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管理运筹学-02-3线性规划的单纯形表

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管理运筹学_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

管理运筹学_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

管理运筹学_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.需求为随机的单一周期的报童问题是要解决（）的问题。

答案:期望损失最小2.在经济订购批量存储模型的灵敏度分析中，当订货费或存储率预测值有误差时，该选择何种存储策略（）。

答案:选择原最优存储策略3.下例错误的结论是（）答案:检验数就是目标函数的系数4.在报童所订购报纸的模型中，下列哪些不等式不符合最优数量 Q*求解的是（）。

答案:__5.【图片】的可行域是（）：答案:6.根据最大最大原则为以下问题选出最优行动方案？【图片】答案:S27.A工厂生产同一规格的设备，每季度的单位成本依次是1万元、1.2万元、1.3万元、1.5万元。

设备当季度卖出不产生任何存储、维护费用，若积压一季度需存储、维护费用0.05万元，则设备的单位费用（单位：万元）为：答案:8.存储论要解决的问题是：答案:何时补充物资。

_当需要补充物资时，补充的数量是多少。

9.根据动态规划的时间参量是连续的还是离散的、决策过程的演变过程是确定性的还是随机性的，可以将动态规划的决策过程分为哪些决策过程：答案:离散随机性_连续随机性_离散确定性_连续确定性10.下列成本中属于存储成本的是：答案:购买物资所用资金的利息。

_仓库管理人员的劳务费。

_储存仓库的费用。

11.对偶价格小于0时，约束条件的常数项增加一个单位，则对于求min目标函数的线性规划，其最优值的数值会增大。

答案:正确12.关于线性规划的最优解判定，说法不正确的是（）答案:求目标函数最大值时，如果所有检验数都小于等于零，则有唯一最优解13.求目标函数值最小的线性规划单纯形表的大M法，在约束条件中加入人工变量是（）答案:为了构造约束系数矩阵中的单位矩阵14.求解目标函数值最大的线性规划问题中，在确定出基变量的时，根据minbi/ aij选取入基变量的原因是（）答案:确保下一步迭代新得到的bj值都≥015.关于线性规划的原问题和对偶问题的关系，两个问题的最优解的值一致。

管理运筹学判断题背诵讲义

管理运筹学判断题背诵讲义

管理运筹学判断题背诵讲义第一章 线性规划与单纯形表a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同,但从几何上理解,两者是一致的； b) 线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大；c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点； d)如线性规划问题存在可行域，则可行域定包含坐标的原点；e)对取值无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-其中'j x ≥0,''j x ≥0,在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现'j x >0，''j x >0；f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与j σ>0对应的变量都可以被选作换人变量；g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；h) 单纯形法计算中,选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从 单纯形表中删除,而不影响计算结果；j)线性规划问题的任-可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；k)若X 1,X 2分别是某一线性规划问题的最优解则X=1λX 1 +2λX 2也是该线性规划问题的最优解，其中1λ，2λ可以为任意正的实数；1)线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为 minz=ai ix ∑(ai x 为人工变量)，但也可写为minz=i ai ik x ,只要所有k i ,均为大于零的常数； m)对一个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题,其可行域的顶点恰好为m n c 个；n) 单纯形法的迭代计算过 程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解；o)线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解定是基可行解；p)若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值,则该顶点处的目标函数值达到最优；r) 将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“一”号,将使问题的最优目标函数值得到改善；s)线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值:t)一个企业利用3种资源生产4种产品建立线性规划模型求解得到的最优解中最多只含有3种产品的组合；u)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解； v)一个线性规划问题求解时的选代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。

运筹学单纯形法

运筹学单纯形法

单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4

3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1

运筹学单纯形表法详细步骤

运筹学单纯形表法详细步骤

运筹学单纯形表法详细步骤概述运筹学是一门研究最优决策问题的学科，它通过数学建模和优化方法，寻找最佳解决方案。

运筹学的单纯形表法是一种常用的线性规划求解方法，通过构造单纯形表，逐步迭代求解最优解。

本文将详细介绍运筹学单纯形表法的步骤和算法原理。

单纯形表法步骤单纯形表法的基本思想是通过构造单纯形表，逐步迭代优化目标函数的值，直到找到最优解。

第一步：标准化线性规划问题将线性规划问题转化为标准型，使得约束条件为等式形式，目标函数为最小化形式。

标准型的形式如下：Minimize C1x1+C2x2+⋯+C n x nSubject to A11x1+A12x2+⋯+A1n x n=b1A21x1+A22x2+⋯+A2n x n=b2…A m1x1+A m2x2+⋯+A mn x n=b mx1,x2,…,x n≥0第二步：构造初始单纯形表根据线性规划问题的标准型，构造初始单纯形表。

初始单纯形表由约束系数矩阵、目标系数向量、约束条件向量和松弛变量构成。

约束系数矩阵的形式为：A=[A11A12...A1n100 0A21A22...A2n010 0⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋮A m1A m2...A mn000 (1)]目标系数向量的形式为：C=[C1C2…C n000…0]约束条件向量的形式为：B=[b1b2…b m]第三步：确定初始解和基变量根据初始单纯形表，确定初始解和基变量。

基变量是与单位矩阵的列向量对应的变量，它们的取值为约束条件向量的值。

第四步：计算单纯形表中的各项值根据初始解和基变量，计算单纯形表中的各项值。

包括各变量的价值系数、约束条件的值，以及各松弛变量的值。

第五步：检查最优解检查单纯形表中目标系数行是否存在负数。

如果存在负数，则继续迭代；如果都为非负数，则找到最优解。

第六步：确定入基变量在目标系数行中选择最小的负数，确定进入基变量。

第七步：计算离基变量根据进入基变量，计算离开基变量。

离开基变量是通过计算变量的约束条件值除以进入基变量的列中对应的非零元素，找到最小的非负数所在行，确定离开基变量。

运筹学第2章 单纯形法

运筹学第2章 单纯形法

所有检验数 j 0 ，则这个基本可行解是最优解。
n
z z0 j x j
j m 1
m
j ciaij c j =CTBa j c j
i 1
m
m
z0 c j x j = cibi =CBT b
j 1
i 1
✓对于求目标函数最小值的情况，只需 σj≤0
0
XB
b
x1
-1 x5 0
0
0 x4 3
1
-3 0
0
00
x2
x3
x4
0
-2 0
2
-2 1
0 10
-1 bi/aik
x5
1
0
0
29 2020/3/4
2、无界解
在求目标函数最大值的问题中，所谓无界解是指在约束条件 下目标函数值可以取任意的大。
•存在着一个小于零的检验数，并且该列的系数向量的每个元素 都小于或等于零，则此线性规划问题是无界的，一般地说此类
2x1 x2 x3 x5 2
s.t. x1 2x2
x4
3

x1,
x2 , x3, x4 , x5 0
✓添加人工变量x5来人为的创造一个单位矩阵作为基 ✓M叫做罚因子，任意大的数。 ✓人工变量只能取零值。必须把x5从基变量中换出去，否 则无解。
cj
3
2
00
CB XB
2020/3/4
14
(2)出基变量和主元的确定——最小比值规则
min

bi aik
aik

0


bl alk
确定出基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数

管理运筹学课后答案

管理运筹学课后答案

2.2 将下列线性规划模型化为标准形式并列出初始单纯形表。

（1）123123123123123min 243221943414..524260,0,z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++-++≤⎧⎪-++≥⎪⎨--=-⎪⎪≤≥⎩无约束 解：（1）令11333','",'x x x x x z z =-=-=-，则得到标准型为（其中M 为一个任意大的正数）12334567123341233561233712334567max '2'24'4''003'22'2''194'34'4''14..5'24'4''26',,','',,,,0z x x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-++-++--++-+=⎧⎪++--+=⎪⎨++-+=⎪⎪≥⎩初始单纯形表如表2-1所示：表2-1c j-22 4-4 0 0 -M -M θC B X B b 1'xx 2 3'x3''xx 4 x 5 x 6 x 7 0 x 4 19 3 2 2 -2 1 0 0 0 19/3 -M x 6 14 [ 4 ] 3 4 -4 0 -1 1 0 14/4 -Mx 7 265 2 4-40 0 0 1 26/5 -z-2+9M2+5M4+8M -4-8M-M2.3 用单纯形法求解下列线性规划问题。

（1）123123123123123max 2360210..220,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤⎧⎪-+≤⎪⎨+-≤⎪⎪≥⎩ （2） 1234123412341234min 52322347..2223,,,0z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+++++≤⎧⎪+++≤⎨⎪≥⎩解：（1）最优解为**(15,5,0),25T x z ==。

《管理运筹学》02-1线性规划的数学模型及相关概念

《管理运筹学》02-1线性规划的数学模型及相关概念

03 线性规划的求解方法
单纯形法
1
单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法， 其基本思想是通过不断迭代来寻找最优解。
2
单纯形法的基本步骤包括：建立初始单纯形表格、 确定主元、进行基变换、更新单纯形表格和判断 是否达到最优解。
3
单纯形法在处理大规模线性规划问题时，由于其 迭代次数与问题规模呈指数关系，因此计算量较 大。
06 线性规划的案例分析
生产计划问题
总结词
生产计划问题是一个常见的线性规划应用场景，通过合理安排生产计划，企业可以优化资源利用，降低成本并提 高利润。
详细描述
生产计划问题通常涉及确定不同产品组合、生产数量、生产批次等，以满足市场需求、资源限制和利润目标。线 性规划模型可以帮助企业找到最优的生产计划，使得总成本最低或总利润最大。
最优性条件由单纯形法推导得出，是判断线性规划问题是否达到最优解的 重要依据。
解的稳定性
解的稳定性是指最优解在参数变化时保持相对稳定的能力。
在实际应用中，由于数据的不确定性或误差，参数可能会发生变化。因此，解的稳 定性对于线性规划问题的实际应用非常重要。
解的稳定性取决于目标函数和约束条件的性质，以及求解算法的鲁棒性。在某些情 况下，可以通过敏感性分析来评估解对参数变化的敏感性。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
目标函数是需要最大或最小化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是问题中给定的限制条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$ 或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。

线性规划的单纯形表

线性规划的单纯形表

21 / 5 3 14 / 5 2
8/5 4 2 /5
旋转运算
>0，最优！ X*=(1,3/2,0,0), Z*=35/2
(3)
单纯形表
例5
引进松弛变量，标准化并初始单纯形表：
Cj 1 2 1 0 0 0
x2进基
(1)
[ ]
X5 离 基
12 / 1
18 / 3
24 / 1
单纯形表
Cj 1 2 1 0 0 0
z CB X B CB B1b
(2)从当前的非基变量中选取一个xk ,使xk的值由 当前的值0开始增加，其余非基变量的值均保持零值 不变。如果任何一个非基变量的值由0增加时，目标 函数都不能增加，则当前的基已经是最优基。
用向量矩阵描述单纯形法原理
基于向量矩阵的单纯形法基本思路： (3)当xk的值由0开始增加时，当前各基变量的 值也会随之变化： 1) 当 xk 的值增加时，某些基变量的值随之减 小，则必定有一个基变量xr的值在xk的增加过程中 首先降为 0。这时，这个基变量xr成为非基变量， 而非基变量xk进基成为基变量，相应地， xk在矩阵 A中相应（不在基 B中）的列向量pk将取代基变量 xr 在基B 中的列向量 pr 。此时基变换后的目标函数 值必定大于原目标函数值。
最小比值 法！
单纯形表
Cj 2 3 0 0
x1进基
b1 1 2 a11 0 .5
b2 a21 2 4 0.5
(2)
[
]
X3 离 基
旋转运算
>0，最优！ X*=(2,1,0,0), Z*=7
(3)
单纯形表
例2
列出以x3、x4为基变量的单纯形表如下。

运筹学线性规划与单纯性表法详解

运筹学线性规划与单纯性表法详解

原料B约束：0x1 4x2 12
变量非负约束：x1 0，x2 0
3
Step 3: 给出目标函数
max Z 2x1 3x2
Step 4: 整理数学模型
OBJ : max Z 2 x1 3 x2
x1
s.t .
4
x1
2x2 8 16
4 x2 12 x1 , x2 0
说明：OBJ 表示Objective;
x1 2 x2 x4 ()100
s.t
.3
2x3 x1 x2Βιβλιοθήκη 2 x4 2 x3
x5 3
()100 x5 ()100
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
6
根数最少的LP模型：
OBJ : MinZ x1 x2 x3 x4 x5
x1 2 x2 x4 ()100
行平移，若它与可行域S最后交于一个点（一般是S的一个 顶点），则该点就是所求的最优点，若与S的一条边界重合， 此时边界线上的点均是最优点 • 4．将最优点所在的两条边界线所代表的方程联立求解，即 得最优解X*，把最优解X*带入目标函数，得最优值Z*=CX* • 注意：若是求目标函数最小值，等值线向反方向移动
根据这一原理，对于最小化问题min Z CX，
令Z Z，可转换成max Z CX。求出最优解后，
最大化问题的最优目标函数值变号即为最小化问题
的最优目标函数值。
28
（2）不等式约束条件转换成等式约束条件
若 aij x j bi aij x j xn1 bi , xn1 0为松弛变量
xj 0,j 1,2,3
Min z 2 x1 3 x2 x3
x1 x2 x3 3 s.t . x1 4 x2 7 x3 9

运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法

运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法

方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。

管理运筹学整理答案(DOC)精选全文完整版

管理运筹学整理答案(DOC)精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版第二章2.5 表2-3为用单纯形法计算时某一步的表格。

已知该线性规划的目标函数为12max 53z x x =+，约束形式为≤，34,x x 为松弛变量，表中解代入目标函数后得10z =。

(1)求a ~g 的值；(2)表中给出的解是否为最优解。

解：a=2,b=0,c=0,d=1,e=4/5,f=0,g=5；表中给出的解为最优解。

2.6 表2-4中给出某求最大化线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，45,x x 为松弛变量，求表中a ~l 的值及各变量下标m ~t 的值。

解：a=-3,b=2,c=4,d=-2,e=2,f=3,g=1,h=0,i=5,j=-5,k=3/2,l=0；变量的下标为m—4,n—5,s—1,t—62.10 下述线性规划问题：要求根据以上信息确定三种资源各自的影子价格。

2.11 某单位加工制作100套工架，每套工架需用长为2.9m 、2.1m 和1.5m 的圆钢各一根。

已知原材料长7.4m 。

问如何下料使得所用的原材料最省？解：简单分析可知，在每一根原材料上各截取一根2.9m,2.lm 和1.5m 的圆钢做成一套工架，每根原材料剩下料头0.9m ，要完成100套工架，就需要用100根原材料，共剩余90m 料头。

若采用套截方案，则可以节省原材料，下面给出了几种可能的套截方案，如表2-5所示。

实际中，为了保证完成这100套工架，使所用原材料最省，可以混合使用各种下料方案。

设按方案A,B,C,D,E 下料的原材料数分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5，根据表2-5可以得到下面的线性规划模型123451243451235min 00.10.20.30.8210022100..3231000,1,2,3,4,5i z x x x x x x x x x x x s t x x x x x i =++++++=⎧⎪++=⎪⎨+++=⎪⎪≥=⎩用大M 法求解此模型的过程如表2-6所示，最优解为：x *=(0,40,30,20,0)T ，最优值为z*=16。

第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件

第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段 是在原问题中去除人工变量，并从此可行解（第一阶段的 最优解）出发，继续寻找问题的最优解。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。

《管理运筹学》求解线性规划的单纯形法

《管理运筹学》求解线性规划的单纯形法

– 基变量在目标函数中的系数为0
– 非基变量在目标函数中的系数<=0.
（注意：目标函数形式 z = 2x1 + 3x2）
– 若目标函数为方程形式：
检验数
z - 2x1 - 3x2=0，则需非基变量的系数>=0
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤1：确定移动的方向
确定进基变量
例：z = 2x1 + 3x2 – 选择 x1 ？Z的增长率=2 – 选择 x2 ？Z的增长率=3 – 3＞2，选择x2！
• 进基变量的选择：
检验数的 绝对值哦
~~~
– 选择非基变量的系数最大的！
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤2：确定在何处停下 – 增加x2 的值， x1 =0
• 选择单元阵作为初始基：
1 1 1 0
A 1
2
0
1


(a1
,
a2
,
a3
,
a4
)
1 0
B


0
1


(a3
,
a4
)
令非基变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
求解线性规划的单纯形法
Q2：最优性检验
• 非最优：增加非基变量的值，可以使 得目标函数Z值增加
x1,
x2,
x3,
=1 +x4 =2 x4 ≥0
然后确定初始基本可行解
X0 = (0, 0, 1, 2)T z0 = 0
最优性检验：一切σj ≥ 0 ？
当前解 X0 非优； 须由X0 转化为另一个基本可行解 X1。 思路：让X0 中的一个非基变量进基，去替换原来的一个基变量（离基）。

《管理运筹学》02-3线性规划的单纯形表

《管理运筹学》02-3线性规划的单纯形表
对于某些问题，单纯形法可能会陷入局部最优解而非全局最优解，因 此选择合适的初始解对求解结果有很大影响。
03
单纯形表
单纯形表的构造
目标函数系数
列出线性规划问题的目标函数系数，表示各 个变量的权重。
约束条件系数
列出线性规划问题中所有约束条件的系数， 表示约束条件对变量的限制。
常数项
列出线性规划问题中所有约束条件的常数项， 表示约束条件的边界。
3
线性规划问题的数学模型通常由目标函数、约束 条件和决策变量组成，通过求解这个数学模型， 可以得到最优解。
02
线性规划的单纯形法
单纯形法的原理
线性规划问题
01
在满足一系列线性约束条件下，寻找一组变量的最优解，使得
线性目标函数达到最大或最小值。
单纯形法的基本思想
02
通过迭代的方法，不断寻找可行解，并逐步逼近最优解。
感谢您的观看
THANKS
约束条件优化
根据实际问题的需求，对约束条件进行优化和调整，以更 好地满足问题的要求。
04
线性规划的案例分析
案例一：生产计划问题
总结词
生产计划问题是一个典型的线性规划问题，通过合理安排生产计划，实现资源的最优配置和利润的最 大化。
详细描述
生产计划问题通常涉及到确定生产什么产品、生产多少以及如何生产等问题。在数学模型中，目标函 数通常表示为利润最大化，约束条件则包括资源限制、时间限制等。通过线性规划方法，可以找到最 优的生产计划，使得在满足约束条件下实现利润最大化。
变量下标
列出线性规划问题中所有变量的下标，表示 每个变量在模型中的位置。
单纯形表的解读
目标函数解读
根据目标函数系数，可以判断线 性规划问题的优化方向，是最大 化还是最小化目标函数。

线性规划的单纯形表课件

线性规划的单纯形表课件

线性规划的单纯形表课件线性规划是优化理论中的一个重要组成部分，其求解方法主要包括两大类：直接法（如高斯消元法、追赶法等）和迭代法（如单纯形法）。

在这里，我将重点介绍单纯形法，并以单纯形表的课件形式呈现。

一、单纯形法概述单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代方法，其基本思想是在可行域中寻找一个具有最优解的点。

具体而言，单纯形法通过在可行域中不断移动一个超平面，使得目标函数的值在每次迭代中都得到优化。

最终，当无法再优化目标函数时，得到的解即为最优解。

二、单纯形表的结构单纯形表是单纯形法的一种表格形式，用于记录每一步迭代的信息。

其主要内容包括：迭代次数、当前目标函数值、当前可行域的边界信息以及用于下一步迭代的超平面信息等。

三、单纯形表的解读解读单纯形表需要注意以下几点：1.迭代次数：表示进行了多少次迭代，从表中可以看出，每次迭代都会优化目标函数值。

2.目标函数值：表示每次迭代后的目标函数值，从表中可以看出，随着迭代的进行，目标函数值逐渐减小。

3.边界信息：表示当前可行域的边界条件，即满足所有约束条件的解的集合。

4.入基和出基变量：表示在每次迭代中，哪些变量被选中进入或离开可行域。

入基变量是那些被选中进入可行域的变量，出基变量则是那些被选中离开可行域的变量。

5.最优解目标函数值和最优解x1, x2, , xn：表示最终得到的最优解及其对应的目标函数值。

从表中可以看出，随着迭代的进行，目标函数值逐渐减小，最终得到最优解及其对应的目标函数值。

四、单纯形表的制作步骤制作单纯形表需要遵循以下步骤：1.确定初始可行解和初始单纯形表。

2.进行迭代，每次迭代都包括入基和出基两个步骤。

入基步骤中选中进入可行域的变量，出基步骤中选中离开可行域的变量。

3.根据选中的入基和出基变量更新单纯形表。

4.检查是否达到停止条件，如迭代次数达到预设值或目标函数值已经达到最优解。

若未达到停止条件，则返回第二步；若达到停止条件，则得到最终单纯形表及最优解。

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用向量矩阵描述单纯形法原理
基于向量矩阵的单纯形法基本思路：
2)当xk的值增加时，所有基变量的值都随之 增加，则不会有任何基变量出基，这时xk值的增 加没有任何限制。此时可行域无界，即目标函数 无界。
(4)重复步骤(2)和(3)，就一定可以获得最优 基或确定目标函数无界。
用向量矩阵描述单纯形法原理
BB
NN
BX NX b
B
N
X ,X 0
B
N
需要变
系 数
z
XB
成0！
XN
RHS
矩
1 C
C
0
阵
B
N
0
B-1 B
= CBE
CB B-1 N
CBB-1b
与基B对应的单纯形表
单纯形表
目标函 数值
基变量的
目标函数
系数
令 CB1pz
B
j
j
则检验数σj可以记为
C B B 1 N C N
单纯形法的几何意义： 从几何意义方面解释，单纯形法就是在可行
域的边界上，沿着相邻的极点进行搜索的一种算 法。所谓相邻的极点，就是每次只有一个变量进 基，一个变量出基转换前后所对应的基本可行解。 我们把这两个基本可行解所对应的两个基称为 “相邻的”基。
单纯形表
根据单纯形法的向量矩阵描述，可得：
zC X C X 0
基础解 X

XXNB


B1b 0
CBB-1N-CN>=0：任意非基变量进基，目标函数 值减少，当前解已经是最优解。
检验数！
变量xj的检验数： j
用向量矩阵描述单纯形法原理
基于向量矩阵的单纯形法基本思路： (1)取得初始可行基B、相应的基本可行解
X


XB

a12
1
b2 2 2
a 22
1
x1进基
Cj
-2
2
0
0
(2)
X4
[
]
离 基
单纯形表
最优解X1=(0,1,0,1)T， z’=2

b2 1 1
a 21
1
(3)
最优解X2=(1,2,0,1)T，
z’=2
最优解X=t X1+(1-t) X2=(1-t,2-t,0,t)T，(0≤t≤1)
单纯形表
基
旋转运算
(3)
单纯形表
x1进基
b1 a11

1 0.5
2
b2 a21

2 0.5
4
>0，最优！
X*=(2,1,0,0), Z*=7
单纯形表
例2
列出以x3、x4为基变量的单纯形表如下。
Cj
1
2
0பைடு நூலகம்
0
(1)
X3
[ ]离
基
x2进基
b1 1 1
a12
1
b2 2 2
a 22
1
x1进基 (2)
(3)
最优解为x1=0，x2=3，x3=9，x4=0，x5=0，x6=12， max z=15
单纯形算法流程图
单纯形表
例4
列出以x3、x4为基变量的单纯形表如下。
x1进基
Cj
10
5
0
0
(1)
[
]
X4 离
基
b1 9 3
a12
3
b2 8 1.6
a21
5
Cj
10
5
0
0
(2)
X3
[ ]离
基
旋转运算
(3)
单纯形表
x2进基
b1 a12

21 / 5 14 / 5

3 2
b2 a22

8/5 2/5

4
>0，最优！
X*=(1,3/2,0,0), Z*=35/2
单纯形表
例5
引进松弛变量，标准化并初始单纯形表：
Cj
1
2
1
0
0
x2进基
0
(1)
X5
[ ]离
基
12 / 1 18 / 3
24 / 1
Cj
(2)
单纯形表
1
2
1
0
0
0
x3进基
X4
[ ]离
基
6 2/3
6 1/ 3
18 2/3
z=CBB-1b(CBB-1N-CN)XN
并设 B PB1, PB 2 , , PBm 是A的一个基。
则 A [ B , N ] ，相应地，向量X 和C 可以记为
X XXN B, C CB,CN
用向量矩阵描述单纯形法原理
z=CBB-1b-(CBB-1N-CN)XN XN=0
XN

B1b 0
及对应的目标函数值
z CBXB CBB1b
(2)从当前的非基变量中选取一个xk ,使xk的值由 当前的值0开始增加，其余非基变量的值均保持零值
不变。如果任何一个非基变量的值由0增加时，目标 函数都不能增加，则当前的基已经是最优基。
用向量矩阵描述单纯形法原理
zj c j

单纯形表
单纯形表
例1
列出以x3、x4为基变量的单纯形表如下。
(1)
Cj
2
3
0
0
旋转运算
X4
[ ]离
基
z2-c2=-3< z1-c1=-2 ，x2为进基变量
最小检验 数规则！
b1 3 3
a12
1
b2 4 2
a 22
2
最小比值 法！
Cj
(2)
2
3
0
0
X3
[ ]离
Simplex Method 第二节 单纯形法
一、单纯形法原理及步骤 二、用向量矩阵描述单纯形法原理 三、单纯形表 四、两阶段法和大M法 五、退化和循环
用向量矩阵描述单纯形法原理
设标准的线性规划问题为
max z = CX
CBXB+CNXN
AX=b s.t. X≥0
BXB+NXN=b
XB=B-1b-B-1NXN
基于向量矩阵的单纯形法基本思路： (3)当xk的值由0开始增加时，当前各基变量的
值也会随之变化：
1)当xk的值增加时，某些基变量的值随之减 小，则必定有一个基变量xr的值在xk的增加过程中 首先降为0。这时，这个基变量xr成为非基变量， 而非基变量xk进基成为基变量，相应地， xk在矩阵 A中相应（不在基B中）的列向量pk将取代基变量 xr在基B中的列向量pr。此时基变换后的目标函数 值必定大于原目标函数值。
Cj
1
20
0
X4 离
[ ]基
x3进基
(3)
单纯形表

b2 1 1
a 21
1
能确定进基变 量，无法确定 离基变量
目标函数 无界！
单纯形表
例3
标准化（加入松弛变量x3、x4，z’=-z）后，列出以x3、x4为 基变量的单纯形表如下。 x2进基
Cj
-2
2
0
0
(1)
X3
[ ]离
基
b1 1 1