【数学竞赛】1998年全国初中数学联赛试卷及答案

1998年全国初中数学联合竞赛试题答案及详解第 一 试1．3 15+=m ，4151511-=+=m ， ∴ 435451+=+m m ，31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m . 2．322 如图，AD 为直角A 的平分线，过B 作DA BE //交CA 的延长线于点E .=∠EBA ︒=∠45BAD ，1==AB AE ，2=EB ，又CDA ∆∽CBE ∆，32==CE AC EB AD ，∴32232==EB AD . 3．22)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x22)1()1(22=+--+--=x x x x x .4．3因为m 、n 为有理数，方程一根为25-，那么另一个根为25--，由韦达定理.得 4=m ，1-=n ，∴3=+n m .5．316 由原图 AEFG EF AE EG ED BE EF AE +===， ∴ EF EFAE FG -=23163352=-=(厘米). 6．1647175399522⨯⨯==-m n ,47175))((⨯⨯=+-m n m n .显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m ,n )，故满足条件的整数对(m ,n )共162222=⨯⨯⨯(个).7．1111个相继整数的平方和为22222)5()4()4()5(+++++++-+-x x x x x ΛΛ22)10(11y x =+=,则y 最小时，从而12=x ，∴11=y .8．39∵ MBP ∆∽CBA ∆，3:1:=∆∆CBA MBP S S ， 3:1:=BA BP ,∴ 32=BA ，13=AC . 39133221=⋅⋅=∆ABC S . 9．27204 ∵72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理54=BA BE , 由原图，连BG .记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S EGc =∆.又由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，解之得 2728=b ， 27100=c .∴ )(2720427128平方厘米==+=c b S BEGF . 10．13由题意，设有n 人，分苹果数分别为1,2,…,n 2)1(321+=++++n n n Λ≤100, ∴ n ≤13，所以至多有13人.11．-1b a b ab a 222--++b b a b a 2)1(22-+-+= 412343)21(22--+-+=b b b a 1)1(43)21(22--+-+=b b a ≥-1. 当 021=-+b a ，01=-b ， 即 0=a ，1=b 时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1. 12．73 对 ))((22m n m n m n x -+=-=(1≤m <n ≤98 m ,n 为整数)因为n +m 与n -m 同奇同偶，所以x 是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.13．15设算式∴ A ≤6.35876543219)(2=++++++=++B A .∴ 8=+B A .欲令A ·B 最大，取A =5，B =3，此时b ,e 为6,8;a ,c ,f 为2,4,7，故A ·B 最大值为15.14．62a c fB b e A d h + g 显然：g =1,d =9,h =0. a +c +f =10+Bb +e =9+A如图，AB PM ⊥，AC PN ⊥，BC PQ ⊥.P ,Q ,C ,N 四点共圆，P ,Q ,B ,N 四点共圆,NPQ NCQ MBQ MPQ ∠=∠-︒∠=∠-︒=∠180180，QNP BCP MBP MQP ∠=∠=∠=∠，∴ MPQ ∆∽QPN ∆， NP PQ PQ MP =， 62=⋅=NP MP PQ (厘米).15．7213047506778296109⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y S∴ S 被11除所得的余数等于17+y 被11除所得的余数.由检查号码可知，S 被11除所得的余数是11-5=6，因此7y 被11除所得余数为6-1=5, ∴y =7第 二 试一、设两整数根为x ,y (x ≤y )，则⎩⎨⎧>=>=+04,0a xy a y x 2a ≤y ≤a ,4≤x ≤8.可推出4≠x ， ∴ 42-=x x a ，由于x 为整数, ∴ 5=x 时，25=a ，20=y ； 6=x 时，18=a ，12=y ；7=x 时，a 不是整数；8=x 时，16=a ，8=y .于是25=a 或18或16均为所求.说明 没有说明理由，仅指出a 的每一个正确值给4分.二、证明 如原图，连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点'Q ,''Q . 在PAC ∆中，∵OC AO =，NC PN =，∴'Q 为重心，'2'OQ PQ =在PDB ∆中，∵BO DO =，MP BM =，∴''Q 为重心，''2''OQ PQ =这样'''Q Q =，并且'Q ,''Q 就是AN ，DM 的交点Q .故P ,Q ,O 在一条直线上，且OQ PQ 2=.三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一） 以上5个数可用以下步骤找出：第一步：2,3,4为满足要求的三个数.第二步：设a ,a +2,a +3,a +4为满足条件的四个数，则a 可被2,3,4整除.取a =12，得满足条件的四个数12，14，15，16.第三步：设b ,b +12,b +14,b +15,b +16.取12,14,15,16的最小公倍数为b .即b =1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.。

一九九八年全国初中数学竞赛试题及解答
陈宏伯
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1998(000)005
【摘要】根据国家教委的批示,中国教育学会中学数学教学专业委员会于1998年4月18日举办全国初中数学竞赛.这次竞赛在总结以往竞赛经验的基础上,其宗旨是:积极推进素质教育,根据国家教委颁布的义务教育初中课程方案和初中数学教学大纲提出的要求,促进初中活动课程的建设和初中数学课外活动的开展,激发学生学习数学的兴趣,培养学生应用数学的意识和能力,满足学有余力的学生学习数学的愿望,发展他们的才能.力求使竞赛活动成为学生课外主动的读书、学习活动,有利于他们数学知识、能力的发展和身心的健康成长,促进初中数学教学质量的提高.其命题的范围是:以义务教育初中数学教学大纲的内容、要求为基本依据,着重考查学生对数学知识的理解、技能的掌握和应用数学知识的能力.现将这次竞赛的试题及参考答案刊登如下,供读者研究.
【总页数】2页(P46-47)
【作者】陈宏伯
【作者单位】人民教育出版社
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
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1998年北京市中学生数学竞赛初中二年级初赛试题（1998年4月5日8：30～10：30）一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案．请将你的答案填在括号内，答对得6分，答错或不答均记0分）1．已知如下数组3，32-③12402，12240，1998 ④1998，640，2098其中可作为直角三角形三边长度的数组是（）A．①④B．②④C．②③D．③④2．在下面时间段内，时钟的时针与分针会出现重合的是（）A．5：25～5：26 B．5：26～5：27C．5：27～5：28 D．5：28～5：293．已知()=---A为正数的自然数x有（）A x25A．1个B．2个C．多于2的有限个D．无限多个4．将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形，那么不全等的三角形的个数是（）A．5 B．6 C．8 D．105．在ABC∠=°，12△的面积等于（）AC∠=°，15△中，90AB=．则ABCA．16 B．18 C．D．6．已知432c=，324b=，423a=，342d=，则a，b，c，d，e的大小关系是（）A．a b d e c===>===<B．a b d e cC．e d c b a<<<<D．e c d b a<<<<2．P为正方形ABCD内一点，10PA PB==，并且P点到CD边距离也等于10．求正方形ABCD 的面积．D CPAB 3．已知a为整数，2--是质数，试确定a的所有可能值的和．a a412274．如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，过点P 分别作AB ，AD 的平行线交平行四边形于E ，F ，G ，H 四点．若3AHPE S =，5PFCG S =．求PBD S △．HCA5．实数a ，b ，x ，y满足21y a =-，231x y b -=--，求22x ya b+++之值．6．多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-．试确定a b +的值．7．梯形的两条对角线互相垂直，其中一条对角线的长是5厘米，梯形的高等于4厘米．此梯形的面积是多少平方厘米？8．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后达到楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间乙、登楼梯级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上．问由楼下到楼上自动扶梯共有多少级？初中二年级复赛试题（1998年5月3日8：30～10：30）一、填空题（满分40分）1．若x y +x y -，则xy = ．2．等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别为腰AC 、BC 上（异于端点）的点，DE DF ⊥，10AB =，设x DE DF =+，则x 的取值范围是 ．FE DCBA3．实数a ，b1032b b -+--，则22a b +的最大值为 ． 4．若y ，z 均为质数，x yz =，且x ，y ，z 满足113x y z+=，则199853x y z ++= ． 5．黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作．每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添加上0，等等．如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是25，则另一个是 ． 二、（满分15分）今有浓度为5%，8%，9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7%的盐水100克．问：甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？三、（满分15分）矩形ABCD中，20AB=厘米，10BC=厘米．若在AC、AB上各取一点M，N（如右图），使BM MN+的值最小，求这个最小值．N MD CBA四、（满分15分）国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分．今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手手电分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名选手得分总和．问：前三名选手各得多少分？说明理由．五、（满分15分）正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定HAF∠的大小并证明你的结论．P HGF E DCB A1998年北京市中学生数学竞赛初中二年级初赛试题答案（1998年4月5日8：30～10：30）一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案．请将你的答案填在括号内，答对得6分，答错或不答均记0分）1．D验算222+≠，排除A ．)(((2231913+=-+- (23232=--，排除B ，C ．又()()2212402122401240212240124021224024642162-=+-=⨯ ()222231111998=⨯⨯=()()2222098199820981998209819984096100640-=+-=⨯= 所以③，④合于要求．选D ．2．C设5点x 分时，时针与分针重合．因为分针速度是时针速度的12倍，5点钟时，时针在分针前面25格，所以可得方程2512xx -=解得32711x =．因此5点32711分时时针与分针重合．选C ．算术解法：分针速度是时针速度的12倍，所以时针指到26格时，分针指到12格（即5点12分）．时针指到27格时，分针指到24格，分针落后于时针．当时针指到28格时，分针指到36格，此时分针已超过时针．所以在27格到28格之间时针与分针重合．3．C因为()2532A x x =----++由320x -++>，解得 3.02x <． 所以满足条件的自然数是1，2，3． 故选C ．4．C设三角形三边a ，b ，c 满足a b c ≤≤因为a b c +>，所以22010c a b c c <++=⇒<．又因为320c a b c ++=≥，所以2673c c ⇒≥≥．因此79c ≤≤．当7c =时，7b =，6a =．当8c =时，8b =，4a =；7b =，5a =；6b =，6a =．当9c =时，9b =，2a =；8b =，3a =；7b =，4a =；6b =，5a =．共有8组解． 选C ． 5．B如图，作CE AB ⊥于E ，D 为AB 中点，6CD =．因为230CDB A ∠=∠=°，所以132CE CD ==．1123182ABC S =⨯⨯=△．选B ．6．C因为432a =，342b =，423c =，234d =，324e =即812a =，642b =，163c =，91842d ==，81642e ==． 又643232162433b c ==>>=，186681628993d c ==<<==． 所以e d c b a <<<<．选C ．二、填空题（满分64分，每小题答对得8分，答错或不答均记0分）1．， 此式要有意义，应有1a ≤．2a <，3a ≠， 因为{1}{2}{3}{1}a a a a <= ≤≠≤，所以，原式=0==．2．256设CD 中点为M ，则PM CD ⊥．所以10PM =．延长MP 交AB 于N ，则AN NB =．MN AB ⊥．设正方形边长为2x ，则AN BN x ==，210PN x =-． 在Rt APN △中，由勾股定理得：()22210210x x =+-化简得25400x x -=即()580x x -=因为0x >，解得8x =．所以正方形的边长为16，面积为256． 3．6设241227a a --是质数p ，则241227a a --有因子1±及p ±． 由()()2412272329a a a a --=+-可得： 当231a +=时，1a =-．此时()21911--=-． 当231a +=-时，2a =-．此时()22913--=-． 当291a -=时，5a =．此时()25313+=． 当291a -=-时，4a =．此时()24311+=．ED CBAM xx NABCDP所以当a 取1-，2-，5，4时，241227a a --是质数．a 的所有可能值的和为()()12546-+-++=．4．1设PBD S x =△，ABD CDB S S s ==△△，则PBCD S s x =+，PDAB S s x =- 所以53s x s x +-=--． 解得1x =．即1PBD S =△．5．17由已知21y a =- ①231x y b -=-- ② ①+223x a b +-=--30x -≥，220a b --≤，30x +-=0=，30x -=；220a b --=，6．3-设()()22562f x y x axy by x y x y =++-++=+-，，()g x y ，是()f x y ，的另一个因式，于是，()()()2f x y x y g x y =+-⋅，，令1x y ==，则()110f =，，()0g x y =，，即得15160a b ++-++=， 所以3a b +=-．7．503 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC BD ⊥，5BD =，DH BC ⊥于H ，4DH =．于是3BH =．过D 作AC 的平行线交BC 的延长线于E ，则DE AC =．令DE AC x ==，则HE 在Rt BDE △中，2DH BH HE =⨯，即243=解得203x =．所以梯形ABCD 的面积11205052233BD AC =⨯⨯=⨯⨯=（平方厘米）．8．66设自动扶梯共n 级．甲登梯速为每分钟y 级，则乙登梯速为每分钟2y 级．电梯速度为每分钟x 级． 则依题意列得关系式： ()55x y n y +=，()6022x y n y+=． 所以()()556022x y x y y y+=+得55553060x y x y +=+ 即255x y =所以15x y =．45xxHED CBA因此，()55551555555665x n x y y y =+=+=⨯+=． 也就是说，楼下到楼上自动扶梯共有66级．初中二年级复赛试题答案（1998年5月3日8：30～10：30）一、填空题（满分40分）1解：由x y +x y -①+②得x ①-②得y =2．10x < 连接CD ．易证ADE CDF △≌△，所以DE DF =． 因此2x DE =．因为D 为定点，E 为AC 边上的动点．而5AD CD ==．当E 为AC 中点时，DE AC ⊥，DE．当点E 向A 运动或向C 运动时，DE 增大，但5DE AD <=，所以55DE <，也就是10x <． 3．45由已知得()161032a a b b -+-=--+-，由绝对值的几何意义，易知 左边165a a -+-≥，右边()1032055b b --+--=≤1， 所以，左边=右边5=，此时16a ≤≤，32b -≤≤．因此22a b +的最大值为()226345+-=． 4．20005由已知x ，y ，z 满足113x y z+=得3yz xz xy +=． 因为x yz =，所以3x xz xy +=． 又0x ≠，所以13z y +=．若2z =，则1y =，与“y 与质数”的条件相矛盾，所以2z ≠，因此质数z 必为奇数，13z y +=为偶数．y 只能是偶数，又y 是质数，所以2y =．于是取2y =，5z =，则10x =．所以199853199810523520005x y z ++=⨯+⨯+⨯=． 5．6由操作规则知，每次操作后黑板上所有的数之和被10除的余数保持不变． 因为123199719981997001+++++=…，故黑板上的数之和被10除的余数为1始终不变．最后剩下的两个数中，至少有一个为新添加的数．而新添加的数只能是一位数，所以25不是新添加的数．因此另一个数必是新添加的数．他应是个F′E′ABCDE F一位数，且与25的和被10除余1．故只能是6．二、（满分15分）解：设甲、乙、丙三种盐水分别各取x 克，y 克，z 克可配成浓度为7%的盐水100克．依题意，得100589700x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② 其中060x ≤≤③ 060y ≤≤④047z ≤≤⑤由①，②解得2004y x =-，3100z x =-，所以由④0200460x -≤≤，解得3550x ≤≤⑥由⑤0310047x -≤≤，解得133493x ≤≤⑦综合③，⑥，⑦可知3549x ≤≤．事实上，当甲种盐水取35克时，乙种盐水取60克，丙种盐水取5克，可满足方程①，②； 当甲种盐水取49克时，乙种盐水取4克，丙种盐水取47克，也可满足方程①，②． 答：甲种盐水最多可用49克，最少可用35克．三、（满分15分）解：作B 关于AC 的对称点B '，连结AB '． 则N 点关于AC 的对称点为AB '上的N '点．这时，B 到M 到N 的最小值等于B M N '→→的最小值，等于B 到AB '的距离BH '．即BM MN +的最小值为BH '．现在求BH '的长．设AB '与DC 交于P 点，连结BP ，则ABP △的面积等于120101002⨯⨯=．注意到PA PC =（想一想为什么？） 设AP x =，则PC x =，20DP x =-． 根据勾股定理得222PA DP DA =+，即()22222201040040100x x x x x =-+⇒=-++， 解得12.5x =（cm ）．所以10021612.5BH ⨯'==（cm ）． 即BM MN +的最小值是16厘米．N′H′B′P HAB CD M N四、（满分15分）A 7A 654Ai j A A →表示i A 胜j A i j A A …表示i A 平j A解：设第i 名选手得分为i a ，则12345678a a a a a a a a >>>>>>> 由于8名选手每人比赛7局，最多可胜7场， 所以17a ≤．大家共赛78282⨯=场，总积分为28分．所以1234567828a a a a a a a a +++++++=①因为每局的积分为0，0.5，1这三种值，所以每人的积分只能取0，0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5，5.5，6，6.5，7这15个值．又知4 4.5a =，25678a a a a a =+++ ②若3 5.5a ≥，则26a ≥，1 6.5a ≥，此时123 6.56 5.518a a a ++++=≥． 由①4567810a a a a a ++++≤，但4 4.5a =，由②2567810 4.5 5.5a a a a a =+++-=≤，这与26a ≥矛盾．所以3 5.5a <，但34 4.5a a >=，所以35a =．这时由①得125678285 4.518.5a a a a a a +++++=--=，也就是12218.5a a += 若2 5.5a =，那么118.5117.57a =-=>，与17a ≤矛盾！若2 6.5a ≥，那么12218.5218.513 5.5a a a =--=<≤矛盾！所以只能26a =． 此时118.526 6.5a =-⨯=．所以前三名选手的积分分别为：6.5分，6分，5分．事实上，当第一名选手平第三名选手、胜其余六人，第二名选手负于第一名而胜其他六名选手，第三名选手平第一名、负于第二名、平第四名、胜其他各名选手时，这时第四名选手负于第一名、第二名，平第三名时即可达到．如图所示． 五、（满分15分）解：容易猜测到45HAF ∠=°． 我们证明如下．设AG a =，BG b =，AE x =，ED y =．则有关系式 2a b x y ax by +=+⎧⎨=⎩①② 由①a x y b -=-平方得22222a ax x y by b -+=-+，将②代入得222224a ax x y ax b -+=-+，M D H∴()222a xb y a x+++⇒+∵22222b y CH CF FH+=+=，∴a x FH+=．即DH BF FH+=．将Rt ADH△绕A旋转90°到Rt ABM△的位置．易证：AMF AHF△≌△，M AF H AF∠=∠．而90 MAH MAB BAH DAH BAH DAB∠=∠+∠=∠+∠=∠=°∴1452HAF MAH∠=∠=°。

全国初中数学竞赛初赛试题汇编（1998-2018）目录1998年全国初中数学竞赛试卷 (1)1999年全国初中数学竞赛试卷 (6)2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9)2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14)2002年全国初中数学竞赛试题 (15)2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17)2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25)2005年全国初中数学竞赛试卷 (30)2006年全国初中数学竞赛试题 (32)2007年全国初中数学竞赛试题 (38)2008年全国初中数学竞赛试题 (46)2009年全国初中数学竞赛试题 (47)2010年全国初中数学竞赛试题 (52)2011年全国初中数学竞赛试题 (57)2012年全国初中数学竞赛试题 (60)2013年全国初中数学竞赛试题 (73)2014年全国初中数学竞赛预赛 (77)2015年全国初中数学竞赛预赛 (85)2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94)2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)2018 年初中数学联赛试题 (105)1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cbc a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。

1998年全国初中数学联赛试题(含答案)1998年全国数学联赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分） 1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ）（Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x的两根之差是1，那么p的值为（ ）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p ba c a cbc b a =+=+=+，那么直线ppx y +=一定通过第（ ）象限（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。

9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a ax a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。

1998年全国初中数学试题一、选择题（每小题6分，满分30分）1．已知a，b，c都是实数，并且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ]A．ab＞bc B．a+b＞b+c. C.a-b>b-c; D. a bc c >.2．如果方程x2+px+1=0（p＞0）的两根之差为l，那么p等于[ ]3．在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于[ ] A． 12 B．14 C．16 D．184.已知abc≠0,,并且a b b c c apc a b+++===,那么直线y=px+p一定通过[ ]A．第一、二象限B．第二、三象限. C．第三、四象限D．第一、四象限5.如果不等式组9080x ax b-≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1,2,3,那么整数a,b的有序数对(a,b)共有[ ]A．17个B．64个. C．72个D．81个二、填空题（每小题6分，满分30分）6．在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=______．7．已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于______．8．已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为______cm．9．已知方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，那么a=＿＿．10.B船在A船的西偏北450,两船相距若A船向西航行,B船同时向南航行,且B船速度为A船速速度的2倍,那么A,B两船的最近距离是___________km.三、解答题（每小题20分，满分60分）11．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．12.设抛物线y=x2+(2a+1)x+2a+54的图象与x轴只有一个交点.(1)求a的值；(2)求a18+323a-6的值．13．A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台，现在决定把这些机器支援给D市18台、E市10台，已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市运费分别为400元和500元．(1)设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数式，并求W的最小值和最大值．(2)设从A市x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x，y表示总运费W（元），并求W的最小值和最大值．1998年全国初中数学联赛参考答案一、选择题1．B根据不等式性质．2．D由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程的两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=l．又由(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，得l2=(-p)2-4．∴p2=5，3．C如图连ED，又∵DE是△ABC两边中点连线．故选C．4．B得2(a+b+c)=p(a+b+c)．∴有p=2或a+b+c=0．当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是∴y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B．5．C在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图∴a=1，2，3…9，共9个．∴b=3×8+1，3×8+2，3×8+3，…，3×8+8．共8个．∵9×8=72（个），故选C．二、填空题6．解如图，过A作AG⊥BD于G，∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”．∴PE+PF=AG．∵AD=12，AB=5，∴BD=13．7．解如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)，作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，∴S△OAB=S梯形AA1B1B-S△AA1O-S△BB1O8．解如图，当圆环为3个时，链长为3a+故a可取1，3或5．10．解如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，于是BB1=2x．∴A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|．三、解答题11．解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽△CED，又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等．解法2 作FH⊥CE于H，设FH=h．∵∠ABE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠FEH．∴Rt△EHF∽Rt△BAE．即EH=2h，又∵HC=FH，12．解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程(2)由(1)知，a2=a+1，反复利用此式可得a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2，a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13，a16=(21a+13)2=441a2+546a+169=987a+610．a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610=2584a+1597．∵a2-a-1=0，∴64a2-64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1．∴a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796．13．解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x+17200．∴5≤x≤9．∴W=-800x+17200(5≤x≤9，x是整数)由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y-17200∴W=-500x-300y+17200，W=-200x-300(x+y)+17200≥-200×10-300×18+17200=9800．当x=10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800．又W=-200x-300(x+y)+17200≤-200×0-300×10+17200=14200．当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200．。

1988第五届全国九年级义务教育初中中考数学联赛第一试一、选择题1.下面四个数中最大的是( ) A.tan48cot 48︒+︒ B.sin48cos48︒+︒C.tan48cos48︒+︒D.cot 48sin48︒+︒2.在实数范围内,设198851111a x a a ⎫⎪+=+⎪+ ⎪+ ⎪-⎝⎭则x 的个位数字是( )A.1B.2C.4D.63.如图1,在直角梯形ABCD 中,7AB =,2AD =,3BC =,如果这AB 上的点P 使得以P ,A ,D 为顶点的三角形和以P ,B ,C 为顶点的三角形相似,那么这样的点P 有A.1个B.2个C.3个D.4个4.下面有四个命题:⑴一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形,⑵一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形,⑶一组对角相等且一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形, ⑷一组对角相等且一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.其中,正确的命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题1.如果质数p ,q 满足关系式3531p q +=,那么2log 31pq +的值是________.2.如图2,ABC △的边2AB =,3AC =,1,2,3分别表示以AB ,BC ,CA 为边的正方形,则图中三个阴影部分面积的和的最大值是_________.3.如果自然数1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,满足1234512345x x x x x x x x x x ++++=,那么5x 的最大值是_______.4.如图3,A ,B ,C ,D 四点在同一圆周上,且4BC CD ==,6AE =,线段BE 和DE 的长都是正整数,则BD 的长等于_________.第二试一、一串数1,4,7,10,…,697,700的规律是:第一个数是1,以后的每一个数等于它前面的一个数加3,直到700为止,将所有这些数相乘,试求所得数的尾部零的个数(例如12003000尾部零的个数是3).二、如果p ,q ,21p q -,21q p-都是整数,并且1p >,1q >,试求p q +的值. 三、如图4,PQR △和P Q R '''△是两个全等的等边三角形,六边形ABCDEF 图 1PD C B A 图 2CAB 132图 3E D CB A Pb 1a 3b 2b 3a 2a 1Q'P'R'RQF EDC B A的边长分别记为:1AB a =,1BC b =,2CD a =,2DE b =,3EF a =,3FA b =.求证:222222123123a a a b b b ++=++.1988第五届全国九年级义务教育初中中考数学联赛答案第一试一、选择题1.A【解析】 ∵0cos481<︒<,0sin481<︒<,sin 48cos48sin 48cos48tan 48cot 48cos48sin 48︒︒︒+︒<+=︒+︒︒︒,cos48tan 48cos48tan 48tan 48cot 48sin 48︒︒+︒<︒+=︒+︒︒,sin 48cot 48sin 48cot 48cot 48tan 48cos48︒︒+︒<︒+=︒+︒︒,所以最大的是tan48cot 48︒+︒. 故选A【点评】 这道题考的是三角函数的基本概念,并且需要知道三角函数在090-度时的取值范围,对于给出的48度,我们只要与45度角的三角函数数值比较即可.2.D【解析】 要使两个根式都有意义,必须(2)(||1)0a a --≥,且(2)(1||)0a a --≥,但(2)(1||)(2)(||1)a a a a --=---, 所以只能是(2)(||1)0a a --=,解得12a =,21a =,31a =-.若12a =,则1101a+=-,若21a =,则10a -=,均使分母为零. 因而仅有31a =-适用.此时1988198844974975(1)1(2)2161(1)x ⨯⎡⎤⨯-+==-==⎢⎥--⎣⎦. 所以x 的个位数字是6. 故选D.【点评】 题目的式子很复杂,但往往复杂的算式会有一个突破口,本题的突破口就是根据根式有意义得出a 的可能值,但是要注意的是对于分式我们一定要对求出的可能值进行检验,防止出现分母为零的情况. 3.C【解析】 如图1,设AP x =,则7PB x =-,⑴ 如果PAD PBC △∽△,则273x x =-, ∴1475x =<,符合条件.⑵如果PAD CBP △∽△,则237x x=-, ∴11x =,26x =也都符合条件. 所以满足条件的点p 有3个. 故选C. 4.A【解析】 对于⑴、⑵、⑷可分别给出反例,例如:⑴如图2中四边形ABCD ,其中ABD CDE △≌△.⑵如图3,作等腰ADE △,延长底边ED 至任意点O ,以O 为对角线的交点可作出平行四边形ABCE ,而此时的四边形ABCD 满足条件AD AE BC ==,且AO CO =,但不是平行四边形. ⑷如图3中的四边形ABCD ,其中B ,D 是AC 的垂直平分线上的任意两点. 以下证明命题⑶是正确的.如图4,已知BAD DCB ∠=∠,且OB OD =.以O 为中心,将ABD △逆时针旋转180度,由于OB OD =,所以D 与B 重合,B 与D 重合,点A 与射线OC 上的某点A '重合.如果A '不是C ,则BA D BCD '∠>∠(A '在线段OC 内部)或BA D BCD '∠<∠(A '在OC 的延长线上),都与BA D BAD BCD '∠=∠∠矛盾！从而A '即是C .即OA OA OC '==,所以四边形ABCD 是平行四边形. 综上,仅有命题⑶正确. 故选A.【点评】 题目的解法比较明显,根据相似的条件列出方程再求解即可.但在列方程的时候要注意相似有两种情况,要分情况求解,最后要注意验算,看得出的结果是否满足题意.二、填空题1.3-或0【解析】 由条件知,3p 和5q 中必有一个是偶数,而另一个是奇数,若3p 是偶数,则只有2p =,从而5q =,这时22221log log log 3313518p q ===-+⨯+若5q 是偶数,则只有2q =,从而7p =,这时2227log log log 1031321p q ===+⨯+.所以2log 31pq +的值是3-或0.【点评】 这道题的关键是要解出p ,q 的值,这其中要利用奇偶性来判断,并且要用到2是惟一的偶质数,这点在竞赛中经常会成为一道题目的突破口,我们要加以注意.2.9【解析】 利用公式1sin 2S ab C =和sin(180)sin αα︒-=,易知,三个阴影三角形的面积都分别等于ABC △的面积,如图5,因此三个阴影部分与面积的和133sin 9sin 92BAC BAC =⨯⨯⨯∠=∠≤.当90BAC ∠=︒时,等号成立.所以三个阴影部分面积的和的最大值是9. 正弦定理、三角形面积公式,图 1PD CB A正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外接圆的直径,即:2sin sin sin a b cR A B C===.面积公式:111sin sin sin 222S bc A ab C ac B ===△. 正弦定理的变形及应用, 变形:⑴2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =, ⑵sin :sin :sin ::A B C a b c =,⑶sin 2a A R =,sin 2b B R =,sin 2cC R=. 应用:⑴利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:①已知两角和任一边,求其他两边和一角.②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况.⑵正弦定理,可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化. 例如:在判断三角形形状时,经常把a ,b ,c ,分别用2sin R A ,2sin R B ,2sin R C 来代替.【点评】 这道题其实并不难,但需要大家对三角形的面积公式很熟悉,并且能够灵活运用三角函数的公式,这里面有些知识是高中的,同学们需要了解一下.3.5【解析】 由条件等式的对称性,不妨设12345x c x x x ≤≤≤≤,由23451345124512351234111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++4545455411111x x x x x x x x ++++≤45453x x x x ++=,得45453x x x x ++≤. ∴45(1)(1)4x x --≤.若41x =,则12341x x x x ====这时,题设等式成为554x x +=,矛盾！ 若41x >,则514x -≤,即55x ≤.若55x =时,容易找到满足条件的解组:(1,1,1,2,5), 所以,最大值是5.【点评】 给出一个一般的结论,满足等式1212n n x x x x x x +++=L L 的自然数(12)i x i n =L ，，，至少有一组: (2)111n -L 14243个，，，,2,n . 利用它我们不难解答下面的问题:试写出方程121987121987x x x x x x +++=L L 的在自然数集中的一组解.答案1219851x x x ====L ,19862x =,19871987x =. 4.7【解析】 如图6,设EC x =,BE y =,ED z =.由DCE ACD △∽△, 得CD EC CA DC =, 即464x x =+, 231B A C 图 5ABC DE 图 6解得22x =(8x =-不合题意), 又由AE EC BE ED ⋅=⋅, 得6212yz =⨯=,但在BCD △中,又可得448y z +<+=, 从而,只能求出正整数解组 34y z =⎧⎨=⎩或43y z =⎧⎨=⎩, 此时,都有7BD y z =+=.【点评】 这道题考的主要是圆的性质,这其中用到了相交弦定理、圆周角定理等,这样的圆内接四边形的图形是我们经常遇到的,我们要很熟悉这个图形中哪些三角形相似以及它们边之间的比例关系.第二试一、 【解析】 首先,求出积中含有因数5的个数.数组中:10,25,40,35,…,700均含有因数5.这一组数共有 (70010)15147-÷+=个,如果每一个数各计一个5,共47个5,但是,其中:25,100,175,…,700还有含有第二个因数5,这些数共计有 (70025)751100-÷+= 因此,就该再添上10个5.类似地,250,625还会有第三个因数5,625还会有第四个因数5. 这样,积中因数5的个数为47102160+++=个至于积中因数2的个数显然多于60个,所以,积的尾部共有60个零.【点评】 这种求尾数零的个数的问题相信大家不会陌生,这主要就是求含因数5的个数,在数的时候要注意不要漏算.二、 【解析】 解法1:首先有p q ≠.事实上,若p q =,则 212112p p q p p --==-,因为1p >,21p q-不是整数,与题设矛盾. 由对称性,不妨设p q >,且令21q m p-=,则m 为正整数.∵21212mp q p p =-<-<, ∴1m =.这样21p q =-,据此,214334p q q q q --==-,但21p q -也是正整数,且1q >,∴3q =,于是215p q =-=, ∴8p q +=.解法2:由解1知p q ≠,不妨设p q >, 令21p m q-=,①21q n p-=.② 则m ,n 都是正整数,且易知m n >.由②,12np q +=,③将③代入①,得1212np p mq m +-==⋅, ∴(4)2mn p m -=+, ∴4mn -是正整数.即1mn =,2mn =或3mn =, 再注意到m n >,因而仅有 21m n =⎧⎨=⎩，或31n n =⎧⎨=⎩, 当2m =,1n =时,由①、②解得2p =,32q =,不合题意.当3m =,1n =时,由①、②解得 5p =,3q =. ∴8p q +=.【点评】 这是一道综合性很强的题目,需要用到不定方程的解法,以及整除的性质等.题目的困难之处在于不知道具体21p q -和21q p-等于多少,为此我们多设一个未知数来求解,这样的方法以后也会经常用到,尤其是当多项式是整数时.三、 【解析】 证明:首先容易证明PAB Q CB QCD R ED REF P AF '''△∽△∽△∽△∽△∽△,依次记上述六个三角形的面积为1S ,1S ',2S ,2S ',3S ,3S '.易知 123123S S S S S S '''++=++, 由211211b S a S '=,222211b S a S '=,233211b S a S '=, 得222123123211b b b S S S a S '''++++= 即211222123123a S b b b S S S ='''++++, 同理222222123123a S b b b S S S ='''++++, 233222123123a S b b b S S S ='''++++, ∴2221231232221231231a a a S S S b b b S S S ++++=='''++++, ∴222222123123a a a b b b ++=++ 【点评】 这道题乍一看条件很多,要证明的关系也比较麻烦,但我们发现要证的关系式是边长的平方,所以我们可以利用三角形相似的关系和面积法来证明.。

1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a ，那么下列式子中正确的是（ ） A 、bc ab B 、c b b a ++ C 、c b b a -- D 、cb c a2、如果方程()0012 p px x =++的两根之差是1，那么p 的值为（ ） A 、2 B 、4 C 、3 D 、53、在ABC ∆中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且CE BD ⊥，4=BD ，6=CE ，那么ABC ∆的面积等于（ ）A 、12B 、14C 、16D 、18 4、已知0≠abc ，并且pba c ac b cb a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限A 、一、二B 、二、三C 、三、四D 、一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧-≥-0809 b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）A 、17个B 、64个C 、72个D 、81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边12=AD ，5=AB ，P 是AD 边上任意一点，BD PE ⊥，ACPF ⊥，E 、F 分别是垂足，那么=+PF PE ___________.27、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB ∆的面积等于___________.8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为cm__________.9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么_______=a .10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是km __________.三、解答题：（每小题20分，共60分）11、如图，在等腰ABC ∆中，1=AB ，︒=∠90A ，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且BE FE ⊥，求CEF ∆的面积。

历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析目录1998年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (3)1999年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (10)2000年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (19)2001年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (26)2002年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (34)2003年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (42)2004年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (53)2005年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (61)2006年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (69)2007年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (78)2008年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (91)2009年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (100)2010年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (110)2011年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (119)2012年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (128)2013年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (144)2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案 (153)1998年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).1、已知c b a ，，都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是(B ).A. ；bc ab >B. ；c b b a +>+C. ；c b b a ->-D..cbc a > 【解析】B.根据不等式的基本性质.2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为(D ).A. 2；B. 4；C. ；3D. .5【解析】D..514)(14)()(.1.200422212212212121212=⇒⨯--=⇒-+=-∴⎩⎨⎧=-=+>⇒⎭⎬⎫>>-=∆p p x x x x x x x x px x x x p p p 为方程的两根，那么有、设由3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且64==⊥CE BD CE BD ，，，那么△ABC的面积等于(C ). A. 12； B. 14；C. 16；D. 18.【解析】C..16123434.4141.12642121=⨯==∴=-⇒=⇒∆=⨯⨯=⋅⋅=⇒⊥∆∆∆∆∆BCDE ABC ABC BCDE ABC ABC AED BCDE S S S S S S S ABC DE CE BD S CE BD DE 四边形四边形四边形的中位线是，则如图所示，连接Θ4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第()象限.(B ) A. 一、二； B. 二、三； C. 三、四； D. 一、四.【解析】B...11222.12.10.02)()(2一定通过第二、三象限直线过第二、三、四象限时，直线当过第一、二、三象限；时，直线当或或p px y x y p x y p p p cc c b a p c b a c b a p c b a p c b a pba c pa cb pcb a p b ac a c b c b a +=∴--=-=+==-==∴-=-=+=⇒=++=++=⇒++=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+⇒=+=+=+ΘΘ5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a 、b )共有(C ). A. 17个； B. 64个； C. 72个； D. 81个.【解析】C..7298)(.832313029282726259987654321.322490483190.89个有，满足条件的整数有序对个，共，，，，，，，个；，共，，，，，，，，则依题意，知由原不等式组可得=⨯∴==∴⎩⎨⎧≤<≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<<≤b a b a b a b a b x a二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD =12，AB =5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE +PF =_____.【解析】.1360 .136013560135.1355125sin 135605125)12(sin .12)120(2222=-+=+∴=+⋅=∠⋅=-=+⨯-=∠⋅=∴-=<<=x x PF PE xx PAF AP PF xx PDE DP PE x DP x x AP ；，则如图所示，设FEADCBP7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于_____.【解析】6..639211121)31()91(21'.''').93()11(32''''2=⨯⨯-⨯⨯-+⨯+⨯=--=-=+-=∆∆∆O BB O AA B B AA OAB S S S S B A x BB AA B A x y x y 梯形则，轴，垂足分别为分别垂直于，作，，，的交点为与抛物线如图所示，直线8、已知圆环内直径为cm a ，外直径为cm b ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_____cm .【解析】49a+b..49)150(225050242332222b a ab b b a ab b b a ab b +=-⨯--⋯⋯+=⨯--+=⨯--个时，链长为当圆环为；个时，链长为当圆环为；个时，链长为如图所示，当圆环为9、已知方程())(015132832222是非负整数其中a a a x a a x a =+-+--，至少有一个整数根，那么a =_____.【解析】1，3或5..53151322)2()83(2)15132(4)83()83(21222222222，或，可取故，a ax a x a a a a a a a a a a a a a x -=-=∴+±-=+---±-=Θ10、B 船在A 船的西偏北o 45处，两船相距km 210，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是_____km .【解析】52..52''620)6-(5)210()10(''''./.''.102221045sin 102221045cos 22222o o 取得最小值时，当则船的速度为并设处，船分别航行到船、小时后，设经过，如图所示，B A xt xt xt xt C B C A B A h km x A B A B A t AB BC AB AC =+=-+-=+==⨯=⋅==⨯=⋅=三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).11、如图，在等腰ABC ∆中，o 901=∠=A AB ，，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积.AB CEF【解】解法一：.24161212121612214522122∽9090.o o o =⨯⨯=⋅⋅=∴=⇒=-∴=⇒=∠-=-=∴=⇒==∴=⇒∆∆∴∠=∠⇒⎭⎬⎫=∠+∠=∠+∠⊥∆GF CE S GF GF GF GF CG C GFGE CE CG GF GE AEABGF GE GEABGF AE GEF Rt ABE Rt GEF ABE AEB GEF AEB ABE G CE FG CEF ΘΘ于如图所示，作解法二：241)21()(∽9090.22o o ==∴====∴∆∆∴∠=∠⇒⎭⎬⎫=∠+∠=∠+∠⊥∆∆AEABCH CE CE AB CH AE AB CE S S CEH Rt ABE Rt CEH ABE AEB CEH AEB ABE H EF CE CH C ABE CEH ，的延长线交于，与作如图所示，过Θ.2412112141324132322.45o =⨯⨯⨯⨯=⨯==∴==∴⇒∠⇒=∠=∠∆∆∆∆∆ABE CHE CEF CHF CEF S S S CH CE S S CE CH F HCE CF HCF ECF 的距离相等、到的角平分线是Θ12、设抛物线452)12(2++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点.(1)求a 的值； (2)求618323-+a a 的值. 【解】.5796)138(323)15972584(3231381011)1(310113)2)(53(1115344)1(44)2()1(1212)1(12)1()1(11101159725846101597)1(9876101597987)1)(610987(610987169546)1(441169546441)1321()(1321412)1(94129)23()(2312)1(12)1()(101)1()2(.251010)452(4)12(.0452)12(.452)12()1(618224622224222222216182228162224822224222222=+-++=+∴+-=+-+=+-=+-+-=⋅=+-=+-+=+-=+-==+-=+-+=+-=-==-=∴=--+=+++=++=++=⋅=+=+++=++=+==+=+++=++=+==+=+++=++=+==+=∴=--±=∴=+-=+-+=∆∴=++++∴++++=-a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x a x x a x a x y 又知，由，即有两个相等的实根一元二次方程轴只有一个交点的图像与抛物线ΘΘ13、A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台.已知：从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为200元和800元；从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为400元和500元.(1)设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器调运完毕后，求总运费W (元)关于x (台)的函数关系式，并求W 的最大值和最小值.(2)设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器调运完毕后，用x 、y 表示总运费W (元)，并求W 的最大值和最小值. 【解】.1420014200100142001720010300020017200)(300200.98009800810980017200183001020017200)(300200.1810100100172003005001810100100818010010017200300500)10(500)10(700)10(800)18(400300200.101010182.132005100009958218010017200800)102(500)10(700)10(800)218(400300200.10210102181元的最大值是，故时，，即当；又元的最小值是，故时，，即当是整数，，，且又于是台，，机器台数分别为市的台，发往，，市的机器台数分别为市发往市、市、）由题设知，（元取到最大值时，元；当取到最小值时，所以，当又于是台，，机器台数分别为市的台，发往，，市的机器台数分别为市发往市、市、）由题设知，（W W y x y x x W W W y x y x x W y x y x y x y x W y x y x y x y x y x y x y x y x y x W y x y x E y x y x D C B A W x W x x x x x x x x x x x W x x x E x x x D C B A ====+⨯-⨯-≤++--=====+⨯-⨯-≥++--=∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤≤+--=∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤≤≤+--=-++-+-+--++=-+----==≤≤⇒⎩⎨⎧≤-≤≤≤+-=-+-+-+-++=----1999年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).14、一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是(C ).A. 11；B. 12；C. 13；D. 14.【解析】C.18019131999)2(180o o <⇒<-n n .15、某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费(B ). A. 60元； B. 66元； C. 75元； D. 78元.【解析】B.设4月份用户使用煤气x (x >60)立方米.则 60×0.8+1.2×(x -60)=0.88x .解得x =75. 故4月份该用户应交煤气费0.88×75=66元.16、已知11=-a a，那么代数式a a +1的值为(D ).A.；25 B. ；25-C. ；5-D. .5【解析】D..1111110②52321)1(113111110①2222222此时无解时，当；时，当-=+⇒=+⇒=-<=+=++=+=+⇒+∴=+⇒=-⇒=->a aa a a a a a aa a a a a a a aa a a a a17、在ABC ∆中，D 是边BC 上的一点，已知51065====CD BD AD AC ，，，，那么ABC ∆的面积是(B ). A. 30； B. 36； C. 72； D. 125.【解析】B..36524)510(212152454621214353621215.2222=⨯+⨯=⋅⋅=∴=⨯=⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅=∴=-=-=∴=⨯==⇒⊥==⊥⊥∆∆AF BC S CD CE AD AF AF CD CE AD S AE AC CE AD AE AD CE CD AC F BC AF E AD CE ABC ADC ，则于，于如图所示，作18、如果抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值是(A ). A. 1； B. 2；C. 3；D. 4.【解析】A.().1184)1(452522145221214524)]1([)1(444212)1(252)1(4)1(4)(11.01)1(32222212222221221212121212取得最小值时，当，，则，的两实根为设一元二次方程ABC C ABC S k k k kk k k k x x y AB S k k k k a b ac k k a b k k k k x x x x x x k x x k x x x x k x k x ∆∆-=++=++⋅++⋅=++⋅-⋅=⋅⋅=∴++-=-----=--=---=-++=----=-+=-∴--=-=+=----19、在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为(D ). A. 2； B. 3； C. 4； D. 5.【解析】D..③②①.31452P P BA B P BA BP P AB A P AB AP P P AB P BP AP ABP CD CD B P BCD PCD ，为半径的圆上，此时有为圆心，必在以时，点当；为半径的圆上，此时有为圆心，必在以时，点当；，的中垂线上，此时有必在线段时，点当是等腰三角形，则要使的对称直线上的直线或此直线关于且平行于一定在过点的面积相等，则点与如图所示，要使===∆∆∆二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).20、已知231231-=+=y x ，，那么22y x +的值为_____. 【解析】10..10)23)(23(2)]23()23[(2)(23232312312222=+--++-=-+=+∴+=-=⇒-=+=xy y x y x y x y x ，，Θ21、如图，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上，且EB =10cm ，点P 在边DC 上运动，EP 与AB 的交点为F .设DP =xcm ，△EFB 与四边形AFPD的面积和为ycm 2，那么，y 与x 之间的函数关系式是_____(0＜x ＜10).【解析】y=5x+50.50510)]215([2110)215(21)(2121215)215(10215)10(21)(212121101010∽+=⨯++⨯+⨯-⨯=⋅+⋅+⋅⋅=+=∴+=--=-=∴-=-=-==⇒=+==⇒∆∆∆x x x x AD AF DP BE BF S S y xx BF AB AF x x DP DC CP BF EC EB CP BF ECP EBF AFPD EFB 四边形Θ22、已知02022=-+≠b ab a ab ，，那么ba ba +-22的值为_____. 【解析】3135或. 35)2(2)2(22231222220)2)((0222=+-⨯--⨯=+-=+-=+-∴-==⇒=+-⇒=-+b b b b b a b a b b b b b a b a b a b a b a b a b ab a 或或Θ23、如图，已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，A 、B 两点在第Ⅰ象限内，OA 与x 轴的夹角为30°，那么点B 的坐标是_____.【解析】)213213(+-，.212321232323130cos 2121130sin 2323130cos 2121130sin .o o o o +=+=+=-=-=-=∴=⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅=⊥⊥⊥AE BF FD BF BD AF OE DE OE OD AB BF AB AF OA OE OA AE F BD AF D x BD E x AE ，，，则于，轴于，轴于如图所示，作F EDCBOxyA24、设有一个边长为1的正三角形，记作A1(如图3)，将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(如图4)；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3(如图5)；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长_____.【解析】964..964])31(1)[43(316])31(1)[43(4)311()43(313.31433422321=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯的周长是，的周长是，的周长是，的周长是为原来的条边，每条线段长度变把一条边变成变化规律为：每次变化AAAA25、江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等.如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机_____台.【解析】6..6103210316010103231601641640240台故至少需要抽水机，则水，每台抽水机每分钟抽，每分钟涌出的江水是涌出的江水是设使用抽水机抽水前已=⨯+=+⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧⨯=+⨯=+ccccbacbcacbacbacba三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).26、设实数ts，分别满足019991991922=++=++ttss，，并且1≠st，求tsst14++的值.【解】.519141991419199191991.199911119199)1(19919222-=++--=++∴⎩⎨⎧=--=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+∴=++∴≠⇒≠=+⋅+⇒=++∴ssstsststssttstsxxtsststssss的两个不等实根是一元二次方程，Θ27、如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长.【解】如图所示，连接BO并延长交AD于H，连接OD.则HDPOAB.632213)6(36)2123()2221()()21(221316.0236.023∽∥909022222222222222o o +++∴=-=-==++⨯=++=+==-=-==-⨯=⋅=∴=⇒∆∆∴∠=∠⇒∴=∠⇒∠=∠=∠⇒≅∆∴的周长为四边形上的圆周角是直径ABCD AB AC BC OH BO AD BH AH AB CD AC AD OP CP OB CD CPOPCD OB CPD OPB CDP OBP CD BH ADC AC ADC DHB AHB DBH ABH Θ28、有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3.例如，30可以这样得到：30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+.(1)证明：可以得到22； (2)证明：可以得到22297100-+.【解析】(1)倒过来考虑：①22假设是通过乘法得到，则必是×2； A ，11假设是通过+2得到； 9必是×3得到. 3必是+2得到.(*) B ，11假设是通过+3得到. 8必是×2得到. (A)4是+2得到； 2必是×2得到.(*) (B)4是+3得到.(*) ②22假设是通过加法得到.A ，假设是+2得到； 20必是×2得到. (A)10假设是+2得到； 8必是×2得到. a ，4是+2得到； 2必是×2得到.(*) b ，4是+3得到.(*) (B)10假设是+3得到. 7不能通过乘法得到，不满足.B ，假设是+3得到.19不能通过乘法得到，不满足. 故所有方法有148102022124810202214811221248112213911223-22-22-22-22-22-3-23-222-23-22-32-2−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷(2)倒过来考虑：148423)2293(423223423123322122222③)(2471416222)23247(222422122222②)(247222)2296(222422222①3-222-2952-952963-96396992-969929710023-22-1423-29598296993-969929710023-0322-96992971002-97100−→−−→−=-⨯→-÷−→−−→−⋯-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-+−→−-+−→−-+−→−−→−−→−−→−=-+→÷-÷−→−−→−−→−⋯-+−→−-+−→−-+−→−-+−→−−→−=-+→÷-−→−−→−⋯-+−→−-+−→−-+÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷，次不满足，，次不满足，次【解】证明：(1)22119312232−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+. 或222010841222010842122118412211842122223222222232323222−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯证明：(2)222229129329123423)2292(423223423223423223197100972962963963962242323222223-+=-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯→⨯+−→−−→−⋯-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，次2000年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).29、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若cba>>，则M与P的大小关系是(B).A.；PM=B.；PM>C.；PM<D.不确定.【解析】B..1221221224234222223PMccccbaPMcbacbacbacbaPMcbacbacNPbaNcbaM>⇒=-+>-+=-∴>>-+=++-++=-∴++=++=+=+=++=ΘΘ，，30、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米(b﹤a)，再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是(C).【解析】C.图(A)中没有反映休息所消耗的时间；图(B)虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图(C)正确地表述了题意.31、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么(A).A. 甲比乙大5岁；B. 甲比乙大10岁；C. 乙比甲大10岁；D. 乙比甲大5岁.【解析】A.设甲、乙的年龄差是x 岁.则乙现在(10+x )岁，甲现在(25-x )岁，年龄差为[(25-x )-(10+x )]=15-2x 岁. 故15-2x =x ，即x =5.32、一个一次函数图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1，－25)，则在线段AB 上(包括端点A 、B )，横、纵坐标都是整数的点有(B ). A. 4个； B. 5个； C. 6个； D. 7个.【解析】B..5012340419419)(419190)()4950()019().19(4549545)251(4954500000个点故共有，，，，是整数点，则上横纵坐标都是整数的是线段，设，，，则的一次函数的解析式是，平行，且过与直线----=⇒≤-=≤-⇒⎩⎨⎧=-≤≤∴--=-=--+=t x t t tx x AB y x B A x x y x y33、设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是(B ). A. ∠B ＞2∠A ； B. ∠B =2∠A ； C. ∠B ＜2∠A ；D. 不确定.【解析】B.BACD BAD D ABC DBAD D BAC DAC ABC DCACAC BC C C DAC ABC c a CD AB BD D CB c a b b a c b a b b a a b a c b a b a b a c b a b a b a ∠=∠=∠+∠=∠∴∠=∠∠=∠⇒∆∆∴=∠=∠∆∆+==+=⇒+++-++-=--⇒+++=--⇒+++=22∽.)()(Θ，中，和在，于是，使到如图所示，延长ca bcDC B A34、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ，，，面积为S ，111C B A ∆的三边长分别为111c b a ，，，面积为S 1，且111c c b b a a >>>，，，则S 与S 1的大小关系一定是(D ). A. ；1S S > B. ；1S S < C. ；1S S = D. 不确定.【解析】D..2121214121..2.2.11111111111111111`111S S h CB S S h CB S S h CB h AB S CB AB S c c b b a a ABc b a h AB C B A AB c ABAB b a l C AB l AB B >>==<<⋅=⋅⋅=>>>===∆==>=时，；当时，；当时，当，而，，显然满足，则为为边的等边三角形，高是以，则上任一点为的中垂线，是的中点，是如图所示，二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).35、已知：333124++=a ，那么=++32133aa a _____. 【解析】1..11)]12(1[1)11(1)1(113313313312111)2()124)(12()12(12433333323323233333333333=--+=-+=-+=-+++=++=++∴-=⇒=-=++-=-⇒++=aa a a a a a a a a a a a aa a Θ36、在梯形ABCD 中，o o 12045268∥=∠=∠==BAD BCD BC AB DC AB ，，，，，则梯形ABCD 的面积等于_____.【解析】3666+..36666)]3214(8[21)(21321468323223630tan30120.62264526.oooo+=⨯++=⋅+=∴+=++=++=∴=⨯=⋅=⇒=∠⇒=∠====⇒=∠=AECDABSFCEFDEDCAEDEDAEBADCFBFAEBCDBCFEDCBFAEABCD梯形，、于垂直、如图所示，作37、已知关于x的方程012)1(2=--+-axxa的根都是整数，那么符合条件的整数有_____个.【解析】5..5①②.32121112111②11①.0)]1()1)[(1(12)1(212个有知，符合条件的整数结合，，，，即，是整数知，，由，时，当；时，当aaaxaxxaxaaxaxaxxa-=±±=----==≠===++--⇒=--+-38、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆.那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为_____米.【解析】2.4..4.24.21561541515615∽415∽.米离地面的高度是即点则于如图所示，作PPQPQPQBQQDPQCDBDPQBQBDBQCDPQBCDBPQPQABBDPQQDBDQDABPQDABDPQQBDPQ=⇒=+∴=+=⋅=⇒=⇒∆∆=⋅=⇒=⇒∆∆⊥Θ39、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线bxy+=31恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b=_____.【解析】0.5..211)515()0(===-==+b BQ OP S S b BQ b OP b Q b P OPQA BQPC，即，则要使，，知，，，由梯形梯形40、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_____.）进价进价销售价（注：利润率%100⨯-=【解析】17%.%17%10017.117.1%8%100%100%)4.61(%)4.61(%.100%)4.61(%)4.61(%4.6%.100=⨯-==⨯--⨯---⨯---⨯-xxx xy x x y x x y xxy xxy y x 率为故这种商品原来的利润解得，依题意得，为后，在销售时的利润率原进价降低的利润率为元，那么按原进价销售元，销售价为设原进价为三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).41、设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根21x x ，.(1)若62221=+x x ，求m 的值； (2)求22212111x mx x mx -+-的最大值. 【解】.1011.101.11)11(25)23(2)13(2)13(2)1()13)(1(2)2882(1)42()33()]42)(33()10102[(1)()]([)1)(1()]1()1([11)2(.217511217561010210102)33(2)]2(2[2)()1(.1110)33(4)]2(2[.033)2(222212122222232222121212122212112222122212122222122122212222的最大值是故取得最大值时，当上是单调递减的在设根据题设，有有两个不相等的实数根方程x mx x mx y m m y m m m m y m m m m m m m m mm m m m m m m m m m m m m m x x x x x x x x x x m x x x x x x m x mx x mx m m m m m m m m m m x x x x x x m m m m m m m x m x -+--=∴<≤-<≤---=+-=+-=-+--=--+-=+-++--+-++-=++-+-+=---+-=-+--=∴<≤-±=⇒=+-∴+-=+----=-+=+<≤-<⇒>+---=∆∴=+-+-+ΘΘΘΘ42、如图，已知四边形ABCD 外接圆O 的半径为2，对角线AC 与BD 的交点为E ，322===BD AE AB EC AE ，且，，求四边形ABCD 的面积.【解】由题设，得ADAB ADB ABE ACBADB ACB ABE ACB ABE BACEAB AB AE AC AB AC AE AB EC AE AE AB AE AB =⇒∠=∠∴∠=∠∠=∠⇒∆∆∴∠=∠=⇒⋅=⇒⎭⎬⎫==⇒=ΘΘ∽2222232333.313221211121)3(233221212222=+=+=∴==∴=⨯⨯=⋅⋅=∴=-=-==-=-=∴=⨯===⇒∆≅∆∴∠=∠⇒∆≅∆∆∆∆∆∆ABD CBD ABCD ABD CBD ABD S S S S S AC E AH BD S OH OA AH BH OB OH BD DH BH ADH ABH DAO BAO ADO ABO H BD AO DO BO AO 四边形的中点是，，则于交，、、如图所示，连接Θ43、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次.对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意.现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)【解】易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人.先证明：要使不满意的总分达到最小，则对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数.证明：设乘电梯上、下楼和直接走楼梯上楼的2个人分别住第s 和第t 层. 并设电梯停在第x 层.①当x ≤s 时，这两者不满意总分为3(s -x )+3(t -1)=3s +3t -3x -3.与t ，s 的大小关系无关； ②当x >s 时，这两者不满意总分为(x -s )+3(t -1)=3t +x -s -3，要使总分最小，则t <s . 故s <t ，即乘电梯上、下楼的人，他所住的层数大于直接走楼梯上楼的人所住的层数. 今设电梯停在第x 层，并设住在第2层到第a (a <x )层的人直接走楼梯上楼. 那么不满意总分为：.31672774101316)7(815)4101(216832)101(22)33)(34(32)1)((2)1(32)33)](33(1[32)1)](1(1[2)1)](1(1[3)]33(21[3)]1(21[)]1(21[32222取得最小值时，当S a x a a x a a x a a x a x x x a x a x a a x x a x a x a a x a x a S ⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-++-=+-++-=--+---+-=--+⨯+----++--+⨯=-+⋯+++--+⋯+++-+⋯++= 所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分.2001年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).44、化简)2(2)2(2234++-n n n ，得(C ). A. ；8121-+nB. ；12+-nC. ；87 D. .47【解析】C.872122)12(2222)2(2)2(223343141434=-=-=-=-+++++++n n n n n n n n .45、如果c b a ，，是三个任意整数，那么222ac c b b a +++，，(C ). A. 都不是整数； B. 至少有两个整数； C. 至少有一个整数； D. 都是整数.【解析】C.①若a ，b ，c 中有0个奇数，则3个数都是整数； ②若a ，b ，c 中有1个奇数，则只有1个数是整数； ③若a ，b ，c 中有2个奇数，则只有1个数是整数； ④若a ，b ，c 中有3个奇数，则3个数都是整数.46、如果b a ，是质数，且01301322=+-=+-m b b m a a ，，那么baa b +的值为(B ). A.；22123B.；或222125C.；22125D..222123或 【解析】B.①当a =b 时，2=+=+aa a ab a a b ； ②当a ≠b 时，a ，b 是一元二次方程x 2-13x +m =0的两实根.故a +b =13. 又a ，b 是质数，故a =2，b =11或a =11，b =2.故22125112211=+=+b a a b . 47、如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为(B ).A. 6；B. 8；C. 10；D. 12.【解析】B.设正方形的边长为a ，则分成的矩形的长为a /2.宽为(a -a /2)/2=a /4，故中间竖排有4个.所以，正方形分成8个全等的矩形.48、如图，若PA =PB ，∠APB =2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB =4，PD =3，则AD ·DC 等于(B ).A. 6；B. 7；C. 12；D. 16.【解析】B.如图所示，以P 为圆心，以PA =PB 为半径作圆，延长BD 交圆于M .则由∠APB =2∠ACB ，知点C 必在⊙P 上.故根据相交弦定理，有AD •DC =BD •DM =(PB -PD )(PM +PD ）=(4-3)×(4+3）=7.49、若b a ，是正数，且满足)111)(111(12345b a -+=，则b a 和之间的大小关系是(A ).A. ；b a >C. ；b a <D. 不能确定.【解析】A.由12345=(111+a )(111-b )，得111(a -b )-ab =24>0，故a >b .二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).50、已知：23232323-+=+-=y x ，.那么=+22y x x y _____. 【解析】970.9701101310)()(3)(110625625232323232323223322=⨯⨯-=+-+=+=+∴⎩⎨⎧==+⇒⎩⎨⎧+=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=xy y x xy y x y x y x y x xy xy y x y x y x Θ.51、若281422=++=++x xy y y xy x ，，则y x +的值为_____.【解析】6或-7.两式相加，得(x +y )2+(x +y )-42=0，即[(x +y )-6][(x +y )+7]=0，故x +y =6或-7.52、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于_____.【解析】1036或.①若1，4为底.如图所示，延长DA ，CB 相交于G ，并设AG =x ，BG =y ，则35345414==⇒+==+⇒==y x y y x x GC GB DC AB GD GA ，.在△GAB 中，GA 2+AB 2=GB 2，故△GAB 是直角三角形，即∠D =∠GAB =90o .于是，S =(AB +DC )·AD /2=(1+4)·4/2=10. ②若1，5为底.如图所示，作AE 、BF 垂直DC 于E 、F .则DE =CF =(5-1)/2=2，32242222=-=-=DE AD AE .于是，3632)51(21)(21=⨯+=⋅+=AE DC AB S .③若4，4为底.应为平行四边形，但不满足.④若4，5为底.则1，4为腰，由于1+4=5，故不满足.53、销售某种商品，如果单价上涨%m ，则售出的数量就将减少150m.为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为_____.【解析】25.设这种商品的原单价为A ，原销售量为B ，销售总额为W ，则)1500050(15000150150100100)1501(%)1(2---=-⋅+⋅=-⋅+=m m AB m m AB m B m A W当25250=--=m 时，W 取得最大值.54、在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点)0(，x M 到定点)12()55(，、，Q P 的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP +MQ 取最小值时，点M 的横坐标=x _____.【解析】25.如图所示，作P 关于x 轴的对称点P’.则MP +MQ =MP’+MQ ，故当Q 、M 、P’三点共线时，MP +MQ最小.过P’，Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为I ，H .于是255251'=⇒--=⇒=x x x IM HM I P QH . 55、已知实数b a ，满足22221b a ab t b ab a --==++，且，那么t 的取值范围是_____.【解析】313-≤≤-t . 31)1(2123113121210)(211310)(231122222222222222-=--⨯≥-=--=-=-⨯≤-=--=∴-≥⇒≥+=++=+⇒++=≤⇒≥-=+-=-⇒++=ab b a ab t ab b a ab t ab b a b ab a ab b ab a ab b a b ab a ab b ab a Θ.三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).56、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次.在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环.他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数.如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环.那么他在第10次射击中至少要得多少环？(每次射击所得环数都精确到0.1环)【解】设前5次射击的平均环数为x ，则前9次射击的平均环数为98.34593.91.84.80.95+=++++x x . 由题设知，x x >+98.345，即7.8<x . 故前9次的总环数至多为8.7×9-0.1=78.2.所以，第10次射击至少得8.8×10+0.1-78.2=9.9（环）.57、如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于A ，B 两点，并交ST 于点C .求证：)11(211PBPA PC +=.【解】如图所示，作OE ⊥AB 于E ，连接OP 交ST 于F ，连接OT .PBPA PB PA PB PA PC PB PA PC PB PA PE PC PB PA PE PC PB PA PBPA PT PAB PT POPF PT POPTPT PF PTO PFT PEPC PO PF PE PFPO PC POE PCF BEAE ST OP 112)(222.∽∽22+=⋅+=∴+⋅=⋅⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅∴⋅=⇒⋅=⇒=⇒∆∆⋅=⋅⇒=⇒∆∆∴=⊥∴是割线是切线，，ΘΘ58、已知：关于x 的方程01)1)(72()1)(1(22=+-+---x x a x x a 有实根. (1)求a 取值范围；(2)若原方程的两个实数根为21x x ，，且113112211=-+-x x x x ，求a 的值.【解】(1)令1-=x xt ，得)1(1≠-=t t t x . 原方程转化为关于t 的方程01)72()1(22=++--t a t a 有不为1的实数根. ①当a 2-1=0时，符合题意； ②当a 2-1≠0时，28530)1(4)]72([22-≥⇒≥--+-=∆a a a . 若t =1，则22101)72()1(2±=⇒=++--a a a . 故a 的取值范围是2212853±≠-≥a a 且. (2))(3810113172113111721)72(112122211222211舍去，-==⇒=-+∴=-+--+=-+--=-+-a a a a x x x x a a a a x x x x Θ.所以，a 的值为10.2002年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).59、设ab b a b a 4022=+<<，，则ba ba -+的值为(A ). A. ；3 B. ；6 C. 2； D. 3.【解析】A ..3242422)()()(0002222222=-+=-+++=-+=-+=-+∴>-+⇒⎩⎨⎧<+<-⇒<<abab abab ab b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a Θ60、已知200219992001199920001999+=+=+=x c x b x a ，，，则多项式ca bc ab c b a ---++222的值为(D ). A. 0； B. 1； C. 2； D. 3.【解析】D..3]2)1()1[(21])()()[(21222222222=+-+-=-+-+-=---++a c c b b a ca bc ab c b a61、如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCDS S 矩形四边形等于(D ).A. ；65B. ；54 C. ；43 D. .32【解析】D..32612)(261412412....=⨯-=+-=∴=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=∴====∴=∆∆∆∆∆∆a a a S y x S S S ay x a y x S a y x S y S S x S S BC AB ABCD F E BG a S ABCD ABCD ABCDAGCD ABF CBE AGE BGE BGF CGF ABCD 矩形矩形矩形四边形矩形，的中点、的边是矩形、如图所示，连接设Θ62、设c b a 、、为实数，323232222πππ+-=+-=+-=a c z c b y b a x ，，，则z y x 、、中至少有一个值(A ). A. 大于0； B. 等于0； C. 不大于0； D. 小于0.【解析】A..00)3()1()1()1(222323232222222222中至少有一个大于、、，，z y x c b a c b a c b a z y x a c z c b y b a x ∴>-+-+-+-=+---++=++∴+-=+-=+-=ππΘ63、设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不等的实数根21211x x x x <<，且，，那么a 的取值范围是(D ). A. ；5272<<-a B. ；52>aC. ；72-<aD. .0112<<-a 【解析】D..0112102012901)(0)1)(1(121212121<<-⇒-<+⇒<+++∴<++-⇒<--⇒<<a a a a a x x x x x x x x Θ64、9321A A A A ⋯是一个正九边形，b A A a A A ==3121，，则51A A 等于(D ).A. ；22b a +B. ；22b ab a ++C. ；)(21b a + D. .b a +【解析】D.ba A A A A P A A A P A A A A PA A PA A PA A PA A A A A A A A A A A PA A PA A A A Ab A A A A A A P A A A A +=+=+==∴∆∆∴=+=∠=∠∴=-=∠=∠∆=-=∠=∠∴=-⨯⋯==42212211515142oo o 2442ooo243423432oo o 3432o o 93213142424521.602040202140180.40140180.1409)29(180..是等边三角形是等边三角形，中，在的每个内角都为正九边形则，连接相交于点，如图所示，延长Θ6A二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).65、设21x x 、是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为_____.【解析】863-. .863863)49(21892)2(9)(29)(25]2)[(25)(2)2)(2(.04)2()2(4222212212121221212221122122-≤---=-+-=-+-⨯-=++-=+-+-=++-=-->+-=--=∆a a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a 为一切实数知，由66、已知b a 、为抛物线2))((----=d c x c x y 与x 轴交点的横坐标，b a <，则b c c a -+-的值为_____.【解析】b-a...))((a b c b a c b c c a b c a x d c x c x y d c c -=-+-=-+-∴<<---=+则轴的交点与是抛物线，如图所示，67、如图，在△ABC 中，∠ABC =60o ，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB =∠BPC =∠CPA ，且PA =8，PC =6，则PB=_____.【解析】34..3468∽6060120o o o =⨯=⋅=∴=∴∆∆∴∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠=∠⇒∠=∠=∠PC PA PB PBPAPC PB PBCPAB PBC PAB PBC PBA PBA PAB BPC APB CPA BPC APB ΘΘ68、如图，大圆O 的直径cm a AB =，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为_____cm 2.【解析】261a ..61322212132)62(22.6)4()4()2(244⊙24321343222331134321a a a O O O O S aa a OO O O a x x a a x a xa OO x a O O a OO x O O O O O =⨯⨯=⋅⋅=∴=-⨯==∴=⇒+=+-∴-=+==菱形，，，则的半径为设69、满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有_____个.【解析】4.201211211021)1(2222，，，是偶数或或--=⇒⎩⎨⎧-=--+=--=+⇒=--+n n n n n n n n n n70、某商品的标价比成本高%p ，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣(即降价的百分数)不得超过%d ，则d 可以用p 表示为_____.【解析】ppd +=100100. .100100%)1%)(1(ppd a d p a a +=⇒=-+，则设成本为三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).。

19９8年全国数学联赛试卷一、选择题：(每小题６分，共30分）1、已知ａ、b 、c 都是实数,并且c b a >>,那么下列式子中正确的是（ ）（A)bc ab >（Ｂ)c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-(D)c b c a > ２、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1,那么p 的值为( ）(Ａ)2(Ｂ)4(C ）3(D)5３、在△ＡBC 中，已知B Ｄ和CE 分别是两边上的中线,并且ＢD ⊥CE ，BD=4，CE=6,那么△ABC 的面积等于( ）（Ａ)1２(Ｂ）14（C ）1６（D)184、已知0≠abc ,并且p ba c a cbc b a =+=+=+,那么直线p px y +=一定通过第（ )象限 （Ａ)一、二(Ｂ)二、三（C)三、四(Ｄ）一、四５、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1,2,3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a 、b )共有（ ）(Ａ)17个（B)64个（C ）72个(Ｄ）８１个二、填空题：（每小题6分,共３０分）6、在矩形ABCD 中,已知两邻边A Ｄ=1２，A Ｂ=5,P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD,ＰF ⊥AC,Ｅ、Ｆ分别是垂足,那么PE+PF=_＿_＿＿__＿_＿_。

7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,那么△ＯA Ｂ的面积等于＿___＿_____＿。

8、已知圆环内直径为a c ｍ,外直径为ｂｃm,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为__＿_＿___＿_＿ｃm 。

９、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a (其中ａ是非负整数)，至少有一个整数根，那么a =＿_＿_＿__＿__＿。

10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km,若Ａ船向西航行,B 船同时向南航行,且B 船的速度为A 船速度的２倍,那么Ａ、Ｂ两船的最近距离是___＿______＿ｋm 。

1998年全国初中数学联赛参考答案一、选择题1．B根据不等式性质．2．D由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程的两根，那么有x+x2=-p，x1x2=l．又由1(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，得l2=(-p)2-4．∴p2=5，3．C如图连ED，又∵DE是△ABC两边中点连线．故选C．4．B得2(a+b+c)=p(a+b+c)．∴有p=2或a+b+c=0．当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是∴y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B．5．C在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图∴a=1，2，3…9，共9个．∴b=3×8+1，3×8+2，3×8+3，…，3×8+8．共8个．∵9×8=72（个），故选C．二、填空题6．解如图，过A作AG⊥BD于G，∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”．∴PE+PF=AG．∵AD=12，AB=5，∴BD=13．7．解如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)，作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，∴S△OAB =S梯形AA1B1B-S△AA1O-S△BB1O8．解如图，当圆环为3个时，链长为3a+故a可取1，3或5．10．解如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，于是BB1=2x．C=|10-x|，B1C=|10-2x|．∴A1三、解答题11．解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽△CED，又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD 的距离相等．解法2 作FH⊥CE于H，设FH=h．∵∠ABE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠FEH．∴Rt△EHF∽Rt△BAE．即EH=2h，又∵HC=FH，12．解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程(2)由(1)知，a2=a+1，反复利用此式可得a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2，a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13，a16=(21a+13)2=441a2+546a+169=987a+610．a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610=2584a+1597．∵a2-a-1=0，∴64a2-64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1．∴a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796．13．解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x+17200．∴5≤x≤9．∴W=-800x+17200(5≤x≤9，x是整数)由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y-17200∴W=-500x-300y+17200，W=-200x-300(x+y)+17200≥-200×10-300×18+17200=9800．当x=10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800．又W=-200x-300(x+y)+17200≤-200×0-300×10+17200=14200．当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200．。

历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。

1988---20011年武汉市初中数学竞赛试题汇编重要资料注意保存注意研究1988年武汉市初中数学竞赛题一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：则代数式2a －|a ＋c|＋2b)(c -－|－b|的值是________ 2．分解因式(xy －1)2－(x ＋y －2xy)(2－x －y) ＝__________ 3．若a 、b 、c 为实数，且b a ＝c b ＝a c ，则cb a cb a +--+的值为__________4．当x ＝3－1时，代数式1535x 6x x 4x 23--+++的值是__________5．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB ＝5，CD ⊥AB ，已知BC 、AC 是一元二次方程x 2－(2m －1)x ＋4(m －1)＝0 的两个根，则m 的值是__________6．某人在360米长的环形跑道上跑了一圈。

已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，则他后一半路程跑 ______秒钟。

7．如图，已知CD ＝31BC ，BE ＝31AB ，则FADF＝________ 8．已知在1²2²3……(n －1)n 的积的尾部恰有25个连续的零， 则n 的最大值是________ 二、选择题(每小题6分，共36分)9．在同一坐标系里，表示函数y ＝kx ＋b 与y ＝x kb(k ≠0，b ≠0)的图象只能是( )10．lgM 的首数是a ，则lgM1000的首数是( ) (A)2－a (B)3－a (C)2－a 或3－a (D)以上都不对 11．如图，若ABCD 为正方形，DE ＝EC ，∠CDE ＝60°，则下列关系式：(1)∠1：∠4＝4：1 (2)∠1：∠3＝1：1(3)(∠1+∠2)：(∠3+∠4)＝5：3其中正确的是( )(A)(1)、(2)、(3) (B)仅(1)(C)仅(1)和(3) (D)仅(2)和(3)ABDCAB DCEF第11题图12．如图，在不等边三角形ABC 中，AQ ＝PQ ，MP ＝PN ，PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，则下面三个结论： (1)AN ＝AM ；(2)QP ∥AM ；(3)△BMP ≌△QNP 其中正确的是( )(A)(1)(2)(3) (B)仅(1)和(2) (C)仅(2)和(3) (D)仅(1)13．已知M 为正数，则lgM 与10M 的大小关系是( )(A) lgM ≥10M (B) lgM ≤10M (C) lgM 必不等于10M (D)以上均不正确 14．如图，△ABC 中BC 为最大边，AB=AC ，CD=BF ，BD=CE ，则∠DEF 的取值范围是( )(A)0°＜∠DEF ＜45° (B)45°＜∠DEF ＜60° (C)60°≤∠DEF ＜90° (D)以上都不对三、(本大题有3小题，每小题7分，共21分)15．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1221x 1x 1x 1x 1 （Ⅰ）16．找出方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+⋯⋯⋯⋯=+=+-1n n 1n 3221x 1x 1x 1x 1x 1x 1x1x 1 （Ⅱ）的两组解。

P M A B C1998年全国初中数学联合竞赛试题 第一试1. 设m ＝5＋1,那么m ＋1m的整数部分是 .2. 在直角三角形ABC 中,两条直角边AB ,AC 的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米.3. 已知x 2－x －1＝0,那么代数式x 3－2x ＋1的值是 .4. 已知m ,n 是有理数,并且方程x 2＋mx ＋n ＝0一个根是25-,那么m ＋n 的值是 .5. 如图,ABCD 为正方形,A ,E ,F ,G 在同一条直线上,并且AE ＝5厘米,EF ＝3厘米,那么FG ＝ _____厘米.6. 满足19982＋2m ＝19972＋2n )19980(<<<n m 的整数对),(n m ,共有 _______个.7. 设平方数y 2是11 个连续整数的平方和,则y 的最小值是 .8. 直角三角形ABC 中,直角边AB 上有一点M ,斜边BC 上有一点P , 已知MP ⊥BC ，△BMP 的面积等于四边形MPCA 的面积的一半, BP ＝2厘米, PC ＝3厘米,那么直角三角形ABC 的面积是 _________平方厘米.BA G A BC DE F 9. 已知正方形ABCD 的面积35平方厘米, E , F 分别为边AB , BC 上的点, AF , CE 相交于点G ,并且△ABF 的面积为5平方厘米, △BCE 的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF 的面积是____________平方厘米.10. 把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有_________ 人.11. 设a ，b 为实数,那么a 2＋ab ＋b 2－a －2b 的最小值是 __________.12. 在1, 2, 3,……，98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是 _______.13. 在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A 与B 乘积的最大值是 ____________.14. 直线AB 和AC 与圆O 分别为相切于B ,C 两点,P 为圆上一点,P 到AB ,AC 的距离分别为4厘米,6厘米,那么P 到BC 的距离为 厘米.15. 每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J 是检查号码.令S ＝10A ＋9B ＋8C ＋7D ＋6E ＋5F ＋4G ＋3H ＋2I , x 是S 除以11所得的余数,若x 不等于0或1,则规定J ＝11－x .(若x ＝0,则规定J ＝0;若x ＝1,规定J 用x 表示)现有一本书的书号是962y 707015,那么y ＝ .第二试1．求所有正实数a,使得方程x2－ax＋4a＝0仅有整数根.2．已知P为□ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,Q为AN 与DM的交点,求证:（1）P,Q,O三点在一条直线上;（2）PQ＝2OQ.3. 试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.1998年答案第 一 试1. 3 15+=m ，4151511-=+=m ， ∴ 435451+=+m m ，31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m . 2. 322 如图，AD 为直角A 的平分线，过B 作DA BE //交CA 的延长线于点E .=∠EBA ︒=∠45BAD ，1==AB AE ，2=EB ，又C D A ∆∽CBE ∆，32==CE AC EB AD ，∴32232==EB AD .3．22)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x22)1()1(22=+--+--=x x x x x .4．3因为m 、n 为有理数，方程一根为25-，那么另一个根为25--，由韦达定理. 得 4=m ，1-=n ，∴3=+n m .5．316 由原图AE FG EF AE EG ED BE EF AE +===， ∴ EF EF AE FG -=23163352=-=(厘米).6．1647175399522⨯⨯==-m n ,47175))((⨯⨯=+-m n m n .显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m ,n )，故满足条件的整数对(m ,n )共162222=⨯⨯⨯(个).7．1111个相继整数的平方和为22222)5()4()4()5(+++++++-+-x x x x x 22)10(11y x =+=,则y 最小时，从而12=x ，∴11=y .8．39∵ MBP ∆∽CBA ∆，3:1:=∆∆CBA MBP S S ， 3:1:=BA BP ,∴ 32=BA ，13=AC . 39133221=⋅⋅=∆ABC S .9．27204 ∵ 72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理54=BA BE , 由原图，连BG . 记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S EGc =∆.又由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，解之得 2728=b ， 27100=c .∴ )(2720427128平方厘米==+=c b S BEGF .10．13 由题意，设有n 人，分苹果数分别为1,2,…,n2)1(321+=++++n n n ≤100, ∴ n ≤13，所以至多有13人.11．-1 b a b ab a 222--++b b a b a 2)1(22-+-+= 412343)21(22--+-+=b b b a 1)1(43)21(22--+-+=b b a ≥-1. 当 021=-+b a ，01=-b ， 即 0=a ，1=b 时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为 -1.12．73对 ))((22m n m n m n x -+=-= (1≤m <n ≤98 m ,n 为整数)因为n ＋m 与n -m 同奇同偶，所以x 是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49＋24＝73个.13．15设算式a c f Bb e A d h + g 显然：g =1,d =9,h =0. a +c +f =10+B b +e =9+A∴ A ≤6.35876543219)(2=++++++=++B A .∴ 8=+B A .欲令A ·B 最大，取A ＝5，B ＝3，此时b ,e 为6,8;a ,c ,f 为2,4,7，故A ·B 最大值为15.14．62如图，AB PM ⊥，AC PN ⊥，BC PQ ⊥.P,Q,C,N 四点共圆，P,Q,B,N 四点共圆, NPQ NCQ MBQ MPQ ∠=∠-︒∠=∠-︒=∠180180，QNP BCP MBP MQP ∠=∠=∠=∠，∴ MPQ ∆∽QPN ∆， NPPQ PQ MP =， 62=⋅=NP MP PQ (厘米).15．7 213047506778296109⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y S∴ S 被11除所得的余数等于17+y 被11除所得的余数.由检查号码可知，S 被11除所得的余数是11-5＝6，因此7y 被11除所得余数为6-1＝5, ∴y ＝7第 二 试一、设两整数根为x ,y (x ≤y )，则⎩⎨⎧>=>=+04,0a xy a y x2a ≤y ≤a ,4≤x ≤8.可推出4≠x ， ∴ 42-=x x a ，由于x 为整数, ∴ 5=x 时，25=a ，20=y ； 6=x 时，18=a ，12=y ；7=x 时，a 不是整数；8=x 时，16=a ，8=y .于是25=a 或18或16均为所求.二、证明 如原图，连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点'Q ,''Q .在PAC ∆中，∵OC AO =，NC PN =，∴'Q 为重心，'2'OQ PQ =在PDB ∆中，∵BO DO =，MP BM =，∴''Q 为重心，''2''OQ PQ =这样'''Q Q =，并且'Q ,''Q 就是AN ，DM 的交点Q .故P ,Q ,O 在一条直线上，且OQ PQ 2=.三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一）以上5个数可用以下步骤找出：第一步：2,3,4为满足要求的三个数.第二步：设a ,a ＋2,a ＋3,a ＋4为满足条件的四个数，则a 可被2,3,4整除.取a ＝12，得满足条件的四个数12，14，15，16.第三步：设b ,b ＋12,b ＋14,b ＋15,b ＋16.取12,14,15,16的最小公倍数为b .即b ＝1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.。

1998年全国初中数学竞赛
许华
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1998(000)003
【摘要】一、选择题(本题共5小题,每小题6分,满分30分) 1.已知a、b、c都是实数,并且a&gt;b&gt;c.那么,下列式子中正确的是( ). (A)ab&gt;bc
(B)a+b&gt;b+c (C)a-b&gt;b-c (D)c/a&gt;b/c 2.如果方程
x~2+px+1=0(p&gt;0)的两根之差为1,那么p等于( ).
【总页数】4页(P36-38,50)
【作者】许华
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
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