第5讲 二次根式(解析版)

专题5 二次根式最热考点——阅读材料题（解析版）第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化典例1（2022秋•万柏林区校级月考）阅读材料：材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．×=3，6﹣2＝4―材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如1=，8=＝请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：（1 （均写出一个即可）（2）将下列各式分母有理化：（要求：写出变形过程）思路引领：（1）根据互为有理化因式的定义得出答案即可；（2）①先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可；②先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可．解：（1+―（2）①3=5；②11＝+3．总结提升：本题考查了平方差公式，分母有理化和二次根式的混合运算，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．变式训练1．（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因+11．（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： ．化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：3．（2）请仿照上述方法化简：3．（3）比较1与1的大小．思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；（3）分母有理化后再比较．解：（122互为有理化因式，+22（答案不唯一）；（2=（3∴1＜1．总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．类型二二重根式的化简典例2（2022秋•郸城县期中）请阅读下列材料：a ，b ，使a +b ＝m ，ab ＝n ，即22=m ，a ＞b ）．m ＝7，n ＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即22=7×=2+请根据材料解答下列问题：（1= ．（2．思路引领：（1）利用完全平方公式化简得出答案；（2）利用完全平方公式以及二次根式的性质化简得出答案．解：（1―（2m ＝21，n ＝108，∵9+12＝21，9×12＝108，即22=21×===3．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．变式训练1．（2022秋•例如：3224=6+数化简中的作用．建立模型：只要我们找到两个数a ，b ，使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样22==ma＞b），m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即22=7×=2+模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1（2模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4―AC=BC边的长为多少？（结果化成最简）．思路引领：（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；（2）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；（3）根据勾股定理求出即可．解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，即12+2＝6，1===＝1（2m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，2+2＝13====＝（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，所以，2+BC2=(42所以，BC==2．总结提升：本题考查的是分母有理化，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．类型三整体思想运算典例3（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x―2，求代数式x2+4x﹣5的值；（2）已知x x3+x2+1的值．思路引领：（1）仿照阅读材料解答即可；（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．解：（1）∵x―2，∴x+2=∴（x+2）22，∴x2+4x＝﹣1，∴x2+4x﹣5＝﹣6；，（2）∵x=2∴2x+1=∴（2x+1）22，变形整理得：x2+x＝1，∴x3+x2+1＝x（x2+x）+1＝x+11总结提升：本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．针对训练1．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：问题：已知x=，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小明的做法是：根据x=得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．仿照上述方法解决问题：（1）已知x=―3，求代数式x2+6x﹣8的值；（2）已知x=x3+2x2的值．思路引领：（1）根据x=3求出x+3x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；（2）根据x2x+1=4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案．解：（1）∵x3，∴x+3=两边平方得：（x+3）2＝10，即x2+6x+9＝10，∴x2+6x＝1，∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；（2）∵x=∴2x―1，∴2x +1=两边平方，得（2x +1）2＝5，即4x 2+4x +1＝5，∴4x 2+4x ＝4，即x 2+x ＝1，∴x 3+2x 2＝x 3+x 2+x 2＝x （x 2+x ）+x 2＝x ×1+x 2＝x +x 2＝1．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解此题的关键．类型四 基本不等式求最值典例4（2021春•新泰市期中）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，＝或≥，≤）（1）①当a ＝2，b ＝2②当a ＝3，b ＝3③当a ＝4，b ＝4④当a ＝3，b ＝5（2）观察以上式子，猜想写出关于a b 2与a ＞0，b ＞0）之间的数量关系： 并进行探究证明；（提示：2≥0）（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最小值为 ．思路引领：（1）把各组a 、b 的值分别代入a b 2和（22≥0，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到a b 2≥（3）设长方形的长宽分别为xm ，ym ，则xy ＝1，利用（2）中的结论得到x y2≥2（x +y ）≥4，然后可确定镜框周长的最小值．解：（1）当a ＝2，b ＝2时，a b 2=2=2，则a b 2=②当a ＝3，b ＝3时，，a b2=33，则a b 2③当a ＝4，b ＝4时，a b2=44，则a b 2=④当a ＝3，b ＝5时，a b2=4，则a b 2＞故答案为：＝，＝，＝，＞；（2）a b 2≥2≥0，∴a ﹣b ≥0，∴a +b ≥∴a b 2≥故答案为：a b 2≥（3）设长方形的长为xm ，宽是ym ，则xy ＝1，∵x y2≥∴x +y ≥2，∴2（x +y ）≥4，即镜框周长的最小值为4米．故答案为：4米．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．变式训练1．（2022春•海淀区校级期中）阅读下面材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a ＞0，b ＞0时：2＝a ﹣b ≥0，∴a +b ≥a ＝b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ．（2）若y =x 22x 10x 1（x ＞﹣1），求y 的最小值．（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和10，求四边形ABCD 面积的最小值．思路引领：（1）根据公式计算即可；（2）先配方，化简，运用公式计算即可；（3）设△BOC 的面积为x ，根据△AOB 与AOD ，△BOC 与△COD 为等高的三角形，且△AOB 与△BOC ，△AOD 与△COD 为同底的三角形，得到S △BOC ：S △COD ＝S △AOB ：S △AOD ，求出S △AOD =40x，利用公式求面积的最小值即可．解：（1）当x ＞0时，1x＞0，∴x +1x≥=2，∴x +1x的最小值是2；当x ＜0时，﹣x ＞0，―1x ＞0，∴x +1x =―（﹣x ―1x），∵﹣x ―1x ≥2，∴﹣（﹣x ―1x）≤﹣2，∴x +1x的最大值为﹣2；故答案为：2；﹣2；（2）y =x＝x +1+9x 1，∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y ≥=2×3＝6，∴y 的最小值为6；（3）设△BOC 的面积为x ，∵△AOB 与AOD ，△BOC 与△COD 为等高的三角形，且△AOB 与△BOC ，△AOD 与△COD 为同底的三角形，∴S △BOC ：S △COD ＝S △AOB ：S △AOD ，∴x ：10＝4：S △AOD ，∴S △AOD =40x，∴四边形ABCD 的面积＝4+10+x +40x≥＝14+2×＝当且仅当x =40x，即x ＝∴四边形ABCD 面积的最小值为总结提升：本题考查了配方法的应用，列出四边形ABCD 面积的表达式解题的关键．类型五 a =的化简典例5 （2022秋•仁寿县校级月考）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．化简：2﹣|1﹣x |．解：隐含条件1﹣3x ≥0，解得x ≤13，∴1﹣x ＞0，∴原式＝（1﹣3x ）﹣（1﹣x ）＝1﹣3x ﹣1+x ＝﹣2x．（12；（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简（3）已知a、b a+3a―b+1，求ab的值．思路引领：（1）根据二次根式有意义条件得出2﹣x≥0，求出x≤2，再根据二次根式的性质进行计算即可；（2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案；（3）直接利用二次根式性质进而分析得出a，b的值，进而得出答案．解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，―2＝3﹣x﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a﹣b＜c，a+c＞b，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c；（3=a+3，若a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，故a＜2，∴2﹣a＝a+3，∴a=―1 2，=a﹣b+1，∴a﹣b+1＝1或0，∴b=―12或12，∴ab＝±1 4．总结提升：本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．变式训练1．（2022秋•唐河县月考）阅读下列解题过程：2，求a的取值范围．解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）．当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件．当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）．综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题．（1）当2≤a≤5 ；（2=4成立，求a的取值范围．思路引领：（1）根据二次根式的性质即可求出答案；（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案．解：（1）∵2≤a≤5，∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|＝a﹣2﹣（a﹣5）＝3；（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，∴a＝3，符合题意；当3＜a＜7时，∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；当a≥7时，∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，∴a＝7，符合题意；综上所述，3≤a≤7；总结提升：本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．类型六纠正解题过程中的错误典例6（2022秋•金水区校级期中）计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．222+22+2……第一步＝10……第三步任务一：填空：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是　；任务二：请写出正确的计算过程；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．思路引领：任务一：利用完全平方公式进行计算即可解答；任务二：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．解：任务一：填空：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式运用错误，故答案为：一，完全平方公式运用错误；任务二：222+2﹣[2﹣+2]＝5﹣（6﹣+5）＝5﹣5＝任务三：在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．针对训练1．（2022春•12(的过程，请认真阅读并完成相应的任务．―12(―12(2第一步―12×―12×第二步第三步第四步=―第五步任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．任务二：请你写出正确的计算过程．思路引领：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．解：（1）任务一：小明同学的解答过程从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号后，括号内第二项没有变号，故答案为：二；去括号后，括号内第二项没有变号；（2―12(―12(2总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．类型7 分子有理化求最值和比较大小典例7 （2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：―分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：――=1，―+―再例如：求y ―解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =4．当x ＝2+2，所以y 的最大值是2．解决下述问题：（1）比较―4和（2）求y =思路引领：（1）利用分母有理化得到4=2，=2，利用4＞4＜（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x ≥0，x ≥0，则x ≥0，利用分母有理化得到y =1，由于x ＝01，从而得到y 的最大值．解：（1）∵―4==2，=而4∴+4＞∴―4＜（2）由1+x ≥0，x ≥0得x ≥0，而y ―1，∵x＝01，∴y的最大值为1．总结提升：本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．针对训练1．（2021秋•即墨区期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．1．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：―+再例如，求y―解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=4．当x＝2+2．所以y的最大值是2．利用上面的方法，完成下面问题：（1（2）求y=+2的最大值．思路引领：（1）利用平方差公式进行分子有理化计算，从而比较大小；（2）利用二次根式有意义的条件确定x的取值范围，然后通过利用平方差公式对原式进行分子有理化变形，从而确定其最大值．解：（1=1；=++――（2）∵x+1≥0且x﹣1≥0，∴x≥1，原式=2，当x＝1时，2有最大值为此时，原式有最大值为2+总结提升：本题考查二次根式的有理化计算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．第二部分专题提优训练1．（2022秋•萧县期中）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题：x的值是多少？∴x﹣1≥0且1﹣x≥0．又∵x﹣1和1﹣x互为相反数，∴x﹣1＝0，且1﹣x＝0，∴x＝1．问题：若y=+2，求x y的值．思路引领：根据二次根式中的被开方数是非负数，可得x的值，进而得出y的值，然后代入所求式子计算即可．解：由题意得：2x―1≥01―2x≥0，∴2x﹣1＝0，解得x=1 2，所以y＝2，所以x y=(12)2=14．总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出被开方数的取值范围是解题关键．2．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使x+y＝a且xy＝b，这样“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．=1+（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如2样的式子，其实我们还可以将其进一12=1．那么我们称这个过程为分式的分母有理化．根据阅读材料解决下列问题：（1）化简“和谐二次根式”： ； ．（2）已知m =n ，求m nm n 的值．思路引领：（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；（2）先根据阅读材料（一）化简m 与n 的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可．（1）解：=+2；=2―+2；2―（2）解：∵m =11n =11+∴m ﹣n ―m +n =+∴m n m n=总结提升：本题考查的是估算无理数的大小，二次根式的性质与化简，考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，弄懂题意，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．3．（2021秋•广平县期末）阅读下列解题过程―（1）观察上面的解答过程，请写出1= ．（2⋅⋅⋅思路引领：（1（2）把各加数分母有理化，再合并同类二次根式．解：（1（2）1+11⋅⋅⋅+11=―1+―...=1＝10﹣1＝9．总结提升：此题考查二次根式的分母有理化，确定最简公分母和合并同类二次根式是关键．4．（2022秋•南召县月考）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：(2+×(2―=1，×=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：7+像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+ ．（2）已知x =y ，则1x +1y =　．（3）利用上面所提供的解法，请化简1+1+1+⋯+1+1．思路引领：（1）根据有理化因式的概念解答；（2）利用二次根式的乘法法则计算；（3）根据分母有理化、二次根式的加法法则计算．解：（1）∵（4+（416﹣7＝9，∴44―故答案为：4（2）∵x =∴1x =2＝5﹣同理，1y =∴1x+1y =5﹣=10，故答案为：10；（3）原式=―1++⋯+＝10﹣1＝9．总结提升：本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．5．（2022秋•峄城区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题：再进行二次根式运算时，我们有时会碰上如5，221=1．以上这种化简的过程叫做分母有理化．（1）请根据以上方法化简：①4；②4；③1（2）直接写出：2― ；（3）计算：⋯⋯+⋅思路引领：（1）根据阅读材料分母有理化即可；（2）根据倒数的概念列式，再分母有理化即可；（3）将括号内各数分母有理化，合并同类二次根式后再算乘法．解：（14+1；1（2）2―=2+故答案为：2（3―......+×+1）―1）1）＝2022．总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握分母有理化的方法．6．（2022春•昭化区期末）=a （a ≥0），+1）―1）＝b ﹣1（b ≥0）这样的+1―1，都互为有理化因式．进行含有二次根式的分式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．【解决问题】（1―3的有理化因式为 ；（2）已知正整数a ，bb3―a ，b 的值．思路引领：（1―3的有理化因式；（2）根据题意，将题目中的式子变形，然后即可得到关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可．解：（1―3）+3）＝7﹣9＝﹣2，―3+3，+3；（2）∵a=3―=3﹣∴a +1）＝3﹣+a ―＝3﹣∴（a ―12b a ＝3﹣∴a ―12b =―2a =3，解得a =3b =10，即a 的值是3，b 的值是10．总结提升：本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和分母有理化的方法．7．（2022春•新余期末）阅读下列解题过程：=2，求a 的取值．解：原式＝|a ﹣2|+|a ﹣4|，当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；所以，a的取值范围是2≤a≤4．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：（1）当3≤a≤7（26，求a的取值；（3=5的a的取值范围　．思路引领：（1）根据已知可得3﹣a≤0，a﹣7≤0，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答；（2）按照例题的思路，分类讨论进行计算即可解答；（3）按照例题的思路，分类讨论进行计算即可解答．解：（1）∵3≤a≤7，∴3﹣a≤0，a﹣7≤0，＝|3﹣a|+|a﹣7|＝a﹣3+7﹣a＝4；（2）原式＝|a+1|+|a﹣3|，当a＜﹣1时，原式＝﹣a﹣1+3﹣a＝﹣2a+2＝6，解得a＝﹣2；当﹣1≤a＜3时，原式＝a+1+3﹣a＝4，等式不成立；当a≥3时，原式＝a+1+a﹣3＝2a﹣2＝6，解得a＝4；所以，a的值为﹣2或4；（3）原式＝|a﹣1|+|a﹣6|，当a＜1时，原式＝1﹣a+6﹣a＝7﹣2a＝5，解得a＝1（舍去）；当1≤a＜6时，原式＝a﹣1+6﹣a＝5，等式恒成立；当a≥6时，原式＝a﹣1+a﹣6＝2a﹣7＝5，解得a＝6；∴a的取值范围：1≤a≤6，故答案为：1≤a≤6．总结提升：本题考查了整式的加减，二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键．8．（2022秋•辉县市期中）【阅读学习】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（1+ 2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+=（m+2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+=m2+2n2．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+【解决问题】（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+（m+2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a ＝ ，b＝ ；（2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+（m+2成立，且a+b+m+n 的值最小．请直接写出a，b，m，n的值；（3）若a=（m+2，且a，m，n均为正整数，求a的值．思路引领：（1）根据阅读材料，利用完全平方公式将等式右边展开，即可求出a、b的值；（2）根据（1）的结论即可得到结果；（3）根据题意得到a＝m2+5n2，b＝2mn，求得mn＝3，分类讨论即可得到结论．解：（1）（m+2＝m2+3n2＝m2+3n2+2∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）当n＝1，m＝2时，a＝22+3×1＝7，b＝2mn＝4，故a＝7，b＝4，m＝2，n＝1时，a+b+m+n的值最小．（3）（m+2＝m2+5n2＝a∴a＝m2+5n2，6＝2mn，∴mn＝3，∵a、m、n均为正整数，∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1；当m＝1，n＝3时，a＝12+5×32＝46．当m＝3，n＝1时，a＝32+5×12＝14．综上，a的值为14或46．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减，理解题意，弄清阅读材料中把一个式子化为平方式的方法是解题的关键．9．（2022春•邗江区期末）阅读下列材料，并回答问题：把形如a+a﹣a、b为有理数且b＞0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．（1）请你举出一对共轭实数：　3+　3―（2）﹣a、b的值；（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是思路引领：（1）根据题意，可以写出一组共轭实数，本题答案不唯一；（2）根据共轭实数的定义，可以判断﹣a和b即可；（3）根据两个共轭实数的和是10，差的绝对值是a、b、m的值，从而可以写出这两个共轭实数．解：（1）由题意可得，3+3―故答案为：33―（2）﹣a＝0，b＝2；（3）设这两个共轭实数为a+a﹣∵两个共轭实数的和是10，差的绝对值是∴（a++（a﹣10，|（a+a﹣|＝∴2a＝10，|2∴a＝5，b＝2或b＝﹣2（舍去），m＝3，∴这两个共轭实数是5﹣总结提升：本题考查二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．10．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：问题：已知x=2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x―2，求代数式x2+4x﹣10的值；（2）已知x x 3+x 2+1的值．思路引领：（1）根据完全平方公式求出x 2+4x ＝1，代入计算即可；（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．解：（1）∵x ―2，∴（x +2）2＝5，∴x 2+4x +4＝5，∴x 2+4x ＝1，∴x 2+4x ﹣10＝1﹣10＝﹣9；（2）∵x =∴x 22=则x 3＝x •x 2=2×22，∴x 3+x 2+1=21=总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．11．（2021秋•宽城县期末）（1）计算：+1；（2―2；（3）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：×第一步―第二步―第三步第四步①以上化简步骤中第一步化简的依据是： ；②第 步开始出现错误，请写出错误的原因 ，该运算正确结果应是 　．思路引领：（1）利用平方差公式计算；（2）先把各二次根式化简，然后合并即可；（3）①第一步化简的依据为二次根式的除法法则；②第二步去括号错误，然后计算出正确的结果．解：（1）原式＝5﹣3+1＝3；（2）原式＝+912×5＝―5＝+5；（3）①化简步骤中第一步化简的依据是商的算术平方根，等于算术平方根的商；故答案为商的算术平方根，等于算术平方根的商；②第二步开始出现错误，请写出错误的原因括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；，该运算正确结果应是故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号； 总结提升：本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．12．（2021秋•岳阳期末）王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．（1）小青编的题，观察下列等式：2123―1；2直接写出以下算式的结果：2 ；2（n 为正整数）＝ ；（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：+1）2＝2＝+2＝a +b a ≥0，b ≥0）；再根据平方根的定义可得：+1a ≥0，b ≥0）；直接写出以下算式的结果： ， ，　；（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：（2+2222）思路引领：（1）根据分母有理化化简即可得出答案；（2=|a|化简即可；（3|a|化简，根据平方差公式即可得出答案．解：（17=n1=n为正整数）；（2===+1；===―1；==＝2+1―1，2+（3）原式＝=1―――1））＝11﹣1＝10．总结提升：本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，探索二次根式计算中的规律，将第一个多项式的每项分母有理化，裂项相消是解题的关键．13．（嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b2≥0，∴a﹣b≥0，∴a+b≥a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9≤ ；（2）若m＞0，当m为何值时，m+1m有最小值，最小值是多少？思路引领：（1）根据a+b≥2 a、b均为正实数），进而得出即可；（2）根据a+b≥2 a、b均为正实数），进而得出即可．解：（1）∵a+b≥2 a、b均为正实数），∴a+b＝9，则a+b≥9 2；故答案为：9 2；（2）由（1）得：m +1m≥即m +1m ≥2，当m =1m 时，m ＝1（负数舍去），故m +1m有最小值，最小值是2．总结提升：此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a +b ≥2 a 、b 均为正实数）求出是解题关键．14．（2021春•莆田期中）阅读下面材料：同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式，小明发现像m +n ，mnp 如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．他还发现像m 2+n 2，（m ﹣1）（n ﹣1）等神奇对称式都可以用mn ，m +n 表示．例如：m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn ，（m ﹣1）（n ﹣1）＝mn ﹣（m +n ）+1．于是丽丽把mn 和m +n 称为基本神奇对称式．请根据以上材料解决下列问题：（1）代数式①2，②m 2﹣n 2，③n m ，x ≥0，y ≥0，z ≥0)中，属于神奇对称式的是 （填序号）；（2）已知（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝x 2﹣px +q ．①若p ＝3，q ＝﹣2，则神奇对称式1m +1n= ；②―q ＝0，求神奇对称式m 31m +n 31n的最小值．思路引领：（1）根据神奇对称式的概念进行判断；（2）①首先利用多项式乘多项式的计算法则计算求得mn ，m +n 的值，然后利用分式的计算法则进行计算；②利用分式的运算法则将原式进行化简，然后代入求值，结合配方法求代数式的最值．解：（1①是神奇对称式；只有当m +n ＝0或m ﹣n ＝0时，m 2﹣n 2＝n 2﹣m 2，∴m 2﹣n 2不一定等于n 2﹣m 2，故②不是神奇对称式；只有当m ＝n ≠0或m ＝﹣n 时，n m =m n ，∴n m 不一定等于m n ，故③不是神奇对称式；++④是神奇对称式；故答案为：①④；（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，∴m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，∴1m+1n=m nmn=―32，故答案为：―3 2；②∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，∴m+n＝p，mn＝q，原式＝m2+1m+n2+1n＝（m+n）2﹣2mn+m n mn＝p2﹣2q+p q，q，∴p＝±q，当p＝q时，原式＝p2﹣2q+1＝（p﹣1）2≥0，∴此时，原式的最小值是0；当p＝﹣q时，原式＝p2﹣2q﹣1＝（p﹣1）2﹣2≥﹣2，∴此时，原式的最小值是﹣2；综上，m31m+n31n的最小值是﹣2．总结提升：本题考查多项式乘多项式的运算，分式的混合运算，二次根式的混合运算，理解新定义，掌握运算法则是解题关键．。

专题04 二次根式的运算1．二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。

（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。

2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0 3．二次根式的性质： （1）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积， 即=·（a ≥0,b ≥0）。

（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a ≥0,b>0）。

反之，4．最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

5．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

6．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。

7．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。

8．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b ab a b a ab b a 专题知识回顾（＞0）（＜0）0 （=0）；9．找有理化因式的方法：（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。

如：①的有理化因式为，②的有理化因式为。

（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。

即的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为10．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。

一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组（3）合并同类二次根式11．二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。

清单05二次根式全章复习（3个考点梳理+10种题型+10类型）考点一二次根式的相关概念二次根式的概念：一般地，我们把形如（≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义.最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.【考试题型1】二次根式有意义的条件1．（20-21九年级上·吉林长春·在实数范围内有意义的条件是．x的值．2．（2023·浙江杭州·1．（22-23七年级下·广东汕头·m的最小值是（）A．2B．3C．8D．11∴12m -是完全平方数，当120m -=时，即12m =，当121m -=时，即11m =，当124m -=时，即8m =，当129m -=时，即3m =，综上所述，自然数m 的值可以是3、8、11、12，所以m 的最小值是3，故答案选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．2．（22-23八年级下·福建莆田·开学考试）若实数a ，b 4b +，则a b -=．3．（20-21七年级下·广东广州·期中）若()230a -+=，则a b -的立方根是．【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性以及求立方根，得到30a -=，50b +=是解题的关键．4．（20-21八年级上·四川达州·期中）已知a ，b 0b =（1）a=_______，b=______（2）把a ，b 的值代下以下方程并求解关于x 的方程()221a xb a ++=-1．（23-24八年级上·上海青浦·）ABC D2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（）A=B =C =D 10=（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·是同类二次根式，则=a ．【答案】5-【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二1．（23-24九年级上·四川宜宾·a 的值可能是（）A ．16B ．0C ．2D ．任意实数2．（22-23九年级上·四川遂宁·是同类二次根式，则m 的值为（）A ．4m =B ．3m =C ．5m =D ．6m =3．（22-23八年级下·山东泰安·是最简二次根式，则m，n的值为（）A．0，1-B．1-，0C．1，1-D．0，04．（21-22八年级下·江西赣州·期中）若考点二二次根式的性质与化简二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．a =•（≥0，≥0）（≥0，＞0）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【考试题型5】利用二次根式的性质化简【类型一】数形结合法1．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简2a b b c --+．【答案】a-【分析】本题考查了数轴的定义、二次根式的运算、绝对值运算．观察数轴可得0c b a <<<，从而得到0,0,0a b c a b c ->-<+<，再根据二次根式的运算、绝对值运算计算即可．【详解】解：观察数轴得：0c b a <<<，2．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图所示：(1)若5x =-，y =x 对应的点与z 对应的点恰好关于y 对应的点对称，求z 的值．(2)2+3．（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）已知实数x ，y ，z 在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【类型二】估值法方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围.1．（2023·重庆·(最接近的整数是（）A ．7B ．8C ．9D ．10A ．5m <-B ．54m -<<-C ．43m -<<-D ．3m >-3．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）若a ，则a 的值所在的范围为（）A ．2a ≥B ．2a >C ．12a <<D ．01a <<【类型三】公式法方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解.1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知2M=，2N，则M与N的关系为（）A．相等B．绝对值相等C．互为相反数D．互为倒数2．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）计算题：；(2)【类型四】换元法方法简介：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解.1．（19-20八年级上·福建泉州·期中）若ab＝1，我们称a与b1与1互为倒数：方法一：∵)22111211+-=-=-=1+1互为倒数．()2211111211⋅--====--111互为倒数．(1)互为倒数；(2)若()21x x -=，求21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)利用“换元法”求((101022⨯的值．＝1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质是，选择合适的解题途径，往往能事半功倍．【类型五】拆项法【类型六】整体代入法方法简介：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入.1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知x =2(8x x -+的值．2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知33a b ==-求下列各式的值：(1)a b +和ab ；(2)22a ab b ++．22(1)223x xy y ++(2)x y y x +【类型七】因式分解法【类型八】配方法1．（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料：材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）1===-．材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：(2222311x x x++=+++=+，(20x+≥，(211x∴+≥，即231x++≥．23x∴++的最小值为1．阅读上述材料解决下面问题：_______=______；(2)求211x++的最值；(3)2-2．阅读材料：材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,1材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式,利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：2222321(x 1x x x ++=+++=+∵2(0x ≥，∴2(11x ++≥，即231x ++≥∴23x ++的最小值为1阅读上述材料解决下面问题：（1=，=；（2）求211x ++的最值；（3）已知x =221(41)54x y xy -++-的最值．【类型九】辅元法【类型十】先判断后化解解题的关键．【考试题型6】分母有理化1．（新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题）在进样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：行二次根式化简时，我们有时会碰上如1==；====．以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题：(1)利用你观察到的规律，化简L(2)2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）【阅读材料】（材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律．22212OA =+=，112S =（1S 是12RtA A O △的面积）；22313OA =+=，22S =（2S 是23Rt A A O △的面积）；22414OA =+=，32S =（3S 是34Rt A A O △的面积）；．==【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题：(1)填空：100S =_________，11OA =_________；(2)求11111S S S S S S S S S S +++++++++的值．3．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）阅读下列解题过程：1⨯-()()221⨯===-请回答下列问题：(1)=______()2n≥．(2)利用上面所提供的解法，请化简：+(3)模仿上面所提供的解法，试一试化简：+考点三二次根式的运算乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：a =•（≥0，≥0）.除法法则：=加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.【口诀】一化、二找、三合并.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.【分母有理化方法】==2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.==混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．【考试题型7】二次根式的乘除运算1．（2024·陕西西安·三模）计算：)()02252π---2．（23-24八年级下·安徽铜陵·00)b ⎛÷⨯>> ，3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：(1)÷；()0,0x y ⎫÷>>⎪⎪⎭．1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：((-．2．（23-24八年级下·广东阳江·期中）已知b=-，求22a=+，11a b+的值．3．（23-24八年级下·北京海淀·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．设a=b=(1)直接写出a b+和ab的值：a b+=______，ab=______；(2)求1111sa b=+的值．2．（23-24九年级下·山东烟台·期中）计算：(2)3．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）（1）先化简，再求值：111a a -⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，其中，2a =．1．（23-24八年级下·浙江金华·的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化()22==；()()2232++====+--．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化21===()222111+-==．根据上述知识，请你解答下列问题：(1)(2)的大小，并说明理由．2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形A，B的面积分别为25cm和27cm，现将正方形A的边长分别增加2cm和3cm得到矩形甲；将正方形B的边长都增加2cm得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小．【答案】矩形甲的面积小于矩形乙的面积．【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）观察下列等式：1==-；==；==；……像)221-=()0a a =≥，)()1110b b -=-≥，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．11，与-答下列问题：(1)化简：(2)=___________（n为正整数）．(3)计算：)1+ =___________；(4)已知a==b试比较a、b的大小，则a___________b．（填“<”“>”或“=”）1．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足t=（不考虑风速的影响）．(1)从30m高处抛下的物体落地所需的时间1t=s；从60m高处抛下的物体落地所需的时间2t=s(2)2t是1t的多少倍？(3)若从高空抛下的物体经过4s落地，则该物体下落的高度是多少？2．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为218dm 和232dm 的两块正方形木板．(1)截出的两块正方形木板的边长分别为______dm ，______dm ；(2)求剩余木板的面积；(3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm 、宽为1.2dm 的长方形木条，最多能截出______个这样的木条． 1.414≈）3．（23-24八年级下·广东东莞·期中）小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务，的面积；(1)请根据思路1的公式，求ABC(2)请你结合思路2，在如图所示的网格中（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点），完成下列任务，，要求三个顶点都在格点上；①画出ABC面积的计算过程．②结合图形，写出ABC②过点A 作AD CB ⊥∴4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足公式t 10N /kg g ≈）(1)求从45m 高空抛物到落地的时间；(2)已知高空拋物动能（单位：J ）10=（单位：N /kg ）⨯物体质量（单位:kg ）⨯高度（单位：m ），某质量为0.2kg 的玩具在高空被抛出后经过4s 后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要65J 的动能）5．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=（不考虑风速的影响）．(1)从50m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间1t，从100m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间2t，那么2t是1t的多少倍？(2)从足够高的高空抛出物体，经过1.5s，所抛物体下落的高度是多少？6．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题：(1)具体运算，发现规律：131711122236=+==+=⨯⨯11313412=+=⨯，…计算：=(2)观察归纳，写出结论=（1n ≥且n 为正整数）(3)灵活运用，提升能力请利用你所发现的规律，。

二次根式知识点【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4、二次根式的性质：1)0a ≥的最小值是0)0a ≥)0a ≥。

（2）()20a a =≥；（3()()()0000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a ≥0，b ≥0）；=b ≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、 概念与性质例1、下列各式1）-， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ）A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y例5、已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a ≥bD. a ≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A. ； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值（1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。

专题05 同类二次根式【考点归纳】1、同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．2、合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•泉州期末）与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：的被开方数是2．A、＝，是有理数，不是二次根式，故本选项错误；B、＝，被开方数是2，所以与是同类二次根式，故本选项正确；C、＝2，2是有理数，不是二次根式，故本选项错误；D、被开方数是6，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；故选：B．2．（2020秋•安居区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】解：＝3，被开方数是2，A、的被开方数是2，所以与是同类二次根式，故本选项正确；B、的被开方数是3，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；C、＝2，被开方数是3，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；D、＝2，被开方数是5，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；故选：A．3．（2020秋•松江区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：A、＝＝3，与不是同类二次根式；B、＝＝2，与是同类二次根式；C、＝，与不是同类二次根式；D、＝3，与不是同类二次根式；故选：B．4．（2020秋•永年区期末）若化成最简二次根式后，能与合并，则a的值不可以是（）A．B．8C．18D．28【答案】D．【解析】解：A、＝，能与合并，a的值可以是，本选项不符合题意；B、＝＝2，能与合并，a的值可以是8，本选项不符合题意；C、＝＝3，能与合并，a的值可以是18，本选项不符合题意；D、＝＝2，不能与合并，a的值不可以是28，本选项符合题意；故选：D．5．（2020秋•浦东新区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】解：A、与被开方数相同，故是同类二次根式；B、与被开方数不相同，故不是同类二次根式；C、与被开方数不相同，故不是同类二次根式；D、与被开方数不相同，故不是同类二次根式；故选：A．6．（2020秋•武侯区校级期中）下列说法中正确的有（）个．①和是同类二次根式；②的平方根是3；③（﹣1，﹣x2）位于第三象限；④（π﹣3）2的算术平方根是π﹣3；⑤若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上．A．2B．3C．4D．5【答案】B．【解析】解：∵＝3，＝，∴和是同类二次根式，故①正确；∵＝9，∴的平方根是±3，故②错误；当x＝0时，点（﹣1，﹣x2）位于x轴的负半轴上，当x≠0时，点（﹣1，﹣x2）位于第三象限，故③错误；（π﹣3）2的算术平方根是π﹣3，故④正确；若x+y＝0，则点P（x，y）在第二、四象限角平分线上，故⑤正确；即正确的个数有3个，故选：B．二、填空题7．（2020春•建湖县期中）与最简二次根式是同类二次根式，则a＝．【答案】3．【解析】解：＝＝4，∵与最简二次根式是同类二次根式，∴2a﹣3＝3，解得：a＝3，故答案为：3．8．（2020春•青云谱区校级期中）若二次根式与能合并，则x可取的最小正整数是．【答案】11【解析】解：∵要使有意义，必须2x+5≥0，解得：x≥﹣2.5，当2x+5＝3，解得：x＝﹣1（舍去），当2x+5＝12，解得：x＝3.5（舍去），当2x+5＝27，解得：x＝11．即：当x取最小正整数11时，与能合并，故答案是：11．9．（2020春•蕲春县期中）若最简二次根式3与5可以合并，则m＝．【答案】4【解析】解：由题意得：2m+5＝4m﹣3，解得：m＝4，故答案为：4．10．（2020•禅城区一模）若与最简二次根式是同类二次根式，则实数a的值是．【答案】【解析】解：＝2由题意得，3＝2a+2，解得：a＝，故答案为．11．（2020•福山区一模）两个最简二次根式3与是同类二次根式，则a＝．【答案】3【解析】解：由题意得，a＝a2﹣6a+12，整理得：a2﹣7a+12＝0，解得：a＝3或a＝4，∵3与是最简二次根式，当a＝4时，二次根式3与不是最简二次根式，∴a＝3．故答案为3．三、解答题12．若最简二次根式和是同类二次根式．（1）求x，y的值；（2）求的值．【答案】解：（1）根据题意知，解得：；（2）当x＝4、y＝3时，＝＝＝5．【解析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．13．最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，求关于m的方程xm2+2m﹣2＝0的根．【答案】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，∴2x2﹣x＝4x﹣2，即2x2﹣5x+2＝0，解得：x＝（舍去）或x＝2，把x＝2代入方程得：2m2+2m﹣2＝0，即m2+m﹣1＝0，解得：m＝．【解析】利用同类二次根式定义求出x的值，代入方程计算即可求出m的值．14．如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且+＝0，求x、y的值．【答案】解：由题意，得3a﹣11＝19﹣2a，解得，a＝6，∴+＝0，∵≥0，≥0，∴24﹣3x＝0，y﹣6＝0，解得，x＝8，y＝6．【解析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．15．若最简二次根式与是同类二次根式，求a2016+b2016的值．【答案】解：∵与是同类二次根式∴，解得：，则a2016+b2016＝2．【解析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解出方程组求出a、b的值，计算即可．16．若与是同类最简二次根式，求的值．【答案】解：由题意可知：，解得：m＝6，n＝，则＝＝3．【解析】利用同类二次根式定义列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值，代入原式计算即可求出值．。

专题06 二次根式考点一：二次根式之定义与有意义的条件1. 二次根式的定义：形如()0≥aa的式子叫做二次根式。

2. 二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。

即a中，0≥a。

1．（2022•湘西州）要使二次根式63-x有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．2．（2022•广州）代数式11+x有意义时，x应满足的条件为（ ）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．3．（2022•贵阳）代数式3-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≥3B．x＞3C．x≤3D．x＜3【分析】直接利用二次根式的定义得出x﹣3≥0，进而求出答案．【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3，∴x 的取值范围是：x ≥3．故选：A ．4．（2022•绥化）若式子21-++x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣1B ．x ≥﹣1C ．x ≥﹣1且x ≠0D ．x ≤﹣1且x ≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a ﹣p ＝（a ≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x +1≥0，x ≠0，∴x ≥﹣1且x ≠0，故选：C ．5．（2022•雅安）使2-x 有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x 的不等式，解不等式，即可得出答案．【解答】解：∵∴x ﹣2≥0，∴x ≥2，故选：B ．6．（2022•菏泽）若31-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x ﹣3＞0，解得x ＞3．故答案为：x ＞3．7．（2022•青海）若式子11-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．【解答】解：由题意得x ﹣1＞0，解得x ＞1，故答案为：x ＞1．8．（2022•包头）若代数式x x 11++在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．【解答】解：根据题意，得，解得x ≥﹣1且x ≠0，故答案为：x ≥﹣1且x ≠0．9．（2022•常德）要使代数式4-x x 有意义，则x 的取值范围为 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x ﹣4＞0，解得：x ＞4，故答案为：x ＞4．10．（2022•邵阳）若21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵有意义，∴，解得x ＞0．故答案为：x ＞2．考点二：二次根式之性质与化简1. 二次根式的性质：①二次根式的双重非负性：二次根式本身是一个非负数，恒大于等于0。

专题01 二次根式基本性质的运用二次根式的性质运用是本章节考试必考考点。

主要在选择题、填空题、解答题中至少必有一处出现。

这个专题难度不大，但很重要，必须确保学生们不丢分。

【考点刨析】考点1： 二次根式的双重非负性1.二次根式具有双重非负性，即）（≥≥a 0a2.几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.考点2：的运用和）（a a a a22==【典例分析】【考点1： 二次根式的双重非负性】【典例1】（2020•浙江自主招生）已知非零实数a ，b 满足|2a ﹣4|+|b +2|++4＝2a ，则a +b 的值【答案】1【解答】解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为，于是a ＝3，b ＝﹣2，从而a +b ＝1．故选：a+b=1【变式1-1】（2020秋•水城县校级月考）已知x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+＝0，则（）2015的值为 ．【答案】-1【解答】解：∵|x ﹣3|+＝0，∴x ＝3，y ＝﹣3，则（）2015＝（﹣1）2015＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式1-2】（2021春•东莞市期末）已知|x +1|+（y ﹣3）2＝0，则xy ＝ ．【答案】﹣3【解答】解：∵|x +1|+（y ﹣3）2＝0，|x +1|≥0，（y ﹣3）2≥0，∴x +1＝0，y ﹣3＝0，解得x ＝﹣1，y ＝3，∴xy ＝（﹣1）×3＝﹣3．故答案为：﹣3．【变式1-3】（2020春•广陵区校级期中）已知a ，b 分别为等腰三角形的两条边长，且a ，b 满足b ＝3+，求此三角形的周长．【答案】8【解答】解：由题意得，3a ﹣6≥0，2﹣a ≥0，解得，a ≥2，a ≤2，则a ＝2，则b ＝3，∵2+2＝4＞3，∴2、2、3能组成三角形，∴此三角形的周长为2+2+3＝7，∵3+3＝6＞2，∴2、3、3能组成三角形，∴此三角形的周长为2+3+3＝8．【考点2：的运用和）（a a a a22==】【典例2】（2022秋•南湖区校级期中）已知y ＝++4，y x 的平方根是（ ）A ．16B ．8C ．±4D ．±2【答案】C 【解答】解：∵y ＝++4，∴，解得x ＝2，∴y ＝4，∴y x＝42＝16．∴y x的平方根是±4．故选：C．【变式2-1】（2022秋•邢台期末）已知x，y为实数，且，则x y 的值是 ．【答案】【解答】解：依题意得：，解得x＝3．则y＝﹣2，所以x y＝3﹣2＝．故答案为：．【变式2-2】（2022秋•碑林区校级期末）若y＝++4，则x2+y2的平方根是 ．【答案】±2【解答】解：∵2﹣x≥0，x﹣2≥0，∴x＝2，∴y＝4，故x2+y2＝22+42＝20，∴x2+y2的平方根是：±＝±2．故答案为：±2．【典例3】（2022春•东平县校级月考）如果1＜a＜，那么+|a﹣2|的值是（ ）A．6+a B．1C．﹣a D．﹣6﹣a【答案】B【解答】解：∵1＜a＜，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴原式＝+（2﹣a）＝a﹣1+2﹣a＝1．故选：B．【变式3-1】（2022•南谯区校级模拟）若a＜0，则化简|a﹣3|﹣的结果为（ ）A．3﹣2a B．3C．﹣3D．2a﹣3【答案】B【解答】解：∵a＜0，∴a﹣3＜0，∴|a﹣3|﹣＝3﹣a﹣（﹣a）＝3﹣a+a＝3，故选：B．【变式3-2】（2022春•灵宝市校级月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（ ）A．0B．﹣2C．﹣2a D．2b【答案】A【解答】解：由题意得：a＜﹣1，b＞1，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a＝0．故选：A．【变式3-3】（2022秋•崇川区校级月考）若2、5、n为三角形的三边长，则化简+的结果为（ ）A．5B．2n﹣11C．11﹣2n D．﹣5【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，原式＝|3﹣n|+|8﹣n|＝﹣（3﹣n）+（8﹣n）＝﹣3+n+8﹣n＝5，故选：A．【夯实基础】1．（2022秋•郸城县期中）计算的结果为（ ）A．﹣6B．6C．D．﹣【答案】B【解答】解：（﹣）2＝6，故选：B．2．（2022秋•南关区校级期中）满足＝3﹣a的正整数a的所有值的和为（ ）A．3B．6C．10D．15【答案】B【解答】解：∵＝3﹣a，∴3﹣a≥0，解得a≤3，则正整数a的值有1、2、3三个，∴1+2+3＝6．故选：B．3．（2021秋•沭阳县校级期末）若＝2﹣x成立，则x的取值范围是（ ）A．x≤2B．x≥2C．0≤x≤2D．任意实数【答案】A【解答】解：∵＝|x﹣2|＝2﹣x，∴x≤2，故选：A．4．（2022春•广阳区校级期末）当1＜a＜2时，代数式+的值是（ ）A．1B．﹣1C．2a﹣3D．3﹣2a【答案】A【解答】解：∵1＜a＜2，∴a﹣2＜0，a﹣1＞0，∴原式＝|a﹣2|+|a﹣1|＝2﹣a+a﹣1＝1．故选：A．5．（2022秋•卧龙区校级月考）若+b﹣3＝0，则b的取值范围是（ ）A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3【答案】D【解答】解：∵+b﹣3＝0，即|3﹣b|＝3﹣b，∴3﹣b≥0，即b≤3，故选：D．6．（2022秋•禅城区校级月考）实数a、b在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）A．2a+b B．﹣2a+b C．b D．2a﹣b【答案】B【解答】解：∵实数a、b在轴上的位置可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，∴原式＝﹣a+b﹣a故选：B．7．（2022秋•北碚区校级期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定【答案】A【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴原式＝+＝a﹣4+11﹣a＝7．故选：A．8．（2021春•宾阳县期中）实数a在数轴对应点的位置如图所示，则﹣|3﹣a|＝（ ）A．5B．﹣5C．﹣1D．2a﹣5【答案】C【解答】解：由图知：1＜a＜2，∴a﹣2＜0，3﹣a＞0，原式＝|a﹣2|﹣|3﹣a|＝2﹣a﹣（3﹣a）＝2﹣a﹣3+a＝﹣1．故选：C．9．（2022秋•安岳县期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6【答案】A【解答】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，即：﹣2＞0，a﹣4＜0，故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．故选：A．10．（2021春•海淀区校级期中）已知+|y﹣3|＝0，则xy＝ ．【答案】﹣3【解答】解：由题意可知：x+1＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣1，y＝3，∴xy＝﹣1×3＝﹣3，故答案为：﹣3．11.（2020•中山市一模）若x，y为实数，且|x+1|+＝0，则（xy）2020的值是 ．【答案】1【解答】解：∵x，y为实数，且|x+1|+＝0，∴x+1＝0，y﹣1＝0，解得：x＝﹣1，y＝1，则（xy）2020＝1．故答案为：1．12．（2022•南京模拟）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）A．9B．﹣9C．2a﹣15D．2a﹣9【答案】C【解答】解：由数轴得5＜a＜10，所以原式＝|a﹣3|﹣|a﹣12|＝a﹣3+a﹣12＝2a﹣15．故选：C．13．（2022秋•丰泽区校级期末）已知x，y都是实数，且y＝++4，则y＝ ．【答案】4【解答】解：∵y＝+4，∴，解得x＝3，∴y＝4，故答案为：4．14．（2022秋•平谷区期末）实数m在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ．【答案】1【解答】解：由数轴得：0＜m＜1，∴m﹣1＜0，∴＝﹣（m﹣1）+m＝﹣m+1+m＝1．故答案为：1．15．（2022秋•丰泽区校级期末）当a＞3时，化简：|a﹣2|﹣＝ ．【答案】1【解答】解：∵a＞3，∴a﹣2＞0，a﹣3＞0，∴原式＝a﹣2﹣（a﹣3）＝a﹣2﹣a+3＝1．故答案为1．16．（2022秋•渝中区校级期中）如图，实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为 ．【答案】7【解答】解：∵5＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴原式＝|a﹣4|+|a﹣11|＝a﹣4+11﹣a＝7．故答案为：7．17．若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．【解答】解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，解得，x＝，则y＝3，则3＝3×＝．18．（2022春•澄迈县期末）已知﹣1＜a＜3，化简．【解答】解：∵﹣1＜a＜3，∴a+1＞0，a﹣4＜0，∴原式＝a+1﹣（4﹣a）＝2a﹣3．【能力提升】19．（2022秋•如东县期末）x，y为实数，且，化简：＝ ．【答案】﹣1【解答】解：∵x﹣1≥0，1﹣x≥0，∴x≥1，x≤1，∴x＝1，又∵y＜++3，∴y＜3，∴|y﹣3|﹣＝3﹣y﹣（4﹣y）＝﹣1．故答案为﹣1．21．（2022秋•兴庆区校级月考）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝ ．【答案】0【解答】解：∵c＜b＜0＜a，∴b﹣a＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，∴原式＝|b﹣a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝a﹣b﹣（a﹣c）+b﹣c＝a﹣c﹣a+c＝0．故答案为：0．22．（2022春•梁山县期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：﹣|a+c|+﹣|﹣b|．【解答】解：由数轴可知：a＜c＜0＜b＜﹣a，∴a+c＜0，c﹣b＜0，﹣b＜0，∴原式＝2+（a+c）+|c﹣b|﹣b＝2+a+c﹣c+b﹣b＝2+a．。

《二次根式》知识讲解及例题解析【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2.（a ≥0）；3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a ≥0，b ≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b=÷=÷或（a ≥0，b >0）.要点诠释： （1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.（22a 2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥02a a 为任意值。

②a ≥0时，2()a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x ≥-且x ≠-1【解析】依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】方程480x x y m -+--=，当0y >时，m 的取值范围是（ ）A ．01m << B.m ≥2 C.2m < D.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.我们可以计算出①=2=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=a；②当a＜0时=．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a 的取值范围化简求出答案；（2）利用a ，b 的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a ＞0时=a ；②当a ＜0时=﹣a ；故答案为：a ，﹣a ；（2）如图所示：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1， 则﹣﹣=﹣a ﹣b +（a +b ）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4 (122389)+++【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律. 【答案与解析】原式1(21)1(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...9891 =2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.举一反三： 2323+-a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2(23)(23)=3=7+43(23)(23)-+原式（）又因为整数部分是a ，小数部分是b 则a =13，b =43622221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯+=3311003-。

第05讲实数与二次根式易错点梳理易错点梳理易错点01混淆平方根与算术平方根对于正数a 来说，a ±表示a 的平方根，a 表示a 的算术平方根。

易错点02混淆平方根与立方根的性质正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根，实数a 的立方根只有一个，无论a 是正数、负数还是0。

易错点03二次根式概念理解错误对二次根式的定义理解不透，认为只要带二次根号即为二次根式，忽视了二次根式a 中0≥a 的条件，所以在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负数。

易错点04二次根式运算顺序出错由于乘除是同一级运算，因此按顺序哪个在前，要先算哪个运算。

易错点05错用二次根式的性质二次根式的性质有)0,0(≥≥∙=b a b a ab ；)0,0(>≥=b a ba ba ，切记不存在b a b a ±=±。

易错点06解题时忽视限制条件应用二次根式的运算性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab ，)0,0(>≥=b a ba ba 时，必须要满足括号里的条件。

考向01平方根例题1：（2021·四川凉山·）A ．9B ．9和﹣9C ．3D ．3和﹣3【答案】D【思路分析】先化简，再根据平方根的地红衣求解．3±，故选D ．【点拨】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a ，则这个数叫做a 的平方根，即x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根，记作x =±．例题2：（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（）A ．4=±B ．()2234636m n m n =C ．24833a a a ⋅=D ．33xy x y-=【答案】A【思路分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．【解析】A 、4=±，正确，故该选项符合题意；B 、()2234639m n m n =,错误，故该选项不合题意；C 、24633a a a ⋅=，错误，故该选项不合题意；D 、3xy 与3x 不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．考向02立方根例题3：（2021·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（）A ．2(3=-B=C1=D ．1)3+=【答案】B【思路分析】根据二次根式的运算及立方根可直接进行排除选项．【解析】解：A 、(23=，错误，故不符合题意；B =，正确，故符合题意；C 1=-，例题4：（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果n x a =（n 为正整数，且1n >），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（）A ．16的4次方根是2B ．32的5次方根是2±C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而增大【答案】C【思路分析】根据题意n 次方根，列举出选项中的n 次方根，然后逐项分析即可得出答案．【解析】A.42=16 4(2)=16-，∴16的4次方根是2±，故不符合题意；B.5232= ，5(2)32-=-，∴32的5次方根是2，故不符合题意；C.设x y =则155153232,28,x y ====1515,x y ∴>且1,1,x y >>,x y ∴>∴当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故符合题意；D.由C 的判断可得：D 错误，故不符合题意．故选C ．【点拨】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x 是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．考向03实数例题5：（2021·山东日照·中考真题）在下列四个实数中，最大的实数是（）A ．-2BC ．12D ．0【答案】B【思路分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．【解析】解： 正数大于0，负数小于0，正数大于负数，∴1022>>>-，故选：B ．【点拨】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键．例题6：（2021·贵州毕节·中考真题）下列各数中，为无理数的是（）A ．πB ．227C ．0D ．2-【答案】A【思路分析】根据无理数的定义逐项判断即可．【解析】A 、π是无理数，符合题意；B 、223.1428577= 小数点后的142857是无限循环的，则227是有理考向04二次根式的概念与性质例题7：（2021·湖北襄阳·中考真题）x 的取值范围是（）A ．3x ≥-B ．3x ≥C ．3x ≤-D ．3x >-【答案】A【思路分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．在实数范围内有意义，∴x +3≥0，即：3x ≥-，故选A ．【点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键．例题8：（2021·浙江杭州·中考真题）下列计算正确的是（）A2=B 2=-C 2±D 2=±【答案】A【思路分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．2==，故A 正确，C 2=，故B 、D 错误；故选：A ．【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．考向05二次根式的乘除例题9：（2021·湖南株洲·中考真题）计算：4-=（）A ．-B ．－2C ．D ．【答案】A化简，然后根据乘法法则运算即可．【解析】解：()44--⨯-A ．【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．例题10：（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 【答案】D【思路分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方最简二次根式，故本选项不符合题意；C |a ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．故选：D ．【点拨】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．考向06二次根式的加减例题11：（2021·广西梧州·中考真题）下列计算正确的是（）A=B =C ．2=D ．2＝2【答案】D【思路分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案；=A B=选项C 错误；）2＝2，选项D 正确；故选：D【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键例题12：（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）ABC D 【答案】D【思路分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．【解析】A =B =与类二次根式，故此选项错误；C 故此选项错误；D ==，D ．【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式．微练习一、单选题【答案】B<<∴56<，∴30的算术平方根介于5与6之间．故选：B ．2．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）下列计算：①222+=a a a ，②(1)x y x xy +=+，③46，④236() mn mn =，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】解：①23a a a +=，故①错误；②(1)x y x xy +=+，故②正确；③446+，故③正确；④2336() mn m n =，故④错误；故正确的有②，③，共2个，故选：B ．3．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模））A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】B∴56，5和6之间；故选B ．4．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）下列四个实数中，最小的数是（）A ．5-B ．14C ．0D 【答案】A【分析】解：∵-5＜0＜14，A ．227B C ．3.1415926D 【答案】B【分析】解：A .227是分数，属于有理数；B 是无理数；C .3.1415926是有限小数，属于有理数；D 3=是整数，属于有理数；故选：B ．6．（2021·重庆·西南大学附中模拟预测）在函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是（）A ．1x >-B ．1x ≥-C ．1x ≥-且2x ≠D ．1x >-且2x ≠【答案】C【分析】解：根据题意得：1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：x ≥−1且x ≠2．故选：C ．7．（2021·山东兰陵·一模）实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简a 的结果是（）A ．2a b -+B ．2a b -C ．b -D ．b【答案】A【分析】解：由数轴可知，a ＜0＜b ，∴a -b ＜0∴2a a b a b a =-+-=-；故选：A8．（2021·江苏建邺·二模）2b =-，则b 满足的条件是（）A ．2b ＞B ．2b ＜C ．2b ≥D ．2b ≤【答案】D2b =-∴20b -≥∴2b ≤故选：D ．9．（2021·内蒙古包头·三模）下列说法中，真命题有（）有意义，则1x >；②已知27α∠=︒，则α∠的补角是153︒；③已知2x =是方程260x x c -+=的一个实数根，则c 的值为8；1≥x ，故错误；②已知27α∠=︒，则α∠的补角是153︒，故正确；③已知2x =是方程260x x c -+=的一个实数根，则22-12+c =0，解得c =8，故正确；④在反比例函数2k y x-=中，若0x >时，y 随x 的增大而增大，则k -2＜0，则k 的取值范围是2k <，故错误；故选：B ．10．（2021·重庆·字水中学三模））A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间．【答案】C【分析】解:===== 78∴<介于7和8之间，故选：C ．11．（2021·广西·南宁十四中三模）下列属于最简二次根式的是（）AB C D 【答案】B【分析】A.3=开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B.是最简二次根式，故此选项符合题意；3=含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D.10=被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选B 12．（2021·甘肃庆阳·二模））A B ．3C ．D ．【答案】D【分析】解：S =D13．（2021·福建·厦门市第九中学二模））AB C ．3D合题意；C.3 D.=故选D．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）下列运算正确的是（）B．AC．x5•x6＝11x D．（x2）5＝7x【答案】C【分析】解：A不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；B、12a，故B选项错误；C、x5•x6＝11x，故C选项正确；D、（x2）5＝10x，故D选项错误，故选：C．15．（2021·福建南平·二模）下列运算正确的是（）A=B=C2=D=【答案】A【分析】解：A=B：选项错误，不符合题意；C：选项错误，不符合题意；D：选项错误，不符合题意；故答案选A．二、填空题16．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）______．【答案】1或2．【分析】解：∵23=∴23<<，1，2，故答案为：1或2．17．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）______________．【答案】2【分析】解：原式=2，故答案为：2．|＝__．18．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）30+|﹣119．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）112-⎛⎫= ⎪⎝⎭____________．【答案】2-【分析】解：原式2=2=．故答案为2-．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）=_______．【答案】32【分析】解：原式=32=．故答案为：32．21．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）=______．【答案】22=，故答案为：2．22．（2021·山东·济宁学院附属中学三模）已知1y ==_______．【答案】2【分析】 1y =，2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得2x =，1y =∴，∴2=．故答案为：2．23．（2021·山东省诸城市树一中学三模）已知1a =，1b -，则33a b ab -=__________．【答案】【分析】解：33a b ab -()22ab a b =-()()ab a b a b =+-，∵1a +，1b =，∴)11211ab ==-=，11a b +-=112a b -=+-=，24．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）21|3|()2--+-．【答案】4【分析】解：原式＝3﹣3+4＝4．25．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）计算：201332-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭【答案】【分析】解：原式=143+-+=26．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）计算：11()(53--．【答案】2-【分析】解：11()(53--35=-+2=．27．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）1124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭21124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭42=+2=．。