ln 0x x→，11ln ln 1x x x x x=→--所以0x →时，()+g x →∞，x →+∞时()1g x →所以()g x 的大致图像如下:方程ln ln x xa x x x=--有三个不同实数根.结合函数图像有：11,1ea e e ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭故选：C【点睛】本题考查函数的零点、导数的综合应用，考查转化与化归能力，运算求解能力、数形结合思想，属于难题.二、填空题（每题5分，共20分） 13.平面向量a 与b 的夹角为4π，()1,1a =-，1b =，则2a b +=__________________． 10 【解析】 【分析】由222(2)a b a b +=+计算模． 【详解】由题意2a =，2cos 2114a b a b π⋅===， ∴222(2)a b a b +=+222244(2)414110a a b b =+⋅+=+⨯+⨯=， ∴2a b +=10． 10．【点睛】本题考查求向量的模，考查向量的数量积．求向量的模一般转化为数量积运算，即由公式22a a =转化即可．14.若7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=++++，则1278a a a a ++++的值为________【答案】3- 【解析】令1x =，得012782a a a a a +++++=-，令0x =，得01a =，则1278213a a a a ++++=--=-.点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或1-.15.已知等差数列{a n }和等差数列{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且7453n n A n B n +=+，则79711a ab b +=_____． 【答案】463【解析】 【分析】 根据7453n n A n B n +=+，设()()745,3n n A n B k k n n n =+=+，则有()()111438,22n n n n n n a A A n b B B k n k --=+=--=+=，然后求得相应的项再求解.【详解】由7453n n A n B n +=+， 设()()745,3n n A n B k k n n n =+=+，所以()()111438,22n n n n n n a A A n b B B k n k --=+=--=+=，所以()()()()7971114738149381741,272221126a a b k b k k k ⨯+⨯+====⨯+⨯+， 所以79711174146263a ab b +=+=. 故答案为：463【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和之间的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，5BD =，AB AC ⊥，2AC AB =，则CD的最小值为____.5【解析】 【分析】设ADB θ∠=，在ABD ∆中，利用正弦定理得sin 5AB BAD θ⋅∠=，利用余弦定理得2625AB θ=-，从而得到θ与BAD ∠的关系，再由2BAD DAC π∠=+∠可得θ与DAC ∠之间的关系，利用余弦定理可得22520sin()CD θϕ=-+，再利用三角函数的有界性可得答案.【详解】设ADB θ∠=，在ABD ∆中， 由正弦定理得sin sin AB BD BAD θ=∠，即5sin sin A BA B Dθ=⇒∠sin 5AB BAD θ⋅∠=，由余弦定理得2222cos 625AB AD BD AD BD θθ=+-⋅⋅⋅=-， ∵AB AC ⊥，∴2BAD DAC π∠=+∠，在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos CD AD AC AD AC DAC =+-⋅∠2144sin AB AB BAD=-+∠258545θθ=-- 2520sin()θϕ=-+，∴当sin()1θϕ+=时，min 5CD =.故答案5【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意确定以什么为变量，建立函数关系. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13. 1. 求sinA 的值；2.设AC=6，求∆ABC 的面积.【答案】17. 3sin 3A =; 18. ∆ABC 的面积为.【解析】【详解】（1）由2C A π-=，且C A B π+=-，∴42BA π=-， ∴2sin sin()(cos sin )42222B B B A π=-=-，∴211sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >，∴3sin 3A = （2）如图：由正弦定理得sin sin AC BCB A= ∴，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+32261633333=+=．∴1sin 322ABC S AC BC C =⋅⋅=△ .18.如图1四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DB=2,DC=1,BC=5,2AB AD ==将图1沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60°．如图2．（1）求证：AE BDC ⊥平面；（2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）104【解析】试题分析：（1）取BD 中点F ，连结,EF AF ，则011,,602AF EF AFE ==∠=，由余弦定理知32AE =，∵222AF EF AE +=，∴AE EF ⊥，又BD ⊥平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，∴BD AE ⊥，由线面垂直的判定定理，即可证明结果.（2）以E 为原点建立空间直角坐标系，则3111,1,,0,1,,0,1,,0222A C B D ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后再利用空间向量即可求出结果. 试题解析：（1）证明：取BD 中点F ，连结,EF AF ，则011,,602AF EF AFE ==∠=， 由余弦定理知3AE =，∵222AF EF AE +=，∴AE EF ⊥， 又BD ⊥平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，∴BD AE ⊥， 又∵EF BD F ⋂=，∴AE ⊥平面BDC ． （2）以E 为原点建立如图示的空间直角坐标系，则31110,0,1,,0,1,,0,1,,02222A C B D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设平面ABD 的法向量为，由，得，∵，∴，故直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值为104． 考点：1.线面垂直的判定定理；2.二面角.【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为，设12,n n 分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为，向量12,n n 的夹角为，则有（图1）或（图2）其中1212cos n n n n ω⋅=⋅.19.已知A ，B 是抛物线C ：y 2＝4x 上两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴有唯一的交点P （x 0，0）．（1）求证：x 0＞2；（2）若直线AB 过抛物线C 的焦点F ，且|AB |＝10，求|PF |． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1≠x 2），有2114y x =，2224y x =，用点差法，两式相减得()2212124y y x x -=-，有124AB k y y =+，得到线段AB 的垂直平分线方程为121212242y y y y x x y x +++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再令y ＝0求解.（2）由抛物线的弦长公式有|AB |＝x 1+x 2+p ＝10，得到x 1+x 2＝8，再由01PF x =-求解. 【详解】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1≠x 2），由2114y x =，2224y x =，两式相减得()2212124y y x x -=-，即1212124y y x x y y -=-+，∴124AB k y y =+，∴线段AB 的垂直平分线方程为121212242y y y y x x y x +++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 令y ＝0，∵x 1≠x 2，∴y 1+y 2≠0，得12022x x x +=+， ∵x 1≥0，x 2≥0，x 1≠x 2， ∴x 1+x 2＞0，∴x 0＞2． （2）∵|AB |＝x 1+x 2+p ＝10， ∴x 1+x 2＝8，∴120011152x x PF x x +=-=-=+=． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数x (单位:百人．．)对年产能y (单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表.x y ln y1x21()niix x=-∑2111()ni ix x=-∑1()()ni iix x y y=--∑111()(ln ln)nii iy yx x=--∑1()(ln ln)ni iix x y y=--∑5.825 3.6120.154- 1.07732827.87150.8055.74-126.56（1）根据散点图判断:lny a b x=+与e b a xy+=哪一个适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型？并说明理由？（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立y关于x的回归方程；（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？附注：对于一组数据11(,)s t，22(,)s t，…，(,)n ns t，其回归直线t bs a=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()ni iiniis s t tb a t bss s==--==--∑∑，(说明:()e b a xf x+=的导函数为2e()baxbf xx+-⋅'=)【答案】（1）选择e b a xy+=，理由见解析；（2）22e xy-+=；（3）20千万【解析】【分析】（1）由图可知e b a xy+=适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型；（2）由e b a xy+=,得1ln y b ax=⋅+，再利用最小二乘法求出,b a，从而得到y关于x回归方程；（3）利用导数求得当2x =时，22e()xf x x-+=取得最大值.【详解】（1）由图可知e ba x y +=适宜作为年产能y 关于投入的人力x 的回归方程类型 若选择ln y a b x =+，则0b >，此时当x 接近于0时，y 必小于0， 故选择eba xy +=作为年产能y 关于投入的人力x 的回归方程类型（2）由e ba x y +=,得1ln yb a x=⋅+，故ln y 与1x 符合线性回归，12111()(ln ln )55.74=227.8711()ni i i ni iy y x x b x x ==---∴==--∑∑. 1ln (0.154)(2) 1.0772a y b x=-⋅=---⨯=， 2ln 2y x∴=-，即22e x y -+=，y ∴关于x 的回归方程22exy -+=. （3）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大， 由(2)可知人均产能函数22e()xf x x-+=，2222222232e e(2)e ()x x x x x x f x x x -+-+-+⋅⋅--⋅'∴==， 02x <<时，()0f x '>，2x >时()0f x '<，(0,2)x ∴∈时，()f x 单调递增，(2,)x ∈+∞时，()f x 单调递减， ∴当2x =时，人均产能函数22e()xf x x-+=达到最大值，因此，每2千万资金安排2百人进行生产，能使人均产能达到最大， 对于该企业共有2000名生产工人，且资金充足，∴下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大.【点睛】本题考查统计中的散点图、回归方程的最小二乘法求解、统计中的决策问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理能力、逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意知识的交会.21.已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （Ⅰ）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ<>已知若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.【答案】（Ⅰ）10.a e<≤（Ⅱ）1λ≥. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()()'ln 1,' 1.f x x g x ax =+=+可得()()''f t g t =在0,)+∞有解，转化为函数ln y x =与y ax =的图象在()0,+∞上有交点，求出相切时1a e=，利用数形结合思想可得结果；（Ⅱ）根据极值点的定义可得1122ln ,ln ,x ax x ax ==，作差可得1212ln ln x x x x --，112e x x λλ+<⋅等价于()12112211ln.x x x x x x λλ⎛⎫+-⎪⎝⎭<+ 令12x t x =，则()0,1t ∈，不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立，讨论两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得函数最值，从而筛选符合题意的λ的取值范围.试题解析：（Ⅰ）依题意，函数()f x 的定义域为（0，+∞），()()'ln 1,' 1.f x x g x ax =+=+因为曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，所以()()()''0,f t g t =+∞在有解，即方程()ln 00,t at -=+∞在有解.方程()ln 00,t at -=+∞在有解转化为函数ln y x y ax ==与函数的图像在()0,+∞上有交点，如图，令过原点且与函数ln y x =的图像相切的直线的斜率为k ，只须0.a k <≤ 令切点为()000000ln 1,ln ,'|,x x x A x x k y k x x ====则又，所以000ln 1,x x x =解得 01,x e k e ==于是，所以10.a e<≤（Ⅱ）()()()()2ln (0),'ln .2a h x f x g x x x x x a x h x x ax =-=--->=-所以 因为()12,x x h x 为在其定义域内有两个不同的极值点，所以12,ln 0x x x ax 是方程-=的两个根，即12112212ln ln ln ,ln ,.x x x ax x ax a x x 作差得-===-因为120,0,,x x λ><<所以112121ln ln 1ex x x x λλλλλ+<⋅⇔+<+⇔+< ()1212121ax ax a x x a x x λλλλ++=+⇔>+⇔()()1212112122121ln ln 1ln x x x x x x x x x x x x λλλλ+--+>⇔<-++ ⇔ ()12112211ln .x x x x x x λλ⎛⎫+-⎪⎝⎭<+令12x t x =，则()0,1t ∈，由题意知，不等式()()()11ln 0,1t t t t λλ+-<∈+在上恒成立. 令()()()()()()()()()222211111ln ,'.t t t t t t t t t t t λλλϕϕλλλ--+-+=-=-=+++则 如果()()21,0,1,'0,t t λϕ≥∈>对一切所以()()0,1t ϕ在上单调递增，又()10,ϕ=所以()0t ϕ< ()0,1在上恒成立，符合题意.如果()221,0,t λλ<∈当时，()()2'0;,1,t t ϕλ>∈当时 ()()()2'0,0,t t ϕϕλ<所以在上单调递增，在()2,1λ上单调递减，又()()()10,0,1t ϕϕ=所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，只须21.0,1又所以λλλ≥>≥.选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1+cos 1cos 2sin 1cos x y αααα⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(α为参数).以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0θθ=(0(0,π)θ∈)，将曲线1C 向左平移2个单位长度得到曲线C .（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11OA OB+的取值范围. 【答案】（1）C 的极坐标方程为22sin 4cos 80ρθρθ--=，普通方程为24(2)y x =+；（2）1(2 【解析】 【分析】（1）根据三角函数恒等变换可得22cos 2sin 2x αα=， 2cos 2sin2y αα=，可得曲线1C 的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线C 的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得2200sin 4cos 80ρθρθ--=，运用韦达定理可得11OA OB ∴+=0(0,π)θ∈，可求得11OA OB+的范围；法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩(t 为参数，ϕ为直线的倾斜角)，代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=，运用韦达定理可得11OA OB ∴+=(0,π)ϕ∈，可求得11OA OB+的范围； 【详解】（1）22222cos cos 1+cos 221cos 2sin sin 22x αααααα===-， 24sincos2cos 2sin 2221cos 2sin sin22y ααααααα===-2224cos 24sin 2y x αα∴==，即曲线1C 的普通方程为24y x =，依题意得曲线C 的普通方程为24(2)y x =+，令cos x ρθ=，sin y ρθ=得曲线C 的极坐标方程为22sin 4cos 80ρθρθ--=；（2）法一：将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程得2200sin 4cos 80ρθρθ--=，则012204cos sin θρρθ+=，12208sin ρρθ=-，120ρρ<，12,ρρ∴异号121212201111sin OA OB ρρρρρρθ-∴+=+====，0(0,π)θ∈，0sin (0,1]θ∴∈，111(2OA OB ∴+∈； 法二:设直线l 的参数方程为cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩(t 为参数，ϕ为直线的倾斜角)，代入曲线C 的普通方程得22sin 4cos 80t t ϕϕ--=，则1224cos sin t t ϕϕ+=，1228sin t t ϕ=-，120t t <，12,t t ∴异号12121221111sin t t OA OB t t t t ϕ-∴+=+====(0,π)ϕ∈，sin (0,1]ϕ∴∈，111(2OA OB ∴+∈. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.23.已知函数2()1f x x x =-+，且,R m n ∈．（1）若22m n +=，求()2()f m f n +的最小值，并求此时,m n 的值； （2）若||1m n -<，求证:|()()|2(||1)f m f n m -<+． 【答案】（1）最小值为73，此时23m n ==；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由已知得2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n +=+-++=++， 法一:22m n +=，22m n ∴=-，根据二次函数的最值可求得；法二:运用基本不等式构造22221(24+4)3m n m n n m +≥+214=(2)=33m n +，可得最值；法三：运用柯西不等式得：222222222=)(111112(()3)3m n m n n m n n +++≥++++，可得最值；（2）由绝对值不等式得，()()11f m f n m n m n m n -=-⋅+-<+-，又1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+，可得证.【详解】（1）2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n +=+-++=++， 法一:22m n +=，22m n ∴=-，2222277()2()(22)216856()333f m f n n n n n n ∴+=-++=-+=-+≥()2()f m f n ∴+的最小值为73，此时23m n ==；法二:22222222221=)=+2(112(36[+4)](3+434)3m n m n m m n n m n n m +++≥+214=(2)=33m n +， 47()2()133f m f n ∴+≥+=，即()2()f m f n +的最小值为73，此时23m n ==；法三：由柯西不等式得：2222222222=)(11111142(()(2)333)3m n m n n m n n m n +++≥++=+=++，47()2()133f m f n ∴+≥+=,即()2()f m f n +的最小值为73，此时23m n ==；（2）1m n -<，22()()()()11f m f n m n m n m n m n m n ∴-=---=-⋅+-<+-，又1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+，|()()|2(||1)f m f n m ∴-<+.【点睛】本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.。