高斯光束传输方程及其解法
光学是研究光的物理现象和规律的科学，光在自然界中广泛存
在并起到重要作用，对于现代科技的发展也有着不可替代的作用。高斯光束是一种常见的光束形式，其具有良好的传输性质和应用
前景，因此得到广泛应用。
一、高斯光束的定义和特性
高斯光束是指在自由空间中横向至少二次可微、纵向一次可微
的光束，其光强分布和相位分布都可用高斯函数表征。高斯光束
具有如下的重要特性：
1. 具有良好的射程特性，能够在传输过程中保持约束的形态；
2. 横向光强分布呈高斯分布，纵向呈指数分布，能够满足许多
光学应用中对于光束形态和光强的要求；
3. 光束通过透镜进行聚焦后，仍然是高斯光束，具有良好的自
聚焦能力；
4. 具有相干性，能够满足干涉、衍射等光学现象的要求。
二、高斯光束传输方程的推导
在光学应用中，高斯光束的传输是一个重要的问题，需要准确
描述其传输过程。高斯光束传输方程可以描述高斯光束在自由空
间中传输的过程，其推导如下：
设高斯光束的累计相位为φ(x,y,z)，其横向强度分布为I(x,y)，
则光强的分布可以表示为：I(x,y,z)=|A(x,y,z)|^2
其中，A(x,y,z)是高斯光束的复振幅，其表示为：
A(x,y,z)=u(x,y,z)exp(jφ(x,y,z))
其中u(x,y,z)表示高斯光束的复场，根据标量波动方程可以得到：△u+k^2u=0
其中k=2π/λ为波数，λ为波长。将复场u分解为实部和虚部，可得到：u=u1+ju2
则标量波动方程可以分解为实部和虚部的两个方程：
△u1+k^2u1=-△u2-k^2u2
△u2+k^2u2=△u1-k^2u1
再利用高斯光束的对称性和横向可微性，可以得到：
▽^2u1+k^2u1=0
▽^2u2+k^2u2=0
则高斯光束的传输方程可以写为：
∂A(x,y,z)/∂z+iβ(x,y,z)A(x,y,z)=0
其中β(x,y,z)为传输因子，可以表示为：
β(x,y,z)=k/2n[∂^2φ(x,y,z)/∂x^2+∂^2φ(x,y,z)/∂y^2]
则高斯光束的累计相位和传输因子分别代表了光束的位相和弯
曲程度，通过方程可以描述光束在自由空间中传输时的演化形态。
三、高斯光束传输方程的解法
高斯光束传输方程可以采用数值和解析两种方法进行求解。
1. 数值解法
常用的数值解法是有限差分法，可以通过建立网格，对高斯光
束的传输方程进行离散，然后进行数值求解。该方法的优点是适
用范围广，能够处理各种复杂的情况，但是计算量大，计算速度慢。
2. 解析解法
解析解法是通过对高斯光束传输方程进行数学求解，得到解析
解的方法，常用的方法包括矩阵法、傅里叶变换法和变分法等。
该方法的优点是计算速度快，结果准确性高，但是适用范围有限，不能处理复杂的情况。
四、高斯光束传输在光学应用中的应用
高斯光束传输是光学应用中的重要问题，应用广泛，涵盖了很
多领域。以下是其中的几个应用领域：
1. 光通信
高斯光束传输在光通信中有重要应用，可以提高光信号的传输
质量和传输距离。利用高斯光束的良好聚焦性和传输特性，可以
实现高速、高效的光通信。
2. 光刻
光刻是半导体工艺中的重要环节，利用高斯光束传输可以实现
光刻胶的准确定位和精确控制，实现高精度的图形刻蚀。
3. 激光制造
激光制造是一种先进的制造技术，利用高斯光束传输可以实现
对零件表面的高精度加工和微细加工，以及对材料的切割、打孔、焊接、合金等加工。
综上所述，高斯光束传输方程及其解法是光学研究中的重要问题，具有广泛的应用前景。在光通信、光刻、激光制造等领域中
都有着重要的应用。未来，随着光学技术的发展和应用的不断拓展，高斯光束的应用前景将会更加广泛。
中北大学 课程设计说明书 2014/2015 学年第一学期 学院：信息与通信工程学院 专业：光电信息工程 学生姓名：赵策学号：1105104138 课程设计题目：基于MATLAB的谐振腔稳定性分析和 高斯光束传输特性计算 起迄日期：2015年1月12日～2015年1月30日指导教师：王小燕
中北大学 课程设计任务书 2014/2015 学年第一学期 学院：信息与通信工程学院 专业：光电信息工程 学生姓名：赵策学号：1105104138 课程设计题目：基于MATLAB的谐振腔稳定性分析和 高斯光束传输特性计算 起迄日期：2015年1月12日～2015年1月30日指导教师：王小燕
课 程 设 计 任 务 书 1． 设计目的： 在学习专业基础课和专业课的基础上，主要对激光原理，激光技术课程中出现的诸多理论模型进行数值求解，学会将MATLAB 用于光学仿真中，锻炼运用数值分析方法解决专业问题的能力。本设计的主要目的如下： 1.理解光束在自由空间传输的ABCD 传输规律 2.在MATLAB 中运用ABCD 传输规律实现光线在谐振腔内传输的轨迹，考察谐振腔的稳定性。 3.理解高斯光束的q 参数传输规律 2．设计内容和要求（包括原始数据、技术参数、条件、设计要求等）： 设计内容和技术参数： 1.查阅资料，理解谐振腔稳定振荡的条件 2.如下图所示的谐振腔，用Matlab 程序计算光线在腔内的轨迹，演示腔的稳定时光线在腔内往返次数增加时光线轨迹。初始光线任意选择。 R 1=2m ，R 2=1m ，L=0.8m 3.在如图所示的平凹谐振腔内，插入透镜，分析透镜放置什么位置时腔是稳定腔。在稳定腔的情况下，演示在腔内往返100次以上的光线轨迹。 中 4,上图中，计算自在现高斯光束的q 参数，并演示往返一周腔内光斑半径沿轴线的自在 现曲线，取λ=0.5um` 3．设计工作任务及工作量的要求〔包括课程设计计算说明书(论文)、图纸、实物样品等〕： R 1=1000 mm L F=50mm
第三章 高斯光束基本理论 激光由于其良好的方向性、单色性、相干性和高亮度在军事中在已经有了很多应用，激光器发出的光束是满足高斯分布的，因而本章将对高斯光束的基本特性和一些参数进行简单地理论描述。 高斯光束及基本参数 激光器产生的光束是高斯光束。高斯光束依据激光腔结构和工作条件不 同，可以分为基模高斯光束、厄米分布高阶模高斯分布、拉盖尔分布高阶模高斯 分布和椭圆高斯光束等。激光雷达常常使用激光谐振腔的最低阶模00TEM 模。 高斯光束的分布函数： )exp(),(22 0a r I a r I -= (3-1) 从激光谐振腔发出的模式辐射场的横截面的振幅分布遵守高斯分布，即光能量遵守高斯分布，但是高斯光束不是严格的电磁场方程解，而是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解，它可以很好地描述基模激光光束的性质。稳态传输电磁场满足赫姆霍兹方程： ()0,,),,(2=+?z y x E k z y x E （3-2） 式中),,(z y x E 与电场强度的复数表示),,,(t z y x E 间有关系： )ex p(),,(),,,(t i z y x E t z y x E ω= （3-3） 高斯光束不是式子(2-3)的精确解，而是在缓变振幅近似下的一个特解。得到 2 20 U(,)exp()11r U r z iz iz Z Z ω= --- （3-4） 是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解 ，它可以变形为基模高斯光束的 场强度复振幅的表达式： 2222002(x,y,z)exp exp (z)(z)(z)2(z)x y x y U U i k z R ω?ωω????????++?? =-+-???? ??? ?????????? （3-5） 其中的(z)ω为振幅衰减到中心幅值1/e 时的位置到光束中心的距离，称为光束在
高斯光束传输方程及其解法 光学是研究光的物理现象和规律的科学，光在自然界中广泛存 在并起到重要作用，对于现代科技的发展也有着不可替代的作用。高斯光束是一种常见的光束形式，其具有良好的传输性质和应用 前景，因此得到广泛应用。 一、高斯光束的定义和特性 高斯光束是指在自由空间中横向至少二次可微、纵向一次可微 的光束，其光强分布和相位分布都可用高斯函数表征。高斯光束 具有如下的重要特性： 1. 具有良好的射程特性，能够在传输过程中保持约束的形态； 2. 横向光强分布呈高斯分布，纵向呈指数分布，能够满足许多 光学应用中对于光束形态和光强的要求； 3. 光束通过透镜进行聚焦后，仍然是高斯光束，具有良好的自 聚焦能力；
4. 具有相干性，能够满足干涉、衍射等光学现象的要求。 二、高斯光束传输方程的推导 在光学应用中，高斯光束的传输是一个重要的问题，需要准确 描述其传输过程。高斯光束传输方程可以描述高斯光束在自由空 间中传输的过程，其推导如下： 设高斯光束的累计相位为φ(x,y,z)，其横向强度分布为I(x,y)， 则光强的分布可以表示为：I(x,y,z)=|A(x,y,z)|^2 其中，A(x,y,z)是高斯光束的复振幅，其表示为： A(x,y,z)=u(x,y,z)exp(jφ(x,y,z)) 其中u(x,y,z)表示高斯光束的复场，根据标量波动方程可以得到：△u+k^2u=0
其中k=2π/λ为波数，λ为波长。将复场u分解为实部和虚部，可得到：u=u1+ju2 则标量波动方程可以分解为实部和虚部的两个方程： △u1+k^2u1=-△u2-k^2u2 △u2+k^2u2=△u1-k^2u1 再利用高斯光束的对称性和横向可微性，可以得到： ▽^2u1+k^2u1=0 ▽^2u2+k^2u2=0 则高斯光束的传输方程可以写为： ∂A(x,y,z)/∂z+iβ(x,y,z)A(x,y,z)=0 其中β(x,y,z)为传输因子，可以表示为：
第四章高斯光束理论一、学习要求与重点难点 学习要求 1．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性； 2．理解q参数的引入，掌握q参数的ABCD定律； 3．掌握薄透镜对高斯光束的变换； 4．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导； 5．理解高斯光束的聚焦和准直条件； 6．了解谐振腔的模式匹配方法。 重点 1.高斯光束的传输特性； 2.q参数的引入； 3.q参数的ABCD定律； 4.薄透镜对高斯光束的变换； 5.高斯光束的聚焦和准直条件； 6.谐振腔的模式匹配方法。 难点 1.q参数，及其ABCD定律； 2.薄透镜对高斯光束的变换； 3.谐振腔的模式匹配。
二、知识点总结 22 ()220020()()112()lim 2r w z z e w z w w R R z z z w z e z w πλλθπ-→∞??=?? ?????? ?? =+? ???????? ? ?===??? 振幅分布：按高斯函数从中心向外平滑降落。光斑半径高斯光束基本性质等相位面：以为半径的球面，远场发散角：基模高斯光束强度的点的远场发散角， ()0 1/2 221 22 22 00()()1()()()1()11()()() ()()w f w z w z R z R z z R z w z i q z R z w z W z R Z w q z if z q z i z πλλπλππλ--??????=+?? ????? ????→??????=+??? ????????? =-→=+=+=+0（或）及束腰位置w 高斯光束特征参数光斑半径w(z)和等相位面曲率半径R(z)， q 参数，将两个参数和统一在一个表达式中，便于研究??????????????? ???? ?? 高斯光束通过光学系统的传输规律
2.7 高斯光束的传输 本节利用高斯光束的复参数表示法和ABCD 定律简洁地处理基模高斯光束在自由空间和通过近轴光学元件的传输变换。 2.7.1 光线传输矩阵 光线传输矩阵法就是以几何光学为基础，用矩阵的形式表示光线的传输和变换的方法。该方法主要用于描述几何光线通过近轴光学元件和波导的传输，也可用来处理激光束的传输。 任一旁轴光线在某一给定参考面内都可以由两个坐标参数来表征，光线离轴线的距离r 及光线与轴线的夹角θ。将这两个参数构成一个列阵，各种光学元件或光学系统对光线的变换作用可用一个二行二列的方阵来表示，变换后的光线参数可写成方阵与列阵乘积的形式。 1. 近轴光线通过距离L 均匀空间的变换 我们分析近轴光线在均匀空间通过距离L 的传输，如图2-22所示，假定光线从入射参考面P 1出发，其初始坐标参数为r 1和θ1，传输到参考面P 2时，光束参数变为r 2和θ2，由几何光学的直进原理可知 图2-22 近轴光线通过长度L 均匀空间的传输 1 2112θθθ=+=L r r （2.7.1） 这个方程组可表示成下述矩阵形式 ???? ?????? ? ?=???? ??1122101θθr L r （2.7.2） 即可用一个二阶方阵来描述光线在均匀空间中传输距离L 时所引起的坐标变换 ??? ? ??=???? ??101L D C B A （2.7.3） 2. 近轴光线通过薄透镜的变换 如图2-23所示，近轴光线通过一个焦距为f 的薄透镜。设透镜的两个主平面（此处为两参考面P 1和P 2）间距可忽略，入射透镜前光束参数为r 1和θ1，出射后变为r 2和θ2，由透镜成像公式，可写成如下关系式
激光原理技术及应用》讲义 （第4 章高斯光束） 王菲 长春理工大学
2007 年 4 月 第四章 高 斯 光 束（4 学时） §1.高斯光束的基本性质 、波动方程的基模解 在标量近似下稳态传播的电磁场满足赫姆霍茨方程 轴的距离 r x 2 y 2 呈高斯变化，在近轴处是球面。 4-1-4 ) 4-1-5) 4-1-7a) => 4-1-6) ( 4-1-7a) 4-1-7b) ( 4-1-8 ) Z 0为输入与输出面间距离。 （ 4-1-8 ） 4-1-5)=> 其中标量 u 0 表示相干光的场分量。缓变振幅近似下的特 是Z 的缓变函数。 将（ 4-1-3）代入（ 4-1-1）得 设解 参数 P （z ）是与光束传播有关的复相移， q （z ）是复曲率半径， （4-1-1） （ 4-1-2 ） （ 4-1-3 ） （4-1-4） （ 4-1-5 ） 表示光束强度随4-1-9)
振幅 r 下降到中心值的 1/e 时，光斑尺寸 r 2z 0 = 0，即 （4-1-10） k ( 4-1-11) 4-1-12) 4-1-21）是波动方程（ 4-1-1 ）的一特解，称基模高斯光束。 基模高斯光束的性质由三参数决定。 4-1-22) 、高斯光束的基本性质 4-1-12) ( 4-1-5) => 4-1-14)(4-1-10)=> 4-1-13)=> 4-1-13 ) 由（ 4-1-7b ） 4-1-8) => => 4-1-11) 4-1-17)=> 4-1-14) 4-1-15) (4-1-16) (4-1-17) 4-1-18) 4-1-19) => 4-1-20) 综上知 4-1-21)
高斯光束公式是描述高斯光束的光学特征的数学公式。它是基于高斯 光束的波前形状和光强分布的特征参数，是光学研究和应用中常用的 重要工具。Thorlabs是一家知名的光学仪器和设备供应商，他们提供了广泛的高斯光束公式相关的产品和技术支持。本文将探讨高斯光束 公式的基本原理和应用，以及Thorlabs在这一领域的贡献和影响。 一、高斯光束的基本原理 1. 高斯光束的定义 高斯光束是一种特殊的光束模式，其波前形状和光强分布都服从高 斯函数的特征。在光学系统中，高斯光束具有重要的理论和实际意义，可以用来描述激光束、光纤等光学器件的光学特性。 2. 高斯光束公式 高斯光束的波前形状和光强分布可以用数学公式来描述。一般而言，高斯光束的波前形状可以由二次相位曲面和一次振幅曲面共同确定， 而光强分布则由波前形状和物质透过能力共同决定。 二、高斯光束的应用领域 1. 激光器 高斯光束是激光器输出光束的典型模式，其特征参数和稳定性对激 光器的性能和输出功率有重要影响。在激光器设计和优化中，高斯光 束公式是理论分析和仿真的重要工具。
2. 光通信 光通信系统中常使用光纤作为传输介质，而高斯光束是光纤中常见 的传输模式。通过高斯光束公式的分析和计算，可以优化光通信系统 的传输性能和带宽利用率。 三、Thorlabs在高斯光束公式领域的贡献 1. 产品和技术支持 Thorlabs提供了丰富的高斯光束公式相关的产品和技术支持，包括 激光器、光学器件、光纤等。这些产品和技术支持为科研机构和工程 实践提供了重要的工具和资源。 2. 应用案例和实验验证 Thorlabs在高斯光束公式的应用领域做了大量的实验研究和案例验证，为高斯光束公式的理论基础和工程应用提供了有力的支撑。 四、结语 高斯光束公式是描述高斯光束的重要数学工具，对光学研究和应用具 有广泛的影响和意义。Thorlabs作为光学仪器和设备供应商，在高斯 光束公式领域做出了重要的贡献，为光学领域的科研和工程应用提供 了有力的支持。希望通过今后的持续努力，高斯光束公式的理论和应 用能够得到进一步的发展和完善。高斯光束公式的数学描述和理论探 索在光学研究领域具有重要的地位，其应用范围涵盖激光器、光通信、成像等多个领域。在现代光学技术的发展中，高斯光束公式的研究不
高斯光束束腰半径和发散角关系 引言： 高斯光束是一种特殊的光束，具有很强的聚焦能力和空间相干性，因 此在很多领域都有广泛的应用。其中，束腰半径和发散角是高斯光束 的两个重要参数，它们之间的关系对于高斯光束的应用具有重要的意义。 一、束腰半径的定义和计算方法 束腰半径是指高斯光束在传播过程中光强分布最小的位置处的横向半径。在实际应用中，束腰半径的大小决定了高斯光束的聚焦能力和空 间分辨率。束腰半径的计算方法可以通过高斯光束的数学模型来得到，具体公式如下： w(z) = w0 * sqrt(1 + (z/zr)^2) 其中，w0是高斯光束在z=0处的束腰半径，zr是高斯光束的瑞利长度，z是高斯光束传播距离。 二、发散角的定义和计算方法 发散角是指高斯光束在传播过程中光束的扩散程度，也称为散角或发 散度。发散角的大小决定了高斯光束的聚焦能力和传输距离。发散角
的计算方法可以通过高斯光束的数学模型来得到，具体公式如下： θ = λ / πw0 其中，λ是高斯光束的波长，w0是高斯光束在z=0处的束腰半径。 三、束腰半径和发散角的关系 束腰半径和发散角是高斯光束的两个重要参数，它们之间存在着一定的关系。根据上述公式可以得到，当束腰半径w0越小，发散角θ就越大；当束腰半径w0越大，发散角θ就越小。这意味着，为了获得更小的发散角，需要使用更小的束腰半径。但是，束腰半径越小，高斯光束的聚焦能力就越强，空间分辨率也就越高。 四、高斯光束的应用 高斯光束具有很强的聚焦能力和空间相干性，因此在很多领域都有广泛的应用。例如，在激光加工中，高斯光束可以用于微细加工和精密切割；在光学成像中，高斯光束可以用于高分辨率成像和三维成像；在光通信中，高斯光束可以用于高速数据传输和光纤通信等。 结论： 束腰半径和发散角是高斯光束的两个重要参数，它们之间存在着一定的关系。为了获得更小的发散角，需要使用更小的束腰半径。高斯光
拉盖尔高斯光束方程 拉盖尔-高斯光束方程（Rayleigh-Gaussian beam equation）是用来描述高斯光束的数学形式。这种类型的光束通常由一个近似为点的光源（如激光器）发出，然后通过空气或其他介质传播。 高斯光束的电场强度可以通过下面的方程描述: E(r,z,t) = E0exp(-(r^2)/(w0^2)) * exp(-(ikz-w0^2z/(2ZR)-(kr^2)/(2*R)) 其中: E0 为振幅，r 为半径，z 为距离， t 时间, w0 为在z=0处的腰径， ZR 为赫兹半径, R 为曲率半径 w0 = w(z=0) = w0*sqrt(1+(z/ZR)^2) 高斯光束具有狭缝和高斯分布的性质，因此它在传播过程中的电场强度的分布呈现出高斯分布形式。这个方程在激光光学，物理光学和光通信等领域中有广泛的应用。 第一个指数部分，E0 * exp(-(r^2)/(w0^2))，表示光束在半径方向上的分布情况。其中，E0 是光束的振幅，r 是半径，w0 是在 z = 0 处的腰径. 这个指数表示光束随着半径增大而衰减，具有高斯分布的性质. 第二个指数部分，exp(-(ikz-w0^2z/(2ZR)-(kr^2)/(2R))) 表示光束在距离上的分布情况。其中 z 为距离，k为波数， ZR 为赫兹半径, R 为曲率半径.这个指数项表示光束随着距离增加而衰减。同时 w0 也是随着距离增加而变大的. 最后的复数部分 ikz 描述的是光束的相位随着距离的变化. 高斯光束因其狭缩性和高斯分布的性质，在光学成像，激光加工，光通信等领域有广泛应用。这个方程描述了光束在传播过程中的变化，可以计算出光束在不同位置和时间的电场强度分布。
矢量高斯光束传播分析和近轴球面近似有 效性 卡尔G.陈，保罗T.康科拉，胡安费雷拉，拉尔夫·K.海尔曼，和Mark L.影子城堡 麻省理工大学，剑桥，马萨诸塞州02139 收稿2001年3月5日;五月接受24，2001;修改稿收到2001年6月20日 许多系统在光通信和测量利用高斯光束，如从单模光纤点衍射干涉自由空间传播和干涉光刻的分析，将受益于高斯光束传输的精确分析模型. 我们提出了高斯光束传播通过使用平面波的角谱的众所周 知的方法的完整矢量分析。高斯光束假定遍历一个自由，均匀，各向同性的线性非磁性电介质。角谱表示在其载体形式，被施加到一个问题高斯光强的边界条件。经过一些数学运算，每个非零传播电场分量被表示为一个幂级数展开项。先前导出的分析工作幂级数的横向场，其中第一项（零阶）中的膨胀对应于通常的标量傍轴近似。我们确认这个结果，并得出相应的纵向幂系列。我们证明了领先的纵向期限相当于其数值第一学期横标量傍轴术语以上，从而表明当超越了一个完整的矢量理论需要标量傍轴近似。尽管一个紧凑的分析形式主义的优点，从而实现快速和高斯光束系统的精确建模，这种方法有一个显着的缺点。高阶条件在分歧是从最初的边界足够远的位置，产生非物理结果。因此，任何有意义的使用扩展方法的要求进行了认
真研究适用性的范围。通过考虑到从傍轴高斯波球方法的过渡，我们能够得出一个简单的表达式在其中产生一系列数值令人满意的答案的范围。©2002 美国光学学会 OCIS代码：0260.2110，000.4430，350.5500 1.引言 由于其简洁的物理直观表示，角谱表示法已经被用来解决多种问题包括传播的问题和高斯波的反射。它的理论基础已经有大量的作者证明非常稳固。一般使用它的标量形式来表示在近轴结合以及传播领域的计算【1-3】。虽然研究人员如阿格拉瓦尔和Pattanayak【4】已延长到解决方案傍轴结果，他们解决问题的方法仍然是标量的性质。 但是在延长标量上有一些额外的数学困难难以解决，所以使用矢量形式计算相对简单。从全矢量描述工作平面波的角谱中，我们采用与阿格拉瓦尔和Pattanayak基本相同的计划。首先，一个特定的边界与高斯光强分布的场分布，提出了消除一两个横向电场分量，例如y分量。然后，我们可以精确的计算对于任何空间位移r上传播矢量场解)(r E。阿格拉瓦尔和Pattanayak对横向x分量进行了研究。结果表示在此条件下的幂级数展开具有良好的扩展参数。在扩展相对应的第一项通常表示轴向平行的结果，而更高阶的条件代表非高斯修正。本文着重于导出为纵类似扩张z分量，与扩展的首项对应于所述第一非基波厄米高斯（HG）模式。这两个系列的形式满足那些通过各条款之间的不严的推测【5】。这种分析方法的主要优点，除了提供直观的物理模型，同时它大大简化了经常冗长的数值计算。
实验三 高斯光束(de)透镜变换实验 一 实验目(de) 1.熟悉高斯光束特性. 2.掌握高斯光束经过透镜后(de)光斑变化. 3.理解高斯光束传输过程. 二 实验原理 众所周知,电磁场运动(de)普遍规律可用Mawell 方程组来描述.对于稳态传输光频电磁场可以归结为对光现象起主要作用(de)电矢量所满足(de)波动方程.在标量场近似条件下,可以简化为赫姆霍兹方程,高斯光束是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下(de)一个特解,它可以足够好地描述激光光束(de)性质.使用高斯光束(de)复参数表示和ABCD 定律能够统一而简洁(de)处理高斯光束在腔内、外(de)传输变换问题. 在缓变振幅近似下求解赫姆霍兹方程,可以得到高斯光束(de)一般表达式： ()2 2 2() [ ]2() 00 ,() r z kr i R z A A r z e e z ωψωω---= ⋅ （6） 式中,0A 为振幅常数；0ω定义为场振幅减小到最大值(de)1e (de)r 值,称为腰斑,它是高斯光束光斑半径(de)最小值；()z ω、()R z 、ψ分别表示了高斯光束(de)光斑半径、等相面曲率半径、相位因子,是描述高斯光束(de)三个重要参数,其具体表达式分别为： ()z ωω=（7） 000()Z z R z Z Z z ⎛⎫ =+ ⎪⎝⎭ （8）
1 z tg Z ψ-= （9） 其中,2 00Z πωλ =,称为瑞利长度或共焦参数（也有用f 表示）. （A ）、高斯光束在z const =(de)面内,场振幅以高斯函数2 2() r z e ω-(de)形式从中心 向外平滑(de)减小,因而光斑半径()z ω随坐标z 按双曲线： 2200 ()1z z Z ωω-= （10） 规律而向外扩展,如图四所示 高斯光束以及相关参数(de)定义 图四 （B ）、 在（10）式中令相位部分等于常数,并略去()z ψ项,可以得到高斯光束(de)等相面方程： 2 2() r z const R z += （11） 因而,可以认为高斯光束(de)等相面为球面. （C ）、瑞利长度(de)物理意义为：当0z Z =时,00()2Z ωω=.在实际应用中通常取0z Z =±范围为高斯光束(de)准直范围,即在这段长度范围内,高斯光束近似认为是平行(de).所以,瑞利长度越长,就意味着高斯光束(de)准直范围越大,反之亦然. （D ）、高斯光束远场发散角0θ(de)一般定义为当z →∞时,高斯光束振幅减小到
激光光斑的计算公式 激光技术在现代科学和工程领域中扮演着重要的角色，它被广泛应用于激光切割、激光焊接、激光打印等领域。而激光光斑的计算是激光技术中的一个重要问题，它关系到激光在空间中的分布和能量密度，对于激光加工和激光成像等应用有着重要的意义。 激光光斑的计算公式主要涉及到激光的波长、光斑直径、焦距等参数，下面我 们将详细介绍激光光斑的计算公式及其应用。 1. 激光光斑的计算公式。 激光的光斑可以用高斯光束模型来描述，高斯光束的光强分布可以用以下公式 表示： \[ I(r) = I_0 e^{-2r^2/w^2} \] 其中，\( I(r) \) 表示光束在距光轴距离为 r 处的光强，\( I_0 \) 表示光束轴上的 最大光强，w 表示光斑的半径。 激光的光斑直径可以用以下公式计算： \[ D = 2w \] 其中，D 表示光斑的直径。 激光的焦距可以用以下公式计算： \[ f = \frac{\pi w^2}{\lambda} \] 其中，f 表示焦距，w 表示光斑的半径，\( \lambda \) 表示激光的波长。 2. 激光光斑的应用。 激光光斑的计算公式在激光加工和激光成像等领域有着重要的应用。
在激光加工中，激光光斑的大小和分布对加工质量有着重要的影响。通过计算激光光斑的大小和焦距，可以确定激光加工的加工精度和加工速度，从而提高加工质量和效率。 在激光成像中，激光光斑的大小和分布对成像质量有着重要的影响。通过计算激光光斑的大小和焦距，可以确定成像系统的分辨率和成像范围，从而提高成像质量和清晰度。 此外，激光光斑的计算公式还可以应用于激光雷达、激光测距等领域，对于激光技术的发展和应用具有重要的意义。 3. 激光光斑的优化。 在实际应用中，为了提高激光加工和激光成像的质量和效率，需要对激光光斑进行优化。激光光斑的优化可以通过调节激光器的参数、选择合适的光学元件、设计合理的光路等方式来实现。 例如，可以通过调节激光器的波长和功率来改变激光光斑的大小和光强分布；可以通过选择合适的透镜和光栅来改变激光光斑的焦距和形状；可以通过设计合理的光路来改变激光光斑的传输和聚焦特性。 通过优化激光光斑，可以提高激光加工和激光成像的质量和效率，推动激光技术的发展和应用。 总之，激光光斑的计算公式是激光技术中的一个重要问题，它关系到激光在空间中的分布和能量密度，对于激光加工和激光成像等应用有着重要的意义。通过理解激光光斑的计算公式及其应用，可以更好地掌握激光技术的原理和方法，推动激光技术的发展和应用。
目录 1 基本原理 (1) 1.1耦合波理论 (1) 1.2高斯光波的基本理论 (9) 2 建立模型描述 (10) 3仿真结果及分析 (10) 3.1角度选择性的模拟 (10) 3.2波长选择性的模拟 (13) 3.3单色发散光束经透射型布拉格体光栅的特性 (15) 3.4多色平面波经透射型布拉格体光栅的特性 (17) 4 调试过程及结论 (18) 5 心得体会 (20) 6 思考题 (20) 7 参考文献 (20) 8 附录 (21)
高斯光束经透射型体光栅后的光束传输 特性分析 1 基本原理 1.1耦合波理论 耦合波理论分析方法基于厚全息光栅产生的布拉格衍射光。当入射波被削弱且产生强衍射效率时，耦合波理论分析方法适用耦合波理论分析方法适用于透射光栅。 1.1.1耦合波理论研究的假设条件及模型 耦合波理论研究的假设条件： (1) 单色波入射体布拉格光栅； (2) 入射波以布拉格角度或近布拉格角度入射； (3)入射波垂直偏振与入射平面； (4)在体光栅中只有两个光波：入射光波 R 和衍射光波 S； (5)仅有入射光波 R 和衍射光波 S 遵守布拉格条件，其余的衍射能级违背布拉格 条件，可被忽略； (6)其余的衍射能级仅对入射光波 R 和衍射光波 S 的能量交换有微小影响； (7)将耦合波理论限定于厚布拉格光栅中； 图1为用于耦合波理论分析的布拉格光栅模型。z 轴垂直于介质平面，x 轴在介质平面内，平行于介质边界，y 轴垂直于纸面。边界面垂直于入射面，与介质边界成Φ角。光栅矢量K垂直于边界平面，其大小为2/ =Λ，Λ为光栅周期，θ为入射角。 Kπ
图1 布拉格光栅模型 R —入射波，S —信号波，Φ—光栅的倾斜角，0θ—再现光满足布拉格条件时的入射 角（与z 轴所夹的角），K —光栅矢量的大学，d —光栅的厚度，r θ和s θ—再现光波和 衍射光波与z 轴所夹的角度，Λ—光栅周期。 光波在光栅中的传播由标量波动方程描述： 220E k E ∇+= （1） 公式（2）中(),E x z 是y 方向的电磁波的复振幅，假设为与y 无关，其角频率为ω。 公式（2）中传播常数(),k x z 被空间调制，且与介质常数(),x z ε和传导率(),x z σ相关： 2 22k j c ωεεμσ=- （2） 公式(3)中，在自由空间传播的条件下c 是自由空间的光速，μ为介质的渗透率。 在此模型中，介质常量与y 无关。布拉格光栅的边界由介质常数(),x z ε和传导率(),x z σ的空间调制表示： ()()0101cos .cos .K x K x εεεσσσ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ （3） 公式(4)中，1ε和1σ是空间调制的振幅，0ε是平均介电常数，1σ是平均传导率。假 设对ε和σ进行相位调制。为简化标记，我们运用半径矢量x 和光栅矢量K ： x =x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ；K=sin 0cos K Φ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥Φ⎣⎦；2/K π=Λ 结合公式（3）和公式（4）： ()22..22jK x jK x k j e e βαβκβ-=-++ （4） 此处引入平均传输常数β和平均吸收常数α ()1202/βπελ=；()1200/2c αμσε= （5） 耦合常数κ定义为： ()()11221010124j c πκεεμσελ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ （6） 耦合常数κ描述了入射光波R 和衍射光波S 之间的耦合光系。耦合常数是耦合波理 论的中心参量。当耦合常数0κ=时，入射光波R 和衍射光波S 之间不存在耦合，因此也没有衍射存在。
高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象 摘要：随着信息技术和纳米技术的迅速发展，要求光信息存储器件中的最小信息位尺寸、大规模集成电路和微电子技术中的光刻线宽和光学显微镜的分辨率等均能达到纳米量级（〈lOOnm）,而由于光衍射本身的限制，无法达到实际需求。非线性薄膜材料的研究，通过选择非线性强的光学薄膜材料，调节激光能量和控制薄膜厚度及结构，在非线性薄膜结构的出射面能使光斑尺寸进一步下降，实现纳米光斑。该光斑通过近场耦合作用在信息存储薄膜或光刻薄膜上，从而实现纳米信息存储、纳米光刻或纳米成像。 本文主要研究高斯激光束通过非线性均匀绝缘介质后光强的改变。由电磁场基本原理，推导出高斯光束是缓变振幅条件下波动方程的近似解，研究其在介质突变面处的反射透射。重点研究高斯激光束在非线性介质中的传播问题，这一过程中有自聚焦现象。研究过程主要采用数值计算方法用差分方程代替偏微分方程研究问题的数值解。比较光强的变化。 关键词：高斯光束，非线性，自聚焦，差分方程
一、引言 随着信息技术和纳米技术的迅速发展，要求光信息存储器件中的最小信息位尺寸、大规模集成电路和微电子技术中的光刻线宽和光学显微镜的分辨率等均能达到纳米量级（〈lOOnm）,而由于光衍射本身的限制，无法达到实际需求。而通过非线性薄膜材料的研究，通过选择非线性强的光学薄膜材料，调节激光能量和控制薄膜厚度及结构，在非线性薄膜结构的出射面能使光斑尺寸进一步下降，实现纳米光斑。该光斑通过近场耦合作用在信息存储薄膜或光刻薄膜上, 从而实现纳米信息存储、纳米光刻或纳米成像。 实验中我们常常采用高斯光束作为光源进行问题研究。高斯光束是波动方程在缓变振幅下的一个特解，非线性介质的折射率随光强的变化而变化，因而高斯光束通过非线性介质发生自聚焦和衍射现象，从而改变能量分布。本文主要研究光强的变化，通过具体数值建立数学模型，采用差分方程代替偏微分方程以求得问题的数值解，研究光束通过非线性介质后能量的变化。 二、预备知识 （~*）波动方程 波动理论认为，光是一定频率范围内的电磁波，其运动规律可用Maxwell 方程组来描述: