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线性规划知识点总结线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，用于在一定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。
线性规划常被应用于经济、生产、管理等领域，旨在优化资源的利用，实现目标的最大化或最小化。
本文将对线性规划的基本概念、问题建模、解决方法以及应用领域进行总结。
一、基本概念1.1 目标函数目标函数是线性规划的核心部分，通常用来衡量系统的效益。
它是一个关于决策变量的线性函数，其形式可以是最大化或最小化。
1.2 约束条件约束条件用来限制决策变量的取值范围，确保问题的解满足实际情况。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，也可以包含多个条件。
1.3 决策变量决策变量是问题中的未知数，决策者需要根据实际情况确定其取值范围，以达到最优解。
二、问题建模2.1 目标函数的确定根据实际问题确定目标函数，并明确最大化或最小化的目标。
2.2 约束条件的设定根据问题的实际情况，将约束条件转化为线性等式或不等式，并将其表示成一组数学表达式。
2.3 决策变量的确定根据问题的要求，确定决策变量的取值范围，可用数学符号表示。
三、解决方法3.1 图形法图形法是线性规划中最直观的解法，适用于二维或三维线性规划问题。
通过绘制等式或不等式的图形，找出目标函数的最优解。
3.2 单纯形法单纯形法是一种高效的解法，适用于多维线性规划问题。
通过构建初始可行解，通过迭代计算，逐步接近最优解。
3.3 整数规划整数规划是线性规划的扩展，要求决策变量取值为整数。
其求解方法包括分支定界法、割平面法等。
四、应用领域4.1 生产与运作管理线性规划可用于生产计划、物流优化、资源调度等问题，通过最优化资源利用，降低成本、提高效益。
4.2 金融领域线性规划被广泛应用于证券组合优化、资产配置、风险管理等领域，帮助投资者做出最佳投资决策。
4.3 能源与环境管理线性规划用于能源生产、污染物排放控制等问题，通过均衡能源利用，降低环境影响。
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
L INGO9.0 线性规划的求解1、变量不要求是整型max 23z x y =+ 满足43103+5<=12,0x y x y x y +<=⎧⎪⎨⎪≥⎩的最优解。
在LINDO 模式下输入如下命令：max 2x+3yst4x+3y<=103x+5y<12end再选择LINGO|solve 则得解的分析报告：2、整型线性规划若规划中的决策变量要求是整数，只需在输完目标函数和约束条件后加 int 变量名若将模型中前n 个变量都定义为整数型，只需加int n3、0-1型线性规划P66混合泳接力队选拔问题4511min ij ij j i Z c x ===∑∑满足41511,1,2,3,4,51,1,2,3,4ij j ij i xi xj ==≤===∑∑ 的最优解。
第i 个队员的第j 种泳姿的百米最好成绩ij c , ij c 如下表所示可在LINGO9.0中输入min 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14+57.2x21+66x22+66.4x23+53x24+78x31+67.8x32+84.6x33+59.4x34+70x41+74.2x42+69.6x43+57.2x44+67.4x51+71x52+83.8x53+62.4x54subject tox11+x12+x13+x14<=1x21+x22+x23+x24<=1x31+x32+x33+x34<=1x41+x42+x43+x44<=1x11+x21+x31+x41+x51=1x12+x22+x32+x42+x52=1x13+x23+x33+x43+x53=1x14+x24+x34+x44+x54=1endint 20选择LINGO|solve得结果报告：Objective value: 253.2000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost X11 0.000000 66.80000 X12 0.000000 75.60000 X13 0.000000 87.00000 X14 1.000000 58.60000 X21 1.000000 57.20000 X22 0.000000 66.00000 X23 0.000000 66.40000 X24 0.000000 53.00000 X31 0.000000 78.00000 X32 1.000000 67.80000 X33 0.000000 84.60000 X34 0.000000 59.40000 X41 0.000000 70.00000 X42 0.000000 74.20000X43 1.000000 69.60000 X44 0.000000 57.20000 X51 0.000000 67.40000 X52 0.000000 71.00000 X53 0.000000 83.80000 X54 0.000000 62.40000Row Slack or Surplus Dual Price1 253.2000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.000000从结果中得知142132431x x x x====.即甲游自由泳、乙游蝶泳、丙游仰泳、丁游蛙泳。
09 级数学专业《运筹学》复习题 线性规划 一、填空题1. 线性规划模型包括 决策变量 、目标函数 、约束条件 三个要素。
2．线性规划问题的标准形式中， 约束条件取 等式， 目标函数求 最大 _，而所有决策变量 必须 非负 。
3．线性规划问题是求一个 线性目标函数 在一组 线性约束条件 下的最值问题。
4．线性规划问题的可行解是指满足 所有约束条件 _ 的解。
5．在线性规划问题中，基本可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 。
6．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰变量在目标函数中的系数 为正。
7．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其 可行解 的集合中进行搜索即可得到最优解。
8．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的9．图解法适用于含有 两个 _ 决策变量的线性规划问题。
11．在用图解法求解线性规划问题时， 最优解不唯一 。
12. 设线性规划模型的一般形式为 ， 其标准形式为 ， 其典式 。
13将线性规划模型化成标准形式时，” < "的约束条件要在不等式左 _端加入 松弛 变量。
14、 如果某个约束条件是” > "情形，若化为标准形式，需要引入一个 剩余 变量。
15、 线性规划的典式对应的表格表示被称为 单纯形表 。
16、 线性规划的代数解法只要运用了代数消去法的原理实现 基可行解 的转换，寻求最优解。
17、 在线性规划问题中，基变量的系数列向量为 单位列向量。
18、 对于求目标函数极大值而言，人工变量在目标函数的系数应为-1。
19 、对偶问题的对偶问题为 原问题 。
20、在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系数。
21 、在大 M 法中， M 表示充分大的正数。
22、 如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为等式。
23、 在现性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于 0 。
09级数学专业《运筹学》复习题线性规划一、填空题1. 线性规划模型包括决策变量、目标函数、约束条件三个要素。
2．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求最大_，而所有决策变量必须非负。
3．线性规划问题是求一个线性目标函数在一组线性约束条件下的最值问题。
4．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件_ 的解。
5．在线性规划问题中，基本可行解的非零分量所对应的列向量线性无关。
6．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰变量在目标函数中的系数为正。
7．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其可行解的集合中进行搜索即可得到最优解。
8．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点_ 达到。
9．图解法适用于含有两个 _ 决策变量的线性规划问题。
10．求解线性规划问题可能的结果有唯一最优解，无穷多最优解，无界解，无可行解。
11．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得最值的等值线与可行域的一段边界重合，则最优解不唯一。
12. 设线性规划模型的一般形式为，其标准形式为，其典式。
13 将线性规划模型化成标准形式时，"≤"的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。
14. 如果某个约束条件是" ≥ "情形，若化为标准形式，需要引入一个剩余变量。
15. 线性规划的典式对应的表格表示被称为单纯形表。
16、线性规划的代数解法只要运用了代数消去法的原理实现基可行解的转换，寻求最优解。
17、在线性规划问题中，基变量的系数列向量为单位列向量。
18、对于求目标函数极大值而言，人工变量在目标函数的系数应为 -1。
19、对偶问题的对偶问题为原问题。
20、在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系数。
21、在大M法中，M表示充分大的正数。
22、如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为等式。
23、在现性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于 0 。
线性规划问题21. 某工厂生产A、B两种产品，均需经过两道工序，每生产1吨A产品需要经过第一道工序加工2小时，第二道工序加工3小时；每生产1吨B产品需要经过第一道工序加工3小时，第二道工序加工4小时。
可供利用的第一道工序工时为15小时，第二道工序工时为25小时。
生产产品B的同时可产出副产品C，每生产1吨产品B，可同时得到2吨产品C而不需要外加任何费用。
副产品C一部分可以盈利，但剩下的只能报废，报废需要一定的费用。
各项费用的情况为：出售产品A每吨能盈利400元；出售产品B每吨能盈利800元；每销售1吨副产品C能盈利300元；当剩余的产品C报废时，每吨损失费用200元。
经市场预测，在计划期内产品C的最大销量为5吨。
如何安排A、B两种产品的产量可使工厂总的盈利为最大？解：设A 、B 产品的产量分别为21,x x ，C 产品的销售量和报废量分别为43,x x ，金额单位为百元，则 43212384max x x x x z -++=4,3,2,1,05254315320232121432=≥≤≤+≤+=--i x x x x x x x x x i可解得：50,)0,5,5.2,75.3(*==z x T 2.某公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。
甲、乙两种产品的铸造既可以外包协作，也可以自行生产，但丙产品必须本厂铸造才能保证质量。
有关情况的数据如下表。
问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品由本公司铸造和由外包协作各应多少件？（时间单位：小时，金额单位：元）解：设 321,x x x ， 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，54,x x 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数，考虑到获利情况，有5432191371015max x x x x x z ＋＋++=5,4,3,2,1,010000232231200046846800071055432154321321=≥≤++++≤++++≤++i x x x x x x x x x x x x x x i可解得：29400,)600,0,0,0,1600(*==z x T 3.某公司计划要用A 、B 、C 三种原料混合调制出3种不同规格的产品甲、乙、丙，产品的规格要求、单位价格、原料的供应量、原料的单位价格等数据如下表。
该公司应如何安排生产，可使利润最大？解：设ij x 表示第i （1=甲，2=乙，3=丙）种产品中原料j （1=A ，2=B ，3=C ）的含量，)(30)(35)(60)(65)(85)(150max 332313322212312111333231232221131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ++-++-++-++++++++=)%(5013121111x x x x ++≥)%(3513121112x x x x ++≤)%(4023222121x x x x ++≥)%(4523222122x x x x ++≤ )%(3033323131x x x x ++＝ )%(5033323132x x x x ++＝ )%(2033323133x x x x ++＝200312111≤++x x x150322212≤++x x x 100332313≤++x x x 3,2,1;3,2,10==≥j i x ij ，4.评价医院的绩效 评价大众医院、同济医院、协和医院、中心医院四所医院的相对效率，3个输入量：全职非主治医生人数、物料消耗量、可用病床数；4个输出量：开诊日的药物治疗服务、开诊日的非药物治疗服务、接受过培训的护士人数、接受过培训的实习医生人数。
解: 我们以4家医院的输入量和输出量为基础建立一个假设的合成医院,即以4家医院输入量的加权平均数作为合成医院的输入量,而以4家医院输出量的加权平均数作为合成医院的输出量。
以协和医院为例,合成医院的所有输出量必须大于等于协和医院的输出量。
合成医院的所有输入量小于等于协和医院的输入量的E倍，E称为效率指数，E=1时，表示合成医院的输入量等于协和医院的输入量；E>1时, 表示合成医院的输入量大于协和医院的输入量;E<1时, 表示合成医院的输入量小于协和医院的输入量。
如果合成医院的输入量小于协和医院的输入量，则表示合成医院以较少的输入获得比协和医院更大的输出，显示合成医院比协和医院有更高的效率，即协和医院比合成医院效率要低，由于合成医院是建立在4家医院的基础上的，所以可以认为协和医院比其他医院也低效。
设 4321,,,x x x x 分别表示大众医院、同济医院、协和医院、中心医院输入量和输出量对应的权重，则E min14321=+++x x x x72.3616.3372.3662.3414.484321≥+++x x x x98.4546.5698.4511.2710.434321≥+++x x x x1751601751482534321≥+++x x x x23842327414321≥+++x x x xE x x x x 2752102751622854321≤+++E x x x x 50.34810.15450.34870.12880.1234321≤+++E x x x x 10.10404.10410.10421.6472.1064321≤+++ 0,,,,4321≥E x x x x解得：905.0,)527.0,0,260.0,212.0(==E x T 合成医院的每一个输入量和输出量都是由大众医院、同济医院、中心医院这3家医院的加权平均数得到的。
协和医院的效率得分是0.905,表示合成医院获得与协和医院相同的输出量,只需使用协和医院90.05%的输入量,因此,合成医院是高效的, 而协和医院是相对低效的.通过分析松弛变量,还可得出:合成医院还能提供多于协和医院1.6个护士培训和37个实习医生培训,合成医院只使用了相当于协和医院90.05%的病床数、全职非主治医生、物料消耗。
5.某工厂生产甲,乙两种产品,生产单位产品所需要的原材料及占用设备台时如下表.该工厂每天拥有设备台时为10,原材料最大供应量为每天11千克,已知生产每单位甲种产品可获利润为8000元, 甲种产品为10000元,工厂在安排生产计划时,有如下考虑:(1)根据预测,产品甲销售量有下降趋势,故决定产品甲的生产量不超过产品乙的生产量;(2)尽可能不超过计划使用原材料,因为超计划后,需高价采购原材料,使成本增加;(3)尽可能充分利用设备,但不希望加班;(4)尽可能达到并超过计划利润56000.解: 设 甲,乙的产量分别为21,x x ,-+-+-++++++=4433322211)()(min d p d d p d d p d p z01121=-+-+-d d x x 1122221=-+++-d d x x 1023321=-+++-d d x x560001000080004421=-+++-d d x x0,≥d x6.某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时,考虑:(1)年工资总额不超过600000元;(2)每级的人数不超过定编规定的人数;(3)二,三级的升级面尽可能达到现有人数的20%,三级不足编制的人数可录用新职工,又一级的职工中有10%要退休. 有关资料见下表,该领导应如何拟定一个满意的方案.解:设321,,x x x 分别表示提升到一,二,级和录用到三级的新职工的人数,)()(min 653432211--+++++++++=d d p d d d p d p z60)15(1)12(5.1)1.01010(21132211=-++-⨯++-++⨯-+-d d x x x x x12)1.01(10221=-++-+-d d x15123321=-++-+-d d x x15154432=-++-+-d d x x2.012551⨯=-++-d d x2.015662⨯=-++-d d x0,≥d x7.最速下降法(1).)(min X f z = ,Tn x x x X ),,,(21⋅⋅⋅=)(,)()()()()1(k k k k k k Xf ddXX-∇=+=+λ其中 1()(x fX f ∂∂=∇,2x f ∂∂,Tx f )2∂∂⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂∂∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂∂=∇222212122122122)(n n n nx f x x f x x f x x f x x f x f X f k k k Xf f λλmin )()()1(⇒=+当ε<∂∂+⋅⋅⋅+∂∂=∇221)()()()(nk x f x f Xf 时,)1(*+=k X X(2) )(min X f z =l j X g mi X h j i ,,2,1,0)(,,2,1,0)(⋅⋅⋅=≥⋅⋅⋅== 令∑∑==++=lj j mi i X g M X h M X f M X p 1212)](,0[min()()(),(求 ),(min M X p z =8.牙膏市场调研与分析一.问题某牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场,要求销售部门进行市场调查,找出本企业牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，预测出在不同价格和广告费用下的销售量。
销售部门收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）的有关数据如下表。
试建立模型进行分析，为制定价格策略和广告投入策略提供依据。
二.分析与假设在购买同类产品时,顾客会在意不同评牌的价格差异,而不是价格本身,故引入价格差. 设牙膏销售量为y ,价格差为1x ,广告投入为2x ,其他厂家平均价格为3x ,本厂销售价格为4x ,画出y 对1x 的散点图和y 对2x 的散点图, 可见, y 对1x 有明显的线性增加关系, y 对2x 有向上弯曲增加关系,三.模型建立与求解模型1220112232,(0,)y x x x N ββββεεσ=++++直接利用MATLAB 求解, 置信水平0.05α=20.9054,82.9409,0.0000===R F P四.结果分析20.9054,R=表明销售量的90.54%可由模型确定,Fα,模型基本可用.远超过临界值,P远小于存在缺陷: 2β的置信区间包含零点,表明该项影响不太显著.预测:若维持价格差为0.2元,投入6.5百万元广告费,销售量将达到8.2933百万支;其置信度为95%的预测区间是[7.8230,8.7636],预测上限可作为库存管理目标,预测下限可作为回收资金的估计,如定价3.70元,其他厂家平均价格3.90元,回收资金至少29百万元.五.模型改进 考虑交互作用, 模型2220112232412,(0,)y x x x x x N βββββεεσ=+++++直接利用MATLAB 求解, 置信水平0.05α=20.9209,72.7771,0.0000R F P ===2R 有所提高,置信区间不包含零点,,故模型2更好. 预测:若维持价格差为0.2元,投入6.5百万元广告费,销售量将达到8.3272百万支;其置信度为95%的预测区间是[7.8953,8.7592],区间更短.取价格差1x =0.1和0.3时,由模型20.30.1222.22680.295507.5357y y x x -=->⇒<即广告费不超过大约7.5百万时,价格优势会使销售量增加.9.饮料公司开发了一新配方,如果多数顾客喜欢则进行投产,如果不喜欢,而喜欢原配方饮料,则不生产新配方饮料.为此公司准备邀请100名顾客品尝,目的是比较新、原配方饮料哪个口感好。
