2021届高考数学一轮基础反馈训练：第九章第2讲 古典概型

第九章 第二节 古典概型一、选择题1．在2011年深圳世界大学生运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为 ( )A.310B.58 C.710D.252．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( )A.110B.18C.16D.153．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 ( )A.110B.310C.35D.9104．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )A.13B.12C.23D.345．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是 ( )A.16 B.13 C.12D.346．从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12 B.47 C.23D.34二、填空题7．某商场举行抽奖活动，从装有编号为0,1,2,3的四个小球的抽奖箱中同时取出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，则中奖的概率为________．8．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．9.在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA ，OB ，OC ，OD 的中点．在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG u u u r ＝ OE u u u r ＋ OF u u u r的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为__________．三、解答题10．已知集合A ＝{－2,0,1,3}，在平面直角坐标系中，点M 的坐标(x ，y )满足x ∈A ，y ∈A .(1)请列出点M 的所有坐标； (2)求点M 不在y 轴上的概率；(3)求点M 正好落在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5<0x >0y >0上的概率．11．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．12．某班级有数学、自然科学、人文科学三个兴趣小组，各有三名成员，现从三个小组中各选出一人参加一个座谈会．(1)求数学小组的甲同学没有被选中、自然科学小组的乙同学被选中的概率；(2)求数学小组的甲同学和自然科学小组的乙同学中至少有一人没有被选中的概率．详解答案一、选择题1．解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝310.答案：A2．解析：在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，故所求概率为315＝15.答案：D3．解析：从3个红球、2个白球中任取3个，根据穷举法，可以得到10个基本事件，其中没有白球的取法只有一种，因此所取的3个球中至少有1个白球的概率P＝1－P(没有白球)＝1－110＝910.答案：D4．解析：记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P (A )＝39＝13.答案：A5． 解析：要使△ABC 有两个解，需满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >b sin A b >a，因为A ＝30°，所以⎩⎪⎨⎪⎧b <2ab >a，满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16.答案：A6．解析：当m ＝－1，n ＝－1时，表示焦点在y 轴上的双曲线；当m ＝2，n ＝2,3时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＝3，n ＝2,3时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＝2，n ＝－1时，表示椭圆； 当m ＝3，n ＝－1时，表示椭圆．∴方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为P ＝47.答案：B 二、填空题7．解析：同时取出两个小球的取法有6种：(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)．两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：(0,1)，两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：(0,2)，故所求概率P ＝1－26＝23.答案：238．解析：若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时游览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为16.答案：169. 解析：基本事件的总数是4×4＝16，在 OG u u u r ＝ OE u u u r ＋ OF u u u r 中，当 OG u u u r ＝ OP u u u r＋OQ u u u r ， OG u u u r ＝ OP u u u r ＋ ON u u u r ， OG u u u r ＝ON u u u r ＋ OM u u u u r ， OG u u u r ＝OM u u u u r ＋ OQ u u u r时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况中的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.答案：34三、解答题10．解：(1)∵集合A ＝{－2,0,1,3}，点M (x ，y )的坐标x ∈A ，y ∈A ，∴M 的坐标共有：4×4＝16个，分别是：(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)；(0，－2)，(0,0)，(0,1)，(0,3)；(1，－2)，(1,0)，(1,1)，(1,3)；(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)．(2)点M 不在y 轴上的坐标共有12种：(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)；(1，－2)，(1,0)，(1,3)；(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)，所以点M 不在y 轴上的概率是P 1＝1216＝34.(3)点M 正好落在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5<0x >0y >0上的坐标共有3种：(1,1)，(1,3)，(3,1)故M 正好落在该区域上的概率为P 2＝316.11．解：(1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )(C ，F )共9种， 从中选出的两名教师性别相同的结果有：(A ，D )(B ，D )(C ，E )(C ，F )共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )(A ，C )(A ，D )(A ，E )(A ，F )(B ，C )(B ，D )(B ，E )(B ，F )(C ，D )(C ，E )(C ，F )(D ，E )(D ，F )(E ，F )共15种，从中选出两名教师来自同一学校的结果有： (A ，B )(A ，C )(B ，C )(D ，E )(D ，F )(E ，F )共6种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25.12．解：我们把数学小组的三位成员记作S 1，S 2，S 3，自然科学小组的三位成员记作Z 1，Z 2，Z 3，人文科学小组的三位成员记作R 1，R 2，R 3，则有S 1的基本事件为(S 1，Z 1，R 1)，(S 1，Z 1，R 2)，(S 1，Z 1，R 3)，(S 1，Z 2，R 1)，(S 1，Z 2，R 2)，(S 1，Z 2，R 3)，(S 1，Z 3，R 1)，(S 1，Z 3，R 2)，(S 1，Z 3，R 3)，然后把这9个基本事件中的S 1换成S 2，S 3，又各得9个基本事件，故基本事件的总数是27个．用S 1表示数学小组中的甲同学，Z 1表示自然科学小组中的乙同学．(1)“数学小组的甲同学没有被选中，自然科学小组的乙同学被选中”的基本事件是上述基本事件中不含S 1，含有Z 1的基本事件，即(S 2，Z 1，R 1)，(S 2，Z 1，R 2)，(S 2，Z 1，R 3)，(S 3，Z 1，R 1)，(S 3，Z 1，R 2)，(S 3，Z 1，R 3)共6个，故所求的概率为627＝29.(2)“数学小组的甲同学和自然科学小组的乙同学中至少有一人没有被选中”的对立事件是“数学小组的甲同学和自然科学小组的乙同学都被选中”，这个对立事件所包含的基本事件为(S 1，Z 1，R 1)，(S 1，Z 1，R 2)，(S 1，Z 1，R 3)，共3个，概率是327＝19，根据对立事件的概率计算公式， 得所求的概率是1－19＝89.。

第九章概率、统计与统计案例第二节古典概型课时规范练A组——基础对点练1．某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为()A.112 B.19C.536 D.16解析：先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36种，而以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3种，故所求概率为336＝1 12.答案：A2．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是()A.19 B.16C.118 D.112解析：抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1，4；4，1；2，5；5，2；3，6；6，3共6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有36种，所以所求概率P＝636＝16，故选B.答案：B3．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.23 B.25C.35 D.910解析：由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戌)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝9 10.答案：D4．在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A.34 B.58C.12 D.14解析：分析题意可知，共有(0，1，2)，(0，2，5)，(1，2，5)，(0，1，5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝1 2.答案：C5．(2020·河北三市联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为()A.34 B.710C.45 D.35解析：设2个红球分别为a、b，3个白球分别为A、B、C，从中随机抽取2个，则有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P＝610＝35.答案：D6．(2020·商丘模拟)已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.79 B.13C.59 D.23解析：f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2>b2的共有6个，P＝69＝23.答案：D7．(2020·榆林质检)从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为()A.12 B.13C.14 D.15解析：从1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，有12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共12种结果，其中大于30的两位数有31，32，34，41，42，43，共6个，所以这个两位数大于30的概率P＝612＝1 2.答案：A8．(2020·武汉部分学校调研)标有数字1，2，3，4，5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为 ( ) A.12 B.15C.35D.25解析：5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n ＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：①第1张抽到2，第2张抽到1；②第1张抽到3，第2张抽到1或2；③第1张抽到4，第2张抽到1或2或3；④第1张抽到5，第2张抽到1或2或3或4.共10种．故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P ＝1020＝12.答案：A9．(2020·武汉调研)已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 69471417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 36619597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为________．解析：∵4次射击中有1次或2次击中目标的有：7140，1417，0371，6011，7610，∴所求概率P ＝1－520＝34.答案：3410．(2020·安阳模拟)盒中有三张分别标有号码3，4，5的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为奇数的概率为________．解析：法一：两次抽取的卡片号码有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共9种情况，其中至少有一个是奇数的有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共8种情况，因此所求概率为89.法二：所求事件的对立事件为：两次抽取的卡片号码都为偶数，只有(4，4)这1种取法，而两次抽取的卡片号码有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共9种情况，因此所求事件的概率为1－19＝89.答案：89B 组——素养提升练11．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2，0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d <2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2<2，得b >a ，满足b >a 的共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512.答案：51212．(2020·桂林模拟)从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．解析：从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点，基本事件总数为10，即ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的个数为5，即△ABD ，△ACD ，△ACE ，△BCE ，△BDE ，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率P ＝510＝12.答案：1213．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．解析：(1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23＞13，故这种说法不正确．14．设a ∈{2，4}，b ∈{1，3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．解析：(1)由题意，得－b 2×12a≥－1，即b ≤a . 而(a ，b )可能为(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，共4种，满足b ≤a 的有3种，故所求的概率为34.(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． 因为函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，所以这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故所求的概率为16.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

配餐作业(五十五) 古典概型一、选择题1．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋ni)(n －mi)为实数的概率为( )A.13B.14 C.16D.112解析：复数(m ＋ni)(n －mi)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，则n 2－m 2＝0⇒m ＝n ，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为66×6＝16。

答案：C2．(2016·贵阳模拟)将一枚骰子连续抛掷两次，则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是( )A.23 B.56 C.2936D.34解析：抛掷骰子两次，有36种等可能的结果，如表：所求概率P ＝3036＝56。

答案：B3．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.12解析：∵(m ，n)·(－1,1)＝－m ＋n<0，∴m>n 。

基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。

∴P ＝1536＝512，故选A 。

答案：A4．(2016·河北三市二联)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球。

现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( )A.34B.710C.45D.35解析：设2个红球分别为a 、b,3个白球分别为A 、B 、C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b)，(a ，A)，(a ，B)，(a ，C)，(b ，A)，(b ，B)，(b ，C)，(A ，B)，(A ，C)，(B ，C)，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35。

作业9.7古典概型一、单项选择题1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是()A.12B.14C.34D ．02．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A.110B.18C.16D.153．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为()A.132B.164C.332D.3644．用数字1，2，3组成无重复数字的三位数，那么所有的三位数中是奇数的概率为()A.13B.16C.12 D.235．(2021·河南新乡市高三模拟)连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x ，y ，z ，那么点P(x ，y ，z)到原点O 的距离不超过3的概率为()A.427B.7216C.1172D.166．(2021·辽宁大连市高三模拟)为了普及垃圾分类的知识，某宣传小组到小区内进行宣传．该小组准备了100张垃圾的图片，其中可回收垃圾40张．为了检验宣传成果，该小组从这100张图片中选取20张做调查问卷，则这20张中恰有10张可回收垃圾的概率是()A.C 4010C 10020B.C 4010·C 6010C 10020C ．C 20D ．C 207．(2021·广州市摸底调研考试)2021年广东新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为()A.136B.116C.18D.168．(2021·衡中调研卷)2021年1月，河北石家庄突发新冠疫情，衡水市某医院从3名呼吸科、3名重症科和3名急诊科医生中选派5人组成一个医疗专家小组支援石家庄，则该院呼吸科、重症科和急诊科医生都至少有1人的概率为()A.89B.23C.67D.139．(2021·河南郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为()A.110B.15C.310D.2510．(2021·石家庄教学质量检测)袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为()A.19B.16C.29D.518二、多项选择题11．(2021·江苏连云港高三月考)在4件产品中，有一等品2件，二等品1件(一等品与二等品都是正品)，次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是()A ．两件都是一等品的概率是13B ．两件中有1件是次品的概率是12C ．两件都是正品的概率是13D ．两件中至少有1件是一等品的概率是56三、填空题和解答题12．从13，12，2，3，5，9中任取两个不同的数，分别记为m ，n ，则“log m n ＞0”的概率为________．13．(2021·衡水中学模拟)2020年初，新冠肺炎疫情期间，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为________．14．甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题．(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？15．(2021·衡水中学模拟)某中学有初中生1800人，高中生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“高中生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)写出a 的值；(2)试估计该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数；(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．16.(2021·湘赣名校联考)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，算盘从右至左档位依次为个位、十位、百位、…….例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为()A.38B.12C.23D.3417．(2021·《高考调研》原创题)某机构有项业务是测试手机电池的续航时间，现有美国产的iPhone 和中国产的小米、华为、OPPO 四种品牌的手机需要测试，其中华为有Mate 40和P40两种型号，其他品牌的手机都只有一种型号．已知每款手机的测试时间都为1个月，测试顺序随机，每款手机测试后不再测试，同一品牌的两个型号不会连续测试．在未来4个月内，测试的手机都是国产手机的概率为________．作业9.7古典概型参考答案1答案A 解析列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为24＝12.2．答案D 解析在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB 与DE)，共有3种，∴所求概率为315＝15.3．答案D解析基本事件为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)，…，(8，8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为364.4．答案D解析用数字1，2，3组成无重复数字的三位数共有A 33种，列举如下：123，132，213，231，312，321，其中奇数有4个，故三位数中是奇数的概率P ＝46＝23.故选D.5．答案B解析点P(x ，y ，z)到原点O 的距离不超过3，则x 2＋y 2＋z 2≤3，即x 2＋y 2＋z 2≤9，连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有6×6×6＝216(个)，其中(1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，1)，(1，2，2)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)满足条件，则点P(x ，y ，z)到原点O 的距离不超过3的概率为P ＝7216.故选B.6．答案B解析由题知，该小组从这100张图片中选取20张共有C 10020个结果，而这20张中恰有10张可回收垃圾的共有C 4010·C 6010个结果，由古典概型的概率公式得这20张中恰有10张可回收垃圾的概率为C 4010·C 6010C 10020.故选B.7．答案D解析小明与小芳选课所有可能的结果有C 42C 42种，他们选课相同的结果有C 42种，故所求的概率P ＝C 42C 42C 42＝16，故选D.8．答案C解析从9人中选5人有C 95＝126种选法，三科医生都至少有1人，则按人数分为311，221，选派方法数为C 31C 31C 31C 33＋C 31C 31C 32C 32＝108，∴所求概率为P ＝108126＝67.故选C.9．答案C 解析将5张奖票不放回地依次取出共有A 55＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3A 32A 21A 11＝36(种)取法，所以P＝36120＝310.故选C.10．答案C解析由题意，得随机数的前两位只能出现1或2中的一个，第三位出现另外一个，所以满足条件的随机数为142，112，241，142，故恰好第三次就停止摸球的概率为418＝29，故选C.11答案BD解析由题意设一等品编号为a ，b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(b ，c)，(b ，d)，(c ，d)，共6种；对于A ，两件都是一等品的基本情况有(a ，b)，共1种，故两件都是一等品的概率P 1＝16，故错误；对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(a ，d)，(b ，d)，(c ，d)，共3种，故两件中有1件是次品的概率P 2＝36＝12，故正确；对于C ，两件都是正品的基本情况有(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)，共3种，故两件都是正品的概率P 3＝36＝12，故错误；对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(b ，c)，(b ，d)，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率P 4＝56，故正确．故选BD.12．答案715解析log m n>0等价于m>1且n>1，或0<m<1且0<n<1，从13，12，2，3，5，9中任取两个不同的数组成数对(m ，n)，共有A 62＝30种取法，其中满足log m n>0的有A 22＋A 42＝2＋12＝14(种)，所以“log m n ＞0”的概率为1430＝715.13．答案13解析根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科，则有C 42A 33＝6×6＝36种情况，若甲辅导数学，则有C 32A 22＋C 31A 22＝12种情况，则数学学科恰好由甲辅导的概率为13.14．答案(1)415(2)1315解析甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法有10×9＝90(种)，即基本事件总数是90.(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4＝24.∴P(A)＝2490＝415.(2)“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题．记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少有一人抽到选择题”为事件C ，则B 包含的基本事件数为4×3＝12.∴由古典概型概率公式，得P(B)＝1290＝215.由对立事件的性质可得P(C)＝1－P(B)＝1－215＝1315.15．答案(1)0.03(2)870(3)0.7解析(1)由题意得a ＝0.1－0.04－0.02－0.005×2＝0.03.(2)∵初中生中，阅读时间不少于30个小时的频率为(0.020＋0.005)×10＝0.25，∴所有初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.25×1800＝450(人)．同理，高中生中，阅读时间不少于30个小时的频率为(0.030＋0.005)×10＝0.35，∴所有高中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.35×1200＝420(人)．∴该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数约为450＋420＝870.(3)由分层抽样知，抽取的初中生有60名，高中生有40名．记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A.初中生中，阅读时间不足10个小时的频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3.高中生中，阅读时间不足10个小时的频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×40＝2.则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能的情况有C 52＝10(种)，其中至少有1名高中生的情况有C 52－C 32＝7(种)，∴所求概率为710＝0.7.16.答案D解析依题意得所拨数字共有C 41C 42＝24种可能．要使所拨数字大于200，则若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有C 21C 42＝12(种)；若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位档，再从个、十、百位档里选一个下珠，有C 21C 31＝6(种)，则所拨数字大于200的概率为12＋624＝34.故选D.17．答案17解析在未来4个月内，测试的手机有如下两种情况：①当华为手机出现两次时，有C 22C 32A 22A 32＝36(种)情况；②当华为手机出现一次时，有C 21A 44＝48(种)情况．故共有36＋48＝84(种)情况．而其中未来这4个月中测试的手机都是国产手机的情况有A 22A 32＝12(种)，故所求概率P ＝1284＝17.。