辽宁省普通高中2020届高三数学上学期学业水平测试试题及答案

葫芦岛市普通高中2019～2020学年第一学期学业质量监测考试高三数学（供理科考生使用）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页.满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂在答题卡上.3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上.4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.{|10}A x x =->，{}2|60B x x x =--≤，则A B =I （ ）A. [2,1)-B. [2,3]-C. (1,3]D. [1,3) 2.已知i 是虚数单位，复数52i =- （ ） A. i ﹣2 B. i +2 C. ﹣2 D. 23.在等比数列{}n a 中，4a ，6a 是方程2510x x ++=的两根，则5a =（ ）A. 1B. ±1C. 52D. 52± 4.设、a b 均为单位向量，则“22-=+a b a b ”是“⊥a b ”（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A. 样本中的女生数量多于男生数量B. 样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C. 样本中的男生偏爱物理D. 样本中的女生偏爱历史6.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A. B.C. D.7.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（ ）A.B. 1+C.D. 2+8.函数()2()ln 3f x x ax =--在(1,)+∞单调递增，求a 的取值范围（ ）A. 2a ≤B. 2a <C. 2a ≤-D. 2a <-9.若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A. log log a b c c < B. log log b a a c b c <C. c c ab ba <D. c c a b < 10.已知角α，(0,)βπ∈，1tan()2αβ+=，cos β=，则角2αβ+=（ ） A. 94π B. 34π C. 54π D. 4π 11.如图所示，已知球O 为棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A. 32πB. 3πC.D.12.设函数2()()()f x x x a x R =--∈，当3a >时，不等式()22(sin 1)sin f k f k θθ---≥-对任意[1,0]k ∈-恒成立，则θ的可能取值是（ ） A. 3π- B. 43π C. 2π- D. 56π 第Ⅱ卷（选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第15题为两空题，第一空2分，第二空3分.）13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_______.的14.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方“的钱币及用统计概率得到圆周率π的近似值的方法，具体做法如下，现有“外圆内方”的钱币（如图），测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为2cm ，“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p ,则圆周率π的近似值为________.15.()251(3)ax x +-的展开式中7x 系数为2，则a 的值为_______，5x 的系数为________.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点，12PF F ∆的内切圆与x 轴切于点(2,0)，且直线2y x =-经过线段1PF 的中点且垂直于线段1PF ，则双曲线C 的方程为________________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.） 17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD 、E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4=AD .（1）求证：//CE 平面PAB ；（2）求二面角P AC E --的余弦值.18.已知数列{}n a 其前n 项和n S 满足：()*112(1),0n n S n a n N a +=-+∈=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当1n =时，11c =，当2n ≥且*n N ∈时，设12n n n c na +=，求{}n c 的前n 项和n T .19.冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄羽、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%，现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较大的第4，5组中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查，求第4组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望. 20.椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的上顶点为A，点1,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，1F ，2F 分别为E 的左右焦点，12120F AF ︒∠=.（1）求椭圆E 的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作222x y b +=的切线交椭圆于C ，D 两点，且C ，2F ，D 不共线，问：2CF D ∆的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.21.已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； 的（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，不等式()2212ln 4121n i n n i n =-->+∑成立. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时就写清题号.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为00x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程及直线l 的斜率；（2）直线l 与圆C 交于M ，N 两点，MN 中点为Q ，求Q 点轨迹的直角坐标方程.23.设a ，b 是正实数，求：（1）若21a b +=，求22a b +的最小值；（2）若2241a b +=2b+最大值. 的。

2020届辽宁省葫芦岛市普通高中高三上学期学业质量监测（期末）数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．{|10}A x x =->，{}2|60B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．[2,1)-B ．[2,3]-C ．(1,3]D ．[1,3)2．已知i 是虚数单位，复数52i=- （ ） A ．i ﹣2B ．i +2C ．﹣2D ．23．在等比数列{}n a 中，4a ，6a 是方程2510x x ++=的两根，则5a =（ ） A ．1B ．±1C ．52D ．52±4．设、a b 均为单位向量，则“22-=+a b a b ”是“⊥a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着312++的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱物理D ．样本中的女生偏爱历史6．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．7．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，如果2b=a+c ，B =30°，△ABC 的面积是32 ，则 b =（ ）A ．1+B ．12+ C ．22D ．2+8．函数()2()ln 3f x x ax =--在(1,)+∞单调递增，求a 的取值范围（ ）9．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <D ．c c a b <10．已知角α，(0,)βπ∈，1tan()2αβ+=，cos 10β=，则角2αβ+=（ ） A ．94πB ．34π C ．54π D ．4π 11．如图所示，已知球O 为棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A ．32πB ．3πC ．2D ．12．设函数2()()()f x x x a x R =--∈，当3a >时，不等式()22(sin 1)sin f k f k θθ---≥-对任意的[1,0]k ∈-恒成立，则θ的可能取值是（ ） A ．3π- B ．43π C ．2π-D ．56π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_______.14．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方“的钱币及用统计概率得到圆周率π的近似值的方法，具体做法如下，现有“外圆内方”的钱币（如图），测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为2cm ，“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p ,则圆周率π的近似值为________.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点，12PF F ∆的内切圆与x 轴切于点(2,0)，且直线2y x =-经过线段1PF 的中点且垂直于线段1PF ，则双曲线C 的方程为________________.三、双空题16．()251(3)ax x +-的展开式中7x 系数为2，则a 的值为_______，5x 的系数为________.四、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD 、E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4=AD .（1）求证：//CE 平面PAB ； （2）求二面角P AC E --的余弦值.18．已知数列{}n a 其前n 项和n S 满足：()*112(1),0n n S n a n N a+=-+∈=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当1n =时，11c =，当2n ≥且*n N ∈时，设12n n nc na +=，求{}n c 的前n 项和n T .19．冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄羽、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%，现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较大的第4，5组中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查，求第4组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.20．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的上顶点为A，点1,B ⎛ ⎝⎭在椭圆E 上，1F ，2F 分别为E 的左右焦点，12120F AF ︒∠=.（1）求椭圆E 的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作222x y b +=的切线交椭圆于C ，D 两点，且C ，2F ，D 不共线，问：2CF D ∆的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.21．已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈. （1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，不等式()2212ln 4121ni n ni n =-->+∑成立.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为0022x x t y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程及直线l 的斜率；（2）直线l 与圆C 交于M ，N 两点，MN 中点为Q ，求Q 点轨迹的直角坐标方程. 23．设a ，b 是正实数，求：（1）若21a b +=，求22a b +的最小值； （2）若2241a b +=2b +的最大值.参考答案1．C 【解析】 【分析】分别求出关于A 、B 的不等式，写出A 、B 的交集即可. 【详解】由{}{}|10|1A x x x x =->=>，{}{}2|60|23B x x x x x =--≤=-≤≤，所以{}|13A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的运算法则化简求值． 【详解】解：()()()525222i i i i +=--+10524(1)i i +==+--， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，属于基础题． 3．B 【解析】 【分析】根据等比数列中项的性质，利用根与系数的关系，即可得出正确的结论. 【详解】在等比数列{}n a 中，由题意知：465a a +=-，461a a ⋅=，所以40a <，60a <，所以25461a a a =⋅=，即51a =±.故选：B.【点睛】本题考查了等比中项的性质的应用问题，也考查了根与系数关系的应用问题，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】根据22||=a a ，可化简22-=+a b a b 为22224444+-=++a b ab a b ab ，又、a b 均为单位向量，可得0=ab ，即可分析出结果. 【详解】因为、a b 均为单位向量，所以221,1==a b ，由22-=+a b a b 可得：()()2222-=+a b a b ，即22224444+-=++a b ab a b ab ，所以5454-=+ab ab ，即0=ab ，所以⊥a b ，因此“22-=+a b a b ”是“⊥a b ”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的性质，以及单位向量的概念，属于中档题. 5．D 【解析】 【分析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论. 【详解】由图1知，样本中的女生数量对于男生数量，样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量，样本中的男生偏爱物理，女生也偏爱物理. 故选：D. 【点睛】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，属于基础题. 6．B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 7．A 【解析】 【分析】由三角形面积得ac ，由余弦定理结合已知条件可得b ． 【详解】 由已知1113sin sin 302242S ac B ac ac ==︒==，6ac =，所以222222cos30()246(2b a c ac a c ac b =+-︒=+--=-+，解得1b =．故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积公式，考查余弦定理，解题方法是直接法，直接利用余弦定理列出b 的方程即可求解． 8．C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可. 【详解】由题意，设()23g x x ax =--，则要使()2()ln 3f x x ax =--在区间()1,+∞上单调递增，则满足()1210ag ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，即220a a ≤⎧⎨--≥⎩，解得2a ≤-.故实数a 的取值范围是2a ≤-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>， 所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确； 对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确； 对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】通过α，β的范围求出tan β，进一步求出tan α，再求出()tan 2αβ+，结合角的范围求出角的大小即可. 【详解】∵()0,βπ∈，由cos β=，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 10β=，1tan 7β=，又tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-，即1tan 17121tan 7αα+=-， 解得1tan 3α=，∴0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()()()11tan tan 23tan 21111tan tan 123αβααβαβα++++===-+⋅-⨯， 又()()20,αβπ+∈， ∴24παβ+=.故选：D. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的正切函数的应用，考查计算能力，注意角的范围是解题的关键，属于基础题. 11．A 【解析】 【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出平面1ACD 是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积. 【详解】根据题意知，平面1ACD是边长为D 为公共点的三个面的切点恰为三角形1ACD 三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，1ACD ∆内切圆的半径是tan 6r π==所以截面圆的面积是232ππ⨯=⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于基础题. 12．D 【解析】 【分析】当3a >时，先利用导数求得函数()f x 在(],1-∞上为减函数，再将不等式恒成立转化为22sin sin 1k k θθ--≤+对任意的[]1,0k ∈-恒成立，进而解得sin θ的范围.【详解】由()()2f x x x a =--，得()()()3f x x a x a =-'--，令()0f x '=，得13ax =，2x a =， 当3a >时，3a a <，所以()f x 在区间,3a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，[),a +∞上单调递减，在区间,3a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 而当3a >时，13a>，则()f x 在区间(],1-∞上为减函数，又[]1,0k ∈-，[]sin 1,1θ∈-，则2sin 11k θ-≤---≤，221sin 1k θ-≤-≤， 由题意，不等式()()22sin 1sinf k f k θθ---≥-对任意的[]1,0k ∈-恒成立，即转化为22211sin sin 124k k k θθ⎛⎫--≤+=+- ⎪⎝⎭对任意的[]1,0k ∈-恒成立，所以21sin sin 14θθ--≤-恒成立，解得13sin 22θ-≤≤，即1sin 12θ-≤≤， 结合选项知，θ的可能取值是56π. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角函数与二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 13．16【解析】 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可. 【详解】由题意可知该几何体是将边长为1的正方体截一只角的三棱锥图形， 所以，该三棱锥的体积为111111326V =⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：16. 【点睛】本题考查三视图求解几何体的面积与体积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题. 14．14(1)p -【解析】 【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得p ，进而得π的值. 【详解】圆形钱币的半径为2cm ，面积为224S ππ=⋅=圆，正方形边长为1cm ，面积为1S =正，由题意，在圆内随机取点，点取“内方”之外部分的概率114S S p S π-==-正圆圆， 即()141p π=-.故答案为：()141p -. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题.15．221416x y -=【解析】 【分析】设点P 是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，知122PF PF a -=，设三角形12PF F 的内切圆与x 轴的切点为()2,0A ，B 、C 分别为内切圆与1PF 、2PF 的切点，由同一点向圆引得两条切线相等知()()1212PF PF PB BF PC CF -=+-+，由此得到2a =，再利用直线2y x =-经过线段1PF 的中点且垂直于线段1PF ，设()P m n ,，运用直线的斜率公式和中点在直线2y x =-上，化简整理得34,55P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再利用双曲线的定义122PF PF a -=，得c =.【详解】点P 是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，知122PF PF a -=，若设三角形12PF F 的内切圆与x 轴的切点为()2,0A ，B 、C 分别为内切圆与1PF 、2PF 的切点， 由同一点向圆引得两条切线相等知，且12AF c =+，22AF c =-则有()()121212122PF PF PB BF PC CF BF CF AF F A a -=+-+=-=-=，所以()()222c c a +--=，即2a =，再设()P m n ,，()1,0F c -，()2,0F c ，则1PF 的中点坐标为,22m c n -⎛⎫⎪⎝⎭，10PF n k m c -=+， 由直线2y x =-经过线段1PF 的中点且垂直于线段1PF ，所以有222n m c -=-⋅，()021n m c -⋅-=-+，整理得35m c =，45n c =，即34,55P c c ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1PF =，2PF =，又124PF PF -=，所以c =，在双曲线中，22220416b c a =-=-=，故双曲线方程为221416x y -=.故答案为：221416x y -=.【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线的斜率公式的运用，切线的性质，考查运算能力，属于中档题. 16．2 181 【解析】 【分析】 把()()2513ax x +-按照二项式定理展开，再根据7x 系数为2，即可得到a 的值，进而可得5x 的系数. 【详解】()()()()22545321311590270405243ax x ax xx x x x +-+-+-+-=，所以展开式中含7x 项的系数为a ，则2a =， 所以5x 的系数为1180181+=. 故答案为：2，181. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.17．（1）证明见解析（2 【解析】 【分析】（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ，先证四边形EFBC 为平行四边形，进而可得//CE BF ，进而可得//CE 平面PAB ；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ACE 和平面ACP 的法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角P AC E --的余弦值. 【详解】（1）如图，取PA 中点F ，连结EF ，BF .因为E 为PD 中点，4=AD ，所以//EF AD ，122EF AD ==. 又因为//BC AD ，2BC =，所以//EF BC ，EF BC =， 所以四边形EFBC 为平行四边形. 所以//CE BF .又因为CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ， 所以//CE 平面PAB .（2）取AD 中点O ，连结OP ，OB . 因为PAD ∆为等边三角形，所以PO OD ⊥. 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD .因为//OD BC ，2OD BC ==， 所以四边形BCDO 为平行四边形. 因为CD AD ⊥，所以OB OD ⊥. 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则0(0)2A -，，，()200B ，，，()220C ，，，(01E，00(P ，.所以(2,4,0)AC =，AE =，(0,2,AP = 设平面ACE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1100n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111124030x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令12x =-，则1(2,1,=-n ， 显然，平面ACP 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220240y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令21z =，则2n =，所以121212cos ,n n n n n n ⋅<>===. 由题知，二面角P AC E --为锐角， 所以二面角P AC E --. 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，属于基础题.18．（1）0,12,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩（2）15(2)2n n T n +=+- 【解析】 【分析】（1）当1n =时，得21a =，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，得111n n a n a n +-=+，进而利用累乘法即可得到结论；（2）由（1）得，当2n ≥时，(1)2nn c n =-⋅，利用错位相减法即可. 【详解】解：（1）当1n =时，112220a S a ==-=，得21a =.当2n ≥时，11(1)n n n n n a S S na n a -+=-=-+，即1(1)(1)n n n a n a ++=-， 因为20a ≠，所以111n n a n a n +-=+， 34223112222,34(1)(1)n n n n a a a a n a a a a a n n n n n--=⨯⨯⋯⋯⨯=⨯⨯⋯⋯⨯==--， 综上所述，0,12,2(1)n n a n n n=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩（2）当1n =时，11T =. 当2n ≥时，(1)2nn c n =-⋅,231222(1)2n n T n =++⨯+⋯⋯+-⨯ 31222(2)2(1)2n n n T n n +=++⋅⋅+-⨯+-⨯31322(1)2n n n T n +-=+⋯⋯+--⨯()32112123(1)25(2)212n n n n n -++-=+--⨯=----15(2)2n n T n +=+-综上所述，15(2)2n n T n +=+-.【点睛】本题考查n a 与n S 的关系，考查利用累乘法求通项公式，考查利用错位相减法求前n 项和，属于基础题.19．（1）平均数为41.5岁；中位数为42.1岁（2）1528（3）详见解析【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图能求出a ，由此能求出这100人年龄的样本平均数和中位数； （2）第4，5组抽取的人数分别为6人，2人，设第4组中恰好抽取2人的事件为A ，利用排列组合能求出事件A 的概率；（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为45P =，X 的所有可能取值为0，1，2，3，43,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望. 【详解】解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， 平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁； 设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5⨯+⨯+-⨯=x ，∴42.1x ≈岁. （2）第4，5组抽取的人数分别为6人，2人.设第4组中恰好抽取2人的事件为A ，则21623815()28C C P A C ==. （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为45P =， X 的所有可能取值为0，1，2，3，∴30341(0)15125P x C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，12134412(1)155125P x C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21234448(2)155125P x C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 333464(3)5125P x C ⎛⎫===⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：∵4~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴412()355E X =⨯=. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．20．（1）2214x y +=（2）周长为定值4，详见解析【解析】 【分析】 （1）由题意得12b a =，将B 点代入椭圆方程解得，即可得到椭圆方程； （2）由题意，设CD 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，由CD 与圆221x y +=相切，得221m k =+，再联立直线与椭圆方程，运用弦长公式以及两点之间的距离公式分别表示出三角形的边长，进而即可得到结论. 【详解】（1）由12120F AF ︒∠=，得12b a =①，B 点1,2⎛-⎝⎭代入椭圆方程得2213144b b+=②， 由①②得224,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）由题意，设CD 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，∵CD 与圆221x y +=1=，即221m k =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440,0k x kmx m -+++-=∆> 设()11,C x y ，()22,D x y ，则122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+.∴12||CD x =-====又(()222222121111|44|14x CF x y x =-+=-+-=-，∴()21142CF =，同理()221|4|2DF =，∴()22122||||44214CF DF x x k +=-+=++ ∴22||4CD CF DF ++=.即2CF D ∆的周长为定值.【点睛】本题考查椭圆方程、两点间距离公式、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题． 21．（1）(1)1y k x =+-（2）k 2≤（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可得到切线方程；（2）由2ln x x kx x x +≤+，即ln 1x k x +≤+，构造函数()ln 1g x x x k =-+-，求导函数研究单调性，进而得()g x 的最大值，即得k 的取值范围；（3）由（2）可知：当2k =时，ln 1x x ≤-恒成立，令2141x i =--，整理得：()211ln 41122121i i i ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭，将两边不等式全相加即可得到结论. 【详解】（1）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，()1ln f x x k '=++，(1)1f k '=+，∵(1)f k =，∴函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y k k x -=+-， 即(1)1y k x =+-.（2）由2()f x x x ≤+，()ln f x x x kx =+，则2ln x x kx x x +≤+，即ln 1x k x +≤+，设()ln 1g x x x k =-+-，1()1g x x'=-， ()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，∵不等式2()f x x x ≤+恒成立，且0x >，∴ln 10x x k -+-≤，∴max ()(1)20g x g k ==-≤即可，故k 2≤.（3）由（2）可知：当2k =时，ln 1x x ≤-恒成立， 令2141x i =--，由于*i N ∈，21041i >-. 故，2211ln 14141i i <---，整理得：()221ln 41141i i ->--， 变形得：()21ln 411(21)(21)i i i ->-+-，即：()211ln 41122121i i i ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭1,2,3,,i n =时，11ln 31123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，11ln 51123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭……， ()2111ln 41122121n n n ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭两边同时相加得：()22211122ln 4112212121n i n n n i n n n n =-⎛⎫->--=> ⎪+++⎝⎭∑， 所以不等式在*n N ∈上恒成立.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，构造函数，考查导数的应用，转化思想，考查不等式的证明，属于难题.22．（1）圆C的直角坐标方程为22(5x y +-=，直线l 的斜率为1（2）Q 点的轨迹方程为0x y +，22x ⎡∈-⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）利用中点的坐标公式化简得21212(20y y x y x x -+-=-，进而可得0x y +-，再求得x 的范围即可得到结论.【详解】（1）由ρθ=得220x y +-=，即圆C的直角坐标方程为22(5x y +=. 由直线l 的参数方程可得001y y x x -=-，故直线l 的斜率为1. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，中点(,)Q x y ，将M ，N 代入圆方程得：221110x y +-=①，222220x y +-=②，①-②得：()()()(121212120x x x x y y y y -++-+-=，化简得21212(20y y x y x x -+-=- 因为直线2l 的斜率为1，所以上式可化为0x y +-=，代入圆的方程220x y +-=，解得x =±，所以Q 点的轨迹方程为0x y +=，22x ⎡∈-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，求轨迹方程的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题.23．（1）最小值为15（2）最大值为2 【解析】【分析】（1）法一：由题意得102b <<，再将22222(12)541a b b b b b +=-+=-+，利用二次函数求最值的方法即可；法二：利用柯西不等式；（2）法一：利用柯西不等式；法二：利用三角换元的方法，设cos a θ=，1sin 2b θ=，进而即可得到结论.【详解】 （1）法一：由1200a b b =->⎧⎨>⎩得，102b <<， 于是22222(12)541a b b b b b +=-+=-+，当25b =时，22a b +取得最小值为15. 法二：()()2222212(2)1a b a b ++≥+=，当且仅当2b a =时等号成立， 此时22a b +的最小值为15.（2）法一：222222)(2)14b a b ⎡⎤⎡⎤+≤++=⎣⎦⎣⎦，2b =时等号成立，因为a ，b 2b +的最大值为2.法二：设cos a θ=，1sin 2b θ=，02πθ<<2sin 2sin 3b πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，∵5336πππθ<+<， ∴当32ππθ+=时，maxsin 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2b +的最大值为2.【点睛】本题考查了不等式求最值，二次函数求最值，柯西不等式的应用，三角换元的方法，属于基础题.。

辽宁省葫芦岛市普通高中2020届高三上学期学业质量监测（期末）试题数学（文）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. A={x |x -1>0},B={x |x 2-x -6≤0}，则A∩B=A.[-2,1)B.[-2,3]C. (1,3]D.[1,3) 2.已知i 是虚数单位，复数52-i= A ．i -2 B ．i +2 C ．-2D ．2 3.在等比数列{a n }中，a 4,a 6是方程x 2+5x +1=0的两根，则a 5=A.1B. ±1C. 52D.±524.在△ABC 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则下列等式正确的是A. a :b=A :BB. a sin A=b sin BC. a :b =sin B :sin AD. a :b =sin A :sin B5. 已知 a ,b 均为单位向量，则|a -2b |=|2a +b |是a ⊥b 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 2018年辽宁省正式实施高考改革。

新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课. 这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。

考改实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。

某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不．正确的 A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱物理D ．样本中的女生偏爱历史7. 函数f(x)=e x+e-xx2的图像大致为8. 函数f(x)=ln(x2-ax-3)在(1,+∞)单调递增，求a的取值范围A.a≤2B.a<2C. a≤-2D. a<-29. 若1e<a<b<1,0<c<1,则下列不等式不成立．．．的是A. log a c<log b cB. a log b c<b log a cC. ab c<ba cD. a c<b c10. 已知角α，β∈(0,π),tan(α+β) =12,cosβ=7210,则角2α+β=A.9π4B.3π4C.5π4D.π411. 如图所示，已知球O为棱长为3的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为A．3π2B．3πC．36π2D．33π12. 设函数f (x)= -x(x-a)2(x∈R),当a>3时，不等式f (-k-sinθ-1)≥f (k2-sin2θ)对等高堆积条形图1 等高堆积条形图2任意的k ∈[-1,0]恒成立,则θ 的可能取值是A.-π3B.4π3C.-π2D.5π6第Ⅱ卷（选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第16题为两空题，第一空2分，第二空3分。

数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．参考公式：球的表面积公式24S R π=（其中R 为球的半径）．一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}220B x x x =--=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}3 D.{}1,2【答案】B 【解析】【分析】求出集合B ，然后求解交集即可．【详解】解：{}{}2201,2B x x x =--==- ，{}1,2,3,4A ={}2A B ∴=I 故选：B【点睛】本题考查集合的基本运算，一元二次方程的解法，考查计算能力，属于基础题．2.已知命题:p x R ∀∈，2230x x ++>，那么p ⌝是（）A.0x R ∃∈，200230x x ++> B.x R ∀∈，2230x x ++≤C.0x R ∃∈，200230x x ++≤ D.x R ∀∈，2230x x ++≠【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定．【详解】解：根据全称命题命题:p x R ∀∈，2230x x ++>，那么p ⌝是的否定为特称命题，即：p ⌝为0x R ∃∈，200230x x ++≤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了全称命题的否定的写法，对量词及结论都要进行否定，属于基础题．3.3x >是2x >的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由“3x >”⇒“2x >”，反之不成立，例如取 2.5x =．即可判断出结论．【详解】解：由“3x >”⇒“2x >”，反之不成立，例如取 2.5x =．因此“3x >”是“2x >”的充分而不必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.函数()f x =的定义域为（）A.(,1][3,)-∞-⋃+∞B.[1,3]-C.[3,1]- D.(,3][1,)-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】运用偶次根式被开方数非负，求得()f x 的定义域.【详解】解：()f x =(3)(1)0x x ∴+-≥解得31x -≤≤即函数()f x 的定义域为[3,1]x ∈-故选：C【点睛】本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力，属于基础题．5.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A.16B.12C.13D.23【答案】C 【解析】【分析】列举出三名同学站成一排的所有情况，在其中找到甲站中间的情况个数，根据古典概型计算公式求得结果.【详解】三名同学站成一排的基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个∴甲站在中间的概率：2163P ==本题正确选项：C【点睛】本题考查古典概型计算概率问题，属于基础题.6.如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（）A.c a c b->- B.11a b> C.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ln a b>【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质判断A ；根据幂函数的性质判断B ；根据指数函数的性质判断C ；根据对数函数的单调性判断D ．【详解】解：0a b >> a b∴-<-c a c b ∴-<-故A 错误；由于1y x -=在()0,∞+上单调递减，故11a b<即B 错误；由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即C 错误；由于ln y x =在()0,∞+上单调递增，故lna lnb >即D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，属于基础题．7.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于（）A.660 B.720C.780D.800【答案】B 【解析】试题分析：由已知，抽样比为13178060=，所以有351,72060078060n n ==++．故选B ．考点：随机抽样．8.已知sin 5α=-，α是第三象限的角，则tan 2α的值为（）A.43-B.43C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】先求出cos a ，再根据sin tan cos aa a=，最后利用二倍角余弦公式求得tan 2α可得答案．【详解】解：sin 5α=-，22sin cos 1αα+=5cos 5α∴=±αQ 是第三象限的角5cos 5α∴=-sin tan 2cos aa a∴==222tan 224tan 21tan 123ααα⨯∴===---故选：A【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用．属基础题．9.函数31()()log 3xf x x =-的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】在同一直角坐标系中作出函数1()3xy =与3log y x =的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得.【详解】解：函数31()()log 3xf x x =-的零点个数，即31()log 03xx -=的解得个数，等价于1()3x y =与3log y x =的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数31()()log 3xf x x =-有一个零点,故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.10.设M 是ABC 边BC 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+的值为（）A.14B.12C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据向量的线性运算及向量相等的充要条件可得.【详解】解：M 是ABC ∆边BC 的中点，1122AM AB AC∴=+ AM AB AC λμ=+ 11,22λμ∴==1λμ∴+=故选：C【点睛】本题考查向量的线性运算及向量相等的充要条件，属于基础题.11.如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（）A.B.3πC. D.12π【答案】D 【解析】【分析】由已知可得所求球是棱长为2的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．【详解】解：若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上则该球是正方体的外接球球的半径R ==则球的表面积2412S R ππ==故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，其中根据已知求出球的半径是解答的关键．12.如图给出了红豆生长时间t （月）与枝数y （枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（）A.指数函数：2t y =B.对数函数：2log y t =C.幂函数：3y t =D.二次函数：2y t =【答案】A 【解析】【分析】有散点图知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1,2)点，得到结果．【详解】解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1,2)点，∴图象由指数函数2t y =来模拟比较好，故选：A ．【点睛】本题考查散点图和两个变量之间的关系，本题解题的关键是看出图象的变化特点和图象所过的特殊点，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13.计算：5lg 2lg 22+=________．【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.【详解】解：25555lg2lg 2lg lg 2lg lg 4lg 4lg1012222⎛⎫+=+=+=⨯== ⎪⎝⎭故答案为：1【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属于基础题.14.已知向量(2,4)a = ，(1,1)b =-r ，则a b ⋅=________．【答案】2【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标运算可得.【详解】解：(2,4)a = ，(1,1)b =-r()21412a b ∴⋅=⨯-+⨯=故答案为：2【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若3sin 5α=，则sin β=________．【答案】35-【解析】【分析】根据终边关于x 轴对称的两个角的正弦值互为相反数，得出结论．【详解】解：角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若3sin 5α=，则3sin sin 5βα=-=-，故答案为：35-．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据终边关于x 轴对称的两个角的正弦值互为相反数，属于基础题．16.设x ，y 为正数，则14()x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为________．【答案】9【解析】【分析】函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值【详解】解：x ，y 为正数，()14414149y x x y x y x y ⎛⎫++=+++++⎪⎝⎭当且仅当4y x x y=时取得“=”∴最小值为9故答案为：9【点睛】利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”.三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量(,2)a x = ，(2,4)b =．（1）若//a b，求实数x 的值；（2）若6a b +=r r，求实数x 的值．【答案】(1)1x =．(2)2x =-．【解析】【分析】（1）由平面向量共线的坐标表示列出方程，解方程求出x 的值；（2）先求出a b +的坐标，再根据6a b +=r r 得到方程，解得.【详解】解：（1）因为//a b ，(,2)a x = ，(2,4)b =．422x ∴=⨯，解得1x =．（2）(,2)a x = ，(2,4)b =．(2,6)a b x ∴+=+，a b ∴+=，6=，解得2x =-．【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，以及求向量的模，属于基础题.18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c >>2sin 0b C -=．（1）求角B 的大小；（2）若b =，2a =，求c ．【答案】(1)3B π=．(2)1c =．【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，即可求得角B ；（2）把2a =，b =，3B π=代入2222cos b a c ac B =+-，化简后根据一元二次方程的解法求出c 的值．【详解】解：（1）因为2sin 0b C -=，所以2sin sin 0C B C -=．因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以sin 2B =．因为0B π<<，且a b c >>，所以3B π=．（2）因为b =，2a =，所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2214222c c =+-⨯⨯，即2210c c -+=．所以1c =．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式并会应用是解题的关键，属于基础题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点．（1）求证：EO 平面PDC ；（2）求证：AC DE ⊥．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）通过三角形中位线的性质可得//OE PD ，进而根据线面平行的判定定理可以证明出//EO 平面PDC ；（2）先分别证明出AC BD ⊥，PD AC ⊥，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面PBD ，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵E ，O 点分别是PB ，DB 中点，∴12EO PD //，∵PD ⊂平面PBC ，EO ⊄平面PBC ，∴EO 平面PBC ．（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，又∵PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，∴PD AC ⊥，∵PD BD D ⋂=，PD ⊂平面PBD ,BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，∵DE ⊂平面PBD ，∴AC DE ⊥．【点睛】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆．20.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）．已知上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，(80,100]．（1）求直方图中x 的值；（2）如果上学所需时间在[60,100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．【答案】(1)0.0125x =．(2)96名【解析】【分析】（1）由直方图中各个矩形的面积为1建立方程求x ．（2）计算出新生上学所需时间在[60,100]的频率，再乘上新生的总人数即可得到申请住宿的人数．【详解】解：（1）由直方图可得到200.025200.0065200.0032201x +⨯+⨯+⨯⨯=．所以0.0125x =．（2）由直方图可知，新生上学所需时间在[60,100]的频率为0.0032200.12⨯⨯=．所以估计全校新生上学所需时间在[60,100]的概率为0.12．因为8000.1296⨯=．所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．【点睛】本题考查频率分布直方图的理解与应用，理解直方图的意义是解答的关键．21.如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数sin (0,0)y A x A ωω=>>，[0,4]x ∈的图象，且图象的最高点为S；赛道的后一部分为折线段MNP ．为保证参赛运动员的安全，限定120MNP ∠= ．（1）求点M 的坐标；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？【答案】(1)(4,3)M ．(2)将PMN ∠设计为30︒时，折线段赛道MNP 最长．【解析】【分析】（1）利用图象分别求得周期和A 的值，进而求得ω最后得到函数解析式，即可求得M 的坐标．（2）设PMN θ∠=，利用正弦定理表示出3sin 3NP θ=，()103603MN θ︒=-，即可表示出NP MN +，用两角和差的正弦公式化简，根据三角函数的性质求得最大值.【详解】解：（1）由题意知3A =，34T =，∵2T πω=，∴6π=ω，∴3sin 6y x π=．当4x =时，2333y π==，∴(4,3)M ．（2）连接MP ，如图所示．又∵(8,0)P ，∴22(4)35MP =-+=．在MNP △中，120MNP ︒∠=，5MP =．设PMN θ∠=，则060θ︒︒<<，∵()sin120sin sin 60MP NP MN θθ︒︒==-．∴3NP θ=，()603MN θ︒=-．∴()6033NP MN θθ︒+=+-()1sin sin 603223θθθ︒⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭．∵060θ︒︒<<，∴6060120θ︒︒︒<+<，∴()56033θ︒<+≤．∴当30θ︒=时，折线段赛道MNP 最长．所以将PMN ∠设计为30︒时，折线段赛道MNP 最长．【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用．涉及到了三角函数图象的确定及解析式，解三角形问题，两点间距离公式等，综合性特别强．。

辽宁省葫芦岛市普通高中2020届高三数学上学期学业质量监测（期末）试题 理注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂在答题卡上．3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. A={x |x -1>0},B={x |x 2-x -6≤0}，则A∩B=A.[-2,1)B.[-2,3]C. (1,3]D.[1,3)2.已知i 是虚数单位，复数52-i=A ．i -2B ．i +2C ．-2D ．23.在等比数列{a n }中，a 4,a 6是方程x 2+5x +1=0的两根，则a 5=A.1B. ±1C. 52D.±524. 已知 a ,b 均为单位向量，则|a -2b |=|2a +b |是a ⊥b 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 2018年辽宁省正式实施高考改革。

新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课 . 这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。

考改实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。

某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不．正确的 A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱物理D ．样本中的女生偏爱历史6. 函数f (x )=e x +e -xx2的图像大致为A. B. C. D. 7. 在△ABC 中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边，B =30°，a+c =2b ，△ABC 的面积为32，则b =A. 1313+23+D. 23+8. 函数f (x )=ln(x 2-ax -3)在(1,+∞)单调递增，求a 的取值范围A.a ≤2B.a <2C. a ≤-2D. a <-2OyxO yxyxOyxO 等高堆积条形图1等高堆积条形图2111侧（左）视图正（主）视图俯视图9. 若1e <a <b <1,0<c <1,则下列不等式不成立．．．的是A. log a c <log b cB. a log b c <b log a cC. ab c<ba cD. a c<b c10. 已知角α，β∈(0,π),tan(α+β) = 12,cos β = 7210,则角2α+β =A.9π4B. 3π4C. 5π4D. π411. 如图所示，已知球O 为棱长为3的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为A ．3π2B ．3πC ．36π2D ．33π12. 设函数 f (x )=-x (x -a )2(x ∈R ),当a >3时，不等式f (-k -sin θ -1)≥ f (k 2-sin 2θ )对任意的k ∈[-1,0]恒成立,则θ 的可能取值是 A.-π3B.4π3C.-π2D.5π6第Ⅱ卷（选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第15题为两空题，第一空2分，第二空3分。

葫芦岛市普通高中2019～2020学年第一学期学业质量监测考试高三数学（理）参考答案及评分标准一、选择题CBBCD AACBD AD二、填空题13. 16 14. 14(1－p )15. 2；181（本小题第一空2分，第二空3分） 16. x 24 - y 216 =1 三、解答题17（本小题满分12分）解：（1）如图，取PA 中点F ，连结EF,BF.因为E 为PD 中点，AD=4，所以EF ∥AD ，EF=12AD=2.又因为BC ∥AD ，BC=2，所以EF ∥BC ，EF=BC ，所以四边形EFBC 为平行四边形. ……………………………………………………2 所以CE ∥BF.又因为CE ⊄平面PAB,BF ⊂平面PAB ，所以 CE ∥平面PAB (4)（2）取AD 中点O ，连结OP ，OB.因为∆PAD 为等边三角形，所以PO ⊥OD.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面所以PO ⊥平面ABCD.因为OD ∥BC ，OD=BC=2，所以四边形BCDO 为平行四边形.因为CD ⊥AD ，所以OB ⊥OD. 如图建立空间直角坐标系O -xyz ，则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1, 3),P(0,0,2所以AC →=(2,4,0), AE →=(0,3,3). AP →=(0,2,23)设平面ACE 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1→·AE →=0 n 1→·AC →=0即⎩⎨⎧2x 1+4y 1=03y 1+3z 1=0令x 1=-2，则n 1=(-2,1,显然，平面ACP 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2→·AP →=0 n 2→·AC →=0即⎩⎨⎧2y 2+23z 2=02x 2+4y 2=0 令z 2=1，则n 2=(23,-3,1)，………………………10 所以cos< n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|=-6322⨯4=-368. 由题知，二面角P -AC -E 为锐角，所以二面角P -AC -E 的余弦值为368.……………………………………………………12 18. （本小题满分12分）解：(1) 当n=1时，a 1=S 1=2-2a 2=0,得a 2=1…………………………………………………2 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=na n -(n+1)a n+1,即(n+1)a n+1=(n -1)a n ,因为a 2≠0，所以a n+1a n = n -1n+1……………………………………………………………4 a n a 2=a 3a 2⨯a 4a 3⨯……⨯a n a n -1= 13⨯24⨯……⨯n -2n =2(n -1)n , a n =2(n -1)n综上所述，a n =⎩⎪⎨⎪⎧0 n=12(n -1)n n ≥2 ………………………………………………6 (2) 当n=1时,T 1=1 ………………………………………………………………………8 当n ≥2时,c n =(n -1)·2nT n =1+22+2⨯23+……+(n -1)⨯2n 2T n = 2+ 23+……+(n -2)⨯2n +(n -1)⨯2n+1 -T n =3+23......+ 2n -(n -1)⨯2n+1 (10)= 3+23(1-2n-2)1-2-(n -1)⨯2n+1=-5-(n -2) 2n+1 T n =5+(n -2)2n+1综上所述，T n =5+(n -2)2n+1 (12)19. （本小题满分12分）解 ：(1)由10⨯(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1，得a=0.035， (1)平均数为20⨯0.1+30⨯0.15+40⨯0.35+50⨯0.3+60⨯0.1=41.5岁；.................................2 设中位数为x ，则10⨯0.010+10⨯0.015+(x -35) ⨯0.035=0.5，∴x ≈42.1岁． (3)(2)第4,5组抽取的人数分别为6人，2人．设第4组中恰好抽取2人的事件为A ，则P(A)=C 26 C 12 C 38 =1528． (6)(3)从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为P=45， (8)X 的所有可能取值为0,1,2,3，∴P(x=0)=C 03(1-45)3=1125， P(x=1)=C 13(45)1 (1-45)2=12125, P(x=2)=C 23(45)2 (1-45)1=48125, P(x=3)=C 33(45)3=64125， ……………………………………………………………………10 所以X 的分布列为：∵X ～B(3,45)， ∴E(X)=3⨯45=125．…………………………………………………………12 20. （本小题满分12分）解：(1)由∠ F 1AF 2=120°，得b a =12………………………①,B 点 (1，－32)代入椭圆方程得 14b 2 ＋34b 2＝………1②, 由①②得a 2=4,b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. ……………………………………4 （2）由题意,设CD 的方程为y=kx+m(k<0,m>0),∵CD 与圆x 2+y 2=1相切,∴|m|1+k 2=1,即m 2=1+k 2,由⎩⎪⎨⎪⎧y=kx+m x 24＋y 2＝1得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0 , ∆>0 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则x 1+x 2= -8km 1+4k 2 , x 1x 2= 4m 2-4 1+4k 2 (6)∴|CD|=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =1+k 2(-8km 1+4k 2)2-4⨯4m 2-4 1+4k 2=-43k 1+k 2 1+4k 2=-43km 1+4k 2 (8)又|CF 2|2=(x 1-3)2+y 2=(x 1-3)2+1-x 124＝14(3x 1-4)2 , ∴|CF 2|=12(4-3x 1) ……………………………………………………………………………10 同理|DF 2|=12(4-3x 2), ∴|CF 2|+|DF 2|=4 - 32( x 1+x 2)= 4+43km 1+4k 2∴|CD|+|CF 2|+|DF 2|=4即△CF 2D 的周长为定值. (12)21. （本小题满分12分）解：(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=1+lnx+k, f '(1)=1+ k,∵f(1)=k,∴函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y -k=(k+1)(x -1),即y=(k+1)x -1 (3)(2)设g(x)=lnx -x+k -1, g '(x)=1x -1,x ∈(0,1), g '(x)>0,g(x)单调递增，x ∈(1,+∞), g '(x)<0,g(x)单调递减，∵不等式f(x)≤x 2+x 恒成立，且x>0，∴lnx -x+k -1≤0,∴g(x)max=g(1)=k -2≤0即可，故k ≤2 (6)(3)由（2）可知：当k=2时，lnx ≤x -1恒成立，令x = 14i 2-1,由于i ∈N *，14i 2-1>0.故，ln 14i 2-1<14i 2-1-1,整理得：ln(4i 2-1)>1-14i 2-1变形得：：ln(4i 2-1)>1-1(2i+1)(2i-1)，即：ln(4i 2-1)>1-12(12i-1 - 12i+1)i=1,2,3……,n 时，有ln3>1-12 (1-13)’ln5>1-12 (1-13)…………ln(4n 2-1)> 1-12 (12n-1 - 12n+1)两边同时相加得： 21ln(41)n i i =-∑>n-12(1-12n+1)=2n 22n+1>2n 2-n 2n+1所以不等式在n ∈N *上恒成立.22. （本小题满分10分）解：(1)由ρ=25sin θ得x 2+y 2−25y=0,即圆C 的直角坐标方程为x 2+(y −5)2=5 (2)由直线l 的参数方程可得y-y 0x-x 0=1,故直线l 的斜率为1. ……………………………………4 (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 中点Q (x,y) ,将M ,N 代入圆方程得：x 12+y 12−25y 1=0………………①,x 22+y 22−25y 2=0………………②,①-②得:(x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2-25)=0 (6)化简得2x+(2y −25)y 2-y 1x 2-x 1=0 因为直线l 2的斜率为1，所以上式可化为x+y −5=0 (8)代入圆的方程x 2+y 2−25y=0，解得x=±102所以Q 点的轨迹方程为x+y −5=0，x ∈[-102,102] (10)23. （本小题满分10分）解：（1）法 一：由⎩⎨⎧a=1-2b>0b>0得，0<b<12， 于是a 2+b 2=(1-2b)2+ b 2=5b 2-4b+1,当b=25时，a 2+b 2取得最小值为15 (5)法二：(a 2+b 2)(12+22)≥( a+2b)2=1,当且仅当a=b 2时等号成立，此时a 2+b 2的最小值为15 ……………………………………………………………………5 （2）法一： (3a+2b)2≤[a 2+(2b)2][(3)2+12]=4, 当且仅当a 3= 2b 时等号成立， 因为a ，b 是正实数，所以3a+2b 的最大值为2 (10)法二：设a=cos θ,b=12sin θ,0<θ<π2,3a+2b=3cos θ+sin θ=2sin(θ+π3),∵π3<θ+π3<5π6,∴当θ+π3=π2时sin(θ+π3)max =1,3a+2b 的最大值为2 (10)。

辽宁省2020届高三上学期学业水平合格性考试（二）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.已知全集RU =，集合{}1,2,3,4,5A =，{}3B x x =≥，则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{}1,2B. {}4,5C.{}1,2,3D.{}3,4,52.已知命题2:(1,),168p x x x ∀∈+∞+>，则命题的否定为( ) A.2(1,),168x x x ∀∈+∞+≤ B. 2(1,),168x x x ∀∈+∞+< C. 2000(1,),168x x x ∃∈+∞+≤ D. 2000(1,),168x x x ∃∈+∞+<3.函数()y f x =为奇函数是()y f x =的图象关于原点对称”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.如果422log 1,log 3,log πa b c ===,那么,,a b c 三个数的大小关系是( ) A.c b a >>B.a c b >>C. a b c >>D. b c a >>5.一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭,则a b +的值是( )A. 10B. -10C. 14D. -146.已知,x y 都是正数,且1xy =,则14x y+的最小值为( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 37.设,αβ是两个不同的平面,,m n 是两条不同的直线,下列命题中正确的是( )A. 若,m αβα⊥⊂,则m β⊥B. 若,m αβα⊥⊥,则//m βC. 若//,m n ααβ=I ,则//m nD. 若//,//,m m n αβαβ=I ,则//m n8..某家庭2016年一月份的总开支分布图如图1所示,这个月的食品开支如图2所示,则这个月的肉类开支占该家庭总开支的百分比为( )A. 3%B. 10%C. 20%D. 30%9.在某次测量中得到的A 样本数据如下: 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据,则,A B 两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A.众数B.平均数C.中位数D.标准差 10.若函数12(0,1)x y a a a -=->≠的图象恒过点P,则点P 为（ ）A.(3,0) B. (1,0)-C.(0,3)D.(1,1)-11.为了得到函数1πsin(2)23y x =-的图象,只需将函数sin cos y x x =的图象（ ）A. 向左平移π6个单位 B. 向右平移π6个单位 C. 向左平移π3个单位 D. 向右平移π3个单位 12.已知正方形ABCD 的边长为6，M 在边BC 上且3,BC BM N =为DC 的中点，则AM BN ⋅u u u u r u u u r=( ) A. -6 B. 12 C. 6D. -12二、填空题13.cos330︒=_________.14.设向量()2,4a =r与向量(),6b x =r 共线,则实数 x =___________.15.若函数()1f x ax =-的零点在(1,3)内，则实数a 的取值范围是_________.16.函数22,0()log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则方程1()2f x =的解是__________.三、解答题17.某款车的车速与刹车后的停车距离的对应值，可用一个函数模拟刹车后的停车距离/m y 与车速km /h x 的关系，根据实验数据建立最佳数学模型20.0060.21y x x =+.（1）根据最佳模型预测该款车车速为100km/h 时的刹车距离；（2）某城市一道路上在同一行驶车道上以相同速度行驶的该款两辆汽车，它们车间距为34.2m ，根据最佳模型预测在前车突发停车情况下，后车不改变行驶车道，后车车速x 至多为多少时？两车不会发生碰撞.18. 如图,在ABC ∆中,D 是BC 上的点,73,2,7,sin AC CD AD B ====.（1）求角C 的大小; （2）求边AB 的长.19. 如图,在ABC ∆中,C ∠为直角,4AC BC ==.沿ABC ∆的中位线DE ,将平面ADE 折起,使得 90ADC ∠=︒,得到四棱锥A BCDE -.(1)求证:BC ⊥平面ACD ; (2)求三棱锥E ABC -的体积;20. 《汉字听写大会》不断创收视新高,为了避免“书写危机”弘扬传统文化,某市对全市一定年龄的市民进行了汉字听写测试.为了调查被测试市民的基本情况,组织方从参加测试的市民中随机抽取120名市民,按他们的年龄分组:第一组[20,30),第2组[30,40),第3组[40,50),第4组[50,60),第5组[60,70],得到的频率分布直方图如图所示.(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访,求被采访人恰好在第1组或第4组的概率; (2)已知第1组市民中男性有3名,组织方要从第1组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队,求至少有1名女性群众的概率 21. 已知π(sin(),1),(cos ,1)6x n m x -==(1)若//m n ,求tan x 的值;(2)若函数,π()[0,]2f x x m n ∈⋅=,求()f x 的值域.参考答案1.答案：A解析：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A 中，但不在集合B 中． 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()B A ⋂U ð，又{}1,2,3,4,5R 3{|}A B x x ==∈，…， ∵{}|3B x x =<U ð， ∴{}1,2()B A ⋂=U ð．则图中阴影部分表示的集合是：{}1,2． 2.答案：C解析：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即命题的否定是：()3:1,,168p x x x ⌝∃∈+∞+„3.答案：C解析：∵()y f x =关于原点对称的函数表达式为：()()y f x f x =-=-， 故函数()y f x =是奇函数， 故()y f x =是奇函数”是“() y f x =的图象关于原点对称”充要条件. 4.答案：A解析：∵422log 1,log 3,log πa b c ===， ∴c b a >>. 5.答案：B∴当且仅当1,22x y ==时,14x y +取最小值4.解析：由αβ，是两个不同的平面，m n ，是两条不同的直线，知： 在A 中，若m αβα⊥⊂，，则m 与β相交、平行或m β⊂，故A 错误； 在B 中,若,m αβα⊥⊥,则//m β或m β⊂，故B 错误；在C 中,若//m n ααβ⋂=，，则m 与n 平行或异面，故C 错误；在D 中,若//,//,m m n αβαβ⋂=,则由直线与平面平行的性质定理得//m n ，故D 正确.解析：因为()1100304010080501003003÷++++=÷=所以130%10%3⨯=解析：A 样本众数为88,B 众数为90,众数不同;A 样本平均数比B 样本平均数小2;,A B 的中位数不同,都加2后数据波动程度相同,因此标准差相同. 10.答案：C解析：∵指数函数(0y ax a =>,且1)a ≠恒过()0,1点，而函数2(0y ax a =->且1)a ≠的图象可以看成是函数(0y ax a =>,且1)a ≠的图象向下平移2个单位而得到的，∴函数2(0y ax a =->,且1)a ≠的图象恒过()0,1-点 11.答案：B解析：本题考查三角函数的图象.由1sin cos sin 22y x x x ==,为了得到函数1π1πsin(2)sin 2()2326y x x =-=-的图象,只需将函数sin cos y x x =的图象向右平移π6个单位 12.答案：A解析：以A 为原点建立坐标系，如图所示：解析：()()cos330cos 30360cos 30cos30︒=-︒+︒=-︒=︒= 14.答案：3解析：由向量平行的性质,有2:4:6x =,解得3x =. 15.答案：1(,1)3解析：16.答案：-1解析：17.答案：(1)将100x =代入20.0060.21y x x =+， 计算得81y =，所以车速为100km/h 时的刹车距离为81m . (2)由题得20.0060.2134.2x x +≤， 解得9560x -≤≤，又0x >， 即060x <≤，所以后车车速x 至多为60km/h . 解析：18.答案：(1)在ADC ∆中,由余弦定理,得222223271cos 22322AC CD AD C AC CD +-+-===⋅⋅⨯⨯.因为0πC <<,所以π3C =.(2) 因为π3C =,所以sin C .在ABC ∆中,由正弦定理,得 sin sin AC ABB C=.即AB =所以边AB . 解析：19.答案：(1)因为//DE BC 且90C ∠=︒, 所以DE AD ⊥,同时DE DC ⊥,又AD DC D ⋂=,所以DE ⊥平面ACD . 所以BC ⊥平面ACD .(2)由第1问可知:BC ⊥平面ACD , 又AD ⊂平面ACD ,所以AD BC ⊥, 又因为90ADC ∠=︒,所以AD DC ⊥. 又因为BC DC C ⋂=,所以AD ⊥平面BCDE .所以,1·3E ABC A EBC EBC V V S AD --==V . 依题意,11·42422EBC S BC CD ==⨯⨯=V . 所以,184233E ABC V -=⨯⨯=.解析：20.答案：(1)设第1组[20,30)的频率为1f ,则由题意可知,()110.0100.0350.0300.020100.05f =-+++⨯=,被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.050.020100.25+⨯=, ∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25. (2)第1组[)20,30的人数为0.051206⨯=, ∴第1组中共有6名市民,其中女性市民共3名,记第1组中的3名男性市民分别为,,A B C ,3名女性市民分别为,,x y z , 从第1组中随机抽取2名市民组成宣传队,共有15个基本事件, 列举下:,,,,,,AB AC Ax Ay Az BC Bx , ,,,,,,,By Bz Cx Cy Cz xy xz yz ,至少有1名女性,,,,,,,,,,,Ax Ay Az Bx By Bz Cx Cy Cz xy xz yz 共12个基本事件, ∴从第1组中随机抽取2名市民组成宣传队,至少有1名女性的概率为.解析：21.答案：(1)由//m n 得,πsin cos 06x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,化简得,sin 3cos x x =, 即tan 3x =.(2) ()1π3sin 2264f x m n x ⎛⎫=⋅=-+ ⎪⎝⎭,由π[0,]2x ∈得ππ5π2[,]666x -∈-，所以π1sin(2)[,1]62x -∈-所以()15 [,] 24f x∈. 解析：。

数学（一）(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间90分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.答案一律写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，则()A. B. C.D.2.函数在(-∞,+∞)上是减函数,则()A. B.C D.3.若直线和和没有公共点,则与的位置关系是A. 相交B. 平行C. 异面D. 平行或异面4.掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：点数为2或3，则()A. B. C D.5.函数的定义域为( )A. B. C.D.6.已知平面，直线满足，，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.函数的值域是()A. B. C. D.8.某校高一、高二、高三年级的学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人,参加学校举行的环保知识竞赛,则样本中高三年级的人数是()A. 20B. 16C.15 D. 149.在△ABC中，，，，则()A. 或B.C.D.10.已知，则的最小值是()(A) (B) (C) (D)11.根据表格中的数据,可以断定方程的一个根所在的区间是()-101230.37 1 2.727.3920.0912345A. (-1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)12.若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是()A. (B) (C) (D)二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。

13. △ABC的角A，B，C的对边分别为，，，若，则角C的大小为．14.已知，则．15. 已知正三棱锥的所有棱长均为,则该正三棱锥的高为．16. 在中，，，是的中点，．三、解答题：本大题共5小题，共52分。

葫芦岛市普通高中2019～2020学年第一学期学业质量监测考试高三数学（供理科考生使用）注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. A={|-1>0},B={|2--6≤0}，则A∩B=A.[-2,1)B.[-2,3]C. (1,3]D.[1,3)2.已知i是虚数单位，复数52-i=A．i-2 B．i+2 C．-2 D．2 3.在等比数列{a n}中，a4,a6是方程2+5+1=0的两根，则a5=A.1B. ±1C. 52 D.±524. 已知a,b均为单位向量，则|a-2b|=|2a+b|是a⊥b的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 2018年辽宁省正式实施高考改革。

新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课. 这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。

考改实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。

某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不．正确的A．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱物理D ．样本中的女生偏爱历史6. 函数f ()=e x +e -xx 2的图像大致为A. B. C. D. 7. 在△ABC 中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边，B =30°，a+c =2b ，△ABC 的面积为32，则b =A. 13+B.13+ C. 23+D. 23+8. 函数f ()=ln(2-a -3)在(1,+∞)单调递增，求a 的取值范围A.a ≤2B.a <2C. a ≤-2D. a <-29. 若1e <a <b <1,0<c <1,则下列不等式不成立．．．的是A. log a c <log b cB. a log b c <b log a cC. ab c <ba cD. a c <b c10. 已知角α，β∈(0,π),tan(α+β) = 12,cos β = 7210,则角2α+β =A.9π4B.3π4C.5π4D. π411. 如图所示，已知球O 为棱长为3的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为A ．3π2B ．3πC ．36π2D ．33π等高堆积条形图2等高堆积条形图1OyOyyOyO111侧（左）视图正（主）视图俯视图 12. 设函数 f ()=-(-a )2(∈R ),当a >3时，不等式f (--sin θ -1)≥ f (2-sin 2θ )对任意的∈[-1,0]恒成立,则θ 的可能取值是 A.-π3B.4π3C.-π2D.5π6第Ⅱ卷（选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第15题为两空题，第一空2分，第二空3分。

2020届辽宁省普通高中高三上学期学业水平测试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}220B x x x =--=，则AB =（ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}3D ．{}1,2【答案】B【解析】求出集合B ，然后求解交集即可． 【详解】 解：{}{}2201,2B x x x =--==-，{}1,2,3,4A ={}2A B ∴=I故选：B 【点睛】本题考查集合的基本运算，一元二次方程的解法，考查计算能力，属于基础题． 2．已知命题:p x R ∀∈，2230x x ++>，那么p ⌝是（ ）A ．0x R ∃∈，200230x x ++> B ．x R ∀∈，2230x x ++≤ C ．0x R ∃∈，200230x x ++≤D ．x R ∀∈，2230x x ++≠【答案】C【解析】根据全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定． 【详解】解：根据全称命题命题:p x R ∀∈，2230x x ++>，那么p ⌝是的否定为特称命题，即：p ⌝为0x R ∃∈，200230x x ++≤．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了全称命题的否定的写法，对量词及结论都要进行否定，属于基础题． 3．3x >是2x >的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“3x >” ⇒ “2x >”，反之不成立，例如取 2.5x =．即可判断出结论．【详解】解：由“3x >” ⇒ “2x >”，反之不成立，例如取 2.5x =． 因此“3x >”是“2x >”的充分而不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．函数()f x =的定义域为（ ） A ．(,1][3,)-∞-⋃+∞ B ．[1,3]-C ．[3,1]-D ．(,3][1,)-∞-+∞【答案】C【解析】运用偶次根式被开方数非负，求得()f x 的定义域. 【详解】解：()f x =(3)(1)0x x ∴+-≥解得31x -≤≤即函数()f x 的定义域为[3,1]x ∈- 故选：C 【点睛】本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力，属于基础题．5．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A ．16B ．12C ．13D ．23【答案】C【解析】列举出三名同学站成一排的所有情况，在其中找到甲站中间的情况个数，根据古典概型计算公式求得结果. 【详解】三名同学站成一排的基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个∴甲站在中间的概率：2163P == 本题正确选项：C 【点睛】本题考查古典概型计算概率问题，属于基础题.6．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ） A ．c a c b ->- B ．11a b>C ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln a b >【答案】D【解析】根据不等式的性质判断A ； 根据幂函数的性质判断B ； 根据指数函数的性质判断C ； 根据对数函数的单调性判断D ． 【详解】 解：0a b >>a b ∴-<-c a c b ∴-<-故A 错误；由于1y x -=在()0,∞+上单调递减，故11a b<即B 错误； 由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即C 错误；由于ln y x =在()0,∞+上单调递增，故lna lnb >即D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，属于基础题．7．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n 等于（ ） A ．660 B ．720C ．780D ．800【答案】B【解析】试题分析：由已知，抽样比为13178060=，所以有351,72060078060n n ==++．故选B ．【考点】随机抽样．8．已知sin 5α=-，α是第三象限的角，则tan2α的值为（ ） A ．43-B ．43C ．45-D ．45【答案】A【解析】先求出cos a ，再根据sin tan cos aa a=，最后利用二倍角余弦公式求得tan2α可得答案． 【详解】解：sin α=，22sin cos 1αα+=cos α∴= αQ 是第三象限的角cos α∴=sin tan 2cos aa a∴== 222tan 224tan 21tan 123ααα⨯∴===--- 故选：A 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用．属基础题． 9．函数31()()log 3xf x x =-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】在同一直角坐标系中作出函数1()3xy =与3log y x =的图象，将函数的零点个数转化为函数的交点问题，数形结合可得. 【详解】解：函数31()()log 3xf x x =-的零点个数，即31()log 03xx -=的解得个数，等价于1()3x y =与3log y x =的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，由图可知两函数只有一个交点，故函数31()()log 3xf x x =-有一个零点,故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题，数形结合思想，属于基础题.10．设M 是ABC 边BC 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】根据向量的线性运算及向量相等的充要条件可得. 【详解】 解：M 是ABC ∆边BC 的中点， 1122AM AB AC ∴=+ AM AB AC λμ=+11,22λμ∴==1λμ∴+=故选：C 【点睛】本题考查向量的线性运算及向量相等的充要条件，属于基础题.11．如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（ ）A B ．3π C ．D ．12π【答案】D【解析】由已知可得所求球是棱长为2的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案． 【详解】解：若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上 则该球是正方体的外接球球的半径R ==则球的表面积2412S R ππ== 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，其中根据已知求出球的半径是解答的关键．12．如图给出了红豆生长时间t （月）与枝数y （枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（ ）A ．指数函数：2t y =B ．对数函数：2log y t =C ．幂函数：3y t = D ．二次函数：2y t =【答案】A【解析】有散点图知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1,2)点，得到结果． 【详解】解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过(1,2)点，∴图象由指数函数2t y =来模拟比较好，故选：A ．【点睛】本题考查散点图和两个变量之间的关系，本题解题的关键是看出图象的变化特点和图象所过的特殊点，属于基础题．二、填空题 13．计算：5lg 2lg 22+=________． 【答案】1【解析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得. 【详解】 解：25555lg2lg 2lg lg 2lg lg 4lg 4lg1012222⎛⎫+=+=+=⨯== ⎪⎝⎭故答案为：1 【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属于基础题.14．已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-r，则a b ⋅=________． 【答案】2【解析】根据向量的数量积的坐标运算可得. 【详解】 解：(2,4)a =，(1,1)b =-r()21412a b ∴⋅=⨯-+⨯=故答案为：2 【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题.15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若3sin 5α=，则sin β=________． 【答案】35-【解析】根据终边关于x 轴对称的两个角的正弦值互为相反数，得出结论． 【详解】解：角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若3sin 5α=，则3sin sin 5βα=-=-，故答案为：35-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据终边关于x 轴对称的两个角的正弦值互为相反数，属于基础题．16．设x ，y 为正数，则14()x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为________． 【答案】9【解析】函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值 【详解】解：x ，y 为正数，()14414149y x x y x y x y ⎛⎫++=+++++=⎪⎝⎭… 当且仅当4y x x y=时取得“=” ∴最小值为9故答案为：9 【点睛】利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”.三、解答题17．已知向量(,2)a x =，(2,4)b =． （1）若//a b ，求实数x 的值；（2）若6a b +=r r，求实数x 的值．【答案】(1) 1x =．(2) 2x =-．【解析】（1）由平面向量共线的坐标表示列出方程，解方程求出x 的值；（2）先求出a b +的坐标，再根据6a b +=r r得到方程，解得.【详解】解：（1）因为//a b ，(,2)a x =，(2,4)b =．422x ∴=⨯，解得1x =． （2）(,2)a x =，(2,4)b =．(2,6)a b x ∴+=+，(a b x ∴+=+，6=，解得2x =-． 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，以及求向量的模，属于基础题.18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c >>2sin 0b C -=． （1）求角B 的大小；（2）若b =2a =，求c ．【答案】(1) 3B π=．(2) 1c =．【解析】（1）利用正弦定理将边化成角，即可求得角B ；（2）把2a =，b =3B π=代入2222cos b a c ac B =+-，化简后根据一元二次方程的解法求出c 的值． 【详解】解：（12sin 0b C -=，2sin sin 0C B C -=． 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以sin 2B =． 因为0B π<<，且a b c >>， 所以3B π=．（2）因为b =2a =，所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2214222c c =+-⨯⨯，即2210c c -+=． 所以1c =． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式并会应用是解题的关键，属于基础题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点．（1）求证：EO平面PDC ；（2）求证：AC DE ⊥．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【解析】（1）通过三角形中位线的性质可得//OE PD ，进而根据线面平行的判定定理可以证明出//EO 平面PDC ；（2）先分别证明出AC BD ⊥，PD AC ⊥，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC ⊥平面PBD ，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵E ，O 点分别是PB ，DB 中点， ∴12EO PD //， ∵PD ⊂平面PBC ，EO ⊄平面PBC ， ∴EO平面PBC ．（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥，又∵PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PD AC ⊥，∵PD BD D ⋂=，PD ⊂平面PBD ,BD ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥平面PBD ， ∵DE ⊂平面PBD ，∴AC DE ⊥．【点睛】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆．20．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）．已知上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，(80,100]．（1）求直方图中x 的值；（2）如果上学所需时间在[60,100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．【答案】(1) 0.0125x =．(2) 96名【解析】（1）由直方图中各个矩形的面积为1建立方程求x ．（2）计算出新生上学所需时间在[60,100]的频率，再乘上新生的总人数即可得到申请住宿的人数．【详解】解：（1）由直方图可得到200.025200.0065200.0032201x +⨯+⨯+⨯⨯=． 所以0.0125x =．（2）由直方图可知，新生上学所需时间在[60,100]的频率为0.0032200.12⨯⨯=． 所以估计全校新生上学所需时间在[60,100]的概率为0.12．因为8000.1296⨯=．所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．【点睛】本题考查频率分布直方图的理解与应用，理解直方图的意义是解答的关键． 21．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数sin (0,0)y A x A ωω=>>，[0,4]x ∈的图象，且图象的最高点为S ；赛道的后一部分为折线段MNP ．为保证参赛运动员的安全，限定120MNP ∠=．（1）求点M 的坐标；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？【答案】(1) (4,3)M ．(2) 将PMN ∠设计为30︒时，折线段赛道MNP 最长．【解析】（1）利用图象分别求得周期和A 的值，进而求得ω最后得到函数解析式，即可求得M 的坐标．（2）设PMN θ∠=，利用正弦定理表示出3NP θ=，()603MN θ︒=-，即可表示出NP MN +，用两角和差的正弦公式化简，根据三角函数的性质求得最大值.【详解】解：（1）由题意知A =34T =， ∵2T πω=，∴6π=ω，∴6y x π=．当4x =时，233y π==， ∴(4,3)M ．（2）连接MP ，如图所示．又∵(8,0)P ，∴5MP ==．在MNP △中，120MNP ︒∠=，5MP =．设PMN θ∠=，则060θ︒︒<<， ∵()sin120sin sin 60MP NP MN θθ︒︒==-．∴3NP θ=，()603MN θ︒=-．∴()6033NP MN θθ︒+=+-()1sin 602θθθ︒⎫=+=+⎪⎪⎝⎭． ∵060θ︒︒<<，∴6060120θ︒︒︒<+<，∴()56033θ︒<+≤． ∴当30θ︒=时，折线段赛道MNP 最长．所以将PMN ∠设计为30︒时，折线段赛道MNP 最长．【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用．涉及到了三角函数图象的确定及解析式，解三角形问题，两点间距离公式等，综合性特别强．。