1998年全国高中数学联赛试题及解答

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) －21(C) 23 (D) －23(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为( )(A) x 2＋(y ＋2)2=4 (B) x 2＋(y －2)2=4 (C) (x －2)2＋y 2=4 (D) (x ＋2)2＋y 2=4 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A BB (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x1(x ≠0)(6) 已知点P (sin α－cos α，tg α)在第一象限，则在)20[π，内α的取值是 ( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2345ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)2123± i (B) －2123± i (C) ±2123+ i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2 S 0=S ＋S ′ (D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有( )(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍 (13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )(A) arccos215- (B) arcsin215- (C) arccos251- (D) arcsin 251-(15) 在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么a 1的取值范围是( ) (A)(1，＋∞) (B)(1，4) (C) (1，2) (D)(1，2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________17．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）18．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1 C ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)19．关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)； ③y =f (x )的图像关于点(－6π，0)对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是_______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (20)(本小题满分10分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π．求sin B 的值． 以下公式供解题时参考： sin θ＋sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-， sin θ－sin ϕ=2cos2ϕθ+sin2ϕθ-，cos θ＋cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-， cos θ－cos ϕ=－2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(22)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C ．Ⅰ．求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；Ⅱ．求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； Ⅲ．求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离．(24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1．Ⅰ．写出曲线C 1的方程； Ⅱ．证明曲线C 与C 1关于点A (3t ，2s)对称； Ⅲ．如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =43t －t 且t ≠0．(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145． Ⅰ．求数列{b n }的通项b n ； Ⅱ．设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和．试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）16．31617．179 18．AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 19．②，③ 三、解答题20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B，又A －C =3π 得 23cos 2B=sin B ，所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B. 因为0<2B <2π，cos 2B≠0， 所以sin2B =43， 从而cos2B =4132sin 12=-B所以sinB=83941323=⨯.21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0），（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，p =|MN |. 所以 M （2p -，0），N （2p，0）. 由|AM |= 17 ，|AN |=3 得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A －2p）2+2px A =9. ②由①，②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或 因为ΔAMN 是锐角三角形，所以2p> x A ，故舍去⎩⎨⎧==22Ax p所以p =4，x A =1.由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点． 作AE ⊥ l 1，AD ⊥ l 2，BF ⊥ l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）.依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3， y A =|DM |=2222=-DAAM，由于ΔAMN 为锐角三角形，故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0｝.故曲线段C 的方程为y 2=8（x －2）（3≤x ≤6，y >0）.22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b +2ab +2a =60（a >0，b >0）， 得 b =aa+-230（0<a <30）. ① 于是 y =ab k=aaa k +-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =， 当a +2=264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a =6，a =－10（舍去）. 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），即 a +2b +ab =30（a >0，b >0）. 因为 a +2b ≥2ab 2， 所以 ab 22+ab ≤30， 当且仅当a =2b 时，上式取等号. 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18.即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3，a =6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ， 所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ， 所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ．解：作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23， 所以DE =1，AD =A 1D =3， tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ．解法一：由点C 作平面A 1ABB 1的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离.连结HB ，由于AB ⊥BC ，得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ，知HB ∥A 1E ，且BC ∥ED ， 所以∠HBC =∠A 1ED =60º 所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二：连结A 1B .根据定义，点C 到面A 1ABB 1的距离，即为三棱锥C －A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=， 即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ．解：曲线C 1的方程为y =（x －t ）3－（x －t ）+s .Ⅱ．证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）.设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有2221t x x =+， 2221sy y =+. 所以 x 1=t －x 2， y 1=s －y 2.代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：s －y 2=（t －x 2）3－（t －x 2），即 y 2=（x 2－t ）3－（x 2－t ）+ s ， 可知点B 2（x 2，y 2）在曲线C 1上.反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此，曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ．证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，所以，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ，整理得3tx 2－3t 2x +（t 3－t －s ）=0， 这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4－12t （t 3－t －s ）=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解：Ⅰ．设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n －2.Ⅱ．由b n =3n －2，知S n =log a （1+1）+ log a （1+41）+…+ log a （1+231-n ） = log a [（1+1）（1+41）……（1+231-n ）]， 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较（1+1）（1+41）……（1+231-n ）与313+n 的大小.取n =1有（1+1）>3113+⋅，取n =2有（1+1）（1+41）>3123+⋅， ……由此推测（1+1）（1+41）……（1+231-n ）>313+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1. 下面用数学归纳法证明①式.（ⅰ）当n =1时已验证①式成立.（ⅱ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+41）……（1+231-k ）>313+k . 那么，当n =k +1时，（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+()2131-+k ）>313+k （1+131+k ） =13133++k k （3k +2）. 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k ()013492>++=k k ， 所以13133++k k （3k +2）>().1134333++=+k k 因而（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+131+k ）>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立.由此证得：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、sin600°的值是23.D 23.C 21.B 21.A --[Key] D2、函数)1a (a y |x |>=的图象是[Key] B3、曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为A ． 4)2y (x 22=++B ．4)2y (x 22=-+ C ． 4y )2x (22=+- D ．4y )2x (22=++[Key] B4、两条直线0C y B x A ,0C y B x A 222111=++=++垂直的充要条件是A ． 0B B A A 2121=+B ． 0B B A A 2121=-C ． 1B B A A 2121-=D ． 1B B A A 2121=[Key] A5、函数)0x (x 1)x (f ≠=的反函数=-)x (f 1A ． x(x ≠0)B ． )0x (x 1≠C ． -x(x ≠0)D ．)0x (x 1≠-[Key] B6、已知点)tg ,cos (sin P αα-α在第一象限，则在)2,0(π内α的取值范围是A ． )45,()43,2(ππ⋃ππ B ． )45,()2,4(ππ⋃ππ C ． )23,45()43,2(ππ⋃ππ D ． ),43()2,4(ππ⋃ππ[Key] B °7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°[Key] C8、复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ． i 2123±B ．i 2123±-C ． i 2123+±D ．i 2123-± [Key] D9、如果棱台的两底面积分别是S ， S'，中截面的面积是S 0，那么A ． 'S S +=22B ． S 'S S =0C ． 'S S S +=02D ． S 'S S 220=[Key] A10、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是[Key] B11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种[Key] D12、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍[Key] A13、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A ． 34B ．32C ．2D ．3[Key] B14、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A ． 215arccos -B ． 215arcsin -C ．251arccos - D ． 251arcsin - [Key] B15、在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足11lim a S n n =∞→，那么a 1的取值范围是A ．(1,+∞)B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1,2)[Key] D16、设圆过双曲线116922=+y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 _______。

1998年全国普通高校招生统一考试（上海卷）数学试题一、填空题：1、1g20+1og 10025= 。

2、若函数y=2sinx+x a cos +4的最小值为1，则a= 。

3、若1lim →x 23332=+++x ax x ，则a= 。

4、函数f(x)=(x-1)31+2的反函数是f -1(x)= 。

5、棱长为2的正四面体的体积为 。

6、以直角坐标系的原点O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若椭圆两焦点的极坐标分别是⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1,2,1ππ，长轴长是4，则此椭圆的直角坐标方程是 。

7、与椭圆244922y x +=1有相同焦点且以y=x 34±为渐近线的双曲线方程是 。

8、函数y= 1,510,30,32〉+-≤〈+≤+x x x x x x 的最大值是。

9、设n 是一个自然数，n n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中x 3的系数为161则n= 。

10、在数列{a n }和{b n }中，a 1 =2,且对任意自然数n,3a n+1-a n =0,b n 是a n 与a n+1的等差中项，则{b n }的各项和是 。

11、函数f(x)=a x(a>0,a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大2a ，则a 的值为 。

二、选择题：12、下列函数中，周期为2π的偶函数是（ ） A 、y=sin4x B 、y=cos 22x-sin 22x C 、y=tg2x D 、y=cos2x13、若0<a<1，则函数y=log a (x+5)的图象不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限14、在下列命题中，假命题是（ ）A 、若平面α内的一条直线l 垂直于平面β内的任一直线，则α⊥βB 、若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥βC 、若平面α⊥平面β，任取直线l ⊂α,则必有l ⊥βD 、若平面α∥平面β，任取直线l ⊂α，则必有l ∥β15、设全集为R ，A={x|x 2-5x-6>0}，B={x||x-5|<a}(a 是常数），且11∈B ，则（ ）A 、A ⋃B=RB 、A ⋃B =RC 、A ⋃B =RD 、A ⋃B=R16、设a,b,c 分别是ΔABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x+ay+c=0与bx-sinB ·y+sinC=0 的位置关系是（ ）A 、平行B 、重合C 、垂直D 、相交但不垂直三、解答题17、设α是第二象限角，sin α=53,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 2637π的值。

1998年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学第I卷一、选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分，第（11）－（15）题每小题5分，共65分。

在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．sin600°的值是A．1/2 B．-1/2 C．/2 D．- /22．函数y=a|x|(a>1)的图象是3．已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是A．5 B．4 C．3 D．24．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A．A1A2+B1B2=0 B．A1A2-B1B2=0C．A1A2/B1B2=-1 D．B1B2/A1A2=15．函数f(x)=1/x(x≠0)的反函数f-1(x)=A．x(x≠0) B．1/x(x≠0)C．-x(x≠0) D．-1/x(x≠0)6．已知点P（sinα-cosα,tgα）在第一象限，则[0,2π]内α的取值范围是A．(π/2,3π/4)∪(π,5π/4) B．(π/4,π/2)∪(π,5π/4)C．(π/2,3π/4)∪(5π/2,3π/2) D．(π/4,π/2)∪(3π/4,π)7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为A．120° B．150° C．180° D．240°8．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是A．/2±1/2 B．- /2±1/2iC．±/2+1/2i D．±/2-1/2i9．如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么A．2 = + B．S0＝C．2S0＝S＋S' D．S02＝2S'S10．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士。

不同的分配方法共有A．6种 B．12种 C．18种 D．24种11．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是12．椭圆x2/12+y2/3＝1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A．±/4 B．±/2 C．±/2 D．±3/413．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A．4 B．2 C．2 D．14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A．arccos -1/2 B．arcsin -1/2C．arccos1- /2 D．arcsin1- /215．等比数列{a n}的公比为-1/2，前n项的和S n满足S n=1/a1，那么a1的值为A．± B．±3/2 C．± D．±/2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共65分）一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10）题每小题4分,第(11) （15)题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、sin600°的值是23.D 23.C 21.B 21.A --[Key] D2、函数)1a (a y |x |>=的图象是[Key ］ B3、曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为A ． 4)2y (x 22=++B ．4)2y (x 22=-+ C ． 4y )2x (22=+- D ．4y )2x (22=++［Key] B4、两条直线0C y B x A ,0C y B x A 222111=++=++垂直的充要条件是A ． 0B B A A 2121=+B ． 0B B A A 2121=-C ． 1B B A A 2121-=D ． 1B B A A 2121=［Key] A5、函数)0x (x 1)x (f ≠=的反函数=-)x (f 1A ． x （x ≠0)B ． )0x (x 1≠C ． -x(x ≠0）D ．)0x (x 1≠-［Key] B6、已知点)tg ,cos (sin P αα-α在第一象限，则在)2,0(π内α的取值范围是A ． )45,()43,2(ππ⋃ππ B ． )45,()2,4(ππ⋃ππ C ． )23,45()43,2(ππ⋃ππ D ． ),43()2,4(ππ⋃ππ［Key ］ B °7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°[Key] C8、复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ． i 2123±B ．i 2123±-C ．i 2123+± D ． i 2123-± [Key ］ D9、如果棱台的两底面积分别是S ， S’，中截面的面积是S 0，那么A ． 'S S +=22B ． S 'S S =0C ． 'S S S +=02D ． S 'S S 220=[Key] A10、向高为H 的水瓶中注水，注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是［Key ］ B11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种[Key] D12、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2｜的A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍［Key ］ A13、球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6,经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A ． 34B ．32C ．2D ．3[Key ］ B14、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角为A ． 215arccos -B ． 215arcsin -C ．251arccos - D ． 251arcsin - [Key] B15、在等比数列｛a n ｝中,a 1>1，且前n 项和S n 满足11lim a S n n =∞→，那么a 1的取值范围是A ．(1，+∞)B ．（1，4）C ．(1,2)D ．（1,2）[Key] D16、设圆过双曲线116922=+y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 _______。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1． 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A ）等于lg2 （B ）等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )（A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ． 2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.5．若椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．6．∆ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.三、（本题满分20分）已知复数z=1－sinθ+i cosθ(π2<θ<π)，求z的共轭复数－z的辐角主值．四、（本题满分20分）设函数f (x) =ax 2 +8x +3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ≤ 5都成立．问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论.五、（本题满分20分）已知抛物线y2= 2px及定点A(a, b), B( –a, 0) ,(ab≠ 0, b2≠ 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2．求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ≠M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．第二试二、（满分50分）设a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n∈[1，2]且nΣi=1a2i=nΣi=1b2i，求证：nΣi=1a3ib i≤1710nΣi=1a2i．并问：等号成立的充要条件．三、（满分50分）对于正整数a、n，定义F n(a)=q＋r，其中q、r为非负整数，a=qn＋r，且0≤r＜n．求最大的正整数A，使得存在正整数n1，n2，n3，n4，n5，n6，对于任意的正整数a≤A，都有F n6(F n5(F n4(F n3(F n2(F n1(a))))))=1．证明你的结论．一九九八年全国高中数学联赛解答 第一试一．选择题（本题满分36分，每小题6分）2．若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )（A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø 【答案】B【解析】A ⊆B ，A ≠Ø．⇒ 3≤2a +1≤3a －5≤22，⇒6≤a ≤9．故选B ．4.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2+ b 2x + c 2 > 0的解集相同;命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2． 则命题Q ( )(A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件【答案】D【解析】若两个不等式的解集都是R ，否定A 、C ，若比值为－1，否定A 、B ，选D ．5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( )(A ) arcsin 63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot226.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37【答案】B【解析】8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组； ⑵ 面中心为中点：4×6=24组；⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B ．二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________. 【答案】3【解析】 →OS =→OP +→PQ +→PR =→OP +→OQ －→OP +→OR －→OP =→OQ +→OR －→OP=(1+i )z +2－z －z=iz +2－z=(2cos θ－sin θ)+i (cos θ－2sin θ)．∴ |OS |2=5－4sin2θ≤9．即|OS |≤3，当sin2θ=1，即θ=π4时，|OS |=3．4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.【答案】8【解析】设其首项为a ，项数为n ．则得a 2+(n －1)a +2n 2－2n －100≤0．△=(n －1)2－4(2n 2－2n －100)=－7n 2+6n +401≥0．∴ n ≤8． 取n=8，则－4≤a ≤－3．即至多8项．(也可直接配方：(a +n －12)2+2n 2－2n －100－(n －12)2≤0．解2n 2－2n －100－(n －12)2≤0仍得n ≤8．)6．∆ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A －BCM 的体积等于 ．【答案】223【解析】由已知，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=23，由△AMC 为等边三角形，取CM 中点，则AD ⊥CM ，AD 交BC 于E ，则AD=3，DE=33，CE=233．折起后，由BC 2=AC 2+AB 2，知∠BAC=90°，cos ∠ECA=33． ∴ AE 2=CA 2+CE 2－2CA ·CE cos ∠ECA=83，于是AC 2=AE 2+CE 2．⇒∠AEC=90°．∵ AD 2=AE 2+ED 2，⇒AE ⊥平面BCM ，即AE 是三棱锥A －BCM 的高，AE=263． S △BCM =3，V A —BCM =223．三、（本题满分20分）2223222EBCAMD23222AEMDCB四、（本题满分20分）设函数f (x) =ax2 +8x+3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| 5都成立．问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论．五、（本题满分20分）已知抛物线y 2 = 2px 及定点A (a , b ), B ( – a , 0) ,(ab ≠ 0, b 2≠ 2pa ).M 是抛物线上的点, 设直线AM , BM 与抛物线的另一交点分别为M 1, M 2． 求证：当M 点在抛物线上变动时(只要M 1, M 2存在且M 1 ≠ M 2.)直线M 1M 2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标.第二试一、（满分50分）如图，O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上。

第 1 页 共 10 页 1998年普通高等学校招生全国统一考试
数学
(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一、 选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合M=｛x │0≤x<2｝,集合N=｛x │x 2-2x-3<0｝,集合M ∩N 为
(A)｛x │0≤x<1｝ (B)｛x │0≤x<2｝
(C)｛x │0≤x ≤1｝ (D)｛x │0≤x ≤2｝
[Key] B
(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为
32
)(23
)(6)(3)(D C B A ---
[Key] B
(3)函数
)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是
[Key] A
(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是
32)D (2)C (31
arccos )B (33
arccos )A (ππ
[Key] C
（5）函数x 2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是
ππππ
4)D (2)C ()B (2)A (
[Key] B。

一九九八年全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1． 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A ）等于lg2（B ）等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( ) （A ）{a | 1≤a ≤9}(B ) {a | 6≤a ≤9}(C ) {a | a ≤9} (D ) Ø3.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( )(A ) 150(B ) - 200(C ) 150或 - 200 (D ) - 50或4004.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2+ b 1x 2+ c 1 > 0与a 2x 2+ b 2x + c 2 > 0的解集相同； 命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2． 则命题Q ( ) (A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件(C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( ) (A ) arcsin63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot 226.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P ,Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.5．若椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．6．∆ABC 中, ∠C = 90o, ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.三、（本题满分20分）已知复数z=1－sin θ+i cos θ(π2<θ<π)，求z 的共轭复数－z 的辐角主值．四、（本题满分20分）设函数f (x ) = ax 2+8x +3 (a <0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l (a ) ,使得在整个 区间 [0, l (a )]上, 不等式| f (x )| ≤ 5都成立．问：a 为何值时l (a )最大? 求出这个最大的l (a )．证明你的结论.五、（本题满分20分）已知抛物线y2= 2px及定点A(a, b), B( –a, 0) ,(ab≠ 0, b2≠ 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2．求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ≠M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．第二试一、（满分50分）如图，O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、 选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合M=｛x │0≤x<2｝,集合N=｛x │x 2-2x-3<0｝,集合M ∩N 为(A)｛x │0≤x<1｝ (B)｛x │0≤x<2｝(C)｛x │0≤x ≤1｝ (D)｛x │0≤x ≤2｝[Key] B(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为32)(23)(6)(3)(D C B A ---[Key] B(3)函数)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是[Key] A(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是32)D (2)C (31arccos )B (33arccos )A (ππ[Key] C（5）函数x 2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是ππππ4)D (2)C ()B (2)A ([Key] B(6)满足arccos(1-x)≥arccosx 的x 的取值范围是]1,21)[(]21,0)[(]0,21)[(]21,1)[(D C B A --[Key] D(7)将y=2x 的图象(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象.[Key] D(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是ππππ200)(50)(225)(220)(D C B A[Key] C(9)曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x （t 是参数，t ≠0）,它的普通方程是11)(1)1(1)()1()2()(1)1()1)((2222+-=--=--==--x x y D x y C x x x y B y x A[Key] B(10)函数y=cos 2x-3cosx+2的最小值为6)(41)(0)(2)(D C B A -[Key] B(11)椭圆C 与14)2(9)3(22=-+-y x 椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是 (A) 19)3(4)2(22=+++y x(B) 14)3(9)2(22=-+-y x (C) 14)3(9)2(22=+++y x (D) 19)3(4)2(22=-+-y x[Key] A(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是337)(637)(32)(332)(ππππD C B A[Key] D(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④[Key] C（14）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是 (){}20<<x x A (){}5.20<<x x B (){}60<<x x C (){}30<<x x D[Key] C(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有(A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种[Key] D(16)已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_________. [Key] 4(17)已知直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ则极点到该直线的距离是_______。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．sin 600︒的值是A ．21 B ．12- C ．23 D ．【答案】D【解析】sin 600sin(720120)sin(120)sin120sin(18060)︒=︒-︒=-︒=-︒=-︒-︒sin 60=-︒=．2．函数(1)xy a a =>的图像是【答案】B【解析】函数为偶函数，当0x ≥时，xy a =为增函数，且过点(0,1)，B 正确．3．曲线的极坐标方程4sin ρθ=化成直角坐标方程为 A ．22(2)4x y ++= B ．22(2)4x y +-= C ．22(2)4x y -+= D ．22(2)4x y ++=【答案】B【解析】由已知得4yρρ=⨯，即224x y y +=，化为标准方程为22(2)4x y +-=．4．两条直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=垂直的充要条件是 A ．12120A A B B += B ．12120A A B B -= C ．12121-=B B A A D ．12121=A A B B 【答案】A【解析】①若一条直线的斜率不存在，则另一条直线一定与x 轴垂直，满足12120A A B B +=； ②若两条直线斜率均存在，则121212,A A k k B B =-=-，有121k k =-，即1212()1A AB B --=-，所以12120A A B B +=．5．函数1()(0)f x x x=≠的反函数1()f x -= A ．(0)x x ≠ B ．1(0)x x ≠ C ．(0)x x -≠ D ．1(0)x x-≠【答案】B 【解析】1()f x x =为反比例函数，所以反函数11()(0)f x x x-=≠．6．已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在)20[π，内α的取值是 A ．35()()244ππππ，， B ．5()()424ππππ，，C ．353(,)()2442ππππ,D ．3()(,)424ππππ， 【答案】B【解析】点P 在第一象限，则sin cos 0,tan 0ααα->>，即s i n c o s ,t a n 0ααα>>，α为第一象限或第三象限的角，若α为第一象限的角，则由sin cos αα>得tan 1α>，所以()42ππα∈，；若α为第三象限的角，则0t a n 1α<<，结合正切函数图象可得5()4παπ∈，．7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 A ．120º B ．150º C ．180º D ．240º 【答案】C【解析】由题设得22S rl S rππ==侧底，得2l r =，扇形的圆心角为22rr ππ=．8．复数i -的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A 12iB ．12i ±C ．12iD ．12i 【答案】D【解析】设33x i i =-=，则3322()()0x i x i x xi i -=-++=，解方程220x xi i ++=得122x i =±-．9．如果棱台的两底面积分别是,S S '，中截面的面积是0S ，那么A ．=B ．0S =C ．02S S S '=+D ．S S S '=22【答案】A【解析】设两底和中截面的半径分别为,r r '和0r ，则22200,,S r S r S r πππ''===，所以0r r r '===，又02r r r '=+，则=10．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是【答案】B【解析】在函数图象中，取水深2Hh =时，注水量02V V V '=>，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半，只有B 正确．【难度】较难．11．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种 【答案】D【解析】先分配医生有336A =种分法；再分配护士有22264290C C C =种分法，不同的分配方法有540种．12．椭圆221123x y +=的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上．如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的A ．7倍B ．5倍C ． 4倍D ．3倍 【答案】A【解析】线段1PF 的中点在y 轴上，则2PF x ⊥轴，有221123B y c +=，2y PF P ==，所以122PF a PF =-=1PF 是2PF 的7倍．13．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小 圆的周长为4π，那么这个球的半径为A ．B ．C ．2D ．3 【答案】B【解析】设球的半径为R ，球面上3个点为,,A B C ，则ABC ∆为等边三角形，小圆的半径为2r =，所以AB =R ==14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A ．1arccos 2B ．1arcsin 2C ．1arccos 2D ．1arcsin 2【答案】B【解析】不妨设A B C <<，则2C π=，且sin sin sin 1A B C <<=，所以2sin sin A B =，2sin sin ()2A A π=-，化简得2sin sin 10A A +-=，解得sin A =，则1arcsin2A =．15．在等比数列{}n a 中，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n x S a →∞=，那么1a 的取值范围是 A ．(1,)+∞ B ．(1,4) C ．(1,2) D． 【答案】D【解析】显然公比01q <<，由题设得111lim 11n x a S q a →∞==<-，可知10q -<<，而 211(1,2)a q =-∈，所以1(1a ∈．第Ⅱ卷（非选择题共85分）二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ． 【答案】316 【解析】根据题设，顶点、焦点和圆心在此双曲线的同一支上，设00(,)P x y ，则200531674,29x y +⨯===，故163OP ==．17．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为 （用数字作答）． 【答案】179【解析】10(2)x +的通项公式为101102r rr r T C x -+=⋅⋅，故10x 的系数为22010102179C C ⋅-=．18．如图，在直四棱柱1111A BC D ABCD -中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）【答案】AC BD ⊥，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等【解析】连接,AC BD ，则11//BD B D ，由于1AA BD ⊥，所以要使111AC B D ⊥，只需1AC BD ⊥，只需BD ⊥平面1A AC ，也即BD AC ⊥．19．关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=+∈，有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍； ②()y f x =的表达式可改写为()4cos(2)6f x x π=-；③()y f x =的图像关于点(,0)6π-对称；④()y f x =的图像关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是 ．（注：把你认为正确的命题的序号都．填上．） 【答案】②③ 【解析】12x x -必是2π的整数倍，①错误；()4sin(2)4cos[(2)]323f x x x πππ=+=-+4cos(2)6x π=-；()y f x =的图像的对称点的横坐标满足2()3x k k Z ππ+=∈，即26x k ππ=⋅-，当0k =时，对称点为(,0)6π-，③正确，④不正确．三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B 的值．以下公式供解题时参考：sin sin 2sincos,sin sin 2cossin2222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-+-+=-=，cos cos 2cos cos ,cos cos 2sin sin 2222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-+-+=-=-．【解】本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．由正弦定理和已知条件2a c b +=得sin sin 2sin A C B +=．由和差化积公式得2sin cos sin 22A C A CB +-=． 由A BC π++=得sin cos 22A C B+=，又3A C π-=得sin 22BB =，所以2sin cos 2222B B B =．因为0,cos 0222B B πθ<<≠，所以sin 2B =，从而cos 2B ==所以sin B ==21．（本小题满分11分）如图，直线1l 和2l 相交于点M ，12l l ⊥，点1N l ∈．以,A B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等．若AMN ∆为锐角三角形，3AM AN ==，且6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．【解】本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以1l 为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中,A B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为22(0),(,0)A B y px p x x x y =>≤≤>，其中,A B x x 分别为,A B 的横坐标，p MN =．所以(,0),(,0)22p pM N -．由3AM AN ==得2()2172A A p x px ++=， ① 2()292A A px px -+=． ②由①，②两式联立解得4A x p =，再将其代入①式并由0p >解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或 因为AMN ∆是锐角三角形，所以2A px >，故舍去2,2.A p x =⎧⎨=⎩ 所以4,1A p x ==．由点B 在曲线段C 上，得42B px BN =-=． 综上得曲线段C 的方程为28(14,0)y x x y =≤≤>．解法二：如图建立坐标系，分别以12,l l 为,x y 轴，M 为坐标原点．作122,,AE l AD l BF l ⊥⊥⊥，垂足分别为,,E D F ． 设(,),(,),(,0)A A B B N A x y B x y N x ． 依题意有3A x ME DA AN ====，A y DM ===由于AMN ∆为锐角三角形，故有4N x ME EN ME =+==6B x BF BN ===．设点(,)P x y 是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合{}222(,)(),,0NA B x y x xy x x x x y -+=≤≤>|．故曲线段C 的方程为28(2)(36,0)y x x y =-≤≤>．22．（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当,a b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（,A B 孔的面积忽略不计）．【解】本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识． 解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则ky ab=，其中0k >为比例系数．依题意，即所求的,a b 值使y 值最小．根据题设，有42260(0,0)b ab a a b ++=>>， 得30(030)2ab a a-=<<+． ① 于是26464303234(2)222k k k k y a a ab a a a a a====--+--+++++18k ≥=， 当6422a a +=+时取等号，y 达到最小值．这时6a =，10a =-（舍去）． 将6a =代入①式得3b =．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的,a b 的值使ab 最大．由题设知42260(0,0)b ab a a b ++=>>，即230(0,0)a b ab a b ++=>>． 因为22a b +≥30ab ≤，当且仅当2a b =时，上式取等号． 由0,0a b >>，解得018ab <≤．即当2a b =时，ab 取得最大值，其最大值为18． 所以2218b =．解得3,6b a ==．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．（本小题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，90,ABC BC ∠=︒=2,AC =，且1111,AA AC AA AC ⊥=． （Ⅰ）求侧棱1A A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面11A ABB 与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅲ）求顶点C 到侧面11A ABB 的距离．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．（Ⅰ）作1A D AC ⊥，垂足为D ，由面11A ACC ⊥面ABC ，得1A D ⊥面ABC ，所以1A AD ∠为1A A 与面ABC 所成的角． 因为1111,AA AC AA AC ⊥=， 所以145A AD ∠=︒为所求．（Ⅱ）作DE AB ⊥，垂足为E ，连1A E ，则由1A D ⊥面ABC ，得1A E AB ⊥． 所以1A ED ∠是面11A ABB 与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB BC ⊥，得//ED BC ．又D 是AC 的中点，2,BC AC ==所以11,DE AD AD ===，11tan A DA ED DE∠== 故160A ED ∠=︒为所求．（Ⅲ）解法一：由点C 作平面11A ABB 的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面11A ABB 的距离．连结HB ，由于AB BC ⊥，得AB HB ⊥．又1A E AB ⊥，知1//HB A E ，且//BC ED ， 所以160HBC A ED ∠=∠=︒．所以sin 60CH BC =︒= 解法二：连结1A B ．根据定义，点C 到面11A ABB 的距离，即为三棱锥1C A AB -的高h ． 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=，即322312231⨯⨯=⨯h ．所以3=h 为所求．24．（本小题满分12分）设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动,t s 单位长度后得曲线1C ．（Ⅰ）写出曲线1C 的方程；（Ⅱ）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t sA 对称；（Ⅲ）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明34t s t =-且0t ≠．【解】本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力． （Ⅰ）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+．（Ⅱ）证明：在曲线C 上任取一点111(,)B x y ．设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，则有2221t x x =+，2221sy y =+． 所以1212,x t x y s y =-=-．代入曲线C 的方程，得2x 和2y 满足方程：3222()()s y t x t x -=---， 即3222()()y x t x t s =---+，可知点222(,)B x y 在曲线1C 上．反过来，同样可以证明，在曲线1C 上的点关于点A 的对称点在曲线C 上． 因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．（Ⅲ）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，所以，方程组33,()().y x x y x t x t s ⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩ 有且仅有一组解．消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=， 这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根．所以0t ≠并且其根的判别式43912()0t t t t s ∆=---=．即⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以t t s -=43且0t ≠．25．（本小题满分12分）已知数列{}n b 是等差数列，112101,145b b b b =++⋅⋅⋅+=． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项n b ； （Ⅱ）设数列{}n a 的通项1log (1)n a na b =+（其中0a >，且1a ≠），记n S 是数列{}n a 的前n 项和．试比较n S 与11log 3a nb +的大小，并证明你的结论．【解】本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．（Ⅰ）设数列{}n b 的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以32n b n =-．（Ⅱ）由32n b n =-，知11log (11)log (1)log (1)432n a a a S n =++++⋅⋅⋅++- 11log [(11)(1)(1)]432a n =++⋅⋅⋅+-，11l o g l o 13a nb += 因此要比较n S 与11log 3a n b +的大小，可先比较11(11)(1)(1)432n ++⋅⋅⋅+-与313+n 的大小． 取1n =有11+>取2n =有1(11)(1)4++>……由此推测11(11)(1)(1)432n ++⋅⋅⋅+>- ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：当1a >时，11log 3n a n S b +>． 当01a <<时，11log 3n a n S b +<．下面用数学归纳法证明①式． （ⅰ）当1n =时已验证①式成立．（ⅱ）假设当(1)n k k =≥时，①式成立，即11(11)(1)(1)432k ++⋅⋅⋅+>-． 那么，当1n k =+时，1111(11)(1)(1)(1))4323(1)231k k k ++⋅⋅⋅++>+-+-+2)k =+．因为)()()()()332323234313231k k k k k ⎤+-+++-=⎥+⎣⎦()013492>++=k k ，2)k +>=因而111(11)(1)(1)(1)43231k k ++⋅⋅⋅++>-+ 这就是说①式当1n k =+时也成立．由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立． 由此证得：当1a >时，11log 3n a n S b +>． 当01a <<时，11log 3n a n S b +<．。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) sin600º的值是 ( )(A)21 (B) －21 (C)23 (D) －23 (2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是 ( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为 ( )(A) x 2＋(y ＋2)2=4 (B) x 2＋(y －2)2=4 (C) (x －2)2＋y 2=4(D) (x ＋2)2＋y 2=4(4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是 ( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D)12121=A A B B (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( )(A) x (x ≠0)(B)x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0)(D) －x1(x ≠0)（A ） （B ） （C ） （D ）(6) 已知点P (sin α－cos α，tg α)在第一象限，则在)20[π，内α的取值是 ( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2345ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( ) (A) 120º(B) 150º(C) 180º(D) 240º(8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是 ( )(A)2123±i (B) －2123±i (C) ±2123+i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么(A) 2S S S '+=0(B) S 0=S S ' (C) 2 S 0=S ＋S ′(D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有( )(A) 90种(B) 180种(C) 270种(D) 540种h VH 0(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍(B) 5倍(C) 4倍(D) 3倍(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43(B)23(C) 2(D)3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 ( )(A) arccos215- (B) arcsin215-(C) arccos251- (D) arcsin251- (15) 在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么a 1的取值范围是 ( ) (A)(1，＋∞) (B)(1，4) (C) (1，2)(D)(1，2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________17．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）18．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1 C ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)19．关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题:①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)； ③y =f (x )的图像关于点(－6π，0)对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是_______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．)三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分10分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π．求sin B 的值． 以下公式供解题时参考： sin θ＋sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-，sin θ－sin ϕ=2cos 2ϕθ+sin 2ϕθ-，cos θ＋cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-，cos θ－cos ϕ=－2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A ， B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．(22)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)． (23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C ．Ⅰ．求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；Ⅱ．求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； Ⅲ．求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离． (24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1． Ⅰ．写出曲线C 1的方程； Ⅱ．证明曲线C 与C 1关于点A (3t ，2s)对称； Ⅲ．如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =43t －t 且t ≠0．(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145． Ⅰ．求数列{b n }的通项b n ； Ⅱ．设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和．试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）16．31617．179 18．AC BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 19．②，③三、解答题20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B，又A －C =3π 得 23cos 2B=sin B ，所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B. 因为0<2B <2π，cos 2B≠0， 所以sin2B =43， 从而cos2B =4132sin 12=-B 所以sinB=83941323=⨯. 21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点． 设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0），（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，p =|MN |. 所以 M （2p -，0），N （2p ，0）.由|AM |= 17 ，|AN |=3 得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A －2p）2+2px A =9. ②由①，②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4A A x p x p 或 因为ΔAMN 是锐角三角形，所以2p> x A ，故舍去⎩⎨⎧==22Ax p所以p =4，x A =1.由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点． 作AE ⊥ l 1，AD ⊥ l 2，BF ⊥ l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）. 依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3， y A =|DM |=2222=-DAAM，由于ΔAMN 为锐角三角形，故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0｝.故曲线段C 的方程为y 2=8（x －2）（3≤x ≤6，y >0）.22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），得 b =a a+-230（0<a <30）. ① 于是 y =abk=aa a k+-230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =， 当a +2=264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a =6，a =－10（舍去）. 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），即 a +2b +ab =30（a >0，b >0）. 因为 a +2b ≥2ab 2， 所以 ab 22+ab ≤30， 当且仅当a =2b 时，上式取等号. 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18.即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3，a =6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ， 所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ， 所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ．解：作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23， 所以DE =1，AD =A 1D =3， tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ．解法一：由点C 作平面A 1ABB 1的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离. 连结HB ，由于AB ⊥BC ，得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ，知HB ∥A 1E ，且BC ∥ED ， 所以∠HBC =∠A 1ED =60º所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二：连结A 1B .根据定义，点C 到面A 1ABB 1的距离，即为三棱锥C －A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=， 即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ．解：曲线C 1的方程为y =（x －t ）3－（x －t ）+s .Ⅱ．证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）.设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有2221t x x =+， 2221sy y =+. 所以 x 1=t －x 2， y 1=s －y 2.代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：s －y 2=（t －x 2）3－（t －x 2），即 y 2=（x 2－t ）3－（x 2－t ）+ s ， 可知点B 2（x 2，y 2）在曲线C 1上.反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此，曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ．证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，所以，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ，整理得3tx 2－3t 2x +（t 3－t －s ）=0， 这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4－12t （t 3－t －s ）=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解：Ⅰ．设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n －2.Ⅱ．由b n =3n －2，知S n =log a （1+1）+ log a （1+41）+…+ log a （1+231-n ） = log a [（1+1）（1+41）……（1+231-n ）]， 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较（1+1）（1+41）……（1+231-n ）与313+n 的大小.取n =1有（1+1）>3113+⋅，取n =2有（1+1）（1+41）>3123+⋅， ……由此推测（1+1）（1+41）……（1+231-n ）>313+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1. 下面用数学归纳法证明①式.（ⅰ）当n =1时已验证①式成立.（ⅱ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+41）……（1+231-k ）>313+k . 那么，当n =k +1时，（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+()2131-+k ）>313+k （1+131+k ） =13133++k k （3k +2）. 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k ()013492>++=k k ， 所以13133++k k （3k +2）>().1134333++=+k k 因而（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+131+k ）>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立.由此证得：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) －21(C) 23 (D) －23(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为( )(A) x 2＋(y ＋2)2=4 (B) x 2＋(y －2)2=4 (C) (x －2)2＋y 2=4 (D) (x ＋2)2＋y 2=4 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A BB (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x1(x ≠0)(6) 已知点P (sin α－cos α，tg α)在第一象限，则在)20[π，内α的取值是 ( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2345ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)2123± i (B) －2123± i (C) ±2123+ i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2 S 0=S ＋S ′ (D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有( )(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍 (13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )(A) arccos215- (B) arcsin215- (C) arccos251- (D) arcsin 251-(15) 在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么a 1的取值范围是( ) (A)(1，＋∞) (B)(1，4) (C) (1，2) (D)(1，2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________17．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）18．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1 C ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)19．关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)； ③y =f (x )的图像关于点(－6π，0)对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是_______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (20)(本小题满分10分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π．求sin B 的值． 以下公式供解题时参考： sin θ＋sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-， sin θ－sin ϕ=2cos2ϕθ+sin2ϕθ-，cos θ＋cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-， cos θ－cos ϕ=－2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(22)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C ．Ⅰ．求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；Ⅱ．求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； Ⅲ．求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离．(24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1．Ⅰ．写出曲线C 1的方程； Ⅱ．证明曲线C 与C 1关于点A (3t ，2s)对称； Ⅲ．如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =43t －t 且t ≠0．(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145． Ⅰ．求数列{b n }的通项b n ； Ⅱ．设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和．试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）16．31617．179 18．AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 19．②，③ 三、解答题20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B，又A －C =3π 得 23cos 2B=sin B ，所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B. 因为0<2B <2π，cos 2B≠0， 所以sin2B =43， 从而cos2B =4132sin 12=-B所以sinB=83941323=⨯.21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0），（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，p =|MN |. 所以 M （2p -，0），N （2p，0）. 由|AM |= 17 ，|AN |=3 得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A －2p）2+2px A =9. ②由①，②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或 因为ΔAMN 是锐角三角形，所以2p> x A ，故舍去⎩⎨⎧==22Ax p所以p =4，x A =1.由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点． 作AE ⊥ l 1，AD ⊥ l 2，BF ⊥ l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）.依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3， y A =|DM |=2222=-DAAM，由于ΔAMN 为锐角三角形，故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0｝.故曲线段C 的方程为y 2=8（x －2）（3≤x ≤6，y >0）.22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b +2ab +2a =60（a >0，b >0）， 得 b =aa+-230（0<a <30）. ① 于是 y =ab k=aaa k +-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =， 当a +2=264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a =6，a =－10（舍去）. 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），即 a +2b +ab =30（a >0，b >0）. 因为 a +2b ≥2ab 2， 所以 ab 22+ab ≤30， 当且仅当a =2b 时，上式取等号. 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18.即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3，a =6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ， 所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ．解：作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23， 所以DE =1，AD =A 1D =3， tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ．解法一：由点C 作平面A 1ABB 1的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离.连结HB ，由于AB ⊥BC ，得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ，知HB ∥A 1E ，且BC ∥ED ， 所以∠HBC =∠A 1ED =60º 所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二：连结A 1B .根据定义，点C 到面A 1ABB 1的距离，即为三棱锥C －A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=， 即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ．解：曲线C 1的方程为y =（x －t ）3－（x －t ）+s .Ⅱ．证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）.设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有2221t x x =+， 2221sy y =+. 所以 x 1=t －x 2， y 1=s －y 2.代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：s －y 2=（t －x 2）3－（t －x 2），即 y 2=（x 2－t ）3－（x 2－t ）+ s ， 可知点B 2（x 2，y 2）在曲线C 1上.反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此，曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ．证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，所以，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ，整理得3tx 2－3t 2x +（t 3－t －s ）=0， 这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4－12t （t 3－t －s ）=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解：Ⅰ．设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n －2.Ⅱ．由b n =3n －2，知S n =log a （1+1）+ log a （1+41）+…+ log a （1+231-n ） = log a [（1+1）（1+41）……（1+231-n ）]， 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较（1+1）（1+41）……（1+231-n ）与313+n 的大小.取n =1有（1+1）>3113+⋅，取n =2有（1+1）（1+41）>3123+⋅， ……由此推测（1+1）（1+41）……（1+231-n ）>313+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.下面用数学归纳法证明①式.（ⅰ）当n =1时已验证①式成立.（ⅱ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+41）……（1+231-k ）>313+k . 那么，当n =k +1时，（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+()2131-+k ）>313+k （1+131+k ） =13133++k k （3k +2）. 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k()013492>++=k k ， 所以13133++k k （3k +2）>().1134333++=+k k 因而（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+131+k ）>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立.由此证得：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.。

1998年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、 选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合M=｛x │0≤x<2｝,集合N=｛x │x 2-2x-3<0｝,集合M ∩N 为 (A)｛x │0≤x<1｝ (B)｛x │0≤x<2｝ (C)｛x │0≤x ≤1｝ (D)｛x │0≤x ≤2｝ [Key] B(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为32)(23)(6)(3)(D C B A ---[Key] B(3)函数)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是[Key] A(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是32)D (2)C (31arccos)B (33arccos)A (ππ[Key] C（5）函数x2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是 ππππ4)D (2)C ()B (2)A ([Key] B(6)满足arccos(1-x)≥arccosx 的x 的取值范围是]1,21)[(]21,0)[(]0,21)[(]21,1)[(D C B A --[Key] D(7)将y=2x 的图象(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象.[Key] D(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是ππππ200)(50)(225)(220)(D C B A[Key] C(9)曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y tx （t 是参数，t ≠0）,它的普通方程是 11)(1)1(1)()1()2()(1)1()1)((2222+-=--=--==--x xy D x y C x x x y B y x A[Key] B(10)函数y=cos 2x-3cosx+2的最小值为6)(41)(0)(2)(D C B A -[Key] B(11)椭圆C 与14)2(9)3(22=-+-y x 椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是 (A) 19)3(4)2(22=+++y x (B) 14)3(9)2(22=-+-y x(C) 14)3(9)2(22=+++y x (D) 19)3(4)2(22=-+-y x[Key] A(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是337)(637)(32)(332)(ππππD C B A[Key] D(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a), 其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④ [Key] C（14）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是(){}20<<x x A (){}5.20<<x x B (){}60<<x x C (){}30<<x x D[Key] C(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有 (A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种[Key] D(16)已知92⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_________. [Key] 4(17)已知直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ则极点到该直线的距离是_______。