1998年全国高中数学联赛试题及解答

1998年全国数学联赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=__________。

7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于_______。

8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。

9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =_____。

10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。

1998年全国普通高校招生统一考试（上海卷）数学试题一、填空题：1、1g20+1og 10025= 。

2、若函数y=2sinx+x a cos +4的最小值为1，则a= 。

3、若1lim →x 23332=+++x ax x ，则a= 。

4、函数f(x)=(x-1)31+2的反函数是f -1(x)= 。

5、棱长为2的正四面体的体积为 。

6、以直角坐标系的原点O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若椭圆两焦点的极坐标分别是⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1,2,1ππ，长轴长是4，则此椭圆的直角坐标方程是 。

7、与椭圆244922y x +=1有相同焦点且以y=x 34±为渐近线的双曲线方程是 。

8、函数y= 1,510,30,32〉+-≤〈+≤+x x x x x x 的最大值是。

9、设n 是一个自然数，n n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中x 3的系数为161则n= 。

10、在数列{a n }和{b n }中，a 1 =2,且对任意自然数n,3a n+1-a n =0,b n 是a n 与a n+1的等差中项，则{b n }的各项和是 。

11、函数f(x)=a x(a>0,a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大2a ，则a 的值为 。

二、选择题：12、下列函数中，周期为2π的偶函数是（ ） A 、y=sin4x B 、y=cos 22x-sin 22x C 、y=tg2x D 、y=cos2x13、若0<a<1，则函数y=log a (x+5)的图象不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限14、在下列命题中，假命题是（ ）A 、若平面α内的一条直线l 垂直于平面β内的任一直线，则α⊥βB 、若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥βC 、若平面α⊥平面β，任取直线l ⊂α,则必有l ⊥βD 、若平面α∥平面β，任取直线l ⊂α，则必有l ∥β15、设全集为R ，A={x|x 2-5x-6>0}，B={x||x-5|<a}(a 是常数），且11∈B ，则（ ）A 、A ⋃B=RB 、A ⋃B =RC 、A ⋃B =RD 、A ⋃B=R16、设a,b,c 分别是ΔABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x+ay+c=0与bx-sinB ·y+sinC=0 的位置关系是（ ）A 、平行B 、重合C 、垂直D 、相交但不垂直三、解答题17、设α是第二象限角，sin α=53,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 2637π的值。

数学竞赛中的排列组合问题江苏省梁丰高级中学 (215600) 张伟新排列组合问题主要依据分类计数原理和分步计数原理，其本身应用的知识并不多，但 由于题目灵活多样，在各级各类考试中经常出现，在数学竞赛活动中尤其突出。

其解题方法 也多种多样，归纳起来，我们一般可用下面的方法来解决。

一、列举法：例1、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的 偶数，不同的取法有 。

（1998年全国高中数学联赛） 解：从10个数中取出3个数，使其和为偶数，则这三个数都为偶数或一个偶数二个 奇数。

当三个数都为偶数时，有35C 种取法；当有一个偶数二个奇数时，有15C 25C 种取法。

题意要使其和为不小于10。

我们把和为小于10的偶数列举出来，有如下9种不同取法： （0，1，3），（0，1，5），（0，1，7），（0，3，5），（0，2，4），（0，2，6），（1，2，3）， （1，2，5），（1，3，4）。

因此，符合题设要求的取法有35C +15C 25C －9=51种。

例2、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一。

若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也 停止跳动。

那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种。

（1997年全国高中数学联赛）解：如图：青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D 点。

故青蛙的跳法只有下列两种：（1）青蛙跳3次到达D 点，有ABCD ，AFED 两种跳法。

（2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不到达D ，只能到达B 或F ，则共有AFEF ，AFAF ，ABAF ，ABCB ，ABAB ，AFAB 这6种跳法。

随后的两次跳法各有四种，比如由F出发的有：FEF ，FED ，FAF ，FAB 共4种。

因此这5次跳法共有 6⨯4=24种不同跳法。

∴一共有2+24=26种不同跳法。

1998年全国高中数学竞赛1998年的全国高中数学竞赛标志着我国数学教育的迅速发展和高中学生数学水平的提高。

这次竞赛不仅考查了学生对基本知识的理解和掌握，还注重提高学生的数学问题解决能力和创新思维。

在本文中，我们将回顾这场竞赛的一些亮点和特点，并介绍一些高分选手的解题思路。

第一部分：竞赛概述1998年的全国高中数学竞赛共有三个阶段，分别是区域赛、省级赛和全国总决赛。

比赛题目涵盖了数学的各个分支，如代数、几何、数论等。

与以往相比，这一年的竞赛题目更加注重考查学生的综合能力和深刻理解。

不仅需要学生具备扎实的基础知识，还要求他们能够进行分析和推理，灵活运用所学知识解决实际问题。

第二部分：亮点和特点1. 提高问题解决能力：相比以往的竞赛，1998年的数学竞赛更加强调学生的问题解决能力。

题目不仅仅是简单的计算，更多地融入了实际情境，要求学生进行建模和推导。

这无疑对学生的思维能力提出了更高要求。

例如，在一个实际情境中，要求学生利用已知条件推导出未知量的表达式，从而解决问题。

2. 强调创新思维：竞赛题目中增加了一些开放性问题，对学生的创新思维进行考察。

这样的设计不仅可以考察学生的数学思维能力，还可以培养学生的创新意识和探索精神。

同时，这也为那些世界级的数学问题培养了后备力量。

第三部分：高分选手的解题思路以下是一些高分选手在1998年全国高中数学竞赛中的解题思路的介绍。

1. 高考满分选手李明：在一道组合数学的题目中，李明通过分析题目要求，利用排列组合知识构建了一个数学模型，然后灵活运用公式和逻辑推理，最终得出了正确答案。

他的解题思路清晰，步骤完整，充分展示了他扎实的数学基础知识和优秀的问题解决能力。

2. 常州赛区冠军张磊：在一道几何题中，张磊通过仔细观察图形的性质，找到了关键的几何特征，并利用相似三角形和角平分线的性质进行推导。

他的解题过程准确无误，体现了对几何知识的深刻理解和应用能力。

第四部分：竞赛的影响和启示1998年的全国高中数学竞赛为我国数学教育的发展做出了积极的贡献。

1998年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）文科数学参考公式：三角函数的积化和差公式：[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--正棱台、圆台的侧面积公式1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共15小题，第1－10题第小题4分，第11－15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．sin 600的值是A ．12B ．12-C．2D．2-2．函数||(1)x y a a =>的图像是D3．已知直线(0)x a a =>和圆22(1)4x y -+=相切，那么a 的值是A ．5B ．4C ．3D ．24．两条直线1110A x B y C ++=，2220A x B y C ++=垂直的充要条件是A ．12120A AB B +=B ．12120A A B B -=C ．12121A A B B =- D ．12121A A B B = 5．函数1()(0)f x x x=≠的反函数1()f x -＝A ．(0)x x ≠B ．1(0)x x≠ C ．(0)x x -≠ D ．1(0)x x-≠ 6．已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在()0,2π内α的取值范围是A ．35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°8．复数i -的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A12i ± B．12i C．12i D．12i 9．如果棱台的两底面积分别是S ，S '，中截面的面积是0S ，那么A．=B．0S =C ．02S S S '=+D ．202S SS '=12．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种11．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是A ．B ．C ．D ．12．椭圆221123x y +=的焦点为1F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是A ．4±B ．2±C ．2±D ．34±13．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A．B．C ．2D14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角正弦值为A．12BC．12D15．等比数列{}n a 的公比为12-，前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么11a 的值为A．B ．32±C．D．±第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线221916x y -=的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ．17．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为 （用数字作答）． 18．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．） 19关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=+∈，有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的表达式可改写为4cos(2)3y x π=-；③()y f x =的图像关于点(,0)6π-对称；④()y f x =的图像关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号ABCDA 1D 1B 1C 1是 ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上．）三、解答题：本大题共6小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）设a b ≠，解关于x 的不等式222(1)[(1)]a x b x ax b x +-≥+-． 21．（本小题满分11分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设2a c b +=，3A C π-=．求sin B 的值．以下公式供解题时参考：sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=，sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2cos cos 22θϕθϕθϕ+-+=，cos cos 2sin sin 22θϕθϕθϕ+--=-22．（本小题满分12分）如图，直线1l 和2l 相交于点M ，1l ⊥2l ，点1N l ∈．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN为锐角三角形，||AM =||3AN =且||6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．23．（本小题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，90ABC ∠= ，2BC =，AC =且11AA AC ⊥，11AA AC =．（1）求侧棱1AA 与底面ABC 所成角的大小；（2）求侧面11A ABB 与底面ABC 所成二面角的大小； （3）求侧棱1BB 和侧11A ACC 面的距离．24．（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经常常后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）．l ABCA 1B 1C 125．（本小题满分12分）已知数列{}n b 是等差数列，11b =，1210100b b b +++= ． （1）求数列{}n b 的通项n b ； （2）设数列{}n a 的通项1lg(1)n na b =+，记n S 是数列{}n a 的前n 项和．试比较n S 与11lg 2n b +的大小，并证明你的结论．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13． 14． 15． 16．三、解答题 17．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)316(17) －5120 (18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0，∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0． 解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+． 由A ＋B ＋C =π，得 2)sin(C A +=2cos B，又A －C =3π，得23cos 2B =sin B ，∴ 23cos 2B =2sin 2B cos 2B ． ∵ 0＜2B ＜2π，2cos B ≠0，∴sin2B =43，从而cos 2B =2sin 12B -=413∴ sin B =⨯23413=839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－2P ，0)，N (2P，0)． 由 |AM |=17，|AN |=3得(x A ＋2P)2＋2Px A =17， ①(x A －2P)2＋2Px A =9． ②由①、②两式联立解得x A =P 4，再将其代入①式并由p ＞0解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22A x p ．因为△AMN 是锐角三角形，所以2P＞x A ，故舍去⎩⎨⎧==22Ax p ．∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2P=4．综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)． 解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3，y A =|DM |=22DA AM -=22，由于△AMN 为锐角三角形，故有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+22AE AN -=4X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合{(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}．故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)． (23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ． ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23， ∴ DE =1，AD =A 1D =3，tg A 1ED=DEDA 1=3．故∠A 1ED=60º为所求． (Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，2222=-=BC AC AB ，∴ 362=⋅=AC BC AB BF 为所求． (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k ＞0为比例系数，依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 aab +-=230 (0＜a ＜30＝， ① 于是aa a k ab k y +-==230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=264+a 时取等号，y 达最小值． 这时a =6，a =－10(舍去)．将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0)即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)．∵ a ＋2b ≥2ab ，∴ 22ab ＋ab ≤30， 当且仅当a =2b 时，上式取等号．由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得 b 1=1，10b 1＋d2)110(10-=100．解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知 S n =lg(1＋1)＋lg(1＋31)＋…＋lg(1＋121-n ) =lg[(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )]，21lg b n ＋1=lg12+n ．因此要比较S n 与21lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )与12+n 的大小．取n =1有(1＋1)＞112+⋅，取n =2有(1＋1)(1＋31)>112+⋅ 由此推测(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )＞12+n ． ①若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞21lgb n ＋1．下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )＞12+k ， 那么，当n =k ＋1时，(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋1)1(21-+k )＞12+k (1＋121+k )=1212++k k (2k ＋2)．∵ [1212++k k (2k ＋2)]2－[32+k ]2=123848422+++++k k k k k =121+k ＞0， ∴ 1212++k k (2k ＋2) ＞32+k =()112++k ．因而 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋121+k )＞1)1(2++k ．这就是说①式当n =k ＋1时也成立．由(i)，（ii ）知①式对任何正整数n 都成立． 由此证得：S n >21lg b n ＋1．。

1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、 选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合M ＝｛x │0≤x ＜2｝,集合N ＝｛x │x 2－2x －3＜0｝,集合M ∩N 为 (A)｛x │0≤x ＜1｝ (B)｛x │0≤x ＜2｝ (C)｛x │0≤x ≤1｝ (D)｛x │0≤x ≤2｝ [Key] B(2)如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行,那么系数a 为32)(23)(6)(3)(D C B A ---[Key] B(3)函数)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是[Key] A(4)已知三棱锥D －ABC 的三个则面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是32)D (2)C (31arccos)B (33arccos)A (ππ[Key] C（5）函数x2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是 ππππ4)D (2)C ()B (2)A ([Key] B(6)满足arccos(1－x)≥arccosx 的x 的取值范围是]1,21)[(]21,0)[(]0,21)[(]21,1)[(D C B A --[Key] D(7)将y ＝2x 的图象(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位 再作关于直线y ＝x 对称的图象,可得到函数y ＝log 2(x ＋1)的图象.[Key] D(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是ππππ200)(50)(225)(220)(D C B A[Key] C(9)曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y tx （t 是参数，t ≠0）,它的普通方程是 11)(1)1(1)()1()2()(1)1()1)((2222+-=--=--==--x xy D x y C x x x y B y x A[Key] B(10)函数y ＝cos 2x －3cosx ＋2的最小值为6)(41)(0)(2)(D C B A -[Key] B(11)椭圆C 与14)2(9)3(22=-+-y x 椭圆关于直线x ＋y ＝0对称，椭圆C 的方程是 (A) 19)3(4)2(22=+++y x (B) 14)3(9)2(22=-+-y x(C) 14)3(9)2(22=+++y x (D) 19)3(4)2(22=-+-y x[Key] A(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是337)(637)(32)(332)(ππππD C B A[Key] D(13)定义在区间(－∞,＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,＋∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式 ①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b); ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b); ③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a); ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a), 其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④ [Key] C（14）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是 (){}20<<x x A (){}5.20<<x x B (){}60<<x x C (){}30<<x x D[Key] C(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有 (A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种[Key] D(16)已知92⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_________. [Key] 4(17)已知直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ则极点到该直线的距离是_______。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）一．选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分，第（11）－第（15）题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的．1．sin600︒的值是 A ．21 B ．12- C ．23 D ．32-【答案】D【解析】sin 600sin(720120)sin(120)sin120sin(18060)︒=︒-︒=-︒=-︒=-︒-︒3sin 602=-︒=-．2．函数(1)xy a a =>的图像是【答案】B【解析】函数为偶函数，当0x ≥时，xy a =为增函数，且过点(0,1)，B 正确．3．已知直线(0)x a a =>和圆22(1)4x y -+=相切，那么a 的值是 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】3a =或10a =-<（舍去）．4．两条直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=垂直的充要条件是A ．12120A AB B += B ．12120A A B B -=C ．12121-=B B A A D ．12121=A A B B【答案】A【解析】①若一条直线的斜率不存在，则另一条直线一定与x 轴垂直，满足12120A A B B +=； ②若两条直线斜率均存在，则121212,A A k k B B =-=-，有121k k =-，即1212()1A AB B --=-，所以12120A A B B +=．5．函数1()(0)f x x x=≠的反函数1()f x -= A ．(0)x x ≠ B ．1(0)x x ≠ C ．(0)x x -≠ D ．1(0)x x-≠【答案】B 【解析】1()f x x =为反比例函数，所以反函数11()(0)f x x x-=≠．6．已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在)20[π，内α的取值是A ．35()()244ππππ，， B ．5()()424ππππ，，C ．353(,)()2442ππππ,D ．3()(,)424ππππ，【答案】B【解析】点P 在第一象限，则sin cos 0,tan 0ααα->>，即sin cos ,tan 0ααα>>，α为第一象限或第三象限的角，若α为第一象限的角，则由sin cos αα>得tan 1α>，所以()42ππα∈，；若α为第三象限的角，则0tan 1α<<，结合正切函数图象可得5()4παπ∈，．7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 A ．120º B ．150º C ．180º D ．240º 【答案】C 【解析】由题设得22S rl S rππ==侧底，得2l r =，扇形的圆心角为22rr ππ=．8．复数i -的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ．3122i ± B ．3122i -± C ．3122i ±+ D ．3122i ±- 【答案】D【解析】设33x i i =-=，则3322()()0x i x i x xi i -=-++=，解方程220x xi i ++=得3122x i =±-．9．如果棱台的两底面积分别是,S S '，中截面的面积是0S ，那么 A ．02S S S '=+ B ．0S S S '= C ．02S S S '=+ D ．S S S '=220【答案】A【解析】设两底和中截面的半径分别为,r r '和0r ，则22200,,S r S r S r πππ''===，所以0,,S SS r r r πππ''===，又02r r r '=+，则02S SS πππ'=+，02S S S '=+．10．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种 【答案】B【解析】共有22224212A C C =种不同的分配方法．11．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是【答案】B【解析】在函数图象中，取水深2Hh =时，注水量02V V V '=>，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半，只有B 正确． 【难度】较难．12．椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上．如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 A．4±B．2± C．2± D ．34± 【答案】A【解析】不妨设焦点1(3,0)F -，由题设可知点P 的横坐标为3，代人椭圆方程得点P的纵坐标±由中点坐标公式得点M的纵坐标是±13．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A． B． C ．2 D ．3 【答案】B【解析】设球的半径为R ，球面上3个点为,,A B C ，则ABC ∆为等边三角形，小圆的半径为2r =，所以AB =R ==14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为 A ．251- B ．2252- C ．215- D ．2252+ 【答案】C【解析】不妨设A B C <<，则2C π=，且sin sin sin 1A B C <<=，所以2sin sin A B =，2sin sin ()2A A π=-，化简得2sin sin 10A A +-=，解得sin A =．15．等比数列{}n a 的公比为12-，前n 项的和n S 满足11lim n x S a →∞=，那么1a 的值为A ．3±B ．32± C ．2± D ． 26±【答案】D【解析】由于1lim 1n x a S q→∞=-，所以11213a a =，解得162a =±．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ． 【答案】316 【解析】根据题设，顶点、焦点和圆心在此双曲线的同一支上，设00(,)P x y ，则200531674,29x y +⨯===，故2200163OP x y =+=．17．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为 （用数字作答）． 【答案】179【解析】10(2)x +的通项公式为101102r r r r T C x-+=⋅⋅，故10x 的系数为22010102179C C ⋅-=．18．如图，在直四棱柱1111A B C D ABCD -中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）【答案】AC BD ⊥，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等【解析】连接,AC BD ，则11//BD B D ，由于1AA BD ⊥，所以要使111AC B D ⊥，只需1A C BD ⊥，只需BD ⊥平面1A AC ，也即BD AC ⊥．19．关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=+∈，有下列命题①()y f x =的表达式可改写为()4cos(2)6f x x π=-；②()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③()y f x =的图像关于点(,0)6π-对称；④()y f x =的图像关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是 （注：把你认为正确的命题的序号都．填上．） 【答案】①③．注：多填、漏填的错填均给0分． 【解析】()4sin(2)4cos[(2)]4cos(2)3236f x x x x ππππ=+=-+=-，①正确；()y f x =的最小正周期为π，②错误；()y f x =的图像的对称点的横坐标满足2()3x k k Z ππ+=∈，即26x k ππ=⋅-，当0k =时，对称点为(,0)6π-，③正确，④不正确．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）设a b ≠，解关于x 的不等式222(1)[(1)]a x b x ax b x +-≥+-． 【解】本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．将原不等式化为222222()()2()a b x b a b x a b bx b -+≥-+-+， 移项，整理后得22()()0a b x x --≤，∵a b ≠即2()0a b ->，∴20x x -≤，即(1)0x x -≤． 解此不等式，得解集{}01x|x ≤≤．21．（本小题满分11分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B 的值．以下公式供解题时参考：sin sin 2sincos,sin sin 2cossin2222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-+-+=-=，cos cos 2coscos,cos cos 2sinsin2222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-+-+=-=-．【解】本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．由正弦定理和已知条件2a c b +=得sin sin 2sin A C B +=．由和差化积公式得2sin cos sin 22A C A CB +-=． 由A BC π++=得sin cos 22A C B+=，又3A C π-=得3cos sin 22B B =，所以3cos 2sin cos 2222B B B =． 因为0,cos 0222B B πθ<<≠，所以3sin 24B =，从而213cos 1sin 224B B =-=， 所以31339sin 248B =⨯=．22．（本小题满分12分）如图，直线1l 和2l 相交于点M ，12l l ⊥，点1N l ∈．以,A B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等．若AMN ∆为锐角三角形，17,3AM AN ==，且6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程． 【解】本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以1l 为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中,A B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为22(0),(,0)A B y px p x x x y =>≤≤>，其中,A B x x 分别为,A B 的横坐标，p MN =．所以(,0),(,0)22p pM N -． 由17,3AM AN ==得2()2172A A p x px ++=， ①2()292A A px px -+=． ②由①，②两式联立解得4A x p =，再将其代入①式并由0p >解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4A A x p x p 或因为AMN ∆是锐角三角形，所以2A px >，故舍去2,2.Ap x =⎧⎨=⎩所以4,1A p x ==．由点B 在曲线段C 上，得42B px BN =-=． 综上得曲线段C 的方程为28(14,0)y x x y =≤≤>．解法二：如图建立坐标系，分别以12,l l 为,x y 轴，M 为坐标原点．作122,,AE l AD l BF l ⊥⊥⊥，垂足分别为,,E D F ． 设(,),(,),(,0)A A B B N A x y B x y N x ． 依题意有3A x ME DA AN ====，2222A y DM AM DA ==-=，由于AMN ∆为锐角三角形，故有224N x ME EN ME AN AE =+=+-=6B x BF BN ===．设点(,)P x y 是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合{}222(,)(),,0NA B x y x xy x x x x y -+=≤≤>|．故曲线段C 的方程为28(2)(36,0)y x x y =-≤≤>．23．（本小题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，90,ABC BC ∠=︒=2,23AC =，且1111,AA AC AA AC ⊥=． （Ⅰ）求侧棱1A A 与底面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求侧面11A ABB 与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求侧棱1B B 和侧面11A ACC 的距离．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．（Ⅰ）作1A D AC ⊥，垂足为D ，由面11A ACC ⊥面ABC ，得1A D ⊥面ABC ，所以1A AD ∠为1A A 与面ABC 所成的角． 因为1111,AA AC AA AC ⊥=， 所以145A AD ∠=︒为所求．（Ⅱ）作DE AB ⊥，垂足为E ，连1A E ，则由1A D ⊥面ABC ，得1A E AB ⊥．所以1A ED ∠是面11A ABB 与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB BC ⊥，得//ED BC ． 又D 是AC 的中点，2,23BC AC ==， 所以11,3DE AD A D ===，11tan 3A DA ED DE∠==． 故160A ED ∠=︒为所求．（Ⅲ）作BF AC ⊥，F 为垂足，由面11A ACC ⊥面ABC ，知BF ⊥面11A ACC ．∵1//B B 面11A ACC ，∴ BF 的长是1B B 和面11A ACC 的距离． 在Rt ABC ∆中，2222=-=BC AC AB ，∴ 362=⋅=AC BC AB BF 为所求．24．（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当,a b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（,A B 孔的面积忽略不计）．【解】本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识． 解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则ky ab=，其中0k >为比例系数．依题意，即所求的,a b 值使y 值最小．根据题设，有42260(0,0)b ab a a b ++=>>， 得30(030)2ab a a-=<<+． ① 于是26464303234(2)222k k k k y a a ab a a a a a====--+--+++++18k ≥=， 当6422a a +=+时取等号，y 达到最小值．这时6a =，10a =-（舍去）． 将6a =代入①式得3b =．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的,a b 的值使ab 最大．由题设知42260(0,0)b ab a a b ++=>>，即230(0,0)a b ab a b ++=>>． 因为22a b +≥30ab ≤，当且仅当2a b =时，上式取等号． 由0,0a b >>，解得018ab <≤．即当2a b =时，ab 取得最大值，其最大值为18．所以2218b =．解得3,6b a ==．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．25．（本小题满分12分）已知数列{}n b 是等差数列，112101,100b b b b =++⋅⋅⋅+=．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项n b ；（Ⅱ）设数列{}n a 的通项1lg(1)n n a b =+，记n S 是数列{}n a 的前n 项和．试比较n S 与11lg 2n b +的大小，并证明你的结论．【解】本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分． （Ⅰ）设数列{}n b 的公差为d ，由题意得111,10(101)10100.2b b d =⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得11,2.b d =⎧⎨=⎩ ∴21n b n =-．（Ⅱ）由21n b n =-，知1111lg(11)lg(1)lg(1)log [(11)(1)(1)]321321n a S n n =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+--，11lg 2n b +=． 因此要比较n S 与11lg 2n b +的大小，可先比较11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+-与12+n 的大 小．取1n =有11+>，取2n =有1(11)(1)3++>由此推测11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+>-． ① 若①式成立，则由对数函数性质可判定：11lg 2n n S b +>． 下面用数学归纳法证明①式．（i ）当1n =时已验证①式成立．（ii ）假设当(1)n k k =≥时，①式成立，即11(11)(1)(1)321k ++⋅⋅⋅+>- 那么，当1n k =+时，1111(11)(1)(1)(1))2)3212(1)121k k k k ++⋅⋅⋅++>+=+-+-+．∵2222484831[(22)]0212121k k k k k k k k +++++-==>+++，∴(22)21k k +>=+因而111(11)(1)(1)(1)32121k k ++⋅⋅⋅++>-+ 这就是说①式当1n k =+时也成立．由（i ），（ii ）知①式对任何正整数n 都成立． 由此证得：11lg 2n n S b +>．。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) －21(C) 23 (D) －23(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为( )(A) x 2＋(y ＋2)2=4 (B) x 2＋(y －2)2=4 (C) (x －2)2＋y 2=4 (D) (x ＋2)2＋y 2=4 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A B B(5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x1(x ≠0)(6) 已知点P (sin α－cos α，tg α)在第一象限，则在)20[π，内α的取值是 ( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2345ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)2123± i (B) －2123± i (C) ±2123+ i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2 S 0=S ＋S ′ (D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有( )(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍 (13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )(A) arccos215- (B) arcsin215- (C) arccos251- (D) arcsin 251-(15) 在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么a 1的取值范围是( ) (A)(1，＋∞) (B)(1，4) (C) (1，2) (D)(1，2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________17．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）18．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1 C ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)19．关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)； ③y =f (x )的图像关于点(－6π，0)对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是_______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (20)(本小题满分10分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π．求sin B 的值． 以下公式供解题时参考： sin θ＋sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-， sin θ－sin ϕ=2cos2ϕθ+sin2ϕθ-，cos θ＋cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-， cos θ－cos ϕ=－2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(22)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C ．Ⅰ．求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；Ⅱ．求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； Ⅲ．求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离．(24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1．Ⅰ．写出曲线C 1的方程； Ⅱ．证明曲线C 与C 1关于点A (3t ，2s)对称； Ⅲ．如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =43t －t 且t ≠0．(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145． Ⅰ．求数列{b n }的通项b n ； Ⅱ．设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和．试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）16．31617．179 18．AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 19．②，③ 三、解答题20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B，又A －C =3π 得 23cos 2B=sin B ，所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B. 因为0<2B <2π，cos 2B≠0， 所以sin2B =43， 从而cos2B =4132sin 12=-B 所以sinB=83941323=⨯.21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0），（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，p =|MN |. 所以 M （2p -，0），N （2p，0）. 由|AM |= 17 ，|AN |=3 得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A －2p）2+2px A =9. ②由①，②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或 因为ΔAMN 是锐角三角形，所以2p> x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p 所以p =4，x A =1.由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点． 作AE ⊥ l 1，AD ⊥ l 2，BF ⊥ l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）.依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3， y A =|DM |=2222=-DAAM，由于ΔAMN 为锐角三角形，故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0｝.故曲线段C 的方程为y 2=8（x －2）（3≤x ≤6，y >0）.22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b +2ab +2a =60（a >0，b >0）， 得 b =aa+-230（0<a <30）. ① 于是 y =ab k =aaa k+-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =， 当a +2=264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a =6，a =－10（舍去）. 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），即 a +2b +ab =30（a >0，b >0）. 因为 a +2b ≥2ab 2， 所以 ab 22+ab ≤30， 当且仅当a =2b 时，上式取等号. 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18.即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3，a =6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ， 所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ， 所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ．解：作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23， 所以DE =1，AD =A 1D =3， tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ．解法一：由点C 作平面A 1ABB 1的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离.连结HB ，由于AB ⊥BC ，得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ，知HB ∥A 1E ，且BC ∥ED ， 所以∠HBC =∠A 1ED =60º 所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二：连结A 1B .根据定义，点C 到面A 1ABB 1的距离，即为三棱锥C －A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=， 即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ．解：曲线C 1的方程为y =（x －t ）3－（x －t ）+s .Ⅱ．证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）.设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有2221t x x =+， 2221sy y =+. 所以 x 1=t －x 2， y 1=s －y 2.代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：s －y 2=（t －x 2）3－（t －x 2），即 y 2=（x 2－t ）3－（x 2－t ）+ s ， 可知点B 2（x 2，y 2）在曲线C 1上.反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此，曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ．证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，所以，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ，整理得3tx 2－3t 2x +（t 3－t －s ）=0， 这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4－12t （t 3－t －s ）=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解：Ⅰ．设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n －2.Ⅱ．由b n =3n －2，知S n =log a （1+1）+ log a （1+41）+…+ log a （1+231-n ） = log a [（1+1）（1+41）……（1+231-n ）]， 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较（1+1）（1+41）……（1+231-n ）与313+n 的大小.取n =1有（1+1）>3113+⋅，取n =2有（1+1）（1+41）>3123+⋅， ……由此推测（1+1）（1+41）……（1+231-n ）>313+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1. 下面用数学归纳法证明①式.（ⅰ）当n =1时已验证①式成立.（ⅱ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+41）……（1+231-k ）>313+k . 那么，当n =k +1时，（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+()2131-+k ）>313+k （1+131+k ） =13133++k k （3k +2）. 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k ()013492>++=k k ， 所以13133++k k （3k +2）>().1134333++=+k k 因而（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+131+k ）>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立.由此证得：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.。

一九九八年全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1． 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A ）等于lg2（B ）等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( ) （A ）{a | 1≤a ≤9}(B ) {a | 6≤a ≤9}(C ) {a | a ≤9} (D ) Ø3.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( )(A ) 150(B ) - 200(C ) 150或 - 200 (D ) - 50或4004.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2+ b 1x 2+ c 1 > 0与a 2x 2+ b 2x + c 2 > 0的解集相同； 命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2． 则命题Q ( ) (A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件(C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( ) (A ) arcsin63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot 226.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P ,Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.5．若椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．6．∆ABC 中, ∠C = 90o, ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.三、（本题满分20分）已知复数z=1－sin θ+i cos θ(π2<θ<π)，求z 的共轭复数－z 的辐角主值．四、（本题满分20分）设函数f (x ) = ax 2+8x +3 (a <0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l (a ) ,使得在整个 区间 [0, l (a )]上, 不等式| f (x )| ≤ 5都成立．问：a 为何值时l (a )最大? 求出这个最大的l (a )．证明你的结论.五、（本题满分20分）已知抛物线y2= 2px及定点A(a, b), B( –a, 0) ,(ab≠ 0, b2≠ 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2．求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ≠M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．第二试一、（满分50分）如图，O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上。