5.3 正方形1

浙教版数学八年级下册《5.3 正方形》说课稿1一. 教材分析《5.3 正方形》是浙教版数学八年级下册的一个重要内容。

本节内容是在学生已经掌握了矩形、菱形的基础上，进一步研究正方形的性质。

正方形既可以是矩形的一种特殊情况，也可以是菱形的一种特殊情况。

本节内容的教学，旨在让学生进一步理解正方形的性质，掌握正方形的判定方法，并能够运用正方形的性质解决一些实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了矩形和菱形的性质，对于图形的判定和性质的推导已经有了一定的理解。

但正方形作为一个特殊的图形，其性质和判定方法与矩形和菱形有所不同，需要学生进行进一步的学习和理解。

同时，正方形在实际生活中的应用也比较广泛，学生需要能够将所学的知识运用到实际问题中。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握正方形的性质，能够运用正方形的性质解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生在学习过程中，体验到数学的乐趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。

四. 说教学重难点1.教学重点：正方形的性质及其判定方法。

2.教学难点：正方形性质的推导和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究式教学法和合作交流法。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和黑板等教学工具。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的正方形物品，引导学生对正方形产生兴趣，进而引出正方形的相关性质。

2.自主探究：让学生通过观察和推理，探究正方形的性质，教师引导学生，并提供必要的帮助。

3.合作交流：让学生分组讨论，分享各自的发现，教师巡回指导，并给予评价。

4.性质讲解：教师讲解正方形的性质，并通过举例解释其应用。

5.判定方法：教师引导学生探究正方形的判定方法，学生通过实践操作，理解判定方法。

6.巩固练习：让学生进行一些相关的练习题，巩固所学知识。

2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步提升训练（附答案）1．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为（）A．2B．4C．D．2．如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，经过（）秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点．A．2B．2.5C．3D．3.53．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（）A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.54．长度相等的三根铁丝，分别做成一个长方形、正方形和圆，（）面积最大．A．长方形B．正方形C．圆5．如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（）A．1B．2C．D．46．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．每一条对角线都平分一组对角的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形7．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②③④8．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD9．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线相等且垂直的四边形是正方形10．如图，点P的坐标为（4，4），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB＝90°，连接AB，OP，下列结论：①P A＝PB；②若OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形；③四边形OAPB的面积与周长为定值；④AB＞OP．其中正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②④11．如图，两个边长均为6的正方形重叠在一起，O是正方形ABCD的中心，则阴影部分的面积是．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．13．在▱ABCD中，AC、BD为对角线，如果AB＝BC，AC＝BD，那么▱ABCD一定是．14．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得平行四边形ABCD为正方形．15．已知在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝6，点E在线段DC上，且∠ABE＝45°，若AE＝5，则CE的长为．16．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证：AB＝FB．17．如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE ＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．18．如图，长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（2a+2，0）、（0，2a﹣2）（a＞2），正方形ADEF的顶点D在边AB上，且点F的坐标为（2a+4，0）．（1）长方形OABC的面积为；（用含a的式子表示）（2）正方形ADEF的边长为；（3）求阴影部分的面积．（用含a的式子表示）19．如图，△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，点P为△ABC内一点，点G，H 是PB，PC的中点，顺次连接点E，F，H，G．（1）求证：四边形EFHG是平行四边形；（2）若AP＝6，BC＝10，求四边形EFHG的周长；（3）当线段AP，BC满足什么条件时，四边形EFHG是正方形？请说明理由．20．已知：如图，点D是△ABC中BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点EF，且BF＝CE．（1）求证：Rt△BDF≌Rt△CDE（2）问：△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）判断AF与CD的数量关系，并证明之．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并证明你的猜想．22．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案1．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，BC⊥CD，∴MN⊥AB，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥CD，∴FG∥HM∥BC，∵H是BF的中点，∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，∴HN是△BFP的中位线，∴HN＝FP＝1，∴MH＝5﹣1＝4，Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，故选：D．2．解：过点F作FQ⊥CD于点Q，∵在正方形AEFG中，∠AEF＝90°，AE＝EF，∴∠AED+∠FEQ＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠FEQ，在△ADE和△EQF中，，∴△ADE≌△EQF（AAS），∴AD＝EQ＝4，当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时：DQ+CM≥10，∴t+4+2t≥10，解得：t≥2，故当经过2秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点．故选：A．3．解：如图，当点M在BC上时，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM＝CE，由题意得：BM′＝2t﹣4＝3，所以t＝3.5（秒）；当点M在AD上时，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″＝CE，由题意得：AM″＝16﹣2t＝3，解得t＝6.5（秒）．所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．故选：D．4．解：设长度为L的三根铁丝，图形的面积用S表示，长方形：设一边为x，S1＝x（﹣x）＝﹣x2+x，那么当x＝时，S1最大，此时S1＝；正方形：S2＝（）2＝；圆：2πr＝L，r＝，S3＝π•r2＝；∴S3＞S2≥S1．故选：C．5．解：连接AN，DN，如图所示：∵三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，∴∠ANE+∠END＝90°，∠DNF+∠END＝90°，∴∠ANE＝∠DNF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAN＝∠FDN＝45°，AN＝DN在△ANE和△DNF中∴△ANE≌△DNF（ASA），∴两个正方形阴影部分ENFD的面积＝S正方形ABCD，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形ABCD，∴S阴影部分＝S正方形＝××＝1．故选：A．6．解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意；C、∵在△ADB和△CDB中，∴△ADB≌△CDB（ASA），∴AD＝CD，AB＝CB，同理△ACD≌△ACB，∴AB＝AD，BC＝DC，即AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；D、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项不符合题意；故选：C．7．解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，∴OA＝OB＝OC＝OD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠OBM＝∠ODP，∠OAQ＝∠OCN，过点O的直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，∴∠BOM＝∠DOP，∠AOQ＝∠CON，所以△BOM≌△DOP（ASA），△AOQ≌△CON（ASA），所以OM＝OP，OQ＝ON，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；故正确结论的序号是①②③．故选：C．8．解：A．∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，四边形ABCD不一定是平行四边形，∴不能判定四边形ABCD是正方形；C．∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；D．∵AO＝BO＝CO＝DO，∴四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形；故选：D．9．解：①由平行四边形的判定可知A正确；②由矩形的判定可知B正确；③因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C正确；④D选项中再加上一个条件：对角线互相平分，可证其是正方形，故D错误；故选：D．10．解：过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AB与OP交于点C，如图所示：∵P（4，4），∴PN＝PM＝4，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PNO＝∠PMO＝90°，∴∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，则四边形MONP是正方形，∴OM＝ON＝PN＝PM＝4，∵∠MPN＝∠APB＝90°，∴∠MPB＝∠NP A，在△MPB和△NP A中，，∴△MPB≌△NP A（ASA），∴P A＝PB，故①正确；∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，∴BC＝AC，在Rt△APB中，PC是斜边AB的中线，∴PC＝BC，在Rt△AOB中，OC是斜边AB的中线，∴OC＝BC，∴BC＝AC＝PC＝OC，∴四边形OAPB是矩形，∵P A＝PB，∴四边形OAPB是正方形，故②正确；∵△MPB≌△NP A，∴四边形OAPB的面积＝四边形BONP的面积+△PNA的面积＝四边形BONP的面积+△PMB的面积＝正方形PMON的面积＝4×4＝16，∵△MPB≌△NP A，∴BM＝AN，∴OA+OB＝ON+AN+OB＝ON+OM＝4+4＝8，P A＝PB，且P A和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误；∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形，∴AB＝OP，故④错误；故选：A．11．解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥DC于点F，设两个正方形的边的交点分别为点G和点H，如图所示：则有∠OEG＝∠OFD＝∠D＝90°，∵O是正方形ABCD的中心，∴OE＝OF，∠EOF＝90°，∴四边形OEDF为正方形．∵∠GOH＝90°，∠EOF＝90°，∴∠EOG＝∠FOH，在△EOG和△FOH中，，∴△EOG≌△FOH（ASA）．∴阴影部分的面积等于正方形OEDF的面积，∵两个边长均为6的正方形重叠在一起，∴正方形OEDF的面积为：3×3＝9．∴阴影部分的面积为9．故答案为：9．12．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，∴▱ABCD是正方形；故答案为：正方形．14．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形；当AC＝BD时，▱ABCD为正方形；故答案为：∠BAD＝90°或AC＝BD．15．解：如图，过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F，∵AD∥BC，∠D＝90°，BC＝CD，∴四边形BCDF是正方形，把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，则CE＝FG，BE＝BG，∠CBE＝∠FBG，∵∠ABE＝45°，∴∠ABG＝∠ABF+∠FBG＝∠ABF+∠CBE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣45°＝45°，∴∠ABE＝∠ABG，在△ABE和△ABG中，，∴△ABE≌△ABG（SAS），∴AE＝AG，∴AF+CE＝AF+FG＝AG＝AE，设CE＝x，则DE＝6﹣x，AF＝5﹣x，∴AD＝6﹣（5﹣x）＝x+1，在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，即（x+1）2+（6﹣x）2＝52，整理得，x2﹣5x+6＝0，解得x1＝2，x2＝3，即CE的长度是2或3；故答案为：2或3．16．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．17．解：AE＝CF，AE⊥CF，理由如下：如图，延长AE交CF于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDE＝90°，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DCF+∠F＝90°，∴∠DAE+∠F＝90°，∴AG⊥CF，即AE⊥CF．∴AE＝CF，AE⊥CF．18．解：（1）∵长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（2a+2，0）、（0，2a﹣2）（a＞2），∴OA＝2a+2，OC＝2a﹣2，长方形OABC的面积＝OA•OC＝（2a+2）（2a﹣2）＝4a2﹣4，故答案为：4a2﹣4；（2）∵A的坐标为（2a+2），点F的坐标为（2a+4，0），∴AF＝OF﹣OA＝2a+4﹣（2a+2）＝2，故答案为：2；（3）解：S＝S长方形OABC+S正方形ADEF﹣S△COF＝（2a+2）（2a﹣2）+22﹣（2a﹣2）（2a+4）＝4a2﹣4+4﹣（2a2+2a﹣4）＝2a2﹣2a+4．19．（1）证明：∵E、F分别是边AB、AC的中点，∴EF∥BC，EF＝BC，同理，GH∥BC，GH＝BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFHG是平行四边形；（2）解：∵E、F、G分别是边AB、AC、PB的中点，∴EF＝BC，EG＝AP，∴EF＝5，EG＝3，由（1）知：四边形EFHG是平行四边形，∴四边形EFHG的周长＝2（EF+EG）＝2×（5+3）＝16；（3）解：当线段AP，BC满足AP＝BC且AP⊥BC时，四边形EFHG是正方形；理由如下：∵AP＝BC，EF＝BC，EG＝AP，∴EF＝EG，∴平行四边形EFHG是菱形，∵E、F、G分别是边AB、AC、PB的中点，∴EF∥BC，EG∥AP，∵AP⊥BC，∴EF⊥EG，∴菱形EFHG是正方形．20．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BDF＝∠CED＝90°∵点D是△ABC中BC边上的中点，∴BD＝CD，在Rt△BDF和Rt△CDF中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；（2）解：当△ABC满足∠A＝90°（答案不唯一）时，四边形AEDF是正方形；理由如下：∵∠BDF＝∠CED＝90°，∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形．21．解：（1）AF＝CD，理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB∵AD是BC边上的中线，∴DB＝CD∴AF＝CD；（2）当△ABC是等腰直角三角形（∠BAC＝90°，AB＝AC）时，四边形ADCF为正方形；理由如下：∵AF＝CD，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是斜边BC的中线，∴AD⊥BC，AD＝BC＝DC，∴平行四边形ADCF是矩形，也是菱形，∴四边形ADCF为正方形．22．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．。

第2课时正方形的性质1．如图5－3－12所示，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一图5－3－12个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为(C) A．60°B．30°C．45°D．90°【解析】正方形的对角线与边的夹角为45°.2．正方形具有而一般菱形不具有的性质是(C) A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．每一条对角线平分一组对角【解析】正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质，故选C.3．如图5－3－13所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，则图中等腰直角三角形有(C)图5－3－13A．4个B．6个C．8个D．10个【解析】图中等腰直角三角形有△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABD，△BCD，△ADC，△ABC，共8个．4．如图5－3－14所示，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为(C)图5－3－14A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】由折叠的性质，可知∠ABE＝∠DBE，∠DBF＝∠CBF，∴∠EBF＝12∠ABC＝12×90°＝45°.选C.5．如图5－3－15所示，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__22.5°__．图5－3－15【解析】∵AC＝AE，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝12×(180°－45°)＝67.5°，∴∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝67.5°－45°＝22.5°.6．如图5－3－16所示，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别是对角线BD 上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，则图中阴影部分的面积之和为__12a2__.图5－3－167．[2013·红河]如图5－3－17，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.图5－3－17(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．解：(1)四边形ACED是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，即AD∥CE，∵DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形．(2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD，∵BD＝8 cm，∴BC＝22·BD＝22×8＝42(cm)，∴BE＝BC＋CE＝42＋42＝82(cm)．8．如图5－3－18所示，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB，ED.图5－3－18(1)求证：△BEC ≌△DEC ；(2)延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB ＝140°，求∠AFE 的度数． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD ＝CB .∵AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠DCE ＝∠BCE .又CE ＝CE ， ∴△BEC ≌△DEC .(2)由(1)知△BEC ≌△DEC ，∴∠DEC ＝∠BEC ＝12∠DEB ＝70°，∴∠AEF ＝∠BEC ＝70°.又∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∠DAB ＝90°，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝45°.在△AEF 中，∠AFE ＝180°－70°－45°＝65°. 9．[2012·黄冈]如图5－3－19所示，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别在OD ，OC 上，且DE ＝CF ，连结DF ，AE ，AE 的延长线交DF 于点M .求证：AM ⊥DF .图5－3－19证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OD ＝OC .又∵DE ＝CF ，∴OD －DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF .在△AOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧AO ＝DO ，∠AOD ＝∠DOF ＝90°，OE ＝OF ，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，∴∠EMD＝90°，即AM⊥DF.10．[2013·连云港]如图5－3－20，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD 上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为(C)图5－3－20A．1 B. 2C．4－2 2 D．32－4【解析】在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4.∵正方形的边长为4，∴BD＝42，∴BE＝BD－DE＝42－4.∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝22BE＝22×(42－4)＝4－2 2.故选C.11．[2012·宜宾]如图5－3－21，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝图5－3－21第11题答图【解析】过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO＝EF，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝2，∴CO＝12AC＝22，∴CF＝CO＝22，∴EF＝DF＝DC－CF＝1－22，∴DE＝EF2＋DF2＝2－1，故答案为：2－1.12．[2013·济宁]如图5－3－22(1)，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC 上的点，且AF⊥BE.(1)(2)图5－3－22(1)求证：AF＝BE；(2)如图5－3－22(2)，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．解：(1)设AF与BE交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD ＝∠D＝90°，∴在Rt△ADF中，∠F AD＋∠AFD＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE ＝90°，∴∠F AD＋∠AEG＝90°.∴∠AFD＝∠AEG.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE.第12题答图(1)(2)相等；理由：过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD 于E.得到▱BEQN和▱AFPM，∴AF＝MP，BE＝NQ，由(1)，得AF＝BE，∴MP＝NQ.第12题答图(2)。

2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步基础达标训练（附答案）1．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分2．下列说法正确的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B．一组邻边相等的平行四边形是矩形C．菱形有四条对称轴D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形3．下列说法正确的是（）A．平行四边形对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的四个角都相等D．正方形的对角线互相平分4．对角线互相垂直且相等四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定5．下列说法中错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线长为a的正方形的面积是6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．27．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°8．如图所示，正方形ABCD的边长为2，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC 为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（）A．B．C．﹣1D．9．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF ⊥CD于F，则EF的最小值为（）A．B．C．3D．210．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（）A．（6，3）B．（3，6）C．（0，6）D．（6，6）11．如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（）A．1B．2C．D．412．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（）A．20°B．15°C．12.5°D．10°13．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD 于点F，连接EF．给出以下4个结论，其中，所有正确的结论是（）①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF＝PC；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP．A．①②B．①④C．①②④D．①③④14．如图，在正方形ABCD中，BF⊥CE于点F，交AC于点G，则下列结论错误的是（）A．△BCG≌△CDE B．AG＝BE C．∠OBG＝∠OCE D．∠ABG＝∠AGB15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD＝，④△COF的面积S△COF＝3，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．如图，正方形ABCD的面积为36，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF ＝45°，则CF长为（）A．2B．3C．D．17．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC边上的一个动点，OE⊥OF交AB边于点F，点G，H分别是点E，F关于直线AC的对称点，点E从点C 运动到点B时，图中阴影部分的面积大小变化情况是（）A．先增大后减小B．先减小后增大C．一直不变D．不确定18．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（1，3），则点F的坐标为．19．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为．20．正方形ABCD，点P为正方形内一点，且满足P A＝3，PB＝2，PC＝5，则∠APB的度数为度．21．如图，正方形ABCD的对角线BD上有一点E，且BE＝3DE，点F在AB的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交BC的延长线于点G，连接GF并延长，交DB的延长线于点P，若AB＝4，BF＝1，则线段EP的长是．22．如图，四边形ABCD、AEFG都是正方形，且∠BAE＝45°，连接BE并延长交DG于点H，若AB＝4，AE＝，则线段BH的长是．23．已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为．24．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为．25．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠BEA的度数是度．26．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G、F，AC＝10，则EG+EF＝．27．在正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，且CE＝BD，则∠AEC＝．28．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠EAF ＝45°，下列结论：①△ABE≌△ADF；②∠AEB＝∠AEF；③正方形ABCD的周长＝2△CEF的周长；④S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正确的是．（只填写序号）29．如图，ABCD为正方形，∠CAB的角平分线交BC于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点G，CF与AB的延长线交于点F，连接BG、DG、与AC相交于点H，则下列结论：①△ABE≌△CBF；②GF＝CG；③BG⊥DG；④DH＝（﹣1）AE，其中正确的是．30．如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接DF，分别交AE、AB于点G、P．求证：AE＝AF．31．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2．求证：四边形EFGH为正方形．32．如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．（1）求证：PM＝PN；（2）求证：EM＝BN．33．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．34．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．35．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．36．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG＝6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．37．如图，在▱BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若CA＝CB，则▱ADCF为（填矩形、菱形、正方形中的一个）．38．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE＝CD，过点E作EF⊥AC 交AD于点F，连接BE．（1）求证：DF＝AE；（2）当AB＝2时，求AF的值．39．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD 于点E，（1）求DE的长；（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．40．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，BG＝；AG＝；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．参考答案1．解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；B、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．故选：A．2．解：A．因等腰梯形满足“一组对边相等，另一组对边平行”，但它不是平行四边形，故此选项说法错误；B．一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故此选项说法错误；C．菱形的对称轴是两条对角线所在的直线，因此菱形只有两条对称轴，故此选项错误；D．因为对角线相等且互相平分的四边形是矩形，若再加上对角线互相垂直条件，则矩形便转化为正方形，所以对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项正确；故选：D．3．解：A、平行四边形对角线互相平分，错误；B、矩形的对角线相等，错误；C、菱形的四条边都相等，错误；D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确；故选：D．4．解：对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故A选项不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，故B选项不符合题意；对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，故C选项不符合题意；故D选项正确．故选：D．5．解：因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项错误，符合题意；因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项正确，不符合题意；因为菱形的对角线互相垂直，所以C选项正确，不符合题意；因为对角线长为a的正方形的面积是：a×a＝a2．所以D选项正确，不符合题意．6．解：由题意得：BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点p是以AP为半径的圆上远动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；故选：A．7．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵AE＝AB，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，8．解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB＝BC＝2，∴AC＝，∵以A为圆心，AC为半径画圆交x轴负半轴于点P，∴AP＝AC＝，又∵点A（1，0），∴OP＝﹣1，∴点P（1﹣，0），故选：D．9．解：连接MC，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F∴四边形MECF为矩形，∴EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，∴MC＝BC＝＝3，∴EF的最小值为3；故选：A．10．解：∵四边形OBCD是正方形，∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°，∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），∴OD＝6，∴OB＝BC＝CD＝6，∴C（6，6）．故选：D．11．解：过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，∵BD＝BE，DE＝2，∴△BED是等边三角形，且边长为2，∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，∴CE＝BC﹣BE＝4，∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴QF＝EF＝1，∴△EFC的面积为＝＝2，故选：B．12．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC，∵△CDE是等边三角形，∴DE＝DC，∠EDC＝60°，∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，故选：B．13．解：∵P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，∴P A＝PC，∠BCD＝90°，∵过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠DFP＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴PC＝EF，∴P A＝EF，故②正确，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠BDC＝∠DBC＝45°，∵∠PFC＝∠BCD＝90°，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∵∠DFP＝90°，∴△FPD是等腰直角三角形，故①正确，在△P AB和△PCB中，，∴△P AB≌△PCB（SSS），∴∠BAP＝∠BCP，在矩形PECF中，∠PFE＝∠FPC＝∠BCP，∴∠PFE＝∠BAP．故④正确，∵点P是正方形对角线BD上任意一点，∴AD不一定等于PD，只有∠BAP＝22.5°时，AD＝PD，故③错误，故选：C．14．解：A．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCG＝∠CDE＝45°，BC＝CD，∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBG+∠BCF＝∠BCF+∠DCE＝90°，∴∠CBG＝∠DCE，∴△BCG≌△CDE（ASA），故A正确；B．∵△BCG≌△CDE，∴CG＝DE，∵正方形ABCD中，AC＝BD，∴AG＝BE，故B正确；C．∵△BCG≌△CDE，∴∠CBG＝∠DCE，∵正方形ABCD中∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBG＝∠OCE，故C正确；D．∵E是OD上的任意一点，∴当BE≠BC时，有AB≠BE，∵AG＝BE，∴AB≠AG，∴∠ABG≠∠AGB，故D错误；故选：D．15．解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故正确；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝1，CF＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝，故错误；④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故错误；故选：B．16．解：∵正方形ABCD的面积为36，∴BC＝AB＝6，如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝3，CB＝6，∴BE＝3，∴AE＝3，设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，∴EF＝＝，∴（9﹣x）2＝9+x2，∴x＝4，即AF＝4，∴DF＝6﹣4＝2，∴CF＝＝＝2，故选：A．17．解：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∴∠BOE+∠EOC＝90°，∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠EOC，在△FOB和△EOC中，，∴△FOB≌△EOC，同理，△HOD≌△GOC，∴图中阴影部分的面积＝△ABD的面积＝×正方形ABCD的面积，故选：C．18．解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，在△OGM与△EOH中，，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM＝OH＝1，OM＝EH＝3，∴G（﹣3，1）．∴O′（﹣1，2）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣2，4）．故答案是：（﹣2，4）．19．解：如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点A作AF⊥y轴于F，∵点A的坐标为（1，），∴AF＝1，OF＝，∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°＝∠EOF，∴∠COE＝∠AOF，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE＝1，OE＝OF＝，∴点C（﹣，1），故答案为：（﹣，1）．20．解：将△APB绕点B旋转90°得到△BP′C，则∠PBP′＝90°，BP＝BP′，AP＝P′C，∠APB＝∠CP′B，∵PB＝2，∴BP′＝2，∴PP′＝4，∠BP′P＝45°，∵P A＝3，PC＝5，∴P′C＝3，∵PP′2+P′C2＝42+32＝52＝PC2，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C＝90°，∴∠BP′C＝∠BP′P+∠PP′C＝135°，∴∠APB＝135°，故答案为：135．21．解：如图，作EN⊥AB于N，EM⊥BC于M，PH⊥CB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝CB＝AB＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝45°，∴EN＝EM＝BN＝BM，∵BE＝3DE，∴BN＝3AN，所以AN＝1，BN＝3，∴EM＝EN＝BM＝BN＝3，∵EF⊥EG，∴∠FEG＝90°，∵∠NEM＝90°，∴∠NEF＝∠MEG，在△NEF和△MEG中：∴△NEF≌△MEG（ASA），∴MG＝NF，EG＝EF，∵BF＝1，∴NF＝NB+BF＝4，∴MG＝4，∴BG＝BM+MG＝7，∵∠PBF＝∠ABD＝45°，∴∠PBG＝135°，∴∠PBH＝45°，∴∠HPB＝45°，∴BH＝PH，PB＝PH，设BH＝PH＝x，则PB＝x，GH＝BH+BG＝x+7，得x＝，所以PB＝，又因为BE＝BN＝3，所以EP＝EB+BP＝．22．解：连接GE交AD于点N，连接DE，如图，∵∠BAE＝45°，∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，∵AE＝，∴AN＝GN＝1，∴DN＝4﹣1＝3，在Rt△DNG中，DG＝＝；由题意可得：△ABE相当于逆时针旋转90°得到△AGD，∴DG＝BE＝，∵S△DEG＝GE•ND＝DG•HE，∴HE＝＝，∴BH＝BE+HE＝+＝．故答案是：．23．解：①如图1，当CE＝CD，且点P在线段AD上时，由题意知，△BEC为等边三角形，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，则EN＝BE＝，∴ME＝1﹣，在四边形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝150°，∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣，∴AP＝PE＝2﹣；②如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，由题意知，△BCE为等边三角形，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，则NE＝CE＝，∴ME＝1+，在四边形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+，∴AP＝PE＝2+；③如图3，当ED＝EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，又∵AB＝EB，∴△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，在Rt△ABP中，AP＝AB＝，综上所述，AP的值为2﹣或2+或．24．解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°．故答案为：15°25．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AE＝AB，∴∠BEA＝∠ABE＝＝67.5°．故答案为：67.5．26．解：∵四边形ABCD是正方形，AC＝10，∴AC⊥BD，BO＝OC＝5，∵EG⊥OB，EF⊥OC，∴S△BOE+S△COE＝S△BOC，∴•BO•EG+•OC•EF＝•OB•OC，∴×5×EG+×5×EF＝×5×5，∴EG+EF＝5．故答案为5．27．解：连接AC，则正方形ABCD中，AC＝BD ∵CE＝BD∴AC＝EC∴∠E＝∠CAF∵AD∥EC∴∠E＝∠DAF∴∠CAF＝∠DAF∵∠CAD＝45°∴∠CAF＝∠DAF＝22.5°∴∠AEC＝22.5°故答案为：22.5°28．解：①当E、F不分别是BC和CD的中点时，BE≠DF，则△ABE≌△ADF不成立，故①错误；②延长CD至G，使得DG＝BE，如图1，∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，∠AEB＝∠G，AE＝AG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AEF＝∠G，∴∠AEB＝∠AEF，故②正确；③∵△AEF≌△AGF，∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2BC，∵正方形ABCD的周长＝4BC，∴正方形ABCD的周长＝2△CEF的周长，故③正确；④∵△ABE≌△ADG，∴S△ABE＝S△ADG，∴S△ABE+S△ADF＝S△AGF，∵GF＝EF＞CF，AD≥CE，∴，即S△AGF＞S△CEF，∴S△ABE+S△ADF≠S△CEF，故④错误；故答案为：②③．29．解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠CBF＝90°，∵AG⊥CF，∴∠AGF＝90°，∴∠GAF+∠F＝90°，∵∠BCF+∠F＝90°，∴∠GAF＝∠BCF，∴△ABE≌△CBF（ASA），故此小题结论正确；②∵AG是∠CAB的角平分线，∴∠BAG＝∠CAG，∵∠AGF＝∠AGC＝90°，AG＝AG，∴△AFG≌△ACG（ASA），∴FG＝CG，故此小题结论正确；③∵∠CBF＝90°，FG＝CG，∴BG＝CG，∴∠CBG＝∠BCG，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABG＝∠DCG，∵AB＝DC，∴△ABG≌△DCG（SAS），∴∠AGB＝∠DGC，∵∠DGC+∠AGD＝∠AGC＝90°，∴∠AGB+∠AGD═90°，∴BG⊥DG，故此小题结论正确；④∵△ABG≌△DCG，∴∠CDG＝∠BAG＝∠CAG，∵∠DCH＝∠ACE，∴DH＝，故此小题结论错误．由上可知，正确的结论是①②③，故答案为：①②③．30．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，即∠F AB+∠EAB＝90°，而∠EAD+∠EAB＝90°，∴∠F AB＝∠EAD，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AE＝AF．31．解：∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形．32．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠BAD，又∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN．（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN＝90°，PM＝PN，∴四边形PMAN为正方形，∴∠MPN＝90°，即∠MPE+∠EPN＝90°．∵PE⊥PB，∴∠EPN+∠NPB＝90°，∴∠MPE＝∠NPB．∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PME＝∠PNB＝90°．在△PME和△PNB中，，∴△PME≌△PNB（ASA），∴EM＝BN．33．证明：（1）∵▱ABCD，∴AO＝OC，∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC（三线合一）即BD⊥AC，∴▱ABCD是菱形；（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形∴∠EAO＝60°，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵▱ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD是正方形．34．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．35．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，（3分）∴四边形MANP是正方形；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM＝BN．36．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此；（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值为，此时DG＝，∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（）．37．解：（1）在平行四边形BCFD中，DE∥BC，∵E是DF的中点，∴DE＝BC，∴DE是△ABC的中位线，∴E是AC的中点，∴四边形ADCF是平行四边形．（2）∵CA＝CB，DE是△ABC的中位线，∴AD＝AE，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∴AD＝AC，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∴▱ADCF是矩形．故答案为：矩形38．（1）证明：如图，连接CF，在Rt△CDF和Rt△CEF中，，∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），∴DF＝EF，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∴DF＝AE；（2）解：∵AB＝2，∴AC＝AB＝2，∵CE＝CD，∴AE＝2﹣2，过点E作EH⊥AB于H，则△AEH是等腰直角三角形，∴EH＝AH＝AE＝×（2﹣2）＝2﹣，∴AE＝EH＝2﹣2，∴AF＝AE＝4﹣2．39．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，∵CE平分∠DCA，∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠DBC＝45°，∴∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝2，∴DE＝BD﹣BE＝2﹣；（2）∵FE⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE，∵∠FBE＝∠CDE＝45°，BE＝BC＝CD，∴△FEB≌△ECD，∴BF＝DE＝2﹣；（3）延长GE交AB于F，由（2）知：DE＝BF＝2﹣，由（1）知：BE＝BC＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，：DG＝3﹣4．40．BG、解：（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，BG＝，∴AG＝；故答案为：5；5；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝，由勾股定理得：KG＝，∴CE＝KG＝，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，同理得：DE＝；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝GK＝，∴DE＝5+综上，DE的长是或．故答案为或．。

5．3 正方形(二)(第1题)1．如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向内作等边三角形ABE ，连结EC ，则∠BEC 的度数为(D)A ．45°B ．60°C ．67.5°D ．75°2．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC 和CD 边上的中点，则S △AEF ＝(B)A.52B.32 C ．2 D.3553．有下列图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤三角形．其中一定能够找到一点，使该点到各边距离都相等的是(D)A. ①②B. ②③④⑤C. ②④D. ②④⑤4．在正方形ABCD 中，对角线长为2 cm ，E 是AB 边上任意一点，则点E 到两条对角线的距离之和是(B)A. 22cmB. 1 cmC. 2 cmD. 2cm5．已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝16 cm，则DO＝__8__cm，BO＝__8__cm，∠OCD＝__45°__．(第6题)6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是__1__，△BPD的面积是__3－1__．(第7题)7．如图，在正方形ABCD中，G为CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于点H.求证：(1)△BCG≌△DCE.(2)BH⊥DE.【解】(1)∵四边形ABCD，四边形GCEF都是正方形，∴BC＝DC，GC＝EC，∠BCG＝∠DCE＝90°，∴△BCG≌△DCE(SAS)．(2)由(1)知，△BCG≌△DCE，∴∠GBC＝∠EDC.又∵∠BGC＝∠DGH，∴∠DHG＝∠BCG＝90°，即BH ⊥DE.8．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连结AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠ACD ，交BD 于点E ，求DE 的长．(第8题)【解】 过点E 作EF ⊥DC 于点F. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ODC ＝45°，AC ⊥BD. ∵CE 平分∠ACD ，EF ⊥DC ，∴CO ＝CF ，∠DEF ＝45°＝∠ODC ，∴EF ＝DF. ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AC ＝ 2.∴CO ＝12AC ＝22.∴CF ＝CO ＝22.∴EF ＝DF ＝DC －CF ＝1－22.∴DE ＝EF 2＋DF 2＝2－1.9．若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为(B)A. 6B. 8C. 10D. 12【解】 设正方形的边长为1，则矩形的长为12，该矩形的宽为x ，根据题意，得 x ＋12＋x ＝1， 解得x ＝14.∴k ＝2＋2＋1÷14＝8.(第9题) (第10题)10．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 的坐标为(1，3)，则点C 的坐标为(－3，1)．【解】 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E. ∵四边形OABC 是正方形，∴OA ＝OC ，∠AOC ＝90°， ∴∠COE ＋∠AOD ＝90°. 又∵∠OAD ＋∠AOD ＝90°， ∴∠OAD ＝∠COE. 在△AOD 和△OCE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠OAD ＝∠COE ，∠ADO ＝∠OEC ＝90°，AO ＝OC ，∴△AOD ≌△OCE(AAS)．∴OE ＝AD ＝3，CE ＝OD ＝1. ∵点C 在第二象限， ∴点C 的坐标为(－3，1)．(第11题)11．如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，连结BE ，FE ，则∠EBF 的度数是45°．【解】 过点E 作HI ∥BC ，分别交AB ，CD 于点H ，I ，则∠BHE ＝∠EIF ＝90°.∵E 是BF 的垂直平分线EM 上的点， ∴BE ＝EF.∵E 是正方形对角线AC 上的点，即E 是∠BCD 的平分线上一点， ∴点E 到BC 和CD 的距离相等，∴BH ＝EI. 在Rt △BHE 和Rt △EIF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝EF ，BH ＝EI ，∴Rt △BHE ≌Rt △EIF(HL)． ∴∠HBE ＝∠IEF. ∵∠HBE ＋∠HEB ＝90°， ∴∠IEF ＋∠HEB ＝90°， ∴∠BEF ＝90°. 又∵BE ＝EF ，∴∠EBF ＝∠EFB ＝45°.12．如图，正方形ABCD 的边长为1，P 为BC 边上任意一点(可与点B ，C 重合)，分别过点B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别为B ′，C ′，D ′，求BB ′＋CC ′＋DD ′的最大值与最小值．(第12题) (第12题解) 【解】 如解图，连结AC ，DP. 由题意，得S △ACD ＝S △ADP ＝12AP ·DD ′.∵S △ABP ＋S △ACP ＋S △ACD ＝1，∴12AP ·BB ′＋12AP ·CC ′＋12AP ·DD ′＝1， ∴BB ′＋CC ′＋DD ′＝2AP.易知1≤AP ≤2(当点P 与点B 重合时，AP ＝1；当点P 与点C 重合时，AP ＝2)，∴2≤BB ′＋CC ′＋DD ′≤2.即BB ′＋CC ′＋DD ′的最大值为2，最小值为 2.(第13题)13．如图，正方形ABCD的周长为40 m，甲、乙两人分别从A，B 同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55 m，乙按顺时针方向每分钟行30 m.(1)出发几分钟后，甲、乙两人第一次在正方形的顶点处相遇．(2)如果用记号(a，b)表示两人走a(min)，并相遇b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号是多少？【解】(1)设出发x(min)后，甲、乙第y次相遇(y是正整数)，则有：(55＋30)x＝40(y－1)＋10，即85x＝40y－30，17x＝8y－6，∴y＝17x＋68＝2x＋x＋68.∵当甲、乙都在顶点处时，甲、乙的路程都必须为10的倍数，即55x和30x都为10的倍数，∴x为2的倍数．又∵y是正整数，∴x最小为2.∴出发2 min后，甲、乙两人第一次在正方形的顶点处相遇．(2)∵当甲、乙处在正方形的两个相对顶点位置时，他们相差20 m，∴(55＋30)a＝40(b－1)＋10＋20，即85a＝40b－10，17a＝8b－2，∴b＝17a＋28＝2a＋a＋28.由(1)知a为2的倍数，且b为整数，∴a最小为6.当a＝6时，b＝13，∴对应的记号为(6，13)．。