高中数学第十四章复数(实验修订版)

2024-2025学年新教材高中数学第10章复数10.1.1复数的概念教案新人教B版必修第四册科目授课时间节次--年一月一日（星期---）第一节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年新教材高中数学第10章复数10.1.1复数的概念教案新人教B版必修第四册教学内容本节课的教学内容来源于2024-2025学年新教材高中数学第10章复数10.1.1复数的概念，新人教B版必修第四册。

本节课的主要内容包括：1.复数的概念：引导学生理解复数的概念，包括实数和虚数的概念，以及复数的表示方法，如a+bi（a,b是实数，i是虚数单位，i2=-l）o2.复数的分类：讲解复数的分类，包括纯虚数、实数和虚数，以及它们之间的关系。

3.复数的几何表示：介绍复数在复平面上的表示，即复平面上的点与复数之间的对应关系。

4.复数的运算：讲解复数的四则运算规则，包括加法、减法、乘法和除法，以及它们在复平面上的几何意义。

5.复数的应用：举例说明复数在实际问题中的应用，如电路中的交流电、物理中的振动等。

核心素养目标本章节的教学旨在培养学生的数学核心素养，具体包括：1.知识与技能：使学生掌握复数的基本概念、分类和几何表示，以及复数的四则运算规则，并能应用于实际问题中。

2.过程与方法：通过探究复数的概念和运算规则，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创新思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学科的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识、自我探索精神和追求真理的态度。

教学难点与1.教学重点（1）复数的概念：实数和虚数的概念，以及复数的表示方法a+bi（a,b是实数，i是虚数单位，i2=-l）。

重点（2）复数的分类：纯虚数、实数和虚数的定义及它们之间的关系。

（3）复数的几何表示：复数在复平面上的表示，即复平面上的点与复数之间的对应关系。

（4）复数的运算：加法、减法、乘法和除法的基本规则，以及它们在复平面上的几何意义。

第十章复数10．1复数及其几何意义10．1.1复数的概念[课程目标] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学知识体系内部的矛盾(数的运算规则、求方程的根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及分类[填一填](1)复数的概念①为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位．②当a与b都是实数时，称a＋b i为复数，复数一般用小写字母z 表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)．其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b.(2)复数的分类所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋b i，a，b∈R}．任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数．[答一答]1．复数集与实数集的关系是怎样的？与已学过的有关数集的关系是怎样的？提示：实数集R 是复数集C 的真子集，即RC .至此，我们学过的有关数集的关系如下：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧ 实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧ 纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).知识点二 复数相等 [填一填]两个复数z 1与z 2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z 1＝z 2.如果a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .特别地，当a ，b 都是实数时，a ＋b i ＝0的充要条件是a ＝0且b ＝0.[答一答]2．怎样理解两复数相等的概念？提示：(1)两个实数可以比较大小，但两个不全是实数的复数就不能比较大小，只能说相等或不相等．如2＋i 和3－i,2和i 之间就无大小可言．(2)虚数不能比较大小，有大小关系的两个数一定是实数．两个不全为实数的复数不能比较大小．(1)根据复数a＋b i与c＋d i相等的定义可知，在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋b i≠c＋d i.(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．(3)实数之间的“<”(小于)关系，具有以下性质：①若a<b，b<c，则a<c；②若a<b，则对任意实数c，满足a＋c<b＋c；③若a<b，c>0，则ac<bc.如果我们要在复数之间引入一个“小于”关系，自然也应要求具有上述性质，但是，在复数之间具有上述性质的关系却是不存在的.类型一复数的概念[例1]判断下列说法是否正确．(1)当z∈C时，z2≥0；(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；(3)若a>b，则a＋i>b＋i.[分析]本题考查复数的基本概念和基本性质．[解](1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立．若z＝i，则z2＝－1<0.(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i＝(－1＋1)i＝0·i＝0∈R.(3)错误．两个虚数不能比较大小．1.虚数单位i 具有i 2＝－1的性质.2.只有在两个复数都是实数时，才可以比较它们的大小.3.复数z 的平方未必为非负数.[变式训练1] 下列命题正确的是(1)．(1)复数－i ＋1的虚部为－1.(2)若z 1，z 2∈C 且z 1－z 2>0，则z 1>z 2.(3)任意两个复数都不能比较大小．解析：(1)复数－i ＋1＝1－i ，虚部为－1.正确．(2)若z 1，z 2不全为实数，则z 1，z 2不能比较大小．错误．(3)若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．类型二 复数的分类[例2] 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[分析] 根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的a 的值．[解] (1)当z 为实数时，⎩⎨⎧ a 2－1≠0，a 2－5a －6＝0，∴⎩⎨⎧ a ≠±1，a ＝－1或a ＝6.∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z为虚数时，⎩⎨⎧a2－5a－6≠0，a2－1≠0，⎩⎪⎨⎪⎧a≠－1且a≠6，a≠±1.∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，⎩⎨⎧a2－7a＋6a2－1＝0，a2－5a－6≠0，∴⎩⎨⎧a＝6，a≠－1且a≠6.∴不存在实数a，使得z为纯虚数．本题除要熟悉复数的实部、虚部的概念及复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件外，还要注意“分式分母不为零”这个隐含条件.[变式训练2]实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解：设z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i.(1)要使z为实数，必须有m2－3m＝0，得m＝0或m＝3，即m＝0或m＝3时，z为实数．(2)要使z为虚数，必须有m2－3m≠0，即m≠0且m≠3.故m≠0且m≠3时，z为虚数．(3)要使z为纯虚数，必须有⎩⎨⎧m2－3m≠0，m2－5m＋6＝0.∴⎩⎨⎧ m ≠3且m ≠0，m ＝3或m ＝2.∴m ＝2.∴m ＝2时，z 为纯虚数．(4)要使z ＝0时，依复数相等的充要条件有：⎩⎨⎧ m 2－5m ＋6＝0，m 2－3m ＝0⇒⎩⎨⎧ m ＝2或m ＝3，m ＝0或m ＝3⇒m ＝3，∴当m ＝3时，复数z 为零．类型三 复数相等的应用[例3] (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x 、y 的值．(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．[分析] (1)复数a ＋b i ＝c ＋d i 的充要条件是什么？(⎩⎨⎧ a ＝c ，b ＝d )(2)利用复数相等解题的前提是什么？(a ，b ，c ，d ∈R )[解] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎨⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－1.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.1.利用两个复数相等进行解题的依据是实部与虚部分别相等．2．在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R .忽略条件后，不能成立．因此在解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题来解决．[变式训练3] 已知关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0有实数根，求实数m 的值．解：设方程的实根为x 0，则x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，因为x 0、m ∈R ，所以方程变形为(x 20＋x 0＋3m )－(2x 0＋1)i ＝0，由复数相等得⎩⎨⎧ x 20＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－12m ＝112，故m ＝112.1．复数1－i 的虚部是( B )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：分清复数的实部、虚部是解题的关键．2．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值为( A )A ．1B ．－1C ．±1D ．以上全不对解析：由题意得⎩⎨⎧ x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，∴x ＝1. 3．复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( D ) A ．x ＝－12B ．x ＝－2或x ＝－12C ．x ≠－2D ．x ≠1且x ≠－2解析：由题意得x 2＋x －2≠0，解得x ≠1且x ≠－2.4．已知z 1＝m 2－3m ＋m i ，z 2＝4＋(5m ＋4)i ，其中m 为实数，i 为虚数单位，若z 1＝z 2，则m 的值为－1.解析：由题意得m 2－3m ＋m i ＝4＋(5m ＋4)i ，从而⎩⎨⎧ m 2－3m ＝4，m ＝5m ＋4，解得m ＝－1.。

高中数学总复习之基础知识要点目录01--知识要点：高三数学总复习—集合02--知识要点：高三数学总复习—函数03--知识要点：高三数学总复习—数列04--知识要点：高三数学总复习—三角函数05--知识要点：高三数学总复习—向量06--知识要点：高三数学总复习—不等式07--知识要点：高三数学总复习—直线和圆的方程08--知识要点：高三数学总复习—圆锥曲线方程09--知识要点：高三数学总复习—立体几何10--知识要点：高三数总总复习—排列组合11--知识要点：高三数学总复习—概率12--知识要点：高三数学总复习—极限（实验修订）13--知识要点：高三数学总复习—导数（实验修订版）14--知识要点：高三数学总复习—复数（实验修订版）高考复习科目：数学 高中数学总复习(一)复习内容：高中数学第一章-集合 复习范围：第一章 修订时间：总计第一次I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果BA⊆，同时AB⊆，那么A = B.如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}）③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.②且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若255 x x x 或，⇒.II. 竞赛知识要点1. 集合的运算.）（）（C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂）（）（）（C A B A C B A =De Morgan 公式 C u A ∩ C u B = C u （A ∪ B ） C u A ∪ C u B = C u （A ∩ B ） 2. 容斥原理：对任意集合AB 有B A B A B A -+=.CB AC B C A B A C B A C B A +++-++=)(.高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习(二)复习内容：高中数学第二章-函数 复习范围：第二章 编写时间：2004-2修订时间：总计第一次 2005-5I. 基础知识要点 1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在），（），（2110⋃上为减函数. 3. 反函数定义：只有满足y x −−→←唯一，函数)(x f y =才有反函数. 例：2x y =无反函数.函数)(x f y =的反函数记为)(1y f x -=，习惯上记为)(1x fy -=. 在同一坐标系，函数)(x f y =与它的反函数)(1x fy -=的图象关于x y =对称.[注]：一般地，3)f(x 3)(x f 1+≠+-的反函数. 3)(x f1+-是先f(x)的反函数，在左移三个单位.3)f(x +是先左移三个单位，在)f(x 的反函数.4. ⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数. ⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.⑶设函数y = f （x ）定义域，值域分别为X 、Y . 如果y = f （x ）在X 上是增（减）函数，那么反函数)(1x f y -=在Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. ⑷一般地，如果函数)(x f y =有反函数，且ba f =)(，那么ab f=-)(1. 这就是说点（b a ,）在函数)(x f y =图象上，那么点（a b ,）在函数)(1x f y -=的图象上.5. 指数函数：xay=（1,0≠a a ），定义域R ，值域为（+∞,0）.⑴①当1 a ，指数函数：xay =在定义域上为增函数；②当10 a ，指数函数：xay=在定义域上为减函数.⑵当1a时，xa y =的a 值越大，越靠近y 轴；当10 a 时，则相反.6. 对数函数：如果a （1,0≠a a）的b次幂等于N ，就是Na b=，数b 就叫做以a 为底的N 的对数，A B A A A B A A ==）（，）（y记作bN a=log（1,0≠a a ，负数和零没有对数）；其中a 叫底数，N 叫真数.⑴对数运算：()na n a a a cbab b aNana anaaaaaaaa a a a a cb a N N NaMnM Mn MNM N MNM N M n a1121loglog ...loglog1logloglog loglog log log 1log loglog log loglog loglog )(log 32log )12)1(=⋅⋅⋅⇒=⋅⋅===±=-=+=⋅-推论：换底公式：（以上10且...aa ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,Mn21≠≠≠≠ ）注⑴：当0, b a 时，)log()log()log(b a b a -+-=⋅. ⑵：当0M 时，取“+”，当n 是偶数时且0 M 时，0nM，而0 M ，故取“—”.例如：x x x aaalog2(log 2log2≠中x ＞0而2logx a中x ∈R ）.⑵xa y =（1,0≠a a ）与x y alog =互为反函数.当1a时，x y alog=的a 值越大，越靠近x 轴；当10 a 时，则相反.7. 奇函数，偶函数： ⑴偶函数：)()(x f x f =-设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=xy 在)1,1[-上不是偶函数.②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1)()(=-x f x f .⑵奇函数：)()(x f x f -=-设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，1)()(-=-x f x f .8. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称x f y y -=−−−→− ②y =f （x ））（轴对称x f y x -=−−−→− ③y =f （x ））（原点对称x f y --=−−−→−9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：22122212122222121)()()(bx bx x x x x bx bx x f x f x ++++-=+-+=-）（在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f （x ）= 1+xx -1的定义域为A ，函数f [f （x ）]的定义域是B ，则集合A 与集合B 之间的关系是 .解：)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ，)(x f 的值域R ∈，故R B ∈，而A {}1|≠=x x ，故A B ⊃. 11. 常用变换：①)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+.证：)()(])[()()()()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=⇔=-②)()()()()()(y f x f y x f y f x f yxf +=⋅⇔-=证：)()()()(y f yx f y yx f x f +=⋅=12. ⑴熟悉常用函数图象： 例：||2x y =→||x 关于y 轴对称. |2|21+⎪⎭⎫⎝⎛=x y →||21x y ⎪⎭⎫⎝⎛=→|2|21+⎪⎭⎫⎝⎛=x y|122|2-+=x xy →||y 关于x 轴对称.⑵熟悉分式图象： 例：372312-+=-+=x x x y ⇒定义域},3|{R x x x ∈≠，值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x前的系数之比.四川师大附中高2006届高三数学总复习（三）§3. 数 列 知识要点A B ⊃1. ⑴等差、等比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )①注①：i. ac b =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即acb=、b 、c 等比数列.ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要.iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要.注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③nn cq a =(q c ,为非零常数).④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n xa log}（1 x ）成等比数列.⑷数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛=+=22122→2d 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ②若等差数列的项数为2()+∈Nn n ，则，奇偶nd SS=-1+=n naa SS 偶奇；③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇得到所求项数到代入12-⇒n n .3. 常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒nn a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nn a .4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：.)1(1])1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a nn +-+-=+++++++-⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为nr a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+.⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--mmmmm m mr r ar x rr x r a x r x r x r x r a5. 数列常见的几种形式： ⑴nn n qa paa +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②若21x x ≠可设n n n xc x c a 2211.+=，若21x x =可设nn x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c .⑵rPaa n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为nn n qa Paa +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n Pc c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.①转化等差，等比：1)(11-=⇒-+=⇒+=+++P r x x Px Pa a x a P x a n n n n .②选代法：=++=+=--r r PaP rPaa n n n )(21xPx a P r P P r a a n n n -+=---+=⇒--1111)(1)1(r r Pa Pn n +++⋅+=--Pr 211.③用特征方程求解：⇒⎭⎬⎫+=+=-+相减，r Pa a r Paan n nn 111+n a 1111-+--+=⇒-=-n n n n nn Paa P a PaPaa ）（.④由选代法推导结果：Pr PP r a c Pc aP r a c Pr c n n n-+-+=+=-+=-=--111111112121）（，，.6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n 项和为n S ，在0 d 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法： 一是求使0,01 +≥n n a a ，成立的n 值；二是由nd a nd S n )2(212-+=利用二次函数的性质求n 的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (2)1)12,...(413,211nn -⋅⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习（四）复习内容：高中数学第四章-三角函数 复习范围：第四章 编写时间：2004-7修订时间：总计第三次 2005-4I. 基础知识要点1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|ββ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90|ββ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180|ββ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=180360kS IN \C O S 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 3. 三角函数的定义域：4. 三角函数的公式： （一）基本关系公式组二 公式组三xx k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππxx x x x x xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππxx x x x x xx c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππxx x x x x xx c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n 22s i n =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2t a n 1t a n 22t a n -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2c o s 12s i nαα-±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cosαα+±=公式组一s in x ·c sc x =1ta n x =xx c o s sin s in 2x +c o s 2x =1c o s x ·s e c x x =xx sin c o s 1+ta n 2x =s e c 2xta n x ·c o t x =11+c o t 2x =c sc 2x=1βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五2tan12tan2sin 2ααα+=2tan12tan1cos 22ααα+-=2tan12tan2tan 2ααα-=42675cos 15sin -==,42615cos 75sin+==,3275cot 15tan-==,3215cot 75tan+==.5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）.②xysin =与xycos =的周期是π.()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos2cos cos βαβαβα-+=+2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .2tanx y =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)c o s (ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,21ππ+k ）；)t a n (ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）.xx y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则 )cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）；xy cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（π=T ）；212cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩ab ba b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22.II. 竞赛知识要点一、反三角函数.1. 反三角函数：⑴反正弦函数x y arcsin =是奇函数，故x x arcsin )arcsin(-=-，[]1,1-∈x （一定要注明定义域，若()+∞∞-∈,x ，没有x 与y 一一对应，故x y sin =无反函数）注：x x =)sin(arcsin，[]1,1-∈x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2arcsinππx . ⑵反余弦函数x y arccos =非奇非偶，但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-，[]1,1-∈x . 注：①x x =)cos(arccos，[]1,1-∈x ，[]π,0arccos∈x .y =|c o s 2x +1/2|图象②x y cos =是偶函数，x y arccos =非奇非偶，而x y sin =和x y arcsin =为奇函数. ⑶反正切函数：x y arctan =，定义域),(+∞-∞，值域（2,2ππ-），x y a r c t a n =是奇函数，xx arctan )arctan(-=-，∈x ),(+∞-∞.注：x x =)tan(arctan ，∈x ),(+∞-∞.⑷反余切函数：x arc y cot =，定义域),(+∞-∞，值域（2,2ππ-），x a r c y c o t =是非奇非偶.ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-，∈x ),(+∞-∞.注：①x x arc =)cot cot(，∈x ),(+∞-∞.②x y arcsin =与)1arcsin(x y -=互为奇函数，x y arctan =同理为奇而x y arccos =与xarc ycot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ.⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a的取值范围 解集a的取值范围 解集①a x =sin 的解集 ②a x =cos 的解集a ＞1 ∅ a ＞1 ∅a=1 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π a=1 {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|πa＜1(){}Zk a k x x k∈-+=,arcsin 1|πa＜1 {}Z k a k x x ∈±=,arccos |π③a x =tan 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =cot 的解集：{}Z k a k xx ∈+=,cot arc |π二、三角恒等式. 组一 组二∏===nk nnnk12sin2sin 2cos8cos4cos2cos2cosααααααα∑=++=+++++=+nk dnd x d n nd x d x x kd x 0sin )cos())1sin(()cos()cos(cos )cos(∑=++=+++++=+nk dnd x d n nd x d x x kd x 0sin )sin())1sin(()sin()sin(sin )sin(αγγββαγβαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=++组三 三角函数不等式xsin ＜x ＜)2,0(,tanπ∈x xxx x f sin )(=在),0(π上是减函数若π=++CB A ，则Cxy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++ααααααcos 3cos43cos sin 4sin 33sin 33-=-=()()αββαβαβα2222cos cos sin sin sinsin-=-+=-ααααααsin 22sin 2cos ...4cos 2cos cos 11++=n n n高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习（五）复习内容：高中数学第五章-平面向量 复习范围：第五章 编写时间：2004-7修订时间：总计第三次 2005-41. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量. 注意：①若b a,为单位向量，则ba=. （⨯） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向. ②若ba =，则a∥b. （√）2.①()aμλ=()aλμ②()aa aμλμλ+=+③()ba b aλλλ+=+④设()()Ry x b y x a∈==λ,,,,2211()2121,y y x x b a ++=+()2121,y y x x b a --=-()21,y x a λλλ=2121y y x x b a +=⋅2121y x a +=（向量的模，针对向量坐标求模） ⑤平面向量的数量积：θcos b a b a ⋅=⋅⑥ab b a⋅=⋅ ⑦()()()ba b a baλλλ⋅=⋅=⋅⑧()cb c a c b a⋅+⋅=⋅+注意：①()()cb a cb a⋅⋅=⋅⋅不一定成立；cb ba⋅=⋅ca =.②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.③长度为0的向量叫零向量，记0，0与任意向量平行，0的方向是任意的，零向量与零向量相等，且00=-.④若有一个三角形ABC ，则0；此结论可推广到n 边形.⑤若an a m=（R n m ∈,），则有nm =. （⨯） 当a等于0时，0==a n am ，而n m ,不一定相等. ⑥a ·a =2||a，||a=2a（针对向量非坐标求模），||b a⋅≤||||b a⋅.⑦当0≠a 时，由0=⋅b a不能推出0≠b ，这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b=0.⑧若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c （×）当b 等于0时，不成立.3. ①向量b与非零向量．．．．a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a bλ=（平行向量或共线向量）.当a ,0 λ与b 共线同向：当,0 λa 与b 共线反向；当b 则为0,0与任何向量共线.注意：若b a ,λ= （×）若c 是a 的投影，夹角为θ，则c a =⋅θcos，=⋅θcos （√） ②设a=()11,y x ，()22,y x b =a ∥b⇔=-⇔01221y x yx b a b a =⋅⇔=λa⊥b01221=+⇔=⋅⇔y y x x b a③设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则A 、B 、C 三点共线⇔∥⇔=λ（0≠λ）⇔（1212,y y x x --）=λ（1313,y y x x --）（0≠λ）⇔（12x x -）·（13y y -）=（13x x -）·（12y y -） ④两个向量a、b 的夹角公式：222221212121cos yxy x y y x x +⋅++=θ⑤线段的定比分点公式：（0≠λ和1-）设P 1P=λP P 2 （或2λ11），且21,,P P P 的坐标分别是),(),,(,,2211y x y x y x ）（，则推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：推广2λ=MB则λλ++=1PB PA PM（λ对应终点向量）.三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件. ⑥平移公式：若点P ()y x ,按向量a=()k h ,平移到P‘()'',yx，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ky y hx x ''4. ⑴正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则RCc Bb Aa 2si n si n si n ===.⑵余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=Cab a b c B ac ca b A bc cb a cos 2cos 2cos 2222222222⑶正切定理：2tan2tan B A B A ba ba -+=-+⑷三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y yy AB①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式]⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.如图：图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=PrI 为S △ABC 的一个旁心，S △（b+c-a ）r a图1图2图3图4附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即2cb a ++]则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ） ②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=c s -=1/2（a+b-c ）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =cb a ab cb a ++=-+2（如图3）. ⑹在△ABC 中，有下列等式成立CB AC B A tan tan tan tan tan tan =++.证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以CBA B A tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！⑺在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DCBD BCBCAB BD ACAD ⋅-+=222.证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有B BD AB BDABAD cos 2222⋅⋅-+=①在△ABC 中，由余弦定理有BCAB ACBC ABB ⋅-+=2cos 222②，②代入①，化简可得，DC BD BCBCAB BD ACAD⋅-+=222（斯德瓦定理）①若AD 是BC 上的中线，2222221acbm a -+=；②若AD 是∠A 的平分线，()a p p bc cb t a-⋅+=2，其中p 为半周长；B b I AB C D EF IABCDEFr ar ar abca abc C DACB图5③若AD 是BC 上的高，()()()c p b p a p p ah a ---=2，其中p 为半周长.⑻△ABC 的判定：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A + ∠B =2π2c＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A + ∠B ＜2π 2c＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A + ∠B ＞2π附：证明：abcb a C 2cos 222-+=，得在钝角△ABC 中，222222,00cos cb ac b a C +⇔-+⇔⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.)2=四川师大附中高2006届高三数学总复习（六）§6. 不 等 式 知识要点1. ⑴平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b为正数）：2112a b a b+≥+（当a = b 时取等）特别地，222()22a b a b a b ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b a b ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a cba==∈⎪⎭⎫⎝⎛+++≥++⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++⑵含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： ①3322a b a b a b +≥+②3332223()()a b c a b c a b c a b c a b a c b c ++-=++++---⇒3333a b ca b c ++≥（等式即可成立0 c b a++，时取等或0=++==c b a c b a）；3a b c++≤⇒33a b c a b c ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭3333a b c ++≤2)(31c b a ac ba ab +++≤++（时取等c b a==）⑶绝对值不等式：123123(0)a a aa aaa b a b a b a b ++≤++-≤-≤+≥时,取等⑷算术平均≥几何平均（a 1、a 2…an 为正数）：12na a an+++≥（a 1=a 2…=a n 时取等）⑸柯西不等式：设),,,2,1(,n i R b a i i =∈则))(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++等号成立当且仅当nnb ab ab a ===2211时成立.（约定0=i a 时，0=i b ）例如：22222()()()a c b d a b c d +≤++.⑹常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n nn n n n-==-≥++--1)2n nn n ==≥+-2. 常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()223279x x x y x x yy --=-⇒=≤=⇒≤类似于22s in c o s s in (1s in)y x x x x ==-③111||||||()2x x x xxx+=+≥与同号，故取等四川师大附中高2006届高三数学总复习（七）实验修订版§7. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα≤≤. 注：①当90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212kk l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21CC ≠）推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l .⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当90≠θ时21121tan kk k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k kk +-=θ. 5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111Cy Bx Al C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有22BA CByAxd +++=.⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有2221BAC C d +-=.7. 关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线（b x y +±=）对称的解法：y 换x ，x 换y. 例：曲线f (x ,y )=0关于直线y =x –2对称曲线方程是f (y +2 ,x –2)=0.②曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f (a – x , 2b – y )=0. 二、圆的方程.1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的 与一个二元方程0),(=y x f 的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(y x M 其坐标与方程0),(=y x f 的一种关系，曲线上任一点),(y x 是方程0),(=y x f 的解；反过来，满足方程0),(=y x f 的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线C 的方程是f(x ,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y)线C 上的充要条件是f(x 0 ,y 0)=0 2. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.注：特殊圆的方程：①与x 轴相切的圆方程222)()(b b y a x =±+- )],(),(,[b a b a b r -=或圆心 ②与y 轴相切的圆方程222)()(a b y a x =-+±)],(),(,[b a b a a r -=或圆心③与x 轴y 轴都相切的圆方程222)()(a a y a x =±+± )],(,[a a a r ±±=圆心 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=.当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D . 当0422F E D -+时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）.②方程022=+++++F Ey Dx CyBxy Ax表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.③圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A （用向量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔ ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔ 5. 直线和圆的位置关系：设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ；圆心),(b a C 到直线l 的距离22BACBb Aa d +++=.①r d =时，l 与C 相切；附：若两圆相切，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++02222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线方程.②r d 时，l 与C 相交； 附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D . ③r d 时，l 与C 相离.附：若两圆相离，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++02222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为圆心21O O 的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-0)()(222C Bx Ax rb y a x 用代入法，得关于x （或y ）的一元二次方程，其判别式为∆，则：l ⇔=∆0与C 相切； l ⇔∆0 与C 相交； l ⇔∆0 与C 相离.注：若两圆为同心圆则011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 相减，不表示直线. 6. 圆的切线方程：圆222r y x =+的斜率为k 的切线方程是r k kx y 21+±=过圆022=++++F Ey Dx y x上一点),(00y x P 的切线方程为：02200=++++++F y y Ex x Dy y x x .①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200ry y x x =+.②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出⇒k 切线方程. 7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知O Θ的方程022=++++F Ey Dx y x …① 又以ABCD 为圆为方程为2))(())((kb x yy a xx x AA =--+--…②4)()(222b ya xR AA-+-=…③，所以BC 的方程即③代②，①②相切即为所求.高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习（八）:0:222222111221=++++=++++F y E x D y x C F y E x D y xC B C )复习内容：高中数学第八章-圆锥曲线方程 复习范围：第八章 编写时间：2004-7修订时间：总计第三次 2005-4I. 基础知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F FF a PFPFF F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax=+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay=+.②一般方程：)0,0(122B A ByAx=+.③椭圆的标准参数方程：12222=+by ax 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ）.⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2ba c c FF -==.⑤准线：cax 2±=或cay 2±=.⑥离心率：)10( e ac e =.⑦焦点半径：i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,FF 为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,FF 为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201x a ex x cae pFx ex a cax e pF-=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222abc ab d -=和),(2abc⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a by ax =+的离心率是)(22ba c ac e -==，方程t t by ax (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ac e =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.⑸若P 是椭圆：12222=+by ax 上的点.21,FF 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21FPF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PFPF221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .二、双曲线方程.⇒-=+=0201,ex a PFex a PF ⇒-=+=0201,ey a PFey a PFa s in α,)s in α)N 的轨迹是椭圆。

复数知识内容一、复数的看法1．虚数单位i:（1）它的平方等于 1 ，即i2 1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律依旧建立．（3） i 与－ 1 的关系 :i 就是1的一个平方根，即方程21 的一个根，方程21 的另一个根是 -i ．x x（4） i 的周期性：i 4n 1i ， i 4n 2 1 ， i 4n 3i ， i 4 n 1 ．实数 a( b0)2．数系的扩大：复数a bibi( b0)纯虚数 bi( a0)虚数 a非纯虚数 a bi( a0)3．复数的定义：形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的会集叫做复数集，用字母 C 表示4．复数的代数形式 :平时用字母 z 表示，即z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：关于复数 a bi ( a ，b R) ，当且仅当 b0时，复数 a bi( a ，b R) 是实数a；当 b 0 时，复数z a bi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，z就是实数 06．复数集与其他数集之间的关系：N 苘Z Q 苘 R C7．两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，假如a，a，b，d，c ，d R ，那么 a bi c di a c ，b d二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是b，复数z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．关于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0 ，它所确立的复数是z 0 0i 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b d i2．复数z1与z2的差的定义：z1 z2 a bi c di a c b d i3．复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z14．复数的加法运算满足联合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 )5．乘法运算规则：设 z1 a bi ， z2c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数，那么它们的积 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i其实就是把两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成1，而且把实部与虚部分别合并．两个复数的积依旧是一个复数．6．乘法运算律：（1） z1 z2 z3z1 z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )（3） z 1 z 2 z 3z 1 z 2 z 1 z 37． 复数除法定义：满足 c di x yia bi 的复数 x yi ( x 、 y R )叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：(a bi)c di 也许abic di8． 除法运算规则：设复数 a bi ( a 、 b R ) ，除以 c di ( c ， d R )，其商为 x yi （ x 、 yR ) ，即 ( a bi) c dixyi ∵ xyi c dicx dydx cy i∴ cxdydx cy i a bix ac bdcx dy ac 2d 2由复数相等定义可知，解这个方程组，得dxcyb bc，yadc 2d 2于是有 : (a bi)cdi ac bdbc adi2 222cdcd ②利用c di c di c 22abi的分母有理化得：d 于是将 c di原式a bi (abi)( c di) [ ac bi ( di)] (bc ad)ic di (cdi)( cdi)c2d2(acbd ) (bc ad)i ac bd bc adc 2d 2 c 2 d 2 c 2d 2 i ．∴ ( (abi)c di ac bd bc adc 2d 22d 2ic评论 : ①是惯例方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采纳的分母有理化思想方法，而复数 c di 与复数 c di ，相当于我们初中学习的3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数，而 c di c dic 2d 2 是正实数．所以可以分母实数化．把这类方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。