2021高三统考北师大版数学一轮：第11章第2讲 古典概型

第十一章概率第二讲古典概型与几何概型1。

［2021长春市第一次质量监测］张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车，这两路公交车的数目相同，并且都是每隔十分钟就到达车站一辆（即停即走)。

张老师每天早晨都是在6:00到6：10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的，都可以到达学校，甲路公交车的到站时间是6:09，6：19,6：29，6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6：10，6：20,6:30,…,则张老师乘坐上甲路公交车的概率是() A.10％B。

50％C。

60％D。

90%2。

[2021安徽省示范高中联考］在以正五边形ABCDE的顶点为顶点的三角形中，任取一个,是钝角三角形的概率（）A。

12B.13C。

14D.233。

［2021石家庄质检]北京冬奥会将于2022年2月4日到2022年2月20日在北京和张家口举行.申奥成功后，中国邮政陆续发行多款邮票,图案包括冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”、多种冰上运动等.现从2枚会徽邮票、2枚吉祥物邮票、1枚冰上运动邮票共5枚邮票中任取3枚,则恰有1枚吉祥物邮票的概率为()A.310B.12C。

35D。

7104。

［2021晋南高中联考]把分别写有1,2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张,且若分得的卡片超过一张,则必须是连号,那么2，3连号的概率为 （ )A.23B .13C 。

35D 。

145。

［2021贵阳四校第一次联考][条件创新]在区间［-2，2]内随机取一个数x ,则事件“y ={2x ,x ≤0,x +1,x >0,且y ∈[12,2］”发生的概率为( ）A.78B 。

58C 。

38D 。

126。

［2021广东珠海模拟]［与音乐结合]现有8位同学参加音乐节演出活动，每位同学都会拉小提琴或吹长笛，已知5人会拉小提琴,5人会吹长笛,现从这8人中随机选一人上场演出,恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 ( )A.14B 。

第五节古典概型与几何概型[最新考纲][考情分析][核心素养]1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.4.了解几何概型的意义.古典概型及其与平面向量、函数、解析几何、统计等知识综合是2021年高考考查的热点，题型为选择题或填空题，分值为5分.与长度、面积有关的几何概型是2021年高考考查的热点，题型为选择题或填空题，分值为5分.1.数学建模2.数学运算‖知识梳理‖1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是1互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成2基本事件的和．2．古典概型(1)(2)概率计算公式P(A)3A包含的基本事件的个数基本事件的总数．3．几何概型(1)4长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)5有无限多个；6等可能性．(3)公式P(A)7构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成区域长度（面积或体积）．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个事件是等可能事件．( )(2)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，所有的基本事件构成集合I ，则事件A 的概率为card （A ）card （I ）.( )(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、走进教材2．(必修3P 133A 1改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( )A ．25B ．415C ．35D ．非以上答案答案：A3．(必修3P 140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案：A4．(必修3P 134B 1改编)某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是________．答案：13145．(必修3P 146B 4改编)如图，正方形ABCD 的边长为2，向正方形内随机投掷200个点，有30个点落入图形M 中，则图形M 的面积的估计值为________．答案：0.6 三、易错自纠6．已知四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8解析：选B 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD＝2－π22＝1－π4.7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．若从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：P ＝1－C 22C 24＝1－16＝56.答案：56考点一古典概型【例1】 (1)(2019年全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．1116[解析]由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C 36＝6×5×46＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P ＝2064＝516.故选A ．[答案]A(2)(2019届吉林梅河口校级期末)一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.①从袋中随机抽取2个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；②先从袋中随机取一个球，将该球的编号记为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，将该球的编号记为n ，求n <m ＋2的概率．[解]①从袋中随机抽取2个球，共有C 24＝6(种)情况，它们出现的机会均等，分别为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．其中取出的2个球的编号之和不大于4的有2种情况，为(1，2)，(1，3)，∴P (取出的2个球的编号之和不大于4)＝26＝13.②先从袋中随机取一个球，放回袋中，再取出一个球，共有4×4＝16(种)情况，它们出现的机会均等，其中n <m ＋2的基本事件(m ，n )共有13个，分别是(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，∴P (n <m ＋2)＝1316. ►名师点津古典概型概率的求解步骤(1)求出所有基本事件的个数n .(2)求出事件A 包含的所有基本事件的个数m . (3)代入公式P (A )＝mn求解．|跟踪训练|1．在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬选手的编号相连的概率为( )A ．310B ．58C ．710D ．25解析：选A 从1，2，3，4，5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310.2．(2020届四川五校联考)随着新课程改革和高考综合改革的实施，高中教学以发展学生学科核心素养为导向，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展．为此，某市于2019年举行第一届高中数学学科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估该市高中学生的数学学科素养，从所有参赛学生中随机抽取1000名学生的成绩(单位：分)作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，依次记为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)请补全频率分布直方图，并估计这1000名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2)该市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰，授予“数学学科素养优秀标兵”称号，一名学生本次竞赛成绩为79分，请你判断该学生能否被授予“数学学科素养优秀标兵”称号．解：(1)由题意知，成绩在[60，70)的频率为1－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40，补全的频率分布直方图如图：样本的平均数x －＝55×0.30＋65×0.40＋75×0.15＋85×0.10＋95×0.05＝67.(2)因为1801000＝0.18，所以由频率分布直方图可以估计获得“数学学科素养优秀标兵”称号的学生的最低成绩为80－0.18－0.05－0.100.015＝78(分)．因为79＞78，所以该同学能被授予“数学学科素养优秀标兵”称号． 考点二几何概型——多维探究●命题角度一与长度(角度)有关的几何概型【例2】 (1)(2019届辽宁省五校联考)若a ∈[1，6]，则函数y ＝x 2＋ax 在区间[2，＋∞)上单调递增的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45(2)如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14[解析] (1)∵函数y ＝x 2＋a x ＝x ＋ax 在区间(0，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增，又1≤a ≤6，∴1≤a ≤ 6.要使函数y ＝x 2＋ax 在区间[2，＋∞)上单调递增，则a ≤2，解得1≤a ≤4，∴P (1≤a ≤4)＝4－16－1＝35，故选C ．(2)当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13.[答案] (1)C (2)C●命题角度二与面积有关的几何概型【例3】如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )A ．14B ．13C ．23D ．34[解析]设正六边形的中心为点O ，BD 与AC 交于点G ，BC ＝1，则BG ＝CG ，∠BGC ＝120°，在△BCG 中，由余弦定理得1＝BG 2＋BG 2－2BG 2cos120°，解得BG ＝33，所以S △BCG ＝12×BG×BG ×sin120°＝12×33×33×32＝312.因为S六边形ABCDEF ＝S △BOC ×6＝12×1×1×sin60°×6＝332，所以该点恰好在图中阴影部分的概率P ＝1－6S △BCG S 六边形ABCDEF ＝23. [答案]C●命题角度三与体积有关的几何概型【例4】已知在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率为________．[解析]当四棱锥O －ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，所以PH P A ＝34.又四棱锥P －ABCD 与四棱锥P －EFGH 相似，所以四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率P ＝V 四棱锥P －EFGH V 四棱锥P －ABCD ＝⎝⎛⎭⎫PH P A 3＝⎝⎛⎭⎫343＝2764.[答案]2764►名师点津建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)若一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，则只需把这个变量放在数轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个连续变量来描述，则可用这两个变量组成的有序实数对表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系即可建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．|跟踪训练|3．在区间[0，1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( )43C ．13D ．14解析：选D 因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0<4x －3≤1，即34<x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14，故选D ． 4．在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为( )A ．127B ．2627C ．827D ．18解析：选A 正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V 1＝13＝1，而原正方体的体积为V ＝33＝27，故所求的概率P ＝V 1V ＝127.5.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB ．4－63πC ．13－32πD ．23解析：选B 设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B ．考点 古典概型、几何概型的交汇应用问题【例】 (1)(2019届威海调研)从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a ，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A ．16B ．1342(2)在边长为4的等边三角形OAB 及其内部任取一点P ，使得OA →·OP →≤4的概率为( ) A ．12B ．14C ．13D ．18[解析] (1)由题意可知m ＝(a ，b )有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有：(3，3)，(5，5)，共2个， 故所求概率为16.(2)设OP →在OA →上的投影为|OQ →|，则OA →·OP →＝|OA →|·|OQ →|，若OA →·OP →≤4，则|OQ →|≤1.取OB 的中点M ，作MN ⊥OA 于N ，则满足条件的P 构成的区域为图中阴影部分，N 为OA 的四等分点，所以使得OA →·OP →≤4的概率为S △OMN S △OAB ＝18.[答案] (1)A (2)D ►名师点津解决与古典概型、几何概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数或相应的区域度，然后利用古典概型、几何概型的概率计算公式进行计算．|跟踪训练|1．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )A ．78B ．34C ．12D ．14解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P＝S阴影S正方形＝3π24π2＝34.2．(2019届洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足2aa2＋b2≤2，即a2≤b2的数组(a，b)情况如下：①当a＝1时，b＝1，2，3，4，5，6，共6种；②当a＝2时，b＝2，3，4，5，6，共5种；③当a＝3时，b＝3，4，5，6，共4种；④当a＝4时，b＝4，5，6，共3种；⑤当a＝5时，b＝5，6，共2种；⑥当a＝6时，b＝6，共1种．∴总共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)，因此所求的概率为2136＝7 12.答案：7 12。

第二节　古典概型[最新考纲]　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．(对应学生用书第191页)1．古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性相同．2．古典概型的概率公式P (A )＝＝.事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数m n [常用结论]确定基本事件个数的三种方法(1)列举法：此法适合基本事件较少的古典概型．(2)列表法(坐标法)：此法适合多个元素中选定两个元素的试验．(3)树状图法：适合有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．( )(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．( )(4)“从长为1的线段AB 上任取一点C ，求满足AC ≤的概率是多少”是古13典概型．( )[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、教材改编1．从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为偶数的基本事件个数为( )A ．4B ．5 C ．6 D ．7C [任取三个数和为偶数共有：(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)共6个，故选C.]2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( )A. B. 25415C. D.3523A [从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P ＝＝.]615253．现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________．　[从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲乙，甲丙，乙丙23三种可能，则甲被选中的概率为.]234．口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意取出1个球，则2次取出的球颜色不同的概率是________．　[由题意，知基本事件有(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，红)，(白，23白)，(白，黑)，(黑，红)，(黑，白)，(黑，黑)，共9种，其中2次取出的球颜色相同有3种，所以2次取出的球颜色不同的概率为1－＝.]3923(对应学生用书第191页)⊙考点1　古典概型的概率计算　求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；(2)分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；(3)利用公式P (A )＝，求出事件A 的概率．mn (1)(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A. B. C. D.23352515(2)(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A. B. 1614C. D.1312(1)B (2)D [(1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.61035(2)设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.]122412(3)(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．①应从老、中、青员工中分别抽取多少人？②抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F .享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目 A B C D E F 子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○a.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；b ．设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．[解]　①由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．②a.从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．b ．由表格知，符合题意的所有结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以，事件M 发生的概率P (M )＝.1115　求古典概型概率的关键是列出所有可能的结果．[教师备选例题]某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率．[解](1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事件的概率为P ＝＝.31515(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个，则所求事件的概率为P ＝.29　1.(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．　[法一：设3名男同学分别为A ，B ，C,2名女同学分别为a ，b ，则所有710等可能事件分别为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共7个，故所求概率为.710法二：同方法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB ，AC ，BC ，共3个，故所求概率为1－＝.]3107102．(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．[解](1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．②不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．所以事件M 发生的概率P (M )＝.521⊙考点2　古典概型与其他知识的交汇问题　求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：古典概型与平面向量相结合　从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a ，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线的概率为( )A. B. C. D.16131412A [由题意可知，向量m ＝(a ，b )的所有可能结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，∵向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(2,1)共线，∴a －2b ＝0，即a ＝2b ，∴有(2,1)，(4,2)，共2个，故所求概率为.]16　解答本题的关键是根据向量m 与n 共线，得到a 与b 的关系，再从所有基本事件中找出满足条件的基本事件的个数．古典概型与解析几何相结合　将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．　[依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有712(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足≤，即a ≤b ，则当a ＝1时，2aa 2＋b 22b ＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a ＝2时，b ＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a ＝3时，有4种，a ＝4时，有3种，a ＝5时，有2种，a ＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.]2136712　解答本题的关键是根据直线与圆有公共点得到a ≤b .再从所有基本事件中找出满足a ≤b的基本事件的个数．古典概型与方程、不等式、函数相结合　已知a ＝log 0.55，b ＝log 32，c ＝20.3，d ＝，从这四个数中任取一(12)2个数m ，使函数f (x )＝x 3＋mx 2＋x ＋2有极值点的概率为( )13A. B.1412C.D ．134B [f ′(x )＝x 2＋2mx ＋1，由题意知Δ＝4m 2－4＞0，解得m ＞1或m ＜－1，而a ＝log 0.55＜－2,0＜b ＝log 32＜1，c ＝20.3＞1，0＜d ＝＜1，满足条件的有两个，分别是a ，c .(12)2因此所求的概率为P ＝＝，故选B.]2412　解答本题的关键是根据函数f (x )有极值点得到m 的取值范围，再根据m的取值范围确定满足条件的个数．　1.已知a ∈{－2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是( )A. B. 31035C. D.2515C [函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数，则a 2－2＜0，又a ∈{－2,0,1,2,3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，又b ∈{3,5}，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是＝.故选C.]2×25×2252．设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A. B. 1814C. D.1312A [有序数对(m ，n )的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a ⊥(a －b )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2，由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P (A )＝＝.故选A.]216183．将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( )A. B. 73612C. D.1936518C [投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为Error!∴a 和b 的组合有36种，若方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，则Δ＝b 2－4a ≥0，∴b 2≥4a .当b ＝1时，没有a 符合条件；当b ＝2时，a 可取1；当b ＝3时，a 可取1,2；当b ＝4时，a 可取1,2,3,4；当b ＝5时，a 可取1,2,3,4,5,6；当b ＝6时，a 可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率P ＝，故1936选C.]。

第2讲 古典概型基础知识整合1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是□01互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成□02基本事件的和． 2．古典概型 (1)古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． 有限性—试验中所有可能出现的基本事件□03只有有限个 |等可能性—每个基本事件出现的可能性□04相等 (2)古典概型的概率公式P (A )＝□05A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的概率模型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键．1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( ) A.12 B.14 C.34 D ．0答案 A解析 列举出所有基本事件，找出“恰有1次出现正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，而恰有1次出现正面包括(正，反)，(反，正)，2个，故其概率为24＝12.2．为美化环境，从红，黄，白，紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56答案 C解析 从红，黄，白，紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红，黄)，(红，白)，(红，紫)，(黄，白)，(黄，紫)，(白，紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P ＝46＝23.故选C.3．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15 答案 C解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P ＝410＝25.故选C. 4．(2019·金华模拟)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )A.35B.25C.13D.23答案 D解析 从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数共有15种情况，取出的两个数是连续自然数的有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23.5．(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．答案310解析 把男生编号为男1，男2，女生编号为女1，女2，女3，则从5名学生中任选2名学生有：男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，共10种情况，其中选中2名女生有3种情况，则恰好选中2名女生的概率为310.6．甲、乙两人玩猜数字的游戏，先由甲任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3,4}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．答案 58解析 两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，有16种情况，其中满足|a －b |≤1的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10种，故他们“心有灵犀”的概率为1016＝58.核心考向突破考向一 简单的古典概型 考向一 简单的古典概型例1 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解 (1)将标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ，E .从五张卡片中任取两张的所有可能结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)将标号为0的绿色卡片记为F .从六张卡片中任取两张的所有可能结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.1．求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是不是等可能事件，设出所求事件A ；(2)分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； (3)利用公式P (A )＝mn，求出事件A 的概率． 2．基本事件个数的确定方法 方法 适用条件列表法 此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求[即时训练] 1.一个盒子里装有三张卡片，分别标有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解 (1)由题意，得(a ，b ，c )所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种． 所以P (A )＝327＝19.因此“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B －包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B －)＝1－327＝89.因此“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.精准设计考向，多角度探究突破 考向二 较复杂的古典概型角度1 古典概型与平面向量的交汇例2 (1)(2019·宁波模拟)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是( )A.512 B.12 C.712 D.56答案 C 解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝m －n|a ||b |. ∵θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴m ≥n .(m ，n )一共有6×6＝36(种)不同组合． 满足m ≥n 的有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21(种)． 所以所求的概率P ＝2136＝712.(2)(2019·宿迁模拟)已知k ∈Z ，A B →＝(k,1)，A C →＝(2,4)，若|A B →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是________．答案 37解析 因为|A B →|＝k 2＋1≤4，所以－15≤k ≤15， 因为k ∈Z ，所以k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC 为直角三角形时，应有AB ⊥AC ，或AB ⊥BC ，或AC ⊥BC ，由A B →·A C →＝0，得2k＋4＝0，所以k ＝－2，因为B C →＝A C →－A B →＝(2－k,3)，由A B →·B C →＝0，得k (2－k )＋3＝0，所以k ＝－1或3，由A C →·B C →＝0，得2(2－k )＋12＝0，所以k ＝8(舍去)，故使△ABC 为直角三角形的k 值为－2，－1或3，所以所求概率P ＝37.角度2 古典概型与平面几何、解析几何的交汇例3 (1)(2019·山东省实验中学模拟)已知直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：ax －by ＋1＝0，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则直线l 1与l 2的交点位于第一象限的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 A解析 l 2的斜率小于l 1的斜率时，直线l 1与l 2的交点位于第一象限，此时共有六种情况：a ＝1，b ∈{3,4,5,6}；a ＝2，b ∈{5,6}．因此所求概率为66×6＝16.故选A. (2)(2019·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．答案712解析 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有C 16C 16＝36个，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b2≤2，a 2≤b 2的数组(a ，b )有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，因此所求的概率等于2136＝712.角度3 古典概型与函数的交汇例4 (1)(2020·亳州质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18 答案 C解析 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有4×4＝16个元素，其中使直线OA 的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14.故选C.(2)已知M ＝{1,2,3,4}，若a ∈M ，b ∈M ，则函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋x －3在R 上为增函数的概率是( )A.916B.716C.14答案 A解析 记事件A 为“函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋x －3在R 上为增函数”．因为f (x )＝ax 3＋bx2＋x －3，所以f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋1.当函数f (x )在R 上为增函数时，f ′(x )≥0在R 上恒成立．又a >0，所以Δ＝(2b )2－4×3a ＝4b 2－12a ≤0在R 上恒成立，即a ≥b 23.当b ＝1时，有a ≥13，故a 可取1,2,3,4，共4个数；当b ＝2时，有a ≥43，故a 可取2,3,4，共3个数；当b ＝3时，有a ≥3，故a 可取3,4，共2个数； 当b ＝4时，有a ≥163，故a 无可取值．综上，事件A 包含的基本事件有4＋3＋2＝9种． 又a ，b ∈{1,2,3,4}，所以所有的基本事件共有16种． 故所求事件A 的概率为P (A )＝916.故选A.较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[即时训练] 3.设平面向量a ＝(m,1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1,2,3,4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A.18B.14C.13D.12答案 A解析 有序数对(m ，n )的所有可能结果有4×4＝16(个)．由a ⊥(a －b )，得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2，由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P (A )＝216＝18.4．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，其中a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3,4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )A.14B.38C.12D.58 答案 B解析 若直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则b a>1，基本事件总数为4×4＝16，满足条件的(a ，b )的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，故所求概率为38.5．(2019·河南郑州模拟)已知一组抛物线y ＝12ax 2＋bx ＋1，其中a 为2,4中任取的一个数，b 为1,3,5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线相互平行的概率是________．答案215解析 抛物线共有6条，任取两条共C 26＝15种情况．∵y ′＝ax ＋b ，∴在与直线x ＝1交点处的切线斜率为a ＋b ，而a 为2,4中任取的一个数，b 为1,3,5中任取的一个数，保证a ＋b 相等的抛物线有2对，∴在与直线x ＝1交点处的切线相互平行的概率为215.考向三 古典概型与统计的交汇问题例5 (2019·长春模拟)某教师为了了解高三所教两个班级的一模数学成绩情况，将两个班的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图．(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；(2)若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率； (3)从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人，求至多有1人的数学成绩在140分以上的概率．解 (1)由所给的茎叶图，知甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，出现次数最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是108.5，众数是103；乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，出现次数最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106.5，众数为92和101.(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为2050＝25；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为1848＝38.(3)从5人中抽取3人的不同情况共有C 35种，其中至多有1人的数学成绩在140分以上的情况有C 12C 23＋C 33种，故至多有1人的数学成绩在140分以上的概率P ＝C 12C 23＋C 33C 35＝710.求解古典概型与统计交汇问题的思路(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息．(2)进行统计与古典概型概率的正确计算．[即时训练] 5.(2019·广州五校联考)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．解 (1)设第1组[20,30)的频率为f 1，则由题意，得f 1＝1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝0.05.,被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10＝0.25.所以估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25. (2)∵第1组[20,30)的人数为0.05×120＝6.∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名．记第1组中的3名男性群众分别为A ，B ，C,3名女性群众分别为x ，y ，z ，从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含(A ，B )，(A ，C )，(A ，x )，(A ，y )，(A ，z )，(B ，C )，(B ，x )，(B ，y )，(B ，z )，(C ，x )，(C ，y )，(C ，z )，(x ，y )，(x ，z )，(y ，z )，共15个基本事件．至少有一名女性群众包含(A ，x )，(A ，y )，(A ，z )，(B ，x )，(B ，y )，(B ，z )，(C ，x )，(C ，y )，(C ，z )，(x ，y )，(x ，z )，(y ，z )，共12个基本事件．∴从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率P ＝1215＝45.盒中有三张分别标有号码3,4,5的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为奇数的概率为________．答案 89 解析 解法一：两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种，其中至少有一个是奇数有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共8种，因此所求概率为89. 解法二：所求事件的对立事件为“两次抽取的卡片号码都为偶数”，只有(4,4)这1种取法，而两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种，因此所求事件的概率为1－19＝89. 答题启示“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现．在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度．在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件A 与事件B 互为对立事件，在求P (A )或P (B )时，利用公式P (A )＝1－P (B )先求容易的一个，再求另一个．对点训练1.某单位要在4名员工(含甲、乙2人)中随机选2名到某地出差，则甲、乙2人中，至少有1人被选中的概率是( )A.56B.23C.13D.12答案 A解析 解法一：设四人分别为甲、乙、丙、丁，则随机选2名的情况为甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，其中甲、乙2人中，至少有1人被选中的情况为甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁，共5种，所以所求概率为56. 解法二：设四人分别为甲、乙、丙、丁，则随机选2名的情况为甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，其中甲、乙2人都没被选中的情况为丙丁，共1种，所以所求概率为1－16＝56. 2.(2019·烟台模拟)口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意取出1个球，则2次取出的球颜色不同的概率是( )A.29B.13C.23D.89 答案 C解析 解法一：由题意，得基本事件有(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，红)，(白，白)，(白，黑)，(黑，红)，(黑，白)，(黑，黑)，共9个，2次取出的球颜色不同包含的基本事件有6个，所以2次取出的球颜色不同的概率P ＝69＝23，故选C. 解法二：由题意，得基本事件有(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，红)，(白，白)，(白，黑)，(黑，红)，(黑，白)，(黑，黑)，共9个，其中2次取出的球颜色相同的基本事件有3个，所以2次取出的球颜色不同的概率为1－39＝23.。

11-5古典概型基 础 巩 固 一、选择题1．(文)盒中有10个铁钉，其中8个合格，2个不合格，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( ) A.15 B.14 C.45 D.110[答案] C[解析] 每个铁钉被选中的可能性是相等的，而且试验中所出现的基本事件共有10个，是有限的，是古典概型，任取一个恰为合格铁钉的事件有8个，故概率为P ＝810＝45.(理)从数字1,2,3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为( ) A.13 B.16 C.18 D.14 [答案] A[解析] 从数字1,2,3中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,23,32，共6种，每种结果出现的可能性是相等的，所以该试验属于古典概型．记事件A 为“取出两个数字组成两位数大于23”，则A 中包含31,32两个基本事件，故P (A )＝26＝13.2．(文)在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是( )A.34B.310C.25 D ．以上都不对 [答案] B[解析] 由题设可知，基本事件的总数是40，且它们都是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，所以P ＝1240＝310.(理)甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.23 [答案] C[解析] 记两个房间的号码为1,2，则共有以下4个等可能事件：1甲2乙，1乙2甲，1甲1乙，2甲2乙．故所求概率为P ＝24＝12.3．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨的可能性为34C ．淋雨的可能性为12D ．淋雨的可能性为14[答案] D[解析] 此次野营共4种结果：下雨，收到帐篷；不下雨，收到帐篷；下雨，未收到帐篷；不下雨，未收到帐篷．只有“下雨，未收到帐篷”会淋雨，所以P ＝14.4．(·安徽文，10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.45[答案] B[解析] 本题考查古典概型．1个红球记作R,2个白球记作B 1，B 2,3个黑球记作H 1，H 2，H 3，则从中任取2个球的所有方法种数有如下15种：RB 1，RB 2，RH 1，RH 2，RH 3，B 1B 2，B 1H 1，B 1H 2，B 1H 3，B 2H 1，B 2H 2，B 2H 3，H 1H 2，H 1H 3，H 2H 3，而两球颜色为一黑一白的种数有如下6种：B 1H 1，B 1H 2，B 1H 3，B 2H 1，B 2H 2，B 2H 3，所以所求概率为615＝25.5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34 [答案] A[解析] 甲乙两位同学参加3个小组的所有可能性共3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种，故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为P ＝39＝13.6．(文)(·成都模拟)甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)．设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则满足复数x ＋y i 的实部大于虚部的概率是( )A.16B.512C.712D.13[答案] B[解析] 总共有36种情况．当x ＝6时，y 有5种情况；当x ＝5时，y 有4种情况；当x ＝4时，y 有3种情况；当x ＝3时，y 有2种情况；当x ＝2时，y 有1种情况．所以P ＝5＋4＋3＋2＋136＝512.(理)(·武汉市部分学校12月联考)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为( )A.13 B.14 C.16 D.112[答案] C[解析] ∵(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i 为纯虚数， ∴m 2－n 2＝0，∴m ＝n ，(m ，n )的所有可能取法有6×6＝36种，其中满足m ＝n 的取法有6种，∴所求概率P ＝636＝16.二、填空题7．(文)(·江苏卷，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识． 等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.(理)(·上海理，11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．[答案] 23[解析] 本题考查排列组合问题，三位同学每人选两个项目，共有C 23C 23C 23种选法，而两个人项目相同则有C 12C 23C 23，∴P ＝C 12C 23C 23C 23C 23C 23＝23.8．(文)一次掷两粒骰子，得到的点数为m 和n ，则关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋4＝0有实数根的概率是________．[答案]1112[解析] 基本事件共36个，∵方程有实根， ∴Δ＝(m ＋n )2－16≥0，∴m ＋n ≥4，其对立事件是m ＋n <4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本事件，∴所求概率为P ＝1－336＝1112.(理)从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为________．[答案]730[解析] 此题考查古典概型的概率问题，特殊元素优先考虑． 从10位同学任选3名有C 310中选法，即n ＝C 310＝120.令A ＝“3位中有甲但无乙”，事件A 含基本事件数m ＝C 28＝28.∴P (A )＝m n ＝28120＝730.三、解答题9．(·山东文，18)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．[解析] (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ，E ，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10种． 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F 为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(A ，F )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.能 力 提 升 一、选择题1．设a 、b 分别是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数，已知乙所得的点数为2，则方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.23B.13C.12D.512[答案] A[解析] 由已知得b ＝2，则Δ＝a 2－4b ＝a 2－8>0，解得a >22，故a ＝3,4,5,6，故所求概率为46＝23，选A.2．(文)把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )，q ＝(－2,1)，则向量p ⊥q 的概率为( )A.118B.112C.19D.16[答案] B[解析] ∵向量p ⊥q ，∴p ·q ＝－2m ＋n ＝0，∴n ＝2m ，满足条件的(m ，n )有3个：(1,2)，(2,4)，(3,6)，又基本事件的总数为36，∴P ＝336＝112，故选B.(理)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤10，则△ABC 是直角三角形的概率是( ) A.17 B.27 C.37 D.47[答案] C[解析] 由|AB →|＝k 2＋1≤10，解得－3≤k ≤3， 又k ∈Z ，故k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3. BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(k,1)＝(2－k,3)若A 是直角，则AB →·AC →＝(k,1)·(2,4)＝2k ＋4＝0，得k ＝－2；若B 是直角，则AB →·BC →＝(k,1)·(2－k,3)＝(2－k )k ＋3＝0，得k ＝－1或3；若C 是直角，则BC →·AC →＝(2－k,3)·(2,4)＝2(2－k )＋12＝0，得k ＝8(不符合题意)．故△ABC 是直角三角形的概率为37，选C.二、填空题3．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是________．[答案] 12[解析] 本题主要考查古典概型的知识，题目情境简单，难度不大，是最基础的概率应用问题． 设3只白球为A ，B ，C,1只黑球为d ，则从中随机摸出两只球的情形有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd 共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为12.4．(文)(·浙江文，12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________． [答案] 25[解析]本题考查了概率中的古典概型，由图可知两点间的距离为22的是中心和四个顶点组成的4条线段， 从五个点中任取两点共10条线段，故概率为410＝25.(理)(·重庆文，15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．[答案] 15[解析] 本题考查古典概型、排列组合知识． 解法1：基本事件总数A 66＝720.事件A “相邻两节文化课之间至少间隔一节艺术课”分两类，一类是相邻两节文化课间都恰有一节艺术课，有2A 33A 33＝72种排法，另一类是相邻两节文化课之间有一节艺术课或两节艺术课，有A 33C 23A 22A 22＝72种排法．∴P (A )＝72＋72720＝15.解法2：6节课的全排列为A 66种，先排3节艺术课有A 33种不同方法，同时产生4个空，再利用插空法排文化课共有A 34种不同方法，故由古典概型概率公式得P (A )＝A 33·A 34A 66＝15.三、解答题5．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球． (1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率． [解析] (1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、(黑，红，红)、(黑，红，黑)，(黑，黑，红)、(黑，黑，黑)．(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A .事件A 包含的基本事件为：(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)，事件A 包含的基本事件数为3.由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为P (A )＝38.6．(文)(·天津文，15)某地区有小学21所，中学14所，大学7所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， (ⅰ)列出所有可能的抽取结果； (ⅱ)求抽取的2所学校均为小学的概率．[解析] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)(ⅰ)在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．(ⅱ)从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以P (B )＝315＝15.(理)(·江西文，18)如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0，)B 2(0,2,0)，C 1(0,0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．[解析] 从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种， y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种， z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1, C 1C 2B 2，共4种，所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种，因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.7．新华中学高三(1)班共有学生50名，其中男生30名、女生20名，采用分层抽样的方法选出5人参加一个座谈会．(1)求某同学被抽到的概率以及选出的男、女同学的人数；(2)座谈会结束后，决定选出2名同学作典型发言，方法是先从5人中选出1名同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出1名同学发言，求选出的2名同学中恰好有1名为女同学的概率．[解析] (1)某个同学被抽到的概率P ＝550＝110，根据分层抽样方法，应抽取男同学3人，女同学2人.(2)记选出的3名男同学为A 1，A 2，A 3,2名女同学为B 1，B 2.则基本事件是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 1)，(A 3，A 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，A 1)，(B 1，A 2)，(B 1，A 3)，(B 1，B 2)，(B 2，A 1)，(B 2，A 2)，(B 2，A 3)，(B 2，B 1)．基本事件的总数为20个，其中满足“恰好有1名为女同学”的基本事件有12个，故所求的概率P ＝1220＝35.。

第二节古典概型[考纲] 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的根本领件数及事件发生的概率．1．古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性一样．2．古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝mn.1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽〞属于古典概型，其根本领件是“发芽与不发芽〞．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面〞“一正一反〞“两个反面〞，这三个结果是等可能事件．()(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性一样．()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)以下试验中，是古典概型的个数为()①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．A．0B．1C．2D．3B[由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]3．(2021·全国卷Ⅲ)小敏翻开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，那么小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B．18C．115D．130C[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝1 15.]4．(2021 ·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，那么称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，那么这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B．15C．110D．120C[从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.应选C.]5．甲、乙两名运发动各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，那么他们选择一样颜色运动服的概率为________．13[甲、乙两名运发动选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．所以所求概率P＝39＝13.]简单古典概型的概率(1)(2021·佛山质检)5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()C．0.8 D．1(2)(2021·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，那么红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B．12C.23D．56(1)B(2)C[(1)记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种可能．其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为610＝0.6.(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝46＝23，应选C.][规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算根本领件总个数n；(2)计算事件A所包含的根本领件的个数m；(3)代入公式求出概率P.2．用列举法写出所有根本领件时，可借助“树状图〞列举，以便做到不重、不漏．[变式训练1](1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，那么这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为()A.15B．25C.35D．45(2)(2021·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，那么出现向上的点数之和小于10的概率是____．(1)C(2)56[(1)设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．所以所求事件的概率P＝1－410＝35.(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(A)＝636＝16，所以P(A)＝1－16＝56.]复杂古典概型的概率(2021·山东高考)某儿童乐园在“六一〞儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图10-2-1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停顿转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规那么如下：图10-2-1①假设xy≤3，那么奖励玩具一个；②假设xy≥8，那么奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比拟小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[解]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，那么根本领件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以根本领件总数n＝16. 3分(1)记“xy≤3”为事件A，那么事件A包含的根本领件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516. 5分(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C.那么事件B包含的根本领件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝616＝38. 8分事件C包含的根本领件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1). 10分所以P(C)＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 12分[规律方法] 1.此题易错点有两个：(1)题意理解不清，不能把根本领件列举出来；(2)不能恰当分类，列举根本领件有遗漏．2．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．[变式训练2] (2021·潍坊质检)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团8 5 未参加演讲社团 2 30(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率.【导学号：66482463】[解] (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，2分故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13. 5分(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的根本领件有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个. 8分根据题意，这些根本领件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中〞所包含的根本领件有{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个. 10分因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215. 12分古典概型与统计的综合应用(2021 ·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比拟两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；图10-2-2(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级〞．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．[解](1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：2分通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比拟集中，B地区用户满意度评分比拟分散. 5分(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意〞；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意〞；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意〞；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意〞；那么C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，且C＝C B1C A1＋C B2C A2. ∴P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)＝P(C B1C A1)＋P(C B2C A2)＝P(C B1)P(C A1)＋P(C B2)P(C A2). 8分又根据茎叶图知P(C A1)＝1620，P(C A2)＝420，P(C B1)＝1020，P(C B2)＝820. 10分因此P(C)＝1020×1620＋820×420＝1225＝0.48. 12分[规律方法] 1.此题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考察数据处理能力和数学应用意识．2．有关古典概型与统计结合的题型是高考考察概率的一个重要题型，已成为高考考察的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．[变式训练3]海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进展抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进展检测.(1)求这6(2)假设在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进展进一步检测，求这2件商品来自一样地区的概率．[解](1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，2分所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2. 5分(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.那么从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有根本领件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2} ，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个. 8分每个样品被抽到的时机均等，因此这些根本领件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自一样地区〞，那么事件D包含的根本领件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个. 10分所以这2件商品来自一样地区的概率P(D)＝415. 12分[思想与方法]1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的根本领件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的根本领件有多少个．2．确定根本领件的方法(1)当根本领件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法．3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算．[易错与防范]古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算根本领件总数和事件包括的根本领件个数时，它们是否是等可能的．。