2023届吉林省长春市南关区东北师大附中净月实验学校高一数学第一学期期末检测模拟试题含解析

1 / 162022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．已知函数34()log 3ax f x x +=+在区间(]1,3-上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A.4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.4,43⎛⎤⎥⎝⎦C.44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.4,43⎛⎤- ⎥⎝⎦2．设集合U =R ，(){}221x x A x -=<，{}ln(1)B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{x |x ≥1}B.{x |1≤x <2}C.{x |0<x ≤1}D.{x |x ≤0}3．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点，则在平面11ADD A 内与平面1D EF 平行的直线A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条4．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最合适的是（）x 1.992 3 4 5.15 6.126y 1.514.04 7.51 12.03 18.01A.22y x =-B.()2112y x =- C.2log y x = D.x y e =5．已知函数22y x x =--的定义域为A ，集合{}3,0B x x a a =-，若A B ⋂中的最小元素为2，则实数a 的取值范围是： A.(]0,4 B.()0,4 C.(]1,4D.()1,46．已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（） A.2 B.3 C.4D.57．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.72cm πB.92cm πC.112cm πD.132cm π 8．已知角,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，则()sin 2021απ+=（） 15 B.14C.34-D.153 / 169．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比是 A.1:2 B.1:3C.1:210．为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点 A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B.横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D.横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知函数()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0>ω的图像在区间[]1,1-上恰有三个最低点，则ω的取值范围为________ 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+，则(1)f 的值为______13．两条直线220x y ++=与420ax y +-=互相垂直，则a =______ 14．下面有5个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈ ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象⑤函数sin()2y x π=-在[0,]π上是减函数其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号） 15．写出一个在区间[]1,1-上单调递增幂函数：()f x =______三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．定义在[]3,3-上的奇函数()f x ，已知当[]3,0x ∈-时，()()143xx a R f ax =+∈ ()1求实数a 的值； ()2求()f x 在(]0,3上解析式；()3若存在[]2,1x ∈--时，使不等式()1123x x m f x -≤-成立，求实数m 的取值范围17．若函数()y f x =自变量的取值区间为[],a b 时，函数值的取值区间恰为33,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，就称区间[],a b 为()y f x =的一个“罗尔区间”.已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()4g x x =-+. （1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在()0,∞+内的“罗尔区间”；（3）若以函数()g x 在定义域所有“罗尔区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合()(){}(){}2,|,|x y y h x x y y x m =⋂=+恰含有2个元素.若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由.18．已知函数()22sincos 23sin 3222x x xf x =-+，x ∈R . （1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）设()26xg x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调区间. 19．已知函数()2x f x =，设()()(),,g x f x f x a b R =+-∈. （1）证明：若||a b >，则()()()()0f a f b f a f b -+--->；（2）若12[0,),[1,2]x x ∀∈+∞∃∈-，满足()()()1212216g x g x mg x -≥-，求实数m 的范围. 20．如图，ABC 为等边三角形，EA ⊥平面ABC ，//EA DC ，2EA DC =，F 为EB 的中点.（Ⅰ）求证：//DF 平面ABC ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面AEB .21．知2:8150p x x -+≤，(): q x x a a -+-≤>222100.（Ⅰ）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若p 为q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.5 / 16参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、C【解析】求出函数()f x 的定义域，由单调性求出a 的范围，再由函数在(]1,3-上有意义，列式计算作答. 【详解】函数34()log 3ax f x x +=+定义域为(,3)(3,)-∞-⋃-+∞，343()log ()3af x a x -=++， 因433aa x -++在(,3)-∞-，(3,)-+∞上单调，则函数()f x 在(,3)-∞-，(3,)-+∞上单调，而函数()f x 在区间(]1,3-上单调递减，必有函数()f x 在(3,)-+∞上单调递减，而3log y x =在()0,+∞上递增，则433ay a x -=++在()3,-+∞上递减，于是得430a ->，解得43a <， 由(]1,3x ∀∈-，()f x 有意义得：4023406aa -⎧≥⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得443a -<≤，因此，4433a -<<，所以实数a 的取值范围是44(,)33-. 故选：C 2、D【解析】先求出集合A ，B ，再由图可知阴影部分表示()UA B ⋂，从而可求得答案【详解】因为()221-<x x 等价于()20x x -<，解得02x <<， 所以{}02A x x =<<，所以{0UA x x =≤或}2x ≥，要使得函数()ln 1y x =-有意义，只需10x ->，解得1x <， 所以{}1B x x =<则由韦恩图可知阴影部分表示()UA B ⋂{|0}=≤x x .故选：D. 3、D【解析】根据已知可得平面11ADD A 与平面1D EF 相交，两平面必有唯一的交线l ，则在平面11ADD A 内与交线l 平行的直线都与平面1D EF 平行，即可得出结论. 【详解】平面11ADD A 与平面1D EF 有公共点1D ， 由公理3知平面11ADD A 与平面1D EF 必有过1D 的交线l ， 在平面11ADD A 内与l 平行的直线有无数条， 且它们都不在平面1D EF 内，由线面平行的判定定理可知它们都与平面1D EF 平行. 故选：D.【点睛】本题考查平面的基本性质、线面平行的判定，熟练掌握公理、定理是解题的关键，属于基础题. 4、B【解析】由题中表格可知函数在()0,∞+上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，逐一判断，选择与实际数据接近的函数得选项.【详解】解：由题中表格可知函数在()0,∞+上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快， 对于A ，函数22y x =-是线性增加的函数，与表中的数据增加趋势不符合，故A 不正确；对于C ，函数2log y x =，当2log 4,42x y ===，与表中数据7.5的误差很大，不符合要求，故C 不正确； 对于D ，函数xy e =，当3203,y x e =≈=，与表中数据4.04的误差很大，不符合要求，故D 不正确； 对于B ，当()2121 1.522,x y ==-=，与表中数据1.51接近， 当()2131423,x y =-==，与表中数据4.04接近， 当()21417.524,x y ==-=，与表中数据7.51接近，所以，B 选项的函数是最接近实际的一个函数， 故选：B 5、C【解析】本题首先可以求出集合A 以及集合B 中所包含的元素，然后通过交集的相关性质以及A B ⋂中的最小元素为2即可列出不等式组，最后求出实数a 的取值范围【详解】函数y ==()()210x x -+≥，2x ≥或者1x ≤-，7 / 16所以集合(][)12A =-∞-⋃+∞，，， 3x a -<，3a x a -<-<，33a x a -<<+，所以集合{}33B x a x a =-<<+， 因为A B ⋂中的最小元素为2，所以13232a a -≤-<⎧⎨+>⎩，解得14a <≤，故选C【点睛】本题考查了集合的相关性质，主要考查了交集的相关性质、函数的定义域、带绝对值的不等式的求法，考查了推理能力与计算能力，考查了化归与转化思想，提升了学生的逻辑思维，是中档题 6、B【解析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 7、B【解析】该几何体是一个圆上面挖掉一个半球，S=2π×3+π×12+14π2⨯=9π. 8、A【解析】依题意可得()()tan 4sin tan sin 0αααα-+=，再根据,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，即可得到tan 4sin 0αα-=，从而求出cos α，再根据同角三角函数的基本关系求出sin α，最后利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，所以()()tan 4sin tan sin 0αααα-+=，因为,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以tan 0α<且sin 0α<，所以tan 4sin 0αα-=，即sin 4sin cos ααα=，所以1cos 4α=，所以sin 4α==-，所以()()()sin 2021sin 10102sin sin 4απαππαπα+=++⨯=+=-=； 故选：A 9、C【解析】设圆锥的底面半径为r ，则高为2r，母线长l ==则2=S r π底，2S rl r 侧π=，2S S =底侧，选C .10、B【解析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论 【详解】将3sin y x =的图象上的所有点的横坐标缩短12倍（纵坐标不变），可得y ＝3sin2x 的图象； 再向上平行移动1个单位长度，可得函数3sin 21y x =+的图象， 故选B【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、11π13π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调递区间的应用求出结果 【详解】解：[1x ∈-，1]，[,](0)444x πππωωωω∴+∈-++>根据正弦型函数图象的特点知，y 轴左侧有1个或2个最低点 ①若函数图象在y 轴左侧仅有1个最低点，则711242πππω+<， 解得132144ππω<， (54πωπ∴-+∈-，3]π-，此时在y 轴左侧至少有2个最低点∴函数图象在y 轴左侧仅有1个最低点不符合题意；②若函数图象在y 轴左侧有2个最低点，则37242πππω+<，解得51344ππω<， 又95242πππω-<-+-，则111944ππω<， 故111344ππω<， 1113[,)44ππω∴∈时，()f x 在[1-，1]恰有3个最低点综上所述，1113[,)44ππω∈ 故答案：1113[,)44ππ 12、1【解析】根据题意，由函数在（﹣∞，0）上的解析式可得f （﹣1）的值，又由函数为奇函数可得f （1）=﹣f （﹣1），即可得答案【详解】根据题意，当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）=2x 3+x 2，9 / 16则f （﹣1）=2×（﹣1）3+（﹣1）2=﹣1， 又由函数奇函数，则f （1）=﹣f （﹣1）=1； 故答案为1【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，注意利用奇偶性明确f （1）与f （﹣1）的关系 13、8-【解析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于1-，即可求出结果 【详解】直线220x y ++=的斜率112k =-，直线420ax y +-=的斜率24ak =-， 且两直线220x y ++=与420ax y +-=互相垂直，121k k ∴=-，1124a ⎛⎫⎛⎫∴-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得8a =-，故答案为8-【点睛】本题主要考查两直线垂直的充要条件，属于基础题.在两条直线的斜率都存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于1- 14、①④【解析】①4422sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-，正确；②错误；③sin y x =，tan y x =和y x =在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④ 15、x （答案不唯一）【解析】由幂函数的性质求解即可【详解】因为幂函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增， 所以幂函数可以是()f x x =， 故答案为：x （答案不唯一）三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、（1）1a =-；（2）()34xxf x =-；（3）5m ≥.【解析】()1根据题意，由函数奇偶性的性质可得()010f a =+=，解可得a 的值，验证即可得答案；()2当(]0,3x ∈时，[]3,0x -∈-，求出()f x -的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案；()3根据题意，若存在[]2,1x ∈--，使得()1123x x m f x -≤-成立，即11114323x x x x m --≤-在[]2,1x ∈--有解，变形可得122()23x x m ≥+⋅在[]2,1x ∈--有解.设()122()23xx g x =+⋅，分析()g x 的单调性可得()g x 的最大值，从而可得结果 【详解】() 1根据题意，()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数， 则()010f a =+=，得 1.a =-经检验满足题意； 故1a =-；()2根据题意，当[]3,0x ∈-时，()1114343x x x xa f x =+=-， 当(]0,3x ∈时，[]3,0x -∈-，()114343---=-=-x xx xf x 又()f x 是奇函数，则()()34xxf x f x =--=- 综上，当(]0,3x ∈时，()34xxf x =-；()3根据题意，若存在[]2,1x ∈--，使得()1123x x m f x -≤-成立， 即11114323x x x x m --≤-在[]2,1x ∈--有解， 即12243x x x m ≥+在[]2,1x ∈--有解 又由20x >，则122()23xx m ≥+⋅在[]2,1x ∈--有解设()122()23xx g x =+⋅，分析可得()g x 在[]2,1x ∈--上单调递减，又由[]2,1x ∈--时，()11min 12()12()523g x g --=-=+⋅=，故5m ≥即实数m 的取值范围是[)5,+∞【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，以及指数函数单调性的应用，属于综合题17、（1）()4,00,04,0x x g x x x x --<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩；（2）[]1,3；（3）存在，{}84m m -≤≤-.【解析】（1）根据()g x 为R 上的奇函数，得到()00g =，再由()0,x ∈+∞时，()4g x x =-+，设(),0x ∈-∞时，则()0,x -∈+∞代入求解.11 / 16（2）设0a b <<，易知()g x 在()0,∞+上单调递减，则()()3434g b b b g a a a⎧==-+⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩，则a ，b 是方程34x x =-+的两个不等正根求解（3）设[],a b 为()g x 的一个“罗尔区间”，且a ，b 同号，若0a b <<，由（2）可得，若0a b <<，同理可求，得到()h x ，再根据集合()(){}(){}2,|,|x y y h x x y y x m =⋂=+恰含有2个元素，转化为2y x m =+与()h x 的图象有两个交点，即方程24x m x +=-+在[]1,3内恰有一个实数根，方程24x m x +=-+，在[]3,1--内恰有一个实数根求解.. 【详解】（1）因为()g x 为R 上的奇函数，∴()00g =， 又当()0,x ∈+∞时，()4g x x =-+， 所以当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞， 所以()()()44g x g x x x =--=--+=--⎡⎤⎣⎦,所以()4,00,04,0x x g x x x x --<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩. （2）设0a b <<，∵()g x 在()0,∞+上单调递减，∴()()3434g b b b g a a a⎧==-+⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩，即a ，b 是方程34x x =-+的两个不等正根，∵0a b <<，∴13a b =⎧⎨=⎩，∴()g x 在()0,∞+内的“罗尔区间”为[]1,3.（3）设[],a b 为()g x 的一个“罗尔区间”，则33a bb a<⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号.当0a b <<时，同理可求()g x 在(),0-∞内的“罗尔区间”为[]3,1--，∴()[][]4,1,34,3,1x x h x x x ⎧-+∈⎪=⎨--∈--⎪⎩， 依题意，抛物线2y x m =+与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，所以m 应当使方程24x m x +=-+在[]1,3内恰有一个实数根， 且使方程24x m x +=-+，在[]3,1--内恰有一个实数根， 由方程24x m x +=-+，即24x m x +=-+在[]1,3内恰有一根， 令()24F x x x m =++-，则()()120380F m F m ⎧=-≤⎪⎨=+≥⎪⎩，解得82m ；由方程24x m x +=-+，即240x x m ++-=在[]3,1--内恰有一根，令()24m x x G x ++-=，则()()1403100G m G m ⎧-=+≤⎪⎨-=+≥⎪⎩，解得104m --≤≤.综上可知，实数m 的取值集合为{}84m m -≤≤-.【点睛】关键点点睛：本题关键是对“罗尔区间”的理解，特别是根据()g x 在()0,∞+上单调递减，得到()()3434g b b b g a a a⎧==-+⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩，转化为a ，b 是方程34x x =-+的两个不等正根求解 18、（1）最小正周期为2π，最大值2.（2）单调减区间为()()4,42k k k Z πππ+∈，单调增区间为()()42,4k k k Z πππ-∈ 【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式以及正弦函数的有界性可求得结果； （2）求得()2cos 2xg x =，利用余弦型函数的基本性质可求得函数()g x 的增区间和减区间. 小问1详解】 解：())sin 1cos sin 2sin 3f x x x x x x π⎛⎫=--+==+ ⎪⎝⎭.所以，()f x 的最小正周期2T π=.13 / 16当sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2 【小问2详解】解：由（1）知()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 又()2sin 2cos 26222x x x g x f ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()222xk k k Z πππ-<<∈，解得()424k x k k Z πππ-<<∈， 所以，函数()g x 的单调增区间为()()42,4k k k Z πππ-∈. 由()222xk k k Z πππ<<+∈，解得()442k x k k Z πππ<<+∈. 所以，函数()g x 的单调减区间为()()4,42k k k Z πππ+∈. 19、（1）证明见解析 （2）m ≤【解析】（1）先判断()g x 为偶函数，再由单调性的定义可得函数()g x 在(0,)+∞单调递增，从而当||a b >时，有()(||)()g a g b g b >=，进而可得结论，（2）将不等式转化为()()()1122162g x mg x g x -+≥，再由()g x 的奇偶性和单调性可得2min (2)2g x =，所以将问题转化为()11111111222221222142222x x x x x x x x m ----++++≤=++，换元后变形利用基本不等式可求得结果【小问1详解】 证明：因()22,()22()x x x x g x g x g x --=+-=+=，所以函数()g x 为偶函数.任取12,(0,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则()()()1122122222x x x x g x g x ---=+-+ ()121212212x x x x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当1212,(0,),x x x x ∈+∞<时，12121220,102x xx x +-<->，所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <， 由单调性定义知，函数()g x 在(0,)+∞单调递增， 所以，当||a b >时，()(||)()g a g b g b >=， 即()()()()f a f a f b f b +->+-， 即()()()()0f a f b f a f b -+---> 【小问2详解】由()()()1212216g x g x mg x -≥-整理得()()()1122162g x mg x g x -+≥， 由（1）知，()g x 在(0,)+∞上单调递增，且()g x 为偶函数， 易证()g x 在(,0)-∞上单调递减， 因为2[1,2]x ∈-，所以22[2,4]x ∈-， 故()22(0)2g x g ≥=，即2min (2)2g x =， 由题意知，()()112162g x mg x -+≥， 即()11111111222221222142222x x x x x x x x m ----++++≤=++令1122x x t -+=，因为1[0,)x ∈+∞，由()g x 单调性可知，2t ≥，由基本不等式得，12t t+≥ 当且仅当12t t=，即t =. 即()11112min221222x x x x --⎛⎫++ ⎪= ⎪+⎝⎭故m ≤【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的判断，函数单调性的证明，考查不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为()()()112min 21622g x mg x g x -+≥=，然后分离参数得()11111111222221222142222x x x x x x x x m ----++++≤=++，换元整理后利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 20、 (1)见解析(2)见解析15 / 16【解析】（Ⅰ）取AB 的中点G ，连结,FG GC ，由三角形中位线定理可得//FG AE ，12FG AE =，结合已知//DC AE ，12DC AE =可得四边形DCGF 为平行四边形，得到//FD GC ，由线面平行的判定可得FD//平面ABC ；（Ⅱ）由线面垂直的性质可得EA ⊥平面ABC ，得到EA GC ⊥，再由ABC 为等边三角形，得CG AB ⊥，结合线面垂直的判定可得CG ⊥平面EAB ，再由面面垂直的判定可得面BDE ⊥面EAB 【详解】（Ⅰ）证明：取AB 的中点G ，连结,FG GC ∵在EAB 中，//FG AE ，12FG AE = ∵//DC AE ，12DC AE =∴//DC FG ，FG DC = ∴四边形DCGF 为平行四边形 ∴//FD GC 又∵FD ⊄平面ABC ∴//FD 平面ABC（Ⅱ）证：∵EA ⊥面ABC ，CG ⊂平面ABC ，∴EA GC ⊥， 又∵ABC 为等边三角形，∴CG AB ⊥， 又∵EA AB A ⋂=，∴CG ⊥平面EAB ， 又∵//CG FD ，∴FD ⊥面EAB ， 又∵FD ⊂面BDE ，∴面BDE ⊥面EAB21、（Ⅰ）[]3,5；（Ⅱ）[)4,+∞.【解析】（Ⅰ）解不等式28150x x -+≤即得；（Ⅱ）再求出不等式()222 x x a a -+-≤>100的解，由充分不必要条件与集合包含的关系得出不等关系，可求得结论【详解】（Ⅰ）若p 为真命题，解不等式28150x x -+≤得35x ≤≤， 实数x 的取值范围是[]3,5.（Ⅱ）解不等式()222 x x a a -+-≤>100得11a x a -≤≤+，p 为q 成立的充分不必要条件，[]3,5∴是[]1,1a a -+的真子集. 1315a a -≤⎧∴⎨+≥⎩且等号不同时取到，得4a ≥. ∴实数a 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含。

2023-2024学年吉林省长春市高一上册期末考试数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}lg A xy x ==∣，集合{}1B y y ==∣，那么()R A B ⋂=ð（）A ．∅B ．()0,1C ．(]0,1D ．R【正确答案】B【分析】先化简集合,A B ,再求出R B ð即得解.【详解】解：由题得{}lg (0,)A xy x ===+∞∣，{}1[1,)B y y ==+∞∣.所以R (,1)B =-∞ð，所以()R (0,1)A B = ð.故选：B 2．1tan151tan15+︒=-︒（）AB ．1C D ．1【正确答案】C【分析】逆用正切的和差公式与特殊角的三角函数值即可求解.【详解】()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=︒=-︒-︒︒故选：C.3．已知2log 6a =，336b =，则12a b+=（）A ．12B ．1C ．2D ．4【正确答案】B【分析】利用换底公式，对数运算性质用以6为底的对数表示12,a b，可得答案.【详解】由换底公式，62lg lg a =，则61226lg log lg a ==.因336b =，则66662336323log log log log b b b=⇔=⇔=则12a b+=66231log log +=.故选：B4．将函数()πsin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，则()g x 图像的对称中心可以为（）A ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭B ．5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】根据图像变换求得()g x 的解析式，再求得()g x 的对称中心.【详解】函数()πsin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像向右平移π6个单位长度，得到函数πππsin 21sin(2)1666y x x ⎡⎤⎛⎫=-++=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()πsin(2)16g x x =-+，令()πππ2π,Z 6212k x k x k -==+∈，即()g x 的对称中心为(ππ,1212Z)k k ⎛⎫∈ ⎪⎭+⎝，令1k =-，求得()g x 的一个对称中心为5π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D5．已知πsin 123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）．A ．79-B ．59C ．59-D ．79【正确答案】C【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求πcos 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭，再结合诱导公式求5πcos 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】因为πsin 123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2ππ45cos 212sin1121299αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即π5cos 269α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5πππ5cos 2cos 2πcos 26669ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：C ．6．如图所示，有一半径为10米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为6米，若水轮每分钟逆时针转4圈，且水轮上的点P 在0=t 时刚刚从水中浮现，则5秒钟后点P 与水面的距离是（结果精确到0.1米）（）1.414≈ 1.732≈）A ．15.9米B ．15.3米C ．9.9米D ．9.3米【正确答案】A【分析】以点O 为坐标原点，AO 所在直线作y 轴建立平面直角坐标系，设点P 在t 时的纵坐标为y ，设()10sin 0,22y t ππωϕωϕ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭，根据已知条件求出函数解析式，将5t =代入函数解析式即可得解.【详解】以点O 为坐标原点，AO 所在直线作y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点P 在t 时的纵坐标为y ，设()10sin 0,22y t ππωϕωϕ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭，当0=t 时，y =-6，即10sin 6y ϕ==-，可得3sin 5ϕ=-，因为22ππϕ-<<，则24cos 1sin 5ϕϕ=-，函数()10sin 0,22y t ππωϕωϕ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭的最小正周期为15T =，则215πω=，故函数解析式为210sin 15y t πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将5t =代入函数解析式可得210sin 53cos 5sin 4333y πϕϕϕ⎛⎫=+=-=+ ⎪⎝⎭，因此，5秒钟后点P 与水面的距离是3915.9=（米），故选：A.7．已知函数()3e 12e 1x x f x x -=+++，且()()2454f a f a +-<，则实数a 的取值范围为（）．A ．()1,5-B ．()5,1-C ．()0,5D ．()(),51,∞∞--⋃+【正确答案】B【分析】令()()3e 12e 1x x g x f x x -=-=++，由定义证()g x 为奇函数，由常数分离可得()g x 为增函数，即可将()()()()2245445f a f ag a g a +-<⇔<--，结合奇偶性及单调性可得245a a <-+，即可求解【详解】令()()3e 12e 1x x g x f x x -=-=++，由()()3e 1e 1x x g x x g x --=--=-+得()g x 为奇函数，又()321e 1xg x x =-++为增函数，由()()()()224542452f a f a f a f a +-<⇔-<---⎡⎤⎣⎦，即()()()22454545g a g a g a a a <--=-+⇔<-+，解得()5,1a ∈-.故选：B8．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”，若函数()()ln 12f x x x =-+-与()28g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（）A ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,4【正确答案】B【分析】由题意可得()g x 在[]1,3上存在零点，再根据二次函数的性质即可讨论求解.【详解】 ()f x 的定义域为()1,+∞，易得()f x 在()1,+∞上单调递增，又()20f =，∴()f x 只有一个零点2x =．若()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”，则()g x 在[]1,3上存在零点．∴()2480a a ∆=--≥，解得4a ≥或8a ≤-．（1）若0∆=，即4a =或8a =-时，()g x 只有一个零点2a x =，显然当4a =时，[]21,32a =∈，当8a =-时，[]1,32a∉，不符合题意；（2）若0∆>，即8a <-或4a >，①若()g x 在[]1,3上存在1个零点，则()()130g g ≤，即()()921740a a --≤，解得17942a ≤≤，17942a ∴≤≤．②若()g x 在[]1,3上存在2个零点，则()()1030132g g a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪<<⎩，∴17444<≤．综上，a 的取值范围是94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：B ．二、多选题9．在下列四个命题中，正确的是（）A ．命题“x ∃∈R ，使得210x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，都有210x x ++≥”B ．若不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则2a c +=C ．当>4x 时，41x x +-的最小值是5D ．存在a ，使得不等式12a a+≤成立【正确答案】ABD【分析】A.根据特称命题的否定是全称命题来判断；B.由二次不等式得方程的根，利用韦达定理来计算判断；C.利用基本不等式来计算判断D.利用基本不等式来计算判断【详解】A.由根特称命题的否定是全称命题可得，命题“x ∃∈R ，使得210x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，都有210x x ++≥”，正确；B.若不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则12-，是方程220ax x c ++=的两根，则必有21212a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得24a c =-⎧⎨=⎩，2a c ∴+=，正确；C.当>4x 时，44111511x x x x +=-++≥+=--，当且仅当411x x -=-，即=3x 时，等号成立，故451x x +>-，错误；D.当0a >时，12a a+≥，当且仅当1a =时等号成立，故存在1a =，使12a a+≤，正确；故选：ABD.10．已知11log log 022a b <<，则下列不等式一定成立的是（）A ．1122()()a b <B ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ln()ln ln 222ab a b=⋅D ．lg()0b a ->【正确答案】ABC【分析】根据对数的运算法则、换底公式及对数函数的性质得到1a b <<，根据幂函数的性质判断A ，根据指数函数的性质判断B ，根据指数幂的运算法则及对数的运算性质判断C ，根据对数函数的性质判断D.【详解】解：因为11log log 022ab <<，即log 2log 20a b -<-<，所以log 2log 20a b >>，所以22110log log a b>>，所以220log log a b <<，所以1a b <<，因为12y x =在()1,+∞上单调递增，所以1122a b <，故A 正确；因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()1,+∞上单调递减，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ：ln ln ln ln ln()2222a b a b ab +=⋅=，故C 正确；因为1a b <<，所以0b a ->，无法确定b a -与1的关系，所以无法确定lg()b a -的正负，故D 错误；故选：ABC11．已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>图像的最小正周期是π，则（）A ．()f x 的图像关于点5π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．将()f x 的图像向左平移π8个单位长度，得到的函数图像关于y 轴对称C ．()f x在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[-D ．()f x 在3ππ,84⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【正确答案】BC【分析】先应用辅助角公式把函数化简为π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再根据三角函数的对称性，值域和单调性依次判断A.B.C.D 即可.【详解】应用辅助角公式把函数化简为π()4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为最小正周期是2ππ=ω，所以=2ω，即π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：令π2π,4x k +=即ππ,Z 82k x k =-+∈，对称中心为ππ082k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，所以A 错误；对于B ：将()f x 的图像向左平移π8个单位长度，得到的函数为πππ22842x x x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，即函数为偶函数关于y 轴对称，所以B 正确；对于C ：πππ5π0,,2,2444x x ⎡⎤⎡⎤∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，πsin 242x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x的值域为[-，所以C 正确；对于D ：3ππππ3π,,2+,84424x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当ππ3π2424x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，，即ππ,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 是单调递减的，所以D 错误.故选.BC12．已知函数()f x =）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 的最小正周期为2πC ．函数()f x 的值域为(]1,2D ．函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为2π【正确答案】AD【分析】先将函数()f x 利用三角恒等变换公式化简，再结合奇偶性、周期性、对称性以及值域逐项判断即可.【详解】解：由1cos 01cos 0x x +≥⎧⎨-≥⎩得：1cos 1x -≤≤，所以函数()f x =的定义域为：x R ∈因为221cos 12cos12cos 22x x x +=+-=，221cos 112sin 2sin 22x x x ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭所以()cos sin 22x x f x ⎫=+⎪⎭对A ，()cos sin22x xf x ⎫=+⎪⎭，()()cos sin cos sin 2222x x x x f x f x ⎫⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎭所以函数()f x 是偶函数，故A 正确；对B ，()()222cos sin 21sin 22sin 22x x f x x x⎛⎫=⨯+=⨯+=+ ⎪⎝⎭所以()f x =因为sin y x =的最小正周期为π所以()f x =π，故B 错误；对C ，()222sin f x x=+因为0sin 1x ≤≤，所以222sin 4x ≤+≤即()224f x ≤≤()2f x ≤≤所以函数()f x 的值域为2⎤⎦，故C 错误；对D ，由选项B 的分析可知，函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为22T π=，故D 正确.故选：AD.关键点睛：对()f x =sin y x =的最小正周期即可.三、填空题13．方程28x x +=的根(),1x k k ∈+，k ∈Z ，则k =___________【正确答案】2【分析】构造函数()28xf x x =+-，利用零点存在性定理及单调性判断其在()2,3上有唯一零点，进而可推得k 的值.【详解】令()28xf x x =+-，易知函数单调递增，且()()()128150,248220,388330f f f =-+=-<=-+=-<=-+=>.所以()28xf x x =+-的唯一零点()02,3x ∈所以方程28x x +=的根()02,3x ∈，故2k ＝.故214．若函数()22()log 3f x x ax a =-+在()2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】[]4,4-【分析】根据()2,+∞是函数()22()log 3f x x ax a =-+递增区间的子集求得实数a 的取值范围．【详解】解：∵()22()log 3f x x ax a =-+在()2,+∞上是增函数，()2022f a ⎧≥⎪∴⎨--≤⎪⎩，即404a a +≥⎧⎨≤⎩，解得44a -≤≤．故[]4,4-．15．函数()sin 2tan 3f x a x b x =++满足(2)1f -=，则(2)f π-=______【正确答案】5【分析】依题意可得sin 4tan 22a b +=，代入2π-，利用诱导公式求出(2)f π-．【详解】解：函数()sin 2tan 3f x a x b x =++满足(2)1f -=，(2)sin(4)tan(2)3sin 4tan 231f a b a b ∴-=-+-+=--+=，sin 4tan 22a b ∴+=，则(2)sin(42)tan(2)sin 4tan 23235f a b a b πππ-=-+-=++=+=．故5．16．已知函数()π2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上恰有三个零点，则ω的取值范围为__________．【正确答案】5π7π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由x 的取值范围，计算整体π4x ω+的范围，根据y 轴左侧的零点情况讨论列不等式组解得答案.【详解】()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为[]1,1x ∈-且0ω>，所以πππ,444x ωωω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，（1）若在y 轴左侧没有零点，则函数在[]1,1x ∈-上恰有三个零点，则需π2π3π4ππ<04ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪--+≤⎪⎩化简得7π11π44π5π44ωω⎧≤<⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩此时不等式组无解；（2）若在y 轴左侧恰有1个零点，则函数在[]1,1x ∈-上恰有三个零点，则需ππ2π4π2π<π4ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩化简得3π7π445π9π44ωω⎧≤<⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩，解得5π7π44ω≤<；（3）若在y 轴左侧恰有2个零点，则函数在[]1,1x ∈-上恰有三个零点，则需π0π4π3π<2π4ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩化简得π3π449π13π44ωω⎧-≤<⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩，此时不等式组无解；综上所述，ω的取值范围为5π7π44ω≤<.故答案为.5π7π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭思路点睛：本题是根据函数()sin y A ωx φ=+在指定区间零点个数求参数范围问题，属于难题，解题的关键是根据自变量x 的取值范围，计算整体x ωϕ+的取值范围，抓住y 一侧零点个数依次递增讨论列不等式组求解.四、解答题17．（1）知tan 3α=，计算2sin cos 5cos sin αααα+-；（2）已知,αβ都是锐角，()45sin ,cos 513ααβ=+=，求cos β的值.【正确答案】（1）72；（2）6365.【分析】（1）对原式弦化切后求值即可；（2）由已知()sin ,cos ααβ+及同角三角函数平方和是1求出()cos ,sin ααβ+，对β变形成()βαβα=+-，再利用两角差的余弦公式计算.【详解】解：（1）tan 3α= ，2sin cos 2tan 175cos sin 5tan 2αααααα++∴==--；（2）4sin 5α= 且α是锐角，3cos 5α∴=，()5cos 13αβ+=且()0,αβπ+∈，()12sin 13αβ∴+=，()()()5312463cos cos cos cos sin sin 13513565βαβααβααβα⎡⎤∴=+-=+++=⨯+⨯=⎣⎦.18．为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x 年（2020年为第一年）该企业投入的资金数y （单位：万元）与x 的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)该企业从第几年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元？（参考数据lg0.110.959≈-，lg1.10.041≈，lg11 1.041≈，lg 20.301≈）【正确答案】(1)1100(110%)x y -=+，定义域为{}|110x x ∈≤≤N (2)该企业从第9年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元.【分析】（1）由每年投入资金比上年增长10%可确定函数关系式，由实际意义得到定义域；（2）令1100 1.1200x ->⨯，解不等式即可确定结果.【详解】（1）第二年投入的资金数为()100110%+万元，第三年投入的资金数为2100(110%)100(110%)10%100(110%)+++=+万元，第x 年（2020年为第一年）该企业投入的资金数y 万元与x 的函数关系式为11100(110%)1001.1x x y --=+=⨯，其定义域为{}|110x x ∈≤≤N .（2）由1100 1.1200x ->⨯，可得11.12x ->，∵ 1.1x y =在R 上单调递增，则 1.1lg 20.3011log 2118.3lg1.10.041x >+=+≈+≈，故该企业从第9年开始（2020年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元.19．已知函数()()1sin 226f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.26x π+6π136πxπ()f x(1)填写上表，并用“五点法”画出()f x 在[]0,π上的图象；(2)先将()y f x =的图象向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，最后将得到的图象向右平移4π个单位长度，得到()g x 的图象，求()g x 的对称轴方程.【正确答案】(1)表格见解析，图象见解析(2),34k x k ππ=+∈Z【分析】（1）利用解析式以及五点作图法即可求解.（2）根据三角函数的平移、伸缩变换可得()15sin 4126g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由正弦函数的对称轴整体代入可得54,62x k k Z πππ-=+∈，解方程即可求解.【详解】（1）（1）由题意可得表格如下：26x π+6π2ππ32π2π136πx6π512π23π1112ππ()f x 141212-14可得图象如图所示.（2）将()y f x =的图象向上平移1个单位长度得到1sin 2126y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12可得到1sin 4126y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，最后将得到的图象向右平移4π个单位长度，可得115sin 41sin 412626y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，即()15sin 4126g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令54,62x k k Z πππ-=+∈，解得,34k x k ππ=+∈Z ，所以()g x 的对称轴方程是,34k x k ππ=+∈Z .20．())2ππsin 2sin 22cos 1,R 33f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)将函数()f x 化为()sin (0,0,02π)A x A ωϕωϕ+>>≤<的形式，并写出其最小正周期；(2)求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎣⎦上的值域.【正确答案】(1)()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期πT =(2)[]1,2-【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简()f x 的解析式，并求得最小正周期.（2）根据三角函数值域的求法，求得函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎣⎦上的值域.【详解】（1）())2ππsin 2sin 22cos 133f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin 2cos 2sin 2cos 2cos 222x x x x x =+πsin 222sin 23x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（2）由于ππππππ5π,2,24422636x x x -≤≤-≤≤-≤+≤，所以[]π1πsin 2,1,2sin 21,2323x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+∈-+∈- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎣⎦上的值域为[]1,2-.21．已知()f x 为定义在R 的奇函数，且当x >0时，()33x xf x -=+．(1)求()f x 的解析式；(2)若对于任意()0,x ∈+∞，不等式()()260f x mf x -+>恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)()33,00,033,0x x x x x f x x x --⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩(2)4m ≤【分析】（1）根据奇函数的性质，可得答案；（2）利用参变分离和分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】（1）令0x <，则0x ->，即()33x xf x --=+，由函数()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，即()()33x xf x -=-+，因为函数()f x 在R 上为奇函数，所以()00f =，故()33,00,033,0x x x x x f x x x --⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩.（2）由()0,x ∈+∞，则不等式()22333360xx x x m --+-++>，因为332x x -+≥=，当且仅当33x x -=，即0x =时，取等号，所以()222332336633333333x xxxx x x xx xx xm ------+-+<+=+++++，即43333x xx xm --<+++对x ∈R 恒成立，因为433433x xx x--++≥=+，当且仅当0x =时等号成立，所以，所求实数m 的取值范围为4m ≤.22．已知函数()4()log 412xxf x =+-，x R ∈．(1)试判断()f x 在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；(2)若函数12111()()log 222x x h x f x a a -+⎛⎫=--⋅++ ⎪⎝⎭在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)函数()f x 为R 上的偶函数；证明见解析(2)2a ≥或1a =【分析】（1）利用偶函数的定义进行判断和证明；（2）把函数零点问题转化为方程根的问题，结合换元法和判别式进行求解.【详解】（1）偶函数，证明如下：证明：函数4()log (41)2xxf x =+-，定义域为R ，关于原点对称，()()441log 41log 1242x x xx f x -⎛⎫-=++=++ ⎪⎝⎭()4414log log 14422x x x x x x +=+=+-+()()4log 142x xf x =+-=所以函数()f x 为R 上的偶函数．（2）解：因为函数()h x 在R 上只有一个零点，所以关于x 的方程12111()log 222x x f x a a -+⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭有唯一的实数解，即方程14414+11log log 222x x x x a a -+⎛⎫⎛⎫=⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有唯一的实数解，即114+11222x x x x a a -+=⋅++有唯一的实数解，化简得()21122022x xa a ⎛⎫-+⋅-= ⎪⎝⎭，令20x t =>，下面研究关于t 的方程()22210a t a t -+⋅-=何时仅有一个正根.①当2a =时，14t =，符合题意；②当2a ≠时，则()()Δ421a a =+-，当1a =时，12102a t t a ===>-符合，当2a =-时，121022a t t a ===-<-（舍）当102a -<-，即2a >时，120t t <，方程有异号的两个实根，符合题意；综上所述，实数a 的取值范围为2a ≥或1a =.。

2023-2024学年吉林省吉林省高一上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{0,1,2},{}A B x A ==∈，则B =（）A ．{0}B ．{0,2}C ．10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{0,1,4}【正确答案】D【分析】根据元素与集合关系，建立方程，可得答案.A 0=时，0x =1=时，1x =2=时，4x =，即{}0,1,4B =.故选：D.2．命题“对任意一个实数x ，都有240x +≥”的否定是（）A ．对任意一个实数x ，都有240x +≤B ．存在一个实数x ，使得240x +<C ．存在实数x ，使得240x +≤D ．对任意实数x ，使得240x +<【正确答案】B【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】由全称量词命题的否定可知，原命题的否定为“存在一个实数x ，使得240x +<”.故选：B.3．已知函数()21f x x kx =+-在区间[]1,2上是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A ．(][),21,-∞--+∞B ．[]4,2--C ．(][),42,-∞--+∞D ．[]2,1--【正确答案】C【分析】根据二次函数的性质可得22k -≥或12k-≤，解出即可得出实数k 的取值范围.【详解】函数()21f x x kx =+-的对称轴为2k x =-.若函数()21f x x kx =+-在区间[]1,2上单调递减，则应有22k-≥，所以4k ≤-；若函数()21f x x kx =+-在区间[]1,2上单调递增，则应有12k-≤，所以2k ≥-.综上所述，实数k 的取值范围是4k ≤-或2k ≥-.故选：C.4．设12log 3a =,12e b =,lg 2c =,则（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．c a b <<D ．a c b<<【正确答案】D【分析】根据()12log f x x =,()e xg x =,()lg h x x =的单调性,分别判断,,a b c 的大概范围,即可得出大小.【详解】解:由题知12log 3a =,12e b =,lg 2c =,因为()12log f x x =在定义域内单调递减,所以()()31f f <,即1122log 3log 10a =<=,因为()e xg x =在定义域内单调递增,所以()102g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即0121e e b >==,因为()lg h x x =在定义域内单调递增,所以()()()1210h h h <<,即0lg 21c <=<,综上:a c b <<.故选:D5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()33f x x x =-，则()2023f 等于（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【正确答案】A【分析】根据已知可得4T =，进而可得()()20231f f =-.又()12f =-，根据奇函数性质即可得出答案.【详解】由已知可得，函数()f x 为R 上的奇函数，且()f x 周期4T =.则()()()()20235054331f f f f =⨯+==-，又()311312f =-⨯=-，所以()()112f f -=-=，所以()()202312f f =-=.故选：A.6．幂函数的图像过点12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则它在[]1,3上的最大值为（）A ．13B ．－1C ．1D ．－3【正确答案】C【分析】设出幂函数的解析式()f x x α=，待定系数法求出()1f x x -=，结合函数的单调性，求出最大值.【详解】设幂函数()f x x α=，将12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入，得：()122α-=-，解得：1α=-，故()1f x x -=，它在[]1,3上单调递减，故当1x =时，取得最大值，()()max 11f x f ==.故选：C7）A ．sin 5cos 5-B ．cos5sin 5-C ．sin 5cos 5+D ．cos5sin 5--【正确答案】B【分析】利用诱导公式、商数关系和完全平方关系求解===sin 5cos5=-，因为3π5,2π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 50,cos5>0<，cos5sin 5=-，故选：B.8．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】B 由正弦函数的性质可得121(2(233k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间列不等式组求ω解集即可.【详解】由函数解析式知：()f x 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴121(2)(233k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，()f x 单调递增，又∵()f x 在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴12(2)3412(2)33k k πππωπππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得8831320k k k Z ωωω⎧≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪∈⎩，所以当0k =时，有102ω<≤，故选：B关键点点睛：利用整体代入法得到121(2(233k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.二、多选题9．下列推理正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b>D ．若a ，R b ∈，则2ab ba +≥【正确答案】BC【分析】A 选项，可举出反例；BC 选项，利用不等式的基本性质得证；D 选项，当0a =或0b =时，a b ba+无意义.【详解】A 选项，不妨设0,1a b ==-，满足a b >，但22a b <，A 错误；B 选项，因为0a b <<，所以不等式两边同时乘以a 得：2a ab >，不等式两边同时乘以b 得：2ab b >，从而22a ab b >>，B 正确；C 选项，因为0a b <<，所以0ab >，不等式两边同除以ab 得：11a b>，C 正确；D 选项，因为a ，R b ∈，故当0a =或0b =时，a b ba+无意义，D 错误.故选：BC10．若函数()2313x ax f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像经过点()31，，则（）A ．2a =-B ．()f x 在()1∞-，上单调递减C ．()f x 的最大值为81D ．()f x 的最小值为181【正确答案】AC【分析】利用函数经过点()31，,可求出a ,再应用函数性质每个选项分别判断即可.【详解】对于A :由题意得()361313a f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，得2a =-,故A 正确;对于B :令函数223u x x =--，则该函数在(),1-∞上单调递减，在[)1,∞+上单调递增．因为13uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,∞+上单调递减，故B错误;对于C D :因为()f x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,∞+上单调递减,所以()()max 181f x f ==,()f x 无最小值．故C 正确,D 错误;故选:AC .11．已知函数()tan 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为2πC ．把()f x 向左平移6π可以得到函数()tan 2g x x =D ．()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【正确答案】ABD【分析】根据正切函数的函数值，周期，平移对应的解析式变化，和函数的单调性即可求解.【详解】()tan 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以tan tan 266f ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；()f x 的最小正周期为2T ππω==，故选项B 正确；把()f x 向左平移6π可以得到函数tan 2tan(2)666y x x πππ⎡⎤⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项C 错误；,06x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2,626x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，tan 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 选项正确；故选：ABD.12．已知()|ln |f x x =，当b a <时，()()f a f b =，则（）A ．11a>B ．1ab =C ．e e 2ea b+>D ．21514b a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】根据()()f a f b =可得ln ln a b =-，再由b a <可判断AB ；利用基本不等式可判断C ；利用配方法可判断D.【详解】ln ,1()ln ln ,01x x f x x x x ≥⎧==⎨-<<⎩，因为()()f a f b =，所以|ln ||ln |a b =，可得ln ln a b =-，因为b a <，所以1a >，1ab =，故A 错误，B 正确；对于C ，因为2a b +>=，所以e e 2e +>a b ，故C 正确；对于D ，222155111442⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b b b b a ，故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知,x y 为正实数，且满足412x y +=，则xy 的最大值为______．【正确答案】9【分析】用基本不等式求得最值，然后化简既可得最大值.【详解】因为,x y 为正实数，且满足412x y +=，所以124x y =+≥，即39xy ⇒≤，当且仅当46x y ==即3,62x y ==时取等号，所以xy 的最大值为9.故9.14．函数lg 23y x x =+-的零点()01,5x ∈，对区间()1,5利用两次“二分法”，可确定0x 所在的区间为______．【正确答案】()1,2【分析】利用“二分法”结合零点存在定理可得出0x 所在区间.【详解】设()lg 23f x x x =+-，因为函数lg y x =、23y x =-在区间()1,5上均为增函数，故函数()f x 在区间()1,5上为增函数，因为()110f =-<，()5lg 570f =+>，()3lg 330f =+>，故()01,3x ∈，又因为()2lg 210f =+>，由零点存在定理可得()01,2x ∈.故答案为.()1,215．函数()23sin 2cos 1f x x x =--的最大值为______．【正确答案】73【分析】由已知可得，()23cos 2cos 2f x x x =--+，令cos t x =，求2217322333y t t t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭在11t -≤≤时的最大值，即可得出结果.【详解】()23sin 2cos 1f x x x =--()231cos 2cos 1x x =---23cos 2cos 2x x =--+，令cos t x =，11t -≤≤，令2217322333y t t t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，当13t =-时，有最大值为73.所以，函数()23sin 2cos 1f x x x =--的最大值为73.故答案为.7316．若函数()f x =1(Z)2ax a x +∈+在区间(2,)-+∞上单调递增，则a 的最小值为____________．【正确答案】1【分析】由12()2af x a x -=++以及复合函数的单调性可得120a -<，再根据Z a ∈可求出结果.【详解】因为1()2ax f x x +=+122a a x -=++在区间(2,)-+∞上单调递增，所以120a -<，即12a >，因为Z a ∈，所以a 的最小值为1.故答案为.1四、解答题17．已知全集[0,5],{|121}A B x m x m ==+≤≤-．(1)若2m =，求A B⋂(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){3}；(2)3m ≤.【分析】（1）当2m =时，得B ，由交集运算即可求解；（2）由题可知B 真包含于A ，分集合B =∅和B ≠∅两种情况分类讨论，即可求解m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，{}3B =，又[0,5]A =，所以A B ⋂={3}；（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要非充分条件，于是得B 真包含于A ，①当B =∅时，211,2m m m -<+∴<；②当B ≠∅时，由B 真包含于A 得21121510m m m m -≥+⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩（等号不能同时成立），23m ∴≤≤，综上所述，3m ≤.18．已知αβ，为锐角，1tan 2α=，()cos αβ+=（1）求cos 2α的值；（2）求αβ-的值．【正确答案】（1）3cos 25α=；（2）4παβ-=-.【分析】（1）由于222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ααααααα--==++，所以代值求解即可；（2）由()cos 10αβ+=-求出()sin αβ+的值，从而可求出()tan αβ+的值，而()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+，进而可求得结果【详解】（1）22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++（2）因为αβ，为锐角，所以()0αβπ+∈，，22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，又()cos 10αβ+=-，所以()sin 10αβ+===，()()()sin 10tan 7cos αβαβαβ++==-+，又22tan 4tan 21tan 3ααα==-，所以()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+47314173+==--⨯因为22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，所以4παβ-=-.19．设x ∈R ，函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求ω和ϕ的值；(2)列表，并在给定坐标系中作出函数()f x 在[]0,π上的图像；(3)若()f x >x 的取值范围．【正确答案】(1)2ω=，3πϕ=-(2)表格，图像见解析(3),124x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】（1）利用最小正周期和42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合给定范围与三角函数性质即可求解；（2）列表描点即可得出答案；（3）由余弦函数的图像与性质解不等式即可得出答案.【详解】（1） 函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，2T ππω∴==，2ω∴=，42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos si 422n f ϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=ππ=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，02πϕ-<< ，3ϕπ∴=-；（2）跟据第一问知()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，列表如下：x6π512π23π1112ππ23x π-3π-2ππ32π53π()f x 1211-012函数()f x 在[]0,π上的图像如下图：（3）()32f x > ，即os 2332c x π⎛⎫ ⎪⎭>-⎝，226623x k k πππππ-<∴+-<，k ∈Z ，则26222k x k ππππ<+<+，k ∈Z ，即124k x k ππππ+<<+，k ∈Z ，x ∴的取值范围为.,124x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 20．设a ，b 为实数，已知定义在R 上的函数()21xb f x a =-+为奇函数，且其图象经过点11,3⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求()f x 的解析式；(2)若对任意的x ∈R ，都有不等式()()220f x f m x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)()2121x f x =-+(2)(),1-∞-【分析】（1）根据()00f =，()113f =列出方程组，求出1,2a b ==，检验后得到解析式；（2）先用定义法判断出函数()2121x f x =-+在R 上单调递增，结合()2121x f x =-+的奇偶性，解不等式，得到实数m 的取值范围.【详解】（1）()21x b f x a =-+为定义在R 上的奇函数，故()00021bf a =-=+，又1213b a -=+，解得：1,2a b ==，故()2121x f x =-+，经检验，()2121x f x =-+是奇函数，满足题意，故()2121x f x =-+；（2）任取12,R x x ∈，且12x x <，则()()()()()()12121212121111122222222211212121212121x x x x x x x x x x f x f x +++++----=--+==++++++，因为2x y =单调递增，所以1211220x x ++-<，又因为1211210,210x x +++>+>，故()()()()121211122202121x x x x f x f x ++--=<++，故()()12f x f x <，故()2121x f x =-+在R 上单调递增，又()2121xf x =-+是定义在R 上的奇函数，由()()220f x f m x +->得：()()()222f x m f x f x ->-=-，故22x m x ->-，所以()22211m x x x <+=+-，所以1m <-，实数m 的取值范围是(),1-∞-.21．中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100+1000,040()100007018450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部．手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2021年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】（1）()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.（1）由题意，按照040x <<、40x ≥分类，转化等量关系即可得解；（2）按照040x <<、40x ≥分类，结合二次函数的性质及基本不等式即可得解.【详解】（1）当040x <<时，()()22700101001000250106001250W x x x x x x =-++-=-+-；当40x ≥时，()100001000070070184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）若040x <<，()()210307750W x x =--+，当30x =时，()max 7750W x =万元；若40x ≥，()10000820082008000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=即100x =时，()max 8000W x =万元.答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.22．已知函数()πcos 14f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭．(1)当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；(2)将函数()f x 的图像向右平移π4个单位长度后，再将得到的图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，再将得到的图像向下平移m 个单位长度得到函数()g x 的图像．若函数()g x 在π3π,244⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为2，求m 的取值范围．【正确答案】(1)⎡-⎣；(2)⎡-⎣.【分析】(1)利用三角函数两角和的正弦公式以及二倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可.(2)根据三角函数的图像变换关系求出函数()g x 的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可.【详解】（1）由题知，()πcos 14f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭=cos 1x x x ⎫⋅-⎪⎪⎭22sin cos 2cos 1x x x =+-，则()πsin2cos 224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，则ππ3π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴当ππ244x +=-，即π4x =-时，()f x 有最小值，且()min 12f x ⎛=-=- ⎝⎭.当ππ242x +=，即π8x =时，()f x 有最大值，且()max 1f x =()f x \的值域为⎡-⎣.（2）由(1)知，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像向右平移π4个单位长度可得ππ244y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，纵坐标变为原来的2倍可得π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向下平移m 个单位长度得()π24g x x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0g x =，则有πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π3π,244x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ5π2434x ⎡⎤∴-∈-⎢⎣⎦，设ππ5π2,434t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则sin y t =，π5π,34t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，如图所示，sin y t =与y =则sin y t ⎡⎫=∈⎪⎢⎪⎣⎭，即12-≤，所以m 的取值范围为⎡-⎣.。

2023长春市数学高一上册期末试卷一、选择题1．设全集U =R ，已知集合{|3A x x =<或9}x ，集合{|}B x x a =，若()U A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3aC ．9a <D ．9a2．函数y＋ln x 的定义域为（ ） A ．（0，1） B ．（0，1］ C ．（1，＋∞）D ．［1，＋∞）3．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-4．在平面直角坐标系中，角a 的顶点与原点重合，终边与单位圆的交点为1()2P ，则sin()a π-=（ ）A ．12B ．12-C D ．5．函数()42ln f x x x=-的零点位于区间（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,46．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车的半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现(即0P 时的位置)时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．设盛水筒M 从点0P 运动到点P 时所经过的时间为(t 单位：s)，则点P 第一次到达最高点需要的时间为（ ）A ．7sB ．132s C ．6s D ．5s7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(2)f a f a f +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，4]B ．(0，4]C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a >，0b >，0c >D ．0a <，0b <，0c >二、填空题9．下列函数中是偶函数，且在(1,)+∞为增函数的是（ ） A ．()||f x x = B ．2()23f x x x =--C ．2()2||1f x x x =--D ．1,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨+>⎩10．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，AB >是sin sin A B >充要条件B ．在ABC 中，2cos sin sin B A C =，则ABC 为等腰三角形 C ．在ABC 中，cos cos a A c C =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，2b ac =，且2sin sin sin B A C =+，则ABC 为正三角形11．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A >B ．2211a b > C ．22ac bc >D ．11a b a b->- 12．一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(),x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值x y ，r y ，rx分别叫做角α的余切、余割、正割，分别记作cot α，csc α，sec α，把cot y x =，csc y x =，sec y x =分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有（ ） A ．5cot 14π=B ．sin sec 1αα⋅=C ．sec y x =的定义域为,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ D ．2222sec sin csc cos 5αααα+++≥三、多选题13．已知集合M 满足{}{}1,21,2,5,6,7M⊆，则符合条件的集合M 有______个．14．已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.15．对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2e x f x x -=+-与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）16．已知函数g (x )，h (x )分别是定义在R 的偶函数和奇函数，且满足()()sin ,x g x h x e x x +=+-则函数g (x )的解析式为_________；若函数|2021|2()3(2021)2x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为_________.四、解答题17．在“①A B =∅，②A B ⋂≠∅”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合{|231}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<≤． （Ⅰ）若0a =，求A B ；（Ⅱ）若________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数a 的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．18．已知函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<的图像的一条对称轴是直线8x π=.（1）求ϕ的值；（2）若函数()2()y f x a a R =+∈在113,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为1，求a 的值. 19．已知函数2()(1)1(0)f x ax a x a =-++>．（1）若()f x 的单调递减区间是(,1]-∞，求a 的值并证明你的结论； （2）解关于x 的不等式()0(0)f x a <>．20．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =. （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式()()42x xf t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.21．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）将点P 距离水面的距离z （单位：米，在水面以下，则z 为负数）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P 位于水面上方？22．已知二次函数()2f x ax bx c =++满足()01f =，()()121f x f x x +-=-.（1）求()f x 的表达式；（2）若存在[]2,3x ∈，对任意t R ∈，都有()()22f x t m t x ≥-+--，求实数m 的取值范围；（3）记()()h x f x k =+，若对任意的，1x ，2x ，[]31,2x ∈，以()1h x ，()2h x ，()3h x 为边长总可以构成三角形求实数k 的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】 可以求出{|39}UA x x =<，然后根据()U AB ⋂≠∅即可得出a 的取值范围.【详解】因为全集U =R ，集合{|3A x x =<或9}x ， 所以{|39}UA x x =<，又因为()U A B ⋂≠∅，{|}B x x a =9a ∴<.故选：C 2．A 【分析】利用具体函数的定义域的求法求解. 【详解】由100x x ->⎧⎨>⎩，解得01<x <，所以函数的定义域是（0，1） 故选：A 3．B 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-.故选：B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题. 4．A 【分析】由任意角的三角函数的定义求出sin a ，再由诱导公式求出()sin a π-． 【详解】∵角a 终边过点12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴||1r OP ===∴1sin =2y a r =， 故()1sin =sin 2a a π-=．故选：A ． 【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x ,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论． 5．C 【分析】先研究()y f x =的单调性，利用零点存在定理即可得到答案. 【详解】()42ln f x x x=-的定义域为()0+∞，. 因为2ln y x =和4y x =-在()0+∞，上单增，所以()42ln f x x x=-在()0+∞，上单增. 当0x +→时，()0;f x <()140f =-<； ()()2ln 222ln 210f x =-=-<； 而()442ln 320333f =->->；()2ln 4104f =->， 由零点存在定理可得：函数()42ln f x x x=-的零点位于区间()2,3.故选：C6．D 【分析】设点P 离水面的高度为()sin()f t A t ωϕ=+，根据题意求出,,A ωϕ，再令()4f t =可求出结果. 【详解】设点P 离水面的高度为()sin()f t A t ωϕ=+， 依题意可得4A =，826015ππω==，6πϕ=-， 所以2()4sin()156f t t ππ=-， 令2()4sin()4156f t t ππ=-=，得2sin()1156t ππ-=，得221562t k ππππ-=+，k Z ∈，得155t k =+，k Z ∈，因为点P 第一次到达最高点，所以2015215t ππ<<=， 所以0,5s k t ==. 故选：D 7．D 【分析】根据()f x 是定义域为R 上的偶函数，将不等式212(log )(log )2(2)f a f a f +，转化为2(|log |)f a f （2），再根据函数在区间[0，)+∞上是单调递增函数求解.【详解】()f x 是定义域为R 上的偶函数，∴不等式212(log )(log )2(2)f a f a f +，可化为22(log )2f a f （2）， 即2(log )f a f （2），则2(|log |)f a f （2）， 函数在区间[0，)+∞上是单调递增函数，2|log |2a ∴，即22log 2a -，解得144a ≤≤， 故选：D 8．B 【分析】利用定义域判断c 的符号，根据()0f 判断b 的符号，根据()0,x ∈+∞时函数值有负数确定a 的符合.【详解】()f x 的定义域为{}|x x c ≠-，由图可知0c -<，所以0c >， 由图象可知()200bf c =>，则0b >， 由图可知，()0,x ∈+∞时函数值有负数，故0a <， 所以B 选项符合. 故选：B二、填空题9．ACD 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()||f x x =，偶函数，且在(1,)+∞为增函数，符合题意； 对于B ，2()23f x x x =--，不是偶函数，不符合题意； 对于C ，2()2||1f x x x =--，是偶函数，在1(,)4+∞上为增函数，故在(1,)+∞为增函数，符合题意；对于D ，1,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨+>⎩，是偶函数，且在(1,)+∞为增函数，符合题意；故选：ACD ． 10．ABD 【分析】利用正弦定理及三角恒等变换即可作出判断. 【详解】对于A ，2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B >⇔>⇔>⇔>，故A 正确； 对于B ，由2cos sin sin B A C =，可得()2cos sin sin B A B A =+， ∴sin cos cos sin 0B A B A -=，即()sin 0B A -=，∴B A =，故B 正确； 对于C ，由cos cos a A c C =可得sin cos sin cos A A C C =，即sin2sin2A C =， ∴A C =或2A C π+=，即ABC 为等腰或直角三角形，故C 错误；对于D ，由2sin sin sin B A C =+可得2b a c =+，224()b a c ∴=+．又2b ac =，2()0a c ∴-=，a c ∴=．22b a c a ∴=+=，b a ∴=，即a b c ==，故此三角形是等边三角形，故D 正确.故选：ABD. 11．AD 【分析】利用不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A ：由0a b >>a b A 正确； 对于B ：由0a b >>可得220a b >>，所以2211a b <，故选项B 不正确； 对于C ：当0c 时，由0a b >>可得22ac bc =，故选项C 不正确；对于D ：由0a b >>可得11a b <，所以11a b ->-，所以11a b a b->-，故选项D 正确；故选：AD. 12．ACD 【分析】依据题意结合教材正弦余弦函数的定义逐一判断. 【详解】51cot =154tan 4ππ=，故A 正确； 1sin sec sin 1cos αααα⋅=⋅≠，故B 不正确； 1sec cos y x x==，cos 0,,2x x k k Z ππ≠≠+∈，故C 正确；2222222211sec sin csc cos sin cos cos sin αααααααα+++=+++ 2221411sin cos sin 2ααα=+=+1sin 21α-≤≤，244sin 2α≥，2415sin 2α+≥，即2222sec sin csc cos 5αααα+++≥，故D 正确. 故选:ACD三、多选题13．7 【分析】根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案. 【详解】据子集的定义，可得集合M 必定含有1、2两个元素，而且含有5,6,7中的至多两个元素，因此，满足条件{}{}1,21,2,5,6,7M ⊆的集合M 有：{1,2}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,2,7}，{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}共7个，故答案为：7.14．[1,)+∞【解析】 【分析】由题知：对数函数有一个零点，二次函数由二个零点，分别求出a 的范围，再求交集即可.【详解】由对数函数和二次函数知： 2log ()0x a +=在(,0]-∞上有一个根.解得：1x a +=，即：1x a =-. 因为10a -≤，所以1a ≥.230x ax a -+=在(0,)+∞有两个不相等的根.即：21212940300a a x x a x x a ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得：49>a .综上：1a ≥ 故答案为：[1,)+∞ 【点睛】本题主要考查函数与方程的关系，同时考查了二次方程根的分布，属于中档题. 15．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【分析】先求出()0f x =的根，利用等价转换的思想，得到()0g x =在1m n -<有解，并且使用分离参数方法，可得结果 【详解】由()()13log 2e xf x x -=+-，令()0f x = 所以1x =，又已知函数()()13log 2e xf x x -=+- 与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”据题意可知：()0g x =在11x -<有解，则()0g x =在02x <<有解 即1224x x a +-=在02x <<有解，令()1224x xh x +-=，又令2x t =，()1,4t ∈，11,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2222111222t y t t -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭当112t =时max 12y =当11t=时0y =所以10,2y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以()10,2h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：10,2⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题. 16．()12x x e e -+ 12或1- 【分析】构造函数方程并根据奇偶性可求得函数g (x )的解析式；转化为()213202xx xe e λλ--⋅+-=有唯一解，构造偶函数()21()322x x x t x e e λλ-=-+-，根据偶函数的对称性列式可求得结果.【详解】∵()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数， ∴()()g x g x -=，()()h x h x -=- 又∵()()sin x g x h x e x x +=+-①，∴()()()()e sin x g x h x g x h x x x --+-=-=-+② ①+②：2()e e x x g x -=+，∴()1()e e 2x x g x -=+, 又∵()()2021202112(2022021)21()3202123e 22x x x x f x g x e λλλλ----⎡⎤=---=-⋅+-⎣⎦， 又∵()f x 有唯一零点，等价于()213202xx xe e λλ--⋅+-=有唯一解， 设()21()322x x x t x e e λλ-=-+-，∵()t x 为偶函数，∴当且仅当0x =时为唯一零点， ∴2120λλ--=，解得12λ=或1λ=-. 故答案为：()12x x e e -+；12或1- 【点睛】关键点点睛：构造函数方程并根据奇偶性求函数解析式、利用偶函数的对称性求解是解题关键.四、解答题17．（1）{|31}x x -<≤；（2）若选①，(,1][2,)-∞-+∞；若选②，()1,2-【分析】（1）由0a =得到{|31}A x x =-<<，然后利用并集运算求解.（2）若选A B =∅，分A =∅和A ≠∅两种情况讨论求解； 若选A B ⋂≠∅，则由23123110a a a a -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩求解. 【详解】（1）当0a =时，{|31}A x x =-<<，{|01}B x x =<≤； 所以{|31}A B x x =-<≤ （2）若选①，A B =∅，当A =∅时，231a a -≥+，解得4a ≥，当A ≠∅时，4231a a <⎧⎨-≥⎩或410a a <⎧⎨+≤⎩，解得：24a ≤<或1a ≤-，综上：实数a 的取值范围(,1][2,)-∞-+∞． 若选②，A B ⋂≠∅，则23123110a a a a -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，即421a a a <⎧⎪<⎨⎪>-⎩，解得：1a 2-<<， 所以实数a 的取值范围()1,2-． 【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：∅是任何集合的子集，所以要分集合B =∅和集合B ≠∅两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题. 18．（1）34πϕ=-，（2）-1 【分析】（1）通过函数的对称轴，结合0πϕ-<<，求出ϕ的值；（2）利用（1）以及函数()2()y f x a a R =+∈，求出含a 的函数表达式，利用最大值和最小值的和，求出a 的值即可 【详解】解：（1）因为函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<的图像的一条对称轴是直线8x π=，所以2()82k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以()4k k ϕπ=π+∈Z ，因为0πϕ-<<，所以34πϕ=-， （2）由（1），得3()sin(2)4f x x π=-， 所以32sin(2)4y x a π=-+， 当113,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，332,464x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以当3242x ππ-=时，max 2y a =+，当3246x ππ-=时，min 1y a =+， 所以231a +=，解得1a =-19．（1）1a =，证明见解析；（2）当01a <<时，不等式的解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当=1a 时，不等式的解集为∅；当1a >时，不等式的解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）先求出a 的值，并利用单调性的定义进行证明； （2）对1a和1 的大小进行分类讨论，解不等式即可. 【详解】（1）函数2()(1)1(0)f x ax a x a =-++>的图像为抛物线，开口向上，对称轴为12a x a+=. 因为()f x 的单调递减区间是(,1]-∞，所以1=12a a+，解得：1a =. 此时2()21f x x x =-+，下面证明2()21f x x x =-+在区间(,1]-∞单调递减： 任取121x x <≤，则()()12212122()()2121f f x x x x x x -=-+--+()222121=2x x x x --- ()()1212=2x x x x -+-因为121x x <≤，所以12x x <，1220x x +-<，所以()()121220x x x x -+->. 所以12()()f f x x >，所以2()21f x x x =-+在区间(,1]-∞单调递减；（2）关于x 的不等式()0(0)f x a <>可化为：()()110x ax --<. 当01a <<时，解得：11x a<<； 当=1a 时，原不等式无解； 当1a >时，解得：11x a<<；综上所述：当01a <<时，不等式的解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当=1a 时，不等式的解集为∅；当1a >时，不等式的解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】（1）单调性的证明通常用定义法；（2）解含参数的不等式通常需要分类讨论，分类的标准：①最高次项系数是否为0；②关于x 的方程()=0f x 是否有根；③()=0f x 的几个根的大小比较. 20．（1）3a =；0,；（2）奇函数；答案见解析；（3）2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）解方程()3log 31a f ==即得函数的解析式和定义域；（2）先求出函数()g x 的定义域，再利用奇函数的定义判断函数的奇偶性；（3）等价于2114122x x x xt ≥=++，令122xx y =+，利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】（1）()3log 31a f ==，3a =；()()3log 0f x x x =>（2）()()()11g x f x f x =+--∴1010x x +>⎧⎨->⎩∴11x -<< ()()()()11g x f x f x g x -=--+=-∴()g x 为奇函数；（3）()3log f x x =∴()f x 是单调递增函数()()42x x f t f t ⋅≥-∴420x x t t ⋅≥->∴()412x xt +≥∴2114122x x x xt ≥=++令122xx y =+，[]1,2x ∈时该函数为增函数， ∴min15222y =+=∴12552t ≥=又∵20x t ->∴()min22xt <=.综上2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判定，考查不等式的恒成立问题和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．（1）()4sin 20306t z t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭；（2）40秒.【分析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系，根据O 距离水面的高度计算出0P 坐标，再利用三角函数表示出P 点坐标，将P 的纵坐标加2即可得到z 关于t 的函数；（2）根据条件可知0z >，解对应的不等式求解出t 的范围，由此确定出有多长时间点P 位于水面上方. 【详解】（1）建立如图所示平面直角坐标系，由题意可知：()023,2P -，则3tan ϕ=6π=ϕ，因为水轮每分钟逆时针转动1圈，所以t 秒可转动的角度为26030tt ππ=， 所以P 的坐标为4cos ,4sin 306306t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且P 的纵坐标加上2即为P 到水面的距离，所以()4sin 20306t z t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭；（2）因为[]110,60,,30666t t ππππ⎛⎫⎡⎤∈-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令4sin 20306t ππ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， 所以1sin 3062t ππ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，所以763066t ππππ-<-<，所以040t <<，所以在水轮转动1圈内，有40秒时间点P 位于水面上方 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过建立合适平面直角坐标系结合三角函数定义求解出z 关于t 的函数，其中着重去分析P 点的纵坐标值得注意.22．（1）()221f x x x =-+；（2）(],1-∞；（3）((),21-∞-⋃+∞.【分析】（1）利用待定系数法即可求解.（2）将不等式化为22230t mx x x xt -+-++≥在t R ∈上恒成立，只需()224230x x x mx ∆=---+≤，进而可得12843m x x+≤+，利用基本不等式求出12312x x+≥，只需8412m +≤即可求解. （2）()()[]21,1,2h x x k x =+-∈⎡⎤⎣⎦，根据题意可得()()min max 2h x h x >，讨论二次函数的对称轴，求出函数在区间[]1,2上的最值，代入不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可得()01f c ==，()()()()2211111f x f x a x b x ax bx +-=++++---221ax a b x =++=-，即1,2a b ==-，所以()221f x x x =-+.（2）由题意存在[]2,3x ∈，对任意t R ∈，都有()22212x x t m t x -+≥-+--，即22230t mx x x xt -+-++≥在t R ∈上恒成立， ()224230x x x mx ∴∆=---+≤，解得()284312m x x +≤+即12843m x x+≤+，又12312x x +≥=，当且仅当123x x =时，即2x =时，取“=”，8412m ∴+≤，解得1m ，所以实数m 的取值范围(],1-∞.（3）()()()()221h x f x k x k x k =+=+-++ ()()()[]2222211,1,2x k x k x k x =+-+-=+-∈⎡⎤⎣⎦，对称轴1x k =-，因为对任意的，1x ，2x ，[]31,2x ∈，以()1h x ，()2h x ，()3h x 为边长总可以构成三角形， 则()1h x ()2h x +>()3h x 对任意的，1x ，2x ，[]31,2x ∈恒成立， 即()()min max 2h x h x >，①当12k -≥，即1k ≤-时，()h x 在区间[]1,2上单调递减，()()min max 2h x h x >，即()()2222111k k +->+-，解得2k <-2k >-2k ∴<-②当3122k ≤-<时，即112k -<≤-时，()h x 在区间[]1,1k -上单调递减， 在区间(]1,2k -上单调递增，()()min max 2h x h x >，即()222011k k ⨯>+-=无解. ③当3112k <-<，即102k -<<，()h x 在区间[]1,1k -上单调递减， 在区间(]1,2k -上单调递增，()()min max 2h x h x >， 即()()2220211k k ⨯>+-=+无解.④当11k -≤时，即0k ≥时，()h x 在区间[]1,2上单调递增， ()()min max 2h x h x >，即()()2221121k k +->+-，解得1k <1k >+1k ∴>综上所述，实数k 的取值范围为((),21-∞-⋃+∞. 【点睛】关键点点睛：本题考查了求二次函数的解析式、一元二次不等式恒成立、能成立问题，解题的关键是不等式化为22230t mx x x xt -+-++≥在t R ∈上恒成立，以及()()min max 2h x h x >，考查了分类讨论的思想.。

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知全集U =R ，{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，则集合()U C A B =A.{|0}x x ≥B.{|1}x x ≤C.{|01}x x ≤≤D.{|01}x x <<2．满足{}{}11,2,3A ⊆的集合A 的个数为（）A.2B.3C.8D.43．已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（ ） A.平均数＝第60百分位数＞众数 B.平均数＜第60百分位数＝众数 C.第60百分位数＝众数＜平均数D.平均数＝第60百分位数＝众数4．设()()()()2222cos sin 2sin 3222cos cos f πθπθθθπθθ⎛⎫+-++- ⎪⎝⎭=+++-,则3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A.512-B.25C.1D.345．在如图所示中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只可为 A. B.C. D.6．若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在零点，则实数a 的取值范围是 A.(1,)+∞ B.(,1)-∞C.(,1)(1,)-∞-+∞ D.(1,1)-7．已知集合{25},{0}A xx B x x =-<<=>∣∣，则A B ⋃=（ ）A.{05}x x <<∣B.{0}x x >∣C.{2}xx >-∣ D.{5}xx <∣ 8．已知函数2()log [(1)7]a f x a x x =+--在[23]，上是增函数，则实数a 的取值范围是 A.5()4+∞， B.15(1)()94+∞，， C.(2)+∞，D.1(1)[2)2+∞，， 9．下列说法不正确的是A.方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =有零点B.2360x x -++=有两个不同的实根C.函数()y f x =在[],a b 上满足()()0f a f b ⋅<，则()y f x =在(),a b 内有零点D.单调函数若有零点，至多有一个10．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则对实数a 、b ，“a b >”是“()()f a f b >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件11．在空间直角坐标系中，点M 在z 轴上，且点M 到点()1,3,1A -与点()1,0,2B 的距离相等，则M 点坐标为（） A.()0,1,3- B.()0,0,3- C.()1,0,3--D.()0,0,312．要得到函数sin4y x =的图象，只需将函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象( )A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移12π个单位D.向右平移12π个单位二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为__________14．已知函数8log (3)(0,1)9a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 也在函数()3x f x b =+的图像上，则3(log 2)f =__________15．若函数()f x 满足以下三个条件：①()f x 定义域为R 且函数图象连续不断；②()f x 是偶函数；③()f x 恰有3个零点.请写出一个符合要求的函数()f x =___________.16．已知直线l 经过点(2,5)P -，且与直线4320x y ++=平行，则直线l 的方程为__________ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()16cos 3sin1212f t t t ππ=--，[)0,24t ∈.（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于17C ，则在哪个时间段实验室需要降温？ 18．设函数()6ln(2)f x x x =++-的定义域为A ，集合{}21xB x =>.（1）AB ；（2）若集合{}1x a x a <<+是A B 的子集，求实数a 的取值范围.19．已知函数的图象的一部分如图所示：（1）求函数的解析式；（2）求函数图象的对称轴方程及对称中心20．对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”，若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}|A x f x x ==，(){}|B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦，那么，（1）求函数()38g x x =-的“稳定点”； （2）求证：A B ⊆；（3）若()()21,f x ax a x R =-∈，且A B φ=≠，求实数a 的取值范围.21．已知幂函数()()23122233m m f x m m x--=-+，且在()0,∞+上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()132f a f a +<-，求a 的取值范围.22．已知二次函数221y x ax =++.若当[]1,2x ∈-时，y 的最大值为4，求实数a 的值.参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1、D【解析】因为A ∪B={x|x≤0或x≥1}，所以(){|01}U C A B x x ⋃=<<，故选D. 考点：集合的运算. 2、B【解析】列举出符合条件的集合A ，即可得出答案. 【详解】满足{}{}11,2,3A ⊆的集合A 有：{}1、{}1,2、{}1,3. 因此，满足{}{}11,2,3A ⊆的集合A 的个数为3.故选：B.【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 3、B【解析】从数据为20，30，40，50，50，50，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可.【详解】解：平均数为()1203040505050708048.758⨯+++++++=，860% 4.8⨯=，∴第5个数50即为第60百分位数.又众数为50，∴它们的大小关系是平均数<第60百分位数=众数.故选：B. 4、A【解析】先利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简()fθ，再根据特殊角的三角函数值代值计算【详解】解：由题意得，()2222cos sin cos 322cos cos f θθθθθθ++-=++22cos cos 222cos cos θθθθ+-=++, 则22cos cos233322cos cos 33f πππππ+-⎛⎫=⎪⎝⎭++11254211122242+-==-+⨯+， 故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式和特殊角的三角函数值，考查同角的平方关系，属于基础题 5、C【解析】指数函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知a ，b 同号且不相等，再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出结论 【详解】根据指数函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知a ，b 同号且不相等，则二次函数2y ax bx =+的对称轴02b x a =-<在y 轴左侧，又2y ax bx =+过坐标原点， 故选：C【点睛】本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质，属于基础题 6、C【解析】由函数的零点的判定定理可得f （﹣1）f （1）＜0，解不等式求得实数a 的取值范围【详解】由题0a ≠ ，函数f （x ）＝ax +1单调，又在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f （﹣1）f （1）＜0，即 （1﹣a ）（1+a ）＜0，解得a ＜﹣1或a ＞1 故选C【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题 7、C【解析】根据并集的定义计算【详解】由题意{|2}A B x x =>-∪ 故选：C 8、A【解析】当1a >时,()2u x ?17a x x =+--（）在[]23，上是增函数，且恒大于零，即132,152(1)4444270(2)0a a a a a u ⎧⎧≤≥->⎪⎪+⇒⇒>⎨⎨⎪⎪+-->>⎩⎩当01a <<时,()2u x ?17a x x =+--（）在[]23，上是减函数，且恒大于零，即153,012(1)699970(3)0a a a a a u ⎧⎧≥≤-<<⎪⎪+⇒⇒∈∅⎨⎨⎪⎪+-->>⎩⎩，因此选A 点睛:1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减” 函数单调性的性质(1)若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反 9、C【解析】A 选项，根据函数零点定义进行判断；B 选项，由根的判别式进行求解；C 选项，由零点存在性定理及举出反例进行说明；D 选项，由函数单调性定义及零点存在性定理进行判断.【详解】A ．根据函数零点的定义可知：方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =有零点，∴A 正确 B ．方程对应判别式()9416330∆=-⨯-⨯=>，∴2360x x -++=有两个不同实根，∴B 正确C ．根据根的存在性定理可知，函数()y f x =必须是连续函数，否则不一定成立，比如函数()[)(]1,1,00,12,0f x x x ⎧-⋃⎪=⎨⎪=⎩，满足条件()()110f f -⋅<，但()y f x =在()1,1-内没有零点，∴C 错误D ．若函数为单调函数，则根据函数单调性的定义和函数零点的定义可知，函数和x 轴至多有一个交点，∴单调函数若有零点，则至多有一个，∴D 正确 故选：C10、C【解析】直接利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增， 若a b >，则()()f a f b >，而()()fa fb >等价于()()f a f b >，故充分必要；故选：C 11、B【解析】先由题意设点M 的坐标为()0,0,z ，根据空间中的两点间距离公式，列出等式，求出z ，即可得出结果. 【详解】因为点M 在z 轴上，所以可设点M 的坐标为()0,0,z ，= 解得3z =-，则点M 的坐标为()0,0,3- 故选：B. 12、C【解析】化函数解析式为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，再由图象平移的概念可得【详解】解要得到函数sin4y x =的图象，只需将函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位， 即：sin 4sin4123y x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选C【点睛】本题考查函数图象平移变换，要注意的左右平移变换只针对自变量x 加减，即函数()y f x ωϕ=+的图象向左平移a 个单位，得图象的解析式为[()]y f x a ωϕ=++二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、1【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =-表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可 【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大是1，故答案为1【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 14、1【解析】首先确定点A 的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解()32f log 的值即可. 【详解】令31+=x 可得2x =-，此时88log 199a y =-=-， 据此可知点A 的坐标为82,9A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 点A 在函数()3xf x b =+的图像上，故2839b --=+，解得：1b =-， 函数的解析式为()31x f x =-，则()3log 23log 231211f =-=-=.【点睛】本题主要考查函数恒过定点问题，指数运算法则，对数运算法则等知识，意在考学生的转化能力和计算求解能力.15、22,0(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩（答案不止一个）【解析】根据偶函数和零点的定义进行求解即可.详解】函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩符合题目要求，理由如下：该函数显然满足①；当0x >时，0x -<，所以有22()()()()f x x x x x f x -=-+-=-=，当0x <时，0x ->，所以有22()()()()f x x x x x f x -=---=+=，因此该函数是偶函数，所以满足②当0x ≥时，2()00f x x x x =-=⇒=，或1x =，当0x <时，2()01f x x x x =+=⇒=-，或0x =舍去，所以该函数有3个零点，满足③，故答案为：22,0(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩16、4370x y +-=【解析】设与直线4320x y ++=平行的直线:430l x y m ++= ，将点()2,5P -代入得()42350,7m m ⨯-+⨯+=∴=-.即所求方程为4370x y +-=三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（Ⅰ）4C ；（Ⅱ）从中午12点到晚上20点.【解析】（Ⅰ）利用辅助角公式化简函数()y f t =的解析式为()162sin 126f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由此可得出实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）由[)0,24t ∈，得出13,12666t ππππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，令()17f t >，得到1sin 1262t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，解此不等式即可得出结论.【详解】（Ⅰ）()16cos162sin 1261212f t t t t ππππ⎛⎫+ ⎪-=-⎝=-⎭，[)0,24t ∈. 因此，实验室这一天的最大温差为4C ； （Ⅱ）当[)0,24t ∈时，13,12666t ππππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭， 令()162sin 17126f t t ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，得1sin 1262t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭， 所以71161266t ππππ<+<，解得1220t <<， 因此，实验室从中午12点到晚上20点需要降温.【点睛】本题考查三角函数模型在生活中的应用，涉及正弦不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 18、（1）{}6x x ≥-；（2）01a ≤≤.【解析】（1）由函数的定义域、指数函数的性质可得{}62A x x =-≤<，{}0B x x =>，再由集合的并集运算即可得解；（2）由集合的交集运算可得{}02A B x x ⋂=<<，再由集合的关系可得012a a ≥⎧⎨+≤⎩，即可得解.【详解】由6020x x +≥⎧⎨->⎩可得62x -≤<，所以{}62A x x =-≤<，{}{}210x B x x x =>=>，（1）所以{}6A B x x ⋃=≥-；（2）因为{}02A B x x ⋂=<<，所以{}{}102x a x a x x <<+⊆<<，所以012a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围为01a ≤≤.【点睛】本题考查了函数定义域及指数不等式的求解，考查了集合的运算及根据集合间的关系求参数，属于基础题. 19、（1）；（2）对称轴，；对称中心为，【解析】（1）根据图形的最高点最低点，得到，以及观察到一个周期的长度为8，求出，在代入点的坐标即可求出，从而得到表达式；（2）利用正弦曲线的对称轴和对称中心，将看作整体进行计算即可.【详解】解：（1）由题图知，，，，又图象经过点， ．，，（2）令，．，图象的对称轴，令，．图象的对称中心为，20、（1）“稳定点”4x =；（2）见解析；（3）13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】本题拿出一个概念来作为新型定义题，只需要去对定义的理解就好，要求函数()38g x x =-的“稳定点”只需求方程()g g x x ⎡⎤=⎣⎦中x 的值，即为“稳定点”若x A ∈，有()f x x =这是不动点的定义，此时得出()()f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，A B ⇒⊆，如果A φ=，则直接满足. 先求出A φ≠即()f x 存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论.【详解】（1）由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦有()3388x x --=，得：3x =，所以函数()38g x x =-的“稳定点”为4x =；（2）证明：若A φ=，则A B ⊆，显然成立；若A φ≠，设t A ∈，有()f t t =，则有()()f f t f t t ⎡⎤==⎣⎦，所以t B ∈，故A B ⊆（3）因为A φ≠，所以方程21ax x -=有实根，即210ax x --=有实根，所以0a =或0140a a ≠⎧⎨∆=+≥⎩，解得14a ≥-又由()f f x x ⎡⎤=⎣⎦得：()2211a ax x --=即()3422210*a x a x x a --+-=由（1）知A B ⊆，故方程()*左边含有因式21ax x --所以()()222110ax x a x ax a --+-+=，又A B =，所以方程2210a x ax a +-+=要么无实根，要么根是方程210ax x --=的解， 当方程2210a x ax a +-+=无实根时，0a =或()220410a a a a ≠⎧⎨∆=--+<⎩，即34a <， 当方程2210a x ax a +-+=有实根时，则方程2210a x ax a +-+=的根是方程210ax x --=的解，则有22a x ax a =+，代入方程2210a x ax a +-+=得210ax +=，故12x a =-， 将12x a =-代入方程210ax x --=，得111042a a +-=，所以34a =. 综上：a 的取值范围是13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求()f x x =；求稳定点，就去求()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，完全根据定义去处理问题.需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样.21、（1）()12f x x =（2）21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】（1）因为函数是幂函数，求出1m =或2m =，再分别验证是否满足函数在()0,∞+上是增函数； （2）由（1）知()12f x x =，根据函数的定义域和单调性解不等式.【详解】（1）2331m m -+=，即2320m m -+=，则()()120m m --=，解得1m =或2m =， 当1m =时，()311122x f x x ---==， 当2m =时，()2112322x x f x --==，∵()f x 在()0,∞+上为增函数，∴()12f x x =.（2）由（1）得()f x 定义域为[)0,+∞且()f x 在()0,∞+上为增函数，∴10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得：213a -≤<，所以a 的取值范围为：21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查幂函数和根据函数的性质解抽象不等式，意在考查基本概念和基本方法，属于基础题型. 22、1-或14-. 【解析】分函数的对称轴12a -<和12a -≥两种情况，分别建立方程，解之可得答案. 【详解】二次函数221y x ax =++的对称轴为直线x a =-， 当12a -<，即12a >-时，当2x =时，y 取得最大值4，544y a =+=，解得14a =-，满足； 当12a -≥，即12a ≤-时，当1x =-时，y 取得最大值4，224y a =-=，解得1a =-，满足. 故:实数a 的值为1-或14-.。

2022-2023学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列函数是奇函数的是（ ） A ．()cos 2f x x = B ．()ln f x x = C ．2()f x x -= D ．()22x x f x -=-【答案】D【分析】由奇函数的定义可判断选项正误.【详解】对于A ，定义域为R ，()()()cos 2cos2f x x x f x -=-==，其为偶函数，故A 错误； 对于B ，其定义域为()0,∞+，其为非奇非偶函数，故B 错误；对于C ，定义域为()()00,∪,-∞+∞，()()22()x f x x f x --=-==-，其为偶函数，故C 错误；对于D ，定义域为R ，()()22x xf x f x --=-=-，其为奇函数，故D 正确.故选：D2．已知半径为3的扇形圆心角是34π，则该圆心角所对弧长是（ ） A ．94π B ．98π C ．278πD ．2732π【答案】A【分析】直接代入弧长公式计算即可. 【详解】该圆心角所对弧长为39344l r παπ=⨯⋅==. 故选：A.3．函数1()ln 36x f x x -=+-的零点所在区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】C【分析】由零点存在性定理得到答案.【详解】11(1)ln13650f -=+-=-<，21(2)ln 236ln 230f -=+-=-<， 31(3)ln 336ln 330f -=+-=+>，1()ln 36x f x x -=+-为连续函数，且单调递增，由零点存在性定理得：1()ln 36x f x x -=+-的零点所在区间为()2,3. 故选：C4．已知π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45- B ．35C ．35D ．45【答案】D【分析】利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.【详解】ππππ4cos cos sin 32665ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：D.5．函数22()log (1)f x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞- C ．(0,1)- D ．(1,)+∞【答案】B【分析】先求出函数的定义域，然后利用二次函数的单调性和复合函数的单调性即可求解.【详解】要使函数22()log (1)f x x =-有意义，则有210x ->，解得：1x >或1x <-，所以函数22()log (1)f x x =-的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞.令2()1u x x =-，开口向上，在(1,)+∞上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减， 又2log y u =在(0,)+∞上单调递增，由复合函数的单调性可知：函数22()log (1)f x x =-在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数22()log (1)f x x =-的单调递减区间为(,1)-∞-，故选：B . 6．若sin10a π=，2sin5πb =，2tan 5c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b<c<aB ．b a c <<C ．a b c <<D ．c<a<b【答案】C【分析】由正弦函数的单调性比较a 与b 的大小，再由商数关系和余弦函数的值域比较b 和c ，即可.【详解】因为sin y x =在(0,)2π上单调递增，所以2sinsin105ππ<，即a b <. 又因为2sin225tansin 255cos 5ππππ=>， 所以b c <. 综上：a b c <<. 故选：C. 7．已知3(,)4πθπ∈，且cos sin θθ-=22cos 1cos()4θπθ-+等于（ ） A．B ．12-C ．12D【答案】A【分析】利用平方关系由cos sin θθ-结合已知角的范围求出cos2θ的值，再代入二倍角公式和和角公式计算即可.【详解】因为cos sin θθ-= 所以2227(cos sin )cos sin 2sin cos 1sin 24θθθθθθθ-=+-=-=， 所以3sin 24θ=-.因为3(,)4πθπ∈，所以32(,2)2πθπ∈，所以cos 2θ=.则22cos 1cos()4θπθ-===+故选：A.8．已知函数221552sin ,544()5log (1),4x x f x x x π⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＞，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x （1234x x x x <<<）满足1234()()()()f x f x f x f x m ====，则（ ）A ．01m ≤≤B ．1252x x += C ．34340x x x x --=D ．340x x >【答案】C【分析】根据题意分段函数的定义，逐个分析即可. 【详解】由15544x -≤≤得3π2ππ252x -≤≤， ()[]2π2sin 2,25f x x ∴=∈-， 由54x >得114x ->，()()20log 1f x x ∴=-≥，对应函数图像如图所示，若1234()()()()f x f x f x f x m ====， 则2m <，A 错；1x ，2x 关于54x =-对称，1252x x ∴+=-，B 错；由()()34221log lo 1g x x -=-，()()23420log l 11og x x ∴-+-=()()342110log x x ∴--=⎡⎤⎣⎦，得()()34111x x --=，即34340x x x x --=，C 对； 由34340x x x x --=，得343411112x x x x +=>31x 41x ≠),344x x ∴>，D 错.故选：C二、多选题9．下列等式成立的有（ ） A ．51152log 10log 0.252+=B ．42599log 27log 8log 58⋅⋅=C ．1cos83cos 23sin83sin 232︒︒+︒︒=D．2tan151tan 15︒=-︒【答案】BCD【分析】由对数运算法则和三角恒等变换逐个计算判断即可.【详解】A 选项，111211555552log 10log 0.25log 10log 0.25log 252---+=+==-，A 不正确；B 选项，222334259253log 27log 8log 5log 3log 2log 5⋅⋅=⋅⋅2533319lg3lg 2lg59log 3log 2log 52228lg 2lg5lg38=⋅⋅=⋅⋅⋅=，B 正确；C 选项，1cos83cos 23sin83sin 23cos(8323)cos602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=，C 正确； D选项，22tan1512tan1511tan 301tan 1521tan 1522︒︒=⋅=︒==-︒-︒，D 正确. 10．若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围可以是（ ）A ．30,2⎛⎤ ⎥⎦⎝B ．[2，4.5]C ．[6，7.5]D ．[10，10.5]【答案】AC【分析】根据正弦函数的单调增区间可知：ππ2π42ππ2π+32k k ωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，()k ∈Z 解之，赋值即可求解.【详解】因为函数()sin (0)f x x ωω=>在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，ππ[,]43x ∈，则ππ[,]43x ωωω∈，所以ππ2π42ππ2π+32k k ωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，()k ∈Z ，解得：3826,2k k k ω-≤≤+∈Z ，令0k =，因为0ω>，所以3(0,]2ω∈，故选项A 正确； 令1k =，则[6,7.5]ω∈，故选项C 正确； 故选：AC .11．已知函数y =f （x ）是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f （x +4）=f （x ）+f （2）成立，当x ∈[0，2）时，f （x ）=2x -1，给出下列结论，其中正确的是（ ） A ．f （2）=0B ．点（4，0）是函数y =f （x ）的图像的一个对称中心C ．函数y =f （x ）在（-6，-2）上不具有单调性D ．函数y =f （x ）在[-6，6]上有3个零点 【答案】AB【分析】对于A 项，令2x =-求得；对于B 项，只需验证()()44f x f x -+=-+成立.对于C 项，根据B 项得到周期为4，转化到（-2，2）上的单调性 对于D 项，根据周期和奇函数求得. 【详解】()()()42f x f x f +=+当2x =-时，()()()222f f f =-+，所以()20f -=函数y =f （x ）是R 上的奇函数，所以()()220f f -=-=，故()20f =，所以A 正确. 因为()()4f x f x +=①，所以()()4f x f x -+=-② 令①式中的x 为x -得：()()4f x f x -+=-，又因为函数y =f （x ）是R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，故()()4f x f x -+=-③ ②③联立可得()()44f x f x -+=-+，故B 正确.因为()()4f x f x +=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数.函数y =f （x ）在（-6，-2）上的单调性，与y =f （x ）在（-2，2）上的单调性相同 画出()f x 在()2,2-上的图像为：故函数函数y =f （x ）在（-6，-2）上的单调递增，所以C 不正确.因为函数y =f （x ）是R 上的奇函数，所以()()()0440f f f =-==又由A 项()()()()26260f f f f ==-=-=，所函数y =f （x ）在[-6，6]上有7个零点 故D 不正确. 故选：AB12．函数()f x 的定义域为I ，若存在0x I ∈，使得()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 是函数()f x 的二阶不动点，也叫稳定点.下列函数中存在唯一稳定点的函数是（ ） A ．()21f x x =- B ．()f x x =- C ．()2log f x x = D ．()sin f x x =【答案】AD【分析】根据定义依次计算每个选项得到A 选项有一个解，B 选项有无数个解，根据函数2x y =和2log y x =函数图像无交点得到C 不满足，再判断D 选项有唯一解得到答案.【详解】()21f x x =-，定义域为R ，()()0002211f f x x x =--=⎡⎤⎣⎦，解得01x =，A 满足；()f x x =-，定义域为R ，()()000f f x x x =--=⎡⎤⎣⎦，恒成立，B 不满足；()2log f x x =，定义域为()0,∞+，()()00022log log f f x x x ==⎡⎤⎣⎦，即0202log x x =，根据函数2x y =和2log y x =函数图像无交点，知方程无解，C 不满足；()sin f x x =，定义域为R ，()()000sin sin f f x x x ==⎡⎤⎣⎦，易知[]01,1x ∈-，且00x =是方程的解，当(]00,1x ∈时，()000sin sin sin x x x <<，方程无解；当[)01,0x ∈-时，()000sin sin sin x x x >>，方程无解，D 满足. 故选：AD三、填空题13．函数()f x =__________．【答案】[,)()42k k k Z ππ+π+π∈【详解】由tan 10x -≥，得tan 1x ≥，解得,4x k k Z ππ≥+∈，又(),22k x k k Z ππππ-+<<+∈，∴(),42k x k k Z ππππ+≤<+∈∴函数的定义域为(),,42k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭．答案：(),,42k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭14．已知()f x 为定义域在R 上的偶函数，当(1,0)x ∈-时4,()33x f x =+，则33(log )2f =______.【答案】2【分析】根据偶函数的性质求出当(0,1)x ∈时的解析式即可求解. 【详解】当(0,1)x ∈，时(1,0)-∈-x ，因为函数为偶函数， 所以4()()33xf x f x -=-=+，即(0,1)x ∈时，14()33x f x =+，因为330log 12<<，所以333log 21424233333(log )2f =+=+=， 故答案为：215．设函数()sin(2),[,]66f x x x a ππ=+∈-的值域是1[,1]2-，则实数a 的取值范围为_______．【答案】[,]62ππ【分析】由[,]6x a π∈-，得到2[,2]666x a πππ+∈-+，再根据其值域求解. 【详解】解：因为[,]6x a π∈-，所以2[,2]666x a πππ+∈-+，又1()sin(2)[,1]62f x x π=+∈-，所以72[,]626a πππ+∈， 所以[,]62a ππ∈，故答案为：[,]62ππ16．若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足对任意能构成三角形三边长的实数a ，b ，c ∈I ，均有f (a )，f (b )，f (c )也能够成三角形三边长，则m 最大值为_____. 【答案】ln 4##2ln 2【分析】不妨设三边的大小关系为：0a b c <≤≤，利用函数的单调性，得出()f a ，f b ，()f c 的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出m 的最大值即可.【详解】()e x f x =在(]0,I m =上严格增，所以(()1,e mf x ⎤∈⎦ ，不妨设0a b c <≤≤，对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，f b ，()f c 也能构成三角形三边长， 所以e e e ,a b c a b c +>+>，因为e e e a b c +≥=，所以24e e a b c +>，对任意,,a b c I ∈都成立， 所以24e e c c ≥，所以e 4c ≤，所以ln4c ≤， 所以ln 4m ≤，所以m 的最大值为ln 4． 故答案为：ln 4.四、解答题17．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且角α的终边与单位圆交点为P ，cos 0.6β=，且β是第一象限角，求：sin()αβ-和tan()αβ+的值.【答案】sin()αβ-= ，2tan()11αβ+=-【分析】先利用题给条件求得sin αα==tan 2α，4sin 5β=，4tan 3β=，再利用两角差的正弦公式和两角和的正切公式即可求得sin()αβ-和tan()αβ+的值. 【详解】角α的终边与单位圆交点为P ，则sin αα==tan 2α由cos 0.6β=，且β是第一象限角，可得4sin 5β=，4tan 3β=则4sin()sin cos cos sin 0.65αβαβαβ-=-== ()42tan tan 23tan()41tan tan 11123αβαβαβ-+++===----⨯18．已知函数π())4f x x +. (1)求函数()f x 的单调递增区间.(2)若()2f α=sin 2α的值.【答案】(1)3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)7sin 29α=-【分析】（1）利用正弦函数的性质求解即可；（2）利用()2f α=sin cos αα+=，两边平方即可求得答案【详解】（1）由π())4f x x +可得πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，解得3ππππZ 88k x k k -≤≤+∈，， 所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意可得π())o n 4s 2f αααα⎫=+=⎪⎪⎭=所以sin cos 3αα+=，两边平方可得212sin cos 9αα+=，所以7sin 29α=-19．已知函数()2log f x x =.(1)设函数()g x 是定义域在R 上的奇函数，当0x >时，()()g x f x =，求函数()g x 的解析式. (2)设不等式23224+-≤xxx 的解集为M ，当x M ∈时，函数()()()24a x x h x f f =⋅（其中02a ≤＜）的最小值为0.25-，求实数a 的值.【答案】(1)()()22log ,00,0log ,0x x g x x x x ⎧--<⎪==⎨⎪>⎩ (2)1【分析】（1）由奇函数性质求得0x <，()g x 的解析式，即可得()g x 的解析式. （2）由指数函数单调性解指数不等式得M ，化简()h x ，令2log t x =将原命题等价为()()()2k t t a t =--的最小值为0.25-，根据二次函数性质列式求解即可. 【详解】（1）()g x 是定义域在R 上的奇函数，当0x >时，()()g x f x =. 当0x <时，0x ->，则2log g xg x f xx .当0x =时，()0g x =.故函数()g x 的解析式为()()22log ,00,0log ,0x x g x x x x ⎧--<⎪==⎨⎪>⎩. （2）由26432242x x x x +--≤=得264+≤-x x x ，即2540x x -+≤，解得14x ≤≤，故1,4M .()()()()()222222log log 2log log 4log log 224a a x x h x f f x x x a x ⎛⎫⎛⎫=⋅=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令[]2log 0,2t x =∈，则原命题等价于()()()2k t t a t =--（其中02a ≤＜）的最小值为0.25-， 则当22a t 时，()2min 220.2522a a k t k +-⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a =（02a ≤＜）. 故实数a 的值为1.20．A 第公交公司的某路公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路公交车载客量p (t )与发车时间间隔t 满足()()26010,51060,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，其中t ∈N. (1)求p (5)，并说明p (5)的实际意义.(2)该路公交车每分钟的净收益6()2410p t y t+=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟净收益最大？并求每分钟最大净收益.【答案】(1)35；发车时间间隔为5分钟，载客量为35(2)6分钟，最大净收益38元【详解】（1）()()256051035p =--=．实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35． （2）()62410p t y t+=-， ∴当510t ≤<时，()236061024216101106t y t t t --+⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 任取1256t t ≤<≤，则12121221621611061106y y t t t t ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+--+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()()()122112212121121221663621621666t t t t t t t t t t t t t t t t ---=-+-=-+=，1256t t ≤<≤，所以，210t t ->，122536t t <<，120y y ∴-<， 所以，函数2161106y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]5,6上单调递增，同理可证该函数在区间[)6,10上单调递减， 所以，当6t =时，y 取得最大值38；当1020t ≤≤时，660243841010y t t⨯+=-=-，该函数在区间[]10,20上单调递减， 则当10t =时，y 取得最大值28.4．综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元． 21．已知函数21()sin sin cos 2222x x x f x =+-. (1)常数ω＞0，若函数y =f （ωx ）的最小正周期是π，求ω的值.(2)若()()4g x x π+，且方程(2)()()102g x ag x ag x a π+----=在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有实数解，求实数α的取值范围.【答案】(1)ω=2(2)0a ≤【分析】（1）根据倍角公式和辅助角公式以及周期的计算方法即可求解；（2）将函数化简后根据三角换元，正弦函数的单调性和对号函数的性质即可求解.【详解】（1）21()sin sin cos 2222x x x f x =+-， 21()sin sin cos 2222x x x f x =-+ cos sin 22x x -=+ sin cos 2x x -=)42x π-=. )4()2x y f x πωω-==的最小正周期为2(0)πωω>， 所以2ππω=，所以2ω=.（2）()()sin 4g x x x π=+=, (2)()()102g x ag x ag x a π+----=在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有实数解,即sin 2sin cos 10x a x a x a +---=在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有实数解, 即()2sin cos sin cos 10x x a x x a +---=在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有实数解, 令sin cos x x t -=，所以sin cos )4t x x x π=--， 由42x ππ-≤≤， 所以244x πππ-≤-≤，所以)14x π-≤，所以1t ≤≤，同时()22sin cos x x t -=，所以22sin cos 1x x t =-，所以()2sin cos sin cos 10x x a x x a +---=在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有实数解等价于2110t at a -+--=在⎡⎤⎣⎦上有解，即2(1)a t t -=在⎡⎤⎣⎦上有解，①1t =时，a 无解；②)t ⎡∈⎣时，21t a t =-有解，即21111t a t t t ==++--在)t ⎡∈⎣有解，即211211t a t t t ==-++--在)t ⎡∈⎣有解，令1()121h t t t =-++-，)t ⎡∈⎣ 所以1()121h t t t =-++-的值域为(],0-∞，所以211211t a t t t ==-++--在)t ⎡∈⎣有解等价于0a ≤. 22．已知函数()()()ln R f x x a a =+∈的图像过点()1,0，2()()2e f x g x x =-.(1)求函数()f x 的解析式.(2)设0m >，若对于任意的1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()ln f x x =；(2)m 取值范围()1,2.【分析】（1）由已知求得0a =，()ln f x x =，代入即可得到()22g x x x =-，()0,x ∈+∞；（2）已知可转化为max ()ln(1)g x m <--，即转化为求()g x 在1,m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，由已知可得1m >，11m <，根据二次函数的性质可知所以()g x 的最大值在1x m =或x m =处取得.作差可得()1g m g m ⎛⎫> ⎪⎝⎭.即可得到22ln(1)0m m m -+-<，1m >.令()()22ln 1h m m m m =-+-，根据定义法证明()h m 在1m >时的单调性，根据单调性求解不等式，即可求出m 的取值范围.【详解】（1）由已知可得，()()1ln 10f a =+=，所以0a =，所以()ln f x x =，定义域为()0,∞+.所以有，2()()2e f x g x x =-2ln 22e 2x x x x =-=-，()0,x ∈+∞；（2）若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--， 只需满足max ()ln(1)g x m <--成立.由（1）知，()22,0g x x x x =->，对称轴为1x =.由0m >，1m m <可得，21m >，所以1m >，即有11m m<<. 根据二次函数的性质，可得()g x 在1,1m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,m 上单调递增， 所以()g x 的最大值在1x m =或x m =处取得. 又22111122g m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22g m m m =-， ()221122g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22112m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()3211m m m+-=， 又1m >，所以()10g m g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()1g m g m ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以()ma 2x (2)g m m m g x ==-.由max ()ln(1)g x m <--成立，可得22ln(1)m m m -<--，1m >，即22ln(1)0m m m -+-<，1m >.令()()22ln 1h m m m m =-+-，1m >，则原不等式等价于()0h m <.12,1m m ∀>，且设12m m <，则()()()()22121112222ln 12ln 1h m h m m m m m m m -=-+--+--()()11212212ln 1m m m m m m -=-+-+-， 因为12,1m m >，12m m <，所以120m m -<，1220m m +->，12011m m <-<-， 所以121011m m -<<-，所以121ln 01m m -<-，所以()()11212212ln 01m m m m m m --+-+<-. 所以()()120h m h m -<，所以()()12h m h m <，所以()()22ln 1h m m m m =-+-在()1,+∞上单调递增.又()()22222ln 210h =-⨯+-=，则由()()02h m h <=，可解得12m <<.【点睛】关键点睛：利用单调性的定义证明函数的单调性是解题的关键.。

吉林省长春市东北师范大学附属中学净月实验学校2023-2024学年高一上学期期中质量监测数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，则复数21i=+（ ） A ．1i +B ．1i -C ．i 1-D ．1i --2．已知向量()1,2a =r ，(),1b x x =-r ，若//a b r r ，则x =（ ） A ．2 B ．13 C ．3D ．233．已知向量,a b r r 满足||1,||2,|3|5a b a b ==-=r r r r，则a b ⋅=r r （ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1- 4．在平行四边形ABCD 中，点M 在对角线AC 上，点N 在边CD 上，AB m =u u u r r ，AD n =u u u r r，且14AM AC =u u u u r u u u r ，13DN DC =u u u r u u u r ，则MN =u u u u r（ ）A ．13124m n -+r r B ．13124m n -r rC ．13124m n +r rD ．31412m n +r r5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为BC 上一点，则三棱锥11B AC E -的体积为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．166．一水平放置的平面四边形OABC 的直观图O A B C ''''如图所示，其中2O A O C ''''==，O C x '''⊥轴，A B x '''⊥轴，//B C y '''轴，则四边形OABC 的面积为（ ）A ．18B ．C ．D ．127．ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，满足22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.若ABC V 为锐角三角形，且a =3，则ABC V 面积最大为（ ）A ．92B ．94C D 8．如图，有一古塔，在A 点测得塔底位于北偏东30°方向上的D 点处，在A 点测得塔顶C 的仰角为30︒，在A 点的正东方向且距D 点a 米的B 点测得塔底位于西偏北45︒方向上（A ，B ，D 在同一水平面），则塔的高度CD 为（ ）米.A B C D ．a二、多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．ABC V 中，sin sin AB >是A B >的充要条件B ．在ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则ABC V 一定为等腰三角形 C ．在ABC V 中，若1sin 2A =，则π6A = D ．在ABC V 中，::sin :sin :sin a b c ABC =10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC AC AA ===，若1B D A C ⊥，则D 可能为（ ）A ．1AC 的中点B ．AC 的中点 C ．1CC 的中点D ．ABC V 的重心11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知ABC V 的外心为O 、垂心为H ，重心为G ，且2AB =，4AC =，则下列说法正确的是（ ）A ．0AH BC ⋅=u u u r u u u rB ．4AG BC ⋅=u u u r u u u rC ．3AO AB ⋅=u u u r u u u rD ．OH OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r三、填空题12．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1A D 所成角的大小为.13．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23()||5CA CB A B A B +⋅=u u r u u r u u u r u u u r ，则c o s c o s a Bb A=.14．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为.四、解答题15．已知复数()()2212i z m m m =-+--，R m ∈.(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面内对应的点在直线10x y -+=上，求m 的值.16．如图所示，底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，2AB =，4PA =，PB PD ==AC 与BD 相交于点O ，E 为PD 中点．(1)求证：EO ∥平面PBC ；(2)PA 上是否存在点F ，使平面OEF ∥平面PBC ．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．17．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为S ，且______________．在①cos 2c a C b -=，②22sin 1cos 22B CA +=+，③2S AC ⋅u u r u u u r 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题． (1)求A ；(2)若3b c +=，点D 是BC 边的中点，求线段AD 长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．对于平面向量()(),1,2,k k k a x y k ==u u rL ，定义“F θ变换”：()()1cos sin ,sin cos k k k k k k a F a x y x y θθθθθ+==-+u u u r u u r，()0πθ<<(1)若向量()12,1a =u r ，π3θ=，求2a u u r ；(2)已知()11,OA x y =u u u r ，()22,OB x y =u u u r ，且OA u u u r 与OB u u u r不平行，()OA F OA θ'=u u u r u u u r ，()OB F OB θ'=u u u r u u u r ，证明：OAB OA B S S ''=V V .。

学年吉林省东北师范大学附中中学净校区高一上学期期末考试数学试题Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202015---2016学年（高一）年级上学期期末考试（数学）学科试卷命题人：高一数学备课组说明：1、此试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

2、满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只．有一个．．．正确选项) 1．向量()()AB MB BO BC OM ++++等于( )A ．AMB ．BC C ．ABD ．AC2．已知函数()2log 02 0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())4f f 的值是（ ）A ．14B ．14- C ．4 D ．4-3. 集合2{|60}M x x x =--≥，集合{|31}N x x =-≤≤，则()R C M N 等于（ ）A. (2,3)-B. [2,1]-C. (2,1]-D. [3,3)-4. 函数()f x =1( )A ．[),+∞2B ．(),+∞2C ．(),02D ．(],02 5. 已知平面向量()(),,,,a b a b λ=-=-+1342与a 垂直，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．-16. tanπ196的值是（ ）A.C.D.37. 设112230.3,0.4,log 0.6a b c ===，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c << 8. 函数x y a =与log (0,1)a y x a a =->≠且在同一坐标系中的图象只可能是（ ）A ．B ． C． D．9. 化简cos sin sin cos ︒︒︒︒-=22554040（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D.1210．已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移ϕ个单位长度，所得函数为偶函数，则ϕ的一个值是（ ）A. 8π B .4π C. 38π D. 2π11. 在△ABC 中，已知D 为AB 上一点，若,AD DB =2则CD =（ ）A. CA CB +2133B. CA CB +1233C. CA CB -2D. CA CB -2 12. 若函数()y f x =满足()()f x f x +=2，且[],x ∈-11时，()cosxf x π=2，函数()lg ,,x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩010，则函数()()()h x f x g x =-在区间[],-55内零点的个数是（ ）A. 8B. 7C. 6第II 卷（非选择题）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 已知函数()()sin ,,f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭002的一部分图象如图所示，则()f x 的解析式为 .14. 已知tan ,α=2则sin cos sin cos αααα+=+22__________ .15.关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=-∈，有以下命题：（1）()6y f x π=+是奇函数；（2）要得到()4sin 2g x x =的图象，只需将()f x 的图象向右平移3π个单位；（3）()y f x =的图象关于直线12x π=-对称；（4）()y f x =在5[0,]12π上单调递增， 其中正确的个数为__________. 16.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD PA ⋅取得最小值时，CPCB的值为________． 三、解答题17. （本题满分10分）已知cos ,αβ==355其中,αβ都是锐角. 求:（I ）()sin αβ-的值; （Ⅱ）()tan αβ+的值. 18．（本题满分12分）已知向量()(),,,.a b ==-1320（）求a b -；（）求向量a b -与a 的夹角；（）当[1,1]t ∈-时，求a tb -的取值范围.19. （本题满分12分）已知函数()log (12)log (12)a a f x x x =--+（0,1a a >≠）． （）求()f x 的定义域；（）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （）求使()0f x >的x 的取值范围．20．（本题满分12分）设向量()(),,,,a x y b x y ==1122定义运算：a *b (),.x x y y =1212已知向量(),,m =22,,n π⎛⎫=- ⎪⎝⎭13点P 在sin y x =的图象上运动，点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且满足*OQ m OP n =+ (其中O 为坐标原点)， （）求()y f x =的解析式；（）当,x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦533时，求函数()y f x =的值域.21．（本题满分12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（）求()f x 的最大值及此时的x 的集合； （）求()f x 的单调增区间；（）若1()2f α=，求sin(4)6πα-.22. （本题满分12分）设()()sin ,cos sin ,sin ,cos sin ,.x a x x b x x x f x a b π+⎛⎫=+=-=⋅ ⎪⎝⎭2244（）求函数()y f x =的解析式；（）已知常数ω>0，若()y f x ω=在区间,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦223上单调递增，求ω的取值范围；（）设集合(){},B ,A xx x f x m ππ⎧⎫=≤≤=-<⎨⎬⎩⎭2263若A B ⊆,求实数m 的取值范围.2015---2016学年（高一）年级上学期期末考试（数学）学科答案一、 选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D A C B D D C A C A B A二、 填空题13. ()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭14. 45 15. 3 16. 34三、 解答题17. 解: （I ）因为,αβ都是锐角 ,所以22254sin 1cos ,sin 1cos 5ααββ=-==-= …2分所以3254525sin()sin cos cos sin 55αβαβαβ-=-=⨯-⨯= ……5分（Ⅱ）sin sin 4tan 2,tan cos cos 3αβαβαβ====, …………………………………………7分tan()αβ+=tan tan 21tan tan αβαβ+=-- (10)分18. 解：（Ⅰ） 因为向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，所以)3,3()0,2()3,1(=--=-b a . ……………………………2分a b -=23 (4)分（2） ()6a b a (5)分所以()3cos ,43a b a a b aa b a. …………………………7分 所以向量-与的夹角为6π. …………………………8分（3）因为22222a tb a ta bt b 2444t t，……………………5分所以当]1,1[-∈t 时， ………………………7分所以a tb 的取值范围是 ……………………………8分19. 解：（1）1201112022x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩()f x ∴的定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. ……………………3分 （2）定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，关于原点对称又因为()()()()log 12log 12a a f x x x f x -=--+=-()f x ∴为奇函数 . . ……………………6分 （3）()0f x >()()()()log 12log 120log 12log 12a a a a x x x x ⇒--+>⇒->+. ………7分当1a >时，原不等式等价为：12120x x x +<-⇒<. ………9分 当01a <<时，原不等式等价为：12120x x x +>-⇒>. ………11分又因为()f x 的定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭所以使()0f x >的x 的取值范围，当1a >时为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；当01a <<时为10,2⎛⎫⎪⎝⎭；. ………12分 20.解：设()()'',,Q ,P x y x y (1)分''x x y y π⎧=+⎪∴⎨⎪=-⎩2321''x x y y π⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩1261122…………………………4分∵(),P x y 在sin y x =上()sin f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭12126 …………………………6分（2）,x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦533x πππ∴-≤-≤123263 …………………………8分sin x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭11226 …………………………10分∴()f x 的值域为,⎡⎤⎣⎦11 …………………………12分21、解： 21()4cos cos )1cos 2cos 12f x x x x x x x =+-=+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+——————————————— 4分 （1） 当2262x k πππ+=+时，即6x k ππ=+时，max ()2f x =；——————————————6分 （2）222,262k x k k Z πππππ-<+<+∈ 增区间(,),36k k k Z ππππ-+∈———————8分（3）11()2sin(2),sin(2)6264f ππααα=+=∴+=27sin(4)sin[2(2)]cos 2(2)12sin (2)626668πππππαααα-=-+=+=-+=——————12分 22.解：（1）()sin sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin x f x x x xx x x x x xx ππ+=+-⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++=+2222244212222221…………………………4分（2）()sin f x x ωω=+21∵()y f x ω=在区间,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦223上单调递增,,ωπωπππ⎡⎤⎡⎤∴-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22322…………………………6分 ,,ωππωππ∴-≥-≤22232…………………………7分 ω∴<≤304 …………………………8分（3）当x ππ≤≤263时，sin x ≤≤112，()f x ∴≤≤23…………………………9分 由题意(),x x f x m ππ∀≤≤-<2满足2恒成立63 …………………………10分()()min max m f x m f x m ⎧-<⎪∴∴<<⎨<+⎪⎩2142 …………………………12分。

吉林省长春市东北师范大学附属学校2023-2024年高一上学期期末考试数学试题和答案详细解析(题后)一、单选题1. 将化为弧度制，正确的是（）A．B．C．D．2. 若角的终边经过点，则等于（）A．B．C．D．3. 已知，则（）A．B．C．D．4. 已知函数，下列区间中包含零点的区间是（）A．B．C．D．5. 若，，．则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．6. 扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（）（）A．185B．180C．119D．1207. 对于函数，下列说法正确的是（）A．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到B．函数的图象可以将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到C．若且，则的最小值为D．若为偶函数，则8. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A．的周期为2B．C．的所有零点之和为16D．二、多选题9. 对于实数a，b，c，下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则10. 下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．11. 已知函数（，），为的零点，对任意，恒成立，且在区间上单调．则下列结论正确的是（）A．是奇数B．的最大值为7C．不存在，使得是偶函数D．12. 已知函数，（其中e为自然对数的底数），设m，n分别为，的零点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．三、填空题13. 函数的定义域为________．14. 函数，的值域为________．15. 已知函数在区间上恰有三个最大值点，则的取值范围为________．16. 已知函数，，方程恰有两个不相等的实数根（），设，则实数t的取值范围是________．四、解答题17. （1）计算：；（2）计算：．18. 已知．(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值．19. 已知．(1)当时，解不等式；(2)若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围．20. 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）：建立平台第年1234会员个数（千人）14202943(1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③(2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值.21. 已知函数，且．(1)设，若对任意，总存在，使成立，求实数t的取值范围；(2)函数的图象与函数的图象关于直线对称，求不等式的解集．22. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函数，．(1)若，求函数的不动点；(2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．答案详解1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.。

2023-2024学年吉林省长春市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}21A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0--B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,1【正确答案】C【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】因为{}21A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，所以A B = {}1,0-，故选：C 2．sin240= （）A ．12-B ．C ．2D ．12【正确答案】B【分析】利用诱导公式进行化简并求值【详解】()sin 240sin 18060sin 60=+=-=- 故选：B3．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A ．1()|1|f x x =-B ．1()1f x x =-C ．21()1f x x =-D ．21()1f x x =+【正确答案】B【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A 、D ，再根据()01f =-不成立排除选项C ，即可得正确选项.【详解】由图知()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，排除选项A 、D ，又因为当0x =时，()01f =-，不符合图象()01f =，所以排除选项C ，故选：B.5．函数3()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（）A ．()1,2B ．()2,e C ．(),3e D ．()3,+∞【正确答案】C 【详解】3()ln f x x x=-，∴函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-3e =1-3e＜0，∴f(3)·f(e)＜0，∴在区间（e ，3）内函数f(x)存在零点.故选C.6．已知2sin 3α=，则3sin 22πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．B ．19-C ．3D ．19【正确答案】B【分析】利用诱导公式及余弦的二倍角公式即可求解.【详解】()22321sin 2cos 212sin 12239πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=--=--⨯=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：B本题主要考查了三角函数诱导公式，三角恒等变换求值，选择合理的二倍角公式是求解的关键，属于中档题.7．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+6y x π=D ．2sin(+)3y x π=【正确答案】A【详解】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.三角函数的图象与性质【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．8．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20C o ，但当气温上升到31C 时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时14~时的气温T （单位：C ）与时间t （单位：小时）近似满足函数关系式π3π2510sin 84T t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则在6时14~时中，观花的最佳时段约为（）（参考数据：πsin 0.65≈）A ．6.7时11.6~时B ．6.7时12.2~时C ．8.7时11.6~时D ．8.7时12.2~时【正确答案】C【分析】由三角函数的性质求解【详解】当[]6,14t ∈时，π3π3π5π,8422t ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π3π2510sin 84T t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[]6,14上单调递增.设花开､花谢的时间分别为12,t t .由120T =，得11π3π1π3π11πsin ,842846t t ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，解得1268.73t =≈时；由231T =，得22π3πππ3π11πsin 0.6sin ,845845t t ⎛⎫+=≈+≈ ⎪⎝⎭，解得11.6t ≈时.故在6时14~时中，观花的最佳时段约为8.7时11.6~时.故选：C二、多选题9．下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的是（）A ．1y x=B ．2y x =-C ．12log y x =D ．cos y x=【正确答案】BC【分析】利用奇偶性和单调性的知识逐一判断即可.【详解】1y x=是奇函数，不满足题意；2y x =-是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递减，满足题意；12log y x =是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递减，满足题意；cos y x =是偶函数，但在区间()0,+∞上不单调递减，不满足题意；故选：BC10．下列结论正确的是（）A ．第二象限角一定是钝角B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π2C ．在ABC 中，()tan tan A B C+=-D ．函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象是由sin 2y x =的图象向左平移π3个单位长度而得到的【正确答案】BC【分析】利用特例法判断A ；求出扇形的面积判断B ；利用诱导公式判断C ；利用平移变换法则判断D.【详解】对于A.，4π3-是第二象限角，但不是钝角，错误；对于B ，由圆心角为π3的扇形的弧长为π，可得圆的半径为π3π3=，则该扇形面积为13ππ322⨯⨯=，正确；对于C ，在ABC 中，()()tan tan πtan A B C C +=-=-，正确；对于D ，sin 2y x =的图象向左平移π3个单位长度而得到函数π2πsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，错误，故选：BC.11．下列命题是真命题的是（）A ．若幂函数()a f x x =过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则12α=-B ．(0,1)x ∃∈，121log 2xx⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．(0,)x ∀∈+∞，1123log log x x>D ．命题“x ∃∈R ，sin cos 1x x +<”的否定是“x ∀∈R ，sin cos 1x x +≥”【正确答案】BD根据幂函数的定义判断A ，结合图象判断BC ，根据特称命题的否定为全称命题可判断D .【详解】解：对于A ：若幂函数()af x x =过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则142a骣琪=琪桫解得2α=-，故A 错误；对于B ：在同一平面直角坐标系上画出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =两函数图象，如图所示由图可知(0,1)x ∃∈，121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：在同一平面直角坐标系上画出13log y x =与12log y x =两函数图象，如图所示由图可知，当(0,1)x ∈时，1123log log x x >，当1x =时，1123log log x x=，当(1,)x ∈+∞时，1123log log x x<，故C 错误；对于D ：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“x ∃∈R ，sin cos 1x x +<”的否定是“x ∀∈R ，sin cos 1x x +≥”，故D 正确；故选：BD本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.12．已知函数()2sin 3cos f x x x x =+，下列结论中正确的有（）A ．函数()f x 的最小正周期为π，且图象关于3x π=对称B ．函数()f x 的对称中心是(),0Z 122k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的图象可以由()1cos 22g x x =+的图象向右平移3π个单位得到【正确答案】AD【分析】首先利用倍角公式与辅助角公式化简21()sin 3sin cos sin 262f x x x x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，进一步利用正弦型函数的周期公式以及对称性判断AB ；利用单调性判断C ；利用三角函数图象的变换规则判断D ．【详解】函数21cos 23sin 21()sin 3cos sin 22262xxf x x x x x π-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期为2,2ππ=2113()sin 1336222f πππ⎛⎫=-+=+=⎪⎝⎭，图象关于3x π=对称，故A 正确；令26x k ππ-=，即,Z 122k x k ππ=+∈，函数()f x 的对称中心是()1,Z 1222k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故B 错误；5[,]1212x ππ∈时，220,63x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，显然1sin 2y x =+在20,3π⎡⎤⎢⎣⎦上不单调，故C 错误；1()cos 22g x x =+的图象向右平移3π个单位得到()2111()cos 2cos 2sin 233262262g x x x x f xπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+=-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：AD.三、填空题13．31log 22539lg2lg 22+++=___________.【正确答案】6由幂的运算法则和对数运算法则计算．【详解】原式＝5523lg lg 45lg 451622⎛⎫+++=+⨯=+= ⎪⎝⎭．故6．14．已知()()22sin ,sin 35αβαβ+=-=，则tan tan αβ的值为_________．【正确答案】4【分析】由两角和与差的正弦公式展开，联立方程组，求得82sin cos ,cos sin 1515αβαβ==，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由题意，可得()2sin sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，()2sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=，联立方程组，可得82sin cos ,cos sin 1515αβαβ==，又由8sin cos 1542cos sin ta ta 1n n 5αβαβαβ===.故答案为.415．已知22log log 16sin cos 1212a b ππ+=，则a b +的最小值为________.【正确答案】8由已知结合对数的运算性质及二倍角的正弦公式进行化简可求ab 的值，然后利用基本不等式即可求解．【详解】因为22log log 16sin cos8sin412126a b πππ+=⋅==，所以2log 4ab =，故16ab =，则8a b +=，当且仅当4a b ==时取等号，a b +的最小值8．故8．16．已知函数()()22log 1f x x ax a =+--，下列说法中错误的序号是__________．①()f x 一定有最小值．②当0a =时，()f x 的定义域为(][),11,-∞-+∞ ③当0a =时，()f x 的值域为R④若()f x 在区间[)2,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4a a ≥-【正确答案】①②④【分析】求出函数的值域为R ，可知①错误；求出函数定义域可知②错误；求出函数的值域为R ，可知③正确；当4a =-时，()()22log 43f x x x =-+在2x =处无定义，可知④错误．【详解】对于①，当0a =时，()()22log 1f x x =-，此时()(),11,x ∈-∞-+∞ ，()210,x -∈+∞，此时()()22log 1f x x =-值域为R ，故①错误；对于②，当0a =时，解不等式210x ->得()(),11,x ∈-∞-+∞ ，故②错误；对于③，由①知，③正确；对于④，若()f x 在区间[)2,∞+上单调递增，此时21y x ax a =+--对称轴22ax =-≤，解得4a ≥-．但当4a =-时，()()22log 43f x x x =-+在2x =处无定义，故④错误．故①②④.四、解答题17．已知函数()log (1)(0a f x x a =+>且1)a ≠，且(1)1f =．(1)求a 值及函数()f x 的定义域；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在区间[0,3]上有解，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)2，(1,)-+∞(2)[0,2]【分析】（1）根据(1)1f =代入即可求出参数a 的值，再根据对数函数的真数大于零得到不等式，解得即可；（2）依题意函数()y f x =与y m =在区间[0,3]上有公共点，根据对数函数的单调性求出()f x 在[]0,3上的值域，即可求出参数m 的取值范围；【详解】（1）解：因为()log (1)(0a f x x a =+>且1)a ≠，且(1)1f =，所以(1)log 21a f ==2a ∴=，所以2()log (1)f x x =+，令10x +>，解得1x >-，所以()f x 的定义域为(1,)-+∞（2）解：方程()0f x m -=在区间[0,3]上有解，所以函数()y f x =与y m =在区间[0,3]上有公共点，因为2()log (1)f x x =+在区间[0,3]上单调递增，所以当0x =时，()f x 取最小值0，当3x =时，()f x 取最大值2，所以函数()f x 的值域为[0,2]，所以实数m 的取值范围为[0,2]时，函数()y f x =与y m =在区间[0,3]上有公共点，综上：实数m 的取值范围为[0,2]18．已知函数()()()π3πcos cos 22sin πcos 2πx x f x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--.(1)求7π4f ⎛⎫⎪⎝⎭值；(2)若()2f x =-，求()2sin sin cos 1sin x x x x++的值.【正确答案】(1)1；(2)23.【分析】（1）用诱导公式和同角三角函数基本关系化简()f x ，将7π4代入计算；（2）由条件得tan x 的值，将代数式化简成由tan x 表示，代入计算即可.【详解】（1）sin sin ()tan sin cos x xf x x x x-⋅==-⋅，所以7π7πππ()tan tan(tan 14444f =-=--==.（2）()tan 2f x x =-=-，所以tan 2x =，222222sin (sin cos )sin sin cos tan tan 21sin 2sin cos 2tan 13x x x x x x x x x x x x +++===+++.19．如图，角θ的顶点与平面直角坐标系xOy 的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ，且θ为第二象限角，若点P 的坐标为04,5y ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求tan sin 2θθ-的值；(2)若将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转40︒，得到角α，设tan m α=，求()tan 85θ︒+的值.【正确答案】(1)21100(2)11m m+-【分析】（1）由三角函数定义求得cos θ，再由同角间三角函数关系求得sin θ，tan θ，用二倍角公式得sin 2θ后可得结论；（2）由角的关系得8545θα︒︒+=+，利用两角和的正切公式可求得()tan 85θ︒+．【详解】（1）终边与单位圆交于点P ，且θ为第二象限角，点P 的坐标为04,5y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以445cos 15θ-==-，则3sin 5θ==，3tan 4θ=-，∴tan sin 2tan 2sin cos θθθθθ-=-334324212455425100⎛⎫=--⨯-=-+ ⎪⎝⎭.（2）由题意知40αθ︒=+，则40θα︒=-则()()tan 85tan 45θα︒︒+=+tan tan 451tan tan 45αα︒︒+=-11m m+=-．20．已知函数()sin (cos )f x x x x =-.（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数()f x 的单调增区间；（2）若,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合.【正确答案】（15,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，代值求3f π⎛⎫⎪⎝⎭，用整体代换法求单调递增区间；（2）求出函数在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，原不等式等价于函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是(),2m m +的子集，列出不等式组化简即可.【详解】解：（1）)21()sin (cos )sin 22sin 1222f x x x x x x =+-+-1sin 2cos 2sin 2223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以sin 2s 3in 333f ππππ⎛⎛⎫= ⎫⎛⎫⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数的单调增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦不等式()2m f x m <<+恒成立所以1112212m m m ⎧<-⎪⇒-<<-⎨⎪<+⎩所以实数m 的取值集合11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.21．为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池板面积x （单位：平方米）之间的函数关系为()4,010520,10 1m xx C x m x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪-⎩（m 为常数）.已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为8万元，安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.(1)求常数m 的值；(2)写出()F x 的解析式；(3)当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【正确答案】(1)60m =；(2)()1207.5,0108000.5,101x x F x x x x -≤≤⎧⎪=⎨+>⎪-⎩；(3)当41x =平方米时，()F x 有最小值为40.5万元.【分析】（1）代入数据计算即可.（2）()()100.5F x C x x =+，代入解析式化简即可.（3）考虑010x ≤≤和10x >两种情况，分别计算最小值，比较得到答案.【详解】（1）()20585m C -==，解得60m =；（2）()()6041207.5,010100.5,0105100.5800800.5,10100.5,1011x x x x x F x C x x x x x x x x -⎧-≤≤⨯+≤≤⎧⎪⎪⎪=+==⎨⎨+>⎪⎪⨯+>-⎩⎪-⎩，（3）当010x ≤≤时，()1207.5F x x =-，()()min 1045F x F ==；当10x >时，()()5800800.50.5100.11F x x x x x +=+-+=--0.540.5≥=，当()18000.51x x =--，即41x =时等号成立.综上所述：当41x =平方米时，()F x 有最小值为40.5万元.22．已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围；（3）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a .【正确答案】（1）()20,log 3；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）()253,21,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩.【分析】（1）当2a =时，可得出()()()44232123x x x xf x =-⋅+=--，解出2x 的取值范围，进而可求得原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为221x a <+，求得当0x <时，()211,2x+∈，根据题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；（3）当[]1,2x ∈时，令[]22,4x t =∈，()221g t t at a =-++，则问题可等价转化为函数()g t 在[]2,4t ∈上的最小值，然后对实数a 的取值分类讨论，分析出函数()g t 在[]2,4t ∈上的单调性，由此可得出()h a 关于a 的表达式.【详解】（1）当2a =时，可得()()()44232123x x x xf x =-⋅+=--，由()0f x <，得()()21230x x--<，可得123x <<，解得20log 3x <<，因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；（2）因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x xa --+<，0x <Q ，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，当0x <时，()211,2x+∈，21a ∴≤，解得12a ≤.因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）当[]1,2x ∈时，令[]22,4x t =∈，则()221f x t at a =-++，令()221g t t at a =-++，则二次函数()g t 的图象开口向上，该函数的对称轴为t a =.当2a ≤时，()g t 在[]2,4上单调递增，()()min 253g t g a ==-；当24a <<时，()g t 在[]2,a 上单调递减，()g t 在[],4a 上单调递增，()()2min 1g t g a a a ==-++；当4a ≥时，()g t 在[]2,4上单调递减，则()()min 4177g t g a ==-.综上可得.()253,21,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.。

长春实验学校2022—2023学年度上学期 高一年级期末考试 数学学科试卷考试时间： 90分钟 满分： 120 分 审题人：高一数学组一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1． 若集合，则A∩B ＝（ ） A ． B ． C ． D ．2． 已知则（ ）A ．B ．C ．D ．3． “6πα=”是“21sin =α”的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件4． 函数62)(1-+=-x x f x 的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ． 5． 已知a >0，b >0，若111=+ba ，则b a +4的最小值为（ ） A ． 10 B ． 9 C ． 8 D ． 7 6．若sin α2＝ 33，则cos α等于( )A ．－23B ．－13 C. 13 D. 237． 函数的单调递增区间为（ ）A ．B ．C ．D ． 8． 已知函数24,0,()(0,1)log (1)1,0a x a x f x a a x x ⎧+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x的方程{{2}A xy B x x ===<∣∣{}12x x ≤<{}1x x ≥{}2x x <{}12x x <<,a b c >>ab ac >22a b >a b b c ->-a b a c +>+(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)()cos 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22,6323k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (),6323k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (),6363k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()22,6363k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A ． 10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 119,4216⎧⎫⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭D ． 119,4216⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦ 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则（ ） A ．a = 3B ．b = 0C ．函数()f x 的定义域为2233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．函数()f x 的最小值为110. 下列说法正确的是（ ）A. 若α的终边上的一点坐标为（8,15），则B. 若α是第一象限角，则2α是第一或第三象限角 C. 对，D. 若，，则11. 下列命题中正确的是( )A. 命题：的否定是B. 若，则C. 函数()()1011≠>+=-a a a x f x 恒过定点()2,1D. 若关于x 的不等式2680kx kx k -++≥恒成立，则k 的取值范围为01k <≤12. 关于函数有如下命题，其中正确的有( )A. 的表达式可改写为B. 当 时， 取得最小值C. 的图象关于直线对称D ． 的图象关于点对称三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）8cos 17α=π,π2α⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭cos α=1sin cos 5αα+=0πα<<tan 0α<20,0x x ∀≥≥“”20,0x x ∃<<“”0.340.511log 7,log ,()32a b c ===b a c >>()4sin(2)()3f x x x R π=+∈()y f x =()4cos(2)()6f x x x R π=-∈5()12x k k Z ππ=-∈()y f x =()y f x =3x π=()y f x =(,0)6π-13．已知关于的不等式的解集是{x |−1<x <2}，则______． 14．已知某扇形的弧长为23π，圆心角为2π，则该扇形的面积为_______． 15．已知41)3sin(=-x π，且20π<<x ，则=+)6sin(x π______．16．已知都为锐角,,135)cos(,53sin =+=βαα 则的值为_______. 四、解答题（本题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤） 17．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A ，且点A 的纵坐标为 .54（1）求αααtan ,cos ,sin 的值；（2）先化简再求值：)sin()4cos()2sin()sin(απαπαπαπ--+-++18．（本小题满分10分）2022年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本500万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且f (x )={10x 2+200x ， 0<x ≤60801x +10000x−9700， x >60已知每辆车的售价为8万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （利润=销售额-成本）（2）当2022年产量为多少时，企业所获利润最大？并求出最大利润．19．（本小题满分10分） 已知定义域为R 的函数()221x f x a =-+是奇函数. （1）求函数的解析式；x 210ax bx ++>2a b +=,αβcos βx ()f x ()L x x ()f x（2）判断函数的单调性，并用定义证明；20．（本小题满分10分）已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=2,0),62sin(2)(ππx x x f（1）求函数)(x f 的周期和值域；（2）设),0()(>+=a x a x x g 若对任意的()+∞∈,01x 及任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,02πx ，都有不等式)()(21x f x g ≥恒成立，求实数a 的取值范围．()f x长春实验学校2022—2023学年度上学期高一年级期末考试数学学科答案一、单选题13.12； 14.94π ；15. √154； 16.5665.四、解答题17.【解析】（1）由题知：4sin5α=............................................................. .......................1分因为sin2α+cos2α＝1，所以3cos5α=± (2)分又因为α为第二象限角，所以3cos5α=-..............................3分所以，sin4tancos3ααα==-...........................................5分（2）原式＝−sinα+cosα+cos αsin α=−sinα+2cosαsin α..................7分=−45+2×（−35）45.......................................9分=−52...............................................10分（方法不唯一）18.【解析】（1）当0<x ≤60时()22()8001020050010600500L x x x x x x =-+-=-+-；当60x >时，1000010000()80080197005009200L x x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭． .................. 2分 所以L (x ){−10x 2+600x −500，0<x ≤60，−x −10000x+9200，x >60，............ 4分（2）若0<x ≤60，L (x )=−10(x −30)2+8500，当30x =时，max ()8500L x =万元． ............. 6分 当60x >时，L (x )=−(x +10000x)+9200≤9200−2√10000=9000......................... 8分 当且仅当10000x x=，即100x =时，max ()9000L x =万元........... 9分 所以2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润是9000元． .................... 10分 19.【解析】（1）因为函数()221xf x a =-+是R 上的奇函数，则()00f =， 解得1a =， ..............2分()2121x f x ∴=-+， .......................3分 经验证，满足()()2222111211221x x x xf x f x -⋅⎛⎫-=-=-=--=- ⎪+++⎝⎭， 所以1a =，()2121x f x ∴=-+ ...............4分 （2）()f x 在R 上单调递增， ..........5分证明:()()()()()12211212*********,,,21212121x x x x x x x x R x x f x f x -∀∈<-=-=++++.......7分函数2x y =在R 上单调递增，又12x x <，则1222x x <，得()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ........................9分 ()f x ∴在R 上单调递增. ............10分20.【解析】 （1）T =2π2=π，所以函数的周期为π ..................1分因为x ∈[0,π2]，所以2x ∈[0,π]，2x −π6∈[−π6,5π6].所以sin(2x −π6)∈[−12，1].2sin(2x −π6)∈[−1，2]. ..............3分 函数的值域为[−1，2] ..................4分（2）因为对任意的及任意的x 2∈[0，π2]，都有不等式恒成立.所以g （x 1）min ≥f （x 2）max .....................5分 由（1）可知f （x 2）max =2因为g (x )=x +ax ≥2√a ，所以g （x 1）min =2√a当且仅当x =ax ，即x =√a 等号成立，..................7分 所以2√a ≥2所以a ≥1..........................................9分 实数的取值范围[1，+∞）...............10分()f x ()f x 1(0)x ∈+∞，12() ()g x f x ≥a。

2023-2024学年吉林省长春市高一上册期末数学试题一、单选题1．设集合{}41A x x =-<<-，{}2B x x =≤-，则()A B =R ð（）A ．{}42x x -<≤-B ．{}21x x -≤<-C ．{}21x x -<<-D ．{}1x x <-【正确答案】C【分析】先求出B 的补集，再由交集定义计算．【详解】由题可得{}2R B x x =>-ð，所以(){}21R A B x x ⋂=-<<-ð，故选：C.2．已知扇形的圆心角为3弧度，弧长为6cm ，则扇形的面积为（）2cm .A ．2B ．3C ．6D ．12【正确答案】C【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果.【详解】因为扇形的圆心角为3弧度，弧长为6cm ，所以其所在圆的半径为623r ==，因此该扇形的面积是1162622S lr ==⨯⨯=2cm .故选：C3．函数2()log (1)f x x x =+-的零点所在的区间为（）A ．1(,1)2B ．53(,)42C ．3(,2)2D ．5(2,)2【正确答案】B【分析】求出()f x 的定义域为()1,+∞，然后把区间端点代入，根据函数零点存在定理进行判断．【详解】()f x 的定义域为()1,+∞，255153(log 2044444f =+=-=-<，233131log 1022222f ⎛⎫=+=-=> ⎪⎝⎭，(2)20f =>，2553(log 0222f =+>，因为53()042f f⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，由函数零点存在定理得：零点所在的区间为53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：B ．4．下面四个条件中，使b a <成立的必要不充分条件是（）A ．21a b c ->B ．21a b c +>C ．a b >D ．33a b >【正确答案】B【分析】根据不等式的性质和必要不充分条件的定义判断．【详解】A ，21a b c ->，即21a b c ->，能推出b a <，但反之不成立，所以21a b c ->是b a <充分不必要条件，A 不选；B ，21a b c +>，即21a b c->-推不出0a b ->，即b a <，反之b a <，即0a b ->可得21a b c ->-，所以21a b c+>是b a <成立的必要不充分条件，B 可选.C ，a b >推不出b a <，反之也不成立，所以a b >是b a <即不充分也不必要条件，C 不选.D ，33a b >可得b a <，反之也成立，所以33a b >是b a <成立的充分必要条件，D 不选.故选：B ．5．若()232ln ln ,2ln ln2,ln2a b c e π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a b c<<【正确答案】D【分析】根据对数的运算性质以及指数函数和对数函数的单调性即可判断．【详解】因为()132ln ln2ln ln ,2ln ln2,2ln23ea b c ππ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而函数()2ln f x x =在定义域()0,∞+上递增，10ln ln 2123eπ<<<<，所以a b c <<．故选：D ．6．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．【正确答案】D本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7．已知1cos 3α=，()cos βα-=，且0βαπ<<<，则cos β=A ．9-B ．3-C D ．9【正确答案】D【分析】利用同角三角函数之间的关系求出()33sin sin αβα=-=-，再利用()cos cos ββαα=-+⎡⎤⎣⎦求解即可.【详解】 1cos 3α=，()cos βα-=，且0βαπ<<<，0πβα∴-<-<，(),3sin sin αβα∴==-==()cos cos ββαα⎡⎤∴=-+⎣⎦()()cos cos sin sin βααβαα=---133⎛=⨯= ⎝⎭D.三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．8．已知()()()cos (0π,0)f x x x ωϕωϕϕω=+-+<<>对任意实数x 都有ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．且函数()f x 的图象向左平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值等于（）AB ．C ．1D ．1-【正确答案】D【分析】利用辅助角公式化简()f x ，根据已知条件可得()f x 的周期为π，进而可得2ω=，由图象平移变换可得平移后的解析式π2sin 26y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由()ππZ 6k k ϕ+=∈结合ϕ的范围求得ϕ的值可得()f x 的解析式，将π4x =代入即可求解.【详解】()()()πcos 2sin 6f x x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭，因为ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()πf x f x =+，可得()f x 的周期为π，则2ππω=，2ω=，所以()π2sin 26f x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位后得到πππ2sin 22sin 2666y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为关于原点对称，所以()ππZ 6k k ϕ+=∈，()ππZ 6k k ϕ=-+∈，因为0πϕ<<，所以1k =，5π6ϕ=，()5ππ2π2sin 22sin 2663f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π7π12sin 22sin2144362f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：D.二、多选题9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则下列结论正确的是（）A ．()00f =B ．若()f x 在[)0,∞+上有最小值－1，则()f x 在(],0-∞上有最大值1C ．若x ＞0时，()22f x x x =-，则x ＜0时，()22f x x x=--D ．若()f x 在[)1,+∞上为增函数，则()f x 在(],1-∞-上为减函数【正确答案】AB【分析】根据函数的性质逐项分析.【详解】对于A ，()()()()000,00f f f f =--=-∴=，正确；对于B ，由于()f x 是在R 上的奇函数，若0x ≥则0x -≤，由()()f x f x -=-且()1f x ≥-，所以()1f x -≤，即(],0-∞上最大值为1，正确；对于C ，当0x <时，()()()()2222f x f x x x x x =--=---=+，错误；对于D ，根据函数图像关于原点对称，当()f x 在[)1,+∞上是增函数，则在(],1-∞-也是增函数，错误；故选：AB.10．关于函数()ln 2f x x =-，下列描述不正确的有（）A ．函数()f x 在区间()1,2上单调递增B ．函数()y f x =的图像关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但()()12f x f x =，则122x x +=D ．函数()f x 有且仅有一个零点【正确答案】CD【分析】通过函数图像的变化，得出()ln 2f x x =-的草图，即可对选项一一判断.【详解】函数()ln 2f x x =-由函数ln y x =变化得，先将x 轴下方的图像翻折到上方可得函数ln y x =的图像，再将y 轴右侧图像翻折到左侧，右侧不变，可得函数ln ln y x x ==-的图像，再将函数图像向右平移2个单位，可得函数()ln 2ln 2y x x =--=-的图像，则函数()ln 2f x x =-的图像如图所示，由图像可得函数()f x 在区间()1,2上单调递增，故选项A 正确；由图像可得函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，故选项B 正确；若12x x ≠，但()()12f x f x =，若1x 、2x 关于直线2x =对称，则124x x +=，故选项C 错误；由图像得函数()f x 有两个零点，故选项D 错误；综上所述：选项CD 不正确，故选：CD.11．已知函数242,0,()21,0,x x x x f x x ⎧-+≥=⎨+<⎩则（）A ．R x ∀∈，()2f x ≥-B ．直线910y =与()f x 的图像有2个交点C ．R x ∃∈，()()=f x f x -D ．函数()()sin g x f x x =-只有1个零点【正确答案】ABC【分析】绘制函数()f x 的图像，根据()f x 的性质逐项分析.【详解】函数()f x 的图像如上图，其中21x y =+的渐近线是1y =，21x y =+()0x <的值域是()1,2，242y x x =-+的对称轴是2x =，定点坐标是()2,2-，对于A ，由以上分析可知正确；对于B ，92110-<< ，910y ∴=与()f x 由2个交点，正确；对于C ，x ∃使得()()=f x f x -的几何意义是函数()f x 上是否存在两点关于y 轴对称，构造函数()21xg x -=+()0x >，则()g x 与()210xy x =+<关于y 轴对称，所以以上问题就等价于()g x 与242y x x =-+在0x >时是否存在交点，构造函数()()2242221x F x g x x x x x =-+-=-+-，则有()()22521312224210,525251160432F F --=-+⨯-=>=-+⨯-=-+<，所以存在[]02,5x ∈时，存在()00F x =，正确；对于D ，()02sin 020g =-=>，()222422sin 22sin 20g =-⨯+-=--<，所以在[]0,2x ∈时存在零点；又()244442sin 42sin 40g =-⨯+-=->，所以在[]2,4x ∈时存在零点，错误；故选：ABC.12．函数2()12sin cos f x x x x ωωω=--的最小正周期为π，下列结论正确是（）A ．函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．若()()124f x f x -=，则12x x -的最小值为πC ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位长度后，其图像关于y 轴对称D ．函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减【正确答案】AD【分析】先求出()f x 的解析式，再根据解析式逐项分析.【详解】()212sin cos cos 222cos 23f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=--=-=+ ⎝⎭，由于最小正周期是π，()22,1,2cos 23f x x T ππωω⎛⎫∴===+ ⎪⎝⎭，对于A ，将12x π=代入()f x 的解析式得：2cos 22cos 0121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭是对称点，正确；对于B ，()()124f x f x -=，表示最大值与最小值之差，所以12x x -的最小值是12个周期，即2π，错误；对于C ，()f x 向右平移3π得：()2cos 22cos 23333g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，不是偶函数，其图像不关于y 轴对称，错误；对于D ，当63x ππ-≤≤时，023x ππ≤+≤，所以()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，正确；故选：AD.三、填空题13．已知角π6α-的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(，则πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________．【分析】根据三角函数的定义和正弦二倍角公式即可求解．【详解】角π6α-的终边经过点(，所以sin 2π6α⎛⎫= ⎪⎭-⎝1cos 2π6α⎛⎫= ⎪⎭-⎝，所以ππππsin 2sin 22266sin c s 36o αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故214．若函数214,0()21,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩则((3))f f -=__________.【正确答案】13【分析】利用分段函数的性质，先算()3f -，再算((3))f f -即可.【详解】因为31(3)48442f -⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭，所以2((3))(4)44113f f f -==-+=.故答案为.1315．若函数()()213log 45f x x x =-++，则()f x 的单调递增区间为________．【正确答案】()25，##[2,5)【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性规则来求()f x 的单调递增区间即可.【详解】由已知2450x x -++>，得15x -<<，即()f x 的定义域为()1,5-，求()f x 的单调递增区间，即求函数245y x x =-++在()1,5-上的单调减区间，由二次函数的性质可得函数245y x x =-++在()1,5-上的单调减区间为()2,5.故答案为.()25，16．若函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，02πϕ<<)的部分图像如图所示，则函数()f x 在[π-，0]上的单调增区间为_______．【正确答案】(3,0)-(区间开闭皆可)【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间．【详解】由图象，知A ＝2，T ＝4[5(1)]3--＝8，所以，2πω＝8，4πω=，函数过点（5，－2），所以，2sin(5)24πϕ⨯+=-，即5sin()14πϕ+=-因为02πϕ<<，所以，5342ππϕ+=，得：4πϕ=，函数为：()2sin()44f x x ππ=+，由：222442k x k ππππππ-+≤+≤+，得：3818k x k -+≤≤+，令k ＝0，得函数()f x 在[π-，0]上的单调增区间为()3,0-故答案为()3,0-(区间开闭皆可)函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质(1)max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2π.T ω=(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴(4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.四、解答题17．已知2απ<<π，4sin 5α=.（1）求sin cos 2sin cos αααα+-的值；（2）求cos 2sin 2παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】（1）111；（2）2225.（1）先计算得到4tan 3α=-，再根据齐次式计算得到答案.（2）化简得到2cos 2sin 12sin cos 2παααα⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭，代入数据计算得到答案.【详解】（1）2απ<<π，且4sin 5α=，∴3cos 5α=-，∴4tan 3α=-.1sin cos tan 11382sin cos 2tan 11113αααααα-++===----（2）2cos 2sin 12sin cos 2παααα⎛⎫++=-+ ⎪⎝⎭163221225525=-⨯-=-.本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力.18．已知函数2()(1)1(,)R f x a x bx a b =++-∈．(1)当a ＝b ＝－3时，求函数()f x 的零点；(2)对任意b ＜－1，函数()f x 恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)1211,2x x =-=-(2)5,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】对()f x 作因式分解求出零点；恒有2个零点意味着0∆>，据此求出a 的范围.【详解】（1）依题意()()()2231121f x x x x x =---=-++，所以零点为1211,2x x =-=-；（2）由题意()22410,14b b a a ∆=++>∴>--，251,144b b <-∴--<- ，即54a ≥-；综上，（1）零点为121,2x x =-=-，（2）5,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.19．已知()()()()3πsin 2πtan πsin 2πsin tan 3π2f αααααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=.(1)若()0,2πα∈，且()12f α=-，求α的值.(2)若()3π125f f αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，且π3π,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，求tan α的值.【正确答案】(1)7π6α=或11π6α=；(2)43-.【分析】（1）利用诱导公式结合sin tan cos ααα=化简()f α，再解方程结合()0,2πα∈即可求解；（2）结合（1）中()f α将已知条件化简可得1sin cos 5αα+=，再由同角三角函数基本关系即可求解.【详解】（1）()()()()()()sin tan cos cos 3πsin 2πtan πsin 2πsin tan 3π2tan f ααααααααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝-⋅-=-⋅⎭=-sin sin cos cos sin cos cos ααααααα⋅⋅=⋅2sin sin sin ααα==.所以()1sin 2f αα==-，因为()0,2πα∈，则7π6α=，或11π6α=.（2）由（1）知：()sin f αα=，所以()3π3π1sin sin sin cos 225f f αααααα⎛⎫⎛⎫-+==-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin cos 5αα+=，所以1sin cos 5αα=-，所以221cos cos 15αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即()()5cos 410cos 60αα-+=，可得4cos 5α=或3cos 5α=-.因为π3π,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则3cos 5α=-，所以1sin cos 5αα=-134555⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.所以sin 454tan cos 533ααα⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭，故4tan 3α=-.20．已知函数()22cos cos sin 1f x x x x x ωωωω=⋅+--0ω<x R ∈，且函数()f x 的最小正周期为π．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围．【正确答案】(1),36x k x k k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z (2)[]3,0-【分析】（1）根据恒等变换和二倍角公式对函数()f x 化简，可得()2sin 216f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据函数的周期公式，即可求出ω的值，令222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，即可求出函数()f x 的单调递增区间；（2）因为5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得22,636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的性质可得1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由此即可求出结果.【详解】（1）（1）()22cos cos sin 12cos 21f x x x x x x x ωωωωωω=⋅+--=+-所以()2sin 216f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为函数()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，即1ω=；所以()2sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，所以,36k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间,36x k x k k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（2）解:因为5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎢⎝⎭⎣⎦所以[]2sin 213,06x π⎛⎫+-∈- ⎪⎝⎭，即()f x 的取值范围[]3,0-.21．已知奇函数()1ln1ax f x x +＝－．(1)求实数a 的值；(2)判断函数f (x )在()1,+∞上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；(3)当x [2，5]，时，ln(1+x )＞m ＋ln(x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)a＝1;(2)f(x)在(1，＋∞)上为减函数;(3)3ln2 m<【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义，推出结果即可；（2）利用函数的单调性的定义证明即可；（3）推出m的表达式，利用函数的单调性求解函数的最值，推出结果即可．【详解】解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ln＝－ln．∴＝，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1，经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1．(2)f(x)＝ln，f(x)在(1，＋∞)上为减函数．下面证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝ln－ln＝ln(·)＝ln∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，＞1，∴f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)为(1，＋∞)上的减函数．(3)由已知得m＜ln(1＋x)－ln(x－1)，即m＜ln．由(2)知f(x)＝ln在[2，5]上为减函数．则当x＝5时，(ln)min＝3 ln 2于是3ln2m<．.本题考查函数恒成立函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2022-2023学年吉林省长春市实验中学高一上学期期末数学试题一、单选题 1．5cos 3π=A B ．12C ．12-D ．【答案】B【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可. 【详解】由诱导公式可得51coscos 2cos cos 33332πππππ=-=-==，故选B. 【点睛】本题主要考查诱导公式以及特殊角的三角函数，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.2．终边与坐标轴重合的所有角的集合是（ ）A ．{}π,Z k k αα=∈B ．π,Z 2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭C ．{}2π,Z k k αα=∈D ．π,Z 4k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】分别写出终边在x 、y 轴上的角，再应用集合写出终边与坐标轴重合的所有角. 【详解】终边与x 轴重合的角为πk 且Z k ∈，即π2n 且n 为偶数， 终边与y 轴重合的角为ππ2k +且Z k ∈，即π2n 且n 为奇数， 所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是π,Z 2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭.故选：B3．化简()()cos cos sin sin αββαββ-+-=（ ） A ．cos β B ．cos αC ．()cos 2αβ-D ．()cos 2αβ-【答案】D【分析】根据两角差的余弦公式可求出结果.【详解】()()cos cos sin sin αββαββ-+-=()()()cos cos 2αββαβ--=-. 故选：D4．在ABC 中，1sin 2A <是06A π<<的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】通过三角函数性质结合充分条件与必要条件的推导即可得出答案. 【详解】在ABC 中，1sin 2A <， 则06A π<<或56A ππ<<， 故1sin 2A <推不出06A π<<，06A π<<可推出1sin 2A <，则在ABC 中，1sin 2A <是06A π<<的必要不充分条件，故选：B.5．点P 从点()1,0-出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转π6到达点Q ，则点Q 的坐标是（ ）A ．12⎛- ⎝⎭B ．1,2⎛ ⎝⎭C ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．21⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意得OQ 为终边的一个角为5π6， 设(,)Q x y ，根据三角函数的定义可求出结果. 【详解】根据题意得OQ 为终边的一个角为5π6， 设(,)Q x y ，根据三角函数的定义可得πsin 6y 5=，5πcos 6x =，则12y =，x =，所以1()2Q . 故选：C6． 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）A ． 38680千米B ． 39375千米C ． 41200千米D ． 42192千米【答案】B【分析】由题意可将赛伊尼和亚历山大城之间的距离看作圆心角为7.2的扇形的弧长，由此可计算地球半径，进而求得地球周长.【详解】由题意可知，赛伊尼和亚历山大城之间的距离可看作圆心角为7.2的扇形的弧长， 设地球半径为r ，则7.25000157.5π180r ⨯=⋅， ∴地球周长为1802π25000157.5393750007.2r =⨯⨯⨯=（米）=39375（千米）， 故选：B.7．已知函数()2log 2f x ax =-的图象关于直线x =2对称，则函数f （x ）图象的大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数图象的变换和()2log 2f x ax =-的图象关于2x =对称得到220a -=，即1a =，然后再根据对数函数的图象和图象的变换判断即可.【详解】因为()2log 2f x ax =-的图象关于2x =对称，所以220a -=，解得1a =，则()2log 2f x x =-，所以()f x 的图象可由函数2log y x =的图象沿y 轴翻折，再向右平移2个单位得到. 故选：A.8．函数()1ln 25ln 2f x x x =+--的零点所在的区间为（ ） A ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．37,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】由函数零点存在性定理判断函数零点所在的区间，将每个选项区间的端点一一代入进行判断，看两个端点的函数值是否异号即可判断. 【详解】∵31(1)ln125ln3ln 2ln 2ln e 2f =+--=-+=-， 又∵32e <，∴3ln 2ln e <，∴(1)0f <，∵555151555()ln 25ln ln ln ln 444242222f =+⨯--=--=-，又∵51e 2<<，∴50ln ln e=12<<，∴55ln 22<，∴5()04f <， ∵333131()ln 25ln ln ln 2ln 32222222f =+⨯--=--=-，又∵2e 3>，∴2lne ln 3>，即：ln32<，∴3()02f <，∵327771713737()ln 25ln ln ln ln ln ln e 4442422222f =+⨯--=--=-=-，又∵274998()248==，35125()28=∴2375()()22<， 又∵5e 2<，∴335()e 2<， ∴237()e 2<，∴327ln ln e 2<，∴7()04f <，∵1(2)ln 245lnln 41ln 4ln e 2f =+--=-=-， 又∵4e >，∴ln 4lne >，∴(2)0f >.∴由零点存在性定理知，()f x 在区间7(,2)4内有零点.故选：D.二、多选题9．若角α是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（ ）A ．α-B ．πα-C ．3π2α-D ．2α【答案】AC【分析】利用不等式表示象限角，根据象限角的定义逐项判断可得答案. 【详解】因为角α是第二象限角，所以π2π2ππ2k k α+<<+，Z k ∈， 对于A ，ππ2π2π2k k α--<-<--，Z k ∈，故α-是第三象限角，故A 正确； 对于B ，π2ππ2π+2k k α-<-<-，Z k ∈，故πα-是第一象限角，故B 不正确； 对于C ，3πππ2π2π22k k α-+<-<-，Z k ∈，故3π2α-是第三象限角，故C 正确；对于D ，π4π24π2πk k α+<<+,Z k ∈,故2α是第三象限角或y 轴负半轴上的角或第四象限角，故D 不正确. 故选：AC10．下列等式成立的是（ ） A ．()cos πcos αα-=- B ．3πsin cos 2αα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C ．πtan tan 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．π2πcos cos 33αα⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABD【分析】根据诱导公式和同角公式逐项判断可得答案.【详解】对于A ，根据诱导公式可知，()cos πcos αα-=-，故A 正确； 对于B ，3πππsin sin πsin cos 222αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，πsin πcos 112tan sin π2sin tan cos cos 2αααααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-==== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，故C 不正确；对于D ，π2πcos cos π33αα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πcos π3α⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πcos 3α⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD11．下列关于函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的描述正确的是（ ）A ．图象关于直线π6x =对称 B ．图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象向右平移π6是奇函数D ．在[]1,0x ∈-上单调递增【答案】BCD【分析】利用正弦函数的性质对A ，B ，C ，D 四个选项逐个判断即可得到答案. 【详解】对于A ，当π6x =时，y =A 错； 对于B ，当π3x =时，0y =，图像关于π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C ，把函数y 的图像向右平移π6个单位得到函数：ππ2sin 263y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin2x =为奇函数，C 对；对于D ，令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，可得函数y 的增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，所以在[]1,0-上是增函数，故D 正确. 故选：BCD12．下列关于函数()124xx f x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的描述正确的是（ ）A ．()f x 是减函数B ．若()f x a ≤恒成立，则1a 4≥C ．若方程()f x k =有两个不相等的根，则104k << D ．[]2,3a ∃∈，()xy a f x =⋅为奇函数【答案】BCD【分析】对于A ，根据(0)(1)f f <可判断A 不正确；对于B ，求出()f x 的最大值，将()f x a ≤恒成立，化为max ()a f x ≥求出a 的范围，可判断B 正确；令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(0,)t ∈+∞，化为20t t k -+=有两个不相等的正根，利用二次函数知识求出k 的范围，可判断C 正确；对于D ，设()()x g x a f x =⋅(24)x x x a --=-，根据()()g x g x -=-恒成立，求出a ，可判断D 正确.【详解】对于A ，因为(0)0f =<111(1)244f =-=， 所以()f x 不是减函数，故A 不正确； 对于B ，因为211()22x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111224x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()10,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以当1122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1x =时，()f x 取得最大值14，若()f x a ≤恒成立，则max 1()4a f x ≥=，故B 正确；对于C ，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(0,)t ∈+∞，若方程()f x k =有两个不相等的根，则2t t k -=，即20t t k -+=有两个不相等的正根，设为12,t t ，则1212Δ14010k t t t t k =->⎧⎪+=⎨⎪=>⎩，解得104k <<，故C 正确；对于D ，设()()x g x a f x =⋅(24)x x x a --=-，()(24)x x x g x a --=-，若()g x 为奇函数，则()()g x g x -=-，即(24)x x x a ---(24)x x x a -=--恒成立， 所以()2114224x x xx x a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭恒成立，所以()()()224420x x x x xa -⋅-=恒成立，所以()()2240x xxa -⋅=恒成立，所以()28xx a =恒成立，所以28a =，所以在[2,3]内存在22a =，使得()xy a f x =⋅为奇函数，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．()()12f x x x =-的最大值为______． 【答案】24【分析】由根式性质求定义域，应用二次函数性质求出(12)y x x =-最大值，即可得函数最大值. 【详解】由(12)0x x -≥，故102x ≤≤，而211(12)2()48y x x x =-=--+， 所以，当14x =时max 18y =，即函数()f x 的最大值为24. 故答案为：2414．函数()sin y A ωx φ=+（0A >，0ω>，||πϕ<）的图象如下图，则解析式为______．【答案】π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图象求出2A =、πT =，进而求参数ω，应用五点法有π()23y f ==求ϕ，即可得解析式.【详解】由题图知：2A =，πππ43124T =-=，则πT =，而2ππT ω==，故2ω=，所以()()2sin 2y f x x φ==+，又π2π33()2sin 2y f φ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，即2ππ2π32k ϕ+=+且Z k ∈，所以π2π6k ϕ=-，Z k ∈，结合||πϕ<知：π6ϕ=-，故π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．函数()π2sin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象关于2x =对称，则ω的最小值为______．【答案】π12##1π12【分析】代入()ππ2πZ 32k k ω+=+∈化简求解. 【详解】因为函数()2sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像关于2x =对称，所以()ππ2πZ 32k k ω+=+∈， 所以()ππZ 122k k ω=+∈并且0ω>， 所以min π12ω=， 故答案为：π1216．tan70°·-1)等于___________. 【答案】1-【解析】利用同角三角函数关系实现切化弦，再利用辅助角公式以及正弦的降幂扩角公式，整理化简，即可得到代数式的值.【详解】tan70°·-1)=sin 70cos 70︒︒·cos10°sin 201cos 20︒︒⎫-⎪⎭=cos 20cos10sin 20︒︒︒=()cos102sin 2030sin 20sin 20sin 20︒︒︒︒︒︒⋅--==-1.故答案为：1-.【点睛】本题考查利用同角三角函数关系以及辅助角公式、降幂扩角公式化简求值，属综合基础题.四、解答题17．（1）若3log 41x =，求44x x -+的值；（2）已知lg 2a =，lg3b =，试用,a b 表示15log 6． 【答案】（1）103（2）1a bb a +-+ 【分析】（1）根据对数运算性质及对数式化指数式得4x ，代入可得结果； （2）根据换底公式可求出结果.【详解】（1）因为3log 41x =，所以3log 41x =，所以43x =，143x-=，所以44x x -+110333=+=.（2）因为lg 2a =，lg3b =， 所以15log 6lg 6lg 2lg3310lg15lg 2+==⨯lg 2lg 3lg 31lg 21a b b a ++==+--+. 18．已知()0,θπ∈，7sin cos 13θθ+=． (1)求sin 2θ的值； (2)求tan θ． 【答案】(1)120169- (2)125-【分析】（1）把已知等式两边平方，即可得到sin 2θ的值； （2）结合（1）可得sin cos θθ-的值，再联立7sin cos 13θθ+=，即可解得sin θ和cos θ的值，再由商的关系即可求解tan θ．【详解】（1）由7sin cos 13θθ+=，则()227sin cos =1+2sin cos =13θθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得1202sin cos =169θθ-，所以120sin 22sin cos =169θθθ=-； （2）结合（1）有1202sin cos =169θθ-，又()0,θπ∈，则sin 0θ>，cos 0θ<，所以()2289sin cos =12sin cos =169θθθθ--，得17sin cos 13θθ-=， 联立17sin cos 137sin cos 13θθθθ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12sin 135cos 13θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以sin 12tan cos 5θθθ==-． 19．已知π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x =(1)若()f θθ的值； (2)令()()2y f x f x =-⎡⎤⎣⎦，求此函数的最大值． 【答案】(1)5π6θ=(2)14【分析】（1）应用同角三角函数关系及定义域化简()2tan f x x =-，结合函数值及正切函数值确定角的大小即可；（2）令tan (,0)t x =∈-∞，结合二次函数性质求函数的最大值.【详解】（1）1sin 1sin ()2tan cos cos x x f x x x x+-=-+=-，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由()2ta n f θθ=-=tan θ=，又π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故5π6θ=. （2）由（1）知：24tan 2tan x y x -=-，令tan (,0)t x =∈-∞，所以2211424()44t t t y --=-+=+，故，当1tan 4t x ==-时max 14y =.20．已知()()22sin 2sin cos πf x x x x =--．(1)求()f x 的周期及在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间；(2)求()f x 在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域及取最值时的x 的值．【答案】(1)()f x 的周期为π，在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)()f x 在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为[1,2],()f x取得最小值1时，π8x =-，()f x 取得最大值2时，π2x =-.【分析】（1）用恒等变换公式化简()f x ，根据周期公式可得周期，利用正弦函数的单调递减区间可得结果；（2）利用正弦函数的图象求出最值可得值域.【详解】（1）()()22sin 2sin cos πf x x x x =--22sin 2sin cos x x x =+ 1cos 22sin 22x x -=⨯+sin2cos21x x =-+π)14x =-+， 所以()f x 的周期为2ππ2T ==， 由ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+，Z k ∈， 得3π7πππ88k x k +≤≤+，Z k ∈， 所以()f x 的单调递减区间为3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈， 由π0,2⎡⎤⋂⎢⎥⎣⎦3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦3ππ,82⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，Z k ∈， 所以()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2,444x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，sin(2)[4x π-∈-，当ππ242x -=-，即π8x =-时，sin(2)4x π-取得最小值1-，()f x 取得最小值1，当π5π244x -=-，即π2x =-时，sin(2)4x π-2，()f x 取得最大值2，所以()f x 在π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为[1,2]. 21．（1）已知()1sin 2αβ+=，()1sin 3αβ-=，求tan tan αβ的值；（2）钝角α终边过点1,2，0πβ<<，cos β=cos2α和2αβ+的值． 【答案】（1）5；（2）9π4【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式列式，得到5sin cos 12αβ=和1cos sin 12αβ=，再根据同角公式可求出结果；（2）根据已知条件，推出sin α，cos α，sin β，再求出cos2α，sin 2α，cos(2)αβ+和sin(2)αβ+，然后根据角的范围求出2αβ+即可得解.【详解】（1）由()1sin 2αβ+=，得1sin cos cos sin 2αβαβ+=，由()1sin 3αβ-=，得1sin cos cos sin 3αβαβ-=， 两式相加得5sin cos 12αβ=，两式相减得1cos sin 12αβ=， 所以sin tan sin cos cos sin tan cos sin cos αααβαββαββ==5125112==. （2）因为钝角α终边过点1,2，所以cos α==所以sin α==，22143cos 2cos sin 555ααα=-=-=-，所以4sin 22sin cos 2(5ααα===-， 因为0πβ<<，cos 0β=<，所以ππ2β<<，sin β=== 所以cos(2)cos 2cos sin 2sin αβαβαβ+=-34()()510510=-⨯---⨯2=， sin(2)sin 2cos cos2sin αβαβαβ+=+43(()55=-⨯+-= 因为ππ2α<<，ππ2β<<，所以3π23π2αβ<+<，所以9π24αβ+=. 22．已知函数()f x的图象和函数y x =-的图像关于y x =对称．(1)求()f x ；(2)若()()()()1320xg x m f x m x =+⋅+-≤时最小值为1-，求m 值． 【答案】(1)2()3xf x -=(2)3m =或5m =--【分析】（1）由函数互为反函数，写出()f x 解析式；（2）令23[1,)x t -∈+∞=，则()2()()12g x h t t t m m ==++⋅-，应用二次函数性质及其最小值，讨论1,12m +-大小关系列方程求参数即可. 【详解】（1）由题意，()f x与y x =-互为反函数， 所以2()3xf x -=.（2）由（1），()2()1323x x g x m m --=+⋅+-，令23[1,)x t -∈+∞=，则()2()()12g x h t t t m m ==++⋅-，开口向上且对称轴为12m t +=-， 当112m +-≤，即3m ≥-时，()g x 最小值，即(1)11221h m m m =++-=-=-， 所以3m =，满足3m ≥-； 当112m +->，即3m <-时，()g x 最小值，即212(1)()214m m h m +=--+=--，所以5m =--5m =-+；综上，3m =或5m =--。