一高斯光束的光腰半径 -回复

第四章高斯光束理论一、学习要求与重点难点学习要求1．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；2．理解q 参数的引入，掌握q 参数的ABCD 定律；3．掌握薄透镜对高斯光束的变换；4．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；5．理解高斯光束的聚焦和准直条件；6．了解谐振腔的模式匹配方法。

重点1.高斯光束的传输特性；2. q 参数的引入；3. q 参数的ABCD 定律；4.薄透镜对高斯光束的变换；5.高斯光束的聚焦和准直条件；6.谐振腔的模式匹配方法。

难点1. q 参数，及其ABCD 定律；2.薄透镜对高斯光束的变换；3.谐振腔的模式匹配。

1等相位面：以R 为半径的球面，R(z) =z [ 莘 -2点的远场发散角， m = lim 2w(z) _2 --- =e zY ： z 二 W oW o(或f )及束腰位置―；将两个参数W(z)和R(Z)统一在一个表达式中，便于研究 z、知识点总结振幅分布：按高斯函数从中心向外平滑降落。

光斑半径 w(z)二w 0.:高斯光束特征参数 光斑半径w(z)和等相位面曲率半径:/% =w(z) 1 +⑷(z)丿 R(z)、 -'I :( z = R(z) 1十卜 j 匚 辽w(z)丿.二 W 2(z) 2咼斯光束基本性质远场发散角： 1 1. 九iq 参数，q (z) R(z)兀 w(z)2 q (z )=if+z =q +z =i 孚1高斯光束通过光学系统的传输规律2傍轴光线L 的变换规律器 士C ； D』傍轴球面波的曲率半径R 的变换规律R AR^B .遵从相同的变换规律 CR +D高斯光束q 参数的变换规律q^Aq^B Cq i +DABCD 公式高斯光束q 参数的变换规律 高斯光束的聚焦：只讨论单透镜 高斯光束的准直：一般为双透镜ABCD 公式云誓T 高斯光束的模式匹配：实质是透镜变换，分两种情况已知w 0，w 0，确定透镜焦距F 及透镜距离I ，I' 已知两腔相对位置固定l^ I I '及W o ，W o 确定，F 如何选择高斯光束的自再现变换 )W’o =W o or I'=I高斯光束的自再现变换和稳定球面腔q(I')=q(O )T 2透镜F J U 1+徳J]-丿」I 球面镜R(I)=I 1+@曲[] . 4丿」二w 0即F E R(I)=稳定球面腔、典型问题的分析思路2高斯光束的q 参数在自由空间中的传输规律 q(z) = i —些亠z = q 0亠z1)高斯光束通过单个透镜的变换。

思考练习题11．试计算连续功率均为1W的两光源，分别发射＝0.5000m m，=3000MHz的光，每秒从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？答：粒子数分别为：2．热平衡时，原子能级E2的数密度为n2，下能级E1的数密度为n1，设，求：(1)当原子跃迁时相应频率为＝3000MHz，T＝300K时n 2/n1为若干。

(2)若原子跃迁时发光波长＝1m，n2/n1＝0.1时，则温度T为多高？答：（1）则有：（2）3．已知氢原子第一激发态(E2)与基态(E1)之间能量差为1.64×l0－18J，设火焰(T＝2700K)中含有1020个氢原子。

设原子按玻尔兹曼分布，且4g1＝g2。

求：(1)能级E2上的原子数n2为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08n2，求光的功率为多少瓦？答：（1）且可求出（2）功率＝4．(1)普通光源发射＝0.6000m m波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比，求此时单色能量密度为若干？(2)在He—Ne激光器中若，为0.6328m m，设＝1，求为若干？答：（1）（2）5．在红宝石Q调制激光器中，有可能将全部Cr3＋(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。

设红宝石直径0.8cm，长8cm，铬离子浓度为2×1018cm－3，巨脉冲宽度为10ns。

求：(1)输出0.6943m m激光的最大能量和脉冲平均功率；(2)如上能级的寿命＝10－2s，问自发辐射功率为多少瓦？答：（1）最大能量脉冲平均功率＝（2）6．试证单色能量密度公式，用波长来表示应为证明：7.试证明，黑体辐射能量密度为极大值的频率由关系给出，并求出辐射能量密度为极大值的波长与的关系。

答：（1）由可得：令，则上式可简化为：解上面的方程可得：即：（2）辐射能量密度为极大值的波长与的关系仍为8．由归一化条化证明(1－65a)式中的比例常数证明：，由归一化条件且是极大的正数可得：9．试证明：自发辐射的平均寿命，为自发辐射系数。

1.3 什么是时间相干性和空间相干性？怎样定义相干时间和相干长度?时间相干性：光场中同一空间点在不同时刻光波场之间的相干性，描述的是光束传播方向上的各点的相位关系，与光束单色性密切相关。

空间相干性：光场中不同的空间点在同一时刻的光场的相干性，描述的是垂直于光束传播方向的平面上各点之间的相位关系，与光束方向性密切相关。

相干时间t c，即光传播方向上某点处可以使不时刻光波场之间有相干性的最大时间间隔。

相干长度L c指的是可以使光传播方向上两个不同点处的光波场具有相干性的最大空间间隔。

二者实质上是相同的。

L c=t c∙c=C∆ν1.4 为使He-Ne激光器的相干长度达到1Km，它的单色性∆λ/λ0应是多少？L c=C∆ν⁄=1Km ∆ν=3×105Hz∆λλ0=∆νν0=∆νc∙λ0=6.328×10−112.3 如果激光器和微波激射器分别在λ=10μm、λ=500nm和ν=3000MHz输出1W连续功率，问每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？W=Pt=nhν当λ=10μm时， ν=cλ=3×1013Hz n=5.03×1019当λ=500nm时，ν=cλ=6×1014Hz n=2.51×1018当ν=3000MHz时，n=5.03×10232.4 设一对激光能级为E2和E1(f2=f1),相应频率为ν（波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n2和n1，求：（1）当ν=3000MHz，T=300K时n2n1⁄=？（2）当λ=1μm，T=300K时n2n1⁄=？（3）当λ=1μm，n2n1⁄=0.1时，温度T=？（1）E2−E1=hν=1.99×10−24 J k b=1.38×10−23J K⁄n2 n1=f2f1e−(E2−E1)k b T=0.9995（2）同理得n2n1⁄=1.4×10−21（3）同理得T =6.26×103K2.10 激光在0.2m 长的增益介质中往复运动的过程中，其强度增加了30%。

北京⼯业⼤学激光⼯程研究院2006-2010年硕⼠研究⽣⼊学考试题-激光原理★所有答案必须做在答题纸上，做在试卷上⽆效!⼀填空题（50分）1. 激光具有，，的特点。

2. 实现受激辐射放⼤的条件是。

3. 实现激光振荡的条件是。

4. 共轴球⾯腔（腔长为L，两球⾯镜的半径分别为R1，R2），其稳定性条件是。

5. 根据稳定腔模式理论的解析解，对圆形镜共焦腔，镜⾯上的场分布可以近似为函数表⽰。

6. 基膜⾼斯光束强度在1/e2点的远场发散⾓为。

7. 光束衍射倍率因⼦M2的定义为。

8. 圆波导本征模场具有波导内的场为，波导外的场为。

激光器波长是。

9. Nd:Y AG激光器波长是，CO210. 导体⼆极管激光器是以半导体材料为⼯作物质，其能带结构由，，和构成⼆简述题（70分）（每⼩题10分）1. 说明⾃发辐射，受激辐射，受激吸收2. 烧孔效应3. 弛豫振荡效应4. 兰姆凹陷稳频原理5. 激光器频率牵引6. 量⼦效率7. Q调制激光器⼯作原理三计算题（30分）（每⼩题10分）应是多少？1.氦氖激光器的相⼲长度是1Km，它的单⾊性Δλ/λ2.腔长为10cm的Nd：Y AG激光器，增益介质充满腔，其折射率为1.83，其纵模间隔为多少？3.某氦氖激光器采⽤共焦腔，腔长L=30cm，放电管半径a=0.1cm，震荡波长为0.6238 µm，腔的菲涅尔数为多少？★所有答案必须做在答题纸上，做在试卷上⽆效!⼀试解释下列名词（100分）（每⼩题10分）1.模式，纵模，横模2.共焦参数，模体积，发散⾓3.共焦谐振腔，稳定谐振腔，⾮稳定谐振腔4.⾼斯光束，俄⽶⾼斯光束，拉盖尔⾼斯光束5.荧光线宽，增益线宽，激光线宽6.⾃然加宽，均匀加宽，⾮均匀加宽7.增益系数，激光振荡阈值，激光损伤阈值8.空间烧孔效应，频率牵引效应，频率排斥效应9.驰豫振荡，调Q，锁模10.⾃发辐射跃迁，受激辐射跃迁，受激吸收跃迁⼆填空题（30分）（每⼩题3分）1. 激光具有，，的特点。

高斯光束1. 引言高斯光束是一种常见的光束模式，具有重要的理论和实际应用价值。

它的特点是光强在空间上呈高斯分布，成为光学研究领域中的重要工具。

本文将从通俗的角度出发，介绍高斯光束的基本原理、特性以及其在科学研究和实际应用中的重要性。

2. 高斯光束的基本原理高斯光束是一种光波的传播模式，它的波前呈现出高斯分布的形状。

在光学中，光波的传播可以通过波动方程来描述，而高斯光束正是波动方程的解之一。

波动方程描述了光波的传播行为，其中包括波的幅度、相位和传播速度等信息。

在高斯光束中，光强的分布服从高斯分布的形式，即呈钟形曲线。

光强最大的地方称为光束的中心，而光强逐渐减小的地方则是光束的边缘。

高斯光束的光强分布可以用以下公式表示：I(r)=I0exp(−2r2 w2)其中，I(r)表示光束在距离中心r处的光强，I0为光束中心的光强，w为光束的束腰半径。

3. 高斯光束的特性3.1 光束的束腰和发散角高斯光束的束腰是指光束光强达到峰值的地方，也是光束最细的地方。

束腰的半径w是高斯光束的一个重要参数，它决定了光束的横向尺寸。

束腰半径越小，表示光束越集中，光强越大。

发散角是描述光束传播方向的一个参数，它决定了光束的扩散程度。

高斯光束的发散角与束腰半径有关，当束腰半径越小时，发散角越大，光束扩散越快。

3.2 光束的相位高斯光束的相位是指光波在传播过程中的相对位移。

光束的相位分布可以通过波前的形状来描述，而高斯光束的波前呈现出球面的形状。

这种球面波前在光学研究和应用中具有重要的意义，可以用来实现光束的聚焦和成像等功能。

3.3 光束的自聚焦效应高斯光束具有自聚焦效应，即在传播过程中可以自动聚焦到一个更小的尺寸。

这种自聚焦效应是由于高斯光束的非线性光学特性所导致的。

在某些介质中，高斯光束可以通过与介质相互作用来实现自聚焦，从而形成更强的光束和更小的束腰。

4. 高斯光束的应用4.1 光通信高斯光束在光通信领域有着广泛的应用。

由于高斯光束具有较小的束腰和较大的光强，可以实现高速、高容量的信息传输。

第1篇一、实验目的1. 加深对高斯光束物理图像的理解；2. 学会对描述高斯光束传播特性的主要参数，即光斑尺寸、远场发散角的测量方法进行掌握；3. 学习体会运用微机控制物理实验的方法。

二、实验原理1. 高斯光束的传播特性高斯光束的振幅在传播平面上呈高斯分布，近场时近似为平面波，远场时近似为球面波。

高斯光束的振幅分布公式为：\[ I(r, z) = I_0 \exp\left(-\frac{2r^2}{w_0^2(z)}\right) \]其中，\( I(r, z) \) 为距离光轴距离为 \( r \) 处，距离光束传播方向为 \( z \) 处的光强；\( I_0 \) 为光束中心处的光强；\( w_0 \) 为光束中心处的光斑尺寸。

光斑尺寸 \( w(z) \) 与光束中心处的光斑尺寸 \( w_0 \) 的关系为：\[ w(z) = w_0 \sqrt{1 + \left(\frac{z}{z_r}\right)^2} \]其中，\( z_r \) 为光束的瑞利长度。

2. 发散角的定义及测量光束的全发散角定义为光束中光强下降到中心光强的 \( 1/e \) 位置时，光束边缘与光轴所成的角度。

在远场情况下，光束的全发散角近似为：\[ \theta = \frac{1.22 \lambda}{w(z)} \]其中，\( \lambda \) 为光束的波长。

三、实验仪器与设备1. 激光器：输出波长为 \( \lambda = 632.8 \) nm 的红光激光；2. 凹面镜：曲率半径为 \( R = 50 \) cm；3. 平面镜：用于反射激光；4. 光电探测器：用于测量光强；5. 数据采集卡：用于采集光电探测器数据；6. 计算机：用于处理实验数据。

四、实验步骤1. 将激光器输出光束照射到凹面镜上，使光束经凹面镜反射后形成高斯光束；2. 将光电探测器放置在凹面镜后的某个位置，调整探测器位置，使探测器接收到的光强最大；3. 记录探测器接收到的光强 \( I \)；4. 根据公式 \( I = I_0 \exp\left(-\frac{2r^2}{w_0^2(z)}\right) \) 求解光斑尺寸 \( w_0 \)；5. 根据公式 \( \theta = \frac{1.22 \lambda}{w(z)} \) 求解发散角\( \theta \)；6. 重复步骤 3-5，改变探测器位置，记录不同位置的光强 \( I \) 和发散角\( \theta \)。

激光原理与激光技术习题答案之袁州冬雪创作习题一(1)为使氦氖激光器的相干长度达到1m ，它的单色性/应为多大？解： 10101032861000106328--⨯=⨯=λ=λλ∆=.L R c (2)=5000Å的光子单色性/=10-7，求此光子的位置不确定量x解： λ=h p λ∆λ=∆2h p h p x =∆∆m R p h x 5101050007102=⨯=λ=λ∆λ=∆=∆-- (3)CO2激光器的腔长L=100cm ，反射镜直径D=，两镜的光强反射系数分别为r1=0.985,r2=0.8.求由衍射损耗及输出损耗分别引起的、c 、Q 、c(设n=1)解： 衍射损耗: 1880107501106102262.).(.a L =⨯⨯⨯=λ=δ--s ..c L c 881075110318801-⨯=⨯⨯=δ=τ 输出损耗:1190809850502121.)..ln(.r r ln =⨯⨯-=-=δs ..c L c 881078210311901-⨯=⨯⨯=δ=τ686810964107821061010314322⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=πντ=--....Q c MHz .Hz ...c c 75107510782143212168=⨯=⨯⨯⨯=πτ=ν∆- (4)有一个谐振腔，腔长L=1m ，两个反射镜中，一个全反，一个半反，半反镜反射系数r=0.99，求在1500MHz 的范围内所包含的纵模个数，及每一个纵模的线宽(不思索其它损耗)解： MHz Hz .L c q 150105112103288=⨯=⨯⨯==ν∆11]11501500[]1[=+=+ν∆ν∆=∆q q(5)某固体激光器的腔长为45cm ，介质长30cm ，折射率n=1.5，设此腔总的单程损耗率0.01，求此激光器的无源腔本征纵模的形式线宽.解：cm L 60155.130=+⨯='s 106.3661030.01π0.6c L 88c-⨯=⨯⨯='=δτ (6)氦氖激光器相干长度1km ，出射光斑的半径为r=，求光源线宽及1km 处的相干面积与相干体积.解：0.3MHz 10103L c 38c =⨯==ν∆习题二(1)自然加宽的线型函数为20220)(4)21(1),(ννπττνν-+ccH g求①线宽②若用矩形线型函数代替（两函数高度相等）再求线宽.解：①线型函数的最大值为cN g τνν4),(00=令cccτννπττ2)(4)21(12022=-+cc c τννπττ1)(821202=-+ ②矩形线型函数的最大值若为 c mgτ4= 则其线宽为cm N g τν411==∆(2)发光原子以的速度沿某光波传播方向运动，并与该光波发生共振，若此光波波长=0.5m ，求此发光原子的运动中心频率.解： c vs z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10λλc c ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-15.02.00λ(3)某发光原子运动时发出0.488m 的光，当它以速度变节观察者运动，则观察者认为它发出的光波长变成多大？解：m cc c v zμλλ5856.0488.02.1488.0)2.01(100=⨯=⨯--=⎪⎭⎫⎝⎛-=' (4)激光器输出光波长=10m ，功率为1w ，求每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数.解：νϕh dt d P =s hc P h P dt d P /11051031063.610101198346⨯=⨯⨯⨯⨯⨯====--λνϕ (6)红宝石调Q 激光器中有能够将几乎全部的Cr+3激发到激光上能级，并发生激光巨脉冲.设红宝石棒直径为1cm ，长为，Cr+3的浓度为2109cm-3，脉冲宽度10ns ，求输出激光的最大能量和脉冲功率.解：J h L rV h W 9108341522103.4106943103106.631020.0750.0053.14---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===νϕπνϕ (7)运动氖原子3S22P4谱线中心波长0.6328m ，求当它以速度向观察者运动时，中心波长变成多大？解：m cc c v zμλλ5695.06328.09.06328.0)1.01(100=⨯=⨯-=⎪⎭⎫⎝⎛-=' (9)红宝石激光器为三能级系统，已知S32=0.51071/s,A31=31051/s, A21=0.31031/s.其余跃迁几率不计.试问当抽运几率W13等于多少时，红宝石晶体将对=0.6943m 的光是透明的？解： 02123232=-=A n S n dtdn322123S A n n =∴透明即n1=n2175733231322132312313318)105.0103(105.0103.0)()(-=⨯+⨯⨯⨯=+==∴s S A S A S A n n W 习题三(1)若光束通过1m 长的激光介质以后，光强增大了一倍，求此介质的增益系数. 解：2ln ln10==I IzG (2)计算YAG 激光器中的峰值发射截面S32，已知F=21011Hz,3=2.310-4s,n=1.8.解：222114221223222032109.1102103.28.114.341006.14m n SF ---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=ντπλ (3)计算红宝石激光器当=0时的峰值发射截面，已知S 32A 21 W 13 A 310=0.6943m, F=3.3 1011Hz, 2=4.2ms, n=1.76.解：2241132212222220211084.2103.3102.476.114.34106943.04m n S F ---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=ντπλ 习题四(1) 红宝石激光器腔长L=，红宝石棒长l=10cm ，折射率n=1.75，荧光线宽F=2105MHz ，当激发参数=1.16时，求：知足阈值条件的纵模个数 解：MHz H T45108116.11021⨯=-⨯⨯=-∆=∆αννcm l n L L 75.1810)175.1(25.11)1(=⨯-+=-+='(2) 氦氖激光器腔长1m ，放电管直径2mm ，两镜反射率分别为100%、98%，单程衍射损耗率=0.04，若Is=0.1W/mm2，Gm=310-4/d, 求①q=0时的单模输出功率②q=0+21D 时的单模输出功率解：①05.004.0202.004.02=+=+=T δmm lG t/1105100005.05-⨯===δ②mw e eSTI P i q s 8.7)13(1.002.0114.3]1[2ln 222)(2ln 822200=-⨯⨯⨯⨯=-=-∆--ννννα(3) 氦氖激光器放电管长l=，直径d=，两镜反射率分别为100%、98%，其它单程损耗率为0.015，荧光线宽F=1500MHz.求知足阈值条件的本征形式数.（Gm=310-4/d ）解：025.0015.0202.0015.02=+=+=T δmm lGt/1105500025.05-⨯===δ(5) CO2激光器腔长L=1m ，，放电管直径d=10mm ，两反射镜的反射率分别为0.92、0.8，放电管气压3000Pa.可视为平均加宽，并假设工作在最佳放电条件下.求 ①激发参数②振荡带宽T ③知足阈值条件的纵模个数 ④稳定工作时腔内光强.（频率为介质中心频率0）经历公式：L=0.049p(MHz)、Gm=1.410-2/d （1/mm ）、Is=72/d2(w/mm2).解：①153.0)8.092.0ln(5.0ln 2121=⨯⨯-=-=r r δmm lG t/11053.11000153.04-⨯===δ②MHz p L1473000049.0049.0=⨯==∆νMHz L T 420115.91471=-⨯=-∆=∆ανν③MHz Hz .L c q 150105112103288=⨯=⨯⨯==ν∆3]1150420[]1[=+=+∆∆=∆q T q νν④222/72.0107272mm w d I s===2/87.515.872.0)1(0mm w I I s =⨯=-=αν （6）氦氖激光器放电管直径d=，长l=10cm ，两反射镜反射率分别为100%、98%，不计其它损耗，稳态功率输出0.5mw ，求腔内光子数.（设腔内只有0一个形式，且腔内光束粗细平均）解： c h TS TSI P νϕ2121==cTSh Pνϕ2=（7）CO2激光器腔长l=1m ，放电管直径d=10mm ，单程衍射损耗率d=0.5%，两镜面散射损耗率分别为1.5%，两镜透过率分别为2%、10%，其它损耗不计.当它工作在室温(300K)条件下时，求 ①激发参数 ②碰撞线宽及多普勒线宽，并断定它属于哪类加宽类型（设放电管中气压为最佳气压）③计算在最佳放电条件下稳定工作时，腔内的光强④若输出有效面积按放电管截面积的0.8计，此激光器的最大输出功率是多大？有关公式： Gm=1.410-2/d （1/mm ）、Is=72/d2(w/mm2)、pd=2.67104Pa mm L=0.049p(MHz)、D=7.1610-7021)(MT.解：①083.0)9.098.0ln(5.0015.0005.0ln 015.0005.02121=⨯⨯-+=-+=r r δ ②Pa d p 3441067.2101067.21067.2⨯=⨯=⨯=MHz p L 1311067.2049.0049.03=⨯⨯==∆ν MHz M T D 5344300106.1021521560=⨯==∆-λνD L νν∆>∆ 属于平均加宽 ③222/72.0107272mm w d I s===2/45.119.1572.0)1(0mm w I I s =⨯=-=αν ④04.02)015.0005.0(=⨯+=α2228.62514.3mm r S =⨯==π（8）He-Ne 激光器放电管气压p=270Pa ，上、下能级寿命分别为3=210-8s 、2=210-8s.求 ①T=300K 时的多普勒线宽D ②计算平均线宽H ③计算烧孔宽度=2H 时的腔内光强（Is=0.1W/mm2） 解：①MHz M T D 130020300106328.021521560=⨯==∆-λν ②MHz N810214.3212183=⨯⨯⨯==∆-πτν③H s I I νδνν∆+=1H sH I Iννν∆+=∆12s I I ν+=122/3.01.033mm w I I s =⨯==ν（9）长10cm 红宝石棒置于20cm 的谐振腔内，已知其自发辐射寿命21=410-3s ，H=2105MHz ，腔的单程损耗率=0.01.求 ①阈值反转粒子数密度n t ②当光泵激励发生n=1.2n t 时，有多少纵模可以起振？(n=1.76) 解：①11.01.001.0-===m l Gtδ224113221222222021109.410210476.114.34106943.04m n S F ---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=ντπλ ②2.1=∆∆==ttmn n G G αMHz H T 451094.812.11021⨯=-⨯⨯=-∆=∆ανν 习题五(1) 证明：两种介质（折射率分别为n1与n2）的平面界面临入射旁轴光线的变换矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21001n n T 证：由折射定律 2211sin sin θθn n= 近轴条件 2211θθn n =1212θθn n =即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21001n n T (2)证明：两种介质（折射率分别为n1与n2）的球面界面临入射旁轴光线的变换矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2121201n n R n n n T 证： 2211i n in =θ2θ1r 1 ,r 2n 1 n 2i 2i 1 θ2r 1,r 2θ1 α12112122θθn n r R n n n +-= 即 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2121201n n R n n n T （3）分别按图(a)、(b)中的往返顺序，推导旁轴光线往返一周的光学变换矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛D CB A ，并证明这两种情况下的)(21D A +相等. (a) (b)解： 1234T T T T =(a) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=D C B A LR L R T 10112011011221 (b) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=D C B A LR L R T 1011201101120112(4)操纵往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意旁轴光线在其中可往返无限多次，而且两次往返即自行闭合. 证： 共焦腔 R1=R2=L g1=g2=0往返一周的传递矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1001T ， 往返两周的传递矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10012T习题七(1) 平凹腔中凹面镜曲率半径为R ，腔长L=0.2R ，光波长为，求由此平凹腔激发的基模高斯光束的腰斑半径. 解：2216.0)2.0(2.0)(fR R R R L R L =-=-=R 4.0f =πλπλR f 4.0w 0==(2) 对称双凹腔长为L ，反射镜曲率半径R=，光波长为，求镜面上的基模光斑半径. 解： 22)5.22(4)2(4fL L L LL R L =-⨯=-=L =f πλπλL f ==0w 2201w fz w +=镜面处坐标为2L±，镜面光斑：()πλπλπλLL L L L f w L s 52145411w 22222==+=+= (3) 稳定双凹球面腔腔长L=1m ，两个反射镜曲率半径分别为R1=、R2=3m.L④③ ② ①L④③ ②①求它的等价共焦腔腔长，并画出它的位置. 解：1121z R z f -=+5.1z 121-=+z f 12215.1z z f -=+ 2222z R z f =+3z 222=+z f 22223z z f =+(4) 有一个凹凸腔，腔长L=30cm ，两个反射镜的曲率半径大小分别为R1=50cm 、R2=30cm ，如图所示，使用He-Ne 做激光工作物质.①操纵稳定性条件证明此腔为稳定腔 ②此腔发生的高斯光束焦参数 ③此腔发生的高斯光束的腰斑半径及腰位置 ④此腔发生的高斯光束的远场发散角 解：①4.0503011g11=-=-=R L 2303011g 22=--=-=R L 8.024.0g g 21=⨯= 知足稳定条件0<q1q2<1②50z 121-=+z f 30z 222-=+z f 30z 12=-z cm 45z 1-=cm 15z 2-=cm 15f = ③cm f 0174.014.310632815w8=⨯⨯==-πλ,腰在R2镜右方15cm 处④rad w 38010315.20174.014.310632822--⨯=⨯⨯⨯==πλθ (5) 有一个平凹腔，凹面镜曲率半径R=5m ，腔长L=1m ，光波长=0.5m ，求①两镜面上的基模光斑半径②基模高斯光束的远场发散角 解：①4)15(1)(f2=-⨯=-=L R L m 2f =mm f 56.014.3105.02w 60=⨯⨯==-πλ平面镜坐标: z1=0, 凹面镜坐标: z2=L=1m平面镜光斑: ws1=w0=, 凹面镜光斑:m m fz w s 626.041156.01w 22202=+⨯=+=zR 2R 1 L②rad w 43601068.51056.014.3105.022---⨯=⨯⨯⨯⨯==πλθ (6) 求方形镜共焦腔镜面上的TEM30模的节线位置（以w0s 为参数）解：2022)212216(),(033030sw y x s sex w x w cy x u +--=令021********=-x w x w ss0)212216(220=-x x w sx1=0习题八(1) 某激光器（=0.9m ）采取平凹腔，腔长L=1m ，凹面镜曲率半径R=2m.求①它发生的基模高斯光束的腰斑半径及腰位置②它发生的基模高斯光束的焦参数③它发生的基模高斯光束的远场发散角 解： ①1)12(1)(f2=-⨯=-=L R L m 1f =mm f 535.014.3109.01w 60=⨯⨯==-πλ，腰在平面镜处②f=1m③rad w 33601007.110535.014.3109.022---⨯=⨯⨯⨯⨯==πλθ (2) 某高斯光束的腰斑半径w0=，光波长=10.6m ，求与腰斑相距z=30cm 处的光斑半径及等相位曲率半径. 解：mm 385106.1014.114.3wf 3220=⨯⨯==-λπ (3) 某高斯光束的腰斑半径w0=，光波长=0.6328m ，求腰处、与腰相距30cm 处的q 参数 解：mm447106328.03.014.3w f 3220=⨯⨯==-λπq0=if=447i (mm), q(z)=z+if=300+447i(mm)(4) 某高斯光束的腰斑半径为w0=，光波长=10.6m ，今用焦距F=2cm的透镜对它停止聚焦.设光腰到透镜的间隔分别为10m 及0m 时，求聚焦后的腰斑半径及其位置. 解：mm 427106.102.114.3wf 3220=⨯⨯==-λπ腰到透镜间隔为l=0m 时:mm Ff 056.02042712.11w w 222200=+=+='mm f F l 9.19427201201F 2222=+=+='腰到透镜间隔为l=10m 时:mm F l f 3222200104.2)2010000(4272.120)(Fw w -⨯=-+⨯=-+='(5) 两个He-Ne 激光器都采取平凹腔，它们的尺寸与相对位置如图所示，问在何处拔出一个焦距 为多大的透镜，可使这两个激光器所激发的高斯 光束之间实现匹配？ 解： 2100)30100(30)(f2=-⨯=-=L R L 45.8cm f =透镜焦距F=34cm, 置于距R2镜、R 2镜间隔分别为 l= , l=若取l=34.4-4.5= , l=34-2.45=, 则l+ll0,舍去.(6) 激光器使用腔长为L 的半共焦腔，凹面镜为输出镜，光波长为，现在间隔输出镜为L 的地方放置一个焦距F=L 的透镜，用q 参数求出经透镜变换后的高斯光束腰斑半径与腰位置. 解：由半共焦腔特点知R=2L ，L L L L L R L f =-=-=)2()(平面镜处q 参数：q1=if=iL, 透镜处未变更前的q 参数：q2=iL+2L=L(2+i)透镜处变更后的q 参数：L i L i i L i i i L L i L q F Fq q 232)1)(2(12)2()2(2223+-=+-+=--+=+-+=-=l=, f=, 腰半径为 πλπλπλ25.0w 0LL f =⨯='=', 腰在透镜右方处(7) 用两个凹面镜构成双凹谐振腔，两镜半径分别为R1=1m 、R2=2m ，腔长L=，求如何选择高斯光束的腰斑半径及腰位置，才可使之成为腔中的自再现光束？（设光波长=10.6m ）L '=25cmD=50cm L=30cm R 1=1m R 2=∞ R '1=50cm R '2=∞FL L解： 1121z R z f -=+1z 121-=+z f L z =-12z 5.0z 12=-z 解出 z1=, z2=, f= mm f 28.114.3484.0106.10w 60=⨯⨯==-πλ 腰在R1镜右方处。