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§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲考情考向分析1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中低档.1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C ，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可断定Ax ＋By ＋C >0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x ，y 组成的一次不等式线性约束条件由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x ，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．知识拓展1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ )(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( × )(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)> 0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.( √ )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．( √ )(5)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(7)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( × )题组二 教材改编2．[P86T3]不等式组Error!表示的平面区域是( )答案 B解析 x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分．3．[P91T2]投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)答案 Error!解析 用表格列出各数据A B总数产品吨数x y资金200x300y 1 400场地200x100y900所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900.题组三 易错自纠4．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－3)答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.25．(2017·日照一模)已知变量x，y满足Error!则z＝()2x＋y的最大值为( ) 22A.B．2C．2 D．4答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，令m ＝2x ＋y ，则当m 取得最大值时，z ＝()2x ＋y 取得最大值．由图知直线m ＝2x ＋y 经过2点A (1,2)时，m 取得最大值，所以z max ＝()2×1＋2＝4，故选D.26．已知x ，y 满足Error!若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案 －1解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题典例(2017·黄冈模拟)在平面直角坐标系中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C. D.1214答案 B解析 对于集合B ，令m ＝x ＋y ，n ＝x －y ，则x ＝，y ＝，由于(x ，y )∈A ，m ＋n2m －n2所以Error!即Error!因此平面区域B 的面积即为不等式组Error!所对应的平面区域(阴影部分)的面积，画出图形可知，该平面区域的面积为2×＝1，故选B.(12×1×1)命题点2 含参数的平面区域问题典例 若不等式组Error!表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥B ．0<a ≤143C ．1≤a ≤ D ．0<a ≤1或a ≥4343答案 D解析 作出不等式Error!表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．故选D.思维升华(1)求平面区域的面积对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解．跟踪训练(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )答案 C解析 由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，可得Error!或Error!画出平面区域后，只有选项C符合题意．(2)已知约束条件Error!表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )A．1 B．－1 C．0 D．－2答案 A解析 由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直．①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求．②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求．题型二 求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值典例(2017·全国Ⅱ)设x，y满足约束条件Error!则z＝2x＋y的最小值是( )A．－15 B．－9 C．1 D．9答案 A解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线知，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z有最小值，且z min＝2×(－6)－3＝－15.故选A.命题点2 求非线性目标函数的最值典例(2016·山东)若变量x，y满足Error!则x2＋y2的最大值是( )A．4 B．9 C．10 D．12答案 C解析 满足条件Error!的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取得最大值，最大值为10.故选C.命题点3 求参数值或取值范围典例(2018届广雅中学、东华中学等联考)已知实数x，y满足Error!若z＝x－my(m>0)的最大值为4，则z＝x－my(m>0)的最小值为________．答案 －6解析 作出可行域如图阴影部分所示．目标函数化简得y ＝x －，1m zm 因为m >0，故只可能在A ，B 处取最大值．联立Error!解得B (－2，－2)，联立Error!解得C (0,2)，联立Error!解得A (2,0)，若目标函数z ＝x －my (m >0)过点A ，z ＝2不符合题意，所以过点B 时取得最大值，此时4＝－2＋2m ，解得m ＝3，z ＝x －my (m >0)过点C 时，z min ＝－6.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有①表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；x 2＋y 2(x －a )2＋(y －b )2②表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．yx y －bx －a (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．跟踪训练 (1)已知实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝的取值范围为( )y －3x －2A. B.(－∞，－12](－∞，－13]C. D.[－12，－13][－13，＋∞)答案 B解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝表示点D (2,3)与平面区域内的点(x ，y )之间连线的斜率．因为点D (2,3)与点B (8,1)连y －3x －2线的斜率为－且C 的坐标为(2，－2)，故由图知，z ＝的取值范围为，故选13y －3x －2(－∞，－13]B.(2)已知x ，y 满足约束条件Error!若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3 B ．2C ．－2 D ．－3答案 B解析 根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ，直线的斜率k ＝－a .当0<k ≤1，即－1≤a <0时，无选项满足此范围；当k >1，即a <－1时，由图形可知此时最优解为点(0,0)，此时z ＝0，不合题意；当－1≤k <0，即0<a ≤1时，无选项满足此范围；当k <－1，即a >1时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时z ＝2a ＋0＝4，得a ＝2.题型三 线性规划的实际应用问题典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为Error!整理得Error!目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图阴影部分所示，作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，由Error!得Error!∴最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．跟踪训练(2016·全国Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．答案 216 000解析 设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为Error!目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max＝2100×60＋900×100＝216 000(元)．线性规划问题考点分析线性规划是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有三类：①目标函数是线性的；②目标函数是非线性的；③已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题．典例若实数x，y满足约束条件Error!则z＝2x＋y的取值范围是( )A．[3,4]B．[3,12]C．[3,9]D．[4,9]解析 画出Error!表示的可行域(如图阴影部分所示)，由Error!得A(1,1)，由Error!得B(3,3)，平移直线y＝－2x＋z，当直线经过A，B时分别取得最小值3，最大值9，故z＝2x＋y的取值范围是[3,9]，故选C.答案 C1．下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!答案 C解析 将原点坐标(0,0)代入2x －y ＋2，得2>0，于是2x －y ＋2≥0所表示的平面区域在直线2x －y ＋2＝0的右下方，结合所给图形可知C 正确．2．(2018届贵州黔东南州联考)已知实数x ，y 满足Error!则z ＝3x －4y ＋3的取值范围是( )A. B.[43，13)(43，13]C.D ．(3,13)[43，3)答案 A解析 画出不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y ＋3，得y ＝x ＋，343－z4平移直线y ＝x ，当经过点A (2，－1)，B 时，z 的取值为13，，所以z ∈，故选34(13，23)43[43，13)A.3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组Error!表示的平面区域的公共点有( )A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个答案 B解析 由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－，即直线2x ＋y －10＝0与平43面区域仅有一个公共点A (5,0)．4．若不等式组Error!表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m 的值为( )43A ．－3 B ．1 C. D ．343答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝，2m ＋23C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝×(2＋2m )×(1＋m )－×(2＋2m )×＝＝，12122m ＋23(m ＋1)2343∴m ＝1或m ＝－3，又∵当m ＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m ＝1.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元 B ．2 400元C ．2 800元 D ．3 100元答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x ，y 满足的约束条件为Error!设获利z 元，则z ＝300x ＋400y .画出可行域如图阴影部分．画出直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过点M 时，目标函数取得最大值．由Error!解得Error! 即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.6．已知实数x ，y 满足约束条件Error!则ω＝的最小值是( )y ＋1x A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，ω＝的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当y ＋1x P 位于点D (1，0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝的最小值为＝1.故选D.y ＋1x －1－00－17．(2017·开封一模)若x ，y 满足约束条件Error!且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2] B ．(－4,2)C ．[－4,1] D ．(－4,1)答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－，从图中可看出，当－1<－<2，即－4<a <2时，仅在点a 2a2(1,0)处取得最小值，故选B.8．(2017·河北“五个一名校联盟”质检)已知点P 的坐标(x ，y )满足Error!过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是________．答案 4解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1,3)，则d ＝＝，12＋3210此时|AB |min ＝2＝4.14－109．(2017·全国Ⅲ)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x －4y 的最小值为________．答案 －1解析 不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y ，得y ＝x －z .3414平移直线y ＝x ，易知经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值．34由Error!得Error!∴A (1,1)．∴z min ＝3－4＝－1.10．(2018·广州模拟)若满足不等式组Error! 的点(x ，y )组成的图形的面积是5，则实数a 的值为________．答案 3解析 不等式组化为Error!或Error!画出平面区域如图所示，平面区域为△ABC ，△ADE ，A (1,2)，B (a ，a ＋1)，C (a,3－a )，面积为S ＝(2a －2)(a －1)＋×2×1＝5，1212解得a ＝3或a ＝－1(舍去)．11．(2017·衡水中学月考)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件Error!则实数m 的最大值为____________．答案 1解析 约束条件Error! 表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组Error!得A 点坐标为(1,2)．∴m 的最大值为1.12．已知x ，y 满足不等式组Error!则z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为________．答案 2解析 画出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分所示)，目标函数z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2＝(x ＋1)2＋(y －1)2表示可行域内一点到点A (－1,1)的距离的平方，根据图象可以看出，点A (－1,1)到可行域内一点距离的最小值为点A (－1,1)到直线x －y ＝0的距离d ＝＝，则d 2＝2，则z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为2.|－1－1|2213．(2017·石家庄二模)在平面直角坐标系中，不等式组Error!(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝的最小值为( )x ＋y＋1x ＋3A ．－1 B ．－52＋17C. D ．－1375答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由题意，知πr 2＝π，解得r ＝2.14z ＝＝1＋，易知表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3,2)的连线的斜率，由图x ＋y ＋1x ＋3y －2x ＋3y －2x ＋3可知，当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有＝2，解得k ＝－或k ＝0(舍)，所以|3k ＋2|k 2＋1125z min ＝1－＝－，故选D.1257514．(2018届衡水联考)已知x ，y 满足约束条件Error!其中t >，若sin(x ＋y )的最大值与最小π2值分别为1，，则实数t 的取值范围为________．12答案 [5π6，7π6]解析 作出可行域如图阴影部分所示，设z ＝x ＋y ，作出直线l ：x ＋y ＝z ，当直线l 过点B 时，z 取得最小值；当直线l 过点(π6，0)π6A 时，z 取得最大值t －.即≤x ＋y ≤t －，当x ＋y ＝时，sin(x ＋y )＝1.(π6，t －π2)π3π6π3π2当x ＋y ＝或时，sin(x ＋y )＝.π65π612所以≤t －≤，解得≤t ≤.π2π35π65π67π615．(2018届江苏常州名校联考)已知f (m )＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0,1]时，f (m )≤1恒成立，则a ＋b 的最大值是________．答案 73解析 f (m )＝(3m －1)a ＋b －2m ＝(3a －2)m －a ＋b ，∵当m ∈[0,1]时，f (m )≤1恒成立，∴Error!即Error!画出不等式组表示的可行域如图阴影部分，由Error!解得Error!所以点A 的坐标为.(23，53)令z ＝a ＋b ，则b ＝－a ＋z ，由图可知，当直线b ＝－a ＋z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，即z 有最大值，且z max ＝＋＝，即a ＋b 的最大值是.2353737316．(2017·湖北七市联考)已知实数x ，y 满足Error!则的最小值为________．yx 答案 13解析 不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，表示可行域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，设k ＝，由可行域可知，k 取得最小值时曲线yx yx y ＝x 4＋与直线y ＝kx 相切，设此时切点为P (x 0，y 0)，11214由y ＝x 4＋，可得y ′＝x 3，所以切线方程为y －y 0＝x (x －x 0)，又y 0＝x ＋，所以112141313301124014切线方程可化为y ＝x x －x ＋x ＋，即y ＝x x －x ＋，又该切线过原点O (0,0)，1330134011240141330144014所以x ＝1，40所以x 0＝1，切线的斜率为x ＝，则min ＝.133013(y x )13。
