第3章 谓词逻辑

第一节：命题符号化及联结词

※引言

命题逻辑是数理逻辑的基本组成部分，是谓词逻辑的基础，而数理逻辑是一门用数学方法研究推理过程的科学。

逻辑学主要研究各种论证，建立逻辑学的主要目的在于探索出一套完整的规则，按照这些规则就可以确定任何特定论证是否有效，这些规则通常称为推理规则。

在逻辑学中与其说注重的是论证本身，不如说注重的是论证形式，这样可以依据各项规则并使用机械方法，不难确定论证的有效性，但是，使用这种方法推理时，所遵循的规则一定不能具有二义性。

为表示任何成套规则或者理论，都需要为其配置一种语言。所以，应制定一种形式语言，在这种形式语言中必须明确地和严格地定义好它的语义和语法，为了避免出现二义性，在形式语言种将使用一些符号，并给这些符号做出明确的定义，同时使用符号还有另外的含义：符号容易书写和处理。

※命题符号化及联结词

数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，所以，表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。

【定义1】

命题：能判断真假的陈述叫做命题

注意：

(1)命题的判断只有两种可能：正确的判断与错误的判断，前者称为命题的真值为真；后者称为命题的真值为假，

(2)命题的真值通常使用大写英文字母T和F表示，或使用1和0表示

(3)命题必须是具有唯一真值的陈述句

【例题1】判断下列语句中哪些是命题 (1)2是素数

(2)雪是黑色的

(3)532

(4)明年十月一日是晴天

(5)3 能被2整除

(6)这朵花真好看呀！

(7)明天下午有会吗？

(8)请关上门！

(9)5yx

(10)地球外的星球上也有人

其中：(1)(2)(3)(4)(5)(10)为命题

【方法】

(1)命题必须是陈述句，所以：非陈述句不是命题

(2)命题必须有确定的真值，凡无确定真值的陈述句不是命题，特别注意：真值是否确定与我们是否知道它的真值是两码事

(3)注意悖论：如：我正在说谎。

第一章 绪论（P6）

一、

1．逻辑学的研究对象是思维的形式结构及其规律，逻辑学是研究思维形式结构及其规律的科学。

2．思维形式结构是思维内容的存在方式、联系方式。逻辑常项是思维形式结构中的不变部分，它决定思维的逻辑内容。逻辑变项是思维形式结构中的可变部分，它容纳思维的具体内容。如“所有S是P”这一全称肯定命题的思维形式结构，其中“所有……是……”是逻辑常项，表明该命题具有“全称肯定”的逻辑内容。“S”、“P”是逻辑变项(词项变项)，代入不同具体词项，表达不同的具体思维内容，并有真假。又如“如果P，那么Q”这一充分条件假言命题的思维形式结构，其中“如果……那么……”是逻辑常项，表明该命题具有蕴涵式的逻辑内容，即前件真则后件真(“有之必然”)，并非前件真而后件假(并非“有之而不然”)。“P、Q”是逻辑变项(命题变项)，代入不同的具体命题，表达不同的具体思维内容，并有真假。

3．对思维形式结构的代入，是指用具体的词项或命题替换思维形式结构中的逻辑变项，因而使思维形式结构成为有内容的具体思想，并具有真假值。如用具体的词项“杨树”和“落叶乔木”，分别替换“所有S是P”这一全称肯定命题的思维形式结构中的逻辑变项“S”和“P”，因而使思维形式结构成为有内容的具体思想“所有杨树是落叶乔木”，并具有真值。又如用具体的命题“过度砍伐森林”和“会破坏生态平衡”，分别替换“如果P，那么Q”这一充分条件假言命题的思维形式结构中的逻辑变项“P”和“Q”，因而使思维形式结构成为有内容的具体思想“如果过度砍伐森林，那么会破坏生态平衡”，并具有真值。

4．现代逻辑从形式上定义和说明逻辑规律。如命题逻辑中的逻辑规律就是重言式(一真值形式在命题变项的任意一组赋值下都真)，谓词逻辑中的逻辑。规律就是普遍有效式(指一命题形式在任一解释下都得到一个真命题)①，传统逻辑主要从内容、作用上定义和说明逻辑规律。逻辑规律有特殊和一般之分。如定义、划分的规则，是特殊的逻辑规律，作用于定义、划分的特殊范围。同一律、矛盾律、排中律和充足理由律，是一般的、基本的逻辑规律，概括正确思维形式结构的基本性质和联系，普遍作用于各类思维形式结构，支配各类思维形式结构的特殊规律(规则)，对思维具有强制的规范和约束作用，保证思维的确定性、一贯性、明确性和论证性。违反这些规律，会发生逻辑谬误。

1 第五章 非形式的一阶谓词逻辑

本章和下一章都属于现代谓词逻辑。这一章主要介绍一阶谓

词逻辑的基本概念、形式结构和语义，是一阶谓词演算的理论基

础。

§1 从传统谓词逻辑到现代谓词逻辑

传统谓词逻辑主要是研究性质命题及其推理(以三段论为核

心)的逻辑。在传统谓词逻辑中，所有的命题都是仅仅具有如下

四种形式的命题：

A——所有的S都是P

E——所有的S都不是P

I——有些S是P

O——有些S不是P

至于具有“这个S是P”和“这个S不是P”之形式的命题

则被笼统地处理成相应的A命题和E命题。无疑，对于可以分析

成这种形式的命题来说，传统谓词逻辑中的方法很有实用性。但

这种分析方法同时也存在着很大的局限性和过于笼统化。试看如

下命题：

(1)张三比李四年纪大。

(2)上海位于南京和杭州之间。 2 (3)有的提案得到了所有议员的欢迎。

它们和具有上述A、E、I、0四种形式的命题有着明显的区

别，称为关系命题，即表达个体对象之间是否具有某种关系。由

这些命题构成的推理称为关系推理。例如：

张三比李四年纪大，

李四比王五的年纪大

所以，张三此王五的年纪大。

直观上看，这个推理是有效的，并且其有效性正在于命题的

内部结构。类似这个推理的关系推理显然应该成为着重分析命题

内在逻辑结构的谓词逻辑的研究对象。但关系命题和关系推理都

超出了传统谓词逻辑力所能及的范围。传统谓词逻辑仅仅研究性

质命题；而且仅仅研究三段论或是对性质命题的形式稍作变化的

推理。

尽管传统谓词逻辑也属于谓词逻辑，但它对谓词的研究极其

有限。谓词有多种类型。有一元、二元乃至多元谓词，有一阶、

二阶乃至高阶谓词。一元谓词是表示一个个体对象的性质的谓

词，二元及二元以上的谓词则是表示两个或两个以上的个体对象

之间的关系的谓词。传统谓词逻辑所研究的性质命题是只包含一

元谓词的命题，三段论也仅是关于一元谓词的逻辑理论。对于包

含二元及二元以上的谓词的关系命题及其相关的关系推理形式，

离散数学讲义 武汉科技大学计算机学院

－3.1－ 第三章 命题逻辑

重点：掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；利用真值表技术和公式转换方式求公式的主析取范式和主合取范式；利用规则、基本等价和蕴涵公式、三种不同的推理方法完成命题逻辑推理；

难点：如何正确地掌握对语言的翻译，如何利用推理方法正确的完成命题推理。

数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其他分支、计算机学科、人工智能、语言学等学科均有十分密切的联系，并且益显示出它的重要作用和更加广泛的应用前景。要很好地使用计算机，就必须学习逻辑。数理逻辑分五大部分。在离散数学中仅介绍命题逻辑和谓词逻辑。命题逻辑是谓词逻辑的基础，只有掌握了命题逻辑，才能学好谓词逻辑。对于命题逻辑，下面从六个知识点来加以阐述。

3.1 命题符号化及联系结词

1 命题

有确切真值的陈述句称为命题。

所谓确切真值是指在具体的环境，具体的时间，具体的对象，具体的位置等情况下能唯一确定真值的。命题分为两种：

(1) 简单命题：不能分解为更为简单的句子的命题。

(2) 复合命题：能够分解为更为简单的命题。

2 命题联结词

联结词 记号 复合命题 读法 记法 真值结果

否定 乛 P是不对的 P的否定 乛P 乛P为真当且仅当P为假

合取 ∧ P并且Q P与Q的合取 P∧Q P∧Q为真当且仅当P，Q同为真

析取 ∨ P或者Q P与Q的析取 P∨Q P∨Q为真当且仅当P，Q至少一个为真

蕴涵 → 若P，则Q P蕴涵Q P→Q P→Q为假当且仅当P为真，Q为假

等价 ←→ P当且仅当Q P等价于Q P←→

Q P←→ Q为真当县仅当P，Q同为真假 离散数学讲义 武汉科技大学计算机学院