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高斯光束传输方程及其解法

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华中科技大学激光原理课件--第5讲 高斯光束

华中科技大学激光原理课件--第5讲 高斯光束

∇ 2φ − 2ikφ '− kk 2φ r 2 = 0
• 令修正因子取以下形式： 令修正因子取以下形式：
k 2 φ = E 0 exp −i p( z ) + r 2q ( z )
为什么取这种形式？ 为什么取这种形式？这是对波动 方程进行长期研究得到的解， 方程进行长期研究得到的解，既 满足方程，又有明确的、 满足方程，又有明确的、能够被 实验证实的物理意义。 实验证实的物理意义。
r 2 kr 2 ω0 = E0 exp − 2 exp −i kz − η ( z ) + 2 R( z ) ω ( z) ω ( z) •该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解，其横向依赖 该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解， 该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解 称为基本高斯光束解， 关系只包含r，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。 关系只包含 ，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。
5
5.0 光束的传播：波动方程 光束的传播：
– 通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到： 通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：
k 2 k 2 2 1 ' 2 − r − 2i −k r − 2kp '− kk 2 r = 0 q( z ) q( z ) q( z )
∂t
v v 2 v v ∇ E 0 + k (r ) E 0 = 0 iω t E ( x, y, z, t ) = Re E 0( x, y, z )e 代入 式 代入(4)式 2 2 k (r ) = ω uε (r )

光学谐振腔理论-第8节-高斯光束的传输

光学谐振腔理论-第8节-高斯光束的传输

05 高斯光束的未来发展与应 用
高斯光束在光学通信中的应用
高速光通信
高斯光束在光学通信中具有较高的传输速度和较低的信号衰减，有助于实现高 速、大容量的光通信系统。
远程通信
高斯光束具有较好的光束质量和传输稳定性，适用于长距离的光纤通信，有助 于实现远程、稳定的通信连接。
高斯光束在光学传感中的应用
03 高斯光束的调制与控制
高斯光束的相位调制
01
相位调制是指通过改变高斯光束的相位分布来改变其波前的状 态。
02
常见的相位调制方法包括利用液晶空间光调制器、光栅或其他
光学元件对高斯光束进行相位调制。
相位调制在光学通信、光学传感和光学计算等领域有广泛应用，
03
可以实现光束的聚焦、散焦、波形转换等功能。
高斯光束的波前测量
波前测量概述
波前是描述光束相位变化的物理量，高斯光束的波前测量有助于 了解光束的传播特性和干涉、衍射等光学现象。
波前测量方法
常用的波前测量方法有干涉法、散斑法、剪切干涉法等，可以根据 高斯光束的特点和测量精度要求选择合适的方法。
测量误差来源
波前测量误差主要来源于光束的聚焦、光束截面分布、光学元件的 误差等因素。
高斯光束的聚焦特性
聚焦原理
高斯光束经过透镜聚焦后，其横截面 上的强度分布会发生变化，形成明暗 相间的干涉条纹。
干涉条纹
干涉条纹的形状取决于透镜的焦距和 光束的束腰半径。当透镜焦距一定时 ，束腰半径越小，干涉条纹越密集； 反之，则越稀疏。
02 高斯光束在光学谐振腔中 的应用
光学谐振腔对高斯光束的影响
偏振态调制是指通过改变高斯光 束的偏振状态来改变其电磁场分
布。
常见的偏振态调制方法包括利用 偏振片、电光晶体或液晶等对高

第16讲 高斯光束的传输和变换

第16讲 高斯光束的传输和变换

O
L
z1
z2
z
q2 q(z2 ) z2 if
q2 q1 L
16.2 高斯光束传输的基本规律
M1
w0
w1 w2
M2 w0
R1
R2
l
l
16.2 高斯光束传输的基本规律
1 11 R2 R1 F 由于透镜很薄，紧贴透镜的两侧等相位面上的光斑大小和
光强分布相同；
w2 w1
第16讲 高斯光束的传输和变换
16.1 单色球面波傍轴传输的基本规律
单色球面波通过长度为L的自由空间
R1 R(z1) z1 R2 R(z2 ) z2 R1 L
R( z1 )
O
z1
z2
z
R(z2 )
L
16.1 单色球面波傍轴传输的基本规律
单色球面波通过焦距为F的薄透镜
R
O
f1

w02
3.14 3104 632.8109
2
0.45 m
q0 if1
q1 q0 l1 0.1 0.45i m
q2

Fq1 F q 0.1 0.45i

0.18 0.085i
0
1

1.5 0.35
M
M3M2M1
5
0.5

输出光束的q参数为：
q4

1.5q1 0.35 5q1 0.5

(0.32

0.085i)
m
因此：
R1
1
r2
2



A C
B r1
D

高斯光束的传播讲义

高斯光束的传播讲义

高斯光束的传播一、 高斯光束的传播规律为了比较起见，我们仍从一般均匀球面波的传播讨论开始。

如图1所示，一个静止点光源发出的球面波，垂直于等相面方向的距离为z 的任意两个等相面的z图1曲率半径，应满足21R R z =+（1）的方程，曲率半径的符号是这样规定的：从正无穷远处看到凸的波阵面R 为正；看到凹的波阵面R 为负。

若球面波通过焦距为f 的薄透镜，由物象关系得知，透镜前后曲率半径R 1，R 2满足21111R R f=- （2）这里规定凸透镜的0f >，凹透镜的0f <。

我们曾讨论过近轴光线通过光学元件的传播满足的矩阵关系2121x x AB CD θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭近轴球面波通过光学元件前后的曲率半径分别为121212,x x R R θθ==因此1211112121111x A Bx Ax B AR B R x C x D C R DCDθθθθθ+++====+++ （3）所以对于一般均匀球面波，只用一个参数——曲率半径R 就可完全描述其传播和变换的特性。

与普通球面波不同，高斯光束必须由两个量即R （z ）和w (z)来描写。

但下面将看到，对于高斯光束——非均匀的、曲率中心不断变化的球面波——也具有一个与一般球面波曲率半径R 的作用类似的复曲率半径q (z )，它可被用来描述高斯光束的传播行为。

在推导高斯光束表达式时，我们已经得出复曲率半径在均匀空间传播的表达式，具体过程可以参考伍长征编写的《激光原理》书中的（3.3-14）式，即21q q z=+ （4）这里21,q q 分别为传播方向上任意两点21,z z 处的复曲率半径，z 为两点间距离，21z z z =-，参见图2(a)。

再看高斯光束通过薄透镜的变换，如图2(b)。

令薄透镜焦距为f ，由于是近轴光线，波阵面是一球面，透镜前后曲率半径应满足21111R R f=-,000(,)q w R 111(,)q w R 222(,)qwR z 1z 2图2(a)f 20w 10w q 1q 2图2(b)又透镜足够薄，两侧光斑尺寸相等，即12w w =，与上式合并，可以变形为22222112121()i iR kwR kw f-=-- (5)由复曲率半径定义式2112()()()i q z R z kw z =-，可得21111q q f=-（6）比较（4）式和（6）式与（1）式和（2）式知道，利用复曲率半径q ，形式上完全可等价于球面波的曲率半径R 。

11-12讲 高斯光束

11-12讲 高斯光束

+ z0 )
与上式相比，位相之差一常数。 与上式相比，位相之差一常数。 Z>0处波阵面是球面，曲率半径 处波阵面是球面， 处波阵面是球面
πW02 2 R ( z 0 ) = z 0 1 + ( ) > z0 > 0 zλ
x R(z) z W0 W(z0) y W(z) z
为有限大小的高斯光束，无论F 对w01为有限大小的高斯光束，无论 和z1如何取都不可能使 w02→∞，也不可能使 2→0，说明单个透镜不能将 高斯光束变换 ，也不可能使θ ， 成平行光束。 成平行光束。
方向性，提高准直性， 单透镜可以改善高斯光束的 方向性，提高准直性， 就有θ 尽可能使w 当w01 > w02，就有 2 <θ1,尽可能使 02达到极大值 尽可能使
x θ R(z) z W0 W(z0) y W(z) z
在z=0处，发散角为 ，光斑最小 0称为腰斑，远离腰束光斑逐 处 发散角为0，光斑最小W 称为腰斑， 渐增大， 增大而增大。 渐增大，W(z) 随z增大而增大。 增大而增大
dW ( z ) 2 zλ 2θ = 2 = πW0 dz
当z=0时，2θ=0，平面波 时 ，
平面波
A0 E(x, y,0) = A(x, y, z = 0) = e W0
r2 − 2 W0
表明和 ， 坐标相关的相位部分消失了 坐标相关的相位部分消失了， 的平面是等相位面， 表明和x，y坐标相关的相位部分消失了，即z=0的平面是等相位面， 的平面是等相位面 和平面光波一样， 和平面光波一样，振幅部分是高斯函数
W01 W02 = = 2 f W01 2 1 + ( )2 1+ ( ) F λF
W01

3.10 高斯光束的传输与透镜变换解读

3.10 高斯光束的传输与透镜变换解读

若ω0→0或z →∞，则R(z) →z、 ω(z) →∞。 当光斑尺寸趋于无穷大时，波阵面上的光强分布 趋于均匀，这正是普通球面波波阵面上的均匀分布 情况，此时，高斯光束可看成是普通球面波。
一、高斯光束在空间的传输规律
定义：
1 1 i 2 q( z ) R( z ) ( z )
称q(z)为q参数，或称为高斯光束的复曲率半径。 定义q参数的好处是： ① z处R(z)与ω(z)两个参数可用一个参数q(z)表示，
即：
1 1 1 q1 q2 F
这与几何光学成像公式在形式上是相同的。
例题
例题1： 某高斯光束波长为3.14微米，束腰半径 为1mm。 求：距离束腰右方50cm处的 （1）q参数； （2）光斑半径和等相位面曲率半径。
例题
例题2： 某高斯光束波长为3.14微米，在某处光 斑半径为1mm，等相位面曲率半径0.5m。 求：此高斯光束 （1）在该处的q参数； （2）束腰半径及位置。
3.10 高斯光束的传输与透镜变换
一、高斯光束在空间的传输规律
1. 普通球面波
R( z1 ) z1 R ( z2 ) z2
即球面波的波前曲率半径R等于传输距离Z。

R( z2 ) R( z1 ) ( z2 z1 )
一、高斯光束在空间的传输规律
2. 高斯光束
2 f2 1 0 R( z1 ) z z ( )2 z z z 2 2 2 ( z ) 0 1 ( ) 0 1 z ( 2 ) f 0
区别：如果将入射光束的腰看作物点。 按照几何光学成像规律，如l=u=F，则l’=v=∞； 按照高斯光束成像规律，如l=F，则l’=F。
二、高斯光束通过薄透镜的变换

双曲余弦一高斯光束在自 由空间的传输方程

双曲余弦一高斯光束在自 由空间的传输方程
目录
绪论
瑞利-索末菲衍射积分公式
传输方程
总结
绪论
自1960年世界上第一台红宝石激光器问世以来，激光科学技术的迅 速发展极大地推动了相关基础和应用学科研究的发展,包括激光光学 的形成和发展。激光光学以研究激光光束(光束是指以小的发散角定 向传输的光频电磁波)通过各种介质和各类光学系统的传输变换规律 以及激光束在光学谐振腔中的变换特性为主题。研究激光光束的传输 变换和控制,以及光束光场的基本特性对新型光束产生和应用具有重 要的理论和现实意义。
谢谢观赏
光频电磁场的普遍运动规律由麦克斯韦方程组描述,因此,从本质上讲光频电 磁场是矢量场。我们把光频电磁场严格作为矢量场处理，基于矢量瑞利一索 末菲衍射积分公式,研究矢量光束矢量传输光场。
矢量场的非傍轴传输理论：考虑一单色矢量光场 是光波的圆频 率,光场复振幅满足波动方程 在Dirichiet边界条件下,方程的解经过 矢量瑞利积分公式简化后求得：
矢量亥姆霍兹方程
E E ( x, y, z ) ( x, y, z ) exp(ikz )
2 2 2 2 2ik 2 0 得 2 x y z z
缓变振幅近似下
2 2 E ( x, y, z ) ( x, y, z ) exp(ikz ) 2 ik 0 2 2 x y z
上面三式即为非傍轴近似条件下的矢量瑞利一索末菲衍射积分公式,可在狄拉 克边界条件下,求解非傍轴光束的传输光场。
矢量非傍轴双曲余弦一高斯光束的传输
双曲余弦一高斯(ChG)光束在光束合成,平顶光束产生等方面引起了人们广泛的研 究兴趣,但均限于傍轴范畴。我们引入了矢量非傍轴ChG光束概念，使用矢量瑞 利一索末菲衍射积分公式推导出了矢量非傍轴ChG光束在自由空间的传输公式, 并对其传输特性进行了研究。 1传输方程 假设源2=0平面上有沿:方向偏振的三维chG光束,其x,y分量为：

拉盖尔高斯光束方程

拉盖尔高斯光束方程拉盖尔-高斯光束方程（Rayleigh-Gaussian beam equation）是用来描述高斯光束的数学形式。

这种类型的光束通常由一个近似为点的光源（如激光器）发出，然后通过空气或其他介质传播。

高斯光束的电场强度可以通过下面的方程描述:E(r,z,t) = E0exp(-(r^2)/(w0^2)) * exp(-(ikz-w0^2z/(2ZR)-(kr^2)/(2*R))其中:E0 为振幅，r 为半径，z 为距离， t 时间,w0 为在z=0处的腰径，ZR 为赫兹半径, R 为曲率半径w0 = w(z=0) = w0*sqrt(1+(z/ZR)^2)高斯光束具有狭缝和高斯分布的性质，因此它在传播过程中的电场强度的分布呈现出高斯分布形式。

这个方程在激光光学，物理光学和光通信等领域中有广泛的应用。

第一个指数部分，E0 * exp(-(r^2)/(w0^2))，表示光束在半径方向上的分布情况。

其中，E0 是光束的振幅，r 是半径，w0 是在 z = 0 处的腰径. 这个指数表示光束随着半径增大而衰减，具有高斯分布的性质.第二个指数部分，exp(-(ikz-w0^2z/(2ZR)-(kr^2)/(2R))) 表示光束在距离上的分布情况。

其中 z 为距离，k为波数， ZR 为赫兹半径, R 为曲率半径.这个指数项表示光束随着距离增加而衰减。

同时 w0 也是随着距离增加而变大的.最后的复数部分 ikz 描述的是光束的相位随着距离的变化.高斯光束因其狭缩性和高斯分布的性质，在光学成像，激光加工，光通信等领域有广泛应用。

这个方程描述了光束在传播过程中的变化，可以计算出光束在不同位置和时间的电场强度分布。

第三章 高斯光束的传输与变换


2.9.4 高阶高斯光束 （1）厄米特—高斯光束 高阶高斯光束横截面内的场分布可由高斯函数与厄米多项式的 乘积来描述。 沿z方向传输的厄米卢高斯光束
mn(x ,y ,z ) C mn
C mn 1
1

H m(
2
2

x )H n(
2

y) e
r2 2
e
r2 z i k(z )( m n 1)arctg 2R f
激光物理
第三章
高斯光束的传输与变换
回顾
方形镜共焦腔的行波场
（厄米-高斯光束） 当镜面上的场分布能够用厄米-高斯函数来描述时，共焦 腔中的行波场可以表示为：
2 2 0 Emn( x, y, z ) AmnE 0 Hm x Hn y e ( z) ( z) ( z)
1 1 令q0=q(0)，则： Nhomakorabeai 2 q 0 R(0) (0)
20 R(0) , (0) 0 q 0 i if
通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。
以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据 实际问题来灵活选择使用哪种参数。
2 2 2 2
可见,光斑半径随坐标z按双曲线的规律而扩展,在z=0处,以 ω(z)=ω0,达到极小值（束腰）。
（2)基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
r2 z 00(x ,y ,z ) k(z ) arctg 2R f
表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面
2 2 0 R(z ) z 1 z
式中ω0和ω(z)分别为基模光腰半径和z处光斑半径。在z方向和y 方向的远场发散角 2 ( z ) 2 m lim m 2m 1 2m 1 0 z z 0 2n ( z ) 2 n lim 2n 1 2n 1 0 z z 0

第6讲-高斯光束的传输变换


)
H
n
2
y
(z)
H0(x) 1 H1(x) 2x H2(x) 4x2 2 H3 (x) 8x3 12x
exp
x2 y2
2 (z)
i
k(x2 y2)
2R(z)
kz
(m
n
1)
(z)
• 其中的m、n为x、y方向上的零点数，此时高阶高斯光束分布为厄米高斯光束，表示为TEMmn模式。
• 要使得上式中qs+1为有限值，即光束约束在透镜波导内传播，就要求
θ为实数，即 cos 1，由此可得到光束稳定性条件：
d d d2
0 1
1
•
F1 F2 2F1F2
如果θ为虚数，不妨设θ=ia，则 sin(i s)
增加而增加，qs+1没有确定值，不稳定。
1 2i
e s e s
会随着S的
z0 z
2
z2
z02 z
2
Z
02
1
z z0
2
z2
z02 z0
6.2 高斯光束的传输与q参数
高斯光束在自由空间的传输
– 通过整理q的表达式可以得到：
R
1
Z
i
2
Z
q(z)
2
2
1
R
Z
2
Z
z2
z z02
iz0 z2 z02
z2 z2 z02
2
z02 z2 z02
Re
1 q(z)
1 2( z )
Im
1
q(z)
–
令q0=q(0)，则：
1 q0
1 i R(0) 2(0)
R(0) ,(0)
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高斯光束传输方程及其解法
光学是研究光的物理现象和规律的科学，光在自然界中广泛存
在并起到重要作用，对于现代科技的发展也有着不可替代的作用。

高斯光束是一种常见的光束形式，其具有良好的传输性质和应用
前景，因此得到广泛应用。

一、高斯光束的定义和特性
高斯光束是指在自由空间中横向至少二次可微、纵向一次可微
的光束，其光强分布和相位分布都可用高斯函数表征。

高斯光束
具有如下的重要特性：
1. 具有良好的射程特性，能够在传输过程中保持约束的形态；
2. 横向光强分布呈高斯分布，纵向呈指数分布，能够满足许多
光学应用中对于光束形态和光强的要求；
3. 光束通过透镜进行聚焦后，仍然是高斯光束，具有良好的自
聚焦能力；
4. 具有相干性，能够满足干涉、衍射等光学现象的要求。

二、高斯光束传输方程的推导
在光学应用中，高斯光束的传输是一个重要的问题，需要准确
描述其传输过程。

高斯光束传输方程可以描述高斯光束在自由空
间中传输的过程，其推导如下：
设高斯光束的累计相位为φ(x,y,z)，其横向强度分布为I(x,y)，
则光强的分布可以表示为：I(x,y,z)=|A(x,y,z)|^2
其中，A(x,y,z)是高斯光束的复振幅，其表示为：
A(x,y,z)=u(x,y,z)exp(jφ(x,y,z))
其中u(x,y,z)表示高斯光束的复场，根据标量波动方程可以得到：△u+k^2u=0
其中k=2π/λ为波数，λ为波长。

将复场u分解为实部和虚部，可得到：u=u1+ju2
则标量波动方程可以分解为实部和虚部的两个方程：
△u1+k^2u1=-△u2-k^2u2
△u2+k^2u2=△u1-k^2u1
再利用高斯光束的对称性和横向可微性，可以得到：
▽^2u1+k^2u1=0
▽^2u2+k^2u2=0
则高斯光束的传输方程可以写为：
∂A(x,y,z)/∂z+iβ(x,y,z)A(x,y,z)=0
其中β(x,y,z)为传输因子，可以表示为：
β(x,y,z)=k/2n[∂^2φ(x,y,z)/∂x^2+∂^2φ(x,y,z)/∂y^2]
则高斯光束的累计相位和传输因子分别代表了光束的位相和弯
曲程度，通过方程可以描述光束在自由空间中传输时的演化形态。

三、高斯光束传输方程的解法
高斯光束传输方程可以采用数值和解析两种方法进行求解。

1. 数值解法
常用的数值解法是有限差分法，可以通过建立网格，对高斯光
束的传输方程进行离散，然后进行数值求解。

该方法的优点是适
用范围广，能够处理各种复杂的情况，但是计算量大，计算速度慢。

2. 解析解法
解析解法是通过对高斯光束传输方程进行数学求解，得到解析
解的方法，常用的方法包括矩阵法、傅里叶变换法和变分法等。

该方法的优点是计算速度快，结果准确性高，但是适用范围有限，不能处理复杂的情况。

四、高斯光束传输在光学应用中的应用
高斯光束传输是光学应用中的重要问题，应用广泛，涵盖了很
多领域。

以下是其中的几个应用领域：
1. 光通信
高斯光束传输在光通信中有重要应用，可以提高光信号的传输
质量和传输距离。

利用高斯光束的良好聚焦性和传输特性，可以
实现高速、高效的光通信。

2. 光刻
光刻是半导体工艺中的重要环节，利用高斯光束传输可以实现
光刻胶的准确定位和精确控制，实现高精度的图形刻蚀。

3. 激光制造
激光制造是一种先进的制造技术，利用高斯光束传输可以实现
对零件表面的高精度加工和微细加工，以及对材料的切割、打孔、焊接、合金等加工。

综上所述，高斯光束传输方程及其解法是光学研究中的重要问题，具有广泛的应用前景。

在光通信、光刻、激光制造等领域中
都有着重要的应用。

未来，随着光学技术的发展和应用的不断拓展，高斯光束的应用前景将会更加广泛。