07复合函数的定义域与函数的解析式

复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。

注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。

另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。

例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。

二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。

例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。

答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。

答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。

例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。

答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。

复合函数一、复合函数的定义：设y 是z 的函数y =f (z )，而z 又是x 的函数z =φ(x )，设X 表示φ(x )的定义域或其中的一部分，如果对于在X 上取值时所对应的值，函数y =f (z )均有定义，则y 成为x 的函数，记为y = f [φ(x )]。

这个函数叫做由y = f (z )及z =φ(x )复合而成的复合函数，它的定义域为X ，z 叫做中间变量，f 称为外层函数，φ称为内层函数。

要求掌握把复合函数分解为几个简单函数的方法，例如是由和两个函数复合而成的。

二、复合函数的解析式：例1：已知二次函数()x f 满足()569132+-=+x x x f ，求()x f 。

分析：本题可采用待定系数法求解，但待定系数法不是求模型函数的解析式的唯一定势，解答这类问题要具体情况具体分析。

本题用换元和“凑型”的办法解决。

解法一 设13+=x t ,则31-=t x 。

把13+=x t 、31-=t x 分别代入569)13(2+-=+x x x f 的左边和右边得()53163192+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ，即()842+-=t t t f ，∴ ()()R x x x x f ∈+-=842 。

解法二 由已知，569)13(2+-=+x x x f ∴()()()813x 413x 13x f 2++-+=+，把13x +视为一个整体，有()()R x x x x f ∈+-=842.例2 已知()0x x 1x x 1x f 22>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 。

分析 由22x 1x x 1x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的对应法则，可设t =+x 1x ，则22221t x x =++，即21222-=+t xx ，问题很容易得到解决。

随后的问题是()x f 的定义域是什么？例3、设f(x)满足()3x x 12f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+，求f(x)分析：在已知的关系式中含有f(x)和f(x 1)，求出f(x),需要消去f(x1),所以需从已知的关系中再产生一个关于f(x)和f(x1)的关系式,然后联立解出f(x),这里只要以x 1代替x ,便可得关于f(x)和f(x 1)的又一等式.三、复合函数的定义域：⒈已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域例4、函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+21)- f(x-21)的定义域是（ ）(A)[0,2] (B)[23,21-] (C)[25,21] (D)[23,21]例5、已知函数f(x)的定义域是(]0,1,求g(x)=f(x+a)·f(x-a)⎪⎭⎫⎝⎛≤<-0a 21的定义域.⒉已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域例6、若函数f(x+1)的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-,221，则f(x 2)的定义域是＿＿＿＿＿例7、函数f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是( )(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡250,(B)[-1,4](C)[-5,5](D)[-3,7]⒊由符合函数的定义域，求字母参数的取值.例8、函数96k x k x y 2+-=的定义域为R ，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿.例9、已知函数()2bx ax x f 2++=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21，求a+b 的值.四、复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下: ⒈复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.若函数)(x g u =在区间[]b a ,上是单调函数,函数)(u f y =在[])(),(b g a g 或[])(),(a g b g 上也是单调函数,那么复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上是即)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.例10 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)解：(方法1)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由u ＞0, ∵u=x 2－4x+3，∴x 2－4x+3>0 解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间. (方法2)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 例11 求下列复合函数的单调区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2x 2x 31log y 解: 设 u 31logy =,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2. 由于u y 31log=在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x2的单调性正好相反. 易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2 （复合函数定义域） x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2， (复合函数定义域) x ≥1， (u 减)解得0≤x ＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间. 例12 求y=2x 6x 7--的单调区间.解: 设y=,u=7－6x －x 2,由u ≥0,u=7－6x －x 2解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。

配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。

f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。

f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。

）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

复合函数定义域三种形式解法当我们考虑复合函数的定义域时，需要注意两个关键点：第一个是每个函数的定义域，第二个是每个函数的结果是否符合另一个函数的定义域要求。

在解决复合函数定义域时，有三种常见的形式：两个函数的定义域都为实数集，两个函数的定义域为整数集和有限集。

一、两个函数的定义域都为实数集实数集是一个包含了所有实数的集合，通常用符号R表示。

当两个函数的定义域都为实数集时，我们可以直接计算出复合函数的定义域。

例如，考虑函数f(x)=√x和g(x)=x^2、它们的定义域都为实数集。

首先，我们需要找到复合函数(f∘g)(x)=f(g(x))的定义域。

根据复合函数的定义，我们需要先计算出g(x)的结果，然后再将结果作为f(x)的输入。

由于g(x)=x^2，它的定义域是实数集R。

然后，将g(x)的输出作为f(x)的输入进行计算。

因为f(x)=√x，它的定义域也是实数集R。

所以，函数(f∘g)(x)=f(g(x))的定义域是实数集R。

二、两个函数的定义域为整数集整数集是由所有整数组成的集合，通常用符号Z表示。

当两个函数的定义域都为整数集时，我们需要检查复合函数的结果是否为整数。

例如，考虑函数f(x)=2x和g(x)=x+3、它们的定义域都为整数集。

按照复合函数的定义，我们计算出复合函数(f∘g)(x)=f(g(x))的定义域。

首先，我们需要计算出g(x)的结果，然后再将结果作为f(x)的输入。

由于g(x)=x+3，它的定义域为整数集Z。

然后，我们计算出g(x)的输出是整数。

接下来，将g(x)的输出作为f(x)的输入进行计算。

因为f(x)=2x，它的输入必须是整数才能保证输出也是整数。

所以，函数(f∘g)(x)=f(g(x))的定义域是整数集Z。

三、两个函数的定义域为有限集有限集是一个只包含有限个元素的集合。

当两个函数的定义域都是有限集时，我们可以直接列举出复合函数的定义域。

例如，考虑函数f(x)=x+1和g(x)=2x。

2013-11方法交流一、复合函数的定义一般地：若y=f （u ），又u=g （x ），且g （x ）值域与f （u ）定义域的交集不空，则函数y=f ［g （x ）］叫x 的复合函数，其中y=f （u ）叫外层函数，u=g （x ）叫内层函数。

简言之，复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数。

例如：设函数f （x ）=2x +3g （x ）=3x -5，对于函数f [g （x ）]，若f （x ）的定义域为M ，则在复合函数f ［g （x ）］中，g （x ）∈M 。

复合函数的定义域，就是复合函数y=f ［g （x ）］中x 的取值范围。

x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为g （x ）的值域。

二、复合函数的定义域求法例1.已知f （x ）的定义域为（-3，5］，求函数f （3x -2）的定义域。

解：由题意得∵-3<x ≤5∴-3<3x-2≤5-1<3x ≤7∴-13<x ≤73所以，函数f （3x -2）的定义域为（-13，73］.例2.已知函数f （x ）定义域为是［a ，b ］，且a+b >0,求函数h （x ）=f （x+m ）+f （x-m ）（m >0）的定义域。

解：a ≤x+m ≤b a ≤x-m ≤b {⇒a-m ≤x ≤b-ma+m ≤x ≤b+m {，∵m >0，∴a-m <a+m b-m <b+m 又a-m <b+m要使函数h （x ）的定义域为非空集合，必须且只需a+m ≤b-m ，即0<m ≤b-a 2，这时函数h （x ）的定义域为［a+m ，b-m ］。

解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的。

若已知f （x ）的定义域为A ，则f ［g （x ）］的定义域就是不等式g （x ）∈A 的x 的集合；若已知f ［g （x ）］的定义域为A ，则f （x ）的定义域就是函数g （x ）（x ∈A ）的值域。

函数的解析式和定义域课时07 函数的解析式和定义域【考点指津】1．掌握函数的三种表示方法，会求简单函数的解析式．函数的表示方法通常有：解析法、列表法、图象法，三者各具特点．解析式中包括分段函数，它由一个或多个式子构成，是一个函数；通过函数的图象能够直观地反映出函数的一些性质，因此要掌握函数的图象，并熟悉一些基本初等函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等）的图象特征．2．会求简单函数的定义域．定义域是构成函数的重要要素之一，一切函数问题的研究都离不开函数的定义域，要熟练掌握求函数定义域的原则和方法．当一个函数可以用解析式表示时，函数的定义域就是使其解析式有意义的自变量的取值集合．在实际问题中，还应注意实际意义的制约． 【知识在线】1．已知⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则f {f [f (-1)]}= ．2．下列函数：①y =2x +5；②y = xx 2+1；③y =|x |-x ；④y = ⎩⎨⎧2x ， x ＜0，x +4，x ≥0．其中定义域为R 的函数共有m 个，则m 的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知函数f (x ) = ⎩⎨⎧2x 2+1，x ≤0，-2x ， x ＞0，当f (x ) = 33时，x = ．4．若f (x -1)=2x +5，则f (x 2) = （ ） A ．2x 2+3 B ．2x 2+7 C ．x 2+3 D ．x 2+7 5．已知函数f (x ) = lgxx-+11的定义域为A ，函数g (x )=lg(1+x ) – lg(1-x )的定义域为B ，则下述关于A 、B 关系不正确的为 （ ） A ．A ⊇B B ．A ∪B =B C ．A ∩B =B D ．B ⊂≠A 【讲练平台】例1 求函数xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域．分析 根据有关条件列出不等式组，再求出不等式组的解集即为所求函数的定义域． 解 由函数解析式有意义，得⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥+-010652x x x x x ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，或x ≤2x ≠1，x ＞0．⇒0＜x ＜1或1＜x ≤2，或x ≥3． 故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞Y Y ．点评 （1）求以解析式给出的函数定义域时，应遵循以下几条原则：①分式的分母不为零；②偶次根号下被开方数非负；③在a °中底数a ≠0；④若f (x )是由几个部分构成的，则应采用交集法；⑤实际问题结合变量的实际意义来确定，等等；（2）求不等式组的解集，通常借助数轴的直观性；（3）函数的定义域一般应用集合或区间形式表示，在用区间表示时，要弄清区间端点的归属，正确使用开区间和闭区间符号，需特别注意的是，“∞”不是一个确定的数，而是一个变化趋势，只能用开区间；（4）必须把所有的限制条件都列出来，特别是在0)1(-x 中，x -1≠0，不能遗漏．例2 若函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，求实数a 的取值范围．分析 由函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R 知：x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立，而f (x )= x 2+ax +1为二次函数，函数值恒正，故可利用“△”法求解．解 因函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，故x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立，而f (x )= x 2+ax +1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a 2-4＜0，解得 -2＜a ＜2，它便是所求的a 的取值范围．点评（1）“△”法可判断一元二次函数值恒正、恒负或非正、非负；（2）必须注意所用△的值是大于零、小于零、还是不大于零、不小于零．如下面的问题：关于x 的不等式x 2+ax +1＜0的解集为∅，试求实数a 的取值范围．问题便等价于x 2+ax +1≥0的解集为R ，从而有△≤0，解得 –2≤a ≤2．变题1 已知函数 y =lg(x 2+ax +1)的值域为R ，求a 的取值范围．提示：利用△≥0 a≥2或a≤-2．变题2 已知函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，求a的取值范围．提示：分a＞0与a=0的两种情况求解，其答案为0≤a＜4．思考：变题1、变题2及原题，它们的区别何在？例3《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表：个人所得税税率表一（工资、薪金所得适用）表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去1000元后的余额．例如某人月工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元．（1）请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x（0＜x≤3000）的函数表达式；（2）一公司职员某月缴纳个人所得税75元，问他该月工资、薪金的收入多少？分析先读懂题意，正确理解“全月应纳税所得额”等的意义，然后利用分段函数法列出个人所得y关于收入额x的函数关系式，利用该关系式继续求解其它的问题．解（1）当0＜x≤1000时，y=x；当1000＜x≤1500时，扣税：(x-1000) ·5%，从而所得为y=x- (x-1000) ·5% = 0.95x+50；当1500＜x≤3000时，扣税：(x-1500)·10%+500 ·5% = 0.1x-125，从而所得为y = x -(0.1x -125) =0.9x +125．故 y = ⎩⎪⎨⎪⎧x ， （0＜x ≤1000），0.95x +50，（1000＜x ≤1500），0.9x +125，（1500＜x ≤3000）．（2）显然，该职员的工资、薪金x 满足1500＜x ≤3000，故由0.1x -125=75，解得 x =2000．答：该职员的该月工资、薪金收入为2000元．点评 （1）函数的表示法有：解析法、列表法、图象法；而解析式中包含一类重要的函数——分段函数：对应于自变量x 的不同取值范围，对应关系也不同．分段函数不管x 被分成了几段，它仍是一个函数，而不是几个函数，它由几个部分构成了一个函数；（2）写函数解析式时，不要忘了写上函数的定义域；对于实际问题，还不要忘了问题的实际意义．变题 在原题的条件下，若设某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于 （ D ）A ．500~600元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~1800元 例4 （1）设f (x )是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x )． （2）设x x x f 2)1(+=+，求f (x +1)． （3）若f (x )满足f (x )+2f (x1)=x ，求f (x )．分析 （1）已知了函数f (x )的类型，可采用待定系数法；（2）视（1+x ）为整体，采用换元法或配方法可求得f (x )的解析式，再用(x +1)整体代换f (x )中的x ，即可求出f (x +1)的解析式；（3）注意到x 与x1互为倒数，可通过倒数代换联立方程组解出f (x )． 解 （1）设f (x )=ax +b (a ≠0)，则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b ，∴ ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=12342b a b ab a 或⎩⎨⎧-=-=32b a ，∴ f (x )=2x +1或f (x )= -2x -3．（2）解法一 ∵1)1()1(2-+=+x x f ，∴ f (x )=x 2-1 (x ≥1)，∴ f (x +1)= (x +1)2-1 = x 2+2x (x ≥0)．解法二 令t =1+x ，则x = t -1，∴f (t )= (t -1)2+2(t -1)= t 2-1． 又t =1+x ≥1，∴ f (x )=x 2-1 (x ≥1)，从而f (x +1)= x 2+2x (x ≥0)． （3）在f (x )+2f (x 1)=x ①中，用x 1代换x 得 f (x 1)+2 f (x )= x1 ②， 联立①、②解得 )0(32)(2≠-=x xx x f ． 点评 （1）正确理解函数的概念，是求抽象函数解析式的关键；（2）求抽象函数的解析式常用配凑法（如题（2）的解法一）、换元法（如题（2）的解法二）、待定系数法（如题（1）的解答）以及取倒相消法（如题（3）的解答）等；（3）在用换元法或配凑法求解析式时，应注意中间变量的取值范围，以确定函数f (x )的定义域．在题（2）中，由f (x )的定义域是{x ∣x ≥1}，则在f (x +1)中必须x +1≥1，即x ≥0，从而f (x +1)的定义域是{x ∣x ≥0}． 变题 已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)=1，对任意x ∈R 都有下列两式成立：（1）f (x +5)≥f (x )+5； （2）f (x +1)≤f (x )+1．若g (x )=f (x )+1-x ，求g (6)的值． 提示：反复利用条件（2），有f (x +5) ≤f (x +4)+1≤f (x +3)+2≤f (x +2)+3≤f (x +1)+4≤f (x )+5，（★） 结合条件（1）得 f (x +5)=f (x )+5． 于是，由（★），可得 f (x +1) = f (x )+1． 故g (6)=f (6)+1-6= [f (1)+5 ]-5=1．注意：数列{f (n )}（n ∈N *）构成公差是1的等差数列．【知能集成】1．求函数的解析式的方法通常有待定系数法、配方法、换元法，有时还要用到方程的思想．2．求函数的定义域，主要涉及以下几个方面：①分式的分母不为零；②对数函数的真数都必须大于零，底数必须大于零且不为1；③偶次方根的被开方数非负；④零次幂的底数不为零，等． 对于实际问题，还应注意变量的实际意义或物理意义．复合函数的定义域是使各部分都有意义的自变量取值范围的交集．【训练反馈】 1．函数23)(x x x f -=的定义域为 （ ）A ．[0，32] B ．[0，3] C ．[-3，0] D ．（0，3）2．若f [g (x )] = 9x +3，且g (x ) = 3x +1，则f (x )的解析式为 （ ） A ．3x B ．3 C ．9(3x +1) +1 D ．3(9x +3) +13．已知g (x )=1-2x ，f [g (x )]= 1-x 2x 2 (x ≠0)，则f (0.5)= （ ）A ．1B ．3C ．15D ．304．若函数f (x )满足f (xy )= f (x )+ f (y )，且f (2)=m ，f (3)=n ，则f (72)= （ ） A ．6mn B ． m 3+n 2 C ．2m +3n D ．3m +2n 5．函数y =f (x )的图象如题图所示，则f (x )的解析式为（ ） A ．122+-x x B ．1||22+-x xC ．|x 2 – 1|D ．x 2 – 2x +16．若函数f (x )的定义域为[a ，b ]，且b ＞-a ＞0，则函数g (x )=f (x )-f (-x )的定义域是（ ）A ．[a ，b ]B ．[-b ，-a ]C ．[-b ，b ]D ．[a ，-a ]7．若f (2x +3)的定义域是{x |-4≤x ＜5＝，则函数f (2x -3)的定义域是 ． 8．求函数y =)233(log 12x x -+的定义域．9．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 移动一周回到A 点，设x 表示点P 的行程，y 表示线段P A 的长，试求y 关于x 的函数式． 10．若函数f (x ) =3x -5kx 2+4kx +3的定义域为R ，求实数k 的取值范围．11．已知函数f (x ) =xax+b(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)=1，f (x )=x 只有惟一实数解，试求函数y =f (x )的解析式及f [f (-3)]的值． 12．定义在（0，+∞）上的函数f (x )满足：①f (2)=1；②f (xy )=f (x )+f (y )，其中x 、y 为任意正实数； ③任意正实数x 、y 满足x ＞y 时，f (x )＞f (y )．试回答下列问题： （1）求f (1)、f (4)；（2）试判断函数f (x )为单调性；（3）如果f (x )+f (x -3)≤2，试求x 的取值范围．参考答案： 【知识在线】1．π+1 2．D 3． - 4 4． B 5．D 【训练反馈】1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7． {x |-1≤x ＜8} 8．（0，5] 9． y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤+-≤+-≤≤.43,4,32,106,21,22,10,22x x x x x x x x x x πππ 10．提示：若k =0，则函数的定义域为R ；若k ≠0，则对任意x ∈R ，kx 2+4kx +3≠0，从而，△＜0，解得0＜k ＜34．从而所求k 的取值范围为{k |0≤k ＜34}． 11．提示：f (x ) =x 只有惟一实数解，即x ax+b = x (*)只有惟一实数解， 当ax 2+(b -1)x =0有相等的实数根x 0, 且a x 0+b ≠0时,解得f(x)=2x x +2, f [f (-3)] = 32, 当ax 2+(b -1)x =0有不相等的实数根,且其中之一为方程(*)的增根时,解得f(x)= 1, f [f (-3)] =1． 12．（1）f (1) =0，f (4)=2；（2）增函数；（3）3＜x ≤4．。

第一讲 复合函数的定义域一、复合函数的构成设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。

此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． ⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(． 注意：)(x g 的值域'M M ⊆．例2：⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．函数)(x f 的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]．∴1210≤-≤x ，∴021≤-≤-x ，即210≤≤x ，∴函数)21(x f -的定义域[0，21]．⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．)12(-x f 的定义域是[-1，1]， ∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ，∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]，∴)(x f y =的定义域是[-3，1]．要点2：若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值域。

函数定义域、值域、解析式的求法一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）配方法 （3）反函数法 （4）分离常数法 （5）换元法 （6）判别式法 （7）函数的单调性法（8）利用有界性（9）图像法（数型结合法）（10）不等式法 （11）有理化法 等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒⎩⎨⎧≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

复合函数的定义域和值域Hessen was revised in January 2021如果y是u的函数，记为，u又是x函数，记为，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数，这就是函数的复合函数，而称为外函数，称为内函数。

本文举例介绍复合函数问题的一些常见类型及解法。

1．求复合函数的定义域关键是正确分析函数的复合层次，由里向外或由外向里逐层解决。

例1已知f(x)的定义域为[0，1）若，则函数的定义域是________。

解析由故函数的定义域为。

例2已知函数f(x)的定义域为（1，3]，求函数的定义域(a>0)。

解析由由a>0，而知只有当0<a<1时，不等式线才有解，解集为；否则，不等式组的解集为空集，这说明仅当o<a<1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为。

2．求复合函数的值域关键是由里向外，逐层解决。

例3函数的值域是（）（A）（B）[0，4]（C）（D）解析函数是由函数与y=lgu复合而成的。

由知,由y=lgu知，，故所给函数的值域为，应该选C。

例4求函数的值域。

解析函数是由函数复合而成的。

由u的定义域得：。

由，或y>1，故所给函数的值域为。

3．求复合函数的奇偶性（1）若内函数为偶函数，那么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；（2）若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；（3）若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。

除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。

例5判断下列函数的奇偶性。

解析（1）由于内函数为偶函数，据以上结论知f(x)必为偶函数。

解析（2）由于内函数为偶函数，虽外函数是非奇非偶函数，但f(x)仍为偶函数。

例6若f(x)为奇函数，试判断函数的奇偶性。

解析根据以上结论，由于内函数和外函数f(u)都为奇函数，故函数必为奇函数。

例7已知，试判断函数f(x)的奇偶性。