2021高一数学寒假作业同步练习题：平面向量的数量积

平面向量数量积练习题一、选择题A. 向量a与向量b平行B. 向量a与向量b垂直C. 向量a与向量b长度相等D. 向量a与向量b的方向相同2. 若向量a=(2, 3)，向量b=(1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 7B. 7C. 8D. 83. 已知向量a和向量b的夹角为60°，|a|=4，|b|=3，则向量a 与向量b的数量积为：A. 6B. 12C. 18D. 24二、填空题1. 已知向量a=(x, y)，向量b=(3, 2)，若a·b=6，则x的值为______。

2. 若向量a和向量b的夹角为θ，|a|=5，|b|=4，且a·b=8，则cosθ的值为______。

3. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(m, 4)，若向量a与向量b的数量积为10，则m的值为______。

三、解答题1. 已知向量a=(3, 4)，向量b=(2, 1)，求向量a与向量b的数量积。

2. 已知向量a和向量b的夹角为45°，|a|=√2，|b|=2，求向量a与向量b的数量积。

3. 已知向量a=(x, y)，向量b=(y, x)，若向量a与向量b的数量积为10，求x和y的值。

4. 已知向量a=(2, 1)，向量b=(k, 3)，若向量a与向量b的数量积为5，求k的值。

5. 已知向量a和向量b的夹角为θ，|a|=3，|b|=4，且a·b=6，求cosθ的值。

6. 已知向量a=(4, 5)，向量b=(x, 3)，若向量a与向量b的数量积为23，求x的值。

7. 已知向量a=(x, 2)，向量b=(3, y)，若向量a与向量b的数量积为12，求x和y的值。

四、判断题1. 若向量a和向量b的数量积为0，则向量a与向量b一定垂直。

（）2. 向量a=(1, 0)与向量b=(0, 1)的数量积为1。

（）3. 已知向量a=(2, 1)，向量b=(2, 1)，则向量a与向量b的数量积为5。

平面向量的数量积与向量积练习题在学习平面向量的数量积与向量积时，练习题是非常重要的。

通过解决练习题，我们可以更好地理解和掌握相关的概念与计算方法。

下面是一些平面向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家提高解题能力。

1. 给定平面向量a = (2, -3)和b = (5, 1)，计算a·b和|a × b|。

解法：首先，我们知道a·b的计算公式为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b的夹角。

|a × b|的计算公式为|a × b| = |a||b|sinθ。

根据向量a和b的坐标，我们可以计算得到：a·b = 2*5 + (-3)*1 = 10 - 3 = 7|a × b| = √[(2*1 - (-3)*5)^2 + ((-3)*5 - 2*1)^2] = √[11^2 + (-17)^2] = √(121 + 289) = √410 ≈ 20.25所以，a·b = 7，|a × b| ≈ 20.25。

2. 已知平面向量a和b的模长分别为3和6，且a·b = -12，求向量a 与向量-b的夹角。

解法：根据a·b = |a||b|c osθ的计算公式，我们可以得到cosθ = a·b / (|a||b|)。

代入已知条件，可以计算得到cosθ = -12 / (3*6) = -12 / 18 = -2 / 3。

由于向量a和向量-b具有相同的模长，且夹角为θ和π-θ，则向量a 和向量-b的夹角为θ = arccos(-2 / 3) ≈ 2.3 radians。

3. 平面向量a = (1, 2, 3)和b = (-4, 5, 6)，求向量a × b。

解法：向量a × b的计算公式为：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3,a1b2 - a2b1)。

平面向量数量积练习题一、选择题1. 平面向量的数量积（点积）具有以下哪个性质？A. 交换律B. 分配律C. 可结合律D. 所有选项都正确2. 向量\( \vec{a} \)和向量\( \vec{b} \)的数量积等于：A. \( \vec{a} + \vec{b} \)B. \( \vec{a} \times \vec{b} \)C. \( \vec{a} \cdot \vec{b} \)D. \( \vec{a} / \vec{b} \)3. 已知向量\( \vec{a} = (3, 4) \)和向量\( \vec{b} = (-1, 2) \)，求它们的数量积：A. 5B. 10C. 14D. 24. 若向量\( \vec{a} \)和向量\( \vec{b} \)的数量积为0，则它们：A. 垂直B. 平行C. 共线D. 长度相等5. 向量\( \vec{a} \)和向量\( \vec{b} \)的数量积的几何意义是：A. 向量\( \vec{a} \)的长度B. 向量\( \vec{b} \)的长度C. 向量\( \vec{a} \)在向量\( \vec{b} \)上的投影长度D. 向量\( \vec{a} \)和向量\( \vec{b} \)的夹角二、填空题6. 若向量\( \vec{a} \)和向量\( \vec{b} \)的数量积为\( 15 \)，且\( |\vec{a}| = 5 \)，\( |\vec{b}| = 3 \)，则它们之间的夹角为________。

7. 向量\( \vec{a} = (2, -3) \)和向量\( \vec{b} = (4, 6) \)的数量积是________。

8. 若向量\( \vec{a} \)和向量\( \vec{b} \)的数量积为\( -6 \)，且\( |\vec{a}| = 2 \)，\( |\vec{b}| = 3 \)，则它们之间的夹角的余弦值为________。

高一数学平面向量的数量积及应用同步练习北师大版（答题时间：60分钟）一、选择题1、已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是 A. －1 B. 1 C. －2 D. 22、在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则A B A C ⋅=A. 23-B. 32-C.32 D. 233、已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2B C A D =，则顶点D 的坐标为A. 722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 122⎛⎫- ⎪⎝⎭， C. (32)， D. (13)，4、若向量a 与b 不共线，0b a ≠⋅，且b b a a a a c ⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-=，则向量a 与c 的夹角为A. 0B.C. D.5、设(43)=，a ，a 在b 上的投影为b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为A. (214)，B. 227⎛⎫-⎪⎝⎭， C. 227⎛⎫- ⎪⎝⎭， D. (28)，6、设，a b 是非零向量，若函数)x b a ()b x a ()x (f -⋅+=的图象是一条直线，则必有 A. ⊥a bB. ∥a bC. ||||=a bD. ||||≠a b二、填空题7、已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么b a ⋅的值为 . 8、a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b =，则5a b -=.三、解答题9、已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值； （2）若∠A 是钝角，求c 的取值X 围.*10、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为t a n ab c C ，，，. （1）求cos C ；（2）若CA CB ⋅52CB CA =，且9a b +=，求c .11、已知向量m =（sin A ，cos A ），n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.*12、如图所示，正六边形PABCDE 的边长为b ，有五个力→→→→PD PC PB PA 、、、、→PE 作用于同一点P ，求五个力的合力。

高中数学平面向量的数量积练习题及答案1.2021·泰州质检在ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，则=________.[解析] 由平行四边形法则，|+|=||=||，故A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且A为直角，从而四边形ABDC是矩形.由||=2，ABC=60°，==.[答案]2.2021·湖南高考改编已知a，b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的最大值为________.[解析] a，b是单位向量，|a|=|b|=1.又a·b=0，a⊥b，|a+b|=.|c-a-b|2=c2-2c·a+b+2a·b+a2+b2=1.c2-2c·a+b+1=0.2c·a+b=c2+1.c2+1=2|c||a+b|cos θθ是c与a+b的夹角.c2+1=2|c|cos θ≤2|c|.c2-2|c|+1≤0.-1≤|c|≤+1.|c|的最大值为+1.[答案] +13.设两向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.[解] 由已知得e=4，e=1，e1·e2=2×1×cos 60°=1.2te1+7e2·e1+te2=2te+2t2+7e1·e2+7te=2t2+15t+7.欲使夹角为钝角，需2t2+15t+7<0，得-7设2te1+7e2=λe1+te2λ<0，∴2t2=7.t=-，此时λ=-.即t=-时，向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是.一、填空题1.2021·课标全国卷已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·=________.[解析] 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A0,0，B2,0，D0,2，E1,2，∴=1,2，=-2,2，·=1×-2+2×2=2.[答案] 22.已知向量=3，-4，=6，-3，=m，m+1，若，则实数m的值为________.[解析] 依题意得，=3,1，由，得3m+1-m=0，m=-.[答案] -3.2021·徐州调研已知a=1,2，2a-b=3,1，则a·b=________.[解析] a=1,2，2a-b=3,1，b=2a-3,1=21,2-3,1=-1,3.a·b=1,2·-1,3=-1+2×3=5.[答案] 54.2021·常州市高三教学期末调研测试在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则·的最大值为________.[解析] 根据题意得：M2,0，N0,2.设P2cos θ，2sin θ，则=2-2cos θ，-2sin θ，=-2cos θ，2-2sin θ，所以·=-4cos θ+4cos2θ-4sin θ+4sin2θ=4-4sin θ+cos θ=4-4sin，因为-1≤sin≤1，所以4-4≤·≤4+4，所以·的最大值为4+4.[答案] 4+45.2021·宿迁调研已知点A-2,0，B0,0，动点Px，y满足·=x2，则点P的轨迹方程是________.[解析] =-2-x，-y，=-x，-y，则·=-2-x-x+-y2=x2，y2=-2x.[答案] y2=-2x6.2021·常州质检已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|-|，其中O 为原点，则正实数a的值为________.[解析] 由|+|=|-|，知，|AB|=2，则得点O到AB的距离d=，=，解得a=2a>0.[答案] 27.2021·南京、盐城二模已知||=1，||=2，AOB=，=+，则与的夹角大小为________.[解析] 令=，=，因为||=1，||=2，所以||=||，由=+=+，得四边形OA1CB1为菱形.因为菱形对角线平分所对角，因此AOC=60°.[答案] 60°8.如图4­4­3，在ABC中，AB=AC，BC=2，=，=.若·=-，则·=________.图4­4­3[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则·=·1，-a=-=-，解得a=2，所以=，=-1，-2，所以·=-.[答案] -二、解答题9.2021·苏北四市质检已知向量a=cos θ，sin θ，b=2，-1.1若a⊥b，求的值;2若|a-b|=2，θ，求sin的值.[解] 1由a⊥b可知，a·b=2cos θ-sin θ=0，所以sin θ=2cos θ，所以==.2由a-b=cos θ-2，sin θ+1，可得|a-b|===2，即1-2cos θ+sin θ=0，又cos2θ+sin2θ=1，且θ，由可解得所以sin=sin θ+cos θ==.10.已知向量a=cos x，sin x，b=sin 2x,1-cos 2x，c=0,1，x0，π.1向量a，b是否共线?并说明理由;2求函数fx=|b|-a+b·c的最大值.[解] 1b=sin 2x,1-cos 2x=2sin xcos x,2sin2 x=2sin xcos x，sin x=2sin x·a，且|a|=1，即a≠0.a与b共线.2fx=|b|-a+b·c=2sin x-cos x+sin 2x,1-cos 2x+sin x·0,1=2sin x-1+cos 2x-sin x=sin x-1+1-2sin2x=-2sin2x+sin x=-22+.当sin x=时，fx有最大值.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

平面向量的数量积（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.若向量，满足，与的夹角为60°，则( )A. B.C. D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算2.已知向量与的夹角为120°，且，，则( )A.13B.3C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算3.已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则( )A.-6B.-7C.-3D.9答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算4.若单位向量，，满足且，则=( )A.4B.3C.2D.0答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算5.若向量，，满足，，，，则( )A.1B.2C.4D.5答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算6.已知向量，满足，，，则=( )A.0B.C.4D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算7.已知单位向量，的夹角为，且，若向量，则( )A.11B.C.9D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算8.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为( )A. B.C.1D.-1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算9.若平面上三点A，B，C满足，，，则( )A.-25B.-7C.12D.25答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算10.如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为( )A.7B.5C.3D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算。

专题九平面向量的数量积（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量()()2,0,1,1a b ==，则下列结论正确的是（ ）A ．1=⋅b a B.||||a = C ．⊥-)( D ．// 【答案】C【解析】试题分析：计算得2a b ⋅= ，||2||a b =⋅ ，(1,1),()110a b a b b -=--⋅=-=，故选C .2.已知向量1(2BA =uu v ，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）(A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A【解析】由题意，得，所以30ABC ∠=︒，故选A ．3.若1a =，2b =，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A.6π B.3π C.56π D.23π【答案】D4.ABC ∆中，D 是BC 中点，AD m =，BC n =，则AB AC ⋅等于（ ）A ．2214m n -B ．2214m n +C ．2214m n +D ．2214m n - 【答案】A【解析】由已知2nBD DC ==，DC DB =-， 2222221()()()()()24n AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB AD DB m m n ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-=-.5.已知向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则()(2)a b a b +∙-=（ ） A ．2 B ．-2 C ．-3 D ．4 【答案】A 【解析】因)4,1(2),1,2(-=-=+b a b a ，故224412)1()2()(=-=⨯+⨯-=-⋅+b a b a ，应选A. 6.已知向量a 与b 的夹角为60°，||2a =，||5b =，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A B ．2 C ．52 D ．3【答案】A7.【2018届辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学高三10月月考】在边长为1的正三角形中，设，，，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】，故选：C8.已知向量,a b 的夹角为45︒，且1a =，210a b -=，则b =（ ）B.2C.【解析】∵210a b -=，∴22222(2)4410a b a b a a b b -=-=-⋅+=，又∵,a b 的夹角为45︒，且1a =，∴2244||||102b b -⋅⋅+=，解得||32b =或， 即||32b =.9.【2018届广西河池市高级中学高三上第三次月考】已知向量()1,2a =-， (),1b m =，若向量a 与b 垂直，则m =（ ）A. 2B. -2C. 0D. 1 【答案】A【解析】因为向量()1,2a =-， (),1b m =，且向量a 与b 垂直，所以20a b m ⋅=-+=，解得2m =，故选A.10.【2018届河北省石家庄市普通高中高三10月份月考】设向量()111,0,,22a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是( )A. a b =B. ()a b b -⊥ C. a b D. 2·a b = 【答案】B11.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）81（C ）41 （D ）811【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.12.在矩形ABCD 中，3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若3AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值为（ ）A ．0B ．3C ．-4D ．4 【答案】C 【解析】如图所示，2232,3cos 1133BE EC BE BC AB AF AF DF α=⇒==⋅=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()()0,3,,B FE ⎫⎪⎪⎝⎭，因此()233,2,23264BF AE BF =-⋅=-⨯=-=-，故选C.第II 卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021高中数学 2.4平面向量的数量积习题课A〔图片版〕新人(xīnrén)教A版必修412.A-83答案(dáàn)1、，，.2、与的夹角为120°，.3、，.4、证法一：设与的夹角为.〔1〕当时，等式显然成立；〔2〕当时，与b，a与的夹角都为 ，所以(su ǒy ǐ)所以；〔3〕当时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为， 那么所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； 综上所述，等式成立.证法二：设，，那么所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、〔1〕直角三角形，为直角.证明：∵，∴∴，B ∠为直角，为直角三角形〔2〕直角三角形，为直角证明(zh èngm íng)：∵，∴∴，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形〔3〕直角三角形，B ∠为直角 证明：∵，∴∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、.7、.，于是可得，，所以120θ=︒.8、，.9、证明：∵，，∴，∴为顶点的四边形是矩形. 10、解：设，那么(n à me)，解得，或者.于是或者.11、解：设与a 垂直的单位向量，那么，解得或者.于是或者. 12、〔1〕勾股定理：中，，那么证明：∵∴.由90C ∠=︒，有，于是∴222CA CB AB +=〔2〕菱形中，求证：证明：∵，∴.∵四边形ABCD 为菱形，∴，所以∴，所以AC BD ⊥〔3〕长方形ABCD中，求证(qiúzhèng)：证明：∵四边形ABCD为长方形，所以，所以∴.∴，所以，所以AC BD〔4〕正方形的对角线垂直平分. 综合以上〔2〕〔3〕的证明即可.内容总结（1）〔3〕当时，与，与的夹角都为，那么所以。

平面向量的数量积•选择题1.已知 a (2,3),b ( 1, 1),则a?b 等于( ) A.1 B.-1 C.5 D.-52.向量 a ， b 满足 …b 4,且 a b 2 ,则a 与b 的夹角为（ ）A. — B C . — D •6 4 3 23.已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为 600，那么 ；3b ( )A. . 7 B • 10 C • .13 D • 44 .若平面向量与向量' 的夹角是1舸,且1询=了厉，则3=（5.卜面 4个有关向量的数量积的关系式① 0?0 =0 ② (a ?b ) ?c = a ? ( b ?c ) —*> —» —!■> —» —» -*■ ——*■ —» f —B- —③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | w a ?b ⑤ | a ?b | | a |? b | 其中正确的是（）A . ①②B 。

①③C 。

③④D 。

③ ⑤6.已知|a |=8，e 为单位向量，当它们的夹角为 一时，a 在e 方向上的投影为（ ） 3A. 30° B C.--： D.8.已知 a =(2,3) , b =(4 ,7), 则a 在b 上的投影值为（ )A 、 13B 、13 、C 底C 、D 1655 5—*■ —¥■ ―► 一► —*■9.已知 a (1,2),b (3,2),ka b 与a 3b 垂直时k 值为 ( )7.设a 、b 是夹角为；：：：的单位向量，贝U2a )A 、17B 、18C 19D 、20 A . 4,3 B.4 C.4 D.8+b 和3a 2b 的夹角为（C .10.若向量a=(cos ,sin b=(cos ,sin a与b 一定满足a与b的夹角等于+、(a + b)丄(a—b)a II b11.设i , j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP3cos i 3sin j ,mur(Q/OQ i。