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3.2立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU预习引导学习目 标重点难 点1•方向向量与法向量(1)空间中任意一条直线I的位置可以由____________ 以及 __________ 确定，如图A是直线/上一点，向量a表示直线/的___ .(2)直线/丄a,取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面a的_____...... 交流1对于一条确定的直线和一个确定的平面，它的方向向量及法向量有几个？课前预习导学课堂合作探究2•空间平行关系的向量表示⑴线线平行:设直线l,m的方向向量分别为a,b,则1 // mu <=> .(2跡平行:设直线I的方向向量为a,平面a的法向量为“，则Zc a 或I // ao o ______ .(3)面丽行:设平面的法向量分别为“”则3•空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直:设直线l,m的方向向量分别为则I _L m^=>a _L b u> .(2)线面垂直:设直线I的方向向量为平面a的法向量为"，则/丄(3)面面垂直:若平面a的法向量为平面卩的法向量为儿则a丄卩o课前预习导学课堂合作探究.......... 交流2(1)已知直线I的方向向量”=(2厂1,3),平面a的法向量v=(-6,3,-9), 则/与a的位置关系是__________ .(2)若两个不同平面％卩的法向量分别是u=(l,2,・3),y=(2，-4,・2)，则两个平面的位置关系是问题导学当堂检测一、利用方向向量和法向量判定线面的位置关系=3活动与探究问题1：如何认识直线的方向向量?问题导学当堂检测问题2：如何理解平面的法向量?问题3：如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用?问题导学当堂检测问题4：利用直线的方向向量和平面的法向量判定线面位置关系的方法是什么？问题5：求平面法向量的方法是什么?问题导学当堂检测______ 例1(1)设a,b分别是不重合的直线/i,/2的方向向量,根据下列条件判断人和仏的位置关系：①“(2,3,-1), “(-6,-9,3);②“=(5,0,2)上=(0,4,0);③“=(-2,1,4),"(6,3,3).(2)设u,v分别是不同的平面a,{3的法向量，根据下列条件判断a,p 的位置关系：②“=(0,3,0),心(0,-5,0);问题导学当堂检测③“=(2,-3,4),心(4,-2,1).（3）设u是平面a的法向量皿是直线I的方向向量，根据下列条件判断a和/的位置关系：①”=（2,2,・1）,“=（・3,4,2）;②”=（0,2厂3）,“=（0厂&12）;③%=（4丄5）皿=（2,丄0）・解:⑴①••力=(2,3厂1)0=(・6,-9,3), ••“ 二・:a//b. ：1{ //12.②S(5Q2)0=(O,4,O)，••“ • b=0・•乙丄力•£丄仏・③・・"(-2 丄4)0=(6,3,3), ••“与b不共线，也不垂直.问题导学当堂检测/11与12相交或异面.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU(2)①••"(1,丄2)严(3,2,母•u• v=3-2-l =0.••“ 丄v・「a 丄卩.②•力=(0,3,0),心(0厂5,0), •3•U = --V.5:u H v. ：d p.③-.w=(2,-3,4),v=(4,-2,l), •S与V不共线，也不垂直.问题导学当堂检测•5与p相交但不垂直.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测S3迁移与应用1・若直线I的方向向量为“=(1,0,2)，平面a的法向量为氏=(-2,0,-4)，则().A.l// a Bl 丄aC.lc a DI与a斜交课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU当堂检测2.已知平面ot和卩的法向量分别是(-1,3,4)和(x,1,-2),若a丄卩，求x 的值.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测3•如图，已知点A(a,O,O),B(O,b,O),C(O,O,c),求平面ABC的一个法向量.问题导学当堂检测------------- 名師❽障----------------若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量° =(如0“1)上=@202(2)・(3)根据法向量的定义建立关于的方程组匸::二常(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量•由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向问题导学当堂检测量.问题导学当堂检测二、利用向量证明平行关系詡舌动与探究问题1:空间中有几种平行关系?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(3)面面平行①由面面平行的判定定理证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE②若能求岀平面的法向量”,儿则要证明CL// p,只需证明u//v.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测课堂合作探究当堂检测问题2：用向量法证明平行关系的方法步骤是什么?课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE(4)利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现:一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系;二是通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU当堂检测---------- 列2已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2,E,F分别是BBi,DD］的中点，求证：(1)F C 1〃平面ADE\(2)平面ADE〃平面B{C X F.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测（1）设兀1=（兀1,刃忆1）是平面ADE的法向量，则W1±DA,W1丄旋，即]ni2?A = 2X1 = 0,（阳• AE = 2yi + Z] = 0, （X] = 0，，，得n 令zi=2,则yi=-l,（zi = -2y「所以切=（0,丄2）.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测因为戸珥•切=2+2=0,所以瓦；丄补又因为FC&平面ADE,所以FCi〃平面ADE.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测⑵因为GW=(2,0,0),设〃2 =(兀2丿2忆2)是平面BGF的一个法向量.由“2丄FC19n2 ^（n2• FC r = 2y2 + z2 = 0.得f 兀2 =I n2• C1B1=2X2 = 0, "2 = -2y2«令Z2=2得歹2=丄所以兀2=（0,丄2）・因为Hi=n2,所以平面ADE〃平面B X C X F.吧迁移与应用1 •在长方体ABCD-AiBiCQi 中,AB=4,AD=3,AA]=2,P,Q,R,S 分别是AA],D]C],AB,CCi 的中点•证明:PQ//RS.当堂检测2•已知正方体ABCD-AECD.求证:平面ABD〃平面BDC.令刃=1,可得平面AB'D'的一个法向量为“1=(-1,1,-1).设平面BDC 的法向量为兀2=(兀2丿2忆2)・因为 DB=(1JMDC=(OJ,1), n 2 丄 DB.令力=1,可得平面BDC 的一个法向量为兀2=（丄 1 1 ）・••阮 1 力2,:n 1 〃 “2, •••平面 4B Q ‘〃 平面n 2 • DB =兀2 + y2 = °，n 2 • DC' = y 2 + z 2 = 0.所以BDC.------------- 名師尊障----------------1 •用空间向量证明线面平行通常有两种方法:一是利用法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;二是利用共面向量定理•若/的方向向量是"，平面a内两个不共线向量是门和巾,则＜〃ao存在实数g 使W=ZV]+|1V2-2 •证明直线与平面平行时,还应说明直线不在平面内.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU三、利用向量证明垂直关系S3活动与探究问题1:空间中的垂直关系有哪些?当堂检测课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测(3)面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测②证明两个平面的法向量互相垂直.问题2：用向量法证明垂直关系的方法步骤是什么?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU问题导学当堂检测(2)用向量法证明线面垂直的方法与步骤:r①设岀基向量，用基向量表示直线所在的向量②找岀平面内两条相交的向量并分别用基向量表示③分别计算直线的方向向量与平面内两相交向量的数量积①建立空间直角坐标系②将直线的方向向量用坐标表示③求平面的法向量I④说明平面的法向量与直线的方向向量平行(3)用向量法证明面面垂直通常可以有两种方法:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.------- H列3如图，在正方体ABCD-A]B]C]D1中,E,F分别是B】B,DC 的中点，求证:AE丄平面AQF证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1, 则A(l,O,O),E(l,l,)A](l,O,l),Di(O,O,l),F(O,.O),•*AE =(0,1,)石殆(-1,0,0)谅=法一:设平面A\D{F的法向量为n=(x,y,z). 则)n• A1D1=O,n • D]F=O,(-x = 0，即h 解得x=0,y=2z・(严=0,课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU令Z=l,则n=（0,2,l）.又近=（0,l,|）,.w=2AE.••n〃近,即XI丄平面A X D X F.因此，AE丄平面AiDiF.法二:由于旋• AX =（0,1,|）• （-1,0,0）=0,•'AE 丄AQi・又旋•而=（0,1勻•（0,芥1）=0, ••AE丄皿••AiDiGDiF=Di,.・AE丄平面AQFEii 移与应用1 •在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为DD ］的中点,O 为底面ABCD 的中心，求证:BQ 丄平面PAC.当堂检测当堂检测2•在四面体ABCD中,AB丄平面BCD,BC=CD,ZBCD=90°,ZADB=30°,E,F 分别是AC,AD 的中点, 求证:平面BEF丄平面ABC.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE设平面BEF 的法向量〃=（x,y ，z ）,由 n •丽=0,即g,z) •(0,ya,|)=0, 有yay+|z=0=> z=-V3y ・取 y=l,得 n=(l,l<V3).•S 丄而.•••平面BEF 丄平面ABC.问题导学当堂检测课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU\h • CD=(l 9l r V3) •KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU当堂检测-------------- 名師尊障 ---------------1.用空间向量证明线面垂直的方法：建立空间坐标系,用坐标表示直线的方向向量并求平面的法向量, 说明平面的法向量与直线的方向向量平行;或者说明直线的方向向量与平面内任意两条相交直线垂直,即直线的方向向量与相交直线的方向向量的数量积为零.2.用空间向量证明面面垂直的方法：说明两个平面的法向量垂直或根据线面垂直来证明.当堂检测2问题导学1•已知平面a〃平面卩,n=(l,-l,l)是平面a的一个法向量，则下列向量是平面卩的法向量的是().4(1,1,1) 5.(-1,1,-1)C(-l 厂1,-1) D(l,l，-1)。
